中考二次函数选择填空难题讲解
2020中考数学专项解析：二次函数-选择填空题
【文库独家】二次函数——选择填空题1、（陕西）已知两点),3(),,5(21y B y A -均在抛物线)0(2≠++=a c bc ax y 上，点),(00y x C 是该抛物线的顶点，若021y y y ≥>，则0x 的取值范围是（ ）A ．50->xB ．10->xC ．150-<<-xD ．320<<-x 考点：二次函数图象性质的应用及对称性的考查。
解析：由点),(00y x C 是该抛物线的顶点，且021y y y ≥>，所以0y 为函数的最小值，即得出抛物线的开口向上，因为021y y y ≥>，所以得出点A 、B 可能在对称轴的两侧或者是在对称轴的左侧，当在对称轴的左侧时，y 随x 的增大而减小，因此0x >3，当在对称轴的两侧时，点B 距离对称轴的距离小于点A 到对称轴的距离，即得0x -（-5）>3-0x ,解得10->x ，综上所得：10->x ，故选B2、（济宁）二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．a ＞0B ．当﹣1＜x ＜3时，y ＞0C ．c ＜0D ．当x≥1时，y 随x 的增大而增大 考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解答：解：A ．抛物线的开口方向向下，则a ＜0．故本选项错误；B ．根据图示知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x 轴的一交点的横坐标是﹣1，则抛物线与x 轴的另一交点的横坐标是3，所以当﹣1＜x ＜3时，y ＞0．故本选项正确；C ．根据图示知，该抛物线与y 轴交与正半轴，则c ＞0．故本选项错误；D ．根据图示知，当x≥1时，y 随x 的增大而减小，故本选项错误． 故选B ．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．3、（杭州）给出下列命题及函数y=x ，y=x 2和y=①如果，那么0＜a＜1；②如果，那么a＞1；③如果，那么﹣1＜a＜0；④如果时，那么a＜﹣1．则（）A．正确的命题是①④ B．错误的命题是②③④C．正确的命题是①② D．错误的命题只有③考点：二次函数与不等式（组）；命题与定理．分析：先确定出三函数图象的交点坐标为（1，1），再根据二次函数与不等式组的关系求解即可．解答：解：易求x=1时，三个函数的函数值都是1，所以，交点坐标为（1，1），根据对称性，y=x和y=在第三象限的交点坐标为（﹣1，﹣1），①如果，那么0＜a＜1正确；②如果，那么a＞1或﹣1＜a＜0，故本小题错误；③如果，那么a值不存在，故本小题错误；④如果时，那么a＜﹣1正确．综上所述，正确的命题是①④．故选A．点评：本题考查了二次函数与不等式组的关系，命题与定理，求出两交点的坐标，并准确识图是解题的关键．4、(年江西省)若二次涵数y=ax+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点，坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x1<x2，图象上有一点M(x0，y0)在x轴下方，则下列判断正确的是（）． A．a>0 B．b2－4ac≥0 C．x1<x0<x2D．a(x0－x1)( x0－x2)<0 【答案】D.【考点解剖】本题考查的是二次函数的性质，要求对二次函数的性质有比较深刻地理解，并能熟练地画函数草图作出分析．【解题思路】 抛物线与x 轴有不同的两个交点，则240b ac ->，与B 矛盾，可排除B 选项；剩下A 、C 、D 不能直接作出正误判断，我们分a >0,a <0两种情况画出两个草图来分析（见下图）.由图可知a 的符号不能确定（可正可负，即抛物线的开口可向上，也右向下），所以012,,x x x 的大小就无法确定；在图1中，a >0且有102x x x <<，则0102()()a x x x x --的值为负；在图2中，a <0且有102x x x <<，则0102()()a x x x x --的值也为负.所以正确选项为D.【解答过程】 略.【方法规律】 先排除错误的，剩下的再画图分析（数形结合） 【关键词】 二次函数 结论正误判断 5、（四川宜宾）对于实数a 、b ，定义一种运算“⊗”为：a ⊗b =a 2+ab ﹣2，有下列命题：①1⊗3=2； ②方程x ⊗1=0的根为：x 1=﹣2，x 2=1； ③不等式组的解集为：﹣1＜x ＜4；④点（，）在函数y =x ⊗（﹣1）的图象上． 其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．①③C ．①②③D ．③④考点：二次函数图象上点的坐标特征；有理数的混合运算；解一元二次方程－因式分解法；解一元一次不等式组；命题与定理． 专题：新定义．分析：根据新定义得到1⊗3=12+1×3﹣2=2，则可对①进行判断；根据新定义由x ⊗1=0得到x 2+x ﹣2=0，然后解方程可对②进行判断；根据新定义得，解得﹣1＜x ＜4，可对③进行判断；根据新定义得y =x ⊗（﹣1）=x 2﹣x ﹣2，然后把x =代入计算得到对应的函数值，则可对④进行判断．解答：解：1⊗3=12+1×3﹣2=2，所以①正确； ∵x ⊗1=0， ∴x 2+x ﹣2=0，∴x 1=﹣2，x 2=1，所以②正确；∵（﹣2）⊗x ﹣4=4﹣2x ﹣2﹣4=﹣2x ﹣2，1⊗x ﹣3=1+x ﹣2﹣3=x ﹣4， ∴，解得﹣1＜x ＜4，所以③正确；∵y =x ⊗（﹣1）=x 2﹣x ﹣2，∴当x =时，y =﹣﹣2=﹣，所以④错误． 故选C ． 点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足二次函数的解析式．也考查了阅读理解能力、解一元二次方程以及解一元一次不等式组．6、(浙江丽水)若二次函数2ax y =的图象经过点P （-2，4），则该图象必经过点A. （2，4）B. （-2，-4）C. （-4，2）D. （4，-2）7、（成都市）在平面直角坐标系xOy 中，直线y=kx （k 为常数）与抛物线21y 23x =-交于A,B 两点，且A 点在y 轴左侧，P 点坐标为（0，-4），连接PA,PB.有以下说法： ① 2PO PA PB =⋅；② 当k ＞0时，（PA ＋AO ）（PB －BO ）的值随k 的增大而增大；③ 当k =时，2BP BO BA =⋅；④PAB 面积的最小值为.其中正确的是___________.（写出所有正确说法的序号） 答案：③④解析：如图，无法证明△PAO ∽△POB ，故①不一定成立；对于②，取特殊值估算，知（PA＋AO ）（PB －BO ）的值不是随k 的增大而增大，也错。
中考数学复习考点知识归类讲解25 利用二次函数解决实际问题
中考数学复习考点知识归类讲解专题25 利用二次函数解决实际问题知识对接考点一、怎样解二次函数的最值在实际问题中的应用问题 二次函数的最值在现实生活中应用广泛，通常是先列出二次函数关系式，然后利用ab ac y 442-=最值或将二次函数的解析式化成项点式进行求解. 考点二、怎样解生活中的“抛物线型”问题抛物线是人们最为熟悉的曲线之一，诸如抛出球的运动路线、抛物线型大门、抛物线型隧道、抛物线型拱桥、抛物线型栏杆等，都: 是抛物线型. 解此类问题，主要是建立适当的平面直角坐标系，求出其解析式，然后利用其有关性质解决相关问题.专项训练一、单选题1．如图，小明以抛物线y =x 2-2x +4为灵感设计了一款杯子，若AB =4，DE =2，则杯子的高CE 为（）A ．4B ．5C ．6D ．72．汽车在刹车后，由于惯性作用还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关，在一个限速35km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车，最后还是相撞了事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s （m ）与车速x （km/h ）的关系大致如下：S 甲21110010x =+，S 乙21120020x x =+．由此可以推测（ ）A ．甲车超速B ．乙车超速C ．两车都超速D ．两车都未超速 3．如图，平面图形ABD 由直角边长为1的等腰直角AOD △和扇形BOD 组成，点P 在线段AB 上，PQ AB ⊥，且PQ 交AD 或交DB 于点Q ．设()02AP x x =<<，图中阴影部分表示的平面图形APQ （或APQD ）的面积为y ，则函数y 关于x 的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．把一个距离地面1米的小球竖直向上抛出，该小球距离地面的高度h （米）与所经过的时间t （秒）之间的关系为21(4)2h t m =--+，若存在两个不同的t 的值，使足球离地面的高度均为a （米），则a 的取值范围（）A ．08a ≤≤B ．18a ≤≤C ．09a ≤<D ．19a ≤< 5．设圆锥的底面圆半径为r ，圆锥的母线长为l ，满足2r +l ＝6，这样的圆锥的侧面积（）A ．有最大值94πB ．有最小值94πC ．有最大值92πD ．有最小值92π6．如图，ABC 是等边三角形，6cm AB ＝，点M 从点C 出发沿CB 方向以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，同时点N 从点C 出发沿射线CA 方向以2cm/s 的速度匀速运动，当点M 停止运动时，点N 也随之停止．过点M 作//MP CA 交AB 于点P ，连接MN ，NP ，作MNP △关于直线MP 对称的MN P '，设运动时间为ts ，MN P '与BMP 重叠部分的面积为2cm S ，则能表示S 与t 之间函数关系的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．7．用一段长为20m 的篱笆围成一个矩形菜园，设菜园的对角线长为x m ，面积为y m 2，则y 与x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图1，正方形ABCD 的边长和等腰直角FGH 的边AD 与FG 重合，边AB 与FH 在一条直线上，FGH 以1cm/s 的速度向右移动，直到点H 与点B 重合才停止移动，两个图形重叠部分的面积为S （2cm ），图2所示的是FGH 向右移动时，面积S （2cm ）与随时间t （s ）的变化的关系图象，则a 的值是（）A ．16B ．8C ．2D ．49．设O 为坐标原点，点A 、B 为抛物线2y x 上的两个动点，且OA OB ⊥．连接点A 、B ，过O 作OC AB ⊥于点C ，则点C 到y 轴距离的最大值（）A ．12BCD ．110．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点()0,2A ，点()2,0C ，则互异二次函数()2y x m m =--与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是（）A ．4，-1B -1C ．4，0D ，-1 二、填空题 11．某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为__________元时，才能使每天所获销售利润最大．12．如图，用一段长为10米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的长方形菜园ABCD ，设AB为x米，则菜园的面积y（平方米）与x（米）的关系式为______．（不要求写出自变量x的取值范围）13．二次函数22y x mx n=-++（m，n是常数）的图象与x轴的两个交点及顶点构成直角三角形，若将这条抛物线向上平移k个单位后（0k≥），图象与x轴的两个交点及顶点恰好构成等边三角形，则k的值为________．14．某抛物线型拱桥的示意图如图，桥长AB＝48 米，拱桥最高处点C到水面AB的距离为 12 米，在该抛物线上的点E、F处要安装两盏警示灯（点E、F关于y轴对称），警示灯F距水面AB的高度是9米，则这两盏灯的水平距离EF是___米．15．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．三、解答题16．已知抛物线y＝ax2＋bx过点A（4，0）和B（－12，－94）．（1）求抛物线的解析式；（2）C 、D 为第一象限抛物线上的两点，CE ⊥x 轴于E ，DF ⊥x 轴于F ，直线BC 、BD 交y 轴于M 、N ．求证：ME ∥NF ；（3）将抛物线向左平移3个单位，新的抛物线交y 轴于Q ，直线y ＝kx （k ＜0）交新抛物线于G 、H ．当∠GQH ＝90°时，求k 的值．17．如图1，已知直线6y kx =+，交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，且:4:3OA OB =．（1）求直线AB 的解析式；（2）如图2，动点C 以1个单位/秒的速度从点O 出发沿OA 向A 运动，动点D 以2个单位/秒的速度从点A 出发沿AB 向B 运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，两点同时出发，设运动的时间为t ，ACD ∆的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，当S 取最大值时，将ACD ∆向右平移得到EFG ∆，FG 交AB 于点H ，若EFG ∆的面积被直线AB 分成1:2两部分，求线段HF 的长度．18．某矩形工艺品长60cm ，宽40cm ，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．（1）若丝绸花边的面积为2768cm，求丝绸花边的宽度．（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，根据销售经验，销售单价每降低1元，每天可多售出20件，不考虑其他情况，请问应该把销售单价定为多少元，能使每天所获利润最大？最大利润是多少元？19．某快餐店新推出一种外卖，每份的成本为20元，推出后每份售价为50元，每月可售出200份，经过试卖发现，该外卖每份售价每降价1元，每月可多卖出10份，由于制作能力有限，每月最多制作该外卖350份．设该外卖每份售价x元（x≤50），每月的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）该外卖每份售价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该外卖每份售价在什么范围时，每月的销售利润不低于4000元．20．在“学习一项体育技能”活动中，小明作为学生代表去观看“青岛黄海足球队”的训练．他看到队员们在做掷界外球训练，甲球员要将足球掷给离他7.5米远的乙球员，掷出足球的运行轨还是一条抛物线，足球行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系如图所示，足球出手时离地面的高度为2米，在距离甲球员4米处达到最大高度3.6米．若不计其他因素，身高1.85米的乙球员要能触到足球，他垂直起跳的高度至少要达到多少米？21．已知抛物线26y ax bx =++（a 为常数，0a ≠）交x 轴于点()6,0A ，点()1,0B -，交y 轴于点C ．（1）求点C 的坐标和抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上位于直线AC 上方的动点，过点P 作y 轴平行线，交直线AC 于点D ，当PD 取得最大值时，求点P 的坐标；（3）M 是抛物线的对称轴l 上一点，N 为抛物线上一点；当直线AC 垂直平分AMN 的边MN 时，求点N 的坐标．22．一座古老的石拱桥的侧面形状可以用如图抛物线刻画，OB 为水平面，距O 点水平距离1米的AC 处立着一个水泥柱加固桥梁，拱桥在距O 点水平距离3米处达到最大高度9米．（1）求此抛物线的解析式．（2）一只蜻蜓落在水泥柱左侧的拱桥内壁P 处，且它飞到C 点和A 点的距离相同，求这只蜻蜓到水泥柱的水平距离．23．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，与y轴交于点C(0，﹣3a)．（1）求点B的坐标；，点M和点N在抛物线上，且M的横坐标为4，点N在第二象限，若∠AMN （2）若a＝12＝2∠OAM，求点N的坐标；（3）P是第四象限内抛物线上的一个动点，直线PA、PB分别交y轴于点M、N，判断CM 与CN的数量关系，并说明理由．。
专题07二次函数--浙江省2019-2021年3年中考真题数学分项汇编(解析版)
三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（浙江专用）专题07二次函数一．选择题（共15小题）1．（2021•绍兴）关于二次函数y ＝2（x ﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值6【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数有最小值，最小值为6，然后即可判断哪个选项是正确的．【详解】解：∵二次函数y ＝2（x ﹣4）2+6，a ＝2＞0，∴该函数图象开口向上，有最小值，当x ＝2取得最小值6，故选：D ．2．（2021•杭州）在“探索函数y ＝ax 2+bx +c 的系数a ，b ，c 与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A （0，2），B （1，0），C （3，1），D （2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a 的值最大为（ ）A ．52B ．32C ．56D ．12 【分析】比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则a ＜0，只需把开口向上的二次函数解析式求出即可．【详解】解：由图象知，A 、B 、D 组成的点开口向上，a ＞0；A 、B 、C 组成的二次函数开口向上，a ＞0；B 、C 、D 三点组成的二次函数开口向下，a ＜0；A 、D 、C 三点组成的二次函数开口向下，a ＜0；即只需比较A 、B 、D 组成的二次函数和A 、B 、C 组成的二次函数即可．设A 、B 、C 组成的二次函数为y 1＝a 1x 2+b 1x +c 1，把A （0，2），B （1，0），C （3，1）代入上式得，{c 1=2a 1+b 1+c 1=09a 1+3b 1+c 1=1，解得a 1=56；设A 、B 、D 组成的二次函数为y ＝ax 2+bx +c ，把A （0，2），B （1，0），D （2，3）代入上式得，{c =2a +b +c =04a +2b +c =3，解得a =52，即a 最大的值为52， 故选：A ．3．（2020•衢州）二次函数y ＝x 2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（ ）A ．向左平移2个单位，向下平移2个单位B ．向左平移1个单位，向上平移2个单位C ．向右平移1个单位，向下平移1个单位D ．向右平移2个单位，向上平移1个单位【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可．【详解】解：A 、平移后的解析式为y ＝（x +2）2﹣2，当x ＝2时，y ＝14，本选项不符合题意．B 、平移后的解析式为y ＝（x +1）2+2，当x ＝2时，y ＝11，本选项不符合题意．C 、平移后的解析式为y ＝（x ﹣1）2﹣1，当x ＝2时，y ＝0，函数图象经过（2，0），本选项符合题意．D 、平移后的解析式为y ＝（x ﹣2）2+1，当x ＝2时，y ＝1，本选项不符合题意．故选：C ．4．（2021•湖州）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴的交点为A （1，0）和B （3，0），点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是抛物线上不同于A ，B 的两个点，记△P 1AB 的面积为S 1，△P 2AB 的面积为S 2，有下列结论：①当x 1＞x 2+2时，S 1＞S 2；②当x 1＜2﹣x 2时，S 1＜S 2；③当|x 1﹣2|＞|x 2﹣2|＞1时，S 1＞S 2；④当|x 1﹣2|＞|x 2+2|＞1时，S 1＜S 2．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【分析】不妨假设a ＞0，利用图象法一一判断即可．【详解】解：不妨假设a ＞0．①如图1中，P 1，P 2满足x 1＞x 2+2，∵P1P2∥AB，∴S1＝S2，故①错误．②当x1＝﹣2,x2＝﹣1,满足x1＜2﹣x2，则S1＞S2，故②错误，③∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，∴P1，P2在x轴的上方，且P1离x轴的距离比P2离x轴的距离大，∴S1＞S2，故③正确，④如图1中，P1，P2满足|x1﹣2|＞|x2+2|＞1，但是S1＝S2，故④错误．故选：A．5．（2020•宁波）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（）A．abc＜0B．4ac﹣b2＞0C．c﹣a＞0D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c【分析】由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b ＞0，于是得到abc＞0，故A错误；根据二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点，得到b2﹣4ac＞0，求得4ac﹣b2＜0，故B错误；根据对称轴方程得到b＝2a，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，于是得到c﹣a＜0，故C错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，代入解析式得到y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）+c＝an2（n2+2）+c，于是得到y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确．【详解】解：由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，又对称轴方程为x＝﹣1，所以−b2a＜0，所以b＞0，∴abc＞0，故A错误；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故B错误；∵−b2a=−1，∴b＝2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴c﹣a＜0，故C错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）+c＝an2（n2+2）+c，∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确，故选：D．6．（2020•温州）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（）A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．【详解】解：抛物线的对称轴为直线x=−−122×(−3)=−2，∵a＝﹣3＜0，∴x＝﹣2时，函数值最大，又∵﹣3到﹣2的距离比1到﹣2的距离小，∴y3＜y1＜y2．故选：B．7．（2020•嘉兴）已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（）A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值B ．当n ﹣m ＝1时，b ﹣a 有最大值C ．当b ﹣a ＝1时，n ﹣m 无最小值D ．当b ﹣a ＝1时，n ﹣m 有最大值 【分析】方法1、①当b ﹣a ＝1时，当a ，b 同号时，先判断出四边形BCDE 是矩形，得出BC ＝DE ＝b ﹣a ＝1，CD ＝BE ＝m ，进而得出AC ＝n ﹣m ，即tan ∠ABC ＝n ﹣m ，再判断出45°≤∠ABC ＜90°，即可得出n ﹣m 的范围，当a ，b 异号时，m ＝0，当a =−12，b =12时，n 最小=14，即可得出n ﹣m 的范围； ②当n ﹣m ＝1时，当a ，b 同号时，同①的方法得出NH ＝PQ ＝b ﹣a ，HQ ＝PN ＝m ，进而得出MH ＝n ﹣m ＝1，而tan ∠MHN =1b−a ，再判断出45°≤∠MNH ＜90°，当a ，b 异号时，m ＝0，则n ＝1，即可求出a ，b ，即可得出结论．方法2、根据抛物线的性质判断，即可得出结论．【详解】解：方法1、①当b ﹣a ＝1时，当a ，b 同号时，如图1，过点B 作BC ⊥AD 于C ，∴∠BCD ＝90°，∵∠ADE ＝∠BED ＝90°，∴∠ADE ＝∠BCD ＝∠BED ＝90°，∴四边形BCDE 是矩形，∴BC ＝DE ＝b ﹣a ＝1，CD ＝BE ＝m ，∴AC ＝AD ﹣CD ＝n ﹣m ，在Rt △ACB 中，tan ∠ABC =AC BC =n ﹣m ，∵点A ，B 在抛物线y ＝x 2上，且a ，b 同号，∴45°≤∠ABC ＜90°，∴tan ∠ABC ≥1，∴n ﹣m ≥1，当a ，b 异号时，m ＝0，当a =−12，b =12时，n =14，此时，n ﹣m =14，∴14≤n ﹣m ＜1， 即n ﹣m ≥14，即n ﹣m 无最大值，有最小值，最小值为14，故选项C ，D 都错误；②当n ﹣m ＝1时，如图2，当a ，b 同号时，过点N 作NH ⊥MQ 于H ，同①的方法得，NH ＝PQ ＝b ﹣a ，HQ ＝PN ＝m ，∴MH ＝MQ ﹣HQ ＝n ﹣m ＝1，在Rt △MHN 中，tan ∠MNH =MH NH =1b−a， ∵点M ，N 在抛物线y ＝x 2上，∴m ≥0，当m ＝0时，n ＝1，∴点N （0，0），M （1，1），∴NH ＝1，此时，∠MNH ＝45°，∴45°≤∠MNH ＜90°，∴tan ∠MNH ≥1，∴1b−a ≥1，当a ，b 异号时，m ＝0，∴n ＝1，∴a ＝﹣1，b ＝1，即b ﹣a ＝2，∴b ﹣a 无最小值，有最大值，最大值为2，故选项A 错误；故选：B ．方法2、当n ﹣m ＝1时，当a ，b 在y 轴同侧时，a ，b 都越大时，a ﹣b 越接近于0，但不能取0，即b ﹣a 没有最小值，当a ，b 异号时，当a ＝﹣1，b ＝1时，b ﹣a ＝2最大，当b ﹣a ＝1时，当a ，b 在y 轴同侧时，a ，b 离y 轴越远，n ﹣m 越大，但取不到最大，当a ，b 在y 轴两侧时，当a =−12，b =12时，n ﹣m 取到最小，最小值为14， 因此，只有选项B 正确，故选：B．8．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c 是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（）A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0【分析】选项B正确，利用判别式的性质证明即可．【详解】解：A、错误．由M1＝2，M2＝2，可得a2﹣4＞0，b2﹣8＞0，取a＝3，b2＝12，则c=b2a=4，此时c2﹣16＝0．故A错误．B、正确．理由：∵M1＝1，M2＝0，∴a2﹣4＝0，b2﹣8＜0，∵a，b，c是正实数，∴a＝2，∵b2＝ac，∴c=12b2，对于y3＝x2+cx+4，则有△＝c2﹣16=14b4﹣16=14（b4﹣64）=14（b2+8）（b2﹣8）＜0，∴M3＝0，∴选项B正确，C、错误．由M1＝0，M2＝2，可得a2﹣4＜0，b2﹣8＞0，取a＝1，b2＝18，则c=b2a=18，此时c2﹣16＞0．故C错误．D、由M1＝0，M2＝0，可得a2﹣4＜0，b2﹣8＜0，取a＝1，b2＝4，则c=b2a=4，此时c2﹣16＝0．故D错误．故选：B．9．（2020•杭州）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（）A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞0【分析】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式整理得a（9﹣2h）＝1，将h的值分别代入即可得出结果．【详解】解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：{1=a(1−ℎ)2+k 8=a(8−ℎ)2+k，∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，整理得：a（9﹣2h）＝1，若h＝4，则a＝1，故A错误；若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；若h＝6，则a=−13，故C正确；若h＝7，则a=−15，故D错误；故选：C．10．（2019•湖州）已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次函数y ＝ax 2+bx 与一次函数y ＝ax +b （a ≠0）可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a 、b 的正负情况，从而可以解答本题．【详解】解：{y =ax 2+bx y =ax +b 解得{x =−b a y =0或{x =1y =a +b ． 故二次函数y ＝ax 2+bx 与一次函数y ＝ax +b （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x 轴上为（−b a，0）或点（1，a +b ）．在A 中，由一次函数图象可知a ＞0，b ＞0，二次函数图象可知，a ＞0，b ＞0，−b a ＜0，a +b ＞0，故选项A 有可能；在B 中，由一次函数图象可知a ＞0，b ＜0，二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，由|a |＞|b |，则a +b ＞0，故选项B 有可能；在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，a+b＜0，故选项C有可能；在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能；故选：D．11．（2019•杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣1【分析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．【详解】解：∵y＝（x+a）（x+b），a≠b，∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，∴M＝2，∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；综上可知，M＝N或M＝N+1．故选：C．另一解法：∵a≠b，∴抛物线y＝（x+a）（x+b）与x轴有两个交点，∴M＝2，又∵函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，而y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，它至多是一个二次函数，至多与x轴有两个交点，∴N≤2，∴N≤M，∴不可能有M＝N﹣1，故排除A、B、D，故选：C ．12．（2019•舟山）小飞研究二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2﹣m +1（m 为常数）性质时得到如下结论： ①这个函数图象的顶点始终在直线y ＝﹣x +1上；②存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A （x 1，y 1）与点B （x 2，y 2）在函数图象上，若x 1＜x 2，x 1+x 2＞2m ，则y 1＜y 2；④当﹣1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为m ≥2．其中错误结论的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可．【详解】解：二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2﹣m +1（m 为常数）①∵顶点坐标为（m ，﹣m +1）且当x ＝m 时，y ＝﹣m +1∴这个函数图象的顶点始终在直线y ＝﹣x +1上故结论①正确；②假设存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形令y ＝0，得﹣（x ﹣m ）2﹣m +1＝0，其中m ≤1解得：x 1＝m −√−m +1，x 2＝m +√−m +1∵顶点坐标为（m ，﹣m +1），且顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形∴|﹣m +1|＝|m ﹣（m −√−m +1）|解得：m ＝0或1，当m ＝1时，二次函数y ＝﹣（x ﹣1）2，此时顶点为（1，0），与x 轴的交点也为（1，0），不构成三角形，舍去；∴存在m ＝0，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形故结论②正确；③∵x 1+x 2＞2m∴x 1+x 22＞m∵二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2﹣m +1（m 为常数）的对称轴为直线x ＝m∴点A 离对称轴的距离小于点B 离对称轴的距离∵x 1＜x 2，且a ＝﹣1＜0∴y 1＞y 2故结论③错误；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，且a＝﹣1＜0∴m的取值范围为m≥2．故结论④正确．故选：C．13．（2019•绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】解：y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），故选：B．14．（2019•温州）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值﹣1，有最小值﹣2B．有最大值0，有最小值﹣1C．有最大值7，有最小值﹣1D．有最大值7，有最小值﹣2【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．【详解】解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，∴在﹣1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值﹣2，当x＝﹣1时，有最大值为y＝9﹣2＝7．故选：D．15．（2019•衢州）二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）【分析】由抛物线顶点式可求得答案．【详解】解：∵y＝（x﹣1）2+3，∴顶点坐标为（1，3），故选：A ．二．填空题（共3小题）16．