广州市高一第二学期期末考试数学试题(含答案)
高中数学：2022-2023学年广东省广州市越秀区高一(下)期末数学试卷(附参考答案)
2022-2023学年广东省广州市越秀区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）复数（2+i ）2的实部是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．（5分）已知向量a →，b →满足|a →|=2，|b →|=1，|2a →−b →|=5，则a →⋅b →=（ ） A ．﹣2B ．﹣4C ．﹣5D ．﹣103．（5分）在△ABC 中，A =π4，cosB =35，则sin C ＝（ ）A ．√210B ．−√210C ．7√210D ．−7√2104．（5分）为了得到函数y =3sin(2x −π5)的图象，只要把y =3sin(2x +π5)图象上所有的点（ ）A ．向右平行移动π5个单位长度B ．向左平行移动π5个单位长度C ．向右平行移动2π5个单位长度 D ．向左平行移动2π5个单位长度5．（5分）从3名男生和3名女生中任意抽取两人，设事件A ＝“抽到的两人都是男生”，事件B ＝“抽到1名男生与1名女生”，则（ ）A ．在有放回简单随机抽样方式下，P(A)=12B ．在不放回简单随机抽样方式下，P(B)=14C ．在按性别等比例分层抽样方式下，P(A)=13D ．在按性别等比例分层抽样方式下，P （B ）＝16．（5分）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学各自的统计结果的数字特征，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A ．中位数为3，众数为3B ．平均数为3，中位数为3C ．中位数为2，极差为2D ．平均数为2，标准差为27．（5分）三棱锥A﹣BCD中，AB⊥BD，AB⊥CD，BD⊥CD．若AB＝3，AC＝5，则该三棱锥体积的最大值为（）A．3B．4C．6D．128．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，则下列结论中不成立的是（）A．平面P AB内任意一条直线都不与CD平行B．平面PCD内存在无数条直线与平面P AB平行C．平面PCD和平面P AB的交线不与底面ABCD平行D．平面PBC和平面P AD的交线不与底面ABCD平行二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9．（5分）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次．设事件A＝“第一次摸出球的标号为2”，事件B＝“第二次摸出球的标号为3”，事件C＝“两次摸出球的标号之和为4”，事件D＝“两次摸出球的标号之和为5”，则（）A．事件A与B互斥B．事件A与C相互独立C．事件C与D互斥D．事件B与D相互独立（多选）10．（5分）已知函数f(x)=tan(12x−π4)，则下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期是π2B．f（x）的图象关于点(π2，0)对称C．|f（x）|的图象关于直线x=π2对称D．f（x）在区间(−π2，π2)上单调递增（多选）11．（5分）已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．若z−z=0，则z∈RB．若z（1+i）＝2，则z=√2cos 7π4+isin7π4C．若|z1|＝|z2|＝3，z1+z2＝5+i，则|z1−z2|=√10D．若复数z满足1＜|z|＜2，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为π（多选）12．（5分）在△ABC中，AC⊥BC，将△ABC分别绕边BC，AC，AB所在直线旋转一周，形成的几何体的侧面积分别记为S a，S b，S c，体积分别记为V a，V b，V c，则（）A．S a+S b≥2S cB ．V a +V b ≥2V cC ．1S a2+1S b2=1S c2 D ．1V a2+1V b2=1V c2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量a →=(1，−3)，b →=(λ，5)，且(a →+b →)⊥a →，则b →在a →方向上的投影向量的坐标为 ．14．（5分）某校为了解高中学生的身高情况，根据男、女学生所占的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生100名和女生60名，测量他们的身高所得数据（单位：cm ）如下：根据以上数据，可计算出该校高中学生身高的总样本方差s 2＝ ．15．（5分）如图，在扇形OPO 中，半径OP ＝1，圆心角∠POQ =π3，矩形ABCD 内接于扇形OPQ ，其中点B ，C 都在弧PQ 上，则矩形ABCD 的面积的最大值为 ．16．（5分）已知四边形ABCD 是正方形，将△DAC 沿AC 翻折到△D 1AC 的位置，点G 为△D 1AC 的重心，点E 在线段BC 上，GE ∥平面D 1AB ，GE ⊥D 1A ．若CE ＝λEB ，则λ＝ ，直线GB 与平面D 1AC 所成角的正切值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一个合理的居民生活用水量标准a （单位：t ），使得用户月均用水量不超过a 的部分按平价收费，超过a 的部分按议价收费．通过随机抽样，获得了该市100户居民生活月均用水量（单位：t ）的数据，整理得到如下的频率分布直方图． （1）求这100户居民生活月均用水量在区间[1.5，2）内的频率；（2）若该市政府希望85%的居民生活月均用水量不超过标准at ，试估计a 的值，并说明理由．18．（12分）如图是函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期上的图象，点A 是函数f （x ）图象与x 轴的交点，点B ，C 分别是函数f （x ）图象的最低点与最高点，且AB →⋅AC →=2． （1）求f （x ）的最小正周期T ；（2）若f(2)−f(43)=1，求f （x ）的解析式．19．（12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两人进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.6，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，乙先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束．（1）求事件“X ＝2”的概率；（2）求事件“X ＝4且乙获胜”的概率．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ． （1）证明：平面ABC 1⊥平面BCC 1；（2）若直线AC 与平面ABC 1所成的角为θ，二面角C 1﹣AB ﹣C 的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并说明理由．21．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且√3sinB+cosB=b+c a．（1）求A；（2）若点D在边BC上，且AD＝BD＝3，CD＝2，求b．22．（12分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，经过A，D1，E三点的平面记为平面α，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥α．（1）设平面BCC1B1∩α＝l，求证：AD1∥l；（2）平面α将正方体ABCD﹣A1B1C1D1分成两部分，求这两部分的体积之比V1V2（其中V1≤V2）；（3）当A1P最小时，求三棱锥P﹣AA1D1的外接球的表面积．附：参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
广东省广州市高一下学期数学期末考试试卷
广东省广州市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是（）A .B .C .D .2. （2分）已知a≠0直线ax+（b+2）y+4=0与直线ax+（b﹣2）y﹣3=0互相垂直，则ab的最大值等于（）A . 0B . 2C . 4D .3. （2分）某学校有体育特长生25人，美术特长生35人，音乐特长生40人．用分层抽样的方法从中抽取40人，则抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为（）A . 8，14，18B . 9，13，18C . 10，14，16D . 9，14，174. （2分）如图，是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高三上·定州期中) 动点P（x，y）满足，点Q为（1，﹣1），O为原点，λ| |= ，则λ的最大值是（）A . ﹣1B . 1C . 2D .6. （2分）一个容量为100的样本分成若干组，已知某组的频率为0.3，则该组的频数是（）A . 3B . 30C . 10D . 3007. （2分） (2017高一下·定西期中) 一个战士一次射击，命中环数大于8，大于5，小于4，小于7，这四个事件中，互斥事件有（）A . 2对B . 4对C . 6对D . 3对8. （2分）一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射到圆C：(x-2)2+(y-3)2=1 上的最短路程是（）A . 4B . 5C .D .9. （2分） (2016高二上·襄阳期中) 已知一组数据x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1，2x4﹣1，2x5﹣1的平均数，方差分别是（）A . 3，B . 3，C . 4，D . 4，10. （2分）根据右边框图，当输入x为6时，输出的y=（）A . 1B . 2C . 5D . 1011. （2分）从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且顺序不变）概率为（）A .B .C .D .12. （2分） P，Q分别为直线3x+4y﹣12=0与6x+8y+6=0上任一点，则|PQ|的最小值为（）A .B . 3C .D . 6二、填空题 (共5题；共5分)13. （1分）三进制数121（3）化为十进制数为________14. （1分） (2016高二下·哈尔滨期中) 从1，2，3，4中任取两个不同的数，则取出的两个数之差的绝对值为2的概率是________．15. （1分）(2018·宣城模拟) 若实数满足，则的取值范围是________16. （1分）坐标原点（0，0）关于直线x﹣2y+2=0对称的点的坐标是________ ．17. （1分）已知样本3，4，x，7，5的平均数是5，则此样本的方差为________．三、解答题 (共5题；共60分)18. （10分）已知直线l1：x+my+6=0与l2：（m﹣2）x+3my+2m=0．（1）当m为何值时，l1与l2平行；（2）当m为何值时，l1与l2垂直．19. （15分） (2018高二上·吉林期末) 某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理” 的原则，规定参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有三家社区医院，并且他们的选择是等可能的、相互独立的.（1）求甲、乙两人都选择社区医院的概率；（2）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；（3）设在4名参加保险人员中选择社区医院的人数为，求的分布列和数学期望及方差.20. （10分） (2019高一下·蛟河月考) 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局和某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差的情况与患感冒就诊的人数，得到如下资料：日期1月10号2月10号3月10号4月10号5月10号6月10号昼夜温差x(℃)1011131286就诊人数y（人）222529261612该兴趣小组确定的研究方案是先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选出的2组数据进行检验.附;（1）若选取的是1月和6月的两组数据，请根据2月至5月的数据求出关于的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数，与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的.试问：该小组所得的线性回归方程是否理想？21. （10分） (2015高三上·太原期末) 某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（1）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；（2）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．22. （15分） (2017高一下·赣州期末) 已知直线l的方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．（1）求证：直线l恒过定点；（2）当m变化时，求点P（3，1）到直线l的距离的最大值；（3）若直线l分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共5题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共60分)18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
广东省2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
2018—2019学年度第二学期期末教学质量监测高中一年级数学试卷—、选择题.(一)单项选择题：1—10题每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 1.集合{|22}A x x =-<<，{|13}B x x =-<<那么A B = ( )A. {|21}x x -<<-B. {|12}x x -<<C. {|21}x x -<<D. {|23}x x -<<【答案】D 【解析】 【分析】根据并集定义计算． 【详解】由题意{|23}A B x x =-<<．故选D ．【点睛】本题考查集合的并集运算，属于基础题．2.己知x 与y 之间的几组数据如下表：则y 与x 的线性回归直线ˆˆˆybx a =+必过点（ ） A. (2,5) B. (5,9)C. (0,1)D. (1,4)【答案】A 【解析】 【分析】分别求出,x y 均值即得．【详解】013424x+++==，146954y+++==，因此回归直线必过点(2,5)．故选A．【点睛】本题考查线性回归直线方程，线性回归直线一定过点(,)x y．3.如图，随机地在图中撒一把豆子，则豆子落到阴影部分的概率是（）A. 12B.34C.18D.38【答案】D【解析】【分析】求出阴影部分的面积，然后与圆面积作比值即得．【详解】圆被8等分，其中阴影部分有3分，因此所求概率38P=．故选D．【点睛】本题考查几何概型，属于基础题．4.已知数列{a n}为等差数列，S n是它前n项和．若1a＝2，S3＝12，则S4＝( )A. 10B. 16C. 20D. 24 【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的前n项和公式，即可求出.【详解】因为S 3＝31a ＋322d ＝6＋3d ＝12，解得d ＝2，所以S 4＝41a ＋432⨯ d ＝20. 【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和公式，属于中档题.5.已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ）A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】B 【解析】试题分析：由三角形的面积公式，得，即，解得，又因为三角形为锐角三角形，所以.考点：三角形的面积公式.6.设342334333log ,,224a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. c a b >>D.a cb >>【答案】B 【解析】 【分析】不难发现0,1,01,a b c <<从而可得.b c a >>【详解】34233433333log 0,,22244a b c b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===∴> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故选B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较数大小．7.已知函数()()()()121,23,2x x f x f x x ⎧⎪+≥=⎨+<⎪⎩，则f （1）- f （9）=（ ） A. ﹣1 B. ﹣2 C. 6 D. 7【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数，分别求出()1f 和()9f 的值，然后作差得到结果.【详解】依题意得()()1214413f f ==+=，()129914f =+=，所以()()191f f -=-，故选A .【点睛】本小题主要考查利用分段函数求函数值，只需要将自变量代入对应的函数段，来求得相应的函数值.属于基础题.8.设a R ∈，函数()f x 在区间()0,+∞上是增函数，则（ ） A. ()2724f a a f ⎛⎫++>⎪⎝⎭B. ()2724f a a f ⎛⎫++<⎪⎝⎭ C. ()2724f a a f ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭D. ()2724f a a f ⎛⎫++≤⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数的性质，配方后可得2724a a ++≥，由函数的单调性可得结果. 【详解】因为221772244a a a ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭， 函数()f x 在区间()0,+∞上增函数，所以()22f a a ++ 74f ⎛⎫≥⎪⎝⎭.故选C. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、函数单调性的应用，属于简单题. 函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：（1）求函数的值域或最值；（2）比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解函数不等式；（4）求参数的取值范围或值．9.己知3sin 5a =，则cos(2)a π-=( ) A.45B.725C. 725-D. 45-【答案】C 【解析】 【分析】先用诱导公式，再由二倍角余弦公式可求． 【详解】2237cos(2)cos 2(12sin )(12())525πααα-=-=--=--⨯=-． 故选C ．【点睛】本题考查诱导公式，二倍角的余弦公式．三角函数的公式较多，要根据题意选取恰当的公式才能做到事半功倍，为此常常研究“已知角”和“未知角”之间的关系，从而确定选用的公式．10.函数()22f x x x m =--的零点有两个，求实数m 的取值范围（ ）A. 10m -<<B. 0m >或1m =-C. 0m >或10m -≤<D.01m <<【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，22y x x =-的图象（红色部分）和直线y m =有2个交点，数形结合求得m 的范围．【详解】由题意可得22y x x =-的图象(红色部分)和直线y m =有2个交点，如图所示：故有0m >或1m =-， 故选：B.【点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的图象的交点个数问题 .(二）不定项选择题：11—13题每小题给出的四个选项中，有一项或多项是符合题目要求的. 11.若干个人站成排，其中不是互斥事件的是（ ） A. “甲站排头”与“乙站排头” B. “甲站排头”与“乙不站排尾” C. “甲站排头”与“乙站排尾” D. “甲不站排头”与“乙不站排尾”【答案】BCD 【解析】 【分析】互斥事件是不能同时发生的事件，因此从这方面来判断即可．【详解】排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B 、C 、D 中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥． 故选BCD ．【点睛】本题考查互斥事件的概念，判断是否是互斥事件，就是判断它们能否同时发生，能同时发生的就不是互斥事件，不能同时发生的就是互斥事件．12.设函数()sin(2)6f x x π=+的图象为C ，则下列结论正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期是2πB. 图象C 关于直线6x π=对称C. 图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向左平移3π个单位长度得到 D. 函数()f x 在区间(,)122ππ-上是增函数 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的周期判断A 的正误；通过x=6π函数是否取得最值判断B 的正误；利用函数的图象的平移判断C 的正误, 利用函数的单调区间判断D 的正误． 【详解】对于A ，f （x ）的最小正周期为π,判断A 错误；对于B ，当x=6π，函数f （x ）=sin （2×6π+6π）=1，∴选项B 正确； 对于C ，把()sin2g x x =的图象向左平移3π个单位，得到函数sin[2（x+3π）]=sin(2x+()2)3f x π≠，∴选项C 不正确． 对于D ，由222262k x k πππππ-≤+≤+，可得36k x k ππππ-≤≤+，k∈Z，所以在,122ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不恒为增函数，∴选项D 错误； 故选：B ．【点睛】本题考查三角函数的基本性质的应用，函数的单调性、周期性及函数图象变换，属于基本知识的考查．13.设*{}()n a n N ∈是等差数列，n S 是其前项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A. 0d < B. 70a =C. 95S S >D. 6S 与7S 均为n S 的最大值【答案】ABD 【解析】 【分析】根据前n 项和的定义进行判断．【详解】6565S S a S =+>，则60a >，7676S S a S =+=，则70a =，则760d a a =-<，8787S S a S =+<，80a <．6859720a a a a a +=+==，∴59S S =，由760,0a a =>知67,S S 是{}n S 中的最大值． 从而ABD 均正确． 故选ABD ．【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查前n 项和n S 的性质．解题时直接从前n 项和的定义寻找结论，这是一种最基本的方法，简单而实用．二、填空题.将正确答案填在题中橫线上.14.某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用分层抽样的定义求解.【详解】设从高一年级的学生中抽取x 名，由分层抽样的知识可知83040x =，解得x ＝6. 故答案为：6.【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.15.设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值是__． 【答案】 【解析】由已知0,0a b >>, 3是3a 与b 的等比中项，则()233,1a b ab =⋅∴=则111111122ab a b ab a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立 故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．16.设函数()()sin ,0,0,2f x A x x R πωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+∈>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的表达式______．【答案】()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据图象的最高点得到1A =，由图象得到34884T πππ=-=，故得2T πω==，，然后通过代入最高点的坐标或运用“五点法”得到4πϕ=，进而可得函数的解析式．【详解】由图象可得31,4884T A πππ==-=， ∴T π=， ∴2ω=，∴()()sin 2f x x ϕ=+．又点,18π⎛⎫⎪⎝⎭在函数的图象上，∴sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴2,42k k Z ππϕπ+=+∈，∴2,4k k Z πϕπ=+∈．又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴4πϕ=．∴()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 故答案为()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 【点睛】已知图象确定函数()()sin f x A x ωϕ=+解析式的方法 （1）A 由图象直接得到，即最高点的纵坐标． （2）由图象得到函数的周期，进而得到ω的值． （3）ϕ的确定方法有两种．①运用代点法求解，通过把图象的最高点或最低点的坐标代入函数的解析式求出ϕ的值； ②运用“五点法”求解，即由函数()()sin f x A x ωϕ=+最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为ϕω-(即令0x ωϕ+=，x ϕω=-)确定ϕ．17.已知ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，若1,2cos 2a C c b =+=，则ABC ∆的周长的取值范围是__________． 【答案】(2,3] 【解析】ABC △中，由余弦定理可得2222cos a b c C ab +-=，∵12cos 2a C c b ，=+= ，∴2212b c c b b+-+= ，化简可得()213b c bc +-= ．∵22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()22132b c b c +⎛⎫+-≤⨯ ⎪⎝⎭，解得2b c +≤ （当且仅当b c = 时，取等号）．故3a b c ++≤ ．再由任意两边之和大于第三边可得 1b c a +>= ，故有 2a b c ++> ，故ABC △的周长的取值范围是(]2,3，故答案为(]2,3．点睛：由余弦定理求得cos C ，代入已知等式可得()213b c bc +-=，利用基本不等式求得2b c +≤，故3a b c ++≤．再由三角形任意两边之和大于第三边求得2a b c ++> ，由此求得△ABC 的周长的取值范围．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
广东省广州市第二中学2024届高一数学第二学期期末统考试题含解析
