分式加减运算(讲义及答案).

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(完整版)分式加减乘除运算

（三）分式的运算知识点一：分式的乘法 ---分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母23bc 2a b 4、；3a 16b4b 9a 24x y2b 2a 1、； 2、； 3、； 3y 2x 3 5a 2 2b5a 2 3c 22x 2 2x 2 4；x y x y ；x y x y3a 3b 25a b 396、； 7、5、a 2b 2x 2x x 3x210ab知识点二：分式的乘方 ---要把分式的分子、分母分别乘方 23222222 y 2x y 24a b a1 b 2a 2； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、1、3y3x3zx y知识点四：分式的除法 --分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘2y 2 3x ab 22c 23a b 223x5y 220a y 4；3x512xy 5a28x y ；2、 3xy6xy16a y 321、；3、；4、；5、 4cd2x 2 y 2xyx 1 1 x x 2 4x 4 x 2；9、 x 4y 22x 2y2y x ；7、；8、6、x 2x xx 2xy y 2 2x 2xy2 2 x 1x 1知识点五：分式的乘除混合运算322x 222322x 2 x x 2x x 21aab 2x y y 1、； 4、； 5、；2 x2b b4x2axay23232ab 3 6a 4 b 33c a b aba a ab 2；7、6、2b 22c db a1．下列各式计算结果是分式的是( )． x 37x 2 n a m bn 3m m 2n(C) 3 5x x(A)(B)(D) 3y 24y32．下列计算中正确的是()．－ 1(A)(－1)＝－ 1 (B)(－ 1)＝11 1 (C) 2a 33(D) ( a) ( a)72a 3a 43．下列各式计算正确的是()．1 (A) m ÷n · m ＝m (B) m nmn(C) 1 m m 1m (D) n ÷m · m ＝n)．4．计算 ( a b )4 (a ) 5 的结果是 (ab a 1 a (A)－1(B)1(C) (D)aa b5．下列分式中，最简分式是( )．x 2xy y 2 2x y 2 2x 2y 221xy (A)(B)(C) (D) x yx y15 y 2x y2y 2 x x 9． ( ) ( )2 __________．3 10． [(x ) ]3 2__________．y 2 y知识点六：分式的加减运算法则：①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减②异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减x 1 1； 2、a 2a 3c117102；1、； 3、； 4、22c d 3cd 222xxabc abc abcx yz x y xyza 2a 3a3 8 11 x y y2x y ；y x； 6、； 7、 y x x y 5、 x 1 x 1 x 2 2 21b 1 b 1 b 1 1 y 1 2xy 3 2m n 8、； 9、； 10、；2x y x 2 y 222x y2m ny 2x2m n4 x 2 y 2 x 2 y 211、 a 2；12、 xy2 axy知识点 7：分式的混合运算 2x y x 2y 2 x 11x a 1 2 a ；；2、x1 ；3、 1、2x y 2 x a 2a 3 a 9 a2 2y1 1x y 1 x 2 y 21 3 x 5 4、5、x 22x 4x 2知识点 8：化简求值 ---化简求值问题的解题步骤一般都是先对式子进行化简，再将已知值代入求值 2x 2 x 2 2x 11x 2x 2 2x 2 1、先化简，再求值： (2x 3xx 9，其中 x 2．2、先化简，再求值： 1)÷x ，其中 x=．x321 x 1 x 3 5 )，其中 x ＝－ 4x 2x 3．4、先化简，再求值：2、先化简，再求值： 1，其中(x 2x 22x 4x 2a 1a 1a 1，其中aa 1 25、先化简，再求值：a 2 2a 1分式阶段水平测评（二）1．下列分式中是最简分式的是（）.2x 4 x 1 1 x （D ）x 1（A ）（B ）（C ）22x 12xx 12．用科学记数法表示 0.000078，正确的是（）.（A ）7.8×10-5 （B ）7.8×10-4 （C ）0.78×10-3（D ）0.78×10-41 3．下列计算：① ( 1)01；② ( 1) 1 1；③ 3a 35( x) ( x) 3 x 2．其；④3a 3中正确的个数是（）．（A ）4 （B ）3（C ）1（ D ）0 1 1 1(R 1 R )，则表示 R 的公式是（ 4．已知公式1）．2R R 1 R 2R 2 RRR 2RR 2 R( R R )2（A ） R 1（C ） R 1） .（D ） R 1（） R 1B RR 2RR 2R 2RR 25．下列分式的运算中，其中结果正确的是（( a ) 231a 1 b2 a 3（A ）（ B ）abaa 2b 2a 3a 2 6a 91 （C ）a b（ D ）a b a 3a a ).a 24 a 2a6．化简 ( （A ）-4的结果是（）.a 2（B ） 4 （C ）2a(D)2a+4二、填空题（每小题 4分，计 16分）27．若 (a 1)0有意义，则 a ≠． 8．纳米是非常小的长度单位， 1纳米 =0.00000000１米，那么用科学记数法表示 1纳米 =米．x y y 1 2 x y9．如果= ．，则 a b 2m dc10．若 a 、b 互为相反数， c 、d 互为倒数， m 的绝对值为 2，则．a b c三、解答题11．计算化简（每小题 5分，计 20分）x 2 4x 2(x 9)；（ 1） 2 x x 2；（2）2x 3x2 3a 4 1 a 1；（ 4） a（3） a 2 a 1.2a 4a 4 a 1 a 2 a 112．请将下面的代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦！）代入求值：a 2 a 1 1.2a (a 1)2x 111 213.（10分）先化简，再求值,其中 x. 2x 2x 1 2x 2a x2bx 3 3 aba14．（10分）若关于 x 的方程的解是 x=2，其中 a b ≠ 0，求的值． b快速练习21.①若 9x kxy 16y 2k =是一个完全平方式，则；2②若三项式 x 8xy m 是一个完全平方式，则 m = . 2.已知 a 2 ab 5,ab b 222,那么 a b 2．2x(x y 2 xy) y(x 2 x y) 2 34、 (3x 2y) (3x y)(3x y)5、211 2 23b c 27、 2m 26、 2a b 2ab c；2mnmn4 2228.已知 x y 3， xy 2，求 x 2 y ，x y的值。

16.2.2分式的加减

延伸与拓展
链接一：甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地到乙地按v千米/时的速度行驶，若按(v+a)千米/ 时的速度行驶，可提前多少小时到达？ mn 3 n 链接二：若 n 4 ，则 m 的值等于（）
7 A. 4
4 B. 3
4 C. 7
3 D. 4
小结：谈谈本节课收获？
（1）分式加减运算的方法思路：
3x 4 x2 x 1 x 1
(2)
a2 b 2 2ab 练习1：（1） a b a b
x2 4 （2） x 2 x 2
ax ay 例2、 x y yx
2 xy 2 1 1 2 x 2 y 2 ( x y) ( y x )2
练习2、（1）
4x 4y ；(2) = x y yx
；
3 1 5 、、的最简公分母是（ 3） 4x 2x 6x
2m mn 2.计算的结果是（ 2m n n 2m
Ａ. ）
.
mn n 2m
Ｂ.
mn n 2m
3m n Ｃ. n 2m
3m n Ｄ. n 2m
3. 计算：
2
a b (3) a b a b ba x2 x 1 4 x (4) ( 2 2 ) 2 x 2x x 4x 4 x 2x
a b a b 2ab (5) ( 2 ) 2 a b a b (a b)( a b)
2 2
2
2
应用：
1.黑猫警长接到举报，A地有坏蛋在搞破坏活动，经分析有两条路都可从警察局到A地，每一条路都是3km，其中第一条是平路，第二条有1km的上坡路和2km的下坡路。黑猫警长在上坡路上的车速是v km/h，在平路上车速为 2vkm/h，在下坡路上的车速为3v km/h. （1）黑猫警长走第一条平路需要多长时间？你的依据是什么？

分式的加减法(一)

第四章分式3．分式的加减法（一）苏红伟总体说明本节安排两课时。

第一节课阐述同分母的分式加减法的运算法则及其应用，分母中只有符号不同的分式加减运算主要。

第二节课则阐述异分母的分式加减法的运算法则及分式的通分。

这样安排，给学生一个简单到复杂的推理过程，由于第一节的铺垫，使学生对分式的掌握并不觉得难，且本节对于第四章分式有着至关重要的作用，起到承上启下。

否则，会面临许多学生根据实际生活问题列出分式方程，却得不出正确答案的窘境，有着功亏一篑的遗憾。

一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在小学时已经学习过同分母分数的加减，异分母分数的加减运算法则，并且经历过用字母表示现实情境中数量关系的过程。

