中位线定理证明题

中位线定理证明题

1、 如图，若CD AB //，E 、F 分别是BC 、AD 的中点， 且a AB =，b CD =，求EF 的长

2、已知矩形ABCD 中，cm AB 15=，cm BC 8=，E 、

F 、

G 、

H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求

四边形EFGH 的周长和面积

3、 如图，已知四边形ABCD 中，BC AD //， 若DAB ∠的角平分线AE 交CD 于E ，连结BE ， 且BE 平分ABC ∠，求证：BC AD AB +=

4、如图，在ABC ∆中，C B ∠=∠2，BC AD ⊥，垂足为D ，M 是BC 的中点，cm AB 10=，求MD 的长

5、 如图，D 、E 、F 分别是ABC ∆三边的中点，G 是AE 的中点，

BE 与DF 、DG 分别交于P 、Q 两点，求BE PQ :的值

6、 如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD BD ⊥，

AC DE //，交AB 于E ，若5=AB ，求DE 的长

7、连接凸四边形一组对边中点的线段等于另一组对边和的一半，问这个凸四边形是什么四边形试证明你的结论

8、分别以ABC ∆的边AC 和BC 为一边，在ABC ∆外作正方形ACDE 和

CBFG ，点P 是EF 的中点，如图，求证：点P 到边AB 的距离是AB 的一半

9、如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，︒=∠30B ，

︒=∠60C ，E 、M 、F 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，

已知7=BC ，3=MN ，求EF 的值

10、如图，已知梯形ABCD 中，BC AD //，︒=∠=∠90ADC DCB ，E 为AB 中点，求证：DE CE =

11、如图，已知梯形ABCD 中，CD AB //，︒=∠=∠90D DAB ，ACB ∆是等边三角形，梯形中位线m EF 4

3

=

，求梯形的下底AB 的长

12、如图，梯形ABCD 的面积是12，求此梯形四边的中点组成的四边形EFGH 的面积

13、如图，已知A 为DE 的中点，设DBC ∆、ABC ∆、EBC ∆的面积分别为1S 、

2S 、3S ，求1S 、2S 、3S 之间的关系

14、如图，在ABC ∆中，︒=∠120BAC ，以AB 、AC 为向形外作等边三角形ABD 和ACE ，M 为AD 中点，N 为AE 中点，P 为BC 中点，试求MPN ∠的度数

15、如图，以ABC ∆的边AB 、AC 为斜边向外作直角三角形ABD 和ACE ，且使ACE ABD ∠=∠，M 是BC 的中点，求证：EM DM =

中位线定理证明题答案：

1、解：连结AC ，取AC 中点G ，连结EG 、FG

E 、

F 分别是BC 、AD 的中点

∴EG 、FG 分别是ACB ∆、ACD ∆的中位线 ∴AB EG //，AB EG 21=

，CD FG //，CD FG 2

1

= CD AB //，∴FG EG //，∴E 、F 、G 三点在一条直线上

)(21AB CD EG FG EF -=-=∴， a AB =，b CD =，∴)(2

1

a b EF -=

2、解：连结AC 、BD

BE AE =，CF BF =，DG CG =，AH DH =

AC EF 21=

∴，BD FG 21=，AC GH 21=，BD HE 2

1

= 矩形ABCD 中，BD AC =，HE GH FG EF ===∴， ∴四边形EFGH 是菱形，

在ABC Rt ∆中，)(178152222cm BC AB AC =+=+=

∴四边形EFGH 的周长为cm 34，)(602cm S EFGH =菱形

3、证明：取AB 中点F ，连结EF

BC AD //，∴︒=∠+∠180CBA DAB ABE CBE ∠=∠，BAE DAE ∠=∠

∴︒=∠=∠90EAB EBA ，∴︒=∠90AEB ，AB EF 2

1

=∴ BF AF =，DE CE =，)(2

1

BC AD EF +=

∴，BC AD AB +=∴ 4、解：取AB 中点N ，连结DN 、MN 在ABD Rt ∆中，AB BN DN 2

1

=

=， NDB B ∠=∠∴，BN AN CM BM ==, ，AC MN //∴，C NMD ∠=∠∴ C B ∠=∠2 ，NMD NDB ∠=∠∴2，NMD DNM NDB ∠+∠=∠ NMD DNM ∠=∠∴，MD ND =∴， cm AB 10=，cm MD 5=∴

5、解： CD BD =，AF BF =，∴AC DF //，CE DP CD BD //,= 在BCE ∆中，可得EP BP =，∴CE DP 2

1

=

，AG EG CE AE ==, ∴EG PD =，在QPD ∆和QEG ∆中

QEG QPD ∠=∠，EG PD =， QGE QDP ∠=∠

QPD ∆∴≌QEG ∆，QE QP =∴，BE PE QP 4

1

21==∴，4:1:=∴BE PQ

6、解：延长BD 、AC 相交于K ，在ABD ∆和AKD ∆中

21∠=∠，AD AD =，︒=∠=∠90ADK ADB ，ABD ∆∴≌AKD ∆ KD BD =∴，AK AB =

AC DE // ，AE BE =∴，AK DE 21=

∴，5=AB ，2

5=∴DE

7、证明：连结BD ，取BD 中点M ，连结EM 、FM

E 、

F 分别是AB 、CD 的中点

∴AD EM 21=

，BC FM 2

1

=，且AD EM //，BC FM // ∴)(21

BC AD FM EM +=+，FM EM EF +=∴，M ∴点在EF 上

AD BC //∴，∴四边形ABCD 是平行四边形或梯形

8、证明：作AB EM ⊥，AB FN ⊥，AB PQ ⊥，AB CH ⊥，

垂足分别是M 、N 、Q 、H

∴FN CH PQ EM //////，FP EP = ， ∴NQ MQ =，)(2

1

FN EM PQ +=

∴ ︒=∠90EAC ，︒=∠+∠∴90BAC EAM

︒=∠+∠90AEM EAM ，BAC AEM ∠=∠∴ ︒=∠=∠90AHC M ，AC AE =

EAM ∆∴≌ACH ∆，AH EM =∴，同理可得BH FH = BH EM BH AH AB +=+=∴，AB PQ 2

1

=

∴ 9、过点N 作AB NG //，CD NH //，分别交BC 于G 、H ，

BC AD //

∴四边形ABGN 、NHCD 是平行四边形

∴BG AN =，NG AB //，HC ND =，CD NH //

B NGM ∠=∠ ，

C NHM ∠=∠

︒=∠30B ，︒=∠60C

︒=∠+∠∴90NHM NGM ︒=∠∴90GNH

CM BM = ，DN AN = HM GM =∴

62==∴MN GH ，1=-=+=∴GH BC ND AN AD