广东省广州市第二中学2024届高一数学第二学期期末统考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．空间中可以确定一个平面的条件是（ ） A ．三个点B ．四个点C ．三角形D ．四边形2．在ABC ∆中，,2,1,,AB AC AB AC AB AC E F +=-==为BC 的三等分点，则·AE AF =( )A ．89B ．109C ．259D ．2693．下列函数中周期为π，且图象关于直线3x π=对称的函数是( )A ．2sin 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ D ．2sin 23x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭4．为了得到函数2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度 5．对于函数()f x ，在使()f x M ≥成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数()f x 的“下确界”.若函数()3cos 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，,6x m π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭的“下确界”为12-，则m 的取值范围是（ ）A ．,62ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．,62ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．5,66ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭6．已知椭圆C 的方程为22218x y m +=(0m >)，如果直线22y x =与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为（）A ．2B ．22C ．4D ．87．函数()cos()6f x x π=+，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域是（ ） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．不等式2230x x -->的解集为 A ．(3,1)- B ．-∞-+∞(,3)(1,) C ．(1,3)-D ．(,1)(3,)-∞-+∞9．甲、乙两位射击运动员的5次比赛成绩（单位：环）如茎叶图所示，若两位运动员平均成绩相同，则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为A ．2B ．4C ．6D ．810．在中，内角所对的边分别为.若，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．0二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2020-2021学年广东省广州市白云区、海珠区高一(下)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年广东省广州市白云区、海珠区高一（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．若复数z＝（i为虚数单位），则|z|＝（）A．B．1C．5D．2．已知向量＝（2，3），＝（x，﹣6），且⊥，则x＝（）A．﹣9B．9C．﹣4D．43．高一年级有男生510人，女生490人，小明按男女比例进行分层随机抽样，总样本量为100．则在男生中抽取的样本量为（）A．48B．51C．50D．494．如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图，△A'B′C′为等腰直角三角形，其中O′与A′重合，A'B′＝6，则△ABC的面积是（）A．9B．9C．18D．185．已知||＝6，||＝4，与的夹角为60°，则（+2）•（﹣3）＝（）A．﹣72B．72C．84D．﹣846．某学校开展“学党史，颂党恩，跟党走“学习活动，刘老师去购书中心购买了一批书籍作为阅读学习之用，其中一类是4本不同的红色经典小说类书籍，另一类是2本不同的党史类书籍，两类书籍合计共6本．现刘老师从这6本书中随机抽取2本阅读，则这两本书恰好来自同一类书籍的概率是（）A．B．C．D．7．如图，已知＝，＝，任意点M关于点A的对称点为S，点M关于点B的对称点为N，则向量＝（）A．（+）B．2（+）C．（﹣）D．2（﹣）8．已知图1是棱长为1的正六边形ABCDEF，将其沿直线FC折叠成如图2的空间图形F′A′E′﹣C′B′D′，其中A′E′＝，则空间几何体F'A'E'﹣CB'D'的体积为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8，（单位：环），下列说法正确的有（）A．这组数据的平均数是8B．这组数据的极差是4C．这组数据的中位数是8.5D．这组数据的方差是210．已知复数z＝cosα+（sinα）i（α∈R）（i为虚数单位），下列说法正确的有（）A．当α＝﹣时，复平面内表示复数z的点位于第二象限B．当α＝时，z为纯虚数C．|z|最大值为D．z的共轭复数为＝﹣cosα+（sinα）i（α∈R）11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列说法正确的有（）A．该圆台轴截面ABCD面积为3cm2B．该圆台的体积为cm3C．该圆台的母线AD与下底面所成的角为30°D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC所在平面内点，满足x+y+z＝0，下列说法正确的有（）A．若x＝y＝z＝1，则点O为△ABC的重心B．若x＝y＝z＝1，则点O为△ABC的外心C．若x＝a，y＝b，z＝c，则点O为△ABC的内心D．若x＝a，y＝b，z＝c，则点O为△ABC的垂心三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．有10种不同的零食，每100克可食部分包含的能量（单位：k）如下：100，120，125，165，430，190，175，234，425，310这10种零食每100克可食部分的能量的第60百分位数为．14．天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内甲，乙两地只有一个地方降雨的概率是．15．如图，在三棱锥V﹣ABC中，VA＝VB＝AB＝AC＝BC＝4，VC＝2，则二面角A﹣VC﹣B的余弦值为．16．如图，△ABC是边长为1的正三角形，M，N分别为线段AC，AB上一点，满足AM：MC＝1：2，AN：NB＝1：3，CN与BM的交点为P，则线段AP的长度为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．现有两个红球（记为R1，R2），两个白球（记为W1，W2），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球．（1）写出试验的样本空间；（2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率．18．已知角A是△ABC的内角，若＝（sin A，cos A），＝（1，﹣1）．（1）若，求角A的值；（2）设f（x）＝，当f（x）取最大值时，求在上的投影向量（用坐标表示）．19．如图，直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，D是AB的中点．（1）求证：直线BC′∥平面A'CD；（2）若AC＝CB，求异面直线AB'与CD所成角的大小．20．2021年五一假期，各高速公路车流量大，交管部门在某高速公路区间测速路段随机抽取40辆汽车进行车速调查，将这40辆汽车在该区间测速路段的平均车速（km/h）分成六段[90，95），[95，100），[100，105），[105，110），[110，115），[115，120]，得到如图的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图估计出这40辆汽车的平均车速的中位数；（2）现从平均车速在区间[90，100）的车辆中任意抽取2辆汽车，求抽取的2辆汽车的平均车速都在区间[95，100）上的概率；（3）出于安全考虑，测速系统对平均车速在区间[115，120]的汽车以实时短信形式对车主进行安全提醒，确保行车安全．假设每辆在此区间测速路段行驶的汽车平均车速相互不受影响，以此次调查的样本频率估计总体概率，求连续2辆汽车都收到短信提醒的概率？21．如图，PA垂直于⊙O所在的平面，AC为⊙O的直径，AB＝3，BC＝4，PA＝3，AE ⊥PB，点F为线段BC上一动点．（1）证明：平面AEF⊥平面PBC；（2）当点F移动到C点时，求PB与平面AEF所成角的正弦值．22．为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏．已知AC＝40m，BC＝40m，AC⊥BC，∠MCN＝30°（1）若AM＝20m时，求护栏的长度（△MNC的周长）；（2）若鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA的面积的倍，求∠ACM；（3）当∠ACM为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．若复数z＝（i为虚数单位），则|z|＝（）A．B．1C．5D．解：∵z＝，∴|z|＝||＝，故选：A．2．已知向量＝（2，3），＝（x，﹣6），且⊥，则x＝（）A．﹣9B．9C．﹣4D．4解：∵，∴，解得x＝9．故选：B．3．高一年级有男生510人，女生490人，小明按男女比例进行分层随机抽样，总样本量为100．则在男生中抽取的样本量为（）A．48B．51C．50D．49解：高一年级共有510+490＝1000人，所以男生抽取的人数为人．故选：B．4．如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图，△A'B′C′为等腰直角三角形，其中O′与A′重合，A'B′＝6，则△ABC的面积是（）A．9B．9C．18D．18解：在斜二测直观图中，由△A'B′C′为等腰直角三角形，A'B′＝6，可得A'C′＝，还原原图形如图：则AB＝6，AC＝6，则＝．故选：D．5．已知||＝6，||＝4，与的夹角为60°，则（+2）•（﹣3）＝（）A．﹣72B．72C．84D．﹣84解：∵||＝6，||＝4，与的夹角为60°，∴＝，则（+2）•（﹣3）＝＝36﹣12﹣6×16＝﹣72．故选：A．6．某学校开展“学党史，颂党恩，跟党走“学习活动，刘老师去购书中心购买了一批书籍作为阅读学习之用，其中一类是4本不同的红色经典小说类书籍，另一类是2本不同的党史类书籍，两类书籍合计共6本．现刘老师从这6本书中随机抽取2本阅读，则这两本书恰好来自同一类书籍的概率是（）A．B．C．D．解：从6本书中随机抽取2本，共有种取法，若两本书来自同一类书籍则有种取法，所以两本书恰好来自同一类书籍的概率是．故选：C．7．如图，已知＝，＝，任意点M关于点A的对称点为S，点M关于点B的对称点为N，则向量＝（）A．（+）B．2（+）C．（﹣）D．2（﹣）解：∵＝，＝，任意点M关于点A的对称点为S，点M关于点B的对称点为N，∴AB是△MNS的中位线，∴＝2＝2（﹣）＝2（﹣）．故选：D．8．已知图1是棱长为1的正六边形ABCDEF，将其沿直线FC折叠成如图2的空间图形F′A′E′﹣C′B′D′，其中A′E′＝，则空间几何体F'A'E'﹣CB'D'的体积为（）A．B．C．D．解：如图，过A′作A′G⊥C′F′，垂足为G，连接E′G，则E′G⊥C′F′，过B′作B′H⊥C′F′，垂足为H，连接D′H，则D′H⊥C′F′，可得平面A′GE′∥平面B′HD′，即三棱柱A′GE′﹣B′HD′为直三棱柱．∵A′F′＝1，∠A′F′G＝60°，可得，，同理求得，，又A′E′＝，∴A′G2+E′G2＝A′E′2，∴空间几何体F'A'E'﹣CB'D'的体积为V＝＝．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8，（单位：环），下列说法正确的有（）A．这组数据的平均数是8B．这组数据的极差是4C．这组数据的中位数是8.5D．这组数据的方差是2解：对于A，这组数据的平均数是（7+8+9+10+6+8）＝8，故A正确；对于B，这组数据的极差是10﹣6＝4，故B正确；对于C，这组数据从小到大为6，7，8，8，9，10，∴这组数据的中位数是8，故C错误；对于D，这组数据的方差是S2＝[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2+（6﹣8）2+（8﹣8）2]＝，故D错误．故选：AB．10．已知复数z＝cosα+（sinα）i（α∈R）（i为虚数单位），下列说法正确的有（）A．当α＝﹣时，复平面内表示复数z的点位于第二象限B．当α＝时，z为纯虚数C．|z|最大值为D．z的共轭复数为＝﹣cosα+（sinα）i（α∈R）解：对于A，当α＝﹣时，z＝cos（）+[sin（）]i＝﹣，复平面内表示复数z的点位于第四象限，故A错误；对于B，当α＝时，z＝cos+（sin）i＝，为纯虚数，故B正确；对于C，，最大值为，故C正确；对于D，z的共轭复数为＝cosα﹣（sinα）i，故D错误．故选：BC．11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列说法正确的有（）A．该圆台轴截面ABCD面积为3cm2B．该圆台的体积为cm3C．该圆台的母线AD与下底面所成的角为30°D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm解：由AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，可得CD＝4，高O1O2＝＝，则圆台轴截面ABCD面积为（2+4）×＝3cm2，故A正确；圆台的体积为V＝π（1+4+2）×＝πcm3，故B正确；圆台的母线AD与下底面所成的角为∠ADO1，其正弦值为，所以∠ADO1＝60°，故C错误；由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm，底面半径为2cm，侧面展开图的圆心角为θ＝＝π，设AD的中点为P，连接CP，可得∠COP＝90°，OC＝4，OP＝2+1＝3，则CP＝＝5，所以沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm，故D正确．故选：ABD．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC所在平面内点，满足x+y+z＝0，下列说法正确的有（）A．若x＝y＝z＝1，则点O为△ABC的重心B．若x＝y＝z＝1，则点O为△ABC的外心C．若x＝a，y＝b，z＝c，则点O为△ABC的内心D．若x＝a，y＝b，z＝c，则点O为△ABC的垂心解：若x＝y＝z＝1则，∴．取AC中点D，连接OD，∴．∴O在△ABC的中线BD上，同理可得O在其它两边的中线上，∴O是△ABC的重心．若x＝a，y＝b，z＝c，则有，延长CO交AB于D，则，，∴a（）+b（）+c＝，设＝k，则（ka+kb+c）+（a+b）＝，∵与共线，与，不共线，∴ka+kb+c＝0，a+b＝，∴，∴CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线．∴O是△ABC的内心．故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．有10种不同的零食，每100克可食部分包含的能量（单位：k）如下：100，120，125，165，430，190，175，234，425，310这10种零食每100克可食部分的能量的第60百分位数为212．解：根据题意，将10个数据从小到大排列：100，120，125，165，175，190，234，310，425，430；10×60%＝6，则该组数据的第60百分位数为＝212，故答案为：212．14．天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内甲，乙两地只有一个地方降雨的概率是0.38．解：根据题意，设事件A表示甲地下雨，事件B表示乙地下雨，P（A）＝0.2，P（B）＝0.3，甲，乙两地只有一个地方降雨的概率P＝P（A）+P（B）＝0.2×（1﹣0.3）+（1﹣0.2）×0.3＝0.38；故答案为：0.38．15．如图，在三棱锥V﹣ABC中，VA＝VB＝AB＝AC＝BC＝4，VC＝2，则二面角A﹣VC﹣B的余弦值为．解：取VC的中点D，连接AD、BD，因为VA＝VB＝AC＝BC＝4，所以AD⊥VC，BD⊥VC，所以∠ADB即为二面角A﹣VC﹣B的平面角，因为VA＝VB＝AC＝BC＝4，VC＝2，所以AD＝BD＝，而AB＝4，在△ABD中，由余弦定理可得cos∠ADB＝＝，故答案为：．16．如图，△ABC是边长为1的正三角形，M，N分别为线段AC，AB上一点，满足AM：MC＝1：2，AN：NB＝1：3，CN与BM的交点为P，则线段AP的长度为．解：以A为原点，AB为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（，），M（，），N（，0），所以直线BM的方程为y＝（x﹣1），即x+5y﹣＝0，直线CN的方程为y＝（x﹣），即4x﹣4y﹣＝0，联立，解得，即P（，），所以AP＝＝．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．现有两个红球（记为R1，R2），两个白球（记为W1，W2），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球．（1）写出试验的样本空间；（2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率．解：（1）两个红球（记为R1，R2），两个白球（记为W1，W2），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球，则试验的样本空间Ω＝{（R1，R2），（R1，W1），（R1，W2），（R2，W1），（R2，W2），（W1，W2）}．（2）试验的样本空间Ω＝{（R1，R2），（R1，W1），（R1，W2），（R2，W1），（R2，W2），（W1，W2）}，包含6个样本点，其中恰好抽到一个红球一个白球包含4个样本点，∴恰好抽到一个红球一个白球的概率P＝＝．18．已知角A是△ABC的内角，若＝（sin A，cos A），＝（1，﹣1）．（1）若，求角A的值；（2）设f（x）＝，当f（x）取最大值时，求在上的投影向量（用坐标表示）．解：（1）∵角A是△ABC的内角，∴0＜A＜π，又＝（sin A，cos A），＝（1，﹣1）且，∴﹣，即2（sin A+）＝0，∴sin（A+）＝0，∵0＜A＜π，∴＜A+＜，则A+＝π，即A＝；（2）f（x）＝＝＝，∵＜A﹣＜，∴要使f（x）取得最大值，则，即A＝．∴＝（，cos）＝（，﹣），∴在上的投影向量为＝•（1，﹣1）＝（2，﹣2）．19．如图，直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，D是AB的中点．（1）求证：直线BC′∥平面A'CD；（2）若AC＝CB，求异面直线AB'与CD所成角的大小．解：（1）证明：连接AC′，交AC于点O，连接DO，∵直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，ACC′A′是矩形，∴O是AC′中点，∵D是AB的中点，∴OD∥BC′，∵BC′⊄平面A'CD，OD⊂平面A'CD，∴直线BC′∥平面A'CD；（2）解法一：∵AC＝CB，D是AB的中点，∴CD⊥AB，∵直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AA′⊥平面ABC，∴CD⊂平面ABC，∴AA′⊥CD，∵AB∩AA′＝A，∴CD⊥平面ABB′A′，∵AB′⊂平面ABB′A′，∴AB′⊥CD，∴异面直线AB'与CD所成角的大小为90°．解法二：∵AC＝CB，D是AB的中点，∴CD⊥AB，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设CD＝c，AB＝a，AA′＝b，则A（﹣，0，0），B′（，0，b），C（0，c，0），D（0，0，0），＝（a，0，b），＝（0，﹣c，0），∵•＝0，∴AB′⊥CD，∴异面直线AB'与CD所成角的大小为90°．20．2021年五一假期，各高速公路车流量大，交管部门在某高速公路区间测速路段随机抽取40辆汽车进行车速调查，将这40辆汽车在该区间测速路段的平均车速（km/h）分成六段[90，95），[95，100），[100，105），[105，110），[110，115），[115，120]，得到如图的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图估计出这40辆汽车的平均车速的中位数；（2）现从平均车速在区间[90，100）的车辆中任意抽取2辆汽车，求抽取的2辆汽车的平均车速都在区间[95，100）上的概率；（3）出于安全考虑，测速系统对平均车速在区间[115，120]的汽车以实时短信形式对车主进行安全提醒，确保行车安全．假设每辆在此区间测速路段行驶的汽车平均车速相互不受影响，以此次调查的样本频率估计总体概率，求连续2辆汽车都收到短信提醒的概率？解：（1）设平均车速的中位数的估值为x，则0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣105.0）＝0.5x＝107.5故平均车速的中位数为107.5．（2）车速在[90，95）内的有0.01×40×5＝2，车速在[95，100）的有0.02×40×5＝4，故抽取的2辆汽车的平均车速都在区间[95，100）上的概率．（3）设事件A为“汽车收到短信提醒”，则，∵汽车的速度不受影响，∴连续两辆汽车都收到短信体现的概率P＝．21．如图，PA垂直于⊙O所在的平面，AC为⊙O的直径，AB＝3，BC＝4，PA＝3，AE ⊥PB，点F为线段BC上一动点．（1）证明：平面AEF⊥平面PBC；（2）当点F移动到C点时，求PB与平面AEF所成角的正弦值．【解答】（1）证明：因为PA垂直于⊙O所在的平面，即PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又AC为⊙O的直径，所以AB⊥BC，因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，又AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE，因为AE⊥PB，BC∩PB＝B，所以AE⊥平面PBC，又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC．（2）解：因为AB＝3，PA＝3，所以PB＝＝3，又AE⊥PB，所以AE＝＝，由AB2＝BE•PB，可得BE＝，如图，过点E作EG∥PA交AB于点G，则＝，可得EG＝，又BC＝4，所以EC＝＝，所以S△ABC＝AB•BC＝6，S△AEC＝AE•EC＝，设点B到平面AEC的距离为h，由V E﹣ABC＝V B﹣AEC，可得S△ABC•EG＝S△AEC•h，解得h＝，所以当点F移动到C点时，PB与平面AEF所成角的正弦值为＝．22．为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏．已知AC＝40m，BC＝40m，AC⊥BC，∠MCN＝30°（1）若AM＝20m时，求护栏的长度（△MNC的周长）；（2）若鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA的面积的倍，求∠ACM；（3）当∠ACM为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？解：（1）∵AC＝40m，BC＝40m，AC⊥BC，∴tan B＝＝，∴B＝30°，∴A＝60°，∴AB＝2AC＝80，在△ACM中，由余弦定理可得CM2＝AC2+AM2﹣2AC•AM•cos A＝1600+400﹣2×40×20×＝1200，则CM＝20，∴AC2＝AM2+CM2，∴CM⊥AB，∵∠MCN＝30°，∴MN＝CM tan30°＝20，∴CN＝2MN＝40，∴护栏的长度（△MNC的周长）为20+40+20＝60+20；（2）设∠ACM＝θ（0°＜θ＜60°），因为鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA的面积的倍，所以，即CN＝40sinθ，…在△CAN中，由，得CN＝，…从而40sinθ＝，即sin2θ＝，由0°＜2θ＜120°，得2θ＝45°，所以θ＝22.5°，即∠ACM＝22.5°．…（3）设∠ACM＝θ（0°＜θ＜60°），由（2）知CN＝，又在△ACM中，由，得CM＝，…所以S△CMN＝＝，…所以当且仅当2θ+60°＝90°，即θ＝15°时，△CMN的面积取最小值为km2．…（16分）。
2020-2021广州市高一数学下期末试题(及答案)
2020-2021广州市高一数学下期末试题(及答案)一、选择题1．如图，在ABC 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．102．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．04．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，()()1AQ AC λλ=-∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A ．12B ．122± C ．1102± D ．322± 5．已知D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，则xy 的取值范围是( ) A ．14,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若sin 5sin 2A cB b=，7sin B =，57ABC S =△b =（ ） A ．3B ．7C 15D 147．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x （cm ）174176176176178儿子身高y （cm ）175 175 176 177 177则y 对x 的线性回归方程为 A ．y = x-1B ．y = x+1C ．y =88+12x D ．y = 1768．已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=（ ）A ．68B ．67C ．61D ．609．已知1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．58-B ．58C ．78-D ．7810．函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．011．与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22112x y -++= D ．()()22114x y +++=12．在ABC ∆中，2cos (,b,22A b c a c c+=分别为角,,A B C 的对边)，则ABC ∆的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆C 1 : x 2 + y 2＝8与圆C 2 : x 2+y 2+2x +y -a ＝0相交于A ，B 两点.若圆C 1上存在点P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为______.14．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ．15．设a ＞0，b ＞033a 与3b的等比中项，则11a b +的最小值是__． 16．已知两个正数,x y 满足4x y +=,则使不等式14m x y+≥恒成立的实数m 的范围是__________17．底面直径和高都是4cm 的圆柱的侧面积为___cm 2. 18．如图，棱长均为2的正四棱锥的体积为_______．19．设a ，b 是非零实数，且满足sincos1077tan 21cos sin 77a b a b πππππ+=-，则b a ＝_______．20．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为_____．三、解答题21．解关于x 的不等式2(1)10()ax a x a R -++>∈.22．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等． （Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率； （Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．23．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为18万元，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元， （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？24．