由此类比分式的加减，可以猜想分式的加减运算法则。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生经历过一些从实际问题建模的思想。

如小学的应用题以及七年级数学（上）的一元一次方程的应用。

它还与分数、分解因式、一元一次方程等有密切联系，因此可以加强知识之间的纵向联系。

二、教学任务分析分式是表示具体情境中数量的模型，为了体现这一点，教科书通过几个实际问题的提出，从而激发学生的兴趣，使学生产生解决这些问题的欲望。

它也是为后面一节分式方程作好铺垫。

知识与技能：1、同分母的分式的加减法的运算法则及其应用；2、简单的异分母的分式的加减法的运算；3、经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感；4、发展有条理的思考及其语言表达能力。

过程与方法：根据学生已有的经验，通过一些问题的提出。

诱发学生积极思考，或通过合作交流，引导学生自己解决问题，从而总结规律，采用的是启发与探究相结合的方法。

情感与态度：1、经历从现实情境中提出问题，提出“用数学”的意识。

2、结合已有的教学经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气。

三、教学重难点重点：同分母分式的加减法则难点：分母中只有符号不同的分式加减运算中的符号处理。

三、教学过程分析本节课设计了7个教学环节：提出问题——同分母加减——简单异分母加减——练习与提高——解决开始提出问题——课时小结第一环节提出问题活动内容问题一：某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄的3倍，设他手抄的速度为a 字/时，那么他录入3000字文稿比手抄少用多少时间？问题二：从甲地到乙地有两条路，每条路都是3 km，其中第一条路是平路，第二条路有1km的上坡路，2 km的下坡路。

人教版数学八年级上册学案15.2.2《分式的加减》(含答案)

15．2.2 分式的加减第1课时分式的加减学习目标：1．熟练地进行同分母的分式加减法的运算．2．会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减．预习阅读教材=，完成预习内容．知识探究观察思考：(1)15＋25＝35； (2)15－25＝－15； (3)12＋13＝36＋26＝56； (4)12－13＝36－26＝16. 同分母分数相加减，________不变，把分子________．异分母分数相加减，先________，再把________相加减．类比分数的加减，你能说出分式的加减法则吗？1．同分母分式相加减，________不变，把________相加减．用字母表示为：a c ＋b c ＝________；a c －bc＝________.2．异分母分式相加减，先________，变为________的分式，再________．用字母表示为：a b ＋c d ＝________；a b —cd ＝________.自学反馈1.y x ＋2x ＝________.2.5y －a y ＝________.3.a x ＋b y ＝________.4.2x 3m －x2n＝________.活动1 小组讨论例1.(1)课本问题3中的1n ＋1n ＋3＝2n ＋3n （n ＋3）.(2)课本问题4中的s 3－s 1s 2－s 2－s 1s 1＝s 1（s 3－s 1）－s 2（s 2－s 1）s 1s 2.例2.计算：(1)5x ＋3y x 2－y 2－2x x 2－y 2； (2)12p ＋3q ＋12p －3q .解：(1)原式＝5x ＋3y －2x x 2－y 2＝3x ＋3y （x ＋y ）（x －y ）＝3（x ＋y ）（x ＋y ）（x －y ）＝3x －y. (2)原式＝2p －3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）＋2p ＋3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）＝2p －3q ＋2p ＋3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）＝4p4p 2－9q 2.活动2 跟踪训练 1．计算：(1)x ＋1x －1x ； (2)a b ＋1＋2a b ＋1－3a b ＋1.2．计算：(1)12c 2d ＋13cd 2； (2)32m －n －2m －n （2m －n ）2； (3)a a 2－b 2－1a ＋b .点拨：1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式； 2．注意：过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式．课堂小结1．分式加减运算的方法思路：异分母相加减――→通分转化为同分母相加减――→分母不变分子（整式）相加减2．分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误．3．分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式)．第2课时分式的混合运算学习目标1．灵活应用分式的加减法法则． 2．会进行分式加减乘除混合运算．预习阅读教材“例7、例8”，完成预习内容．知识探究1．同分母的分式相加减，________不变，分子相加减．异分母的分式相加减：先________，化为____________，然后再按________分式的加减法法则进行计算．分式加减的结果要化为________．2．分数的混合运算顺序是________________________．类比分数的混合运算法则你能猜想出分式的混合运算顺序吗？试一试．分式的混合运算顺序是________________________．自学反馈计算：(1)1－3x 2y ÷3x 2y ·2y 3x ； (2)1＋1a －1－2a ＋1a 2＋a －2； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b 2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 5b ＋a 25b .点拨：严格按照计算顺序计算，在计算过程中，分式前面是“－”号时，计算时一定要注意符号变化．活动1 小组讨论计算：(1)(x 2y )2·y 2x －x y 2÷2y 2x ； (2)x ＋1x ·(2x x ＋1)2－(1x －1－1x ＋1)．解：(1)原式＝x 24y 2·y 2x －x y 2·x 2y 2＝x 8y －x 22y 4＝xy 38y 4－4x 28y 4＝xy 3－4x28y4. (2)原式＝x ＋1x ·4x 2（x ＋1）2－[x ＋1（x ＋1）（x －1）－x －1（x ＋1）（x －1）] ＝4x x ＋1－2（x ＋1）（x －1）＝4x （x －1）（x ＋1）（x －1）－2（x ＋1）（x －1）＝4x 2－4x －2（x ＋1）（x －1）.活动2 跟踪训练 1．计算：x ＋y ＋x 2＋y2x －y .2．先化简，再求值：x －y x ＋2y ÷x 2－y2x 2＋4xy ＋4y2－2，其中x ＝2.25，y ＝－2.点拨：在运算过程中，要注意分式乘方不要漏乘；加减计算要注意符号；和整数或整式相加减时注意把整式或整数看成分母是1的整式或整数，通分后再计算；化简求值，一定要换成最简分式再求值．课堂小结 1．“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减．在这里要注意分数线的作用．2．注意分式和分数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减．3．运算结果，能约分的要约分，要化成最简分式．课堂小练一、选择题1.化简的结果是（）A.x+1B.x﹣1C.﹣xD.x2.已知，则的值是（）A. B.﹣ C.2 D.﹣23.计算的正确结果是（）A.0B.C.D.4.计算：的结果为（）5.计算﹣a﹣1的正确结果是( )A．﹣ B． C．﹣ D．6.如图所示的分式化简，对于所列的每一步运算，依据错误的是( )A.①：同分母分式的加减法法则B.②：合并同类项法则C.③：提公因式法D.④：等式的基本性质二、填空题7.化简1x ＋3＋6x 2－9的结果是________．8.计算： += ．9.计算：﹣= ．10.= ．11.化简：= ．12.计算：﹣= ．13.计算： += ．14.计算的结果是___________15.计算：a a ＋2－4a 2＋2a=________.参考答案1.D ．2.D3.C4.A5.答案为：A ．6.答案为：D7.答案为：1x －3；8.答案为：x+1 9.答案为：1． 10.答案为:a ﹣3． 11.答案为：x+y.12.故答案为：．13.答案为：2 14.答案为：.15.答案为：a －2a。

分式的加减运算

分式的加减运算分式是数学中常见的一种运算形式，它由两个整数之间用横线分隔的表示方式构成。

分式的加减运算是指对两个分式进行相加或相减的操作。

在进行分式的加减运算时，需要注意分母的处理以及通分的方法。

下面将详细介绍分式的加减运算。

1. 分式的加法分式的加法是指在两个分式之间进行加法运算。

当两个分式的分母相同时，可以直接对分子进行相加，分母保持不变。

例如：a/b + c/b = (a + c)/b如果两个分式的分母不相同，需要进行通分处理，将分母转化为相同的值，再进行加法运算。

通分的方法一般是求两个分母的最小公倍数，然后将分子和分母同时乘以相应的倍数，使得两个分数的分母相同。

例如：a/b + c/d = (ad + bc)/(bd)2. 分式的减法分式的减法是指在两个分式之间进行减法运算。

与加法类似，当两个分式的分母相同时，可以直接对分子进行相减，分母保持不变。

例如：a/b - c/b = (a - c)/b如果两个分式的分母不相同，同样需要进行通分处理，将分母转化为相同的值，再进行减法运算。

例如：a/b - c/d = (ad - bc)/(bd)需要注意的是，通分后得到的分子可能还需要进行化简，即将分式中的分子和分母同时除以它们的最大公约数，使得分子和分母互质。

