中考二次函数选择填空难题讲解

细品二次函数小题 感受知识运用经典

在中考中二次函数占举足轻重的地位，其小题更是涌现出其灵活性、创新性。选择填空题虽阅读量小，但细品来，其解法灵活，且具有探索性，对学生的基础知识、基本技能及分析理解能力的要求不亚于一些压轴题。现加以归类浅析，为大家以后解决小题提供经验：

一、与a 、b 、c 有关

例1 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数c ax y +=2

的图象过正方形ABOC 的三个顶点A 、B 、C ，则ac 值为 。

解析：由已知易得A （0，c ）则正方形ABOC 的C 点坐标为（

1

c 2

，1c 2 ），代入c ax y +=2

得211c ac c 24

=+，化简得ac 2=-。

例2 （2010邯郸）如图2，抛物线y=ax 2+bx+c ，OA=OC ，下列关系中正确的是 ( )

A ．ac+1=b

B ．ab+1=c

C ．bc+1=a

D ．

b

a

+1=c 解析：由已知得C （0，c ），又OA=OC ，∴A(-c ，0)，将A 点代入y=ax 2+bx+c 得，0=2

ac

bc c ac 1b -++=，得，即ac+1=b 。选A 。

例3 （2009义乌）如图3，抛物线2

y ax bx c =++与x 轴的一个交点A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则

(1)abc 0(填“>”或“<”)； (2)a 的取值范围是 。

解析：（1）开口向下a ＜0，对称轴b

x

2a

=-＞0，∴b

＞0，C 是与y 轴交点的纵坐标，∴C ＞0,∴abc ＜0；

（2）a 决定开口大小，a 越大，抛物线开口越小。当抛物线在x 轴的交点与抛物线对称轴的距离大，且顶点接近x 轴（顶点与x 轴距离小）时，抛物线开口就大，即

a

最小，此时

图1

B A

C

图2

图3

抛物线经过点（-2，0），顶点为F （3,2），设这时的抛物线解析式为()2

y a x 32=-+，

代入点（-2，0），得2

a

25

=-；当抛物线在x 轴的交点与抛物线对称轴的距离小，且顶点

远离x 轴（顶点与x 轴距离大）时，抛物线开口就小，即

a

最大，此时抛物线经过点（-1，

0），顶点E(1,2), 设这时的抛物线解析式为()

2

y a

x 12=-+,代入点（-1，0）,得3

a 4

=-

。所以32a 425

-

≤≤-。 二、与阴影面积有关

例4 （2010长春）如图4，抛物线y ＝ax 2＋c (a ＜0)交x 轴于点G 、F ，交y 轴于点D ，在x 轴上方的抛物线上有两点B 、E ，它们关于y 轴对称，点G 、B 在y 轴左侧．BA ⊥OG 于点A ，BC ⊥OD 于点C ．四边形OABC 与四边形ODEF 的面积分别为6和10，则△ABG 与△BCD 的面积之和为

解析：解此题关键是由已知条件得出四边形GODB 与四边形ODEF 关于y 轴对称，∴这两个四边形面积相等，即四边形GODB 为10，则阴影部分面积为10-6=4

例5 (2010遵义市)如图，两条抛物线12

12

1+-

=x y 、12

1

22--=x y 与分别经过点()0,2-,()0,2且平行于y 轴的两条

平行线围成的阴影部分的面积为（ ）

Ａ．8 Ｂ．6 Ｃ．10 Ｄ．4

解析：因为两抛物线的二次函数都为12

-，∴1

212

2--=x y 是由12

12

1+-

=x y 向下平移2个单位得到的。所以阴影部分面积可以转化为长为4，宽为2的矩形ABCD 的面积8，故选A 。

例6 （2009庆阳改编）如图6，是二次函数2

122

y x =-

+的图象在x 轴上方的一部分，若这段图象与x 轴所围成的阴影部分面积为S ，则S 取值最接近（ ）．

A.4

B.16

3

C.2π

D.8

A G O

B

D

C

E

F x

y 图4

图5

A

B

C

D

图

6

O

图8

y

·P

x

解析：设抛物线与坐标轴的交点A(-2,0),B(0,2),C(2,0).从图中可以看出，阴影部分面积在△ABC 面积和以O 为圆心2为半径的半圆的面积之间，即4＜S ＜2π，故选B 。

例7 （2008年杭州市）如图7，记抛物线21y x =-+的图象与x 正半轴的交点为A ，将线段OA 分成n 等份，设分点分别为1P ，2P ，…1n P -，过每个分点作x 轴的垂线，分别与抛物线交于点1Q ，2Q ，…1n Q -，再记直角三角形11OPQ ，

122PP Q 的面积分别为1S ，2S ，这样就有213

1

2n S n

-=，223

4

2n S n -=，…；记121n W S S S -=+++…，当n 越来越大时，你猜想W 最接近的常数是（ ）

A. 23

B. 12

C. 1

3

D.14

解析：此题有两种方法，方法一：结合图形，设抛物线与y 轴交点为B ，在第一象限所

围成的图形面积大于等腰三角形OAB 的面积

12，小于以O 为圆心，1为半径的1

4

圆面积14π，而阴影部分面积是整个图形面积的一半，所以14

＜W ＜1

8π，满足该条件的只有选

C 。

方法二：从所给的式子入手：112n W=S +S +

+S -=

2312n n -+2342n n -+···+2

2

32n n n -（-1）=()()

2

33

211622n n n n n n n

---（-1）=21113212n n

--，由结果可以看出，当n 越来越大时， W 最接近1

3。

三、与分类讨论有关

例8 （2010宁波市）如图8，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y ＝1

2 x 2—1上运

动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为_________________．

解析：①当⊙P 在第二象限与x 轴相切时，则P 点的纵坐标为2，代入y ＝1

2

x 2—1得1

x 6=-，2x 6=（舍），∴()1p 62

-，；

图7