已知圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=. （1）当a 为何值时，直线与圆C 相切.（2）当直线与圆C 相交于A 、B 两点，且22AB =时，求直线的方程. 25．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--.（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.26．某校高一()1班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．(1)求分数在[)50,60的频数及全班人数；(2)求分数在[)80,90之间的频数，并计算频率分布直方图中[)80,90间矩形的高； (3)若要从分数在[)80,100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[)90,100之间的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形． 【详解】①PA ⊥平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴∆,,PAD PAC ∆∆都是直角三角形；②90,BAC ABC ︒∠=∴是直角三角形； ③,,AD BC ABD ACD ⊥∴∆∆是直角三角形；④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴∆∆也是直角三角形.综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．【点睛】本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．2．D解析：D 【解析】试题分析：，且，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．3．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点22,22⎛ ⎝⎭，2222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.4．A解析：A 【解析】 【分析】运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，再根据向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】∵BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，∴()()BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ⋅=+⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅()()2211AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅()()232441212222λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴12λ=.故选：A. 5．D解析：D 【解析】 【分析】利用已知条件推出x +y ＝1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值． 【详解】解：D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，可得x y 1+=，x ，12y ,33⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2x y 1xy ()24+≤=，当且仅当1x y 2==时取等号，并且()2xy x 1x x x =-=-，函数的开口向下， 对称轴为：1x 2=，当1x 3=或2x 3=时，取最小值，xy 的最小值为：29．则xy 的取值范围是：21,.94⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选D ． 【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．6．D解析：D 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简sin 5sin 2A cB b=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c ，由sin 4B =，求得cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案． 【详解】由于sin 5sin 2A c B b=，有正弦定理可得： 52a c b b =，即52a c =由于在ABC中，sin 4B =，4ABC S =△1sin 24ABCS ac B ==，联立521sin 2sin a c ac B B ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得：5a =，2c = 由于B为锐角，且sin 4B =，所以3cos 4B ==所以在ABC 中，由余弦定理可得：2222cos 14b a c ac B =+-=，故b =（负数舍去） 故答案选D 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．7．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由已知可得176,176x y ==∴中心点为()176,176， 代入回归方程验证可知，只有方程y =88+12x 成立，故选C 8．B解析：B 【解析】 【分析】首先运用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可得到答案． 【详解】当1n =时，112S a ==-；当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦，故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩；所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S +++=-+++++=-=-⨯-=.故选：B ． 【点睛】本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.9．C解析：C 【解析】 由题意可得：1sin sin cos 32664ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则217cos 2cos 22cos 121366168πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.本题选择C 选项.10．B解析：B 【解析】 【分析】可采用构造函数形式，令()()()35lg 1,1x h x x g x x +=+=-，采用数形结合法即可求解 【详解】由题可知，1x >-，当1x =时，()80f x =-≠， 令358()(1)lg(1)350lg(1)311x f x x x x x x x +=-+--=⇒+==+--， 令()()()35lg 1,1x h x x g x x +=+=-，画出函数图像，如图：则两函数图像有两交点，故函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为2个 故选：B 【点睛】本题考查函数零点个数的求解，数形结合思想，属于中档题11．C解析：C 【解析】圆22220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-，过圆心()1,1-与直线40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上，又圆心()1,1-到直线40x y --==，设所求圆的圆心为(),a b ，且圆心在直线40x y --==0a b +=，解得1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为()()22112x y -++=.故选C ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．12．A解析：A 【解析】 【分析】 根据正弦定理得到1cos sin sin 22sin A B C C ++=，化简得到sin cos 0A C =，得到2C π=，得到答案. 【详解】2cos 22A b c c +=，则1cos sin sin 22sin A B CC++=， 即sin cos sin sin cos cos sin sin C A C A C A C C +=++，即sin cos 0A C =，sin 0A ≠，故cos 0C =，2C π=.故选：A . 【点睛】本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题13．【解析】【分析】先求得直线为：再分别讨论或和的情况根据几何性质求解即可【详解】由题则直线为：当或时设到的距离为因为等腰直角三角形所以即所以所以解得当时经过圆心则即故答案为：【点睛】本题考查圆与圆的位 解析：{}8,825,825-+【解析】 【分析】先求得直线AB 为：280x y a ++-=,再分别讨论90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒和90APB ∠=︒的情况,根据几何性质求解即可 【详解】由题,则直线AB 为：280x y a ++-=,当90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒时,设1C 到AB 的距离为d , 因为ABP △等腰直角三角形, 所以12d AB =,即2182d d =-,所以2d =, 所以228221a d -==+,解得825a =±,当90APB ∠=︒时,AB 经过圆心1C ,则80a -=,即8a =, 故答案为：{}8,825,825-+ 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用,考查分类讨论思想和数形结合思想14．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x 若x 满足|x|≤m 的概率为若m 对于3概率大于若m 小于3概率小于所以m=3故答案为3解析：3 【解析】 【分析】 【详解】如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，若m 对于3概率大于，若m 小于3，概率小于，所以m=3． 故答案为3．15．【解析】由已知是与的等比中项则则当且仅当时等号成立故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质等比数列的性质其中熟练应用乘1法是解题的关键解析：【解析】由已知0,0a b >>, 3是3a 与b 的等比中项，则()233,1a b ab =⋅∴=则111111122ab a b ab a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立 故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．16．【解析】【分析】由题意将代入进行恒等变形和拆项后再利用基本不等式求出它的最小值根据不等式恒成立求出m 的范围【详解】由题意知两个正数xy 满足则当时取等号；的最小值是不等式恒成立故答案为【点睛】本题考查 解析：94m ≤【解析】 【分析】由题意将4x y +=代入14x y+进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m 的范围． 【详解】由题意知两个正数x ，y 满足4x y +=， 则14559144444x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+=，当4y x x y=时取等号； 14x y ∴+的最小值是94， 不等式14m x y +≥恒成立，94m ∴≤． 故答案为94m ≤． 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证．17．【解析】【分析】【详解】圆柱的侧面积为 解析：【解析】 【分析】 【详解】圆柱的侧面积为22416ππ⨯⨯=18．【解析】在正四棱锥中顶点S 在底面上的投影为中心O 即底面ABCD 在底面正方形ABCD 中边长为2所以OA=在直角三角形SOA 中所以故答案为【解析】在正四棱锥中，顶点S 在底面上的投影为中心O ，即SO ⊥底面ABCD ，在底面正方形ABCD 中，边长为2，所以，在直角三角形SOA中SO ===所以112233V sh ==⨯⨯=319．【解析】【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出即可求得结论【详解】因为（tanθ）∴∴tanθ＝tan （kπ）∴故答案为【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用考查了两角和的正切公式【解析】 【分析】先把已知条件转化为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-．利用正切函数的周期性求出3k πθπ=+，即可求得结论．【详解】因为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-，（tanθb a =） ∴10721k ππθπ+=+ ∴3k πθπ=+．tanθ＝tan （k π3π+）=∴ba=．本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，考查了两角和的正切公式，属于中档题．20．2x ﹣4y+3＝0【解析】【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大此时直线l 与直线垂直即可算出的斜率求得直线l 的方程【详解】由题得当∠ACB 最小时直线l 与直线垂直此时又故又直线l 过点解析：2x ﹣4y +3＝0 【解析】 【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程. 【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==-- ,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+= . 故答案为：2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.三、解答题21．a ＜0时，不等式的解集是（1a，1）； a ＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）； 1a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠.01a <<时，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（1a，+∞）；a ＞1时，不等式的解集是（﹣∞，1a）∪（1，+∞）．【分析】讨论a 与0的大小，将不等式进行因式分解，然后讨论两根的大小，即可求出不等式的解集． 【详解】当0a =时，原不等式可化为10x -+>，所以原不等式的解集为{|1}x x <. 当0a ≠时，判别式()()22141a a a ∆=+-=-.（1）当1a =时，判别式0∆=，原不等式可化为2210x x -+>， 即()210x ->，所以原不等式的解集为{|1}x x ≠. （2）当0a <时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，此时11a<，所以原不等式的解集为1{|1}x x a <<.（3）当01a <<时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，此时11a >，所以原不等式的解集为1{|1}x x x a或. （4）当1a >时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，此时11a<， 所以原不等式的解集为1{|1}x xx a或. 综上，a ＜0时，不等式的解集是（1a，1）； a ＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）； 1a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠.01a <<时，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（1a，+∞）；a ＞1时，不等式的解集是（﹣∞，1a）∪（1，+∞）．【点睛】本题主要考查了含有字母系数的不等式求解问题，解题的关键是确定讨论的标准，属于中档题． 22．(1) ． (2)．【解析】 【分析】 【详解】设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x ，y ． 用（x ，y ）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．（1）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A ， 则A ＝{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}． 事件A 由4个基本事件组成，故所求概率P （A ）＝＝．（2）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B ，则B ＝{（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）} 事件B 由7个基本事件组成，故所求概率P （A ）＝．考点：古典概型的概率计算23．（1）()11,(),(0)82f x xg x x x ==≥；（2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元. 【解析】 【分析】（1）投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，用待定系数法求这两种产品的收益和投资的函数关系；（2）由（1）的结论，设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，这时可构造出一个关于收益y 的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解. 【详解】（1）依题意设()1,()f x k x g x k x ==，1211(1),(1)82f k g k ====，()11,(),(0)82f x xg x x x ==≥；（2）设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，11(20)()(20)82y f x g x x x =-+=-21(2)3,0208x x =-+≤≤，2,4x x ==万元时，收益最大max 3y =万元， 20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元， 投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元.本题考查函数应用题，考查正比例函数、二次函数的最值、待定系数法等基础知识与基本方法，属于中档题. 24．（1）34a =-；（2）20x y -+=或7140x y -+=. 【解析】 【分析】（1）将圆C 的方程化为标准形式，得出圆C 的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可计算出实数a 的值；（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公式可求得实数a 的值，进而可得出直线l 的方程. 【详解】（1）圆C 的标准方程为()2244x y +-=，圆心C 的坐标为()0,4，半径长为2，当直线l 与圆C2=，解得34a =-；（2）由题意知，圆心C 到直线l的距离为d ==由点到直线的距离公式可得d ==2870a a ++=，解得1a =-或7-.因此，直线l 的方程为20x y -+=或7140x y -+=. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用直线与圆相切求参数以及根据弦长求直线方程，解答的核心就是圆心到直线的距离的计算，考查计算能力，属于中等题. 25．（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ， 进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果. 试题解析：（Ⅰ）解：由sin 4sin a A b B =，及sin sin a bA B=，得2a b =.由)222ac a b c=--，及余弦定理，得2225cos 2acbc aA bcac +-===.（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得sin 5A =，代入sin 4sin a A b B =，得sin sin 45a A Bb ==.由（Ⅰ）知，A 为钝角，所以cos 5B ==.于是4sin22sin cos 5B B B ==，23cos212sin 5B B =-=，故()43sin 2sin2cos cos2sin 55B A B A B A ⎛-=-=⨯-= ⎝⎭考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.26．（1）2，25；（2）0.012；（3）0.7. 【解析】 【分析】(1)先由频率分布直方图求出[)50,60的频率，结合茎叶图中得分在[)50,60的人数即可求得本次考试的总人数；(2)根据茎叶图的数据，利用(1)中的总人数减去[)50,80外的人数，即可得到[)50,80内的人数，从而可计算频率分布直方图中[)80,90间矩形的高；(3)用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意得基本事件个数，利用古典概型概率计算公式即可求出结果． 【详解】(1)分数在[)50,60的频率为0.008100.08⨯=，由茎叶图知：分数在[)50,60之间的频数为2，∴全班人数为2250.08=． (2)分数在[)80,90之间的频数为25223-=；频率分布直方图中[)80,90间的矩形的高为3100.01225÷=． (3)将[)80,90之间的3个分数编号为1a ，2a ，3a ，[)90,100之间的2个分数编号为1b ，2b ，在[)80,100之间的试卷中任取两份的基本事件为：()12a ,a ，()13a ,a ，()11a ,b ，()12a ,b ，()23a ,a ，()21a ,b ，()22a ,b ，()31a ,b ，()32a ,b ，()12b ,b 共10个，其中，至少有一个在[)90,100之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[)90,100之间的概率是70.710=． 【点睛】本题考查了茎叶图和频率分布直方图的性质，以及古典概型概率计算公式的应用，此题是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.。
最新广东省广州市高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019 学年广东省广州市高一放学期期末数学试题一、单项选择题1．以下两个变量之间的关系不是函数关系的是（）A．出租车车资与出租车行驶的里程B．商品房销售总价与商品房建筑面积C．铁块的体积与铁块的质量D．人的身高与体重【答案】 D【分析】依据函数的观点来进行判断。
【详解】对于 A 选项，出租车车资推行分段收费，与出租车行驶里程成分段函数关系；对于 B 选项，商品房的销售总价等于商品房单位面积售价乘以商品房建筑面积，商品房销售总价与商品房建筑面积之间是一次函数关系；对于 C 选项，铁块的质量等于铁块的密度乘以铁块的体积，铁块的体积与铁块的质量是一次函数关系；对于 D 选项，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高与体重之间没有必定联系，因人而异， D 选项中两个变量之间的关系不是函数关系。
应选： D。
【点睛】此题考察函数观点的理解，充足理解两个变量之间是“一对一”或“多对一”的形式，考察学生对这些观点的理解，属于基础题。
2．在某次丈量中获得 A 样本数据以下：43,50,45,55,60 ，若B样本数据恰巧是 A 样本每个数都增添 5 获得，则 A 、B两样本的以下数字特点对应同样的是（）A．众数B．中位数C．方差D．均匀数【答案】 C【分析】分别计算出 A 、B两个样本数据的众数、中位数、方差和均匀数，再进行判断。
【详解】A 样本的数据为：43、 50 、 45 、 55、 60 ，没有众数，中位数为 50 ，均匀数为，方差为，B 样本的数据为：48 、 55 、 50 、 60 、65，没有众数，中位数为55 ，均匀数为，方差为，所以，两个样本数据的方差没变，应选：D。
【点睛】此题考察样本的数据特点，考察对样本数据的众数、中位数、均匀数以及方差观点的理解，娴熟利用有关公式计算这些数据，是解此题的重点，属于中等题。