（2021•湖州）已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（3，4），M 是抛物线y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当b a 的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM 为直角三角形的点M 的个数也随之确定，若抛物线y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）的对称轴上存在3个不同的点M ，使△AOM 为直角三角形，则b a 的值是 2或﹣8 ． 【分析】由题意△AOM 是直角三角形，当对称轴x ≠0或x ≠3时,可知一定存在两个以A ，O 为直角顶点的直角三角形，当对称轴x ＝0或x ＝3时，不存在满足条件的点M ,当以OA 为直径的圆与抛物线的对称轴x =−b 2a相切时，对称轴上存在1个以点M 为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M ，使△AOM 为直角三角形，利用图象法求解即可．【详解】解：∵△AOM 是直角三角形，∴当对称轴x ≠0或x ≠3时，一定存在两个以A ，O 为直角顶点的直角三角形，且点M 在对称轴上的直角三角形，当对称轴x ＝0或x ＝3时，不存在满足条件的点M ,∴当以OA 为直径的圆与抛物线的对称轴x =−b 2a相切时，对称轴上存在1个以M 为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M ，使△AOM 为直角三角形（如图所示）．观察图象可知，−b 2a =−1或4，∴b a =2或﹣8， 故答案为：2或﹣8．17．（2021•温州）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的d的值为6﹣2√3；记图1中小正方形的中心为点A，B，C，图2中的对应点为点A′，B′，C′．以大正方形的中心O为圆心作圆，则当点A′，B′，C′在圆内或圆上时，圆的最小面积为(16﹣8√3)π．【分析】如图，连接FW,由题意可知点A′,O,C′在线段FW上,连接OB′,B′C′,过点O作OH⊥B′C′于H．证明∠EGF＝30°,解直角三角形求出JK,OH,B′H,再求出OB′2,可得结论．【详解】解：如图，连接FH,由题意可知点A′,O,C′在线段FW上,连接OB′,B′C′,过点O作OH⊥B′C′于H．∵大正方形的面积＝12，∴FG＝GW＝2√3,∵EF＝WK＝2,∴在Rt△EFG中，tan∠EGF=EFFG=2√3=√33,∴∠EGF＝30°,∵JK∥FG,∴∠KJG＝∠EGF＝30°,∴d＝JK=√3GK=√3(2√3−2)＝6﹣2√3,∵OF＝OW=12FW=√6,C′W=√2,∴OC′=√6−√2,∵B′C′∥QW,B′C′＝2,∴∠OC′H＝∠FWQ＝45°,∴OH＝HC′=√3−1,∴HB′＝2﹣(√3−1)＝3−√3,∴OB′2＝OH2+B′H2＝(√3−1)2+(3−√3)2＝16﹣8√3,∵OA′＝OC′＜OB′,∴当点A′，B′，C′在圆内或圆上时，圆的最小面积为(16﹣8√3)π．故答案为：6﹣2√3，(16﹣8√3)π．18．（2021•台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝√2．【分析】利用h＝vt﹣4.9t2，求出t1,t2,再根据h1＝2h2，求出v1=√2v2,可得结论．【详解】解：由题意，t1=v14.9,t2=v24.9,h1=−v12−4×4.9=v124×4.9,h2=−v22−4×4.9=v224×4.9,∵h1＝2h2，∴v1=√2v2,∴t1：t2＝v1:v2=√2,故答案为：√2．三．解答题（共7小题）19．（2021•宁波）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．（1）求a的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【分析】（1）根据抛物线解析式得到抛物线与x 轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a 的值即可．（2）将a 的值代入，结合抛物线解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【详解】解：（1）由二次函数y ＝（x ﹣1）（x ﹣a ）（a 为常数）知，该抛物线与x 轴的交点坐标是（1，0）和（a ，0）．∵对称轴为直线x ＝2，∴1+a 2=2．解得a ＝3；（2）由（1）知，a ＝3，则该抛物线解析式是：y ＝x ²﹣4x +3．∴抛物线向下平移3个单位后经过原点．∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y ＝x ²﹣4x ．20．（2021•金华）某游乐场的圆形喷水池中心O 有一雕塑OA ，从A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x 轴，点O 为原点建立直角坐标系，点A 在y 轴上，x 轴上的点C ，D 为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y =−16（x ﹣5）2+6．（1）求雕塑高OA ．（2）求落水点C ，D 之间的距离．（3）若需要在OD 上的点E 处竖立雕塑EF ，OE ＝10m ，EF ＝1.8m ，EF ⊥OD ．问：顶部F 是否会碰到水柱？请通过计算说明．【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A 的坐标，进而可得出雕塑高OA 的值；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D 的坐标，进而可得出OD 的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同,可得出OC 的长，结合CD ＝OC +OD 即可求出落水点C ，D 之间的距离;（3）代入x ＝10求出y 值，进而可得出点（10，116）在抛物线y =−16（x ﹣5）2+6上，将116与1.8比较后即可得出顶部F 不会碰到水柱． 【详解】解：（1）当x ＝0时，y =−16（0﹣5）2+6=116， ∴点A 的坐标为（0，116）， ∴雕塑高116m ．（2）当y ＝0时，−16（x ﹣5）2+6＝0，解得：x 1＝﹣1（舍去），x 2＝11，∴点D 的坐标为（11，0），∴OD ＝11m ．∵从A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同,∴OC ＝OD ＝11m ，∴CD ＝OC +OD ＝22m ．（3）当x ＝10时，y =−16（10﹣5）2+6=116，∴点（10，116）在抛物线y =−16（x ﹣5）2+6上． 又∵116≈1.83＞1.8，∴顶部F 不会碰到水柱．21．（2021•湖州）如图，已知经过原点的抛物线y ＝2x 2+mx 与x 轴交于另一点A （2，0）．（1）求m 的值和抛物线顶点M 的坐标；（2）求直线AM 的解析式．【分析】（1）将A （2，0）代入抛物线解析式即可求出m 的值，然后将关系式化为顶点式即可得出顶点坐标；（2）设直线AM 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将点A ，M 的坐标代入即可．【详解】解：（1）∵抛物线y ＝2x 2+mx 与x 轴交于另一点A （2，0），∴2×22+2m ＝0，∴m ＝﹣4，∴y ＝2x 2﹣4x＝2（x ﹣1）2﹣2，∴顶点M 的坐标为（1，﹣2），（2）设直线AM 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），∵图象过A （2，0），M （1，﹣2），∴{2k +b =0k +b =−2， 解得{k =2b =−4， ∴直线AM 的解析式为y ＝2x ﹣4．22．（2020•温州）已知抛物线y ＝ax 2+bx +1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．（1）求a ，b 的值．（2）若（5，y 1），（m ，y 2）是抛物线上不同的两点，且y 2＝12﹣y 1，求m 的值．【分析】（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y ＝ax 2+bx +1解方程组即可得到结论；（2）把x ＝5代入y ＝x 2﹣4x +1得到y 1＝6，于是得到y 1＝y 2，即可得到结论．【详解】解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y ＝ax 2+bx +1得，{−2=a +b +113=4a −2b +1， 解得：{a =1b =−4； （2）由（1）得函数解析式为y ＝x 2﹣4x +1，把x ＝5代入y ＝x 2﹣4x +1得，y 1＝6，∴y 2＝12﹣y 1＝6，∵y 1＝y 2，且对称轴为直线x ＝2，∴m ＝4﹣5＝﹣1．23．（2020•宁波）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+4x ﹣3图象的顶点是A ，与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于点D ．点B 的坐标是（1，0）．（1）求A ，C 两点的坐标，并根据图象直接写出当y ＞0时x 的取值范围．（2）平移该二次函数的图象，使点D 恰好落在点A 的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【分析】（1）利用待定系数法求出a，再求出点C的坐标即可解决问题．（2）由题意点D平移到A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，由此可得抛物线的解析式．【详解】解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得a＝﹣1，∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴A（2，1），∵对称轴为直线x＝2，B，C关于x＝2对称，∴C（3，0），∴当y＞0时，1＜x＜3．（2）∵D（0，﹣3），∴点D平移到点A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．24．（2019•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．（1）求a的值和图象的顶点坐标．（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．【分析】（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，即可求出a；（2）①把m＝2代入解析式即可求n的值；②由点Q到y轴的距离小于2，可得﹣2＜m＜2，在此范围内求n即可；【详解】解：（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，∴a＝2，∴y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，∴顶点坐标为（﹣1，2）；（2）①当m＝2时，n＝11，②点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴﹣2＜m＜2，∴2≤n＜11；25．（2019•湖州）已知抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点．（1）求c的取值范围；（2）若抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点A（2，m）和点B（3，n），试比较m与n的大小，并说明理由．【分析】（1）由二次函数与x轴交点情况，可知△＞0；（2）求出抛物线对称轴为直线x＝1，由于A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，即可求解；【详解】解：（1）∵抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点，∴△＝b2﹣4ac＝16﹣8c＞0，∴c＜2；（2）抛物线y＝2x2﹣4x+c的对称轴为直线x＝1，∴A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，当x≥1时，y随x的增大而增大，∴m＜n；。
二次函数综合题专项讲解（经典）
第16题QP N Oyx初中二次函数综合题专项讲解引言：二次函数综合题题目难度较大，也称压轴题。
解压轴题有三个步骤：认真审题；理解题意、探究解题思路；正确解答。
审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。
二次函数一般会出现在选择题（或填空题）、解答题的倒数几个题目中。
选择题和填空题时易时难。
解答题较难，一般有2—3小题。
第1小题通常是求解析式：这一小题简单，直接找出坐标或者用线段长度而确定坐标，进而用待定系数法求出解析式即可。
第2—3小题通常是以动点为切入口，结合三角形、四边形、圆、平移、对称、解方程（组）与不等式（组）等知识呈现，知识面广，难度大；解这类题要善于运用转化、数形结合、分类讨论等数学思想，认真分析条件和结论、图形的几何特征与代数式的数量结构特征的关的关系，系，确定解题的思路和方法；同时需要心态平和，切记急躁：当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系；既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。
一、重庆一中13—14学年度上期半期考试二次函数习题1212．．如图，直线y kx c =+与抛物线2y ax bx c =++的图象都经过y 轴上的D 点，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，其对称轴为直线1x =，且OA OD =直线y kx c =+与x 轴交于点C （点C 在点B 的右侧）则下列命题中正确命题的个数是（下列命题中正确命题的个数是（ ））. ①0abc >; ; ②②30a b +>; ; ③③10k -<<; ④k a b >+; ; ⑤⑤0ac k +>A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 16．如右图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知20ax bx c ++>时x 的取值范围是的取值范围是_______________________________________________________________________________________．．1818．已知抛物线．已知抛物线2122y x x =-+的图象如左图所示，点N 为抛物线的顶点，直线ON 上有两个动点P 和Q ,且满足22PQ =,在直线x=1DCBAoyx第12题xy OEB A第25题 xyOEBA备用图备用图轴的对称图象的解析式为轴的对称图象的解析式为 ________关于关于对称图象的解析式为对称图象的解析式为 __________________，关于顶点旋转______ 对称轴为 _ ____ _ ____ x 时，时，Yy x O 22x21(轴的交点：抛物线与的图像与轴的两个交点的横坐标、轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的①有两个交点抛物线与24b acx a-③没有交点抛物线与）直线与抛物线的交点：一次函数：一次函数与二次函数的交点， 与与212212)()(y y x x -+- 元的苹果，物价部门规定每箱元的价格调查，平均每天销售90箱，价箱）之间的函数关系式．（3分）分）开口方向0112Oxy 对称轴对称轴在对称轴在与;与轴交于正半轴；与25.已知二次函数()22a +b=0+b=0；；的横坐标分别为的横坐标分别为-1,3-1,3-1,3，，0；②20a b +=； ③⑤只有 D.5x）三点． ，）三点．x，）过点xA 72x = B(0,4) A(6,0) E F xyO 为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，5-4-3-2-1-1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 AEBC¢1-O2l1lx y【陈老师*专用】二次函数综合题21 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙作⊙A A 的切线L.（1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点（及点（00，9），求此抛物线的解析式；，求此抛物线的解析式；（2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙作⊙A A 的切线DE DE，，E 为切点，求此切线长；为切点，求此切线长；（3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△上的一个动点，当△BFD BFD 与EAD EAD△相似时，求出△相似时，求出BF 的长的长 ．。
中考热点- 二次函数选填压轴题(解析版)--新九年级数学
中考热点02二次函数选填压轴题一、单选题1(2020·浙江杭州·统考中考真题)在平面直角坐标系中，已知函数y1=x2+ax+1，y2=x2+bx+2，y3= x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2=ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，()A.若M1=2，M2=2，则M3=0B.若M1=1，M2=0，则M3=0C.若M1=0，M2=2，则M3=0D.若M1=0，M2=0，则M3=0【答案】B【分析】选项B正确，利用判别式的性质证明即可．【解析】解：选项B正确．理由：∵M1=1，∴a2-4=0，∵a是正实数，∴a=2，∵b2=ac，∴c=12b2，∵M2=0，∴b2-8<0，∴b2<8，对于y3=x2+cx+4，则有△=c2-16=14b2-16=14(b2-64)<0，∴M3=0，∴选项B正确，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与x轴的交点个数及一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本题的关键．2(2021·浙江·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点为A1,0和B3,0，点P1x1,y1，P2x2,y2是抛物线上不同于A,B的两个点，记△P1AB的面积为S1,△P2AB的面积为S2．有下列结论：①当x1>x2+2时，S1>S2；②当x1<2-x2时，S1<S2；③当x1-2>x2-2>1时，S1>S2；④当x1-2>x2+2>1时，S1<S2．其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】A【分析】通过x1和x2的不等关系，确定P1x1,y1，P2x2,y2在抛物线上的相对位置，逐一分析即可求解．【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点为A1,0和B3,0，∴该抛物线对称轴为x=2，当x1>x2+2时与当x1<2-x2时无法确定P1x1,y1，P2x2,y2在抛物线上的相对位置，故①和②都不正确；当x1-2>x2-2>1时，P1x1,y1比P2x2,y2离对称轴更远，且同在x轴上方或者下方，∴y1 >y2 ，∴S1>S2，故③正确；当x1-2>x2+2>1时，即在x轴上x1到2的距离比x2到-2的距离大，且都大于1，可知在x轴上x1到2的距离大于1，x2到2的距离不能确定，所以无法比较P1x1,y1与P2x2,y2谁离对称轴更远，故无法比较面积，故④错误；故选：A．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．3(2022·浙江宁波·校考三模)如图，二次函数y=ax2+bx+c a<0与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x=2，则下列说法中正确的有()①abc<0；②4ac-b24a>0；③16a+4b+c>0；④5a+c>0；⑤方程ax2+bx+c=0(a≠0)其中一个解的取值范围为-2<x<-1．A.1个B.3个C.4个D.5个【答案】B【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置判断①；根据顶点的纵坐标判断②；根据对称轴及点C的坐标判断③；根据抛物线与x轴的交点情况判断④⑤．【解析】解：∵该抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴a<0，c>0，∵它的对称轴为直线x=2，∴-b2a=2，b=-4a，∴b>0，∴abc<0，故①正确；∵该抛物线的顶点在x轴的上方，∴它的顶点的纵坐标4ac-b24a>0，故②正确；∵它的对称轴为直线x=2，与点C关于直线x=2对称的点的横坐标为4，∴当x=4时，y=16a+4b+c>0，故③正确；由③知点B的横坐标在4与5之间，∵它的对称轴为直线x=2，∴点A的横坐标在0与-1之间，∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)其中一个解的取值范围为-1<x<0，故⑤错误；故当x=-1时，a-b+c<0，∵b=-4a，∴a-b+c=a--4a+c<0，即5a+c<0，故④错误，故正确的有①②③，共3个，故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．4(2022·浙江宁波·一模)已知A，B两点的坐标分别为2，-3，0，-1，线段AB上有一动点M m，n，过点M作x轴的平行线交抛物线y=a(x-1)2+2于P x1，y2，Q x2，y2两点(P在Q的左侧)．若x1≤m<x2恒成立，则a的取值范围为()A.a<-5B.a≤-3C.-5<a<0D.-3≤a<0【答案】D【分析】根据A、B两点的坐标，得出线段AB(B除外)位于第四象限，再根据抛物线解析式，得出抛物线y=a(x-1)2+2的顶点坐标为1，2，此顶点位于第一象限，得出a<0，再结合图象，得出若x1≤m<x2，则当x=2时，二次函数的函数值y>-3；当x=0时，二次函数的函数值y≥-1，即可联立不等式组，解出即可得出结论．【解析】解：如图，由题意得：线段AB(B除外)位于第四象限，∴过点M且平行x轴的直线在x轴的下方，∵抛物线y=a(x-1)2+2的顶点坐标为1，2，此顶点位于第一象限，∴a<0，结合图象可知，若x1≤m<x2，则当x=2时，二次函数的函数值y>-3；当x=0时，二次函数的函数值y≥-1，即a2-12+2>-3a0-12+2≥-1，解得：a≥-3，又∵a<0，∴-3≤a<0．故选：D【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元一次不等式组，根据图象正确理解x1≤m <x2恒成立是解本题的关键．5(2021·浙江宁波·校考三模)已知二次函数y=x2-2bx+6b的顶点为(m，n)．当1≤m≤a时，5≤n≤9，则a的取值范围为()A.1<a≤3B.3≤a≤5C.3≤a<5D.5≤a≤7【答案】B【分析】先将题目中的函数解析式化为顶点式，然后即可得到m与b的关系和n与b的关系，再根据当1≤m≤a时，5≤n≤9，即可求得a的取值范围．【解析】解：∵二次函数y=x2-2bx+6b=x-b2-b2+6b，其顶点为(m,n)，∴该函数的顶点坐标为(b,-b2+6b)，∴m=b，n=-b2+6b，∵当1≤m≤a时，5≤n≤9，∴1≤b≤a5≤-b2+6b≤9 ，解得3≤a≤5，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出该函数的顶点坐标．6(2022·浙江杭州·杭州市十三中教育集团(总校)校联考模拟预测)已知函数y1和y2是关于x的函数，点m,n在函数y1的图象上，点p,q在函数y2的图象上，规定：当n=q时，有m+p=0，那么称函数y1和y2具有“性质O”，则下列函数具有“性质O”的是()A.y1=x2-2x和y2=x-1B.y1=-x2+2x-1和y2=-xC.y1=x2-2x和y2=-x+1D.y1=-x2-2x-1和y2=x【答案】C【分析】将点m,n代入函数y1，点p,q代入函数y2，根据当n=q时，有m+p=0，可得一元二次方程，利用△=b2-4ac判断方程是否有解，即可求解．【解析】解：将点m,n代入y1=x2-2x可得：n=m2-2m将点p,q代入y2=x-1可得：q=p-1∵n=q∴m2-2m=p-1∵m+p=0∴p=-m∴m2-2m=-m-1，即m2-m+1=0∵△=-12-4×1×1=-3<0∴方程无解，故A选项不符合题意将点m,n代入y1=-x2+2x-1可得：n=-m2+2m-1将点p,q代入y2=-x可得：q=-p∵n=q∴-m2+2m-1=-p∵m+p=0∴p=-m∴-m2+2m-1=m，即m2-m+1=0∵△=-12-4×1×1=-3<0∴方程无解，故B选项不符合题意将点m,n代入y1=x2-2x可得：n=m2-2m将点p,q代入y2=-x+1可得：q=-p+1∵n=q∴m2-2m=-p+1∵m+p=0∴p=-m∴m2-2m=m+1，即m2-3m-1=0∵△=-32-4×1×-1=13>0∴方程有解，故C选项不符合题意将点m,n代入y1=-x2-2x-1可得：n=-m2-2m-1将点p,q代入y2=x可得：q=p∵n=q∴-m2-2m-1=p∵m+p=0∴p=-m∴-m2-2m-1=-m，即m2+m+1=0∵△=12-4×1×1=-3<0∴方程无解，故D选项不符合题意故选C．【点睛】本题属于新定义类问题，根据给出定义构造方程，利用根的判别式判断方程是否有解，从而达到解决问题的目的．7(2023·浙江·模拟预测)已知二次函数y=x2+ax+b=x-x1x-x2(a，b，x1，x2为常数)，若1< x1<x2<2，记t=a+b，则()A.-2<t<-34B.-2<t<0 C.-1<t<-34D.-1<t<0【答案】D【分析】由题意可得a=-x1+x2-1，再根据1<x1<x2<2x2-1，b=x1x2，从而得到a+b=x1-1可得-1<x1-1-1<0，由此即可得到答案．x2-1【解析】解：∵二次函数y=x2+ax+b=x-x1x-x2，1<x1<x2<2，∴x1，x2是方程x2+ax+b=0的两个根，∴a=-x1+x2，b=x1x2，∴a+b=-x1+x2+x1x2，∴a+b=x1-1-1，x2-1∵1<x1<x2<2，∴0<x1-1<x2-1<1，∴0<x1-1<1，x2-1∴-1<x1-1-1<0，x2-1∴-1<a+b<0，∴-1<t<0，故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，正确得到a+b=x1-1-1是x2-1解题的关键．8(2022·浙江杭州·统考一模)已知P1x1,y1图象上的两为抛物线y=-ax2+4ax+c a≠0，P2x2,y2点，且x1<x2，则下列说法正确的是()A.若x1+x2<4，则y1<y2B.若x1+x2>4，则y1<y2C.若a x1+x2-4>0，则y1>y2<0，则y1>y2 D.若a x1+x2-4【答案】D【分析】根据函数解析式求出抛物线的对称轴直线，分类讨论a>0及a<0时各自的选项即可求解．【解析】∵y=-ax2+4ax+c a≠0，∴y=-a x-2，2+4a+c a≠0∴抛物线的对称轴直线为x=2，①当-a>0时，抛物线的开口向上，∵x1<x2，∴当x1+x2<4时，点P1x1,y1在左侧，点P2x2,y2右与点P2x2,y2在对称轴的左侧，或点P1x1,y1侧，且点P1x1,y1离对称轴的距离大，离对称轴的距离比点P2x2,y2∴y1>y2，故选项A错误；②当-a<0时，抛物线的开口向下，∵x1<x2，∴当x1+x2>4时，点P1x1,y1在左侧，点P2x2,y2右在对称轴的右侧，或点P1x1,y1与点P2x2,y2侧，且点P1x1,y1离对称轴的距离小，离对称轴的距离比点P2x2,y2∴y1>y2，故选项B错误；③若a x1+x2-4<0，当x1+x2<4时，a>0，则-a<0时，抛物线的开口向下，∵x1<x2，∴当x 1+x 2<4时，点P 1x 1,y 1 与点P 2x 2,y 2 在对称轴的左侧，或点P 1x 1,y 1 在左侧，点P 2x 2,y 2 右侧，且点P 1x 1,y 1 离对称轴的距离比点P 2x 2,y 2 离对称轴的距离大，∴y 1<y 2；当x 1+x 2>4时，a <0，则-a >0时，抛物线的开口向上，∵x 1<x 2，∴当x 1+x 2>4时，点P 1x 1,y 1 与点P 2x 2,y 2 在对称轴的右侧，或点P 1x 1,y 1 在左侧，点P 2x 2,y 2 右侧，且点P 1x 1,y 1 离对称轴的距离比点P 2x 2,y 2 离对称轴的距离小，∴y 1<y 2；故选项C 错误；④若a x 1+x 2-4 >0，当x 1+x 2<4时，a <0，则-a >0时，抛物线的开口向上，∵x 1<x 2，∴x 1+x 2<4时，点P 1x 1,y 1 与点P 2x 2,y 2 在对称轴的左侧，或点P 1x 1,y 1 在左侧，点P 2x 2,y 2 右侧，且点P 1x 1,y 1 离对称轴的距离比点P 2x 2,y 2 离对称轴的距离大，∴y 1>y 2；当x 1+x 2>4时，a >0，则-a <0时，抛物线的开口向下，∵x 1<x 2，∴x 1+x 2>4时，点P 1x 1,y 1 与点P 2x 2,y 2 在对称轴的右侧，或点P 1x 1,y 1 在左侧，点P 2x 2,y 2 右侧，且点P 1x 1,y 1 离对称轴的距离比点P 2x 2,y 2 离对称轴的距离小，∴y 1>y 2；故选项D 正确，故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，二次函数与方程及不等式的关系．9(2021·浙江金华·校联考二模)利用函数知识对代数式ax 2+bx +c (a ≠0)的以下说法作出判断，则正确的是()A.如果存在两个实数p ≠q ，使得ap 2+bp +c =aq 2+bq +c ，则ax 2+bx +c =a (x -p )(x -q )B.存在三个实数m ≠n ≠s ，使得am 2+bm +c =an 2+bn +c =as 2+bs +cC.如果ac <0，则一定存在两个实数m <n ，使am 2+bm +c <0<an 2+bn +cD.如果ac >0，则一定存在两个实数m <n ，使am 2+bm +c <0<an 2+bn +c【答案】C【分析】根据二次函数的性质及与x 轴的交点的判定，即可一一判定．【解析】解：设y =ax 2+bx +c (a ≠0)，A .如果存在两个实数p ≠q ，使得ap 2+bp +c =aq 2+bq +c ，则说明在y =ax 2+bx +c (a ≠0)中，当x =p 和x =q 时的y 值相等，但并不能说明此时p 、q 是y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交点的横坐标，故A 中结论不一定成立；B .若am 2+bm +c =an 2+bn +c =as 2+bs +c ，则说明在y =ax 2+bx +c (a ≠0)中，当x =m 、n 、s 时，对应的y 值相等，因此m 、n 、s 中至少有两个数是相等的，故B 错误；C .如果ac <0，则b 2-4ac >0，则y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象和x 轴必有两个不同的交点，所以此时一定存在两个实数m <n ，使得am 2+bm +c <0<an 2+bn +c ，故C 在结论正确；D.如果ac>0，则b2-4ac的值的正负无法确定，此时y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和x轴的交点情况无法确定，所以D中结论不一定成立，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与x轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，解题的关键是灵活运用这些知识．10(2022·浙江杭州·二模)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0)，顶点坐标为(1, n)，与y轴的交点在(0,2)和(0,3)两点之间(包含端点)．下列结论中正确的是()①不等式ax2+c<-bx的解集为x<-1或x>3；②9a2-b2<0；③一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根分别为x1=13，x2=-1；④6≤3n-2≤10．A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④【答案】D【分析】利用对称轴及点A的坐标可以求出抛物线与x轴的另一交点，结合图象即可求出不等式的解集；利用对称轴x=-b2a=1，可知b=-2a，进一步可求出9a2-b2=5a2≥0；利用韦达定理求出方程ax2+bx+c=0根与系数的关系，可知-ba =2，ca=-3，进一步可以求出方程cx2+bx+a=0的两根；利用b=-2aa-b+c=0，可以推出a=-13cb=23c，其中2≤c≤3，再利用n=4ac-b24a可知3n-2=4c-2，利用c的范围可以求出3n-2的范围；【解析】解：∵对称轴x=1，A(-1,0)，∴抛物线交于x轴的另一点坐标为(3,0)，∴结合图象可知ax2+bx+c<0的解集为x<-1或x>3，故①正确；∵对称轴x=-b2a=1，∴b=-2a，即9a2-b2=5a2≥0，故②错误；∵ax2+bx+c=0中根与系数的关系：x1+x2=-ba =2，x1∙x2=ca=-3假设方程cx2+bx+a=0的根为x3和x4，∴c a x2+bax+1=0，∴-3x2-2x+1=0，因式分解得：3x-1x+1=0∴x3=-1，x4=13∴cx2+bx+a=0的两个根分别为x1=13，x2=-1，故③正确；∵b=-2aa-b+c=0∴a=-13cb=23c∴n=4ac-b24a∴3n-2=4c-2∵2≤c≤3∴4×2-2≤3n-2≤4×3-2，即6≤3n-2≤10，故④正确；综上所述：正确的有①③④，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图像问题，韦达定理，要能够结合图象求出不等式解集，找出系数a、b、c 之间的关系，求出二元一次方程ax2+bx+c=0的根，做该类题的关键是结合图象进行求解．11(2023秋·浙江湖州·九年级统考期末)抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M m,y1，N m+1,y 2为图形G上两点，若y1>y2，则m的取值范围是()A.0≤m<12B.1-32<m<1C.1-32<m<1+32D.1-32<m<12【答案】D【分析】先求得点C，抛物线的对称轴，画出函数图象，结合图象的单调性和y1>y2，分两种情况：①当m≤0时，②当0<m<1时，得到关于m的不等式，解不等式即可得出结论．