这一步是为了保证分式的最简形式。

综上所述，分式的加减运算需要根据分母是否相同来分情况进行处理。

如果分母相同，则直接对分子进行加减运算；如果分母不同，则需要进行通分处理后再进行运算。

同时，在运算过程中还需要注意对结果进行化简，使得分式保持最简形式。

通过掌握分式的加减运算规则和通分的方法，我们可以更加灵活地处理分式计算，解决实际问题中的运算需求。

在实际应用中，我们经常会遇到需要对分式进行加减运算的场景，如比例题、分数题等。

因此，熟练掌握分式的加减运算对于数学学习和日常生活都具有重要意义。

（以上为参考内容，具体表达可以根据实际情况进行修改）。

专题5.3分式的加减法运算(知识解读)

专题5.3 分式的加减法运算（知识解读）【学习目标】1. 类比分数的加减法运算法则，探究分式的加减法运算法则.2. 能进行简单的分式加、减运算.3. 掌握分式的加、减、乘、除混合运算.4. 掌握分式的化简求值.【知识点梳理】考点1：同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：. 注意：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.考点2：异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：. 注意：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.a b a b c c c ±±=a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±±=±=【典例分析】【考点1 同分母分式的加减】【典例1】（2017•湖北）化简：﹣．【解答】解：﹣＝＝＝【变式11】（2015•义乌市）化简的结果是（）A．x+1B．C．x﹣1D．【答案】A【解答】解：原式＝﹣＝＝＝x+1．故选：A．【变式12】（2020•淄博）化简+的结果是（）A．a+b B．a﹣b C．D．【答案】B【解答】解：原式＝＝＝＝a﹣b．故选：B．【变式13】（攀枝花）化简+的结果是（）A．m+n B．n﹣m C．m﹣n D．﹣m﹣n 【答案】A【解答】解：+＝﹣＝＝m+n．故选：A．【考点2 异分母分式的加减】【典例2】（2016•南京）计算﹣．【解答】解：﹣＝﹣＝＝．【变式21】（2015•百色）化简﹣的结果为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：原式＝﹣＝＝＝＝．故选：C．【变式22】（2019•济南）化简+的结果是（）A．x﹣2B．C．D．【答案】B【解答】解：原式＝+＝＝，故选：B．【变式23】（2016•甘孜州）化简：+．【解答】解法一：+＝+＝＝．解法二：+＝+＝+＝．【典例3】（2015春•扬州校级月考）计算（1）﹣（2）﹣（3）﹣x﹣1．【解答】解：（1）﹣＝＝＝﹣；（2）﹣＝﹣＝＝＝；（3）﹣x﹣1＝﹣＝＝．【变式31】（2019秋•石景山区期末）计算：﹣．【解答】解：原式＝+＝＝【变式32】（秋•南充期末）计算：﹣．【解答】解：原式＝﹣，＝，＝，＝，＝．【变式33】（2020•鼓楼区一模）计算．【解答】解：原式＝＝＝＝【考点分式化简】【典例4】（2016•聊城）计算：（﹣）．【解答】解：原式＝•＝•＝﹣．【变式41】（2021•碑林区校级一模）化简：（﹣）÷．【解答】解：原式＝[﹣]÷＝÷＝•＝．【变式42】（2020秋•潍城区期中）计算：（1）；（2）；（3）．【解答】解：（1）原式＝•＝＝；（2）原式＝﹣＝＝；（3）原式＝•+＝+＝＝．【变式43】（2021•金州区校级模拟）计算：÷﹣1．【解答】解：原式＝•﹣1＝﹣＝．【变式44】（2020秋•华龙区校级期中）计算（1）；你（2）．【解答】解：（1）原式＝﹣•＝﹣＝＝；（2）原式＝÷＝•＝．【典例5】（2021秋•北碚区校级期中）先化简再求值：÷（x﹣1+），其中x＝2．【解答】解：原式＝÷＝÷＝•＝，当x＝2时，原式＝1【变式5】（2021秋•雨花区校级月考）先化简，再求值：，其中a＝2022．【答案】﹣．【解答】解：原式＝（）÷＝（）×＝＝﹣．当a＝2022时，原式＝﹣＝﹣．【典例6】（2021•射阳县二模）先化简，再求值：（）÷，其中x从1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．【答案】1【解答】解：原式＝[]＝＝＝，∵x（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠0且x≠±1，∴x可以取2或3，当x＝2时，原式＝，当x＝3时，原式＝＝1．【变式6】（2022•牟平区校级开学）化简求值：，再从﹣1≤x ＜2中选一个整数值，对式子进行代入求值．【解答】解：原式＝÷＝•＝﹣，∵﹣1≤x＜2且x为整数，∴x＝﹣1，0，1，2，当x＝1时，原式没有意义，舍去；当x＝﹣1时，原式＝；当x＝0时，原式＝1；当x＝2时，原式＝﹣．【典例7】（2021•潍城区二模）先化简，再求值：（﹣）÷（x+2﹣），其中x是不等式组的整数解．【解答】解：原式＝[+]÷[﹣]＝（+）÷（﹣）＝÷＝•＝，由，解得：﹣1＜x≤2，∵x是整数，∴x＝0，1，2，由分式有意义的条件可知：x不能取0，1，故x＝2，∴原式＝＝2．【变式7】（2021•苍溪县模拟）先化简：，再从不等式组的解集中取一个合适的整数值代入求值．【解答】解：原式＝＝＝2（x+1）﹣（x﹣1）＝2x+2﹣x+1＝x+3．解不等式组，得﹣3＜x≤1．由分式有意义的条件可知：x不能取﹣1，0，1，且x是整数，∴x＝﹣2．当x＝﹣2时，原式＝1．【典例8】（2021秋•兴宁区校级月考）先化简，再求值：，其中a满足a2+2a﹣3＝0．【解答】解：原式＝•＝•＝•＝2a（a+2）＝2（a2+2a），∵a满足a2+2a﹣3＝0，∴a2+2a＝3，当a2+2a＝3时，原式＝2×3＝6．【变式8】（2021秋•沭阳县校级月考）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x2﹣x﹣6＝0．【解答】解：原式＝[﹣]÷＝•＝•＝•＝，∵x2﹣x﹣6＝0，∴x＝3或x＝﹣2，由分式有意义的条件可知：x不能取﹣2，故x＝3，∴原式＝＝﹣．。

分式加减法课件

分式的加减
分式加减法
问题一
某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄的3倍，设他手抄的速度为a字/时，那么他录入3000字文稿比手抄少用多少时间？
3000 3000 a 3a
分式加减法
问题二帮帮小明算算时间
从甲地到乙地有两条路,每一个条路都是 3km. 其中第一条是平路,第二条有1km的上坡路, 2km的下坡路.小明在上坡路上的骑车速度为v km/h, 在平路上的骑车速度为2 vkm/h, 在下坡路上的骑车速度为3vkm/h, 那么:
A
C
D
分B式加减法
解：因为
1 1 1 1 1 R R1 R2 R1 R1 50
R150 R1
R1R150 R1R150
2R1 50
R1 R1 50
即
1 2R1 50
R R1 R1 50
所以 RR1R150R1250R1
2分式R加1减法 50 2R150
再来试试
例4
计算:
2ba2
3000 3000如何计算呢？ a 3a
这就需要我们进一步学习：
16.2.2分式的加减
分式加减法
17等于什么呢？ 44
1．这是小学数学的同分母分数相加，那么你能说说同分母分数相加的加法法则吗？ 2．同分母分数相加，分母不变，分子相加．
分式加减法
想一想
会分数的加减，就会分式的加减
1．同分母分数加减法的法则如何叙述？如 :
1 5
2 5
?
2．你认为
1 a
2 a
?
3．猜一猜，同分母的分式应该如何加减?
【同分母的分数加减法的法则】同分母的分数相加减，
分母不变,分子相加减.