3．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的均匀数为16.8 ，则 x， y 的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【答案】 C【分析】试题剖析：由题意得 x 5 ，1(9 15 10 y 18 24)y 8 ，选5C.【考点】茎叶图4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分红6 组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100] 加以统计，获得以下图的频次分布直方图．已知高一年级共有学生600 名，据此预计，该模块测试成绩许多于60 分的学生人数为（）A． 588B． 480C． 450D． 120【答案】 B【分析】试题剖析：依据频次散布直方图，得；该模块测试成绩许多于60 分的频次是1- （ 0.005+0.015 ）× 10=0.8 ，∴对应的学生人数是600× 0.8=480【考点】频次散布直方图5．设，是两个不一样的平面，l ，m是两条不一样的直线，且 l，m（）A ．若l，则B ．若，则 lmC ．若l //，则//D ．若//，则l // m【答案】 A【分析】 试题剖析：由面面垂直的判断定理：假如一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得l， l可得【考点】 空间线面平行垂直的判断与性质6．设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别为 a, b,c ，若 b c 2a,3sin A 5sin B ,则角 C =（）A ．B ．23 3C ．3D ．546【答案】 B【分析】【详解】试题剖析：Q 3sin A 5sin B ，由正弦定理可得 3a 5b 即 a5b ；7b ，所以3因为 bc 2a ，所以 c3252249 215cosCa 2b 2c 29 b b9 b9 1(0, ) ，所以2ab5 210，而 C22b332，应选 B.C3【考点】 1. 正弦定理； 2. 余弦定理 .7．若直线 x y 1 0 与圆 ( x a) 2 y 22 有公共点，则实数 a 的取值范围是（）A ．[ 3,1]B ． [ 1,3]C ． [ 3,1]D ． ( , 3] U [1, )【答案】 C【分析】 由题意得圆心为 ( a,0) ，半径为 2 ．圆心到直线的距离为 da 1，2由直线与圆有公共点可得a 12 ，即a 1 2 ，解得3 a 1 ．2∴实数 a 取值范围是[ 3,1] ．选 C．8．已知直线l：x ay 1 0(a R) 是圆C : x2 y 2 4x 2 y 1 0 的对称轴.过点A( 4, a) 作圆C的一条切线，切点为B，则|AB| （）A． 2 B．4 2 C． 6 D．2 10【答案】 C【分析】试题剖析：直线l 过圆心，所以 a 1 ，所以切线长AB (4)21 4 ( 4) 2 1 6，选 C.【考点】切线长9．在三棱锥A BCD中，已知全部棱长均为 2 ， E 是 AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（）A．3 1 1D．3B．C．6 6 3 3【答案】 A【分析】取 AD 的中点F，连结 CF 、EF，于是获得异面直线CE 与 BD 所成的角为CEF ，而后计算出CEF 的三条边长，并利用余弦定理计算出CEF ，即可得出答案．【详解】以以下图所示，取AD的中点F，连结 CF 、EF，因为 E 、F分别为 AB 、 AD 的中点，则 EF //BD ，且EF 1BD 1，2所以，异面直线 CE 与 BD 所成的角为CEF 或其补角，Q 三棱锥A BCD是边长为2的正四周体，则ABC 、 ACD 均是边长为2 的等边三角形，Q E为AB的中点，则CE AB ，且CE AC 2 AE 2 3，同理可得 CF 3 ，在 CEF 中，由余弦定理得cos CEF CE2 EF 2 CF 2 3 1 3 3 ，2CE EF 2 3 1 6所以，异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为3，应选 A．6【点睛】此题考察异面直线所成角的计算，利用平移法求异面直线所成角的基本步骤以下：（1）一作：平移直线，找出异面直线所成的角；（2）二证：对异面直线所成的角进行说明；（3）三计算：选择适合的三角形，并计算出三角形的边长，利用余弦定理计算所求的角．10．已知圆C : x 3 2 2m 0 ，若圆 C 上y 41和两点A m,0，B m,0存在点 P ，使得APB 90 ，则 m 的最大值为（）A． 7 B． 6 C． 5 D． 4【答案】 B【分析】由题意知，点P 在以原点（ 0，0）为圆心，以 m为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只需两圆有交点即可，所以m 1 5 ，应选 B.【考点】本小题主要考察两圆的地点关系，考察数形联合思想，考察剖析问题与解决问题的能力 .11．正四棱锥的极点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．81B．16 C． 9 D．27 4 4【答案】 A【分析】【详解】正四棱锥 P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为 O， PO=AO=R，PO14，OO1 =4-R，在 Rt △ AOO 1 中， AO 1 2 ，由勾股定理 R 22 4 29 R 得 R，4∴球的表面积 S81 ，应选 A. 4【考点】 球的体积和表面积12．已知点 、 、 在圆x 2y 21 上运动，且 ABC90 o，若点 P 的坐标为 2,0 ，A B Cuuur uuur uuurPA PB PC 的最大值为（）A ． 9B ． 8C ． 7D ． 6【答案】 C【分析】 由题意可知 AC 为圆 x 2y 21 的一条直径， 由平面向量加法的平行四边形法uuur uuuruuur则可得 PAPC 2PO （ O 为坐标原点），而后利用平面向量模的三角不等式以及圆uuuvuuuv uuuv的几何性质可得出 PA PB PC 的最大值 .【详解】以以下图所示：Q ABC 90o， AC 为圆 x 2 y 21 的一条直径，uuuruuur uuur 由平面向量加法的平行四边形法例可得2POPAPC （ O 为坐标原点），由平面向量模的三角不等式可得uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuvPA PB PC 2PO PB 2 PO PB 4 PB 4PO17，当且仅当点 B 的坐标为1,0 时，等号建立，uuuv uuuv uuuv所以， PA PB PC 的最大值为7 .应选： C.【点睛】此题考察向量模的最值问题，波及平面向量模的三角不等式以及圆的几何性质的应用，考察数形联合思想的应用，属于中等题.二、填空题13．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，其他三边旋转形成的面所围成的旋转体的侧面积是_____．【答案】 2【分析】先确立旋转体为圆柱，依据条件得出圆柱的底面半径和母线长，而后利用圆柱侧面积公式计算可得出答案．【详解】由题意可知，旋转体为圆柱，且底面半径为r 1 ，母线长为l 1 ，所以，旋转体的侧面积为 2 rl 2 1 1 2 ，故答案为 2 ．【点睛】此题考察圆柱侧面积的计算，计算出圆柱的底面半径和母线长是解此题的重点，意在考查学生对这些公式的理解与运用能力，属于基础题．14．若直线l过点3,4 ，且平行于过点M (1,2) 和N ( 1, 5)的直线，则直线l 的方程为 _____【答案】 7x 2 y 130【分析】先利用斜率公式求出直线MN 的斜率，由直线l 与直线 MN 平行，得出直线 l 的斜率，再利用点斜式可得出直线l 的方程。
2022-2023学年广东省广州市荔湾区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年广东省广州市荔湾区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 满足（1+2i ）z ＝4+3i ，则复数z ＝（ ） A ．﹣2+iB ．﹣2﹣iC ．2+iD ．2﹣i2．已知向量a →=(2，0)，b →=(1，−1)，若a →+λb →与b →垂直，则λ等于（ ） A ．1B ．0C ．﹣1D ．﹣23．一个小商店从一家食品有限公司购进10袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g ，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g ）如下：495，500，503，508，498，500，493，500，503，500，记10袋白糖的平均质量为x ，标准差为s ，则质量位于x −s 与x +s 之间的白糖袋数是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．94．已知事件A ，B ，且P （A ）＝0.7，P （B ）＝0.2，则（ ） A ．若B ⊆A ，则P （A ∪B ）＝0.7，P （AB ）＝0.14 B ．若A ，B 互斥，则P （A ∪B ）＝0.9，P （AB ）＝0.14 C ．若A 与B 相互独立，则P （A ∪B ）＝0.9，P （AB ）＝0 D ．若A 与B 相互独立，则P(AB)=0.24，P(AB)=0.06 5．已知a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，则（ ） A ．若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →B ．若a →是非零向量，b →≠c →，则a →⋅b →=a →⋅c →是a →⊥(b →−c →)的充要条件C ．若a →=(1，−1)，b →=(2，−3)，c →=(−3，4)，则{a →+b →，c →}可以作为基底D ．若a →，b →，c →两两的夹角相等，且|a →|=1，|b →|=1，|c →|=3，则|a →+b →+c →|=26．某小区从2000户居民中随机抽取100户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350kW •h 之间，进行适当的分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．则（ ）A ．小区用电量平均数为186.5，极差为300B ．小区用电量中位数为171，众数为175C ．可以估计小区居民月用电量的85%分位数约为262.5D ．小区用电量不小于250kW •h 的约有380户7．已知母线长为a 的圆锥的侧面展开图为半圆，在该圆锥内放置一个圆柱，则当圆柱的侧面积最大时，圆柱的体积为（ ） A ．√3128πa 3 B ．√364πa 3C ．√332πa 3D ．√316πa 38．如图，设Ox ，Oy 是平面内相交成θ角的两条数轴，e 1→，e 2→分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →=xe 1→+ye 2→，则把有序数对（x ，y ）叫做向量OP →在坐标系xOy 中的坐标，则该坐标系中M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点间的距离为（ ）A ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2−2(x 1−x 2)(y 1−y 2)sinθB ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2+2(x 1−x 2)(y 1−y 2)sinθC ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2−2(x 1−x 2)(y 1−y 2)cosθD ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2+2(x 1−x 2)(y 1−y 2)cosθ二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9．已知复数z 1＝x +yi （x ，y ∈R ），z 2＝cos θ+i sin θ（θ∈R ），则（ ） A ．（z 1+z 2）2＝|z 1+z 2|2B ．复平面内z 22对应的点的集合是单位圆C ．z 1+z 2=z 1+z 2D ．复平面内满足|z 1﹣i |＝1的点的集合是线段10．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次底面朝下的数字，记事件A ＝“两次记录的数字之和为偶数”，事件B ＝“第一次记录的数字为偶数”；事件C ＝“第二次记录的数字为偶数”，则（ ）A ．P （A ）＝P （B ）＝P （C ） B ．P （AB ）＝P （BC ）＝P （AC ）C ．P （A ）P （B ）P （C ）=116D ．P （ABC ）=1411．已知函数f （x ）＝cos 4x ﹣2sin x cos x ﹣sin 4x ，则（ ） A ．函数f （x ）的图象关于x =π4对称 B ．函数f （x ）的图象关于点（−3π8，0）对称 C ．函数f （x ）在区间[−π8，3π8]上单调递减D ．函数f （x ）满足f （x +π2）=1f(x)12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点E ，F 分别是线段AB 、A 1D 1的中点，则（ ） A ．EF ⊥CD 1B ．直线EF 与BC 1所成的角为60° C ．直线EF 与平面ABC 1所成的角的正弦值为√36D ．直线B 1D 与平面A 1BC 1的交点是△A 1BC 1的重心 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则z 等于 ．（写出一个即可） 14．已知|a →|＝6，e →=（0，1），当向量a →，e →的夹角θ等于30°时，向量a →在向量e →上的投影向量为 ． 15．如图，长方体木块ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BC ＝BB 1＝1，AB ＝2，E ，F ，G 分别是线段AB 1，B 1C 1，DC 的中点，平面A 1B 1C 1上存在点P ，满足DP ∥平面EFG ，则点D 与满足题意的点P 构成的平面截长方体所得截面的面积为 ．16．如图，已知直线l 1∥l 2，A 是直线l 1，l 2之间的一定点，并且点A 到l 1，l 2的距离分别为h 1，h 2，B ，C 分别为直线l 1，l 2上的动点，且满足∠BAC ＝120°，则△ABC 面积的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）将函数g （x ）＝tan （2x +π3）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度，得到函数f （x ）的图象．（1）解不等式g （x ）≥﹣1，x ∈[0，π4]；（2）证明：tan （x 2+π4）+tan （x 2−π4）＝2f （x ）．18．（12分）如图，A ，B 两点都在河的对岸（不可到达），为了测量A ，B 两点间的距离，在A ，B 两点的对岸选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，并且在C ，D 两点分别测得∠ACB ＝60°，∠ACD ＝45°，∠BDC ＝30°，∠BDA ＝75°， （1）求A ，B 两点间的距离；（2）设AC 与BD 相交于点O ，记△AOD 与△BOC 的面积分别为S 1，S 2，求S 1﹣S 2．19．（12分）如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA ＝2，AA 1＝3，点P ，Q 分别为线段AB 1，CC 1的中点．（1）证明：PQ ∥平面ABC ； （2）求多面体B 1PCQ 的体积．20．（12分）某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内维修次数最多的是3次，其中维修1次的占15%，维修2次的占6%，维修3次的占4%．（1）若某人购买1台这种品牌的计算机，求下列事件的概率：A＝“在保修期内需要维修”；B＝“在保修期内维修不超过1次”；（2）若某人购买2台这种品牌的计算机，2台计算机在保修期内是否需要维修互不影响，求这2台计算机保修期内维修次数总和不超过2次的概率．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，AC与BD相交于点O，E 为CD的中点，P A＝PB=√2，∠P AD＝∠PBC，（1）证明：平面POE⊥平面ABCD；（2）当点A到平面PCD的距离最大时，求侧面P AB与底面ABCD所成二面角的大小．22．（12分）某工艺品加工厂生产线一天能生产200件某款产品，该产品市场评级规定：工艺质量指标值大于或等于10的为A等品，小于10的为B等品．厂家将A等品售价定为160元/件，B等品售价定为140元/件．如表是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的工艺质量指标值：经计算得x=116∑x i=9.9716i=1，s2=116∑16i=1(x i−x)2=116∑x i2−x2i=1=0.045，其中x i为抽取的第i件产品的工艺质量指标值，i＝1，2，⋯，16．为了提高产品质量，该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知增加生产工序每年需花费30万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品工艺质量指标值均提高0.05．（1）若将随机抽取的16件产品中各等级产品的频率视为概率，估计改进后该厂的年收益是否增加，并说明理由．（一年按365天计算）（2）根据随机抽取的16件产品的工艺质量指标值，估计改进后该厂一天生产的所有产品的工艺质量指标值的平均数和方差．2022-2023学年广东省广州市荔湾区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 满足（1+2i ）z ＝4+3i ，则复数z ＝（ ） A ．﹣2+iB ．﹣2﹣iC ．2+iD ．2﹣i解：由（1+2i ）z ＝4+3i ，得z =4+3i 1+2i =(4+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=10−5i5=2−i ． 故选：D ．2．已知向量a →=(2，0)，b →=(1，−1)，若a →+λb →与b →垂直，则λ等于（ ） A ．1B ．0C ．﹣1D ．﹣2解：因为a →=(2，0)，b →=(1，−1)，所以a →+λb →=(2+λ，−λ)， 因为a →+λb →与b →垂直，所以（2+λ）×1+（﹣λ）×（﹣1）＝0，则λ＝﹣1． 故选：C ．3．一个小商店从一家食品有限公司购进10袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g ，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g ）如下：495，500，503，508，498，500，493，500，503，500，记10袋白糖的平均质量为x ，标准差为s ，则质量位于x −s 与x +s 之间的白糖袋数是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9解：10袋白糖的平均质量x =500+−5+0+3+8+(−2)+0+(−7)+3+010=500， 方差s 22=110[(−5)2+02+32+82+(−2)2+02+(−7)2+02+32+02]=16，标准差s ＝4， 因此x −s =496，x +s =504，所以质量位于x −s 与x +s 之间的白糖袋数是7． 故选：B ．4．已知事件A ，B ，且P （A ）＝0.7，P （B ）＝0.2，则（ ） A ．若B ⊆A ，则P （A ∪B ）＝0.7，P （AB ）＝0.14 B ．若A ，B 互斥，则P （A ∪B ）＝0.9，P （AB ）＝0.14 C ．若A 与B 相互独立，则P （A ∪B ）＝0.9，P （AB ）＝0 D ．若A 与B 相互独立，则P(AB)=0.24，P(AB)=0.06解：对于A ，如果B ⊆A ，那么P （A ∪B ）＝P （A ）＝0.7，P （AB ）＝P （B ）＝0.2，A 错误；对于B ，如果A 与B 互斥，那么P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）＝0.7+0.2＝0.9，P （AB ）＝0，B 错误； 对于C ，如果A 与B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）P （B ）＝0.7×0.2＝0.14，C 错误；对于D ，如果A 与B 相互独立，那么P(AB)=(1−0.7)(1−0.2)=0.24，P(AB)=(1−0.7)×0.2=0.06，D 正确． 故选：D ．5．已知a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，则（ ） A ．若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →B ．若a →是非零向量，b →≠c →，则a →⋅b →=a →⋅c →是a →⊥(b →−c →)的充要条件C ．若a →=(1，−1)，b →=(2，−3)，c →=(−3，4)，则{a →+b →，c →}可以作为基底D ．若a →，b →，c →两两的夹角相等，且|a →|=1，|b →|=1，|c →|=3，则|a →+b →+c →|=2 解：对于选项A ，当b →=0→时，满足a →∥b →，b →∥c →， 但a →，c →的方向不能确定，故选项A 错误； 对于选项B ，若a →是非零向量，b →≠c →，则a →⋅b →=a →⋅c →⇔a →⋅(b →−c →)=0⇔a →⊥(b →−c →)， 则选项B 正确；对于选项C ，∵a →+b →=(3，−4)=−c →， ∴a →+b →，c →共线，∴{a →+b →，c →}不可以作为基底，故选项C 错误；对于选项D ，|a →+b →+c →|=√(a →+b →+c →)2=√a →2+b →2+c →2+2a →⋅b →+2a →⋅c →+2b →⋅c →，因为a →，b →，c →两两的夹角相等， 所以夹角有两种情况， 当夹角为120°时，|a →+b →+c →|=√12+12+32+2×1×1×(−12)+2×1×3×(−12)+2×1×3×(−12)=2，当夹角为0°时，|a →+b →+c →|=√12+12+32+2×1×1+2×1×3+2×1×3=5， 故选项D 错误． 故选：B ．6．某小区从2000户居民中随机抽取100户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350kW •h 之间，进行适当的分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．则（ ）A ．小区用电量平均数为186.5，极差为300B ．小区用电量中位数为171，众数为175C ．可以估计小区居民月用电量的85%分位数约为262.5D ．小区用电量不小于250kW •h 的约有380户 解：对于A ，极差为300，小区用电量平均数为50×0.0024×75+50×0.0036×125+50×0.0060×175+50×0.0044×225 +50×0.0024×275+50×0.0012×325＝186，故A 错误； 对于B ，小区用电量众数为150+2002=175，因为50×（0.0024+0.0036）＝0.3，50×（0.0024+0.0036+0.0060）＝0.6， 故小区用电量中位数在[150，200），设为m ， 则0.3+（m ﹣150）×0.0060＝0.5，解得m =5503，故B 错误； 对于C ，因为50×（0.0024+0.0036+0.0060+0.0044）＝0.82＜0.85， 50×（0.0024+0.0036+0.0060+0.0044+0.0024）＝0.94＞0.85， 故估计小区居民月用电量的85%分位数在[250，300），设为x ， 则0.82+（x ﹣250）×0.0024＝0.85，解得x ＝262.5，故C 正确；对于D ，样本中小区用电量不小于250kW •h 的频率为0.0024×50+0.0012×50＝0.18， 所以小区用电量不小于250kW •h 的约有2000×0.18＝360户，故D 错误．故选：C ．7．已知母线长为a 的圆锥的侧面展开图为半圆，在该圆锥内放置一个圆柱，则当圆柱的侧面积最大时，圆柱的体积为（ ）A ．√3128πa 3B ．√364πa 3C ．√332πa 3D ．√316πa 3解：依题意，设圆锥底面半径为R ，高为H ，圆柱底面半径为r ，高为h ， 则2πR =12×2πa ，则R =12a ，故H =√a 2−R 2=√32a ， 所以由ℎH =R−r R，得ℎ=√32a −√3r =√32(a −2r)，所以圆柱的侧面积S =2πr ℎ=√32π×2r ×(a −2r)≤√32π×(2r+a−2r 2)2=√38πa 2， 当且仅当2r ＝a ﹣2r ，即r =a4时，等号成立，此时ℎ=√32(a −2×14a)=√34a ，圆柱的体积为V =πr 2ℎ=π×(a 4)2×√34a =√364πa 2． 故选：B ．8．如图，设Ox ，Oy 是平面内相交成θ角的两条数轴，e 1→，e 2→分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →=xe 1→+ye 2→，则把有序数对（x ，y ）叫做向量OP →在坐标系xOy 中的坐标，则该坐标系中M（x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点间的距离为（ ）A ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2−2(x 1−x 2)(y 1−y 2)sinθB ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2+2(x 1−x 2)(y 1−y 2)sinθC ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2−2(x 1−x 2)(y 1−y 2)cosθD ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2+2(x 1−x 2)(y 1−y 2)cosθ解：因为该坐标系中M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）， 所以OM →=x 1e 1→+y 1e 2→，ON→=x 2e 1→+y 2e 2→，则MN →=ON →−OM →=(x 2−x 1)e 1→+(y 2−y 1)e 2→， 所以|MN →|=√[(x 2−x 1)e 1→+(y 2−y)1e 2→]2=√(x 2−x 1)2e 1→2+(y 2−y 1)2e 2→2+2(x 2−x 1)(y 2−y 1)e 1→⋅e 2→=√(x 2−x 1)2|e 1→|2+(y 2−y 1)2|e 2→|2+2(x 2−x 1)(y 2−y 1)|e 1→|⋅|e 2→|cosθ =√(x 1−x 2)2×12+(y 1−y 2)2×12+2(x 1−x 2)(y 1−y 2)×1×1×cosθ =√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2+2(x 1−x 2)(y 1−y 2)cosθ， 即该坐标系中M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点间的距离为： √(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2+2(x 1−x 2)(y 1−y 2)cosθ． 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9．已知复数z 1＝x +yi （x ，y ∈R ），z 2＝cos θ+i sin θ（θ∈R ），则（ ） A ．（z 1+z 2）2＝|z 1+z 2|2B ．复平面内z 22对应的点的集合是单位圆C ．z 1+z 2=z 1+z 2D ．复平面内满足|z 1﹣i |＝1的点的集合是线段解：取z 1＝i ，θ＝0，z 2＝1，则(z 1+z 2)2=（i +1）2＝2i ，|z 1+z 2|2=|i +1|2=2， 则（z 1+z 2）2≠|z 1+z 2|2，故A 错误；设复平面内z 22对应的点的坐标为（m ，n ），z 22=（cos θ+i sin θ）2＝cos 2θ﹣sin 2θ+i •2sin θcos θ＝cos2θ+i sin2θ，∴m ＝cos2θ，n ＝sin2θ，∴m 2+n 2＝1，则复平面内z 22对应的点的集合是单位圆，故B 正确； ∵z 1+z 2＝x +cos θ+i •（y +sin θ），z 1+z 2=x +cos θ﹣i •（y +sin θ）， z 1+z 2=x ﹣yi +cos θ﹣i sin θ＝x +cos θ﹣i •（y +sin θ）， ∴z 1+z 2=z 1+z 2，故C 正确；由|z 1﹣i |＝1得|x +（y ﹣1）i |＝1，即x 2+（y ﹣1）2＝1，表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆，故D 错误．故选：BC．10．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次底面朝下的数字，记事件A＝“两次记录的数字之和为偶数”，事件B＝“第一次记录的数字为偶数”；事件C＝“第二次记录的数字为偶数”，则（）A．P（A）＝P（B）＝P（C）B．P（AB）＝P（BC）＝P（AC）C．P（A）P（B）P（C）=116D．P（ABC）=14解：依题意，连续抛掷这个正四面体木块两次，所得总的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16件，其中事件A包含的基本事件有（1，1），（1，3），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（4，2），（4，4），共8件，事件B包含的基本事件有（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共8件，事件C包含的基本事件有（1，2），（1，4），（2，2），（2，4），（3，2），（3，4），（4，2），（4，4），共8件，事件AB包含的基本事件有（2，2），（2，4），（4，2），（4，4），共4件，事件BC包含的基本事件有（2，2），（2，4），（4，2），（4，4），共4件，事件AC包含的基本事件有（2，2），（2，4），（4，2），（4，4），共4件，事件ABC包含的基本事件有（2，2），（2，4），（4，2），（4，4），共4件，所以P（A）＝P（B）＝P（C）=12，P（AB）＝P（BC）＝P（AC）=14，P（A）P（B）P（C）=18，P（ABC）=14，故ABD正确，C错误．故选：ABD．11．已知函数f（x）＝cos4x﹣2sin x cos x﹣sin4x，则（）A．函数f（x）的图象关于x=π4对称B．函数f（x）的图象关于点（−3π8，0）对称C．函数f（x）在区间[−π8，3π8]上单调递减D ．函数f （x ）满足f （x +π2）=1f(x)解：f （x ）＝cos 4x ﹣2sin x cos x ﹣sin 4x ＝（cos 2x +sin 2x ）（cos 2x ﹣sin 2x ）﹣2sin x cos x ＝cos2x ﹣sin2x =√2cos （2x +π4），由2x +π4=k π，k ∈Z ，解得x =−π8+kπ2，k ∈Z ，令−π8+kπ2=π4，得k =34∉Z ，故A 错误； 由2x +π4=π2+kπ，k ∈Z 得，x =π8+kπ2，k ∈Z ，当k ＝﹣1时，x =−3π8， 则函数f （x ）关于点（−3π8，0）对称，故B 正确； 当2x +π4∈[2k π，π+2k π]，k ∈Z ，即x ∈[−π8+k π，3π8+k π]，k ∈Z 时，f （x ）单调递减，令k ＝0，则函数f （x ）在区间[−π8，3π8]内单调递减，故C 正确；取x ＝0，则f （0+π2）＝f （π2）=√2cos(x +π4)=−√2cos π4=−1，又因为1f(0)=√2cos π4=1，所以f （0+π2）≠1f(0)，故D 错误． 