【解析】解：∵抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，∴C0,3，直线l为y=3，抛物线的对称轴为直线x=-22×-1=1，y轴右侧的部分的抛物线为y=x2-2x+3，∵m<m+1，∴点M在点N左侧，如图，当x≥1时，函数单调递增，∴m<1，①当m≤0时，∵y1>y2，∴-m2+2m+3>m+12-2m+1+3，解得1-32<m<3+12，又∵m ≤0，∴1-32<m ≤0；②当0<m <1时，∵y 1>y 2，∴m 2-2m +3>m +1 2-2m +1 +3，解得m <12，又∵0<m ，∴0<m <12，综上，m 的取值范围为1-32<m <12，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、翻折的性质，注重数形结合是解答本题的关键．12(2022春·浙江杭州·九年级校考阶段练习)若二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象于x 轴的交点坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，且x 1<x 2，图象上有一点M (x 0，y 0)在x 轴下方，对于以下说法：①b 2-4ac >0；②x =x 0是方程ax 2+bx +c =y 0的解；③x 1<x 0<x 2④a x 0-x 1 x 0-x 2 <0；⑤x 0<x 1或x 0>x 2，其中正确的有()A.①②B.①②④C.①②⑤D.①②④⑤【答案】B【分析】根据抛物线与x 轴有两个不同的交点，根的判别式Δ>0，再分a >0和a <0两种情况对③④⑤选项讨论即可得解．【解析】①∵二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象于x 轴的交点坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，且x 1<x 2，∴方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根，∴Δ=b 2-4ac >0，①正确；②∵图象上有一点M (x 0，y 0)，∴ax 2+bx +c =y 0，∴x =x 0是方程ax 2+bx +c =y 0的解，②正确；③当a >0时，∵M (x 0，y 0)在x 轴下方，∴x 1<x 0<x 2；当a <0时，∵M (x 0，y 0)在x 轴下方，∴x 0<x 1或x 0>x 2，③错误；④∵二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象于x 轴的交点坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，∴y =ax 2+bx +c =a x -x 1 x -x 2 ，∵图象上有一点M (x 0，y 0)在x 轴下方，∴y 0=a x 0-x 1 x 0-x 2 <0，④正确；⑤根据③即可得出⑤错误．综上可知正确的结论有①②④．故选：B【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据二次函数的相关性质逐一分析四条结论的正误．13(2022秋·浙江金华·九年级统考期末)已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 都是常数，且a ≠0)开口向上且过点A -1,0 ，B m ,0 (1<m <2)，小明得出下列结论：①b >0；②若-1,y 1 和1,y 2 都在抛物线上，则y 1>y 2；③2a +c >0；④若方程a x -m x +1 +4=0没有实数根，则b 2-4ac <16a ．其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.1【答案】B【分析】根据抛物线的开口以及对称轴即可判断①③，根据抛物线上的点离对称轴的距离越远，其函数值越大，即可判断②，将方程转化为ax 2+bx +c +4=0无实根，根据一元二次方程根的判别式即可求解．【解析】解：∵抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 都是常数，且a ≠0)开口向上且过点A -1,0 ，B m ,0 (1<m <2)，∴对称轴为直线x =m -12，a >0，又对称轴为x =-b2a，∴ba=1-m ∵1<m <2∴1-m <0∵a >0∴b =1-m a <0故①不正确，②∵对称轴为直线x =m -12，1<m <2，∵1-m -12=3-m 2<1，m -12--1 =m +12>1-1,y 1 和1,y 2 都在抛物线上，又抛物线开口向上，离抛物线越远的点的函数值越大，∴y 1>y 2故②正确，∵对称轴为直线x =m -12，1<m <2，∴0<m -12<12，∴0<-b 2a <12，∴a >-b >0，由抛物线过点A -1,0 ，则a -b +c =0，∴a -b +c <a +a +c =2a +c ，∴2a +c >0，故③正确，∵抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 都是常数，且a ≠0)开口向上且过点A -1,0 ，B m ,0 (1<m <2)，设抛物线y =ax 2+bx +c 的解析式为y =a x -m x +1 ，若方程a x -m x +1 +4=0没有实数根，即ax2+bx+c+4=0无实根，∴Δ=b2-4a c+4=b2-4ac-16a<0，即b2-4ac<16a．故④正确，故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，一元二次方程根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键．14(2022秋·浙江杭州·九年级校考期中)如图，抛物线y=ax2+bx+c a≠0的对称轴是x=-2，并与x轴交于A，B两点，若OA=5OB，则下列结论中：①abc>0；②a+c2-b2=0；③9a+4c<0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】根据函数图像的开口方向，对称轴，图像与y轴的交点，即可判断①；根据对称轴x=-2，OA =5OB，可得OA=5，OB=1，点A(-5，0)，点B(1，0)，当x=1时，y=0即可判断②；根据对称轴x =-2以及a+b+c=0得a与c的关系，即可判断③；根据函数的最小值是当x=-2时y=4a-2b +c即可判断④.【解析】解：①观察图像可知a>0，b>0，c<0，∴abc<0，故①错误②∵对称轴为直线x=-2，OA=5OB，可得OA=5，OB=1∴点A(-5，0)，点B(1，0)∴当x=1时，y=0即a+b+c=0∴(a+c)2-b2=(a+b+c)(a+c-b)=0故②正确③抛物线的对称轴为直线x=-2，即-b2a =-2∴b=4a∵a+b+c=0∴5a+c=0∴c=-5a∴9a+4c=-11a<0，故③正确④当x=-2时函数有最小值y=4a-2b+c，当x=m时，am2+bm+c≥4a-2b+c整理得，若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，故④正确故选C【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数图像与系数关系．15(2022秋·浙江舟山·九年级校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C1:y=x2-1，将C1向右平移4个单位，得到抛物线C2，过点P p,0作x轴的垂线，交C1于点M，交C2于点N，q为M与N 的纵坐标中的较小值(若二者相等则任取其一)，将所有这样的点p,q组成的图形记为图形T．若直线y =x+n与图形T恰好有4个公共点，则n的取值范围是()A.-54<n<1 B.-1<n<1 C.-1<n≤1 D.-5<n<1【答案】A【分析】先求出抛物线平移后的解析式，即可求出两抛物线的交点坐标为(2，3)，从而得出T的图象，然后求出直线y=x+n绕过点(2，3)时的n值和直线y=x+n与C1只有一个交点时的n值，即可得出直线y=x+n与图形T恰好有4个公共点时的n的取值范围．【解析】解：∵抛物线C1:y=x2-1，将C1向右平移4个单位，得到抛物线C2，∴抛物线C2：y=(x-4)2-1，联立，得y=x2-1y=x-42-1，解得：x=2y=3,∴抛物线交点坐标为(2,3)，由题意得图形T的图象如图所示，把点(2,3)代入直线y=x+n，得3=2+n，解得：n=1，当直线y=x+n与C1只有一个交时，则x+n=x2-1，即x2-x-1-n=0有两个相等根，则Δ=12-4×1×(-n-1)=0，解得n=-5 4，∵直线y=x+n与图形T恰好有4个公共点，∴-5<n<1，4故选：A．【点睛】本题属二次函数综合题目，考查了二次函数图象的平移，抛物线的交点，直线与抛物线的交点，得出T的图象是解题的关键．16(2023春·浙江杭州·九年级专题练习)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点为A(1，0)和B(3，0)，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，有下列结论：①当x1>x2+2时，S1>S2；②当x1<2-x2时，S1<S2；③当|x1-2|>|x2-2|>1时，S1>S2；④当|x1-2|>|x2+2|>1时，S1<S2．其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】A【分析】判定一个命题正确与否，只要举出一个反例便可确定，因此，不妨设a>0，结合二次函数的图象与性质逐项判定即可得出结论．【解析】解：不妨假设a>0．①如图1中，P1，P2满足x1>x2+2，∵P1P2∥AB，∴S1=S2，故①错误；②当x1=-2，x2=-1，满足x1<2-x2，则S1>S2，故②错误；③∵|x1-2|>|x2-2|>1，∴P1，P2在x轴的上方，且P1离x轴的距离比P2离x轴的距离大，∴S1>S2，故③正确；④如图2中，P1，P2满足|x1-2|>|x2+2|>1，但是S1=S2，故④错误；故选：A．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题17(2021·浙江金华·统考二模)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+2tx-t2+t+2．(1)若该抛物线过原点，则t的值为．(2)已知点A(-4,-2)与点B(2,-2)，若该抛物线与线段AB只有一个交点，则t的范围是__．【答案】-1或2-4≤t<-3,0<t≤5【分析】(1)把(0，0)代入抛物线解析式即可；(2)把点A(-4,-2)与点B(2,-2)分别代入解析式，求出t的值,再根据抛物线开口确定t的范围．【解析】解：(1)把(0，0)代入抛物线y=-x2+2tx-t2+t+2得，0=-t2+t+2，解得，t1=-1，t2=2；故答案为：-1或2(2)由解析式可知抛物线的对称轴是直线x=t；把点A(-4,-2)代入解析式得，-2=-16-8t-t2+t+2，解得，t1=-3，t2=-4；当t1=-3时，抛物线与线段刚好有两个交点(-4,-2)和(-2,-2)，当t2=-4时，抛物线与线段只有一个交点，故t的范围是-4≤t<-3；把点B(2,-2)代入解析式得，-2=-4+4t-t2+t+2，解得，t1=0，t2=5；当t1=0时，抛物线与线段刚好有两个交点(-2,-2)和(2,-2)，当t2=5时，抛物线与线段只有一个交点，故t的范围是0<t≤5；故答案为：-4≤t<-3,0<t≤5【点睛】本题考查了二次函数的性质和它与一元二次方程的联系，解题关键是熟练运用二次函数和一元二次方程的知识，准确进行计算和正确进行推理．18(2020·浙江杭州·模拟预测)对于实数a、b，定义运算“★”:a★b=a2-ab(a≤b)b2-ab(a>b)，关于x的方程(2x+1)★(x-1)=t恰好有三个不相等的实数根，则t的取值范围是．【答案】0<t<9 4【分析】根据题目的定义运算，写出分段函数的解析式，然后根据解析式画出函数图象，方程(2x+1)★(x-1)=t恰好有三个不相等的实数根，说明函数图象与直线y=t有三个交点，由图象求出结果．【解析】解：(2x+1)★(x-1)=2x2+5x+2x≤-2-x2-x+2x>-2，画出图象：y=-x2-x+2=-x+122+94，从图象来看，函数图象与直线y=t有三个交点时，t的取值范围是：0<t<9 4．故答案是：0<t<9 4．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是利用数形结合的思想求解问题．19(2019·浙江湖州·统考二模)对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n-m=k(b-a)，则称此函数为“k属和合函数”．例如：正比例函数y=-3x，当1≤x≤3时，-9≤y≤-3，则3-(-9)=k(3-1)，求得：k=3，所以函数y= -3x为“3属和合函数”．(1)若一次函数y=ax-1(1≤x≤5)为“1属和合函数”，则a的值；(2)已知二次函数y=-3x2+6ax+a2+2a，当-1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，则k的取值范围．【答案】a=1或a=-1k≥3 2【分析】(1)分两种情况：利用“k属和合函数”的定义即可得出结论；(2)分四种情况，各自确定出最大值和最小值，最后利用“k属和合函数”的定义即可得出结论；【解析】解：(1)当a>0时，∵1≤x≤5，∴a-1≤y≤5a-1，∵函数y=ax-1(1≤x≤5)为“1属和合函数”，∴(5a-1)-(a-1)=5-1，∴a=1；当a<0时，(a-1)-(5a-1)=5-1，∴a=-1，∴a=1或a=-1；(2)∵二次函数y=-3x2+6ax+a2+2a的对称轴为直线x=a，∵当-1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，∴当x=-1时，y=a2-4a-3，当x=1时，y=a2+8a-3，当x=a时，y=4a2+2a，①如图1，当a≤-1时，当x=-1时，有y max=a2-4a-3，当x=1时，有y min=a2+8a-3∴(a2-4a-3)-(a2+8a-3)=2k，∴k=-6a，∴k≥6；②如图2，当-1<a≤0时，当x=a时，有y max=4a2+2a，当x=1时，有y min=a2+8a-3∴(4a2+2a)-(a2+8a-3)=2k，(a-1)2，∴k=32≤k<6；∴32③如图3，当0<a≤1时，当x=a时，有y max=4a2+2a，当x=-1时，有y min=a2-4a-3∴(4a2+2a)-(a2-4a-3)=2k，<k≤6；∴k=32④如图4，当a>1时，当x=1时，有y max=a2+8a-3，当x=-1时，有y min=a2-4a-3∴(a2+8a-3)-(a2-4a-3)=2k，∴k=-6a，∴k>6；即：k的取值范围为k≥3 2 .【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了的新定义的理解和应用，反比例函数的性质，二次函数的性质，一次函数的性质，分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．20(2020·浙江宁波·统考模拟预测)抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且经过点(-1，0)．若关于x的一元二次方程x2+bx+c-t=0(t为实数)在-1<x<4的范围内有实数根，则t的取值范围是．【答案】-4≤t<5【分析】先根据二次函数对称轴公式得出b的值，将-1，0代入二次函数解析式得出c的值，再根据二次函数的性质得出在-1<x<4中，y的取值范围，最后根据一元二次方程x2+bx+c-t=0有实数根得出y=x2+bx+c与y=t的图像在-1<x<4中有交点即得．【解析】∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1∴-b2=1，解得：b=-2∵抛物线经过点-1，0∴1+2+c=0，解得：c=-3∴抛物线的解析式是y=x2-2x-3∵y=x2-2x-3=x-12-4∴当x=1时，y最小值=-4∵当x=-1时，y=x2-2x-3=0当x=4时，y=x2-2x-3=5∴在抛物线y=x2-2x-3中，当-1<x<4时，-4≤y<5∴令y=t，要使y=x2-2x-3与y=t有交点，则-4≤t<5∵关于x的一元二次方程x2+bx+c-t=0(t为实数)在-1<x<4的范围内有实数根∴y=x2+bx+c与y=t的图像在-1<x<4中有交点∴-4≤t<5故答案为：-4≤t<5【点睛】本题考查了二次函数的性质、一元二次方程与二次函数的关系，解题关键是根据一元二次方程的根是对应函数图像交点的横坐标将根转化为图像的交点．21(2022·浙江绍兴·校考一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点A和点B，与反比例函数y=mx(m>0)的图象交于点C(2，4)，B为线段AC的中点，若点D为线段AC上的一个动点，过点D作DE∥x轴，交反比例函数图象于点E，连接OD，OE，则△ODE面积的最大值为．【答案】9 2．【分析】一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点A和点B，用k、b的值表示点A和点B的坐标，根据B为线段AC的中点，求得点A和点B的坐标及k、b的值，可得一次函数解析式，根据点C 坐标可得反比例函数解析式，延长ED交y轴于点F，设点E纵坐标为a，可得点E和点D坐标，根据S△ODE=S△OFE-S△OFD可求得关于a的二次函数，利用二次函数的性质即可得到△ODE面积的最大值．【解析】解：对于一次函数y=kx+b，当x=0时，y=b，∴B(0，b)，当y=0时，kx+b=0，解得x=-b k，∴A-bk ,0，∵点C(2，4)，B为线段AC的中点，∴点B纵坐标为2，∴B(0，2)，即b =2，∵点A 与点C 关于点B 对称，∴点A 横坐标为-2，∴A (-2,0)，即-bk =-2，∴k =1，∴一次函数解析式为y =x +2，∵反比例函数y =mx(m >0)的图象过点C (2，4)，∴将点C (2，4)代入，得m =8，∴反比例函数y =8x，延长ED 交y 轴于点F ，设点E 纵坐标为a ，把y =a 代入y =8x ，得x =8a，则E 8a ,a，把y =a 代入y =x +2，得x +2=a ，∴x =a -2，∴D (a -2,a )，∴S △ODE =S △OFE -S △OFD =12·OF ·EF -12·OF ·DF ，∵EF =8a，DF =a -2，OF =a ，∴S △ODE =12·a ·8a -12·a ·a -2 =4-12a 2+a =-12a 2-2a -8 =-12a -1 2-9 ，∴当a =1时，S △ODE 有最大值，最大值为92．故答案为92．【点睛】本题考查了一次函数和与反比例函数综合，二次函数的性质，求一次函数解析式和反比例函数解析式等知识点．正确作出辅助线是解题的关键．22(2022·浙江宁波·校考模拟预测)如图，一组x 轴正半轴上的点B 1，B 2，⋯B n 满足条件OB 1=B 1B 2=B 2B 3⋯=B n -1B n =2，抛物线的顶点A 1，A 2，⋯A n 依次是反比例函数y =9x图象上的点，第一条抛物线以A 1为顶点且过点O 和B 1；第二条抛物线以A 2为顶点且经过点B 1和B 2；⋯第n 条抛物线以A n 为顶点且经过点B n -1，B n ．依次连结抛物线的顶点和与x 轴的两个交点，形成△OA 1B 1、△BA 2B 2、⋯、△B n -1A n B n ．若三角形是一个直角三角形，则它相对应的抛物线的函数表达式为．【答案】y =-x 2+18x -80【分析】根据题意得三角形为等腰三角形，根据OB 1=B 1B 2=B 2B 3⋯=B n -1B n =2可得到点B 1(2,0)，B 2(4,0)，B 3(6,0)，B n (2n ,0)，根据抛物线的顶点A 1，A 2，⋯A n 依次是反比例函数y =9x图象上的点，设点A n m ,9m ，根据A n B n -2=A n B n 建立等式m -(2n -2) 2+9m 2=m -2n 2+9m2，化简后得到m =2n -1，因此可以得到点A 1(1,9)，A 2(3,3)，⋯A 2n -12n -1,92n -1，再根据等腰直角三角形的性质可以得到92n -1=12B n -1B n =1，从而求出n 的值，从而得到三角形三个点的坐标值，再根据待定系数法解求出二次函数的解析式．【解析】解：由题意得，△OA 1B 1、△BA 2B 2、⋯、△B n -1A n B n 均为等腰三角形，∵OB 1=B 1B 2=B 2B 3⋯=B n -1B n =2，∴点B 1(2,0)，B 2(4,0)，B 3(6,0)，B n (2n ,0)设点A n m ,9m，∵A n B n -2=A n B n ，∴m -(2n -2) 2+9m 2=m -2n 2+9m2，∴m -2n +2 2-m -2n 2=0，∴(m -2n +2+m -2n )m -2n +2-m +2n =0∴m -2n +1=0，∴m =2n -1，∴点A 1(1,9)，A 2(3,3)，⋯A 2n -12n -1,92n -1，∵△B n -1A n B n 是直角三角形，∴△B n -1A n B n 为等腰直角三角形，∴92n -1=12B n -1B n =1∴n =5，∴A 5(9,1)∴B 4(8,0)，B 5(10,0)，设抛物线的解析式为y=a(x-8)(x-10)，将点A5(9,1)代入解析式，得1=-a，∴a=-1，∴抛物线的解析式为y=-(x-8)(x-10)=-x2+18x-80．故答案为：y=-x2+18x-80．【点睛】本题考查等腰直角三角形、反比例函数的性质、二次函数的性质，解题的关键是根据题意得到三角形为等腰三角形，根据腰长相等建立等式，从而求出n的值．23(2022秋·浙江嘉兴·九年级桐乡市第七中学校考期中)在直角坐标系xOy中，对于点P x,y和Q x,y，给出如下定义：若y =y x≥0-y x<0称点Q为点P的“可控变点”，例如：点1,2的“可控变点”为点1,2，点-1,3的“可控变点”为点-1,-3．(1)若点-1,-2是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为；(2)若点P在函数y=-x2+18-5≤x≤a的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y 的取值范围是-18<y ≤18，则实数a的取值范围是．【答案】(-1,2)11≤a<6【分析】(1)根据“可控变点”的定义求解即可；(2)由题意可得，点P的“可控变点”Q一定在函数y =-x2+18(x≥0) x2-18(x<0)的图象上，结合图象和定义，即可求解．【解析】解：(1)-1<0，∴点-1,-2的“可控变点”M的坐标为(-1,2)；(2)由题意可得y=-x2+18图象上的点P的“可控变点”必在函数y =-x2+18(x≥0)x2-18(x<0)的图象上，如图∵-18<y ≤18∴-x2+18=-18解得x=6，当x=-5时，y =x2-18=7当y =7时，7=-x2+18(x≥0)，解得x=11a的取值范围为11≤a<6故答案为：(-1,2)，11≤a<6【点睛】此题考查的是新定义题型，根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．24(2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点为A(1, 0)和B(3,0)，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2.有下列结论：①当x1>x2+2时，S1>S2；②当x1<2-x2时，S1<S2；③当|x1-2|>|x2-2|>1时，S1>S2；④当|x1-2|>|x2+2|>1时，S1<S2.其中正确结论的是.【答案】③【分析】不妨假设a>0，利用图象法一一判断即可.。
中考数学热点题型专练二次函数含解析
热点09 二次函数【命题趋势】中考中对二次函数的考查除定义、识图、性质、求解析式等常规题外,还会出现与二次函数有关的贴近生活实际的应用题,阅读理解和探究题,二次函数与其他函数方程、不等式、几何知识的综合题在压轴题中出现的可能性很大． 【满分技巧】一、二次函数表达式的确定 步骤:（1）设二次函数的表达式；（2）根据已知条件,得到关于待定系数的方程组；（3）解方程组,求出待定系数的值,从而写出函数的表达式． 二、二次函数的实际应用（1）利用二次函数解决实际生活中的利润问题,应理清变量所表示的实际意义,注意隐含条件的使用,同时考虑问题要周全,此类问题一般是运用“总利润=总售价－总成本”或“总利润=每件商品所获利润×销售数量”,建立利润与价格之间的函数关系式；（2）最值:若函数的对称轴在自变量的取值范围内,顶点坐标即为其最值,若顶点坐标不是其最值,那么最值可能为自变量两端点的函数值；若函数的对称轴不在自变量的取值范围内,可根据函数的增减性求解,再结合两端点的函数值对比,从而求解出最值． 三、二次函数的图象与几何图形的关系将函数知识与几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将问题转化函数模型,善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,并注意挖掘题目中的一些隐含条件． 【限时检测】（建议用时:30分钟） 一、选择题 1．抛物线y =﹣21(23)2x -+1的顶点坐标为 A ．（3,1） B ．（﹣3,1） C ．（32,1） D ．（﹣32,1） 【答案】C【解析】∵抛物线y =﹣21(23)2x -+1中,2x ﹣3=0时,x =32,故抛物线y =﹣21(23)2x -+1的顶点坐标为:（32,1）． 故选C ．2．对于函数y =–2（x –3）2,下列说法不正确的是 A ．开口向下 B ．对称轴是3x = C ．最大值为0 D ．与y 轴不相交【答案】D【解析】对于函数y =–2（x –3）2的图象,∵a =–2<0,∴开口向下,对称轴x =3,顶点坐标为（3,0）,函数有最大值0, 故选项A 、B 、C 正确,选项D 错误, 故选D ．3．若二次函数y =|a |x 2+bx +c 的图象经过A （m ,n ）、B （0,y 1）、C （3-m ,n ）、D ,y 2）、E （2,y 3）,则y 1、y 2、y 3的大小关系是A ．y 1<y 2<y 3B ．y 1<y 3<y 2C ．y 3<y 2<y 1D ．y 2<y 3<y 1【答案】D【解析】∵经过A （m ,n ）、C （3-m ,n ）,∴二次函数的对称轴x =32,∵B （0,y 1）、D ,y 2）、E （2,y 3）与对称轴的距离B 最远,D 最近,∵|a |>0, ∴y 1>y 3>y 2,故选D ．4．当x =a 和x =b （a ≠b ）时,二次函数y =2x 2﹣2x +3的函数值相等、当x =a +b 时,函数y =2x 2﹣2x +3的值是 A ．0 B ．﹣2 C ．1 D ．3【答案】D【解析】∵当x =a 或x =b （a ≠b ）时,二次函数y =2x 2﹣2x +3的函数值相等, ∴以a 、b 为横坐标的点关于直线x =12对称,则122a b +=,∴a +b =1, ∵x =a +b ,∴x =1,当x =1时,y =2x 2﹣2x +3=2﹣2+3=3,故选D ． 5．若函数y =（m ﹣1）x 2﹣6x +32m 的图象与x 轴有且只有一个交点,则m 的值为A ．﹣2或3B ．﹣2或﹣3C ．1或﹣2或3D ．1或﹣2或﹣3【答案】C【解析】当m =1时,函数解析式为:y =﹣6x +32是一次函数,图象与x 轴有且只有一个交点, 当m ≠1时,函数为二次函数, ∵函数y =（m ﹣1）x 2﹣6x +32m 的图象与x 轴有且只有一个交点, ∴62﹣4×（m ﹣1）×32m =0, 解得,m =﹣2或3,故选C ． 6．将抛物线2yx 向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为A ．2(2)3y x =++B ．2(2)3y x =-+C ．2(2)3y x =+-D ．2(2)3y x =--【答案】B【解析】抛物线y =x 2先向右平移2个单位长度,得:y =（x –2）2；再向上平移3个单位长度,得:y =（x –2）2+3．故选B ．7．反比例函数k y x=的图象如图所示,则二次函数y =2kx 2﹣4x +k 2的图象大致是A ．B ．C．D．【答案】D【解析】∵函数kyx=的图象经过二、四象限,∴k<0,由图知当x=﹣1时,y=﹣k<1,∴k>﹣1,∴抛物线y=2kx2﹣4x+k2开口向下,对称轴为x=﹣422k-⨯=1k,﹣1<1k<0,∴对称轴在﹣1与0之间,∵当x=0时,y=k2>1．故选D．8．已知两点A（﹣5,y1）,B（3,y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上,点C（x0,y0）是该抛物线的顶点．若y1<y2≤y0,则x0的取值范围是A．x0>﹣1 B．x0>﹣5C．x0<﹣1 D．﹣2<x0<3【答案】A【解析】∵点C（x0,y0）是该抛物线的顶点．且y1<y2≤y0,∴a<0,x0﹣（﹣5）>|3﹣x0|,∴x0>﹣1．故选A．9．（福建省厦门市集美区2019年初中毕业班总复习练习（二模）数学试题）二次函数y=x2+bx﹣t的对称轴为x=2．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0在﹣1<x<3的范围内有实数解,则t的取值范围是A．﹣4≤t<5 B．﹣4≤t<﹣3C．t≥﹣4 D．﹣3<t<5【答案】A【解析】∵抛物线的对称轴x =2b -=2, ∴b =﹣4,则方程x 2+bx ﹣t =0,即x 2﹣4x ﹣t =0的解相当于y =x 2﹣4x 与直线y =t 的交点的横坐标, ∵方程x 2+bx ﹣t =0在﹣1<x <3的范围内有实数解, ∴当x =﹣1时,y =1+4=5, 当x =3时,y =9﹣12=﹣3, 又∵y =x 2﹣4x =（x ﹣2）2﹣4,∴当﹣4≤t <5时,在﹣1<x <3的范围内有解． ∴t 的取值范围是﹣4≤t <5, 故选A ．10．已知抛物线()()1y x a x a =+--（a 为常数,0a ≠）．有下列结论:①抛物线的对称轴为12x =；②方程()()11x a x a +--=有两个不相等的实数根；③抛物线上有两点P （x 0,m ）,Q （1,n ）,若m n <,则001x <<,其中,正确结论的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D【解析】∵()()1y x a x a =+--=x 2–x –a 2–a ,∴对称轴为直线x =121--⨯=12． ∴①正确,∵()()1x a x a +--=x 2–x –a 2–a =1, ∴x 2–x –a 2–a –1=0,∴∆=（–1）2–4×1×（–a 2–a –1）=1+4a 2+4a +4=（2a +1）2+4>0,∴方程（x +a ）（x –a –1）=1有两个不相等的实数根； ∴②正确,∵P （x 0,m ）,Q （1,n ）在抛物线上,∴m =x 02–x 0–a 2–a ,n =12–1–a 2–a =–a 2–a , ∵m <n ,∴x02–x0–a2–a<–a2–a,∴x02–x0<0,∴x0（x0–1）<0∵x0>x0–1,∴x0>0且x0–1<0,即0<x0<1,∴③正确,综上所述:正确的结论有①②③,共3个,故选D．11．如图,抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣2,与x轴的一个交点在（﹣3,0）和（﹣4,0）之间,其部分图象如图所示则下列结论:①4a﹣b=0；②c<0；③c>3a；④4a﹣2b>at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣72,y1）,（﹣52,y2）,（312y,）是该抛物线上的点,则y2<y1<y3,其中,正确结论的个数是A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】∵抛物线的对称轴为直线x=﹣2,∴4a﹣b=0,所以①正确；∵与x轴的一个交点在（﹣3,0）和（﹣4,0）之间,∴由抛物线的对称性知,另一个交点在（﹣1,0）和（0,0）之间, ∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴,即c<0,故②正确；∵由②知,x=﹣1时y>0,且b=4a,即a﹣b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c>0,所以③正确；由函数图象知当x=﹣2时,函数取得最大值,∴4a ﹣2b +c ≥at 2+bt +c ,即4a ﹣2b ≥at 2+bt （t 为实数）,故④错误； ∵抛物线的开口向下,且对称轴为直线x =﹣2, ∴抛物线上离对称轴水平距离越小,函数值越大, ∴y 2>y 1>y 3,故⑤错误,故选C ． 二、填空题12．二次函数2245y x x =--+的最大值是__________．【答案】7【解析】222452(1)7y x x x =--+=-++, 即二次函数245y x x =--+的最大值是7, 故答案为:7．13．已知函数y =﹣x 2+2x ﹣2图象上两点A （2,y 1）,B （a ,y 2）,其中a >2,则y 1与y 2的大小关系是__________．（填“<”“>”或“=”） 【答案】>【解析】y =﹣x 2+2x ﹣2=﹣（x ﹣1）2﹣1, 对称轴x =1,∵A （2,y 1）,B （a ,y 2）,其中a >2, ∴点A 与B 在对称轴的右侧, ∵–1<0,∴x >2时,y 随x 的增大而减小, ∴y 1>y 2, 故答案为:>．14．已知抛物线y =ax 2+bx +c （a >0）的对称轴是直线x =2,且经过点P （3,1）,则a +b +c 的值为__________．【答案】1【解析】∵抛物线y =ax 2+bx +c （a >0）的对称轴是直线x =2, ∴P （3,1）对称点坐标为（1,1）, ∴当x =1时,y =1, 即a +b +c =1, 故答案为:1．15．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =5的一个根是2,且二次函数y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线x =2,则抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点坐标为__________． 【答案】（2,5）【解析】∵二次函数y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线x =2,方程ax 2+bx +c =5的一个根是2, ∴当x =2时,y =ax 2+bx +c =5, ∴抛物线的顶点坐标是（2,5）． 故答案为:（2,5）．16．将抛物线y =2（x ﹣1）2+3绕它的顶点旋转180°后得到的抛物线的函数表达式为__________．【答案】y =﹣2（x ﹣1）2+3【解析】抛物线y =2（x ﹣1）2+3的顶点坐标为（1,3）,由于抛物线y =2（x ﹣1）2+3绕其顶点旋转180°后抛物线的顶点坐标不变,只是开口方向相反, 则所得抛物线解析式为y =﹣2（x ﹣1）2+3, 故答案为:y =﹣2（x ﹣1）2+3．17．如图,若被击打的小球飞行高度h （单位:m ）与飞行时间t （单位:s ）之间具有的关系为2205h t t =-,则小球从飞出到落地所用的时间为__________s ．【答案】4【解析】依题意,令0h =得:∴20205t t =-, 得:(205)0t t -=,解得:0t =（舍去）或4t =, ∴即小球从飞出到落地所用的时间为4s ,故答案为:4． 三、解答题18．已知抛物线224y x x c =-+与x 轴有两个不同的交点．