分式方程加减法

第五章分式与分式方程分式的加减法（一）一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在小学时已经学习过同分母分数的加减，异分母分数的加减运算法则，在初一学习了整式的加减，在上一章学习了因式分解，本章又学习了分式及其乘除，都为这一节课的学习做好了铺垫。

由分数加减运算类比分式的加减是这节内容的要害。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生经历过许多类比和猜测的活动，如实数的加减运算类比整式的合并同类项；由n10在0<nn时的值的情况去猜测0>时的情况，由正整数相乘去发现规律猜测与负整数的乘法等，这些活动经验都为本节学习有很好的启迪。

二、教学任务分析同分母分式的加减法是最简单的，也是学习异分母的分式加减的基础，所以作为起始节也是工具节内容，它就要求教学时务必使学生理解它并且能够灵活运用，对分母互为相反式的分式加减，能明白改变运算符号的实质。

因此，本节课的教学目标定位为：1、类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则。

2、理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算。

3、通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想。

三、教学过程设计本节课设计了6个教学环节：情景引入——同分母加减——练习巩固——拓展提高——课堂小结——布置作业第一环节情景引入活动内容做一做：=+3231 =-7271 =+8381 =-125127 猜一猜=+a a 21 =-x x 12 =+bb 2523 =-y y 3437 活动目的：通过做一做的几道同分母分数加减的题，引导学生用类比的思想，猜一猜同分母分式的加减运算，并试图让学生认识其合理性。

从而抛出同分母分式加减法的运算法则，点明本节课的主要内容。

活动的注意事项：通过人人都可以入手的做一做，让学生回答，可以使学生很快进入状态又不觉得困难。

而后两个运算后要约分，学生极有可能报出没有约分的答案。

第五章第03讲分式的加减法(10类热点题型讲练)(解析版)--初中数学北师大版8年级下册

第03讲分式的加减法(10类热点题型讲练)1.熟练掌握同分母的分式加减运算；2.会找最简公分母，能进行分式通分，理解并掌握异分母分式的加减法则；3.能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值.知识点01分式的通分分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值。

具体步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数;③分子对应扩大相同倍数.知识点02最简公分母最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．知识点03同分母分式的加减同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：a c a cb b b±±=．知识点04异分母分式的加减异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=．注意：分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似.知识点01平面向量基本定理知识点02平面向量的坐标表示知识点03平面向量的坐标运算题型01同分母分式加减法题型02最简公分母题型03通分题型04异分母分式加减法题型05整式与分式相加减题型06已知分式恒等式，确定分子或分母【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是掌握分式加法的运算法则．【变式训练】题型07分式加减混合运算题型08分式加减的实际应用【点睛】本题主要考查了分式加减的应用，解题的关键是根据题意列出分式，熟练掌握分式加减运算法则，准确计算．【变式训练】题型09分式加减乘除混合运算题型10分式化简求值一、单选题1．（23-24八年级上·天津红桥·期末）计算2111x x x x --++的结果是（）A ．1B ．1x +C ．11x +D ．1x x +2．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）分式22x x -，36x -的最简公分母是（）A ．2x -B ．()2x x -C ．()()323x x --D ．()32x x -【答案】D【分析】本题考查了最简公分母，先因式分解取系数的最小公倍数，字母的最高次幂，1，3的最小公倍数为3，x 的最高次幂为1，2x -的最高次幂为1，则得出最简公分母．A ．2222233y y x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．110x y y x-=--C ．3263x x y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D ．()111333x y x y +=+将这些防护服尽快投入使用，增加了人手，最后平均每天比原计划多生产了60套，则工厂完成这个订单的时间比原计划提前（）A ．60x x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭天B ．60x x y y ⎛⎫- ⎪+⎝⎭天C ．60x x y y ⎛⎫-⎪-⎝⎭天D ．60x x y y ⎛⎫-⎪-⎝⎭天5．（23-24九年级下·湖北武汉·开学考试）已知2220x x --=，计算2121-⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭x x x x x x 的值是（）A ．1B ．1-C ．0.5D ．0.5-二、填空题6．（2023八年级下·江苏·专题练习）计算：221b a b a b+=-+．7．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）将分式29-a 和93a-进行通分时，最简公分母是【答案】()()333a a -+-【分析】本题考查了分式的通分；先对分式的分母进行因式分解，然后即可确定它们的最简公分母．【详解】解：∵()()2933a a a -=+-，()9333a a -=--，∴最简公分母是()()333a a -+-，故答案为：()()333a a -+-．8．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若2574515x A Bx x x x -=+--+-，A ，B 为常数，则2A B -的值为．9．（2024八年级下·全国·专题练习）小刚在化简22a b M--时，整式M 看不清楚了，通过查看答案，发现得到的化简结果是1a b-，则整式M 是．和，多次重复进行这种运算的过程如下：则第2024次运算的结果2024y =．（用含字母x 的式子表示）三、解答题11．（22-23八年级上·山东济宁·阶段练习）通分：(1)235a b c 与2710c a b；(2)22x x +与21x x-．(1)2111x x x -++；(2)24411a a a a a a -+⎛⎫-÷⎪--⎝⎭．(1)2m n m n n m m n n m -++---(2)22211111 m m mmm m-+-⎛⎫÷--⎪-+⎝⎭14．（23-24八年级上·全国·课时练习）计算：(1)22211x x x -++；(2)3a b a b a b b a -+---；(3)2243164x x+--；(4)222a a a ---．(1)211y y y ---；(2)2221111x x x +--+-；(3)21613962x x x x------；(4)2()a b a b a b+--+．16．（2024九年级下·山东·专题练习）下面是某同学计算11a a ---的解题过程：解：211a a a ---()-=---22111aa a a ……………………①()2211a a a --=-………………………②2211a a a a -+-=-………………………③111a a -==-．……………………………④上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．17．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）先化简，再求值：111x x x x x -+⎛⎫÷-+ ⎪++⎝⎭，请从1-，0或2中选择你喜欢的一个数代入求值．18．（22-23八年级下·辽宁本溪·阶段练习）先化简，再求值：111x x x ++⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，其中()1013.142x π-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭形式，那么称这个分式为“美好分式”，如：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----，则11x x +-是“美好分式”．(1)下列分式中，属于“美好分式”的是______；（只填序号）①6325x x +；②232x x +；③33x x +；④24321x x +-．(2)将“美好分式”2221x x x -+-化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；(3)判断2251117x x x x x x x---÷+-的结果是否为“美好分式”，并说明理由．形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：514144111111x x x x x x x x ++++==+=++++++，则51x x ++是“和谐分式”．(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是（填序号）；①23x x+；②21x x +；③21x x +-．(2)将“和谐分式”2472y y y -+-化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；(3)应用：先化简22321112a a a a a a a-+--÷--，并回答：a 取什么整数时，该式的值为整数？3a ∴=，3a ∴=时，该式的值为整数．。

分式加减法(第2课时)

7 12
72 12 2
14 24
1 1 3 3 8 83 24
4 12 8
32
最简公倍数： 4×3×2=24
类比分数，怎样把分式通分呢？
素养目标
2. 会运用异分母的分式加减法则进行异分母分式的加减运算. 1. 会确定几个分式的最简公分母，并根据分式的基本性质进行通分.
探究新知
知识点 1 最简公分母
x3 x3 (x 3（ ) x 3)
6 x2 9
（3） a
2a 2
4
-
1 a2
（a
2a 2)( a
2)
-
1 a2
（a
2a 2)( a
2)
-（a
a2 2)(a
2)
（a2a（ -2)a(a22) )
（a2a2-)(aa-
2
2)
（a
a-2 2)( a
2)
1 (a 2)
探究新知
注意： 1.分子要做为一个整体参与运算，注意符号问题 2.最后结果为最简分式，也就是分子分母不能含有公因式
2x2 10x x2 25
3x 3x x 5 x 5 x 5 x 5
3x2 15x x2 25
探究新知
先通分，再计算：
（1）3 +
a
a 15 （2） 1 -
5a
x3
x
1
3（3）a
2a 2
4
-
1 a2
5a
15 + a 15
5a
5a
转（x-3)(x+3) 化 x3
（x 3)( x 3)
=
__-__2_(_x_1__2_)__；
( 4 ) 1-1-1x = __-_1_-x_x____.