故选：BC ．12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点E ，F 分别是线段AB 、A 1D 1的中点，则（ ） A ．EF ⊥CD 1B ．直线EF 与BC 1所成的角为60° C ．直线EF 与平面ABC 1所成的角的正弦值为√36D ．直线B 1D 与平面A 1BC 1的交点是△A 1BC 1的重心解：对于A ，记CD 的中点为G ，连接EG ，AC 交于O ，连接D 1O ，AD 1，易得O 同时是EG 与AC 的中点，EO ∥AD ，EO =12AD ，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，FD1∥AD，FD1=12AD，所以EO∥FD1，EO＝FD1，所以四边形FD1OE是平行四边形，则EF∥D1O，不妨设AB＝2，则在△ACD1，易得AD1=AC=CD1=2√2，则△ACD1是正三角形，因为O是AC的中点，易得∠OD1C＝30°，所以D1O与CD1不垂直，则EF与CD1不垂直，故A错误；对于B，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，则AD1∥BC1，又EF∥D1O，所以∠AD1O是直线EF与BC1所成的角（或补角），因为△ACD1是正三角形，O是AC的中点，所以∠AD1O＝30°，故B错误；对于C，连接A1D，如图，由选项B可知平面ABC1与平面ABC1D1是同一个面，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，而A1D⊂平面AA1D1D，则AB⊥A1D，在正方形AA1D1D中，易得AD1⊥A1D，又AD1∩AB＝A，AD1，AB⊂平面ABC1D1，所以A1D⊥平面ABC1D1，又F是A1D1的中点，所以F到平面ABC1D1的距离是A1到平面ABC1D1的距离的一半，记F到平面ABC1D1的距离为h，则ℎ=12×12A1D=√22，而易得EF=√12+12+22=√6，记直线EF与平面ABC1所成的角为θ，则sinθ=ℎEF=√22×1√6=√36，故C正确；对于D，不妨设直线B1D与平面A1BC1的交点为M，连接B1D1，如图，易得A1B=BC1=A1C1=2√2，又A1B1＝B1C1＝BB1＝2，所以三棱锥B1﹣A1BC1是正三棱锥，故要证M是△A1BC1的重心，只需要证B1M⊥面A1BC1，即B1D⊥面A1BC1即可，因为在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面A1B1C1D1，而A1C1⊂平面A1B1C1D1，则DD1⊥A1C1，在正方形A1B1C1D1中，易得B1D1⊥A1C1，又DD1∩B1D1＝D1，DD1，B1D1⊂平面DD1B1，所以A1C1⊥平面DD1B1，而B1D⊂平面DD1B1，故A1C1⊥B1D，同理A1B⊥B1D，又A1C1∩A1B＝A1，A1C1，A1B⊂平面A1BC1，所以B1D⊥面A1BC1，所以直线B1D与平面A1BC1的交点是△A1BC1的重心，故D正确．故选：CD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则z等于﹣1+√3i（答案不唯一）．（写出一个即可）解：设z＝a+bi（a＜0，b＞0），由|z|＝2，得√a2+b2=2，即a2+b2＝4，令a＝﹣1，b=√3，则z＝﹣1+√3i．故答案为：﹣1+√3i（答案不唯一）．14．已知|a→|＝6，e→=（0，1），当向量a→，e→的夹角θ等于30°时，向量a→在向量e→上的投影向量为3√3e→．解：|a→|＝6，e→=（0，1），向量a→，e→的夹角θ等于30°时，故向量a→在向量e→上的投影向量为|a→|cos30°×e→=3√3e→．故答案为：3√3e→．15．如图，长方体木块ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝BB1＝1，AB＝2，E，F，G分别是线段AB1，B1C1，DC 的中点，平面A1B1C1上存在点P，满足DP∥平面EFG，则点D与满足题意的点P构成的平面截长方体所得截面的面积为32．解：如图，连接EG，EF，GF，A1D，A1C1，DC1，∵A1E∥DG，A1E＝DG，∴A1EGD为平行四边形，∴A1D∥EG，∵A 1D ⊄平面EFG ，EG ⊂平面EFG ，∴A 1D ∥平面EFG ， 又DP ∥平面EFG ，A 1D ∩DP ＝D ，A 1D ，DP ⊂平面A 1DP ， ∴平面A 1DP ∥平面EFG ，又平面A 1DP ∩平面A 1B 1C 1D 1＝A 1P ，平面EFG ∩平面A 1B 1C 1D 1＝EF ， ∴A 1P ∥EF ，∵E ，F 分别是线段AB 1，B 1C 1的中点，∴A 1C 1∥EF ，则点P 在A 1C 1上， ∴点D 与满足题意的点P 构成的平面截长方体所得截面为△DA 1C 1， ∵DA 1=√2，A 1C 1＝DC 1=√5，△DA 1C 1的等腰三角形， 边DA 1上的高为h =√(√5)2−(√22)2=3√22， ∴S △DA 1C 1=12DA 1⋅ℎ=12×√2×3√22=32． 故答案为：32．16．如图，已知直线l 1∥l 2，A 是直线l 1，l 2之间的一定点，并且点A 到l 1，l 2的距离分别为h 1，h 2，B ，C 分别为直线l 1，l 2上的动点，且满足∠BAC ＝120°，则△ABC 面积的最小值为√33h 1h 2 ．解；依题意，当点B ，C 在过点A 垂直于l 1的直线DE 同侧时，∠BAE +∠CAD ＝60°， 设∠BAE ＝30°+θ（﹣30°＜θ＜30°），则∠CAD ＝30°﹣θ，在Rt △ABE ，Rt △ACD 中，AB =ℎ1cos(30°+θ)，AC =ℎ2cos(30°−θ)，因此△ABC 的面积S △ABC =12AB •AC sin120°=12•ℎ1cos(30°+θ)•ℎ2cos(30°−θ)•√32=√3ℎ124(√32cosθ−12sinθ)(√32cosθ+12sinθ)=√3ℎ1ℎ23cos 2θ−sin 2θ=√3ℎ1ℎ24cos 2θ−1， 而√32＜cos θ≤1，即34＜cos 2θ≤1，√33h 1h 2≤S △ABC ＜√32h 1h 2，当且仅当cos θ＝1，即θ＝0°取等号， 当B 与E 重合时，∠CAD ＝60°，AC ＝2h 2，S △ABC =12h 1•2h 2sin120°=√32h 1h 2， 当C 与D 重合时，∠BAE ＝60°，同理S △ABC =√32h 1h 2，当B ，C 在过点A 垂直于l 1的直线DE 两侧时，则有60°＜∠CAD ＜90°，AC ＞2h 2，AB ＞h 1，或60°＜∠BAE ＜90°，AB ＞2h 1，AC ＞h 2，S △ABC =12AB •AC sin120°＞√34•2h 1h 2=√32h 1h 2， 所以△ABC 面积的最小值为√33h 1h 2． 故答案为：√33h 1h 2． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）将函数g （x ）＝tan （2x +π3）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度，得到函数f （x ）的图象．（1）解不等式g （x ）≥﹣1，x ∈[0，π4]；（2）证明：tan （x 2+π4）+tan （x 2−π4）＝2f （x ）．解：（1）∵x ∈[0，π4]，则2x +π3∈[π3，5π6]，因为tan （2x +π3）≥﹣1，则2x +π3∈[π3，π2）∪[3π4，5π6]，解得x ∈[0，π12）∪[5π24，π4]；证明：（2）函数g （x ）＝tan （2x +π3）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，解析式变为h （x ）＝tan （x +π3），再向右平移π3个单位长度，则f （x ）＝tan x ，所以tan （x 2+π4）+tan （x 2−π4）=tan x 2+tan π41−tan x 2tan π4+tan x 2−tan π41+tan x 2tan π4=1+tan x 21−tan x 2+tan x 2−11+tan x 2=(1+tan x 2)2−(1−tan x 2)21−tan 2x 2=4tan x21−tan 2x 2=2tan x ＝2f （x ）， 故原等式成立．18．（12分）如图，A ，B 两点都在河的对岸（不可到达），为了测量A ，B 两点间的距离，在A ，B 两点的对岸选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，并且在C ，D 两点分别测得∠ACB ＝60°，∠ACD ＝45°，∠BDC ＝30°，∠BDA ＝75°， （1）求A ，B 两点间的距离；（2）设AC 与BD 相交于点O ，记△AOD 与△BOC 的面积分别为S 1，S 2，求S 1﹣S 2．解：（1）在△ACD中，∠ADC＝∠BDA+∠BDC＝105°，∠ACD＝45°，所以∠CAD＝30°，又CD＝a，所以由CDsin30°=ADsin45°，得AD=asin45°sin30°=√2a，在△BCD中，∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝105°，∠BDC＝30°，所以∠CBD＝45°，又sin105°=sin(60°+45°)=√32×√22+12×√22=√6+√24，所以由BDsin105°=CDsin45°，得BD=asin105°sin45°=√3+12a，在△ABD中，∠BDA＝75°，cos∠BDA=cos(45°+30°)=√22(√32−12)=√6−√24，所以AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos75°=2a2+2+√32a2−2×√2a×√3+12a×√6−√24=4+√32a2，则AB=√8+2√32a．（2）在△COD中，∠ACD＝45°，∠BDC＝30°，则∠COD＝105°，由OCsin30°=ODsin45°=CDsin105°，得OC=CDsin30°sin105°=6+2，OD=CDsin45°sin105°=√26+2=(√3−1)a，所以在△AOD中，∠BDA＝75°，sin75°=sin105°=√6+√2 4，则S△AOD=12AD⋅OD⋅sin75°=12×√2a2√26+√2×√6+√24=a22，在△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠COD＝75°，BO=BD−DO=√3+12a−(√3−1)a=3−√32a，则S△BOC=12OC⋅BO⋅sin75°=12×2√6+√2×3−√32a×√6+√24=3−√38a2，所以S1−S2=S△AOD−S△BOC=a22−3−√38a2=1+√38a2．19．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝2，AA1＝3，点P，Q分别为线段AB1，CC1的中点．（1）证明：PQ∥平面ABC；（2）求多面体B1PCQ的体积．解：（1）证明：取AB的中点D，连接PD，CD，在△ABB1中，因为P，D分别为AB1，AB中点，所以PD∥BB1，且PD=12BB1，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1∥BB1，CC1＝BB1，因为Q为棱CC1的中点，所以CQ∥BB1，且CQ=12BB1，于是PD∥CQ，PD＝CQ，所以四边形PDCQ为平行四边形，从而PQ∥CD，又因为CD⊂平面ABC，PQ⊄平面ABC，所以PQ∥平面ABC；（2）取BC的中点E，连接AE，因为AB＝AC，所以AE⊥BC，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，所以BB1⊥AE，又BC∩BB1＝B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，所以AE⊥平面BCC1B1，点P为线段AB1的中点，则点P到平面BCC1B1的距离d=12AE=√32，则多面体B1PCQ的体积V B1−PCQ =V P−B1CQ=13S△B1CQd=13×12×32×2×√32=√34．20．（12分）某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内维修次数最多的是3次，其中维修1次的占15%，维修2次的占6%，维修3次的占4%．（1）若某人购买1台这种品牌的计算机，求下列事件的概率：A＝“在保修期内需要维修”；B＝“在保修期内维修不超过1次”；（2）若某人购买2台这种品牌的计算机，2台计算机在保修期内是否需要维修互不影响，求这2台计算机保修期内维修次数总和不超过2次的概率．解：（1）设A k＝“一年内需要维修k次”，k＝0，1，2，3，事件A0，A1，A2，A3两两互斥，因为一年内需要维修1次的占15%，维修2次的占6%，维修3次的占4%，所以P（A1）＝0.15，P（A2）＝0.06，P（A3）＝0.04，P（A0）＝1﹣（0.15+0.06+0.04）＝0.75，P（A）＝P（A1∪A2∪A3）＝P（A1）+P（A2）+P（A3）＝0.25，P（B）＝P（A0∪A1）＝P（A0）+P（A1）＝0.9；（2）这2台计算机保修期内维修次数总和不超过2次，则两台均未维修或1台维修0次另1台维修1次，或1台维修0次另1台维修2次，或2台各维修1次，所以这2台计算机保修期内维修次数总和不超过2次的概率为：P＝0.75×0.75+0.75×0.15×2+0.75×0.06×2+0.15×0.15＝0.9．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，AC与BD相交于点O，E 为CD的中点，P A＝PB=√2，∠P AD＝∠PBC，（1）证明：平面POE⊥平面ABCD；（2）当点A到平面PCD的距离最大时，求侧面P AB与底面ABCD所成二面角的大小．解：（1）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，由正方形ABCD，得AD＝BC，而PA=PB=√2，∠PAD=∠PBC，则△P AD≌△PBC，有PD＝PC，又E为CD的中点，OD＝OC，于是PE⊥CD，OE⊥CD，而PE∩OE＝E，OE⊂平面POE，PE⊂平面POE，因此CD⊥平面POE，又CD⊂平面ABCD，所以平面POE⊥平面ABCD．（2）在四棱锥P﹣ABCD中，延长EO交AB于F，连接PF，如图，由于正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为CD的中点，则F为AB的中点，有EF⊥AB，PF⊥AB，于是∠PFE是侧面P AB与底面ABCD所成二面角，令∠PFE＝θ，由（1）知CD⊥平面PFE，而CD⊂平面PCD，则平面PFE⊥平面PCD，在平面PFE内过F作FH⊥PE于H，而平面PFE∩平面PCD＝PE，于是FGH⊥平面PCD，又AB∥CD，CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD，则AB ∥平面PCD ，因此点A 到平面PCD 距离等于点F 到平面PCD 的距离FH ， 由PA =√2，AF =1，得PF =√PA 2−PF 2=1， 而EF ＝2，在△PEF 中，由余弦定理得：PE 2＝PF 2+EF 2﹣2PF •EF cos θ＝5﹣4cos θ， 又S △PEF =12PF ⋅EF ⋅sinθ=12PE ⋅FH ，即有2sin θ＝PE •FH ，则FH 2=4sin 2θPE2=4−4cos 2θ5−4cosθ=16−(4cosθ)24(5−4cosθ)， 令5﹣4cos θ＝t ，显然﹣1＜cos θ＜1， 则1＜t ＜9，FH 2=16−(5−t)24t =14[10−(t +9t )]≤14(10−2√t ⋅9t )=1，当且仅当t =9t，即t ＝3时取等号， 当t ＝3时，(FH)min =1，cosθ=12， 而0＜θ＜π， 从而θ=π3，所以当点A 到平面PCD 距离最大时，侧面P AB 与底面ABCD 所成二面角的大小为π3．22．（12分）某工艺品加工厂生产线一天能生产200件某款产品，该产品市场评级规定：工艺质量指标值大于或等于10的为A 等品，小于10的为B 等品．厂家将A 等品售价定为160元/件，B 等品售价定为140元/件．如表是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的工艺质量指标值：经计算得x =116∑x i =9.9716i=1，s 2=116∑ 16i=1(x i −x)2=116∑x i 2−x 2i=1=0.045，其中x i 为抽取的第i 件产品的工艺质量指标值，i ＝1，2，⋯，16．为了提高产品质量，该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知增加生产工序每年需花费30万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品工艺质量指标值均提高0.05．（1）若将随机抽取的16件产品中各等级产品的频率视为概率，估计改进后该厂的年收益是否增加，并说明理由．（一年按365天计算）（2）根据随机抽取的16件产品的工艺质量指标值，估计改进后该厂一天生产的所有产品的工艺质量指标值的平均数和方差．解：（1）改进后该厂的年收益增加了，理由如下： 依题意，可知原生产线生产A 等品的概率为816=12，生产B 等品的概率为12，所以原生产线一天的收益为200×12×160+200×12×140=30000（元），即3万元， 改进后的生产线随机抽取的16件产品的工艺质量指标值为：则改进后的生产线生产A 等品的概率为1316，生产B 等品的概率为316，所以改进后的生产线一天的收益为200×1316×160+200×316×140=31250（元），即3.125万元， 则改进后该厂的年收益比原来的多（3.125﹣3）×365﹣30＝15.625（万元）． 所以改进后该厂的年收益增加了．（2）因为原来随机抽取的16件产品的工艺质量指标值的平均数为x =9.97和方差为s 2＝0.045， 而且改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品工艺质量指标值均提高0.05， 所以估计改进后该厂一天生产的所有产品的工艺质量指标值的平均数为x +0.05=10.02，改进后方差s 12=116∑(x i +0.05−x −0.05)16i=1=116∑(x i −x)16i=1=s 2，所以方差不变，仍为0.045．。
2024届广东省广州荔湾区广雅中学高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析
2024届广东省广州荔湾区广雅中学高一数学第二学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．根据如下样本数据 x 345678y4.02.50.5-0.52.0-3.0-可得到的回归方程为y bx a ∧=+,则（ ） A ．0,0a b ><B ．0,0a b >>C ．0,0a b <<D ．0,0a b <>2．已知扇形的弧长是8，其所在圆的直径是4，则扇形的面积是（ ） A ．8B ．6C ．4D ．163．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．6B ．4C ．223 D ．2034．已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为 A ．5B ．4C ．2D ．15．已知角α的终边过点P(2sin 60°,-2cos 60°),则sin α的值为( )A ．32B ．12C ．-32D ．-126．已知tan 2α=，则22sin sin 23cos ααα+-的值为（ ） A ．25B ．1C ．45D ．857．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是（ ） A ．2张恰有一张是移动卡 B ．2张至多有一张是移动卡 C ．2张都不是移动卡D ．2张至少有一张是移动卡8．如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（ ）A ．定B ．有C ．收D ．获9．下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增的是（ ）A ．12y x =B ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．12log xy =D ．1y x=10．已知菱形ABCD 的边长为2,60ABC ∠=︒，则·DA DC =（ ） A ．23-B ．23C ．2-D ．2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
广东省广州市荔湾区2024届数学高一第二学期期末复习检测试题含解析
广东省广州市荔湾区2024届数学高一第二学期期末复习检测试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设函数()2sin()f x x ωϕ=+,x ∈R ，其中0ω＞,ϕπ＜.若()26f π=，5()06f π=且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A ．34ω=,58πϕ=-B ．34ω=,38πϕ= C ．94ω=,8πϕ=-D ．94ω=,8πϕ=2．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列，且1n n n b a a +=-（*n ∈N ），若32b =-，1012b =，则8a =（ ）A ．0B ．3C ．8D ．113．若三棱锥P ABC -中，PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，且1PA =，2PB =，3PC =，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．72πB ．14πC ．28πD ．56π4．如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点且APB β∠=，02πβ<<，则图中阴影区域面积的最大值为（ )A ．cos ββ+B ．sin ββ+C ．22cos ββ+D ．44sin ββ+5．在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3c =，45A =︒，75B =︒，则a =（ ）A ．2B 3C ．1D ．36．ABC ∆中，3,,4sin sin 3a Ab Bc C π===，则cos C （ ）A ．32B ．32-C ．32-或32D ．07．设等差数列的前项和为，若，，则中最大的是( ). A ．B ．C ．D ．8．记动点P 是棱长为1的正方体1111-ABCD A B C D 的对角线1BD 上一点，记11D PD Bλ=．当APC ∠为钝角时，则λ的取值范围为( ) A ．(0,1)B ．1(,1)3C ．1(0,)3D ．(1,3)9．设函数()113cos 2626f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()y f x =( )A ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，且其图象关于直线6x π=对称 B ．在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，且其图象关于直线3x π=对称C ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且其图象关于直线6x π=对称 D ．在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，且其图象关于直线3x π=对称10．若实数x ，y 满足不等式组220,10,2,x y x y y ++⎧⎪+-⎨⎪-⎩则z x y =-的最大值为（ ）A ．5-B ．2C ．5D ．7二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2022-2023学年广东省广州市番禺区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年广东省广州市番禺区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，2，3}，B ＝{x ∈R |x 2﹣x ﹣6＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1}B ．{﹣1，2}C ．{﹣2，﹣1，2}D ．{﹣2，﹣1，3}2．复数z =2+ii ，则在复平面内z 对应的点的坐标是（ ） A ．（1，﹣2）B ．（﹣1，﹣2）C ．（1，2）D ．（﹣1，2）3．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字（作为个体编号）．则选出来的第5个个体的编号为（ ） A ．07B ．02C ．11D ．044．已知角α的终边经过点P(35，−45)，则cos α﹣sin α的值为（ ） A ．15B ．−75C ．75D ．−155．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型．如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个“牟合方盖”（如图2）．已知这个“牟合方盖”与正方体外接球的体积之比为4：3√3π，则这个“牟合方盖”的体积为（ ）A ．16√33B ．43C ．83D ．1636．四位爸爸A 、B 、C 、D 相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练，其中每位爸爸都与一个别人家的小孩进行交谈，则A 的小孩与D 交谈的概率是（ ） A ．13B ．12C ．59D ．237．岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．如图1是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）A ．y =|x|√4−x 2B ．y =x√4−x 2C ．y =√−x 2+2|x|D ．y =√−x 2+2x8．将函数f （x ）＝sin （x +π3）的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数y ＝g （x ）的图象，若g （x 1）•g （x 2）＝﹣1（x 1≠x 2），则|x 1+x 22|的最小值为（ ）A ．π3B ．2π3C ．π12D ．π6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知直线l 、m ，平面α、β，l ⊂α，m ⊂β，则下列说法中正确的是（ ） A ．若l ∥m ，则必有α∥β B ．若l ⊥m ，则必有α⊥βC ．若l ⊥β，则必有α⊥βD ．若α∥β，则必有l ∥β10．某校采取分层抽样的方法抽取了高一年级20名学生的数学成绩（满分100），并将他们的成绩制成如表所示的表格．下列结论正确的是（ ） A ．这20人数学成绩的众数75 B ．A 组8位同学数学成绩的方差为754C ．这20人数学成绩的平均数为75D ．这20人数学成绩的25%分位数为6511．若点D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →=a →，CA →=b →，则下列结论正确的是（ ）A ．AD →=−12a →−b →B ．BE →=a →+12b →C ．CF →=−12a →+12b →D ．EF →=12a →12．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E ，F ，P ，M ，N 分别是AB ，CC 1，DD 1，AD ，CD 的中点，则（ ）A ．EF ∥平面PMNB ．直线PM 与EF 所成的角是π3C ．点E 到平面PMN 的距离是2√33D ．存在过点E ，F 且与平面PMN 平行的平面α，平面α截该正方体得到的截面面积为3√3 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若cosα=−35，则cos2α＝ ．14．已知函数f(x)={x 3，x ≤0lgx ，x ＞0，则f （100）＝ ．15．若向量a →=(√3，3)，b →=(−2，0)，则a →在b →上的投影向量为 ．