（1）求c 的取值范围；（2）若抛物线224y x x c =-+经过点()2,A m 和点()3,B n ,试比较m 与n 的大小,并说明理由．【解析】（1）()2244816 8b ac c c -=--=-,由题意,得240b ac ->, ∴16 80c ->,∴c 的取值范围是2c <． （2）m n <,理由如下: ∵抛物线的对称轴为直线1x =, 又∵20a =>,∴当1x ≥时,y 随x 的增大而增大, ∵23<,∴m n <．19．已知抛物线26y x x c =-++．（1）若该抛物线与x 轴有公共点,求c 的取值范围；（2）设该抛物线与直线21y x =+交于M ,N 两点,若MN =,求C 的值；（3）点P ,点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点,PA QB ，都垂直于x 轴,垂足分别为A ,B ,若OPA OQB △≌△,求c 的取值范围．【解析】（1）∵抛物线26y x x c =-++与x 轴有交点, ∴一元二次方程260x x c -++=有实根．240b ac ∴∆=-,即264(1)0c -⨯-⨯．解得9c -．（2）根据题意,设()()1122,21,,21M x x N x x ++由2621y x x cy x ⎧=-++⎨=+⎩,消去y ,得2410x x c -+-=①． 由2(4)4(1)1240c c ∆=---=+>,得3c >-．∴方程①的解为1222x x ==()()()()22221212122121520(3)MN x x x x x x c ∴=-++-+=-=+⎡⎤⎣⎦, 20(3)20c ∴+=,解得2c =-．（3）设点P 的坐标为(, )m n ,则点Q 的坐标为(,)n m ,且0,0,m n m n >>≠,2266m m c n n n c m⎧-++=∴⎨-++=⎩,两式相减,得227()0n m m n -+-=,即()(7)0m n m n -+-= 7m n ∴+=,即7n m =-2770m m c ∴-+-=,其中07m <<由0∆,即274(1)(7)0c -⨯-⨯-,得214c -． 当214c =-时,72m n ==,不合题意． 又70c ->,得7c <． ∴c 的取值范围是2174c -<<． 20．我市某超市销售一种文具,进价为5元/件．售价为6元/件时,当天的销售量为100件．在销售过程中发现:售价每上涨0.5元,当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x 元/件（x ≥6,且x 是按0.5元的倍数上涨）,当天销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）要使当天销售利润不低于240元,求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%,要想当天获得利润最大,每件文具售价为多少元？并求出最大利润．【解析】（1）由题意,y =（x -5）（100-60.5x -×5）=-10x 2+210x -800, 故y 与x 的函数关系式为:y =-10x 2+210x -800． （2）要使当天利润不低于240元,则y ≥240, ∴y =-10x 2+210x -800=-10（x -10.5）2+302.5=240, 解得,x 1=8,x 2=13,∵-10<0,抛物线的开口向下,∴当天销售单价所在的范围为8≤x ≤13． （3）∵每件文具利润不超过80%, ∴50.8x x-≤,得x ≤9, ∴文具的销售单价为6≤x ≤9,由（1）得y =-10x 2+210x -800=-10（x -10.5）2+302.5, ∵对称轴为x =10.5,∴6≤x ≤9在对称轴的左侧,且y 随着x 的增大而增大,∴当x =9时,取得最大值,此时y =-10（9-10.5）2+302.5=280,即每件文具售价为9元时,最大利润为280元．21．如图,已知抛物线经过点A （–1,0）,B （4,0）,C （0,2）三点,点D 与点C 关于x 轴对称,点P 是线段AB 上的一个动点,设点P 的坐标为（m ,0）,过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ,交直线BD 于点M ．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在点P 运动过程中,是否存在点Q ,使得△BQM 是直角三角形？若存在,求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由；（3）连接AC ,将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°,得到△A 1O 1C 1,点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上,那么我们就称这样的点为“和谐点”,请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标．【解析】（1）设抛物线解析式为y =ax 2+bx +c ,将点A （–1,0）,B （4,0）,C （0,2）代入解析式,∴001642a b c a b c c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩,∴1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴y =–212x +32x +2． （2）∵点C 与点D 关于x 轴对称,∴D （0,–2）．设直线BD 的解析式为y =kx –2．∵将（4,0）代入得:4k –2=0,∴k =12． ∴直线BD 的解析式为y =12x –2．当P 点与A 点重合时,△BQM 是直角三角形,此时Q （–1,0）； 当BQ ⊥BD 时,△BQM 是直角三角形,则直线BQ 的直线解析式为y =–2x +8,∴–2x +8=–21x 2+32x +2,可求x =3或x =4（舍）, ∴x =3；∴Q （3,2）或Q （–1,0）．（3）两个和谐点； AO =1,OC =2,设A 1（x ,y ）,则C 1（x +2,y –1）,O 1（x ,y –1）,①当A 1、C 1在抛物线上时,∴()2213222131(2)2222y x x y x x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩, ∴13x y =⎧⎨=⎩, ∴A 1的横坐标是1；当O 1、C 1在抛物线上时,()22131222131(2)2222y x x y x x ⎧-=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩, ∴12218x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴A 1的横坐标是12．。
2020年中考数学选择填空压轴题汇编二次函数图像与系数含解析
2020年中考数学选择填空压轴题汇编：二次函数图像与系数1．（2020福建）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（）A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2D．若y1＝y2，则x1＝x2【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，当a＞0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项B错误；当a＜0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2，故选项A错误；若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2，故选项C正确；若y1＝y2，则|x1﹣1|＝|x2﹣1|，故选项D错误；故选：C．2．（2020广东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b＞0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；∵直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以1，可得b＝﹣2a，由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，∴4a﹣2×（﹣2a）+c＜0，即8a+c＜0，故③正确；由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，两式相加得，5a+b+2c＞0，故④正确；∴结论正确的是②③④3个，故选：B．3．（2020贵州黔西南）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（）A．点B坐标为（5，4）B．AB＝ADC．a D．OC•OD＝16【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，∴A（0，4），∵对称轴为直线x，AB∥x轴，∴B（5，4）．故A无误；如图，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4，AB＝5，∵AB∥x轴，∴∠BAC＝∠ACO，∵点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，∴∠ACO＝∠ACB，∴∠BAC＝∠ACB，∴BC＝AB＝5，∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：EC＝3，∴C（8，0），∵对称轴为直线x，∴D（﹣3，0）∵在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，∴AD＝5，∴AB＝AD，故B无误；设y＝ax2+bx+4＝a（x+3）（x﹣8），将A（0，4）代入得：4＝a（0+3）（0﹣8），∴a，故C无误；∵OC＝8，OD＝3，∴OC•OD＝24，故D错误．综上，错误的只有D．故选：D．4．（2020贵州遵义）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（）①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x2，∴4a﹣b＝0，所以①正确；∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，∴x＝﹣1时y＞0，且b＝4a，即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，∴c＞3a，所以②错误；∵抛物线与x轴有两个交点，且顶点为（﹣2，3），∴抛物线与直线y＝2有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根，所以③正确；∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），∴3，∴b2+12a＝4ac，∵4a﹣b＝0，∴b＝4a，∴b2+3b＝4ac，∵a＜0，∴b＝4a＜0，∴b2+2b＞4ac，所以④正确；故选：C．5．（2020黑龙江大兴安岭）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x ＝1，结合图象给出下列结论：①ac＜0；②4a﹣2b+c＞0；③当x＞2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；综上所述，正确的结论有：①③④，故选：C．6．（2020黑龙江牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点B（4，0），则下列结论中，正确的个数是（）①abc＞0；②4a+b＞0；③M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，若0＜x1＜x2，则y1＞y2；④若抛物线的对称轴是直线x＝3，m为任意实数，则a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m）；⑤若AB≥3，则4b+3c＞0．A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，c＜0，，∴b＞0，∴abc＞0，故①正确；如图，∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，∴对称轴在直线x＝2右侧，即，∴，又a＜0，∴4a+b＞0，故②正确；∵M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，0＜x1＜x2，可得：抛物线y＝ax2+bx+c在上，y随x的增大而增大，在上，y随x的增大而减小，∴y1＞y2不一定成立，故③错误；若抛物线对称轴为直线x＝3，则，即b＝﹣6a，则a（m﹣3）（m+3）﹣b（3﹣m）＝a（m﹣3）2≤0，∴a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m），故④正确；∵AB≥3，则点A的横坐标大于0或小于等于1，当x＝1时，代入，y＝a+b+c≥0，当x＝4时，16a+4b+c＝0，∴a，则，整理得：4b+5c≥0，则4b+3c≥﹣2c，又c＜0，﹣2c＞0，∴4b+3c＞0，故⑤正确，故正确的有4个．故选：B．7．（2020黑龙江齐齐哈尔）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x ＝1，结合图象给出下列结论：①ac＜0；②4a﹣2b+c＞0；③当x＞2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；综上所述，正确的结论有：①③④，故选：C．8．（2020湖北荆门）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；③M（x1，y1），N （x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2；④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣l，3．其中正确结论的序号为①④．【解答】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，正确，符合题意；②△ABC的面积AB•y C AB×2＝2，解得：AB＝2，则点A（0，0），即c＝0与图象不符，故②错误，不符合题意；③函数的对称轴为x＝1，若x1+x2＞2，则（x1+x2）＞1，则点N离函数对称轴远，故y1＞y2，故②错误，不符合题意；④抛物线经过点（3，﹣1），则y′＝ax2+bx+c+1过点（3，0），根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣l，3，故④正确，符合题意；故答案为：①④．9.（2020湖北随州）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；④当△BCD是直角三角形时，a．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴对称轴为直线x1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故①正确，当x＝1时，0＝a﹣b+c，∴a+2a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴2c＝3b，故②错误；∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a，（a＜0）∴点C（0，﹣3a），当BC＝AB时，4，∴a，当AC＝BC时，4，∴a，∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，故③正确；∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点D（1，4a），∴BD2＝4+16a2，BC2＝9+9a2，CD2＝a2+1，若∠BDC＝90°，可得BC2＝BD2+CD2，∴9+9a2＝4+16a2+a2+1，∴a，若∠DCB＝90°，可得BD2＝CD2+BC2，∴4+16a2＝9+9a2+a2+1，∴a＝﹣1，∴当△BCD是直角三角形时，a＝﹣1或，故④错误．故选：B．10．（2020湖南湘西州）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③a﹣b+c＞0，④a+b＞n（an+b），（n≠1），⑤2c＜3b．正确的是（）A．①③B．②⑤C．③④D．④⑤【解答】解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此选项错误；②由于a＜0，所以﹣2a＞0．又b＞0，所以b﹣2a＞0，故此选项错误；③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故此选项错误；④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝n时，y＝an2+bn+c，所以a+b+c＞an2+bn+c，故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故此选项正确；⑤当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且该抛物线对称轴是直线x1，即a，代入得9（）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；故④⑤正确．故选：D．11．（2020江苏南京）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是①②④．【解答】解：①∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1（m为常数）与函数y＝﹣x2的二次项系数相同，∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同，故结论①正确；②∵在函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1中，令x＝0，则y＝﹣m2+m2+1＝1，∴该函数的图象一定经过点（0，1），故结论②正确；③∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论③错误；④∵抛物线开口向下，当x＝m时，函数y有最大值m2+1，∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．故结论④正确，故答案为①②④．12．（2020山东青岛）已知在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y的图象如图所示，则一次函数y x﹣b的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵二次函数开口向下，∴a＜0；∵二次函数的对称轴在y轴右侧，左同右异，∴b符号与a相异，b＞0；∵反比例函数图象经过一三象限，∴c＞0，∴0，﹣b＜0，∴一次函数y x﹣b的图象经过二三四象限．故选：B．13．（2020四川南充）关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：①对任意实数m，都有x1＝2+m 与x2＝2﹣m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则a≤﹣1或1≤a；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a或a≥1．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5的对称轴为直线x，∴x1＝2+m与x2＝2﹣m关于直线x＝2对称，∴对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；故①正确；当x＝3时，y＝﹣3a﹣5，当x＝4时，y＝﹣5，若a＞0时，当3≤x≤4时，﹣3a﹣5＜y≤﹣5，∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，∴1≤a，若a＜0时，当3≤x≤4时，﹣5≤y＜﹣3a﹣5，∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，∴a≤﹣1，故②正确；若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，∴△＞0，25a﹣20a﹣5≥0，∴，∴a≥1，若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，∴△＞0，25a﹣20a﹣5≤0，∴，∴a，综上所述：当a或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6．故选：D．14．（2020•宜宾）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n ＞0．以下结论正确的是（）①abc＞0；②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等；③函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．A．①③B．①②③C．①④D．②③④【解答】解：依照题意，画出图形如下：∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．∴a＜0，c＞0，对称轴为x1，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①正确，∵对称轴为x＝﹣1，∴x＝1与x＝﹣3的函数值是相等的，故②错误；∵顶点为（﹣1，n），∴抛物线解析式为；y＝a（x+1）2+n＝ax2+2ax+a+n，联立方程组可得：，可得ax2+（2a﹣k）x+a+n﹣1＝0，∴△＝（2a﹣k）2﹣4a（a+n﹣1）＝k2﹣4ak+4a﹣4an，∵无法判断△是否大于0，∴无法判断函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象的交点个数，故③错误；当﹣3≤x≤3时，当x＝﹣1时，y有最大值为n，当x＝3时，y有最小值为16a+n，故④正确，故选：C．。
中考数学二次函数2及答案解析 (32)
函数——二次函数2一．选择题（共9小题）1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个2如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．①b2＞4ac；②4a﹣2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．上述4个判断中，正确的是（）A．①② B．①④ C．①③④D．②③④3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．c＞﹣1 B．b＞0 C．2a+b≠0D．9a+c＞3b4．如图，二次函y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣2，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）A．①②④B．③④ C．①③④D．①②5．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，下列结论正确的是（）A．b2＞4ac B．ac＞0 C．a﹣b+c＞0 D．4a+2b+c＜06．二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1﹣a﹣b的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．57．将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是（）A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位8．将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（）A．（0，2）B．（0，3）C．（0，4）D．（0，7）9．如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）A．y=x2﹣1 B．y=x2+1 C．y=（x﹣1）2D．y=（x+1）2二．填空题（共6小题）10．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=_________ ．11．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为_________ 米．12．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是_________ ．13．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为_________ 元．14．如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是_________ ．15．请写出一个以直线x=﹣2为对称轴，且在对称轴左侧部分是上升的抛物线的表达式，这条抛物线的表达式可以是_________ ．三．解答题（共8小题）16．如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）．17．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）请直接写出D点的坐标．（2）求二次函数的解析式．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．18．已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．19．如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．（2）求△EMF与△BNF的面积之比．20．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y=（k＞0）刻画（如图所示）．（1）根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？②当x=5时，y=45，求k的值．（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．21．在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式．（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？[参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是]．22．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃，y A、y B与x的函数关系式分别为y A=kx+b，y B=（x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．（1）分别求y A、y B关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？23．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？函数——二次函数2参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个 C 2个D．1个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．解答：解：∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x=﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b+2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把x=m（m≠﹣1）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，故选：B．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法，同时注意特殊点的运用．2．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．①b2＞4ac；②4a﹣2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．上述4个判断中，正确的是（）A．①②B．①④C．①③④D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与不等式（组）．专题：数形结合．分析：根据抛物线与x轴有两个交点可得b2﹣4ac＞0，进而判断①正确；根据题中条件不能得出x=﹣2时y的正负，因而不能得出②正确；如果设ax2+bx+c=0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，由此判断③错误；先根据抛物线的对称性可知x=﹣2与x=4时的函数值相等，再根据二次函数的增减性即可判断④正确．解答：解：①∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；②x=﹣2时，y=4a﹣2b+c，而题中条件不能判断此时y的正负，即4a﹣2b+c可能大于0，可能等于0，也可能小于0，故②错误；③如果设ax2+bx+c=0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，故③错误；④∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，∴x=﹣2与x=4时的函数值相等，∵4＜5，∴当抛物线开口向上时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，故④正确．故选：B．点评：主要考查图象二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，以及二次函数与不等式的关系，根的判别式的熟练运用．3二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．c＞﹣1 Bb＞0 C．2a+b≠0D．9a+c＞3b考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题；数形结合．分析：由抛物线与y轴的交点在点（0，﹣1）的下方得到c＜﹣1；由抛物线开口方向得a＞0，再由抛物线的对称轴在y轴的右侧得a、b异号，即b＜0；根据抛物线的对称性得到抛物线对称轴为直线x=﹣，若x=1，则2a+b=0，故可能成立；由于当x=﹣3时，y＞0，所以9a﹣3b+c＞0，即9a+c＞3b．解答：解：∵抛物线与y轴的交点在点（0，﹣1）的下方．∴c＜﹣1；故A错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x=﹣＞0，∴b＜0；故B错误；∵抛物线对称轴为直线x=﹣，∴若x=1，即2a+b=0；故C错误；∵当x=﹣3时，y＞0，∴9a﹣3b+c＞0，即9a+c＞3b．故选：D．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．4．如图，二次函y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣2，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）A．①②④B③④C．①③④D．①②考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c 的符号；②根据对称轴求出b=﹣a；③把x=2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关系；④求出点（﹣2，y1）关于直线x=的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小．解答：解：①∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，∴c＞0，∵对称轴是直线x=，∴﹣=，∴b=﹣a＞0，∴abc＜0．故①正确；②∵由①中知b=﹣a，∴a+b=0，故②正确；③把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，∵抛物线经过点（2，0），∴当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0．故③错误；④∵（﹣2，y1）关于直线x=的对称点的坐标是（3，y1），又∵当x＞时，y随x的增大而减小，＜3，∴y1＜y2．故④正确；综上所述，正确的结论是①②④．故选：A．点评：本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下．5如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，下列结论正确的是（）A．b2＞4ac B．ac＞0 C．a﹣b+c＞0 D．4a+2b+c＜0考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向下得a＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c=0，则可对C选项进行判断；由于x=2时，函数值大于0，则有4a+2b+c＞0，于是可对D选项进行判断．解答：解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，所以B选项错误；∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，所以C选项错误；∵当x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，所以D选项错误．故选：A．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．6．二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1﹣a﹣b的值为（）A．﹣3 B﹣1 C．2 D．5考点：二次函数图象上点的坐标特征．专题：整体思想．分析：把点（1，1）代入函数解析式求出a+b，然后代入代数式进行计算即可得解．解答：解：∵二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），∴a+b﹣1=1，∴a+b=2，∴1﹣a﹣b=1﹣（a+b）=1﹣2=﹣1．故选：B．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，整体思想的利用是解题的关键．7．