分式的加减法

例5计算:
2
再来试试
2
2a 1 a b b a b b 4
4a 1 a 4 解：原式 2 b a b b b
4a 4a 4a 4a ( a b) 2 2 2 2 b ( a b) b b ( a b) b ( a b)
：阅读下面题目的计算过程。
= x 3 2 x 1 = x 3 2x 2 = x 1
（1）上述计算过程，从哪一步开始错误，请写上该步的代号（2）错误原因（3）本题的正确结论为
m n 3 则 n 的值等于（） 1、若 C m n 4
7 A. 4
4 B. 3
注意:
9m 1 (2) 2 m 9 3 m
(1)分母是多项式时，一般需先分解因式
(2)分子为多项式时，运算要加括号
(3) 结果能约分的要化简
a2 思考题：计算 a b a b
分析:
解法1：把-a ，-b看成两个单项式，分母分别是1
a a a b a b a b a b 1 1
10bc 8ac 9ab 解：原式= 2 2 2 2 2 2 12 a b c 12 a b c 12 a b c
10bc 8ac 9ab 2 2 12 a b c
例题解析
例 3
解：1) (
吃透例题 , 成功一半
1 1 x3 x3 x3 x3 x -3 ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3)
2
计算：
x 4 (1) x2 x2 x 2 x 1 x 3 (2) x 1 x 1 x 1
2
注意:分数线有括号的作用，分子相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，要注意添括号，再运算，可减少出现符号错误。

《分式的加减》专题练习(含答案)

《分式的加减》专题练习专题一寻找规律，进行特殊的分式加减运算1.化简：2411241111x x x x ----+++.2.先观察下列等式，然后用你发现的规律解答问题．第1个等式：a 1=311⨯=21×（1﹣31）；第2个等式：a 2=531⨯=21×（31﹣51）；第3个等式：a 3=751⨯=21×（51﹣71）；第4个等式：a 4=971⨯=21×（71﹣91）； ……请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a 5= = ；（2）用含有n 的代数式表示第n 个等式：a n = = （n 为正整数）；（3）求a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100+a n 的值．专题二整体代换思想3.已知115a b -=，求2322a ab b a ab b +---的值.专题三分式加减法的实际应用【知识要点】1.同分母的分式加减法法则同分母的两个分式相加（减），分母不变，把分子相加（减）.A C A CB B B±±=. 2. 异分母的分式加减法法则异分母的两个分式相加（减），先通分，化为同分母的分式，再相加（减）.A C AD BC AD BCB D BD BD BD±±=±=. 3.分式的混合运算分式的混合运算顺序:先算乘除，再算加减；如果有括号，要先算括号里的.【温馨提示】1.解分式混合运算题时，要注意：(1)运算顺序；（2）注意符号；（3）能运用运算律时，用运算律进行简便运算.2.运算的结果一定要化成最简分式或整式.【方法技巧】进行分式的加减运算时：（1）若一个分式的分母可以分解因式，应先分解因式，以便于寻找最简公分母和通分；（2）当算式中出现整式时，应将整式当成一个整体，看作是分母为1的“分式”，再通分变形.参考答案1.解：原式=241124(1)(1)(1)(1)11x x x x x x x x +----+-+-++ =224224111x x x ---++=224442(1)2(1)4111x x x x x +-----+=444411x x --+ =44884(1)4(1)11x x x x +----=881x -. 2.解：（1）1911⨯ 111()2911⨯- （2）1(21)(21)n n -+ 12×11()2121n n --+ （3）a 1+a 2+a 3+a 4+…+a n =12×（1﹣31）+21×（31﹣51）+21×（51﹣71）+21×（71﹣91）+…+21×112121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭ =12（1﹣31+31﹣51+51﹣71+71﹣91+…+112121n n --+） =12（1﹣121n +）=12×221n n +=21n n +． 3.解：因为115a b -=，即5b a ab-=，所以5a b ab -=-.故 2322()32()2a ab b a b ab a ab b a b ab +--+=----=2(5)371(5)27ab ab ab ab ab ab-+-==---.。

5.4分式的加减课件3(数学浙教版七年级下册)

• 【异分母的分数加减的法则】
先通分，把异分母分数化为同分母的分数，然后再按同分母分数的加减法法则进行计算。
异分母分式加减法法则与异分母分数加减法的法则类似
你能进行下面的计算吗？
3 1 a 4a 1 1 a b b b 2 2a a
把分母不相同的分式化成分母相同的分式，叫做通分.
思考：当分式的分母都是多项式时，怎样找最简公分母？
能分解因式的先分解因式，然后把每个因式看成一个整体，找出它们的公分母.
例 1
计算:
7 1 （ 1 ） 2 6 x y 3xy 2
x x （2） x3 x2
x2 （3）x 2 x2
计算:
b2 c （ 1 ） 2 4a a
思考
如何进行通分？
1.系数的最小公倍数； 2.所有字母的最高次；
探究活动一：找出下列各式的最简公分母.
y x 1 (1). , 2 , 2 x 3 y 4 xy
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1 1 ( 2). , x3 x3
1 1 ( 3). 2 , a 4 a2
5 3 (4). , 2 x y ( x y)
相加减
相加减
（2）分子相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误。（3）分式加减运算的结果要约分，化为最简分式（或整式）。
数学乐园
x2 4x 1 有一道题" 先化简，再求值： ( 2 ) 2 , x2 x 4 x 4 其中x 3 “" , 小强做题时把 " x 3" 错抄成" x 3"，但他的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？

分式的加减(一)

•
在物理学上的应用 1欧姆,又知在图的电路中,已测定CAD支路的电阻是R
1 2
CBD支路的电阻R2比R1大50欧姆,根据电学的有关定律可知总电阻R与R1R2满足关系式 , 1 1 1 试用含有R1的式子表示总电阻R R R R
A C D
B
帮帮小明算算时间
从甲地到乙地有两条路,每一个条路都是 3km. 其中第一条是平路,第二条有1km的上坡路 , 2km的下坡路.小明在上坡路上的骑车速度为v km/h, 在平路上的骑车速度为2 vkm/h, 在下坡路上的骑车速度为3vkm/h, 那么: (1)当走第二条路时, 他从甲地到乙地需要多长时间? (2)他走哪条路花费时间少? 示意图少用多长时间? v 答: (1) 1 2 ( h) v 3v
做一做
x 4 ? x 4 x 2x 2 x 2 (1) x2 x2 x2 x2
2
2
x 2 x 1 x 3 ? x 2 x 1 x 3 ( 2) x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x . x 1
x y x y （ 1） xy xy xy yx
2 2
2
2
x y xy
2
2
xy
( x y )( x y ) xy
1 2 1 2 2 （ 2） a 1 a 1 a 1 1 a2 1 2 a 1 （a 1）（a
分析
2a a 2 (a 2)( a 2) a2 (a 2)( a 2) 1 . a 2
其中 (a-2)恰好为第二分式的分母. 所以 (a+2)(a-2) 即为最简公分母.

分式的加减乘除混合运算

例2.计算：
1.
2 3x
x
2
y
x y 3x
x
y
x
x
y
分析与解：
巧用分配律
原式
2 3 x
x
2
y
x y 3x
(x
y )
•
x
x
y
2 3x
2
1 3x
1
•
x
x
y
2• x x y
2x x y
2.
(m
2
n)3
1 m
1 n
m2
1 2mn
n2
1 m2
1 n2
mn
m3n3
例1.(1) ( a 2b )3 •（ c ）2 • ( bc )4 c ab a
解：(1)原式 (a 2b)3 • c2 • (bc)4
(c)3 (ab)2
a4
分子、分母分别乘方
a6b3 c2 b4c4 ••
c3 a2b2 a4 b5c3
（2）( a
b)3
a2 (
b2
)2
2a
ab3
分析与解：原式
(m
2
n)3
mn mn
(m
1
n)2
m2 m
n2 n2 2
m3n3 mn
(m
2
n)2
1 mn
(m
1
n)2
m2 n2 m2n2
m3n3 mn
2mn m2 n2 mn (m n)2 (m n)2 m n
2mn m2 n2 mn (m n)2 m n mn
(a b)3 • a2b6 8a3 (a2 b2 )2

分式的运算(含答案)