16．英国数学家泰勒发现了如下公式：e x=1+x 1!+x 22!+x 33!+⋯，sinx =x −x 33!+x 55!−x 77!+⋯，cos x ＝1−x 22!+x 44!−x 66!+⋯，其中n !＝1×2×3×⋯×n ．可以看出这些公式右边的项用得越多，计算出e x 、sin x 和cos x 的值也就越精确，则cos1的近似值为 （精确到0.01）；运用上述思想，可得到函数f(x)=e x −1x 在区间(23，1)内有 个零点．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知下列三个条件：①函数f(x −π3)为奇函数；②当x =π6时，f （x ）＝2；③2π3是函数f （x ）的一个零点．从这三个条件中任选一个填在下面的横线处，并解答下列问题． 已知函数f(x)=2sin(x +φ)(0＜φ＜π2)，_____． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在[0，2π]上的单调递增区间．18．（12分）在△ABC中，cosB=1，c＝8，b＝7．2（1）求sin C；（2）若角C为钝角，求△ABC的周长．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，M是AB的中点，AC＝CB＝CC1＝2．（1）证明：直线CM⊥平面AA1B1B；（2）求直线A1C与平面AA1B1B所成角的大小．20．（12分）某省实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A，B，C，D，E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分．其中，A等级排名占比15%，赋分分数区间是86～100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是71～85；C等级排名占比35%，赋分分数区间是56～70；D等级排名占比13%，赋分分数区间是41～55；E等级排名占比2%，赋分分数区间是30∼40；现从全年级的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图．（1）求图中a的值；（2）从生物原始成绩为[60，80）的学生中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中任意抽取2人，求2人均在[70，80）的概率；（3）用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）？（结果保留整数）21．（12分）如图，在四棱锥E ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，BC ＝2，BE ＝CE =√2． （1）若平面CDE ∩平面ABE ＝l ，证明：AB ∥l ；（2）若面EBC ⊥面ABCD ，求四棱锥E ﹣ABCD 的侧面积．22．（12分）已知函数y ＝φ（x ）的图象关于点P （a ，b ）成中心对称图形的充要条件是φ（a +x ）+φ（a ﹣x ）＝2b ．给定函数f(x)=x −6x+1及其图象的对称中心为（﹣1，c ）． （1）求c 的值；（2）判断f （x ）在区间（0，+∞）上的单调性并用定义法证明；（3）已知函数g （x ）的图象关于点（1，1）对称，且当x ∈[0，1]时，g （x ）＝x 2﹣mx +m ．若对任意x 1∈[0，2]，总存在x 2∈[1，5]，使得g （x 1）＝f （x 2），求实数m 的取值范围．2022-2023学年广东省广州市番禺区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，2，3}，B ＝{x ∈R |x 2﹣x ﹣6＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1}B ．{﹣1，2}C ．{﹣2，﹣1，2}D ．{﹣2，﹣1，3}解：由B ＝{x ∈R |x 2﹣x ﹣6＜0}＝{x |﹣2＜x ＜3}，A ＝{﹣2，﹣1，2，3}，所以A ∩B ＝{﹣1，2}， 故选：B ．2．复数z =2+ii ，则在复平面内z 对应的点的坐标是（ ） A ．（1，﹣2）B ．（﹣1，﹣2）C ．（1，2）D ．（﹣1，2）解：z =2+i i =(2+i)⋅(−i)i⋅(−i)=−2i−i 21=1−2i ，故复平面内z 对应的点的坐标为（1，﹣2）．故选：A ．3．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字（作为个体编号）．则选出来的第5个个体的编号为（ ） A ．07B ．02C ．11D ．04解：由题意知：选取的6个个体编号依次为08，02，14，07，11，04， ∴选出来的第5个个体的编号为11． 故选：C ．4．已知角α的终边经过点P(35，−45)，则cos α﹣sin α的值为（ ） A ．15B ．−75C ．75D ．−15解：由题意可知：cosα=35，sinα=−45， 所以cosα−sinα=35+45=75， 故选：C ．5．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型．如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个“牟合方盖”（如图2）．已知这个“牟合方盖”与正方体外接球的体积之比为4：3√3π，则这个“牟合方盖”的体积为（ ）A ．16√33B ．43C ．83D ．163解：因为正方体的棱长为2，所以正方体外接球半径为r =√22+22+222=√3，所以正方体外接球的体积为43πr 3=43π×(√3)3=4√3π，又因为这个“牟合方盖”与正方体外接球的体积之比为4：3√3π， 所以这个“牟合方盖”的体积为√3π3√3π×4=163． 故选：D ．6．四位爸爸A 、B 、C 、D 相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练，其中每位爸爸都与一个别人家的小孩进行交谈，则A 的小孩与D 交谈的概率是（ ） A ．13B ．12C ．59D ．23解：设A ，B ，C ，D 四位爸爸的小孩分别是a ，b ，c ，d ， 则交谈组合有9种情况，分别为：（Ab ，Ba ，Cd ，Dc ），（Ab ，Bd ，Ca ，Dc ），（Ab ，Bc ，Cd ，Da ），（Ac ，Ba ，Cd ，Db ），（Ac ，Bd ，Ca ，Db ），（Ac ，Bd ，Cd ，Da ），（Ad ，Ba ，Cb ，Dc ），（Ad ，Bc ，Ca ，Db ），（Ad ，Bc ，Cd ，Da ）， A 的小孩与D 交谈包含的不同组合有3种，分别为：（Ab ，Bc ，Cd ，Da ），（Ac ，Bd ，Cd ，Da ），（Ad ，Bc ，Cd ，Da ），∴A 的小孩与D 交谈的概率是P =39=13． 故选：A ．7．岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．如图1是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）A ．y =|x|√4−x 2B ．y =x√4−x 2C ．y =√−x 2+2|x|D ．y =√−x 2+2x解：对于A ，∵y =|x|√4−x 2=√x 2(4−x 2)≤√(x 2+4−x 22)2=2（当且仅当x 2＝4﹣x 2，即x =±√2时取等号），∴y =|x|√4−x 2在（﹣2，2）上的最大值为2，与图象不符，A 错误； 对于B ，当x ∈（﹣2，0）时，y =x√4−x 2＜0，与图象不符，B 错误； 对于C ，∵y =√−x 2+2|x|=√−(|x|−1)2+1，∴当x ＝±1时，y max ＝1； 又y =√−x 2+2|x|过点（﹣2，0），（2，0），（0，0）；由﹣x 2+2|x |≥0得：|x |（|x |﹣2）≤0，解得：﹣2≤x ≤2，即函数定义域为[﹣2，2]； 又√−(−x)2+2|−x|=√−x 2+2|x|，∴y =√−x 2+2|x|为定义在[﹣2，2]上的偶函数，图象关于y 轴对称；当x ∈[0，2]时，y =√−x 2+2x =√−(x −1)2+1，则函数在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减；综上所述：y =√−x 2+2|x|与图象相符，C 正确；对于D ，由﹣x 2+2x ≥0得：0≤x ≤2，∴y =√−x 2+2x 不存在x ∈（﹣2，0）部分的图象，D 错误． 故选：C ．8．将函数f （x ）＝sin （x +π3）的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数y＝g （x ）的图象，若g （x 1）•g （x 2）＝﹣1（x 1≠x 2），则|x 1+x 22|的最小值为（ ）A ．π3B ．2π3C ．π12D ．π6解：将函数f （x ）＝sin （x +π3）的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍， 纵坐标保持不变，得到函数y ＝g （x ）＝sin （2x +π3）的图象， 故g （x ）的周期为π，且g （x ）的最大值为1，最小值为﹣1， 若g （x 1）•g （x 2）＝﹣1（x 1≠x 2），所以 g （x 1）和 g （x 2）是函数g （x ）的最大值和最小值，令2x +π3=k π，k ∈Z ，则x =kπ2−π6，k ∈Z ， 所以|x 1+x 2|2|＝|kπ2−π6|，k ∈Z ，当k ＝0时，|x 1+x 2|2|取得最小值为π6．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知直线l 、m ，平面α、β，l ⊂α，m ⊂β，则下列说法中正确的是（ ） A ．若l ∥m ，则必有α∥β B ．若l ⊥m ，则必有α⊥βC ．若l ⊥β，则必有α⊥βD ．若α∥β，则必有l ∥β解：对于A ，平面α，β可能相交，A 错误， 对于B ，平面α，β可能平行或斜交，B 错误． 对于C ，因为l ⊂α且l ⊥β，则必有α⊥β，C 正确． 对于D ，因为α∥β，则必有l ∥β，D 正确， 故选：CD ．10．某校采取分层抽样的方法抽取了高一年级20名学生的数学成绩（满分100），并将他们的成绩制成如表所示的表格．下列结论正确的是（ ） A ．这20人数学成绩的众数75 B ．A 组8位同学数学成绩的方差为754C ．这20人数学成绩的平均数为75D ．这20人数学成绩的25%分位数为65解：对于A ，∵20人中，75分出现的次数最多，∴这20人数学成绩的众数为75，A 正确； 对于B ，A 组8位同学数学成绩的平均数为x A =38×60+28×65+38×70=65， ∴方差s A 2=38×(60−65)2+28×(65−65)2+38×(70−65)2=754，B 正确；对于C ，这20人数学成绩的平均数x =320×60+220×65+320×70+520×75+420×80+220×85+120×90=2954，C 错误；对于D ，∵20×25%＝5，∴这20人数学成绩的25%分位数为65+702=67.5，D 错误．故选：AB ．11．若点D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →=a →，CA →=b →，则下列结论正确的是（ ）A ．AD →=−12a →−b →B ．BE →=a →+12b →C ．CF →=−12a →+12b →D ．EF →=12a →解：∵BC →=a →，CA →=b →，∴AD →=AC →+CD →=−CA →+12CB →=−b →−12a →，故选项A 正确，BE →=BC →+CE →=BC →+12CA →=a →+12b →，故选项B 正确，AB →=AC →+CB →=−b →−a →，CF →=CA →+AF →=CA →+12AB →=b →+12(−b →−a →)=−12a →+12b →，故选项C 正确，EF →=12CB →=−12a →，故选项D 错误．故选：ABC ．12．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E ，F ，P ，M ，N 分别是AB ，CC 1，DD 1，AD ，CD 的中点，则（ ）A ．EF ∥平面PMNB ．直线PM 与EF 所成的角是π3C ．点E 到平面PMN 的距离是2√33D ．存在过点E ，F 且与平面PMN 平行的平面α，平面α截该正方体得到的截面面积为3√3 解：对于A ，取BC 中点G ，连接EG ，FG ，AC ，BC 1，AD 1，∵F ，G ，P ，M 分别为CC 1，BC ，DD 1，AD 中点，∴FG ∥BC 1，PM ∥AD 1， 又AD 1∥BC 1，∴PM ∥FG ，∵PM ⊂平面PMN ，FG ⊄平面PMN ，∴FG ∥平面PMN ；∵E ，G ，M ，N 分别为AB ，BC ，AD ，CD 中点，∴EG ∥AC ，MN ∥AC ，∴EG ∥MN ， ∵MN ⊂平面PMN ，EG ⊄平面PMN ，∴EG ∥平面PMN ； ∵EG ∩FG ＝G ，EG ，FG ⊂平面EFG ，∴平面EFG ∥平面PMN ， ∵EF ⊂平面EFG ，∴EF ∥平面PMN ，A 正确； 对于B ，取BC 中点G ，连接EG ，FG ，CE ，由A 知：FG ∥PM ，∴直线PM 与EF 所成的角即为直线FG 与EF 所成角，即∠EFG （或其补角）， ∵EG =FG =√12+12=√2，EF =√CE 2+CF 2=√12+22+12=√6，∴cos ∠EFG =EF 2+FG 2−EG 22EF⋅FG =26×2=√32，∴∠EFG =π6，即直线PM 与EF 所成的角为π6，B 错误；对于C ，连接PE ，ME ，NE ，∵S △EMN =12S ▱AEND =12×2×1=1，PD ＝1，∴V P−EMN =13S △EMN ⋅PD =13； ∵MP =MN =NP =√12+12=√2，∴S △PMN =12×√2×√2sin π3=√32， 设点E 到平面PMN 的距离为d ， 则V E−PMN =V P−EMN =13S △PMN ⋅d =√36d =13，解得：d =2√33，C 正确； 对于D ，取BC 中点G ，由A 知：平面EFG ∥平面PMN ，则平面EFG 即为平面α， 可作出截面如下图阴影部分所示，其中点H ，Q ，S 分别为AA 1，A 1D 1，C 1D 1中点，∵EH =EG =FG =FS =QS =QH =√2，EF =√6，∴六边形EGFSQH 是边长为√2的正六边形，又∠EGF =π−2∠EFG =2π3， ∴六边形EGFSQH 的面积S =2S △EFG +S ▱EHFS =√2×√2sin 2π3+√2×√6=3√3， 即平面α截该正方体得到的截面面积为3√3，D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若cosα=−35，则cos2α＝ −725． 解：∵cosα=−35，∴cos2α=2cos 2α−1=2×(−35)2−1=−725． 故答案为：−725．14．已知函数f(x)={x 3，x ≤0lgx ，x ＞0，则f （100）＝ 2 ．解：∵100＞0，∴f （100）＝lg 100＝2lg 10＝2． 故答案为：2．15．若向量a →=(√3，3)，b →=(−2，0)，则a →在b →上的投影向量为 (√3，0) ． 解：因为a →=(√3，3)，b →=(−2，0)， 所以a →⋅b →=−2√3，|b →|2=4 故所求向量为：|a →|cos〈a →，b →〉b→|b →|=|a →|⋅a →⋅b→|a →||b →|⋅b→|b →|=a →⋅b→|b →|2⋅b →=−2√34(−2，0)=(√3，0)． 故答案为：(√3，0)．16．英国数学家泰勒发现了如下公式：e x=1+x 1!+x 22!+x 33!+⋯，sinx =x −x 33!+x 55!−x 77!+⋯，cos x ＝1−x 22!+x 44!−x 66!+⋯，其中n !＝1×2×3×⋯×n ．可以看出这些公式右边的项用得越多，计算出e x 、sin x 和cos x 的值也就越精确，则cos1的近似值为 0.54 （精确到0.01）；运用上述思想，可得到函数f(x)=e x −1x 在区间(23，1)内有 0 个零点．解：cos1≈1−12!+14!−16!=1−12+124−1720=1324−1720≈0.54， 由于函数y =e x ，y =−1x 在(23，1)单调递增， 所以f(x)=e x −1x 在(23，1)单调递增， 由于f （23）=e 23，所以f(x)=e x −1x ＞0在(23，1)恒成立， 故f(x)=e x −1x在区间(23，1)内无零点． 故答案为：0.54；0．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知下列三个条件：①函数f(x −π3)为奇函数；②当x =π6时，f （x ）＝2；③2π3是函数f （x ）的一个零点．从这三个条件中任选一个填在下面的横线处，并解答下列问题． 已知函数f(x)=2sin(x +φ)(0＜φ＜π2)，_____． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在[0，2π]上的单调递增区间． 解：（1）若选①因为f （x ）＝2sin （x +φ），所以f(x −π3)=2sin(x −π3+φ)，又函数f(x −π3)为奇函数， 则−π3+φ=kπ，k ∈Z ，结合0＜φ＜π2，则有φ=π3， 所以f(x)=2sin(x +π3)． 若选②f(π6)=2sin(π6+φ)=2， ∴sin(π6+φ)=1，则π6+φ=2kπ+π2，k ∈Z ，则φ=2kπ+π3，k ∈Z ， 又0＜φ＜π2， 则k ＝0时，φ=π3； 所以f(x)=2sin(x +π3)．若选③f(2π3)=2sin(2π3+φ)=0， ∴2π3+φ=kπ，k ∈Z ，∴φ=−2π3+kπ，k ∈Z ， 又0＜φ＜π2，则k ＝1时，φ=π3， 所以f(x)=2sin(x +π3)． （2）令−π2+2kπ≤x +π3≤π2+2kπ，k ∈Z ， 得−5π6+2kπ≤x ≤π6+2kπ，k ∈Z ，所以f(x)=2sin(x +π3)的单调递增区间为[−5π6+2kπ，π6+2kπ]，k ∈Z ， 又x ∈[0，2π]时，令k ＝0，得0≤x ≤π6，令k ＝1，得7π6≤x ≤2π，所以函数f （x ）在[0，2π]上的单调递增区间为[0，π6]和[7π6，2π]． 18．（12分）在△ABC 中，cosB =12，c ＝8，b ＝7． （1）求sin C ；（2）若角C 为钝角，求△ABC 的周长． 解：（1）∵B ∈（0，π），cosB =12， ∴sinB =√1−cos 2B =√32，由正弦定理得：sinC =csinB b =8×√327=4√37；（2）∵C 为钝角，∴cosC =−√1−sin 2C =−17，由余弦定理得：c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ＝a 2+49+2a ＝64，即a 2+2a ﹣15＝0， 解得：a ＝﹣5（舍）或a ＝3，∴△ABC 的周长为a +b +c ＝3+7+8＝18．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，M 是AB 的中点，AC ＝CB ＝CC 1＝2．（1）证明：直线CM ⊥平面AA 1B 1B ；（2）求直线A 1C 与平面AA 1B 1B 所成角的大小．（1）证明：因为A1A⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以A1A⊥CM，因为M是AB的中点，AC＝CB，所以CM⊥AB，又因为A1A，AB⊂平面AA1B1B，A1A∩AB＝A，所以直线CM⊥平面AA1B1B；（2）解：连接A1C，由（1）知，直线CM⊥平面AA1B1B，所以∠CA1M即直线A1C与平面AA1B1B所成角，因为A1A⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以A1A⊥AC，又因为AC＝CC1＝2，所以在正方形AA1C1C中，A1C=2√2，因为∠ACB＝90°，M是AB的中点，AC＝CB＝2，所以CM⊥AB，∠BAC=π4，所以CM=√2，因为CM⊥平面AA1B1B，A1M⊂平面AA1B1B，所以CM⊥A1M，在直角三角形△A1CM中，sin∠CA1M=CMA1C =√222=12，又因为0＜∠CA 1M ＜π2，所以∠CA 1M =π6， 即直线A 1C 与平面AA 1B 1B 所成角的大小为π6；20．（12分）某省实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A ，B ，C ，D ，E 共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分．其中，A 等级排名占比15%，赋分分数区间是86～100；B 等级排名占比35%，赋分分数区间是71～85；C 等级排名占比35%，赋分分数区间是56～70；D 等级排名占比13%，赋分分数区间是41～55；E 等级排名占比2%，赋分分数区间是30∼40；现从全年级的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图． （1）求图中a 的值；（2）从生物原始成绩为[60，80）的学生中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中任意抽取2人，求2人均在[70，80）的概率；（3）用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B 等级及以上（含B 等级）？（结果保留整数）解：（1）∵（0.010+0.015+0.015+a +0.025+0.005）×10＝1， ∴a ＝0.03；（2）∵原始分在[60，70）和[70，80）的频率之比为0.015：0.03＝1：2，∴抽取的6人中，原始分在[60，70）的人数为6×13=2，记为A ，B ；原始分在[70，80）的人数为6×23=4，记为a ，b ，c ，d ；则从6人中抽取2人所有可能的结果有：（A ，B ），（A ，a ），（A ，b ），（A ，c ），（A ，d ），（B ，a ），（B ，b ），（B ，c ），（B ，d ），（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（b ，c ），（b ，d ），（c ，d ），共15个基本事件， 其中抽取的2人原始分均在[70，80）的结果有：（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（b ，c ），（b ，d ），（c ，d ），共6个基本事件，∴2人均在[70，80）的概率p=615=25；（3）由题意知：C，D，E等级排名占比为35%+13%+2%＝50%，则原始分不少于总体的中位数才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级），∵（0.010+0.015+0.015）×10＝0.4，（0.010+0.015+0.015+0.03）×10＝0.7，∴中位数位于[70，80）之间，设中位数为x，则0.4+（x﹣70）×0.03＝0.5，解得x≈73，∴原始分不少于73分才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）．21．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，BC＝2，BE＝CE=√2．（1）若平面CDE∩平面ABE＝l，证明：AB∥l；（2）若面EBC⊥面ABCD，求四棱锥E﹣ABCD的侧面积．解：（1）证明：因为底面ABCD是正方形，所以AB∥CD，因为AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB∥平面CDE，因为AB⊂平面ABE，平面CDE∩平面ABE＝l，所以AB∥l；（2）因为平面EBC⊥平面ABCD，交线为BC，AB⊥BC，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面BCE，同理可得CD⊥平面BCE，因为BE⊂平面BCE，所以AB⊥BE，同理可得CD⊥CE，因为BE=CE=√2，所以S△ABE=S△CDE=12×2×√2=√2，又BE2+CE2＝BC2，由勾股定理逆定理得BE⊥CE，故S△BCE=12BE⋅CE=1，由勾股定理得AE=DE=√22+(√2)2=√6，又AD＝2，取AD中点F，连接EF，则EF⊥AD，故EF=√AE2−AF2=√5，所以S△ADE=12AD⋅EF=√5，四棱锥E ﹣ABCD 的侧面积为2√2+1+√5．22．（12分）已知函数y ＝φ（x ）的图象关于点P （a ，b ）成中心对称图形的充要条件是φ（a +x ）+φ（a ﹣x ）＝2b ．给定函数f(x)=x −6x+1及其图象的对称中心为（﹣1，c ）． （1）求c 的值；（2）判断f （x ）在区间（0，+∞）上的单调性并用定义法证明；（3）已知函数g （x ）的图象关于点（1，1）对称，且当x ∈[0，1]时，g （x ）＝x 2﹣mx +m ．若对任意x 1∈[0，2]，总存在x 2∈[1，5]，使得g （x 1）＝f （x 2），求实数m 的取值范围． 解：（1）由于f （x ）的图象的对称中心为（﹣1，c ）， 则f （﹣1+x ）+f （﹣1﹣x ）＝2c ，即(x −1)−6x−1+1+(−x −1)−6−x−1+1=2c ， 整理得﹣2＝2c ，解得：c ＝﹣1， 故f （x ）的对称中心为（﹣1，﹣1）； （2）函数f （x ）在（0，+∞）递增；设0＜x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=x 1−6x 1+1−x 2+6x 2+1=(x 1−x 2)+6(x 1−x 2)(x 2+1)(x 1+1)=(x 1−x 2)[1+6(x 2+1)(x 1+1)]，由于0＜x 1＜x 2， 所以x 1﹣x 2＜0，6(x 2+1)(x 1+1)＞0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＜0⇒f （x 1）＜f （x 2）， 故函数f （x ）在（0，+∞）递增；（3）由已知，g （x ）的值域为f （x ）值域的子集，由（2）知f （x ）在[1，5]上递增，且f （1）＝﹣2，f （5）＝4，故f （x ）的值域为[﹣2，4]， 于是原问题转化为g （x ）在[0，2]上的值域A ⊆[﹣2，4]， 当m 2≤0即m ≤0时，g （x ）在[0，1]递增，注意到g （x ）＝x 2﹣mx +m 的图象恒过对称中心（1，1）， 可知g （x ）在（1，2]上亦单调递增，故g （x ）在[0，2]递增，又g （0）＝m ，g （2）＝2﹣g （0）＝2﹣m ，故A ＝[m ，2﹣m ]， 所以[m ，2﹣m ]⊆[﹣2，4]，∴m ≥﹣2且2﹣m ≤4，解得﹣2≤m ≤0， 当0＜m2＜1即0＜m ＜2时，g （x ）在(0，m2)递减，在(m2，1）递增，又g （x ）过对称中心（1，1），故g （x ）在(1，2−m2)递增，在(2−m2，2]递减， 故此时A ＝[min {g （2），g(m2)}，max {g （0），g(2−m 2)}]，欲使A ⊆[﹣2，4]，只需{g(2)=2−g(0)=2−m ≥−2g(m 2)=−m 24+m ≥−2且{g(0)=m ≤4g(2−m 2)=2−g(m 2)=m 24−m +2≤4， 解不等式得：2−2√3≤m ≤4，又0＜m ＜2，此时0＜m ＜2， 当m 2≥1即m ≥2时，g （x ）在[0，1]递减，在（1，2]上递减，由对称性知g （x ）在[0，2]上递减，于是A ＝[2﹣m ，m ]， 则[2﹣m ，m ]⊆[﹣2，4]，故{2−m ≥−2m ≤4，解得：2≤m ≤4，综上：实数m 的取值范围是[﹣2，4]．。
广州市高一第二学期期末考试数学试题(含参考答案)
广州市高一第二学期期末考试数学试题(含参考答案)广州市第二学期期末考试试题本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟。