将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是（）A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位C向上平移2个单位D．向下平移2个单位考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据图象左移加，可得答案．解答：解：将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是向左平移了2个单位，故选：A．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下减．8．将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（）A．（0，2）B．（0，3）C．（0，4）D．（0，7）考点：二次函数图象与几何变换．专题：几何变换．分析：先根据顶点式确定抛物线y=（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），再利用点的平移得到平移后抛物线的顶点坐标为（0，3），于是得到移后抛物线解析式为y=x2+3，然后求平移后的抛物线与y轴的交点坐标．解答：解：抛物线y=（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），把点（1，3）向左平移1个单位得到点的坐标为（0，3），所以平移后抛物线解析式为y=x2+3，所以得到的抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）．故选：B．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．9．如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）A．y=x2﹣1 B．y=x2+1 C．y=（x﹣1）2D．y=（x+1）2考点：二次函数图象与几何变换．专题：几何变换．分析：先得到抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再得到点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．解答：解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0），所以所得的抛物线的表达式为y=（x﹣1）2．故选：C．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．二．填空题（共6小题）10．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= a（1+x）2．考点：根据实际问题列二次函数关系式．专题：计算题．分析：由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到2月份研发资金为a×（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．解答：解：∵一月份新产品的研发资金为a元，2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴2月份研发资金为a×（1+x），∴三月份的研发资金为y=a×（1+x）×（1+x）=a（1+x）2．故填空答案：a（1+x）2．点评：此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）2=b来解题．11．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米．考点：二次函数的应用．专题：函数思想．分析：根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．解答：解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，解得：x=，所以水面宽度增加到米，故答案为：米．点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．12．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x+6）2+4 ．考点：二次函数的应用．专题：数形结合．分析：根据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可．解答：解：由题意可得出：y=a（x+6）2+4，将（﹣12，0）代入得出，0=a（﹣12+6）2+4，解得：a=﹣，∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y=﹣（x+6）2+4．故答案为：y=﹣（x+6）2+4．点评：此题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．13．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为25 元．考点：二次函数的应用．专题：销售问题．分析：本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．解答：解：设最大利润为w元，则w=（x﹣20）（30﹣x）=﹣（x﹣25）2+25，∵20≤x≤30，∴当x=25时，二次函数有最大值25，故答案是：25．点评：本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．14．如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜3 ．考点：二次函数与不等式（组）．专题：计算题．分析：利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c＜0的解集．解答：解：由图象得：对称轴是x=1，其中一个点的坐标为（3，0）∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）利用图象可知：ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，∴﹣1＜x＜3故填：﹣1＜x＜3点评：此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结合，题目非常典型．15．请写出一个以直线x=﹣2为对称轴，且在对称轴左侧部分是上升的抛物线的表达式，这条抛物线的表达式可以是y=﹣（x+2）2等．考点：二次函数的性质．专题：开放型．分析：在对称轴左侧部分是上升的抛物线必然开口向下，即a＜0，直线x=﹣2为对称轴可直接利用配方法的形式写出一个二次函数的解析式．解答：解：根据题意得：y=﹣（x+2）2．（答案不唯一）．点评：配方法：将解析式化为顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．二次函数当a＞0，函数开口向上，当a＜0，函数开口向下．三．解答题（共8小题）16．如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．专题：计算题．分析：（1）将A与B代入抛物线解析式求出a与c的值，即可确定出抛物线解析式；（2）利用顶点坐标公式表示出D点坐标，进而确定出E点坐标，得到DE与OE的长，根据B点坐标求出BO的长，进而求出BE的长，在直角三角形BED中，利用勾股定理求出BD的长．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），∴将A与B坐标代入得：，解得：，则抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）点D为抛物线顶点，由顶点坐标（﹣，）得，D（1，4），∵对称轴与x轴交于点E，∴DE=4，OE=1，∵B（﹣1，0），∴BO=1，∴BE=2，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD===2．点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．17．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）请直接写出D点的坐标．（2）求二次函数的解析式．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．考点：抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）．专题：待定系数法．分析：（1）根据抛物线的对称性来求点D的坐标；（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；（3）根据图象直接写出答案．解答：解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，∴对称轴是x==﹣1．又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，∴D（﹣2，3）；（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），根据题意得，解得，所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式以及二次函数与不等式组．解题时，要注意数形结合数学思想的应用．另外，利用待定系数法求二次函数解析式时，也可以采用顶点式方程．18．已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数的三种形式．专题：数形结合．分析：（1）配方后求出顶点坐标即可；（2）求出A、B的坐标，根据坐标求出AB、CD，根据三角形面积公式求出即可．解答：解：（1）y=x2﹣4x+3=x2﹣4x+4﹣4+3=（x﹣2）2﹣1，所以顶点C的坐标是（2，﹣1），当x＜2时，y随x的增大而减少；当x＞2时，y随x的增大而增大；（2）解方程x2﹣4x+3=0得：x1=3，x2=1，即A点的坐标是（1，0），B点的坐标是（3，0），过C作CD⊥AB于D，∵AB=2，CD=1，∴S△ABC=AB×CD=×2×1=1．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，难度适中．19．如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．（2）求△EMF与△BNF的面积之比．考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质．专题：代数几何综合题．分析：（1）直接将（﹣1，0）代入求出即可，再利用配方法求出顶点坐标；（2）利用EM∥BN，则△EMF∽△BNF，进而求出△EMF与△BNE的面积之比．解答：解：（1）由题意可得：﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+c=0，解得：c=3，∴y=﹣x2+2x+3，∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M（1，4）；（2）∵A（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，∴点B（3，0），∴EM=1，BN=2，∵EM∥BN，∴△EMF∽△BNF，∴=（）2=（）2=．点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质，得出△EMF∽△BNF是解题关键．20．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y=（k＞0）刻画（如图所示）．（1）根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？②当x=5时，y=45，求k的值．（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．考点：二次函数的应用；反比例函数的应用．专题：应用题；数形结合．分析：（1）①利用y=﹣200x2+400x=﹣200（x﹣1）2+200确定最大值；②直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可；（2）求出x=11时，y的值，进而得出能否驾车去上班．解答：解：（1）①y=﹣200x2+400x=﹣200（x﹣1）2+200，∴x=1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升）；②∵当x=5时，y=45，y=（k＞0），∴k=xy=45×5=225；（2）不能驾车上班；理由：∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时，∴将x=11代入y=，则y=＞20，∴第二天早上7：00不能驾车去上班．点评：此题主要考查了反比例函数与二次函数综合应用，根据图象得出正确信息是解题关键．21．在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式．（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？[参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是]．考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用．专题：销售问题．分析：（1）根据销售量=240﹣（销售单价每提高5元，销售量相应减少20套）列函数关系即可；（2）根据月销售额=月销售量×销售单价=14000，列方程即可求出销售单价；（3）设一个月内获得的利润为w元，根据利润=1套球服所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答．解答：解：（1），∴y=﹣4x+480（x≥60）；（2）根据题意可得，x（﹣4x+480）=14000，解得，x1=70，x2=50（不合题意舍去），∴当销售价为70元时，月销售额为14000元．（3）设一个月内获得的利润为w元，根据题意，得w=（x﹣40）（﹣4x+480），=﹣4x2+640x﹣19200，=﹣4（x﹣80）2+6400，当x=80时，w的最大值为6400∴当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．点评：本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，并涉及到了根据二次函数的最值公式，熟练记忆公式是解题关键．22．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃，y A、y B与x的函数关系式分别为y A=kx+b，y B=（x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．（1）分别求y A、y B关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？。
中考数学二次函数填空题(难度题)含答案
《二次函数》——难度题1、从如图所示的二次函数y = ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象中，得出了下面五条信息：①ab > 0 ②a ＋b ＋c < 0 ③b ＋2c > 0 ④a －2b ＋4c > 0 ⑤32a b . 其中正确信息的序号是 ① ② ③ ④ ⑤2、如图，二次函数2y ax bx c （0≠a ）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0），下列结论：①0ab，②24b a ，③02a b c ，④01b ，⑤当1x时，0y .其中正确结论的序号是 ①②③④o x y-113、已知二次函数y =ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b 2＞4ac ；②abc ＞0；③2a ﹣b =0；④8a+c ＜0；⑤9a+3b+c ＜0，其中结论正确的是①②⑤ ．（填正确结论的序号）4、二次函数y= ax 2+bx+c 的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b ＞0；②b ＞a ＞c ；③若﹣1＜m ＜n ＜1，则m+n ＜a b ；④3|a |+|c |＜2|b |． 其中正确的结论是 ①③④ （写出你认为正确的所有结论序号）．5、二次函数y=ax 2+bx+c 图象如图，下列正确的序号为 ①③④ ①bc ＞0；②2a ﹣3c ＜0；③2a+b ＞0；④ax 2+bx+c =0有两个解x 1，x 2，x 1＞0， x 2＜0；⑤a+b+c ＞0；⑥当x ＞1时，y 随x 增大而减小．【解】①∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵对称轴在y 轴右侧，∴a ，b 异号即b ＜0， ∵抛物线与y 轴的交点在负半轴，∴c ＜0，∴bc ＞0，故①正确；②∵a ＞0，c ＜0，∴2a ﹣3c ＞0，故②错误；③∵对称轴x =﹣＜1，a ＞0，∴﹣b ＜2a ，∴2a+b ＞0，故③正确；④由图形可知二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点分别在原点的左右两侧， 即方程ax 2+bx+c=0有两个解x 1，x 2，当x 1＞x 2时，x 1＞0，x 2＜0，故④正确； ⑤由图形可知x=1时，y=a+b+c ＜0，故⑤错误；⑥∵a ＞0，对称轴x=1，∴当x ＞1时，y 随x 增大而增大，故⑥错误．综上所述，正确的结论是①③④6、如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣1，3．与y 轴负半轴交于点C ，在下面五个结论中：①2a ﹣b =0；②a+b+c ＞0；③c =﹣3a ；④只有当a =21时，△ABD 是等腰直角三角形；⑤使△ACB 为等腰三角形的a 值可以有四个．其中正确的结论是 ③④ ．（只填序号）7、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x =2，下列结论：①4a+b =0；②9a+c ＞3b ；③8a +7b +2c ＞0；④当x ＞﹣1时，y 的值随x 值的增大而增大．其中正确的结论有（ B ）A．1个B．2个C．3个D．4个8、（2014年四川）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则下列叙述正确的是（）A．a bc＜0B．﹣3a+c＜0 C．b2﹣4ac≥0D．将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2+c9、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（B）A.4个B. 3个C．2个D．1个10、二次函数bx x y +=2的图象如图，对称轴为1=x ．若关于x 的一元二次方程02=-+t bx x （t 为实数）在41<<-x 的范围内有解，则t 的取值范围是 81<≤-t11、如图,已知抛物线y 1=－2x 2＋2,直线y 2=2x +2,当x 任取一值时,x 对应的函数值分别为y 1、y 2.若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M = y 1=y 2.例如：当x =1时，y 1=0, y 2=4, y 1＜y 2，此时M = 0. 下列判断：①当x ＞0时，y 1＞y 2； ②当x ＜0时，x 值越大，M 值越小； ③使得M 大于2的x 值不存在； ④使得M = 1的x 值是 21-或22.其中正确的是 ③④12、二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）图象如图，下列结论：①abc ＞0； ②3a +c <0； ③当m ≠1时，a +b ＞am 2+bm ；④a ﹣b +c ＞0； ⑤若ax 12+bx 1=ax 22+bx 2，且x 1≠x 2，则x 1+x 2=2．其中正确的有 xy Oy 2 y 1②③⑤( 填序号)13、如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C－D－E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（－1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为 214、如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…A n，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…M n，…都在直线L：y = x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…A n，…．则顶点M2014的坐标为（4027，4027）．2 1 － 1 O xy15、如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝ 1 3，小亮通过观察得出了下面四条信息：①c ＜0， ②abc ＜0， ③a －b ＋c ＞0， ④2a －3b ＝0．你认为其中正确的有____①③ ____（把正确的番号填在横线上）16、二次函数y=x 2+bx 的图象如图，对称轴为直线x =1，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0（t 为实数）在﹣3≤x <4的范围内有解，则t 的取值范围是﹣1≤t ≤1517、已知抛物线y ＝－x 2＋6x －5与x 轴交于点A 、B （A 在B 的左侧），顶点为C ，CD ⊥y 轴于D ，P 是x 轴上方抛物线对称轴上一点，且S △P AD ＝2S △PBC ，则点P 的坐标为_)8,3()58,3(或____【方法】设点，将面积与坐标建立等量关系，用差量法求三角形面积18、已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （－1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，顶点为D ，点P 是抛物线的对称轴上一点，以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，且与直线CD 相切，则点P 的坐标为_____)462,1()462,1(---或____【方法】设点坐标；三角函数；勾股定理19、已知抛物线y ＝x 2－2mx ＋4m －8的顶点为A ．（1）若以A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形ABC （B 、C 两点都在拋物线上），则△ABC 的面积为____33______；（2）若抛物线y ＝x 2－2mx ＋4m －8与x 轴交点的横坐标均为整数，则整数m 的值为____2_____【方法】利用特殊几何形的长度角度关系，设点坐标；将点的坐标代入抛物线方程，建立方程求解。
《二次函数》选择题与填空题中考考点分析
《二次函数》选择题与填空题中考考点分析考点1、确定a 、b 、c 的值．二次函数：y=ax 2+bx+c （a,b,c 是常数，且a ≠0） a ＞0开口向上，a ＜0开口向下．抛物线的对称轴为x=2ba -，由图像确定2b a -的正负，由a 的符号确定出b 的符号．由x=0时,y=c ，知c 的符号取决于图像与y 轴的交点纵坐标，与y轴交点在y 轴的正半轴时，c ＞0，与y 轴交点在y 轴的负半轴时，c ＜0．确定了a 、b 、c的符号，易确定abc 的符号．考点 2、确定a+b+c 的符号．x=1时，y=a+b+c ，由图像y 的值确定a+b+c 的符号．与之类似的还经常出现判断4a+2b+c 的符号（易知x=2时，y=4a+2b+c ），由图像y 的值确定4a+2b+c 的符号．还有判断a －b+c 的符号（x=－1时，y=a －b+c ）等等．考点3、与抛物线的对称轴有关的一些值的符号．抛物线的对称轴为x=2b a -，根据对称性知：取到对称轴距离相等的两个不同的x 值时，y 值相等，即当x=2b a -+m 或x=2b a -－m 时，y 值相等．中考考查时，通常知道x=2b a -+m 时y 值的符号，让确定出x=2b a -－m 时y 值的符号．考点4、由对称轴x=2b a -的确定值判断a 与b 的关系．如：2b a -=1能判断出a =－0.5b ．考点5、顶点与最值．若x 可以取全体实数，开口向下时，y 在顶点处取得最大值，开口向上时，y 在顶点处取得最小值．例1、（天津市）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤)(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ）．A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个解析：此题考查了考点1、2、3、4、5． ①错误．因为：开口向下a ＜0;对称轴x=2ba -=1，可以得出b ＞0; x=0时,y=c ＞0，故abc＜0．②错误．因为：由图知x=－1时，y=a －b+c ＜0，即b ＞a+c ．③正确．因为：由对称轴x=1知,x=0时和x=2时y 值相等，由x=0时，y ＞0，知x=2时，y=4a+2b+c＞0．④正确．因为：由对称轴x=2ba -=1，可以得出a =－0.5b ，代入前面已经证出b ＞a+c ，得出1.5b ＞c,即3b ＞2c ．⑤正确．因为：抛物线开口向下，故顶点处y 值最大，即x=1，y= a+b+c 最大，此时a+b+c ＞am 2+bm+c （1≠m ），即)(b am m b a +>+，（1≠m ）．答案：B ．考点6、图象与x 轴交点．∵b 2-4ac ＞0，ax 2+bx+c=0有两个不相等的实根；b 2-4ac ＜0，ax 2+bx+c=0无实根；b 2-4ac=0，ax 2+bx+c=0有两个相等的实根．∴b 2-4ac ＞0，抛物线与x轴有两个交点；b 2-4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点；b 2-4ac=0，抛物线与x 轴只有一个交点．例2、（广州市）二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：求图象与x 轴的交点应令y=0，即x 2－2x+1=0,∵b 2-4ac ＝4－4=0,∴二次函数图象与x 轴只有一个交点．答案：B ．考点7、判断在同一坐标系中两种不同的图形的正误．如：在同一种坐标系中正确画出一次函数y ax b =+和二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，关键是两个式子中的a 、b 值应相同．例3、（云南双柏县）在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ ）．解析：二次函数2y ax bx =+过点（0，0），故排除答案B 与C ．若a ＞0，抛物线开口向上，一次函数y ax b =+的y 值随着x 值的增大而增大；若a ＜0，抛物线开口向下，一次函数y ax b =+的y 值随着x 值的增大而减小．答案：A.考点8、能分别判断出在对称轴的左右两侧二次函数y 值随x 值的变化而变化情况．抛物线当开口向上时，在对称轴的左侧二次函数y 值随x 值的增大而减小，在对称轴的右侧二次函数y 值随x 值的增大而增大．抛物线开口向下时，在对称轴的左侧二次函数y 值随x值的增大而增大，在对称轴的右侧二次函数y 值随x 值的增大而减小．例4、（四川资阳改编）已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象经过点(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( )．A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小C. 存在一个负数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x > x 0时，函数值y 随x 的增大而增大D. 存在一个正数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x >x 0时，函数值y 随x 的增大而增大解析：二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象没说明开口方向，故过点(-1，2)，(1，0)的抛物线有可能开口向上或向下，见图再结合选项，抛物线当开口向上时，在对称轴x =x 0（x 0>0）的左侧二次函数y 值随x 值的增大而减小，在对称轴的右侧二次函数y 值随x 值的增大而增大．抛物线开口向下时，在对称轴x =x 0（x 0<0）的左侧二次函数y 值随x 值的增大而增大，在对称轴的右侧二次函数y 值随x 值的增大而减小．答案：D ．考点9、二次函数解析式的几种形式． (1)一般式：y ＝ax 2+bx+c (a,b,c 为常数，a ≠0).(2)顶点式：y ＝a(x-h)2+k(a,h,k 为常数，a ≠0). 抛物线的顶点坐标是(h,k)，h ＝0时，抛O x y O x y O x y O xy A B C D物线y ＝ax 2+k 的顶点在y 轴上；当k ＝0时，抛物线y ＝a(x-h)2的顶点在x 轴上；当h ＝0且k ＝0时，抛物线y ＝ax 2的顶点在原点. (3)两根式：y ＝a(x-x 1)(x-x 2)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a ≠0）的两个根. 求解析式时若已知抛物线过三点坐标一般设成一般式，已知抛物线过的顶点坐标时设成顶点式，已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标时设成两根式．例5、（上海市）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，．求该二次函数的解析式为 ．解析：（1）设二次函数解析式为2(1)4y a x =--，二次函数图象过点(30)B ，，044a ∴=-，得1a =． ∴二次函数解析式为2(1)4y x =--，即223y x x =--．练一练：1、(浙江省)如图，二次函数c bx ax y ++=2的图象开口向上,图像经过点（-1，2）和（1，0）且与y 轴交于负半轴．(以下有（1）、（2）两问，每个考生只须选答一问，若两问都答，则只以第（2）问计分)第（1）问：给出四个结论：①a ＞0；②b ＞0；③c ＞0； ④a+b+c=0其中正确的结论的序号是 （答对得3分，少选、错选均不得分）．第（２）问：给出四个结论：①abc ＜0；②2a+b ＞0；③a+c=1；④a ＞1．其中正确的结论的序号是 （答对得5分，少选、错选均不得分）．2、(河南省)二次函数122-++=a x ax y 的图像可能是【 】3、 (河北省)如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图像经过点A 和点B ．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P （m ，m ）与点Q 均在该函数图像上（其中m ＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 到x轴的距离．4、 有一抛物线的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m ，跨度为10m ， 如图所示，把它的图形放在直角坐标系中x y O 3 －9 －1 －1 A B A. x y B. x y C. x y D. x y①求这条抛物线所对应的函数关系式；②如图，在对称轴右边1m 处，桥洞离水面的高是多少？【参考答案】：1、（1）①，④． （2）②，③，④2、B.3、解：（1）将x =-1，y =-1；x =3，y =-9分别代入c x ax y +-=42得 ⎩⎨⎧+⨯-⨯=-+-⨯--⨯=-.3439,)1(4)1(122c a c a 解得 ⎩⎨⎧-==.6,1c a∴二次函数的表达式为642--=x x y ．（2）对称轴为2=x ；顶点坐标为（2，-10）．（3）将（m ，m ）代入642--=x x y ，得 642--=m m m ， 解得121,6m m =-=．∵m ＞0，∴11-=m 不合题意，舍去． ∴ m =6．∵点P 与点Q 关于对称轴2=x 对称，∴点Q 到x 轴的距离为6．4、①y ＝－0.16x 2＋1.6x ；②3.84m ．。
九下数学-二次函数(超经典例题讲解,习题含答案)
3．若正比例函数y＝（1－2m）x的图像经过点A（ ， ）和点B（ ， ），当 ＜ 时 ＞ ，则m的取值范围是（）
（A）m＜0（B）m＞0（C）m＜ （D）m＞
4．函数y= kx+ 1与函数 在同一坐标系中的大致图象是（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数 与一次函数y＝ax＋c的大致图像，有且只有一个是正确的，正确的是（）
（A） ， ，
（B） ， ，
（C） ， ，
（D） ， ，
11．张大伯出去散步，从家走了20分钟，到一个离家900米的阅报亭，看了10分钟报纸后，用了15分钟返回到家，下面哪个图形表示张大伯离家时间与距离之间的关系（）
12．二次函数y=x2-2x+2有（）
A．最大值是1 B．最大值是2 C．最小值是1 D．最小值是2
（A）（B）（C）（D）
6．抛物线 的顶点坐标是（ ）
A．（1，1）B．（1，－1）C．（－1，1）D．（－1，－1）
7．函数y=ax+b与y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则下列选项中正确的是（ ）
A．ab>0，c>0 B．ab<0，c>0
C．ab>0，c<0 D．ab<0，c<0
8．已知a，b，c均为正数，且k= ，在下列四个点中，正比例函数
三、解答题：
（1） （2）
解：（1）如图，建立直角坐标系，设二次函数解析式为y＝ax2＋c
∵D（－0.4，0.7），B（0.8，2.2），∴
∴ ∴绳子最低点到地面的距离为0.2米．
（2）分别作EG⊥AB于G，FH⊥AB于H，
2022年中考数学试题汇编：二次函数(填空题)(含解析)
2022年中考数学试题汇编：二次函数（填空题）1．（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为元（利润＝总销售额﹣总成本）．2．（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是．3．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米．4．（2022•大庆）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m 的值为．5．（2022•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D （m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为．6．（2022•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是．7．（2022•福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x 轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为．8．（2022•无锡）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：．9．（2022•荆州）规定；两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y 函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为．10．（2022•武汉）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论：①b＞0；②若m＝，则3a+2c＜0；③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＞y2；④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．其中正确的是（填写序号）．11．（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为m2．12．（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t （单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝s．13．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是m．14．（2022•凉山州）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是．15．（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O 点3m．那么喷头高m时，水柱落点距O点4m．16．（2022•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w 的取值范围是；当2≤t≤3时，w的取值范围是．17．（2022•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是．18．（2022•黑龙江）把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为．参考答案与试题解析1．（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为121元（利润＝总销售额﹣总成本）．【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润＝单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．【解答】解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，故答案为：121．【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润＝单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．2．（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是m＝3或﹣1＜m≤﹣．【分析】根据抛物线求出对称轴x＝1，y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD的表达式y＝﹣1，分两种情况讨论：m＞0时或m＜0时，利用抛物线的性质分析求解．【解答】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，当x＝0时，y＝2，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD的表达式y＝﹣1，当m＞0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣（不符合题意，舍去），当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1（不符合题意，舍去），当m＞0且抛物线的顶点在线段CD上时，2﹣m＝﹣1，解得：m＝3，当m＜0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣，当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1，综上，m的取值范围为m＝3或﹣1＜m≤﹣，故答案为：m＝3或﹣1＜m≤﹣．【点评】本题考查了二次函数的性质，理解对称轴的含义，熟练掌握二次函数的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．3．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米．【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把x＝4代入抛物线解析式得出y，即可得出答案．【解答】解：以水平面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，由题意可得：AO＝OB＝3米，C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣3，0）代入抛物线解析式得，9a+2＝0，解得：a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2，当x＝4时，y＝﹣×16+2＝﹣，∴水面下降米，故答案为：．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．4．（2022•大庆）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m 的值为1或﹣．【分析】函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，分情况讨论，①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，②与x、y轴各一个交点，得出Δ＝0，m≠0．【解答】解：∵函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，②与x、y轴各一个交点，∴Δ＝0，m≠0，（3m）2﹣4m（m﹣1）＝0，解得m＝0或m＝﹣，综上所述：m的值为1或﹣．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，掌握函数的图象与坐标轴恰有两个公共点的情况，看清题意，分情况讨论是解题关键．5．（2022•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D （m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为（﹣5，﹣4）或（0，1）．【分析】由抛物线解析式可得A，B，C三点的坐标，则AB＝4，将点D的坐标代入抛物线的解析式可得m的值，确定D的坐标，根据计算的D的坐标分情况画图可得结论．【解答】解：把点D（m，m+1）代入抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5中得：m+1＝﹣m2﹣6m﹣5，解得：m1＝﹣1，m2＝﹣6，∴D（﹣1，0）或（﹣6，﹣5），当y＝0时，﹣x2﹣6x﹣5＝0，∴x＝﹣1或﹣5，∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），当x＝0时，y＝﹣5，∴OC＝OA＝5，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠OAC＝45°，①如图1，D（﹣1，0），此时点D与B重合，连接AD'，∵点D与D'关于直线AC对称，∴AC是BD的垂直平分线，∴AB＝AD'＝﹣1﹣（﹣5）＝4，且∠OAC＝∠CAD'＝45°，∴∠OAD'＝90°，∴D'（﹣5，﹣4）；②如图2，D（﹣6，﹣5），∵点D（m，m+1），∴点D在直线y＝x+1上，此时直线y＝x+1过点B，∴BD⊥AC，即D'在直线y＝x+1上，∵A（﹣5，0），C（0，﹣5），则直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣5，∵﹣x﹣5＝x+1，∴x＝﹣3，∴E（﹣3，﹣2），∵点D与D'关于直线AC对称，∴E是DD'的中点，∴D'（0，1），综上，点D关于直线AC的对称点的坐标为（﹣5，﹣4）或（0，1）．故答案为：（﹣5，﹣4）或（0，1）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和轴对称的性质是解决问题的关键．6．（2022•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是（1，﹣3）．【分析】先求出绕原点旋转180°的抛物线解析式，再求出向下平移5个单位长度的解析式，配成顶点式即可得答案．【解答】解：将抛物线y＝x2+2x﹣1绕原点旋转180°后所得抛物线为：﹣y＝（﹣x）2+2（﹣x）﹣1，即y＝﹣x2+2x+1，再将抛物线y＝﹣x2+2x+1向下平移5个单位得y＝﹣x2+2x+1﹣5＝﹣x2+2x﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣3，∴所得到的抛物线的顶点坐标是（1，﹣3），故答案为：（1，﹣3）．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．7．（2022•福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x 轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为8．【分析】先判断出了抛物线与x轴的两交点坐标，进而求出AD，BC，进而建立方程，求解即可求出答案．【解答】解：针对于抛物线y＝x2+2x﹣n，令y＝0，则x2+2x﹣n＝0，∴x＝﹣1±，针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣n，令y＝0，则x2﹣2x﹣n＝0，∴x＝1±，∵抛物线y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1，∴抛物线y＝x2+2x﹣n的顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1），∵抛物线y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1，∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的顶点坐标为（1，﹣n﹣1），∴抛物线y＝x2+2x﹣n与抛物线y＝x2﹣2x﹣n的开口大小一样，与y轴相交于同一点，顶点到x轴的距离相等，∴AB＝CD，∵AD＝2BC，∴抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴的交点A在左侧，B在右侧，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴的交点C在左侧，D在右侧，∴A（﹣1﹣，0），B（﹣1+，0），C（1﹣，0），D（1+，0），∴AD＝1+﹣（﹣1﹣）＝2+2，BC＝﹣1+﹣（1﹣）＝﹣2+2，∴2+2＝2（﹣2+2），∴n＝8，故答案为：8．【点评】此题主要考查了抛物线的性质，抛物线与x轴交点的求法，表示出点A，B，C，D的坐标是解本题的关键．8．（2022•无锡）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：m＞3．【分析】先求出平移后的抛物线的解析式，由平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，可得Δ＜0，即可求解．【解答】解：∵把二次函数y＝x2+4x+m＝（x+2）2+m﹣4的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，∴平移后的解析式为：y＝（x+2﹣3）2+m﹣4+1，∴平移后的解析式为：y＝x2﹣2x+m﹣2，∴对称轴为直线x＝1，∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，∴Δ＝4﹣4（m﹣2）＜0，∴m＞3，故答案为：m＞3．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的几何变换．9．（2022•荆州）规定；两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y 函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4．【分析】根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求解．【解答】解：∵函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，∴函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，当k＝0时，函数解析为y＝﹣2x﹣3，它的“Y函数”解析式为y＝2x﹣3，它们的图象与x轴只有一个交点，当k≠0时，此函数是二次函数，∵它们的图象与x轴都只有一个交点，∴它们的顶点分别在x轴上，∴＝0，解得：k＝﹣1，∴原函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣4＝﹣（x+2）2，∴它的“Y函数”解析式为y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+4x﹣4，综上，“Y函数”的解析式为y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4，故答案为：y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4．【点评】本题考查了新定义，利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，理解题意，利用分类讨论的思想是解题是关键．10．（2022•武汉）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论：①b＞0；②若m＝，则3a+2c＜0；③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＞y2；④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．其中正确的是①③④（填写序号）．【分析】①正确．根据对称轴在y轴的右侧，可得结论；②错误．3a+2c＝0；③正确．由题意，抛物线的对称轴直线x＝h，0＜h＜0.5，由点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，推出点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，推出y1＞y2；④正确，证明判别式＞0即可．【解答】解：∵对称轴x＝＞0，∴对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，∵a＜0，∴b＞0，故①正确；当m＝时，对称轴x＝﹣＝，∴b＝﹣，当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，∴c＝0，∴3a+2c＝0，故②错误；由题意，抛物线的对称轴直线x＝h，0＜h＜0.5，∵点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，∴点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，∴y1＞y2，故③正确；设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣m），方程a（x+1）（x﹣m）＝1，整理得，ax2+a（1﹣m）x﹣am﹣1＝0，Δ＝[a（1﹣m）]2﹣4a（﹣am﹣1）＝a2（m+1）2+4a，∵1＜m＜2，a≤﹣1，∴Δ＞0，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．故④正确，故答案为：①③④．【点评】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．11．（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为32m2．【分析】设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值．【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）m，∴矩形围栏的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴当x＝4时，矩形有最大面积为32m2，故答案为：32．【点评】本题考查二次函数的应用，准确识图，理解二次函数的性质是解题关键．12．（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t （单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝2s．【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．【解答】解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴当t＝2时，h取最大值20，故答案为：2．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．13．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是4m．【分析】根据所建坐标系，水平距离OH就是y＝3.05时离他最远的距离．【解答】解：当y＝3.05时，3.05＝﹣0.2x2+x+2.25，x2﹣5x+4＝0，（x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x1＝1，x2＝4，故他距篮筐中心的水平距离OH是4m．故答案为：4．【点评】此题考查二次函数的运用，根据所建坐标系确定水平距离的求法是此题关键．14．（2022•凉山州）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是6．【分析】根据a﹣b2＝4得出b2＝a﹣4，代入代数式a2﹣3b2+a﹣14中，然后结合二次函数的性质即可得到答案．【解答】解：∵a﹣b2＝4，∴b2＝a﹣4，∴原式＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣14＝a2﹣3a+12+a﹣14＝a2﹣2a﹣2＝a2﹣2a+1﹣1﹣2＝（a﹣1）2﹣3，∵1＞0，又∵b2＝a﹣4≥0，∴a≥4，∵1＞0，∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，∴当a＝4时，原式取最小值为6，故答案为：6．【点评】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，灵活应用配方法，从而完成求解．15．（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O 点3m．那么喷头高8m时，水柱落点距O点4m．【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1＝0；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y＝ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．【解答】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0，整理得2.5a+b+1＝0①；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，联立可求出a＝﹣，b＝，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，∴此时的解析式为y＝﹣x2+x+h，将（4，0）代入可得﹣×42+×4+h＝0，解得h＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．16．（2022•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w 的取值范围是0≤w≤5；当2≤t≤3时，w的取值范围是5≤w≤20．【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，再利用配方法求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象即可求解．【解答】解：∵物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，∴抛物线h＝﹣5t2+mt+n的顶点的纵坐标为20，且经过（3，0）点，∴，解得：，（不合题意，舍去），∴抛物线的解析式为h＝﹣5t2+10t+15，∵h＝﹣5t2+10t+15＝﹣5（t﹣1）2+20，∴抛物线的最高点的坐标为（1，20）．∵20﹣15＝5，∴当0≤t≤1时，w的取值范围是：0≤w≤5；当t＝2时，h＝15，当t＝3时，h＝0，∵20﹣15＝5，20﹣0＝20，∴当2≤t≤3时，w的取值范围是：5≤w≤20．故答案为：0≤w≤5；5≤w≤20．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，理解“极差”的意义是解题的关键．17．（2022•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是﹣4＜m＜0．【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过（1，0）可得a，b，c的等量关系，然后将x＝﹣1代入解析式求解．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴﹣＜0，∴b＞0，∵抛物线经过（0，﹣2），∴c＝﹣2，∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c＝0，∴a+b＝2，b＝2﹣a，∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，当x＝﹣1时，y＝a+a﹣2﹣2＝2a﹣4，∵b＝2﹣a＞0，∴0＜a＜2，∴﹣4＜2a﹣4＜0，故答案为：﹣4＜m＜0．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．18．（2022•黑龙江）把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为y＝2（x+1）2﹣2．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y ＝2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2﹣2，故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．。
2022年中考数学二次函数(解析版)
热点05 二次函数在中考中，二次函数可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形式考察，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高。
而考察的内容主要有：二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等。
其中，二次函数与其他综合相关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己的计算不要有失误。
1. 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的解析式：根据已知条件，选择合适的表达式求解；一般情况下：①当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）求其表达式；②当已知抛物线的顶点坐标（或者是对称轴）时，常用顶点式y ＝a （x-m ）2+h （a ≠0）求其表达式；③若（x 1，0）(x 2，0)是抛物线与x 轴的两个交点坐标，故知道抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式y ＝a （x-x 1）(x-x 2)（a ≠0）求其表达式；2.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象及其性质：牢记顶点公式、注意识别图象与系数的关系、注意抛物线的对称性及其性质的应用；其中：二次函数符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶①a 、b 、c 单个字母的判断，a 由开口判断，b 由对称轴判断（左同右异），c 由图象与y 轴交点判断;②含有a 、b 两个字母时，考虑对称轴;③含有a 、b 、c 三个字母，且a 和b 系数是平方关系，给x 取值，结合图像判断， 另：含有 a 、b 、c 三个字母，a 和b 系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶④含有b 2和 4ac ，考虑顶点坐标，或考虑△.⑤其他类型，可考虑给x 取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。
3.二次函数的简单应用：认真审题、分清问题类型、注意计算；利润最大化问题与二次函数模型：两公式：①单位利润=售价-进价；②总利润=单位利润×销量；两转化：①销量转化为售价的一次函数；②总利润转化为售价的二次函数；函数性质：利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值；与现实生活结合类问题，常需要自己先建立合适的平面直角坐标系，之后再根据信息做题；二次函数在中考中单独出题和结合出题的形式都比较常见，和实际应用结合时，多考察现实生活中的“生意问题”或者“省钱问题”；数学模型考察热点有：一次函数与二次函数结合问题、二次函数图象与性质、二次函数与几何图形结合的面积最值问题、二次函数与其他几何图形结合的点在坐标特征问题等。
中考专题----二次函数的解析式
二次函数的解析式【重点难点提示】重点：二次函数的解析式难点：从实际问题中抽象出二次函数考点：二次函数的解析式的求法是中考命题的重中之重，它可以填空题、选择题出现，更多的是通常以综合题的形式出现在中考试卷的压轴题中，占10~12分左右。
【经典范例引路】例1 已知函数y=x 2+kx －3图象的顶点为C 并与x 轴相交于两点A 、B 且AB=4（1）求实数k 的值；（2）若P 为上述抛物线上的一个动点（除点C 外），求使S △ABC =S △ABP 成立的点P 的坐标。
解 （1）设A(x 1,0)B(x 2,0)则AB 2=|x 2－x 1|2=(x 1+x 2)2－4x 1x 2=k 2+12=16∴k=±2(2)由y=x 2±2x －3= (x ±1)2－4得点C 1(1,－4),C 2(－1,－4)∴S △ABC =21×4×4=8设点P(x,4)在抛物线上，则有x 2±2x －3=4,即x 2±2x －7=0得：x=－1±22或x=1±22∴P 点坐标为（－1+22，4）（－1－22，4）（1+22，4）（1－22，4）例2 阅读下面的文字后，解答问题有这样一道题目：已知：二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点A(0,a),B(1,－2)求证这个二次函数图象的对称轴是直线x=2，题目中的横线部分是被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式，若能，写出求解过程？若不能，说明理由（2）请你根据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适当的条件，把原题补充完整。
解 （1）能：根据题意有：⎩⎨⎧++=-=c b a c a 2又∵二次函数图象的对称轴为x=2 ∴－a b2=2解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++=222abcbaca⎪⎩⎪⎨⎧=-==141cba∴能求出二次函数解析式，解析式为y=x2－4x+1（2）可供补充的内容有：（任选一个）①满足y=x2－4x+1的任一点的坐标②a=1或b=－4或c=1③与y轴交点坐标为（0，1）④与x轴交点坐标为（2－3，0）或(2+3,0)⑤最值为－3⑥顶点为（2，－3）等【解题技巧点拨】解此题的关键是把直线x=2作为已知条件来用，从而确定二次函数的解析式。
中考数学二次函数(大题培优 易错 难题)含答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线223432333y x x =--+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2323y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）； （3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103）【解析】 【分析】（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可 【详解】 （1）∵23432333y x x =--+a=233-，则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=x+33-； 联立两解析式求交点2234323332323y=x+33y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，解得x=-2y=23⎧⎪⎨⎪⎩或x=1y=0⎧⎨⎩，∴A （-2，23），B （1,0）； （2）如图1，过A 作AD ⊥y 轴于点D ， 在223432333y x x =--+中，令y=0可求得x= -3或x=1， ∴C （-3,0），且A （-2，23），∴AC=22-++2133=（23）（）由翻折的性质可知AN=AC=13， ∵△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”， ∴N 在y 轴上，且AD=2， 在Rt △AND 中，由勾股定理可得 DN=22AN -AD =13-4=3， ∵OD=23，∴ON=23-3或ON=23+3，∴N 点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；（3）①当AC 为平行四边形的边时，如图2 ，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC=EF ， ∴∠ ACK=∠ EFH ， 在△ ACK 和△ EFH 中ACK=EFHAKC=EHF AC=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ ACK ≌△ EFH ，∴FH=CK=1，HE=AK=23，∵抛物线的对称轴为x=-1，∴ F点的横坐标为0或-2，∵点F在直线AB上，∴当F点的横坐标为0时，则F（0，233），此时点E在直线AB下方，∴E到y轴的距离为EH-OF=23-233=433，即E的纵坐标为-433，∴ E（-1，-433）；当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵ C（-3,0），且A（-2，23），∴线段AC的中点坐标为（-2.5，3），设E（-1，t），F（x，y），则x-1=2×（-2.5），y+t=23，∴x= -4，y=23-t，23-t=-233×（-4）+233，解得t=43-3，∴E（-1，43-3），F（-4，1033）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，-433）、（0，233）或E（-1，43 -3），F（-4，1033）【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题2．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ． （1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣3；（2）y 13=x 2﹣3；（3）M 的坐标为（3632）． 【解析】 【分析】（1）把C （0，﹣3）代入直线y ＝x +m 中解答即可；（2）把y ＝0代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可． 【详解】（1）将C （0，﹣3）代入y ＝x +m ，可得： m ＝﹣3；（2）将y ＝0代入y ＝x ﹣3得： x ＝3，所以点B 的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y ＝ax 2+b 中，可得：390b a b =-⎧⎨+=⎩， 解得：133a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以二次函数的解析式为：y 13=x 2﹣3； （3）存在，分以下两种情况：①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ， 则∠ODC ＝45°+15°＝60°， ∴OD ＝OC •tan30°3=设DC 为y ＝kx ﹣33，0），可得：k 3=联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， 解得：121203336x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以M 1（36）；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ， 则∠OEC ＝45°-15°＝30°， ∴OE ＝OC •tan60°＝3设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（30）可得：k 3=联立两个方程可得：2333133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 解得：12120332x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩， 所以M 23，﹣2）．综上所述M 的坐标为（3，63，﹣2）． 