分式的运算【知识精读】1. 分式的乘除法法则；当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。

2. 分式的加减法（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。

求最简公分母是通分的关键，它的法则是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。

（2）同分母的分式加减法法则（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。

3. 分式乘方的法则（n为正整数）4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。

学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。

下面我们一起来学习分式的四则运算。

【分类解析】例1：计算的结果是（）A. B. C. D.分析：原式故选C说明：先将分子、分母分解因式，再约分。

例2：已知，求的值。

分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。

解：原式例3：已知：，求下式的值：分析：本题先化简，然后代入求值。

化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。

最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。

这是解决条件求值问题的一般方法。

解：故原式例4：已知a、b、c为实数，且，那么的值是多少？分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。

解：由已知条件得：所以即又因为所以例5：化简：解一：原式解二：原式说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。

2022年《分式的加减》教案 (省一等奖)

15．2．2分式的加减〔一〕一、教学目标：〔1〕熟练地进行同分母的分式加减法的运算.〔2〕会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减. 二、重点、难点1．重点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 2．难点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 三、教学过程：〔一〕板书标题，呈现教学目标：〔1〕熟练地进行同分母的分式加减法的运算.〔2〕会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减. 〔二〕引导学生自学：阅读P15-16练习，并思考以下问题:1．分数的加减运算法那么是什么？分式的加减运算法那么又是什么？ 2．异分母的分式加减法的一般步骤是什么？8分钟后，检查自学效果〔三〕学生自学，教师巡视：学生认真自学，并完成P16练习〔四〕检查自学效果：1．学生答复老师所提出的问题 2．学生答复P16练习〔五〕引导学生更正，归纳： 1．更正学生错误；2．P16例6. 第〔1〕题是同分母的分式减法的运算，分母不变，只把分子相减，第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子是多项式时，第二个多项式要变号的问题，比拟简单；第〔2〕题是异分母的分式加法的运算，最简公分母就是两个分母的乘积.[分析] 第〔1〕题是同分母的分式加减法的运算，强调分子为多项式时，应把多项事看作一个整体加上括号参加运算，结果也要约分化成最简分式.[分析] 第〔2〕题是异分母的分式加减法的运算，先把分母进行因式分解，再确定最简公分母,进行通分，结果要化为最简分式. 3．进行异分母的分式加减法的运算是难点，异分母的分式加减法的运算,必须转化为同分母的分式加减法，，然后按同分母的分式加减法的法那么计算，转化的关键是通分，通分的关键是正确确定几个分式的最简公分母，确定最简公分母的一般步骤：〔1〕取各分母系数的最小公倍数；〔2〕所出现的字母(或含字母的式子)为底的幂的因式都要取；〔3〕相同字母(或含字母的式子)的幂的因式取指数最大的.在求出最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母所得的商.4．异分母的分式加减法的一般步骤：〔1〕通分，将异分母的分式化成同分母的分式；〔2〕写成“分母不变，分子相加减〞的形式；〔3〕分子去括号，合并同类项；〔4〕分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式. 〔六〕课堂练习 1．计算：〔1〕〔2〕〔3〕2．计算：〔1〕〔2〕 111---x x x b a ab b a a +++2329122---m m aa a a a a a a a 2444122222--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+----+)225(423---÷-+x x x x作业：1．习题15.2第4，5题〔A本〕2．?感悟?P8-9分式的加减〔一〕3．预习P17-18练习[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。

湘教版八年级数学上册《分式的加法和减法》知识全解

《分式的加法和减法》知识全解课标要求：掌握分式的加减法法则，并能熟练地进行分式的加减法运算，能根据多级运算顺序，熟练地进行分式的综合运算。

知识结构：内容解析：一、同分母分式的加减法法则：分母不变，分子相加减。

同分母分式相加减的一般步骤：1．分母不变，分子相加减，如果分子是多项式，那么添括号后相加减。

2．分子去括号，注意去掉括号前面的“－”号后，括号内的各项要变符号。

3．分子合并同类项。

4．约分，把结果化成最简分式或整式。

注意：（1）同分母分式相加减，分母不变，只需将分子作加减运算，但注意每个分子是整体，要适时添括号。

（2）对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分。

二、异分母分式的加减法法则：异分母分式的加减法，先通分化为同分母的分式，然后相加减。

异分母分式的加减法步骤：1．正确地找出各分式的最简公分母；2．准确地得出各分式的分子，分母应乘的因式；3．通分后，进行同分母分式的加减运算；4．公分母保持积的形式将各分子展开；5．将得到的结果化为最简分式。

注意：（1）异分母分式的加减运算，首先观察每个分式是否是最简分式，能约分的先约分，使分式简化然后再通分，这样可使运算简化。

（2）作为最后的结果，如果是分式，那么应该是最简分式。

三、分式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算应从左到右依次进行；如果有括号，先算括号内的，如果有多重括号，一般由内向外依次进行。

正确进行分式的混合运算，理清以下各要点：（1）分清运算级别，按照运算顺序“从高到低，从左到右，括号从小到大”的规定进行。

（2）将各分式的分子、分母分解因式后再进行运算。

（3）遇到除法运算的时候，可以先化成乘法运算。

（4）注意处理好每一步运算中遇到的符号。

（5）最后结果要注意化简。

（6）在运算过程中，每进行一步都要检验一下，不要到最后才检验。

重点、难点：本节的重点是：分式的加减运算，熟练地进行分式的混合运算。

第19讲分式的加减及综合计算(解析版)