高一数学第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.与-60角的终边相同的角是A.300B.240C.120D.602.不等式x-2y+4>0表示的区域在直线x-2y+4=0的A.左上方B.左下方C.右上方D.右下方3.已知角α的终边经过点P(-3,-4)，则cosα的值是A.-4/5B.-3/5C.-5/3D.5/34.不等式x-3x-10>0的解集是A.{x|-2≤x≤5}B.{x|x≥5,或x≤-2}C.{x|-25,或x<-2}5.若sinα=-3/5，α是第四象限角，则cos(π/4+α)的值是A.4/5B.7/10C.1/10D.1/76.若a,b∈R，下列命题正确的是A.若a>|b|，则a>bB.若a<b，且a≠-b，则a+b<0C.若a≠|b|，则a≠bD.若a>b，则a-b<07.要得到函数y=3sin(2x+π/5)图象，只需把函数y=3sin2x 图象A.向左平移π/5个单位B.向右平移π/5个单位C.向左平移π/2个单位D.向右平移π/2个单位8.已知M是平行四边形ABCD的对角线的交点，P为平面ABCD内任意一点，则PA+PB+PC+PD等于A.4PMB.3PMC.2PMD.PM9.已知sinα=-17/46，cosα=15/46，则sinα+cosα的值是A.-17/46B.15/46C.-7/46D.7/4610.已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是A.4B.2√2C.2D.2/√211.已知点(n,a_n)在函数y=2x-13的图象上，则数列{a_n}的前n项和S_n的最小值为A.36B.-36C.6D.-612.若钝角ΔABC的内角A,B,C成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的取值范围是A.(1,2) (2,+∞)B.(0,1)C.[3,+∞)D.(3,+∞)第Ⅱ卷(非选择题共90分)本参考答案仅供参考，具体评分以考试时学校出题人和阅卷老师为准。
2020-2021学年广东省广州市天河区高一下学期期末考试数学试卷及解析
2020-2021学年广东省广州市天河区高一下学期期末考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）.1．已知复数z＝a2+（a+1）i，若z是纯虚数，则z的共轭复数＝（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1解：∵复数z＝a2+（a+1）i是纯虚数，∴a2＝0，即a＝0，∴z＝i，∴．故选：B．2．把颜色分别为红、黄、白、紫的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个．事件“甲分得红色球”与事件“乙分得红色球”是（）A．对立事件B．相互独立事件C．互斥但非对立事件D．以上都不对解：把颜色分别为红、黄、白、紫的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个．共有4×3×2×1＝24种情况，事件A“甲分得红色球”与事件B“乙分得红色球”是其中的两种，A∩B＝∅，互斥事件，A∪B≠全体基本事件，不对立，所以两个事件的关系是互斥但不对立事件，故选：C．3．某校高一甲、乙两个班分别有男生24名、15名，现用比例分配的分层随机抽样方法从两班男生中抽取样本量为13的样本，对两个班男生的平均身高进行评估．已知甲班、乙班男生身高的样本平均数分别为175cm、177.6cm，以所抽取样本的平均身高作为两个班男生的平均身高，则两个班男生的平均身高为（）A．176cm B．176.3cm C．176.6cm D．176.9cm解：由题意知，24：15＝8：5，故分别从高一甲、乙两个班抽取男生8名、5名，则两个班男生的平均身高为＝176，故选：A．4．复平面内的平行四边形OABC的项点A和C（O是坐标原点）对应的复数分别为4+2i和﹣2+6i，则点B对应的复数为（）A．2+6i B．2+8i C．6+2i D．8+2i解：∵＝+，∴点B对应的复数为4+2i+（﹣2+6i）＝2+8i，故选：B．5．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E、F分别为棱CC'、AB的中点，则EF与平面ABCD所成角的正切值是（）A．B．C．D．解：连接FC，∵EC⊥面ABCD，∴∠EFC就是EF与平面ABCD所成的角．tan∠EFC＝＝＝故选：D．6．某运动队为了对A、B两名运动员的身体机能差异进行研究，将A、B两名运动员连续10天完成训练指标任务的综合得分绘成折线图，并提出下列四个结论，其中错误的结论是（）A．第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分B．第2天至第7天B运动员的得分逐日提高C．第2天至第3天A运动员的得分增量大于B运动员的得分增量D．A运动员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分的方差解：由折线图可知，第第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分，故选项A正确；由折线图可知，第2天至第7天B运动员的得分逐日提高，故选项B正确；第2天至第3天A运动员的得分增量大于2，B运动员的得分增量小于2，故选项C正确；由折线图可知，在第1天至第3天的得分中，A运动员的最小得分为78分，最高得分为80分，在第2天至第4天的得分中，最小得分为78分，最高得分高于80分，所以A运动员第1天至第3天的得分方差小于第2天至第4天的得分的方差，故选项D错误．故选：D．7．关于空间两条不同直线a，b和两个不同平面α，β，下列命题正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a⊥β，a⊥b，b⊂α，则α∥βC．若a∥α，α⊥β，则a⊥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b解：若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；若a⊥β，a⊥b，b⊂α，则α∥β或α与β相交，故B错误；若a∥α，α⊥β，则a∥β或a⊂β或a与β相交，故C错误；若a⊥α，α⊥β，则a∥β或a⊂β，又b⊥β，∴a⊥b，故D正确．故选：D．8．如图，在△ABC中，∠CAB＝，AB＝3，AC＝2，，，则||＝（）A．B．C．D．解：∵在△ABC中，∠CAB＝，AB＝3，AC＝2，，，∴＝﹣＝+﹣＝﹣，∴||2＝×﹣2×××3×2cos∠BAC×32＝×22＝，∴||＝．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广州市数学高一下期末经典测试卷(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12717]设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，//m β，则//αβC ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥D ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥2．(0分)[ID ：12715]设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =A ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}3．(0分)[ID ：12712]已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．24．(0分)[ID ：12707]某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 A ．k ＞4? B ．k ＞5? C ．k ＞6?D ．k ＞7?5．(0分)[ID ：12704]在ABC ∆中，2AB =，2AC =，E 是边BC 的中点.O 为ABC ∆所在平面内一点且满足222OA OB OC ==，则·AE AO 的值为（ ）A ．12B ．1C 2D ．326．(0分)[ID ：12701]在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若sin 5sin 2A c B b =，7sin 4B =，574ABC S =△，则b =（ ） A ．23B ．27C ．15D ．147．(0分)[ID ：12693](2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛8．(0分)[ID ：12689]函数()23sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9．(0分)[ID ：12684]设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =，则1210,,,y y y 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +10．(0分)[ID ：12671]函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．11．(0分)[ID ：12662]函数2ln ||y x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．(0分)[ID ：12661]记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,1)(3,4)-B ．(1,3)C ．(1,4)-D ．(,1)(4,)-∞-+∞13．(0分)[ID ：12660]函数()lg ||f x x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．14．(0分)[ID ：12646]已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．415．(0分)[ID ：12636]如图，在△ABC 中, 13AN NC =,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为( )A ．B ．C ．19D ．二、填空题16．(0分)[ID ：12816]在区间[]0,1上随机选取两个数x 和y ，则满足20-<x y 的概率为________．17．(0分)[ID ：12814]已知函数()sin 03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将该函数的图像向左平移()0m m >个单位后，所得图像关于原点对称，则m 的最小值为________.18．(0分)[ID ：12783]函数()2sin sin 3f x x x =+-的最小值为________.19．(0分)[ID ：12761]在四面体ABCD 中，=2,60,90AB AD BAD BCD =∠=︒∠=︒，二面角A BD C --的大小为150︒，则四面体ABCD 外接球的半径为__________． 20．(0分)[ID ：12745]设f(x)={1−√x,x ≥0x 2,x <0，则f(f(−2))=________21．(0分)[ID ：12738]已知函数42,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若1[()]2f f a =-，则a 的值是________.22．(0分)[ID ：12731]若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为____________．23．(0分)[ID ：12764]函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)x ＋1，则当x<0时，f(x)＝________.24．(0分)[ID ：12807]抛物线214y x =-上的动点M 到两定点(0,1)(1,3)--、的距离之和的最小值为__________．25．(0分)[ID ：12744]已知四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则 ①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△PAB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)三、解答题26．(0分)[ID ：12913]已知函数()f x =│x +1│–│x –2│. （1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x ≥x 2–x +m 的解集非空，求实数m 的取值范围.27．(0分)[ID ：12875]已知向量(3,2)a =-，(2,1)=b ，(3,1)c =-，,m t ∈R . （1）求||a tb +的最小值及相应的t 的值； （2）若a mb -与c 共线，求实数m .28．(0分)[ID ：12845]记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．29．(0分)[ID ：12842]已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且23n s n n =+；（1）求它的通项n a .（2）若12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .30．(0分)[ID ：12838]我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)[)0,0.5,0.5,1,...,[)4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中a 的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．C3．C4．A5．D6．D7．B8．A9．A10．B11．A12．A13．D14．B15．C二、填空题16．【解析】概率为几何概型如图满足的概率为17．【解析】【分析】先利用周期公式求出再利用平移法则得到新的函数表达式依据函数为奇函数求出的表达式即可求出的最小值【详解】由得所以向左平移个单位后得到因为其图像关于原点对称所以函数为奇函数有则故的最小值18．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值；19．【解析】画出图象如下图所示其中为等边三角形边的中点为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心在点的正上方也在点的正上方依题意知在中所以外接圆半径20．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-21．-1或2【解析】【分析】根据函数值的正负由可得求出再对分类讨论代入解析式即可求解【详解】当时当当所以或故答案为:或【点睛】本题考查求复合函数值认真审题理解分段函数的解析式考查分类讨论思想属于中档题22．x－y＋2＝0【解析】【分析】设直线l方程为y＝kx+b由题意可得圆心C1和C2关于直线l对称利用得k由C1和C2的中点在直线l上可得b从而得到直线方程【详解】由题意可得圆C1圆心为（00）圆C2的23．【解析】当x<0时－x>0∴f(－x)＝＋1又f(－x)＝－f(x)∴f(x)＝故填24．4【解析】【分析】【详解】由题意得交点设作与准线垂直垂足为作与准线垂直垂足为则25．①③【解析】由条件可得AB⊥平面PAD∴AB⊥PD故①正确；若平面PBC⊥平面ABCD由PB⊥BC得PB⊥平面ABCD从而PA∥PB这是不可能的故②错；S△PCD＝CD·PDS△PAB＝AB·PA由三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】根据空间线面关系、面面关系及其平行、垂直的性质定理进行判断． 【详解】对于A 选项，若//m α，//n α，则m 与n 平行、相交、异面都可以，位置关系不确定；对于B 选项，若l αβ=，且//m l ，m α⊄，m β⊄，根据直线与平面平行的判定定理知，//m α，//m β，但α与β不平行；对于C 选项，若//m n ，n α⊥，在平面α内可找到两条相交直线a 、b 使得n a ⊥，n b ⊥，于是可得出m a ⊥，m b ⊥，根据直线与平面垂直的判定定理可得m α⊥； 对于D 选项，若αβ⊥，在平面α内可找到一条直线a 与两平面的交线垂直，根据平面与平面垂直的性质定理得知a β⊥，只有当//m a 时，m 才与平面β垂直． 故选C ． 【点睛】本题考查空间线面关系以及面面关系有关命题的判断，判断时要根据空间线面、面面平行与垂直的判定与性质定理来进行，考查逻辑推理能力，属于中等题．2．C解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.3．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可知，()min 19a x y x y ⎡⎤⎛⎫++≥⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦，将代数式()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于a 的不等式，解出即可. 【详解】()11a ax yx y a x y y x ⎛⎫++=+++⎪⎝⎭. 若0xy <，则0yx<，从而1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意；若0xy >，则0yx>，0x y >.①当0a <时，1ax ya y x+++无最小值，不合乎题意； ②当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥不恒成立； ③当0a >时，())211111a ax y x y a a a x y y x⎛⎫++=+++≥+=+=⎪⎝⎭，当且仅当=y 时，等号成立.所以，)219≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.故选：C. 【点睛】本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.4．A解析：A 【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行112,224k S =+==+=，第二次运行213,8311k S =+==+=，第三次运行314,22426k S =+==+=，第四次运行4154,52557k S =+=>=+=，输出57S =，所以判断框内为4?k >，故选C.考点：程序框图.5．D解析：D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可知()12AE AB AC =+，将所求数量积化为1122AB AO AC AO ⋅+⋅；由模长的等量关系可知AOB ∆和AOC ∆为等腰三角形，根据三线合一的特点可将AB AO ⋅和AC AO ⋅化为212AB 和212AC ，代入可求得结果.【详解】E 为BC 中点 ()12AE AB AC ∴=+ ()111222AE AO AB AC AO AB AO AC AO ∴⋅=+⋅=⋅+⋅ 222OA OB OC == AOB ∴∆和AOC ∆为等腰三角形211cos 22AB AO AB AO OAB AB AB AB ∴⋅=∠=⋅=，同理可得：212AC AO AC ⋅=22111314422AE AO AB AC ∴⋅=+=+=本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.6．D解析：D 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简sin 5sin 2A cB b=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c ，由sin 4B =，求得cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案． 【详解】 由于sin 5sin 2A cB b=，有正弦定理可得： 52a c bb =，即52a c =由于在ABC中，sin B =，ABC S =△1sin 2ABCS ac B ==联立521sin 2sin 4a c ac B B ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得：5a =，2c =由于B 为锐角，且sin 4B =，所以3cos 4B ==所以在ABC 中，由余弦定理可得：2222cos 14b a c ac B =+-=，故b =（负数舍去） 故答案选D 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．7．B解析：B 【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，所以163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式8．A解析：A 【解析】 【分析】首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可. 【详解】 函数的解析式即：()223sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其单调增区间满足：()23222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得：()7131212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A . 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．A解析：A 【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210 (1101010)y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =），以及数据1210,,,x x x 的方差为4可知数据1210,,,y y y 的方差为2144⨯=，综上故选A.考点：样本数据的方差和平均数．10．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 11．A解析：A 【解析】 【分析】先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。
广州市南沙区高一下期末数学试卷(有答案)
广东省广州市南沙区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a∈R，b∈R，且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（）A．＞1 B．a2＞b2C．（）a＜（）b D．lg（a﹣b）＞02．角α的终边上有一点（1，﹣2），则sinα=（）A．﹣B．﹣C．D．3．cos（﹣）的值为（）A．﹣B．C．D．﹣4．若tanα=2，则=（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，AB=AC=BC=2，则=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．设平面向量=（1，2），=（﹣2，y），若∥，则|2﹣|等于（）A．4 B．5 C．D．7．在等差数列{a n}中，a3+a8=8，则S10=（）A．20 B．40 C．60 D．808．为了得到函数y=cos（x+ ）的图象，只要把y=cos 的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．若关于x的方程x2+ax+a2﹣a﹣2=0的一根大于1，另一根小于1，则a的取值范围为（）A．0＜a＜1 B．a＞﹣1 C．﹣1＜a＜1 D．a＜110．已知cosα= ，α∈（π，2π），则cos（α﹣）的值为（）A．B．C．D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π≤φ≤π）一个周期的图象（如图），则这个函数的一个解析式为（）A．B．C．D．12．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a∈R，a*0=a；（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．则函数f（x）=（e x）* 的最小值为（）A．2 B．3 C．6 D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．不等式﹣x2﹣2x+3＞0的解集为；（用区间表示）14．已知cosα+sinα= ，则sin2α=．15．已知x，y为正数，且x+y=20，则m=lgx+lgy的最大值为．16．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，则A，B两点的距离为m．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．已知向量，满足||=3，||=，（ +）（﹣2）=4．（1）求·；（2）求|﹣|．18．已知函数f（x）=sinxcosx﹣sin2x+ ．（1）求f（x）的最小正周期值；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）求f（x）在[0，]上的最值及取最值时x的值．19．已知数列{a n}的前n项和为，且S n=n2+n，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=3an，求证：数列{b n}是等比数列．20．某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？资金单位产品所需资金（百元）空调机洗衣机月资金供应量（百元）成本30 20 300劳动力（工资） 5 10 110单位利润 6 821．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=2，c=，cosA=﹣．（1）求sinC和b的值；（2）求cos（2A+ ）的值．22．已知正数数列{a n}的前n项和为S n，点P（a n，S n）在函数f（x）=x2+ x上，已知b1=1，3b n﹣2b n﹣1=0（n≥2，n∈N*），（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n；（3）是否存在整数m，M，使得m＜T n＜M对任意正整数n恒成立，且M﹣m=9，说明理由．广东省广州市南沙区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a∈R，b∈R，且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（）A．＞1 B．a2＞b2C．（）a＜（）b D．lg（a﹣b）＞0【分析】根据不等式的基本性质，结合指数函数和对数函数的图象和性质，分别判断四个答案中的不等式是否恒成立，可得结论．【解答】解：当a＞0＞b时，＜0，故A错误；当0＞a＞b时，a2＜b2，故B错误；当a＞b时，（）a＜（）b一定成立，故C正确；当b+1＞a＞b时，lg（a﹣b）＜0，故D 错误；故选：C．【点评】本题考查的知识点是不等式的基本性质，指数函数和对数函数的图象和性质，难度中档．2．角α的终边上有一点（1，﹣2），则sinα=（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．【解答】解：由题意可得x=1，y=﹣2，r=，∴sinα==﹣=﹣，故选：B．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3．cos（﹣）的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【分析】直接根据诱导公式转化求解计算即可．【解答】解：cos（﹣）=cos=cos（6π﹣）=cos=﹣故选：D．【点评】本题考查诱导公式的应用：求值．此类题一般依照“负角化正角，大角化小角”的顺序进行角的转化．4．若tanα=2，则=（）A．B．C．D．【分析】原式分子分母除以cosα，利用同角三角函数间基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tanα=2，∴原式===，故选：B．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．5．如图，在△ABC中，AB=AC=BC=2，则=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】利用向量的数量积运算即可得出．【解答】解：===﹣2．故选：D．【点评】本题考查了向量的数量积运算，注意向量的夹角，属于基础题．6．设平面向量=（1，2），=（﹣2，y），若∥，则|2﹣|等于（）A．4 B．5 C．D．【分析】利用向量共线定理即可得出y，从而计算出的坐标，利用向量模的计算公式即可得出．【解答】解：∵∥，∴﹣2×2﹣y=0，解得y=﹣4．∴=2（1，2）﹣（﹣2，﹣4）=（4，8），∴|2﹣|==．故选D．【点评】熟练掌握向量共线定理、向量模的计算公式是解题的关键．7．在等差数列{a n}中，a3+a8=8，则S10=（）A．20 B．40 C．60 D．80【分析】由已知利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a3+a8=8，∴S10===5×8=40．