【点睛】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．3．新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y （盒）与销售单价x （元）有如下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w 元．（1）求w 与x 之间的函数关系式；（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快．那么销售单价应定为多少元？【答案】（1）w=﹣2x 2+480x ﹣25600；（2）销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元（3）销售单价应定为100元 【解析】 【分析】 （1）用每件的利润()80x -乘以销售量即可得到每天的销售利润，即()()()80802320w x y x x =-=--+， 然后化为一般式即可；（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式()221203200w x =--+，然后根据二次函数的最值问题求解；（3）求2400w =所对应的自变量的值，即解方程()2212032002400x --+=．然后检验即可. 【详解】（1）()()()80802320w x y x x =-=--+， 2248025600x x =-+-，w 与x 的函数关系式为：2248025600w x x =-+-； （2）()2224802560021203200w x x x =-+-=--+， 2080160x -<≤≤，，∴当120x =时，w 有最大值．w 最大值为3200．答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元． （3）当2400w =时，()2212032002400x --+=． 解得：12100140x x ，．== ∵想卖得快，2140x ∴=不符合题意，应舍去．答：销售单价应定为100元．4．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x 元,每星期的销售量为y 件.(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【解析】【分析】（1）根据售量与售价x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论．（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．【详解】解：（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100，解得：x＝40，60﹣40＝20元，答：这一星期中每件童装降价20元；（2）设利润为w，根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．5．如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.（1）求抛物线的解析式；（2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；（3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，最大值的立方根为=；（3）存在满足条件的点P，t的值为1或【解析】试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x 轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．试题解析：（1）由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3），D（2，3），∴BC=AD=2，∵B（﹣1，0），∴C（1，0），∴线段AC的中点为（，），∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，∴直线l过平行四边形的对称中心，∵A、D关于对称轴对称，∴抛物线对称轴为x=1，∴E（3，0），设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，∴直线l的解析式为y=﹣x+，联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，∴F（﹣，），如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，∵P点横坐标为t，∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，∴最大值的立方根为=；（3）由图可知∠PEA≠90°，∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA=45°，∴∠PAG=∠APG=45°，∴PG=AG，∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，∴△PKE∽△AQP，∴，即，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．考点：二次函数综合题6．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；（2）点D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；（3）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，﹣1）；（3）42【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）如图1，设D（2，y），利用两点间的距离公式得到BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，然后讨论：当BD为斜边时得到18+4+（y﹣3）2=1+y2；当CD 为斜边时得到4+（y﹣3）2=1+y2+18，再分别解方程即可得到对应D的坐标；（3）先证明∠CEF=90°得到△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图2，△EPG、△PHF都为等腰直角三角形，则PE=22PG，PF=2PH，设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），接着利用t表示PF、PE，这样PE+EF=2PE+PF=﹣2t2+42t，然后利用二次函数的性质解决问题．试题解析：解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c得：9303b cc++=⎧⎨=⎩，解得：43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线y=x2+bx+c的表达式为y=x2﹣4x+3；（2）如图1，抛物线的对称轴为直线x=﹣42-=2，设D（2，y），B（3，0），C（0，3），∴BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，当△BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，即18+4+（y﹣3）2=1+y2，解得：y=5，此时D点坐标为（2，5）；当△BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2=DC2，即4+（y﹣3）2=1+y2+18，解得：y=﹣1，此时D点坐标为（2，﹣1）；（3）易得BC的解析式为y=﹣x+3．∵直线y=x+m与直线y=x平行，∴直线y=﹣x+3与直线y=x+m垂直，∴∠CEF=90°，∴△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图2，△EPG、△PHF都为等腰直角三角形，PE=22PG，PF=2PH，设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），∴PF=2PH=2t，PG=﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）=﹣t2+3t，∴PE=22PG=﹣22t2+322t，∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣2t2+32t+2t=﹣2t2+42t=﹣2（t﹣2）2+42，当t=2时，PE+EF的最大值为42．点睛：本题考查了二次函数的综合题．熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．7．课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．【答案】（1）2407mm，4807mm；（2）PN=60mm，40PQ mm．【解析】【分析】(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm），根据平行得出△APN和△ABC 相似，根据线段的比值得出y的值，然后得出边长；(2)、根据第一题同样的方法得出y与x的函数关系式，然后求出S与x的函数关系式，根据二次函数的性质得出最大值.【详解】(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm）∵PN∥BC,∴=，△APN∽△ABC∴=∴=∴=解得 y=∴2y=∴这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm(2)、设PQ=x （mm ），PN=y （mm ），矩形面积为S ，则AE=80-x （mm ）．. 由（1）知=∴=∴ y=则S=xy===∵∴ S 有最大值∴当x=40时，S 最大=2400（mm 2） 此时，y==60 ．∴面积达到这个最大值时矩形零件的两边PQ 、PN 长分别是40 mm ，60 mm ． 考点：三角形相似的应用8．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=--+.（2）3210. （3）①2S m 4m 3=---.②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）. 【解析】 【分析】（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可. 【详解】解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0）， ∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-. ∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+. （2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值. ∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小. ∵点A 、点B 关于对称轴I 对称， ∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴2，10. ∴△PBC 的周长最小是：3210.（3）①∵抛物线2y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），∴直线AD 的解析式为y=2x+6∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+） ∴()22EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---.∴()22DEF AEF 1111S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 32222∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---. ②()22S m 4m 3m 21=---=-++，∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.9．如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点，且与x 轴交于另一点C ．（1）求b 、c 的值；（2）如图1，点D 为AC 的中点，点E 在线段BD 上，且BE=2ED ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 的坐标；（3）将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，如图2，P 为△ACG 内以点，连接PA 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在他们的左侧作等边△APR ，等边△AGQ ，连接QR ①求证：PG=RQ ；②求PA+PC+PG 的最小值，并求出当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标．【答案】（1）b=﹣2，c=3；（2）M （125-，5125）；（3）①证明见解析；②PA+PC+PG 的最小值为19P 的坐标（﹣919，12319）． 【解析】试题分析：（1）把A （﹣3，0），B （0，3）代入抛物线2y x bx c =-++即可解决问题．（2）首先求出A 、C 、D 坐标，根据BE=2ED ，求出点E 坐标，求出直线CE ，利用方程组求交点坐标M ．（3）①欲证明PG=QR ，只要证明△QAR ≌△GAP 即可．②当Q 、R 、P 、C 共线时，PA+PG+PC 最小，作QN ⊥OA 于N ，AM ⊥QC 于M ，PK ⊥OA 于K ，由sin ∠ACM=AM AC =NQQC求出AM ，CM ，利用等边三角形性质求出AP 、PM 、PC ，由此即可解决问题．试题解析：（1）∵一次函数y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴A （﹣3，0），B （0，3），∵抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点，∴3{930c b c =--+=，解得：2{3b c =-=，∴b=﹣2，c=3． （2），对于抛物线223y x x =--+，令y=0，则2230x x --+=，解得x=﹣3或1，∴点C 坐标（1，0），∵AD=DC=2，∴点D 坐标（﹣1，0），∵BE=2ED ，∴点E 坐标（23-，1），设直线CE 为y=kx+b ，把E 、C 代入得到：21{30k b k b -+=+=，解得：35{35k b =-=，∴直线CE 为3355y x =-+，由233{5523y x y x x =-+=--+，解得10x y =⎧⎨=⎩或125{5125x y =-=，∴点M 坐标（125-，5125）． （3）①∵△AGQ ，△APR 是等边三角形，∴AP=AR ，AQ=AG ，∠QAC=∠RAP=60°，∴∠QAR=∠GAP ，在△QAR 和△GAP 中，∵AQ=AG ，∠QAR=∠GAP ，AR=AP ，∴△QAR ≌△GAP ，∴QR=PG ．②如图3中，∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC ，∴当Q 、R 、P 、C 共线时，PA+PG+PC 最小，作QN ⊥OA 于N ，AM ⊥QC 于M ，PK ⊥OA 于K ．∵∠GAO=60°，AO=3，∴AG=QG=AQ=6，∠AGO=30°，∵∠QGA=60°，∴∠QGO=90°，∴点Q 坐标（﹣6，33），在RT △QCN 中，QN=33，CN=7，∠QNC=90°，∴QC=22QN NC +=219，∵sin ∠ACM=AM AC =NQQC，∴AM=65719，∵△APR 是等边三角形，∴∠APM=60°，∵PM=PR ，cos30°=AM AP ，∴AP=121919，PM=RM=61919，∴MC=22AC AM -=141919，∴PC=CM ﹣PM=81919，∵PK CP CK QN CQ CN ==，∴CK=2819，PK=12319，∴OK=CK ﹣CO=919，∴点P 坐标（﹣919，12319），∴PA+PC+PG 的最小值为219，此时点P 的坐标（﹣919，12319）．考点：二次函数综合题；旋转的性质；最值问题；压轴题．10．复习课中，教师给出关于x的函数（k是实数）.教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：①存在函数，其图像经过（1,0）点；②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数；教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由，最后简单写出解决问题时所用的数学方法.【答案】①真，②假，③假，④真，理由和所用的数学方法见解析.【解析】试题分析：根据方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想对各结论进行判断.试题解析：①真，②假，③假，④真.理由如下：①将（1,0）代入，得，解得.∴存在函数，其图像经过（1,0）点.∴结论①为真.②举反例如，当时，函数的图象与坐标轴只有两个不同的交点.∴结论②为假.③∵当时，二次函数（k是实数）的对称轴为，∴可举反例如，当时，二次函数为，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.∴结论③为假.④∵当时，二次函数的最值为，∴当时，有最小值，最小值为负；当时，有最大值，最大值为正.∴结论④为真.解决问题时所用的数学方法有方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想考点：1.曲线上点的坐标与方程的关系；2.二次函数的性质；3.方程思想、特殊元素法、反证思想和分类思想的应用.。
2018年二次函数中考选择填空题(带的答案解析)
2018二次函数中考选择填空题（难）一．选择题（共18小题）1．（2018•）四位同学在研究函数y=x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁2．（2018•）已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y 随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）A．1或﹣2 B．或C．D．13．（2018•）抛物线C1：y1=mx2﹣4mx+2n﹣1与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为（﹣1，2），请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线x=2；②抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣1）；③m＞；④若抛物线C2：y2=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，则a的取值围是≤a＜2；⑤不等式mx2﹣4mx+2n ＞0的解作为函数C1的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确结论的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．（2018•）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h=﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（）A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同B．点火后24s火箭落于地面C．点火后10s的升空高度为139mD．火箭升空的最大高度为145m5．（2018•）已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值围是（）A．﹣＜m＜3 B．﹣＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2 6．（2018•）二次函数y=x2+（a﹣2）x+3的图象与一次函数y=x（1≤x≤2）的图象有且仅有一个交点，则实数a的取值围是（）A．a=3±2B．﹣1≤a＜2C．a=3或﹣≤a＜2 D．a=3﹣2或﹣1≤a＜﹣7．（2018•）如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（）A．B．C．D．8．（2018•达州）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．（2018•）对于题目“一段抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确10．（2018•莱芜）函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值围是（）A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2 11．（2018•）对于抛物线y=ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当x=1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限12．（2018•呼和浩特）若满足＜x≤1的任意实数x，都能使不等式2x3﹣x2﹣mx＞2成立，则实数m的取值围是（）A．m＜﹣1 B．m≥﹣5 C．m＜﹣4 D．m≤﹣413．（2018•）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a（x+5）（x ﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．（2018•）在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值围是（）A．a≤﹣1或≤a＜B．≤a＜C．a≤或a＞D．a≤﹣1或a≥15．（2018•）若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A．（﹣3，﹣6）B．（﹣3，0）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，﹣1）16．（2018•）如图，抛物线y=x2﹣7x+与x轴交于点A、B，把抛物线在x 轴及其下方的部分记作C1，将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值围是（）A．﹣＜m＜﹣B．﹣＜m＜﹣C．﹣＜m＜﹣D．﹣＜m＜﹣17．（2018•）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说确的是（）A．此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）D．篮球出手时离地面的高度是2m18．（2018•）若平面直角坐标系的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”．例如：P（1，0）、Q（2，﹣2）都是“整点”．抛物线y=mx2﹣4mx+4m ﹣2（m＞0）与x轴交于点A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m的取值围是（）A．≤m＜1 B．＜m≤1 C．1＜m≤2 D．1＜m＜2二．填空题（共5小题）19．（2018•）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是．20．（2018•）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A．点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C的长为．21．（2018•黔西南州）已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是．x…﹣1012…y…0343…22．（2018•）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，顶点P（m，n）．给出下列结论：①2a+c＜0；②若（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3）在抛物线上，则y1＞y2＞y3；③关于x的方程ax2+bx+k=0有实数解，则k＞c﹣n；④当n=﹣时，△ABP为等腰直角三角形．其中正确结论是（填写序号）．23．（2018•）已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为．2018年10月05日初中数学的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．（2018•）四位同学在研究函数y=x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】假设两位同学的结论正确，用其去验证另外两个同学的结论，只要找出一个正确一个错误，即可得出结论（本题选择的甲和丙，利用顶点坐标求出b、c的值，然后利用二次函数图象上点的坐标特征验证乙和丁的结论）．【解答】解：假设甲和丙的结论正确，则，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+4．当x=﹣1时，y=x2﹣2x+4=7，∴乙的结论不正确；当x=2时，y=x2﹣2x+4=4，∴丁的结论正确．∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的，∴假设成立．故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质求出b、c值是解题的关键．2．（2018•）已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y 随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）A．1或﹣2 B．或C．D．1【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a．【解答】解：∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），∴对称轴是直线x=﹣=﹣1，∵当x≥2时，y随x的增大而增大，∴a＞0，∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9，∴3a2+3a﹣6=0，∴a=1，或a=﹣2（不合题意舍去）．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x 的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．3．（2018•）抛物线C1：y1=mx2﹣4mx+2n﹣1与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为（﹣1，2），请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线x=2；②抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣1）；③m＞；④若抛物线C2：y2=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，则a的取值围是≤a＜2；⑤不等式mx2﹣4mx+2n ＞0的解作为函数C1的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确结论的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】①利用抛物线对称轴方程可判定；②与y轴相交设x=0，问题可解；③当抛物线过A（﹣1，2）时，带入可以的到2n=3﹣5m，函数关系式中只含有参数m，由抛物线与x轴有两个公共点，则由一元二次方程根的判别式可求；④求出线段AB端点坐标，画图象研究临界点问题可解；⑤把不等式问题转化为函数图象问题，答案易得．【解答】解：抛物线对称轴为直线x=﹣故①正确；当x=0时，y=2n﹣1故②错误；把A点坐标（﹣1，2）代入抛物线解析式得：2=m+4m+2n﹣1整理得：2n=3﹣5m带入y1=mx2﹣4mx+2n﹣1整理的：y1=mx2﹣4mx+2﹣5m由图象可知，抛物线交y轴于负半轴，则：2﹣5m＜0即m＞故③正确；由抛物线的对称性，点B坐标为（5，2）当y2=ax2的图象分别过点A、B时，其与线段分别有且只有一个公共点此时，a的值分别为a=2、a=a的取值围是≤a＜2；故④正确；不等式mx2﹣4mx+2n＞0的解可以看做是，抛物线y1=mx2﹣4mx+2n﹣1位于直线y=﹣1上方的部分，由图象可知，其此时x的取值围使y1=mx2﹣4mx+2n﹣1函数图象分别位于轴上下方故⑤错误；故选：B．【点评】本题为二次函数综合性问题，考查了二次函数对称轴、与坐标轴交点、对称性、抛物线与x轴交点个数判定、与抛物线有关的临界点问题以及从函数的观点研究不等式．4．（2018•）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t （s）满足函数表达式h=﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（）A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同B．点火后24s火箭落于地面C．点火后10s的升空高度为139mD．火箭升空的最大高度为145m【分析】分别求出t=9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项，将解析式配方成顶点式可判断D选项．【解答】解：A、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项错误；B、当t=24时h=1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误；C、当t=10时h=141m，此选项错误；D、由h=﹣t2+24t+1=﹣（t﹣12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．5．（2018•）已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值围是（）A．﹣＜m＜3 B．﹣＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2【分析】如图，解方程﹣x2+x+6=0得A（﹣2，0），B（3，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y=（x+2）（x﹣3），即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直线•y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时m的值和当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值围．【解答】解：如图，当y=0时，﹣x2+x+6=0，解得x1=﹣2，x2=3，则A（﹣2，0），B（3，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=（x+2）（x﹣3），即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），当直线•y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m=0，解得m=﹣2；当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x ﹣6=﹣x+m有相等的实数解，解得m=﹣6，所以当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值围为﹣6＜m＜﹣2．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．6．（2018•）二次函数y=x2+（a﹣2）x+3的图象与一次函数y=x（1≤x≤2）的图象有且仅有一个交点，则实数a的取值围是（）A．a=3±2B．﹣1≤a＜2C．a=3或﹣≤a＜2 D．a=3﹣2或﹣1≤a＜﹣【分析】根据二次函数的图象性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：方程x2+（a﹣2）x+3=x在1≤x≤2上只有一个解，即x2+（a﹣3）x+3=0在1≤x≤2上只有一个解，当△=0时，即（a﹣3）2﹣12=0a=3±2当a=3+2时，此时x=﹣，不满足题意，当a=3﹣2时，此时x=，满足题意，当△＞0时，令y=x2+（a﹣3）x+3，令x=1，y=a+1，令x=2，y=2a+1（a+1）（2a+1）≤0解得：﹣1≤a≤，当a=﹣1时，此时x=1或3，满足题意；当a=﹣时，此时x=2或x=，不满足题意，综上所述，a=3﹣2或﹣1≤a＜，故选：D．【点评】本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是将问题转化为x2+（a﹣3）x+3=0在1≤x≤2上只有一个解，根据二次函数的性质即可求出答案，本题属于中等题型．7．（2018•）如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a﹣b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：由二次函数的图象可知，a＜0，b＜0，当x=﹣1时，y=a﹣b＜0，∴y=（a﹣b）x+b的图象在第二、三、四象限，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．8．（2018•达州）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【解答】解：①由开口可知：a＜0，∴对称轴x=＞0，∴b＞0，由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，∴abc＜0，故①正确；②∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x=2，∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），∴x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，故②正确；③由于＜2，且（，y2）关于直线x=2的对称点的坐标为（，y2），∵，∴y1＜y2，故③正确，④∵=2，∴b=﹣4a，∵x=﹣1，y=0，∴a﹣b+c=0，∴c=﹣5a，∵2＜c＜3，∴2＜﹣5a＜3，∴﹣＜a＜﹣，故④正确故选：D．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．9．（2018•）对于题目“一段抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【分析】分两种情况进行讨论，①当抛物线与直线相切，△=0求得c=1，②当抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点时，找到两个临界值点，可得c=3，4，5，故c=1，3，4，5【解答】解：∵抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点∴①如图1，抛物线与直线相切，联立解析式得x2﹣2x+2﹣c=0△=（﹣2）2﹣4（2﹣c）=0解得c=1②如图2，抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点此时两个临界值分别为（0，2）和（3，5）在抛物线上∴c min=2，但取不到，c max=5，能取到∴2＜c≤5又∵c为整数∴c=3，4，5综上，c=1，3，4，5故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式等知识点，数形结合是解此题的关键．10．（2018•莱芜）函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值围是（）A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2【分析】先求出抛物线的对称轴方程，再利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），然后利用函数图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的围即可．【解答】解：抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=﹣=﹣1，而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），∵a＜0，∴抛物线开口向下，∴当x＜﹣4或x＞2时，y＜0．故选：A．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．11．（2018•）对于抛物线y=ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当x=1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把x=1代入解析式，根据y＞0，得出关于a的不等式，得出a的取值围后，利用二次函数的性质解答即可．【解答】解：把x=1，y＞0代入解析式可得：a+2a﹣1+a﹣3＞0，解得：a＞1，所以可得：﹣，，所以这条抛物线的顶点一定在第三象限，故选：C．【点评】此题考查抛物线与x轴的交点，关键是得出a的取值围，利用二次函数的性质解答．12．（2018•呼和浩特）若满足＜x≤1的任意实数x，都能使不等式2x3﹣x2﹣mx＞2成立，则实数m的取值围是（）A．m＜﹣1 B．m≥﹣5 C．m＜﹣4 D．m≤﹣4【分析】根据题意得到关于二次函数与反比例函数的函数值的大小关系，然后利用函数图象得到自变量为和1对应的关于m的不等式，再解关于m的不等式组即可．【解答】解：∵2x3﹣x2﹣mx＞2，∴2x2﹣x﹣m＞，抛物线y=2x2﹣x﹣m的开口向上，对称轴为直线x=，而双曲线y=分布在第一、三象限，∵＜x≤1，2x2﹣x﹣m＞，∴x=时，2×﹣﹣m≥4，解得m≤﹣4，x=1时，2﹣1﹣m＞2，解得m＜﹣1，∴实数m的取值围是m≤﹣4．故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、反比例函数的性质、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，求出相应的m的取值围．13．（2018•）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a（x+5）（x ﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据二次函数的性质一一判断即可．【解答】解：∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），∴﹣=﹣2，=﹣9a，∴b=4a，c=﹣5a，∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a，∴4a+2b+c=4a+8a﹣5a=7a＞0，故①正确，5a﹣b+c=5a﹣4a﹣5a=﹣4a＜0，故②错误，∵抛物线y=ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），∴若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故③正确，若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣8，故④错误，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14．（2018•）在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值围是（）A．a≤﹣1或≤a＜B．≤a＜C．a≤或a＞D．a≤﹣1或a≥【分析】根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可；【解答】解：∵抛物线的解析式为y=ax2﹣x+2．观察图象可知当a＜0时，x=﹣1时，y≤2时，且﹣≥﹣1，满足条件，可得a ≤﹣1；当a＞0时，x=2时，y≥1，且抛物线与直线MN有交点，且﹣≤2满足条件，∴a≥，∵直线MN的解析式为y=﹣x+，由，消去y得到，3ax2﹣2x+1=0，∵△＞0，∴a＜，∴≤a＜满足条件，综上所述，满足条件的a的值为a≤﹣1或≤a＜，故选：A．【点评】本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．15．（2018•）若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A．（﹣3，﹣6）B．（﹣3，0）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，﹣1）【分析】根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．【解答】解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），∴该抛物线解析式为y=x（x﹣2）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1．将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x﹣1+2）2﹣1﹣3=（x+1）2﹣4．当x=﹣3时，y=（x+1）2﹣4=0，∴得到的新抛物线过点（﹣3，0）．故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键．16．（2018•）如图，抛物线y=x2﹣7x+与x轴交于点A、B，把抛物线在x 轴及其下方的部分记作C1，将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值围是（）A．﹣＜m＜﹣B．﹣＜m＜﹣C．﹣＜m＜﹣D．﹣＜m＜﹣【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y=x+m 与抛物线C2相切时m的值以及直线y=x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案【解答】解：∵抛物线y=x2﹣7x+与x轴交于点A、B∴B（5，0），A（9，0）∴抛物线向左平移4个单位长度∴平移后解析式y=（x﹣3）2﹣2当直线y=x+m过B点，有2个交点∴0=+mm=﹣当直线y=x+m与抛物线C2相切时，有2个交点∴x+m=（x﹣3）2﹣2x2﹣7x+5﹣2m=0∵相切∴△=49﹣20+8m=0∴m=﹣如图∵若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，∴﹣﹣＜m＜﹣故选：C．【点评】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．17．（2018•）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说确的是（）A．此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）D．篮球出手时离地面的高度是2m【分析】A、设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值；B、根据函数图象判断；C、根据函数图象判断；D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，当x=﹣2，5时，即可求得结论．【解答】解：A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5，∴a=﹣，∴y=﹣x2+3.5．故本选项正确；B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），故本选项错误；C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），故本选项错误；D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，∴当x=﹣2.5时，h=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5=2.25m．∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．18．（2018•）若平面直角坐标系的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”．例如：P（1，0）、Q（2，﹣2）都是“整点”．抛物线y=mx2﹣4mx+4m ﹣2（m＞0）与x轴交于点A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m的取值围是（）A．≤m＜1 B．＜m≤1 C．1＜m≤2 D．1＜m＜2【分析】画出图象，利用图象可得m的取值围【解答】解：∵y=mx2﹣4mx+4m﹣2=m（x﹣2）2﹣2且m＞0，∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣2），对称轴是直线x=2．由此可知点（2，0）、点（2，﹣1）、顶点（2，﹣2）符合题意．①当该抛物线经过点（1，﹣1）和（3，﹣1）时（如答案图1），这两个点符合题意．将（1，﹣1）代入y=mx2﹣4mx+4m﹣2得到﹣1=m﹣4m+4m﹣2．解得m=1．此时抛物线解析式为y=x2﹣4x+2．由y=0得x2﹣4x+2=0．解得x1=2﹣≈0.6，x2=2+≈3.4．∴x轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意．则当m=1时，恰好有（1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣1）、（2，﹣2）这7个整点符合题意．∴m≤1．【注：m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大】答案图1（m=1时）答案图2（ m=时）②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意．此时x轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意．将（0，0）代入y=mx2﹣4mx+4m﹣2得到0=0﹣4m+0﹣2．解得m=．此时抛物线解析式为y=x2﹣2x．当x=1时，得y=×1﹣2×1=﹣＜﹣1．∴点（1，﹣1）符合题意．当x=3时，得y=×9﹣2×3=﹣＜﹣1．∴点（3，﹣1）符合题意．综上可知：当m=时，点（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣2）、（2，﹣1）都符合题意，共有9个整点符合题意，∴m=不符合题．∴m＞．综合①②可得：当＜m≤1时，该函数的图象与x轴所围城的区域（含边界）有七个整点，故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点的求法，利用图象解决问题是本题的关键．二．填空题（共5小题）19．（2018•）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是﹣2 ．【分析】根据正方形的性质结合题意，可得出点B的坐标为（﹣，﹣），再利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出关于b的方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABOC是正方形，∴点B的坐标为（﹣，﹣）．∵抛物线y=ax2过点B，∴﹣=a（﹣）2，解得：b1=0（舍去），b2=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐特征以及正方形的性质，利用正方形的性质结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于b 的方程是解题的关键．20．（2018•）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A．点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C的长为 3 ．【分析】解方程x2+mx=0得A（﹣m，0），再利用对称的性质得到点A的坐标为（﹣1，0），所以抛物线解析式为y=x2+x，再计算自变量为1的函数值得到A′（1，2），接着利用C点的纵坐标为2求出C点的横坐标，然后计算A′C的长．【解答】解：当y=0时，x2+mx=0，解得x1=0，x2=﹣m，则A（﹣m，0），∵点A关于点B的对称点为A′，点A′的横坐标为1，∴点A的坐标为（﹣1，0），∴抛物线解析式为y=x2+x，当x=1时，y=x2+x=2，则A′（1，2），当y=2时，x2+x=2，解得x1=﹣2，x2=1，则C（﹣2，2），∴A′C的长为1﹣（﹣2）=3．故答案为3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．21．（2018•黔西南州）已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．x…﹣1012…y…0343…【分析】根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，∴对称轴x==1；点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．故答案为：（3，0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性．22．（2018•）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，顶点P（m，n）．给出下列结论：①2a+c＜0；②若（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3）在抛物线上，则y1＞y2＞y3；③关于x的方程ax2+bx+k=0有实数解，则k＞c﹣n；④当n=﹣时，△ABP为等腰直角三角形．其中正确结论是②④（填写序号）．【分析】利用二次函数的性质一一判断即可；【解答】解：∵﹣＜，a＞0，∴a＞﹣b，∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴2a+c＞a﹣b+c＞0，故①错误，若（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3）在抛物线上，由图象法可知，y1＞y2＞y3；故②正确，∵抛物线与直线y=t有交点时，方程ax2+bx+c=t有解，t≥n，∴ax2+bx+c﹣t=0有实数解要使得ax2+bx+k=0有实数解，则k=c﹣t≤c﹣n；故③错误，设抛物线的对称轴交x轴于H．∵=﹣，∴b2﹣4ac=4，∴x==，∴|x1﹣x2|=，∴AB=2PH，∵BH=AH，∴PH=BH=AH，∴△PAB是直角三角形，∵PA=PB，∴△PAB是等腰直角三角形．故答案为②④．【点评】本题考查二次函数的应用、二次函数与坐标轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．23．（2018•）已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为2或8 ．【分析】分两种情况：①当C在B的左侧时，先根据三等分点的定义得：AC=BC=BD，由平移m个单位可知：AC=BD=m，计算点A和B的坐标可得AB的长，从而得结论．。
中考二次函数填空题解析
中考二次函数填空题1、 若把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，其中,m k 为常数，则m k +=.【关键词】配方法 【答案】-32、 已知二次函数的图象经过原点及点（12-，14-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 【关键词】二次函数和抛物线有关概念，待定系数法 【答案】2y x x =+，21133y x =-+3、已知二次函数的图象经过原点及点（12-，14-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 ． 【关键词】待定系数法【答案】2y x x =+，21133y x =-+ 4、 抛物线23(1)5yx 的顶点坐标为__________．【关键词】二次函数的顶点坐标 【答案】(15)，5、 将抛物线22y x =-向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 ．【关键词】抛物线的平移 【答案】12-=x y6、 已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个． 【答案】4【解析】本题考查二次函数图象的画法、识别理解，方程根与系数的关系筀等知识和数形结合能力。
根据题意画大致图象如图所示，由2y ax bx c =++与X 轴的交点坐标为(-2,0)得()()2220a b c ⨯-+⨯-+=，即 420a b c -+=所以①正确； 由图象开口向下知0a <，由2y ax bx c =++与X 轴的另一个交点坐标为()1,0x 且112x <<，则该抛物线的对称轴为()121222x b x a -+=-=>- 由a<0得b>a,所以结论②正确，由一元二次方程根与系数的关系知12.2cx x a =<-，结合a<0得20a c +>，所以③结论正确，由420a b c -+=得22c a b -=-，而0<c<2,，∴102c-<-<∴-1<2a-b<0 ∴2a-b+1>0,所以结论④正确。
二次函数中考复习题型总结归纳
中考专题之二次函数考点一：二次函数解析式【知识点】三种解析式形式 1.一般式：2+y ax bx c =+(a ≠0)．若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为2y ax bx c =++，将已知条件代入，求出a 、b 、c 的值．2.交点式（双根式）：12()()(0)y a x x x x a =--≠．若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，设所求二次函数为12()()y a x x x x =--，将第三点(m ，n)的坐标(其中m 、n 为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式． 3.顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠．若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为2()y a x h k =-+，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式． 【经典例题】例1 已知一条抛物线经过点 （0，0），（2，4），（4，0）,求这个函数关系式。
【变式练习】1．已知二次函数的图象经过A （0，3）、B （1，3）、C （－1，1）三点，求该二次函数的解析式。
2．已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。
3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。
4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。
5．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。
考点二：二次函数图像【知识点】一、各种形式的二次函数的图像性质如下表：1.抛物线c bx ax y ++=2中的系数c b a ,,（1）a 决定开口方向，几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.当0>a 时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当0<a 时，抛物线开口向下，顶点为其最高点. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置：当0=b 时，对称轴为y 轴；当a 、b 同号时，对称轴在y 轴左侧；当a 、b 异号时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 决定抛物线与y 轴交点位置：当0=c 时，抛物线经过原点； 当0>c 时,相交于y 轴的正半轴；当0<c 时,则相交于y 轴的负半轴. （4）.抛物线与x 轴的交点设二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式来判定： （1）240b ac ->⇔抛物线与x 轴有两个交点；（2）240b ac -=⇔抛物线与x 轴有一个交点（顶点在x 轴上）； （3）240b ac -<⇔抛物线与x 轴没有交点. 要点诠释：当x ＝1时，函数y ＝a+b+c ； 当x ＝-1时，函数y ＝a-b+c ； 当a+b+c ＞0时，x ＝1与函数图象的交点在x 轴上方，否则在下方； 当a-b+c ＞0时，x ＝-1与函数图象的交点在x 轴的上方，否则在下方． 2.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=。
中考二次函数选择填空难题讲解
例 3 （ 2009 义乌）如图 3，抛物线 y
2
ax
bx
c 与 x 轴的一个交点 A 在点（ -2， 0）
和（ -1，0）之间（包括这两点） ，顶点 C 是矩形 DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点， 则
(1) abc
0 (填 ― ‖或 ― ‖；）
(2) a 的取值范围是
。
解析：（ 1）开口向下 a＜ 0，对称轴 x
y
2
ax
7ax ，所以
X
0
1
2
3
4
5
6
7
2
0
y ax 7ax
-6a
-10a -12a -12a -10a -6a
0
1
分析 a 的取值可得 y 的值最多有 8 个整数（当 a=- 时），即函数的图像最多过
2
所以画出的抛物线最多经过 六、与阅读新定义有关
8 个格点，选 C。
8 个格点
例 11（ 2010 杭州）定义 [ a, b , c ]为函数 y
所以 X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2
0
y ax 8ax
-7a
-12a -15a -16a -15a -12a -7a
0
1
分析 a 的取值得 y 的值最多有 5 个整数（当 a=- 时），即函数的图像最多过
2
5 个格点；
②当 在 左 面 的 八 条 竖 线 上 都 经过 格 点 时 ，可 设 它 经 过 （ 0,0），（ 7,0） 两 点 ， 则
2
ax
bx
c 的特征数 , 下面给出特征数为
[2m， 1 –m , –1–m]
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细品二次函数小题 感受知识运用经典在中考中二次函数占举足轻重的地位，其小题更是涌现出其灵活性、创新性。
选择填空题虽阅读量小，但细品来，其解法灵活，且具有探索性，对学生的基础知识、基本技能及分析理解能力的要求不亚于一些压轴题。
现加以归类浅析，为大家以后解决小题提供经验：一、与a 、b 、c 有关例1 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数c ax y +=2的图象过正方形ABOC 的三个顶点A 、B 、C ，则ac 值为 。
解析：由已知易得A （0，c ）则正方形ABOC 的C 点坐标为（1c 2，1c 2 ），代入c ax y +=2得211c ac c 24=+，化简得ac 2=-。
例2 （2010邯郸）如图2，抛物线y=ax 2+bx+c ，OA=OC ，下列关系中正确的是 ( )A ．ac+1=bB ．ab+1=cC ．bc+1=aD ．ba+1=c 解析：由已知得C （0，c ），又OA=OC ，∴A(-c ，0)，将A 点代入y=ax 2+bx+c 得，0=2acbc c ac 1b -++=，得，即ac+1=b 。
选A 。
例3 （2009义乌）如图3，抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则(1)abc 0(填“>”或“<”)； (2)a 的取值范围是 。
解析：（1）开口向下a ＜0，对称轴bx2a=-＞0，∴b＞0，C 是与y 轴交点的纵坐标，∴C ＞0,∴abc ＜0；（2）a 决定开口大小，a 越大，抛物线开口越小。
当抛物线在x 轴的交点与抛物线对称轴的距离大，且顶点接近x 轴（顶点与x 轴距离小）时，抛物线开口就大，即a最小，此时图1B AC图2图3抛物线经过点（-2，0），顶点为F （3,2），设这时的抛物线解析式为()2y a x 32=-+，代入点（-2，0），得2a25=-；当抛物线在x 轴的交点与抛物线对称轴的距离小，且顶点远离x 轴（顶点与x 轴距离大）时，抛物线开口就小，即a最大，此时抛物线经过点（-1，0），顶点E(1,2), 设这时的抛物线解析式为()2y ax 12=-+,代入点（-1，0）,得3a 4=-。
所以32a 425-≤≤-。
二、与阴影面积有关例4 （2010长春）如图4，抛物线y ＝ax 2＋c (a ＜0)交x 轴于点G 、F ，交y 轴于点D ，在x 轴上方的抛物线上有两点B 、E ，它们关于y 轴对称，点G 、B 在y 轴左侧．BA ⊥OG 于点A ，BC ⊥OD 于点C ．四边形OABC 与四边形ODEF 的面积分别为6和10，则△ABG 与△BCD 的面积之和为解析：解此题关键是由已知条件得出四边形GODB 与四边形ODEF 关于y 轴对称，∴这两个四边形面积相等，即四边形GODB 为10，则阴影部分面积为10-6=4例5 (2010遵义市)如图，两条抛物线12121+-=x y 、12122--=x y 与分别经过点()0,2-,()0,2且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（ ）Ａ．8 Ｂ．6 Ｃ．10 Ｄ．4解析：因为两抛物线的二次函数都为12-，∴12122--=x y 是由12121+-=x y 向下平移2个单位得到的。
所以阴影部分面积可以转化为长为4，宽为2的矩形ABCD 的面积8，故选A 。
例6 （2009庆阳改编）如图6，是二次函数2122y x =-+的图象在x 轴上方的一部分，若这段图象与x 轴所围成的阴影部分面积为S ，则S 取值最接近（ ）．A.4B.163C.2πD.8A G OBDCEF xy 图4图5ABCD图6O图8y·Px解析：设抛物线与坐标轴的交点A(-2,0),B(0,2),C(2,0).从图中可以看出，阴影部分面积在△ABC 面积和以O 为圆心2为半径的半圆的面积之间，即4＜S ＜2π，故选B 。
例7 （2008年杭州市）如图7，记抛物线21y x =-+的图象与x 正半轴的交点为A ，将线段OA 分成n 等份，设分点分别为1P ，2P ，…1n P -，过每个分点作x 轴的垂线，分别与抛物线交于点1Q ，2Q ，…1n Q -，再记直角三角形11OPQ ，122PP Q 的面积分别为1S ，2S ，这样就有21312n S n-=，22342n S n -=，…；记121n W S S S -=+++…，当n 越来越大时，你猜想W 最接近的常数是（ ）A. 23B. 12C. 13D.14解析：此题有两种方法，方法一：结合图形，设抛物线与y 轴交点为B ，在第一象限所围成的图形面积大于等腰三角形OAB 的面积12，小于以O 为圆心，1为半径的14圆面积14π，而阴影部分面积是整个图形面积的一半，所以14＜W ＜18π，满足该条件的只有选C 。
方法二：从所给的式子入手：112n W=S +S ++S -=2312n n -+2342n n -+···+2232n n n -（-1）=()()233211622n n n n n n n---（-1）=21113212n n--，由结果可以看出，当n 越来越大时， W 最接近13。
三、与分类讨论有关例8 （2010宁波市）如图8，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y ＝12 x 2—1上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为_________________．解析：①当⊙P 在第二象限与x 轴相切时，则P 点的纵坐标为2，代入y ＝12x 2—1得1x 6=-，2x 6=（舍），∴()1p 62-，；图7②当⊙P 在第一象限与x 轴相切时，仿①方法得()2p 62，故圆心P 的坐标为()()6262-，或，。
注：⊙P 不可能在第三、四象限与x 轴相切，因为抛物线与y 轴交点为（0，-1），故抛物线上的点与x 轴距离最远是1＜2。
四、与探索规律有关例9 （2009兰州）二次函数22y x 3=的图象如图9所示，点0A 位于坐标原点，点1A ，2A ，3A ，…，2008A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…，2008B 在二次函数22y x 3=位于第一象限的图象上，若△011A B A ,△122A B A ，△233A B A ，…，△200720082008A B A 都为等边三角形，则△200720082008A B A 的边长＝ 。
解析：本题难度较大，考查利用二次函数及等边三角形的知识探 究线段的规律。
设B 1坐标（x 1,y 1）,因为△A 0B 1A 1为等边三角形，所以x 12=3y 12,又因为y 1=32x 12,所以，23y 1=3y 12,解得：y 1=21，所以A 0A 1=2y 1=1.设点B 2（x 2,y 2）, 因为△A 1B 2A 2为等边三角形，所以x 22=3（y 2-1）2，又因为y 2=32x 22,所以23y 2=3（y 2-1）2，解得：y 2=21或2，故y 2=2，所以A 1A 2=2（y 2-1）=2.同理可得A 2A 3=3.则发现规律：A n A n+1=n+1,所以当n=2007时，A 2007A 2008=2008。
五、与猜想论证有关例10 （2009湖州）已知图10中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个？（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9解析：将最左下角的个点作为坐标原点，建立坐标系。
由于二次函数的图像与纵向的每条方格线只有一个交点，所以它的图像经过的格点数必不大于9。
要想使它经过的格点数最多，使用对称的方法。
设解析式为1y a x x =（-）2x x （-）其中a ＜0，①当在每条竖线上都经过格点时，可设它经过（0,0），（8,0）两点。
则28y ax ax =-，所以 X0 1 2 3 4 5 6 7 8 28y ax ax =--7a-12a-15a-16a-15a-12a-7a图9图10 图10分析a 的取值得y 的值最多有5 个整数（当a=-12时），即函数的图像最多过5个格点； ②当在左面的八条竖线上都经过格点时，可设它经过（0,0），（7,0）两点，则27y ax ax =-，所以分析a 的取值可得y 的值最多有8个整数（当a=-12时），即函数的图像最多过8个格点 所以画出的抛物线最多经过8 个格点，选C 。
六、与阅读新定义有关例11（2010杭州）定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m ，1 – m , –1– m ] 的函数的一些结论：① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m < 0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有（ ）A. ①②③④B. ①②④C. ①③④D. ②④解析：当m=-3时，函数为2642y x x =-++，其函数图象的顶点坐标是(31，38)，故①正确；2240b ac m x -=≥∴=（3+1），，∴12112m x x m --==， 则121311222m x x m m---=-=+，当m ＞0时，1232x x -，故②正确；当m ＜0时，函数的对称轴为111444m x m m -=-=-＞14，即对称轴在14x =的右侧，∴③不正确；当m≠0时，函数22y mxm x m =+（1-）+（-1-）=m ()2211x x x --+-=m()21x +()11x x -+-，所以当x=1时，y=0；当12x =-时，32y =-。
即函数经过点（1,0）或1322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，故④正确。
七、与函数最值有关例12 （2010宿迁改编）如图11，在矩形ABCD 中， AB =4，BC =6，当直角三角板MPN 的直角顶点P 在BC 边上移动时，直角边线段MP=且始终经过点A ，设直角三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q ．BP =x ，CQ =y ，那么y 与x 之间的函数图象大致是（ ） 解析：由已知易得△ABP ∽△PCQ ，∴AB BP =PC CQ即46xx y=-，化简得21342y x x =-+，显然对于此二次函数当x=3时，y 有最大值是2.25。
大部分学生选C;但是当x=3时，MP=5＞x 取不到3，而x 取值范围是0～2（当M 与A 点重合，利用勾股定理求的BP=2），根据二次函数性质，结合图像知在对称轴左侧y 随x 的增大而增大，∴当x=2时，y 有最大值为2。