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1第19讲分式的加减及综合计算模块一：分式的加、减法一、同分母的分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．二、异分母的分式加减法法则：（1）通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分，这几个相同的分母叫做公分母．（2）异分母分式加减法法则：分母不同的几个分式相加减，应先进行通分，化成同分母分式后再进行加减运算，运算结果能化简的必须化简．【例1】计算：（1）x yx y x y ---；（2）211a ab ab+-．【答案】（1）1；（2）b2．【解析】本题主要考查同分母的加减法，注意计算结果一定要是最简分式．【例2】化简22x y y x y x---的结果是（）A 、x y--B 、y x-C 、x y-D 、x y+【答案】A【解析】本题主要考查同分母的加减法，注意结果为最简分式．【例3】计算：（1）22x x+；（2）31269x x+．【答案】（1）x x 242+；（2）321843x x +【解析】（1）222442222x x x x x x x++=+=；（2）22333312343469181818x x x x x x x++=+=．【总结】本题主要考查异分母分式的加减法．【例4】计算：（1）a b b c ab bc++-；（2）2212y x x x y y -+-．【答案】（1）ac ac -；（2）22232242xy x x y x y +-+．【解析】（1）()()()c a b a b c b c a a b b c ca cb ab ac c aab bc abc abc abc abc ac++-+++----=-===；（2）()323222222222121224222222x x y x x y x y y x y x x x y y xy xy xy xy--+-++-=+-=．【总结】本题主要考查异分母分式的加减法，注意结果要化为最简分式．【例5】计算：（1）23(3)3x xx x ---；（2）2216322a a a a a --++--．【答案】（1）()223x x -；（2）4102--a a ．【解析】（1）23(3)3x x x x ---()()2233(3)3x x x x x -=---2233(3)x x x x -+=-22(3)x x =-；（2）2216322a a a a a --++--()()()()161221a a a a a -=-++-+()()()()()()()()()1262122122a a a a a a a a a --+=-++-++-()()()232612122a a a a a a -+--=++-原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3()()()2910122a a a a a --=++-()()()()()101122a a a a a -+=++-()()1022a a a -=+-2104a a -=-．【总结】当分式的分母是多项式时，要先分解因式，再按照相应法则进行加减运算．【例6】某同学爬一楼梯，从楼下爬到楼顶后立刻返回楼下．已知该同学上楼速度是a 米/分，下楼速度是b 米/分，求他上、下楼的平均速度．（用含a 、b 的代数式表示）【答案】b a ab+2．【解析】b a ababb a b a +=+=+22112．【总结】本题要注意速度等于路程除以时间，不要简单的求两个速度的平均数．模块二：分式的综合计算一、分式的综合运算：与分数的混合运算类似，先算乘除，再算加减，如果有括号，要先算括号内的．【例7】计算：a b a bb a a +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的结果为（）A 、a b b-B 、a b b+C 、a ba-D 、a b a+【答案】A【解析】原式=bba b a a ab b a -=+⋅-22．【总结】本题在计算时，注意按照运算顺序进行，有括号先算括号里面的．【例8】计算：262393m m mm ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷ ⎪ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果为（）A 、1B 、33m m -+C 、33m m +-D 、33m m +【答案】A【解析】原式=()()1333233363=+++=-⋅+--+mm m m m m m m ．【总结】本题依旧考查的是分式的混合运算，注意先乘除后加减．【例9】计算：（1）22211()()a b ab a b b a a b a b--÷-+--；（2）2284111[(1)(442a a a a+-⋅-÷--．【答案】（1）ab a b -+；（2）22+-a a ．【解析】（1）22211((a b ab a b b a a b a b--÷-+--()()()()()()()()2()a a b b a b ab b a a b a b a b a b a b a b ab ab ⎡⎤-+=+-÷-⎢⎥+-+-+-⎢⎥⎣⎦()()222a ab ab b ab ab a b a b b a -++-=⋅+--()()()2a b ab a b a b b a-=⋅+--ab a b=-+；（2）2284111[(1)()]442a a a a+-⋅-÷--()()284421[((224422a a a a a a a a a +=-⋅-÷-+-()()()228212242a aa a aa -=-⋅⋅+--412a =-+22a a -=+．【总结】本题主要考查分式的混合运算，在计算时一方面注意法则的准确运用，一方面注意方法的灵活．【例10】已知320a b -=，求下式的值：(1)(1b a b a a a b a a b+-÷---+．【答案】-5．【解析】∵320a b -=，∴23=a b ，2-=-b a a ，52=+b a a ．∴(1)(1b a b a a a b a a b +-÷---+332121225⎛⎫⎛⎫=++÷-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5=-．【总结】本题主要是利用分式的性质，通过整体代入的思想求值，另外本题也可以通过分式的混合运算，算出分式的最终结果之后再求值．【例11】化简：11111(1)(2)(2)(3)(99)(100)a a a a a a a ++++------- ．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5【答案】()()99199---a a 【解析】11111(1)(2)(2)(3)(99)(100)a a a a a a a ++++------- 1111111=1213210099a a a a a a a +-+-++-------- 1100a =-．【总结】本题主要是类比分数的拆项的思想来求解，注意方法的恰当选择．1.(2022秋黄浦七年级期末真题)12-的结果是（）A ．12B ．12-C ．2D ．2-【答案】A【分析】根据负整数指数幂法则即可得．【详解】解：1122-=，故选：A ．【点睛】本题考查了负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题关键．2.(2022秋浦东新区七年级期末真题)如果2210a a --=，那么代数式242aa a a ⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭的值是（）A ．3-B ．1-C ．1D ．3【答案】B【分析】先化简所求的式子，再根据2210a a --=，可以得到221a a -=-，然后代入化简后的式子即可．【详解】解：242aa a a ⎛⎫-⋅⎪+⎝⎭2242a a a a -=⋅+()()2222a a a a a +-=⋅+()2a a =-22a a =-，2210a a --= ，221a a ∴-=-，∴原式1=-，故选：B ．【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键．3.计算23111b b b a a a +-+++的结果是（）A ．0B ．61b a +C ．()3361b a -+D ．1b a -+【答案】A【分析】根据分式的混合运算法则即可求解．【详解】解：23111b b b a a a +-+++231b b b a +-=+0=，故选：A ．【点睛】本题主要考查分式的混合运算，掌握同分母分式的加减法运算法则是解题的关键．4.(2022秋黄浦七年级期末真题)已知244A x =-，1122B x x=++-，其中2x ≠±，下列说法正确的是（）A ．A B=B ．A ，B 互为倒数C ．A ，B 互为相反数D ．以上均不正确【答案】C【分析】把A 、B 先分别化简，然后观察比较．【详解】∵B=222111122442222444x x x x x x x x x ----+=-===-+-+----，且A=244x -，∴A 、B 互为相反数，故选C ．【点睛】本题考查分式的加减运算，这类题通常的解题思路是将A 、B 两个式子分别先化简，然后再根据化简的结果进行分析判断，得出结论.5.(2022秋徐汇区七年级期末真题)如图是嘉琪进行分式计算的过程，下列判断不正确的是（）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7A ．第二步运用了分式的基本性质B ．从第三步开始出现错误C ．原分式的计算结果11x -D ．当1x =时，原分式的值为0【答案】D【分析】根据分式的混合运算法则和分式有意义的条件即可解答．【详解】解：第二步将11x +变为()()()111x x x -+-，即分式的分子和分母同时乘()1x -，是运用了分式的基本性质，故A 正确，不符合题意；第三步分式相减时，把分母减没了，出现错误，故B 正确，不符合题意；从第三步开始，正确的计算如下，()()2(1)11x x x x --=+-…………第三步()()111x x x +=+-…………第四步11x =-…………第五步．∴原分式的计算结果为11x -，故C 正确，不符合题意；当1x =时，原分式没有意义，故D 错误，符合题意．故选D ．【点睛】本题考查分式的化简求值．掌握分式的混合运算法则和分式的分母不能为0是解题关键．6.(2022秋青浦区七年级期末真题)计算312112a a a a++--的结果是（）A ．1B ．1-C ．2121a a +-D ．4121a a +-【答案】A【分析】根据同分母分式减法计算法则求解即可．【详解】解：312112a a a a++--312121a a a a +=---3121a a a --=-2121a a -=-1=，故选A ．【点睛】本题主要考查了同分母分式减法，正确计算是解题的关键．7.(2022秋浦东新区七年级期末真题)计算211a a a a ++++的结果是（）A ．1a a +B ．21a a ++C ．3D ．2【答案】D【分析】根据同分母分式加法计算法则求解即可．【详解】解：211a a a a ++++21a a a ++=+221a a +=+()211a a +=+2=，故选D ．【点睛】本题主要考查了同分母分式加法，熟知相关计算法则是解题关键．8.(2022秋徐汇区七年级期末真题)计算12x x+=_____．【答案】3x【分析】根据同分母分式相加，分母不变，只把分子相加，进行计算即可．【详解】解：123x x x+=，故答案为：3x．【点睛】本题要考查了同分母分式的加法，解题的关键是掌握：同分母分式相加，分母不变，只把分子相加．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！99.化简分式2422x x x ---的结果为______．【答案】2x +/2x+【分析】根据分式的减法法则进行计算．【详解】2422x x x ---242x x -=-()()222x x x +-=-2x =+，故答案为：2x +.【点睛】本题考查了分式的减法，正确的计算是解题的关键．10.(2022秋民办华育七年级期中真题)化简22m n mn n m m m ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭的结果为______．【答案】1m n-【详解】解：22m n mn n m m m ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭222m n m mn n m m m ⎛⎫--=÷- ⎪⎝⎭222m n m mn n m m--+=÷()2m n mm m n -=⨯-1m n=-故答案为：1m n-【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算顺序和法则是解题的关键．11.已知50x y --=，则11⎛⎫-÷ ⎪-++⎝⎭yx y x y x y 的值为______．【答案】25/0.4【分析】先将括号里面的通分，将除法转化为乘法，约分化简，代入x y -的值，即可求解．【详解】原式()()()()x y x yx y y x y x y x y x y ⎡⎤+-+=-⨯⎢+-+-⎢⎥⎣⎦()()2yx yyx y x y +=⨯+-2x y=-5x y -= ∴225x y =-故答案为：25．【点睛】本题考查了分式化简求值，正确化简分式是解题的关键．12.计算：23111m m m +-=++______．【答案】2【分析】根据同分母的减法运算可进行求解．【详解】解：231222111m m m m m ++-==+++；故答案为2．【点睛】本题主要考查分式的减法运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．13.(2022秋青浦区七年级期末真题)已知13a b =，则2222a ab b a b ++=+________．【答案】1310【分析】由13a b =可得3b a =，代入式子进行化简即可求解．【详解】解：13a b =，3b a ∴=，原式22222399a a a a a +=++2213131010a a ==．故答案：1310．【点睛】本题考查了分式化简求值，掌握化简求值方法是解题的关键．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1114.(2022秋上宝七年级期中真题)通分(1)314x y ，246xy (2)26a a +，219a a --(3)229a a -，2369a a -+(4)21(1)4a a -+-，21242a a a --+【答案】(1)33213412y x y x y =，223248612x xy x y =(2)(3)262(3)(3)a a a a a a -=++-，212292(3)(3)a a a a a --=-+-(3)2222(3)9(3)(3)a a a a a a -=--+，2233(3)69(3)(3)a a a a a +=-+-+(4)212(1)(1)42(1)(3)a a a a a --=+--+，2132422(1)(3)a a a a a a -+=--+-+【分析】根据分式的基本性质，把几个异分母分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．根据分式的通分的概念逐个化简即可．【详解】（1）最简公分母：3212x y ，33213412y x y x y =，223248612x xy x y =；（2）最简公分母：2(3)(3)a a +-(3)262(3)(3)a a a a a a -=++-，212292(3)(3)a a a a a --=-+-；（3）最简公分母：2(3)(3)a a -+，2222(3)9(3)(3)a a a a a a -=--+，2233(3)69(3)(3)a a a a a +=-+-+；（4）最简公分母：2(3)(1)a a +-，21112(1)(1)4(3)(1)32(1)(3)a a a a a a a a a ---===--+-+-+，2211132422(1)2(1)2(1)(3)a a a a a a a a a --+==-=--+---+．【点睛】本题考查了分式通分的概念，理解分式通分的概念，会正确求出几个分式的最简公分母是解题的关键．15.化简：(1)()1333x x x ---；(2)2111x x x+--；(3)212111x x x -⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭；(4)222443a ab b b a b a b a b ⎛⎫++÷-- ⎪--⎝⎭．【答案】(1)1x (2)1x +(3)1x +(4)22a bb a+-【分析】（1）根据异分母分式的减法运算法则求解即可；（2）根据同分母分式的加法运算法则求解即可；（3）根据分式的混合运算法则求解即可；（4）根据分式的混合运算法则求解即可；【详解】（1）()1333x x x ---()()333x x x x x =---()33x x x -=-1x=；（2）2111x x x+--2111x x x =---211x x -=-()()111x x x +-=-1x =+；（3）212111x x x -⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭()()1111211x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝=-⎭-()()11212x x x x x +--⨯--=原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！131x =+；（4）222443a ab b b a b a b a b ⎛⎫++÷-- ⎪--⎝⎭()222223a b b a b a b a b a b +⎛⎫-=÷ ---⎝⎭()22224a b b a b a a b+=-÷--()()()2222a a b a b ba b a b +-+⨯--=22a bb a +=-．【点睛】此题考查了分式的加减乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．1.分式2411÷--xxx x 的值可能等于（）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】B【详解】解：()()2441411111x xxx x x x x x x -÷=⋅--+-+，401x ≠+，故选项A 不符合题意；41x =+，则3x =，存在，故选项B 符合题意；()421x =+，则1x =，此时原式无意义，故选项C 不符合题意；()441x =+，则0x =，此时原式无意义，故选项D 不符合题意；故选：B ．【点睛】此题主要考查了分式的乘除，正确化简分式是解题关键．2.已知13xyx y =+，15yzy z =+，16zxz x =+，则xyzxy yz zx =++（）A ．14B ．12C ．17D ．19【答案】C【分析】结合题意得3x y xy +=，5y z yz +=，6z x zx+=从而求出1117x y z ++=，对xyz xy yz zx ++进行化简得1111z x y++代入即可求解．【详解】解：13xy x y =+ ，15yz y z =+，16zx z x =+，3x y xy +∴=，5y z yz +=，6z x zx+=，113x y ∴+=，115y z +=，116z x+=，111111356x y y z z x∴+++++=++，1117x y z∴++=，1111117xyz xy yz zx xy yz zx xyz xyz xyz z x y===++++++，故选：C ．【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是结合题意求出1111z x y++．3.若分式24932321x A B x x x x -=---+-（A 、B 为常数），则A 、B 的值为（）A ．43A B ==；B ．71A B ==；C ．17A B ==；D ．3513A B =-=；【答案】B 【分析】等式右边进行分式的减法运算，再根据对应项的系数相等可求解．【详解】解：∵321A B x x -+-()()()()132321A x B x x x --+=+-()()32321Ax A Bx Bx x ---=+-()()22323A B x x A B x --+--=，∴()()2223493232A B x A B x x x x x ---+=----，∴3429A B A B -=⎧⎨+=⎩，则71A B =⎧⎨=⎩，故选：B ．【点睛】本题考查了分式的加减法、解二元一次方程组，熟练掌握分式加减运算法则是解答的关键．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！154.已知2610m m --=，则22126m m m -+的值为______．【答案】39【分析】由已知得到16m m-=和22261m m m -=+，再整体代入，利用完全平方公式化简即可求解．【详解】解：将2610m m --=，两边同时除以m ，得：16m m -=，由2610m m --=，可得：22261m m m -=+，所以22126m m m -+2211m m =++2112m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭=+-+2162=++39=．故答案为：39．【点睛】本题考查了分式的加减以及完全平方公式的运用，解题关键是正确将已知变形．5.甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距50千米，一艘轮船在静水中的速度为a 千米/时，水流的速度为b 千米/时()b a <，轮船往返两个港口一次共需______小时.【答案】22100aa b -【分析】分别求出顺流和逆流时的速度，利用路程、时间、速度之间的关系即可列式求解．【详解】解：轮船在静水中的速度为a 千米/时，水流的速度为b 千米/时()b a <，∴顺流速度为()a b +千米/时，逆流速度为()a b -千米/时，甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距50千米，∴轮船往返两个港口一次共需时间为：()()()()2250505050100a b a b a a b a b a b a b a b -+++==+-+--，故答案为：22100a a b -．【点睛】本题考查分式加减的应用，解题的关键是计算出轮船顺流和逆流时的速度，根据路程、时间、速度之间的关系列出分式．6.分式化简：22424422x x x x x x x ⎛⎫---÷= ⎪-++-⎝⎭___．【分析】首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简．【详解】解：原式2(2)(2)22(2)2x x x x x x x ⎡⎤+---=-⨯⎢⎥-+⎣⎦22222x x x x x x +--⎛⎫=-⨯ ⎪-+⎝⎭()()()()2222222x x x x x x +---=⨯+-82(2)(2)x x x x x-=-+82x =+．故答案为：82x +．【点睛】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．7.若()()112121A x x x x =+----，则A =__________．【答案】1-【分析】首先将等式右边通分，然后根据题意得到()112x A x =-+-，然后求解即可．【详解】∵121A x x +--()()()()()212121A x x x x x x --=+----()()()1221x A x x x -+-=--∵()()112121A x x x x =+----∴()112x A x =-+-∴()22x A x -=-∴1A =-．故答案为：1-．【点睛】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则．8.计算：(1)2221651565a a a a a a a a a --+⋅÷++++；(2)29(2)33666x x x x x x --+--+-．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17(2)26xx +【分析】（1）因式分解约分即可得到答案；（2）通分合并再因式分解约分即可得到答案．【详解】（1）解：原式1(5)(1)1(5)(5)(1)a a a a a a a a a -++=⨯⨯++--15a =-；（2）解：原式221896(318)(6)(6)x x x x x x x -+----+=+-2(6)(6)(6)x x x x -=+-26x x =+．【点睛】本题考查分式化简，解题的关键是熟练掌握整式乘法及因式分解．9.已知2321302a b a b ⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭，求代数式221b a a a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫÷-⋅- ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭的值．【答案】2ab a b -+，14a ,b ,再根据分式的混合运算法则先化简后代值求解即可．【详解】解：由已知，得210,330,2a b a b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,41.2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩原式22()()b a a b a a b a a b a b a b ⎡⎤----⎡⎤=÷⋅⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦2b a b ab a b b a b--=⋅⋅+-2ab a b=-+，当14a =-，12b =时，原式21114211442⎛⎫⎛⎫-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=-+．【点睛】本题考查非负数的性质、分式的混合运算、解二元一次方程组等知识，正确运用法则是解题的关键，是中考常考题型，可以通过此类题目的训练提高计算能力．10.计算(1)22211444a a a a a --÷-+-；(2)211a a a ---【答案】(1)2(1)(2)a a a ++-(2)11a -【分析】（1）先将两个分式分解因式，然后再约分化简即可．（2）先通分，再化简求解．【详解】（1）解：原式21(2)(2)2(2)(1)(1)(1)(2)a a a a a a a a a -+-+=⋅=-+-+-（2）解：原式＝2111a a a +--＝2(1)(1)1a a a a -+--＝2211a a a -+-＝11a -【点睛】本题考查了分式的加减、乘除运算，掌握通分、分解因式的方法是求解的关键．。