故选：B．【点评】本题考查等差数列的前10项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．8．为了得到函数y=cos（x+）的图象，只要把y=cos的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：由于cos（x+）=cos（x+），故把y=cos的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得函数y=cos（x+）=cos（x+）的图象，故选：C．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9．若关于x的方程x2+ax+a2﹣a﹣2=0的一根大于1，另一根小于1，则a的取值范围为（）A．0＜a＜1 B．a＞﹣1 C．﹣1＜a＜1 D．a＜1【分析】利用一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得a的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程x2+ax+a2﹣a﹣2=0的一根大于1，另一根小于1，令f（x）=x2+ax+a2﹣a﹣2，则f（1）=1+a++a2﹣a﹣2=a2﹣1＜0，求得﹣1＜a＜1，故选：C．【点评】本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．10．已知cosα=，α∈（π，2π），则cos（α﹣）的值为（）A．B．C．D．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα的值，利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：∵cosα=，α∈（π，2π），∴sinα==﹣，∴cos（α﹣）=cosαcos+sinαsin=﹣=．故选：D．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π≤φ≤π）一个周期的图象（如图），则这个函数的一个解析式为（）A．B．C．D．【分析】由已知中函数y=Asin（ωx+∅）（A＞0，ω＞0，﹣π≤∅≤π）的图象，我们分别求出函数的最大值，最小值及周期，进而求出A值和ω值，将最大值点代入结合正弦函数的性质求出φ值，即可得到函数的解析式．【解答】解：由函数的图象可得函数的最大值为2，最小值为﹣2，结合A＞0，可得A=2又∵函数的图象过（，2）点和（，0）点，则T=，结合ω＞0，可得ω=3则函数的解析式为y=2sin（3x+∅）将（，2）代入得π+φ=，k∈Z当k=0时，φ=﹣故函数的解析式为故选D【点评】本题考查的知识点是由函数y=Asin（ωx+∅）的图象确定函数的解析式，其中根据函数的图象分析出函数的最大值，最小值，周期，向左平移量，特殊点等是解答本题的关键．12．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a∈R，a*0=a；（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．则函数f（x）=（e x）*的最小值为（）A．2 B．3 C．6 D．8【分析】根据性质，f（x）=（e x）*=1+e x+，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：根据性质，f（x）=（e x）*=1+e x+≥1+2=3，当且仅当e x=时，f（x）=（e x）*的最小值为3．故选：B．【点评】本题考查新定义，考查基本不等式的运用，正确理解新定义是关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．不等式﹣x2﹣2x+3＞0的解集为（﹣3，1）；（用区间表示）【分析】把不等式化为（x+3）（x﹣1）＜0，得出不等式对应方程的实数根，写出解集即可．【解答】解：不等式﹣x2﹣2x+3＞0可化为x2+2x﹣3＜0，即（x+3）（x﹣1）＜0，解得﹣3＜x＜1，所以该不等式的解集为（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．14．已知cosα+sinα=，则sin2α=﹣．【分析】把所给的等式平方，利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式求得sin2α的值．【解答】解：∵cosα+sinα=，平方可得1+sin2α=，则sin2α=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．15．已知x，y为正数，且x+y=20，则m=lgx+lgy的最大值为2．【分析】由基本不等式：a+b≥2（a，b＞0，a=b取得等号），可得xy的最大值为100，再由对数的运算性质，可得m的最大值．【解答】解：x，y为正数，且x+y=20，可得x+y≥2，即有2≤20，即xy≤100，当且仅当x=y=10，取得等号．则m=lgx+lgy=lg（xy）≤lg100=2，即有m的最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查最值的求法，注意运用基本不等式和对数的运算性质，考查运算能力，属于基础题．16．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，则A，B两点的距离为50m．【分析】先利用三角形的内角和求出∠B=30°，再利用正弦定理，即可得出结论．【解答】解：在△ABC中，∵∠ACB=45°，∠CAB=105°∴∠B=30°由正弦定理可得：∴=50m故答案为：50【点评】本题考查解三角形的实际应用，解题的关键是利用正弦定理，求三角形的边，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．已知向量，满足||=3，||=，（ +）（﹣2）=4．（1）求；（2）求|﹣|．【分析】（1）由条件进行数量积的运算便可得出，从而求出的值；（2）根据上面求得的及条件可求出的值，从而得出的值．【解答】解：（1）根据条件，=9=4；∴；（2）=9﹣2+2=9；∴．【点评】考查向量数量积的运算，以及要求而求的方法．18．已知函数f（x）=sinxcosx﹣sin2x+．（1）求f（x）的最小正周期值；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）求f（x）在[0，]上的最值及取最值时x的值．【分析】（1）利用二倍角的正弦和余弦公式，及两角和的正弦公式，化简函数f（x），再由正弦函数的周期性得答案；（2）由正弦函数的单调性得答案；（3）由x∈[0，]，得到∈[，]，再求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）f（x）=sinxcosx﹣sin2x+====，，∴f（x）的最小正周期是π；（2）由（1）得，（k∈Z），即，（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为：，k∈Z；（3）∵x∈[0，]，∴∈[，]．故当=时，即时，f（x）有最大值，最大值为1，故当=时，即时，f（x）有最小值，最小值为﹣1．【点评】本题考查三角函数的二倍角公式和两角和的正弦公式，考查正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．19．已知数列{a n}的前n项和为，且S n=n2+n，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=3an，求证：数列{b n}是等比数列．【分析】（1）利用递推关系即可得出．（2）利用等比数列的定义即可证明．【解答】（1）解：∵S n=n2+n，当n=1时，a1=S1=2；当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n，综上所述，数列{a n}的通项公式为a n=2n．（2）证明：由（1）得b n=3an=32n=9n．∴==9为常数．则数列{b n}是以9为首项，9为公比的等比数列．【点评】本题考查了等比数列的定义、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？资金单位产品所需资金（百元）空调机洗衣机月资金供应量（百元）成本30 20 300劳动力（工资） 5 10 110单位利润 6 8【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．【解答】解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，则P=6x+8y，由题意有30x+20y≤300，5x+10y≤110，x≥0，y≥0，x、y均为整数．由图知直线y=﹣x+P过M（4，9）时，纵截距最大．这时P也取最大值P max=6×4+8×9=96（百元）．故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．21．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=2，c=，cosA=﹣．（1）求sinC和b的值；（2）求cos（2A+）的值．【分析】（1）△ABC中，利用同角三角函数的基本关系求出sinA，再由正弦定理求出sinC，再由余弦定理求得b=1．（2）利用二倍角公式求得cos2A的值，由此求得sin2A，再由两角和的余弦公式求出cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin的值．【解答】解：（1）△ABC中，由cosA=﹣可得sinA=．再由=以及a=2、c=，可得sinC=．由a2=b2+c2﹣2bccosA 可得b2+b﹣2=0，解得b=1．（2）由cosA=﹣、sinA=可得cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=﹣．故cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin=．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，二倍角公式以及两角和的余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．22．已知正数数列{a n}的前n项和为S n，点P（a n，S n）在函数f（x）=x2+x上，已知b1=1，3b n﹣2b n=0（n≥2，n∈N*），﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n；（3）是否存在整数m，M，使得m＜T n＜M对任意正整数n恒成立，且M﹣m=9，说明理由．【分析】（1）通过将点P（a n，S n）代入函数f（x）=x2+x中，利用S n=+a n与S n﹣1=+a n（n≥2）作差，进而可知数列{a n}是首项和公差均为1的等差数列，计算即得结论；﹣1（2）利用错位相减法计算即得结论；（3）通过（2）知T n＜9，利用作差法可知数列{T n}是单调递增数列，进而计算可得结论．【解答】解：（1）∵点P（a n，S n）在函数f（x）=x2+x上，∴S n=+a n，S n﹣1=+a n﹣1（n≥2），两式相减，整理得：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，又∵a n＞0，∴a n=a n﹣1+1，又∵S1=+a1，即a1=1，∴数列{a n}是首项和公差均为1的等差数列，∴a n=n；（2）∵b1=1，3b n﹣2b n﹣1=0（n≥2，n∈N*），∴数列{b n}是首项为1、公比为的等比数列，∴，，∴，T n=+2×+…+n×，两式相减，得：T n=1+++…+﹣n×=﹣n×=3﹣（n+3）×，∴T n=9﹣（3n+9）×；（3）结论：假设存在整数m、M，使得m＜T n＜M对任意正整数n恒成立，且M﹣m=9．理由如下：由（2）知：T n=9﹣（3n+9）×＜9，又∵T n﹣1=9﹣[3（n﹣1）+9]×，∴T n﹣T n﹣1=（3n+6）×﹣（3n+9）×=n×＞0，∴数列{T n}是单调递增数列，∴（T n）min=T1=9﹣12×=1，∴1＜T n＜9，∴m=0，M=9，∴存在整数m、M，使得m＜T n＜M对任意正整数n恒成立，且M﹣m=9．【点评】本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查错位相减法，考查数列的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题．。
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广州市第二学期期末考试试题高一数学本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的． 1. 与60-o角的终边相同的角是A. 300oB. 240oC. 120oD. 60o2. 不等式240x y -+>表示的区域在直线240x y -+=的A. 左上方B. 左下方C. 右上方D. 右下方 3. 已知角α的终边经过点(3,4)P --，则cos α的值是A. 45-B. 43C. 35-D. 354. 不等式23100x x -->的解集是A ．{}|25x x -≤≤B ．{}|5,2x x x ≥≤-或C ．{}|25x x -<<D ．{}|5,2x x x ><-或 5. 若3sin ,5αα=-是第四象限角，则cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值是Ａ．45B ．10Ｃ．10Ｄ．176. 若,a b ∈R ，下列命题正确的是A ．若||a b >，则22a b > B ．若||a b >，则22a b > C ．若||a b ≠，则22a b ≠ D ．若a b >，则0a b -<7. 要得到函数3sin(2)5y x π=+图象，只需把函数3sin 2y x =图象A ．向左平移5π个单位 B ．向右平移5π个单位C ．向左平移10π个单位 D ．向右平移10π个单位 8. 已知M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，P 为平面ABCD 内任意—点，则PA PB PC PD+++u u u r u u u r u u u r u u u r等于A. 4PM u u u u rB. 3PM u u u u rC. 2PM u u u u rD. PM u u u u r9. 若3cos 25α=，则44sin cos αα+的值是 A. 1725 B ．45 Ｃ．65 D ． 332510. 已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是A. 4B. C. 2D.11. 已知点(),n n a 在函数213y x =-的图象上，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值为A ．36B ．36-C ．6D ．6-12. 若钝角ABC ∆的内角,,A B C 成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的取值范围是A ．1,2（）B ．2+∞（，）C ．[3,)+∞D ．(3,)+∞第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 把答案填在答题卡上. 13. 若向量(4,2),(8,),//x ==a b a b ，则x 的值为 ．14. 若关于x 的方程20x mx m -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是 ．15. 设实数,x y 满足,1,1.y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值是 ．16.设2()sin cos f x x x x =+，则()f x 的单调递减区间是 ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q (1)q ≠，证明：1(1)1n n a q S q-=-．18．（本小题满分12分）已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ．（1）若a 与b 的夹角120θ=o，求||+a b 的值； （2）若()()k k +⊥-a b a b ，求实数k 的值.19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin c a B b A =+． （1）求A ；（2）若2a =，b c =，求ABC ∆的面积． 20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n n a S n++=(1,2,3,)n =L ． （1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）设2112n n n n b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．DA21.(本小题满分12分)某电力部门需在A 、B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A 、B 两地距离. 现km 的C 、D 两地（假设A 、B 、C 、D 在同一平面上）测得∠75ACB =o，45BCD ∠=o ，30ADC ∠=o ，45ADB ∠=o （如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A 、B该准备多长的电线？22.(本小题满分12分)已知,,A B C 为锐角ABC △的内角，sin ,sin sin A B C =（）a ，(1,2)=-b ，⊥a b . （1）tan B ，tan tan B C ，tan C 能否构成等差数列？并证明你的结论； （2）求tan tan tan A B C 的最小值.高一数学参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题填空题 13. 4 14. (0,4) 15. 3 16. ()7+,1212k k k ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q (1)q ≠，证明：1(1)1n n a q S q-=-．证法1：（错位相减法）因为11n n a a q -=， …………………………………2分 所以1111n n S a a q a q -=+++L …………………………………4分211111n n n qS a q a q a q a q -=++++L …………………………………6分所以11(1)nn q S a a q -=- …………………………………8分当1q ≠时，有1(1)1n n a q S q-=-． …………………………………10分证法2：（叠加法）因为}{n a 是公比为q 的等比数列，所以21a a q =，32a a q =，1,n n a a q +=L …………………………………2分所以112)1(a q a a -=-，223)1(a q a a -=-，…，n n n a q a a )1(1-=-+，…………………………………6分相加得n n S q a a )1(11-=-+. …………………………………8分所以当q ≠1时，111(1)11n n n a a a q S q q+--==--. …………………………………10分证法3：（拆项法）当q ≠1时，11111111a a q qa a q q q-=⋅=----， …………………………………2分 211211111a q a q q a a q q q q-=⋅=----，……，11111111n nn n a q a q q a a q q q q---=⋅=----， …………………………………8分以上n 个式子相加得qq a q q a q a S n n n --=---=1)1(11111. …………………………………10分18．（本小题满分12分）已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ．（1）若a 与b 的夹角120θ=o，求||+a b 的值； （2）若()()k k +⊥-a b a b ，求实数k 的值. 题根：《数学4》2.4.1例1、例2、例4．（综合变式）解：（1）1|||cos1201212⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭oga b =|a b ，…………………………………2分 22||()+=+a b a b 222=++g a a b b …………………………………3分 22|2|=++ga |ab b | …………………………………4分 又||1=a ，||2=b ，所以2||+a b 22|2|1243=++=-+=ga |ab b |，…………………………………5分所以||+=a b …………………………………6分（2）因为()()k k +⊥-a b a b ，所以()()0k k +-=g a b a b ， …………………………………7分即2220k -=a b …………………………………9分 因为||1=a ，||2=b ，所以240k -=， …………………………………11分 即2k =±. …………………………………12分19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin c a B b A =+． （1）求A ；（2）若2a =，b c =，求ABC ∆的面积．（根据2013课标卷Ⅱ理数17改编，正弦、余弦定理及三角变换的综合问题） 解：（1）解法1：由cos sin c a B b A =+及正弦定理可得sin sin cos sin sin C A B B A =+. …………………………………2分 在ABC ∆中，C A B π=--，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+. …………………………………4分由以上两式得sin cos A A =，即tan 1A =， …………………………………5分又(0,)A π∈，所以4A π=． …………………………………6分解法2：由cos sin c a B b A =+及余弦定理可得222sin 2a c b c a b A ac+-=⨯+， …………………………………2分即2222sin b c a bc A +-=， …………………………………3分 由余弦定理得2222cos b c a bc A +-=由以上两式得sin cos A A =，即tan 1A =， …………………………………5分 又(0,)A π∈，所以4A π=． …………………………………6分（2）ABC ∆的面积1sin 24S bc A ==， …………………………………7分 由2a =，及余弦定理得222242cos b c bc B b c =+-=+， …………………………………8分因为b c =，所以2242b =，即24b==+，…………………………………10分故ABC∆的面积2144S bc===．………………………………12分20．（本小题满分12分）已知数列{}n a的前n项和为n S，且12a=，12n nna Sn++=(1,2,3,)n=L．（1）证明：数列nSn⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设2112nnn nbS S++=，求数列{}n b的前n项和n T．题根：《数学5》2.2习题B组第4题. （变式题）解：（1）因为，11n n na S S++=-，…………………………………1分又12n nna Sn++=，所以1(2)()n n nn S n S S++=-，…………………………………2分即12(1)n nnS n S+=+，所以12()1n nS Snn n*+=⋅∈+N．…………………………………4分故数列nSn⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列．…………………………………6分（2）由（1）得2nnSn=，即2nnS n=g．…………………………………8分所以21211122111=2(1)2(1)1n nn n nn nbS S n n n n n n++++===-+++g g g，……………………10分故数列{}n b的前n项和11111111223111nnTn n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L．…………………12分21.(本小题满分12分)DA某电力部门需在A 、B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A 、B 两地距离. 现km 的C 、D 两地（假设A 、B 、C 、D 在同一平面上）测得∠75ACB =o，45BCD ∠=o ，30ADC ∠=o ，45ADB ∠=o （如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A 、B题根：《数学5》1.2例2. （改编题）解：在ACD ∆中，由已知得30CAD ∠=o，又30ADC ∠=o,所以AC CD ==． ……………………………………………………2分在BCD ∆中，由已知可得60CBD ∠=o，由正弦定理得7545+30sin 60sin 602BC ===o o o o o （）.…………………………………6分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC BCA=+-⋅∠2cos755=+-⋅=o ， ………………………9分所以，AB =……………………………………………………10分故施工单位应该准备电线长为5km . ………………………………………………12分22.(本小题满分12分)已知,,A B C 为锐角ABC △的内角，sin ,sin sin A B C =（）a ，(1,2)=-b ，⊥a b .（1）tan B ，tan tan B C ，tan C 能否构成等差数列？并证明你的结论； （2）求tan tan tan A B C 的最小值.（据2016年江苏卷第14题改编，三角变换、平面向量、数列及基本不等式的综合问题） 解：（1）依题意有sin 2sin sin A B C =. ……………………………………………2分 在ABC △中，A B C π=--，所以sin sin +=sin cos cos sin A B C B C B C =+（），………………………………3分 所以2sin sin =sin cos cos sin B C B C B C +. …………………………………4分 因为ABC △为锐角三角形，所以cos 0,cos 0B C >>，所以tan tan 2tan tan B C B C +=， ……………………………………………5分 所以tan B ，tan tan B C ，tan C 成等差数列. ……………………………………6分（2）法一：在锐角ABC △中，tan tan tan tan()tan()1tan tan B CA B C B C B Cπ+=--=-+=--，……………………7分即tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++， ……………………………………8分 由（1）知tan tan 2tan tan B C B C +=，于是tan tan tan tan 2tan tan A B C A B C =+≥， …………10分整理得tan tan tan 8A B C ≥， …………………………………………11分 当且仅当tan 4A =时取等号，故tan tan tan A B C 的最小值为8. …………………………………………12分法二：由法一知tan tan tan 1tan tan B CA B C+=--， ………………………………………7分由（1）知tan tan 2tan tan B C B C +=，于是2tan tan 2(tan tan )tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan B C B C A B C B C B C B C+=-⨯=---， ……8分令tan tan (1)B C x x =>，则222tan tan tan 2(1)4811x A B C x x x ==-++≥--，……………………………11分当且仅当2x =，即tan 4A =时取等号，故tan tan tan A B C 的最小值为8. …………………………………………12分2016-2017学年第二学期期末质量监测试题高一数学本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟。