专题1-第4讲

一、选择题

1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f ′(x )＞0，且f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪

⎫

－12＝0，则不等式f (x )＜0的解集为( )

A.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭

⎬⎫x ＜12 B.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭

⎬⎫0＜x ＜12

C.⎩⎨⎧

x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－12或0＜x ＜12 D.⎩

⎨⎧ x ⎪

⎪⎪⎭

⎬⎫

－1

2≤x ≤0或x ≥12

【解析】 如图所示，根据图象得不等式f (x )＜0的解集为

⎩⎨⎧ x ⎪

⎪⎪⎭⎬

⎫x ＜－12或0＜x ＜12.

【答案】 C

2．已知函数f (x )＝13x 3

－2x 2＋3m ，x ∈[0，＋∞)，若f (x )＋5≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )

A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫

179，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫

179，＋∞ C ．(－∞，2]

D ．(－∞，2)

【解析】 f ′(x )＝x 2－4x ，由f ′(x )＞0，得x ＞4或x ＜0. ∴f (x )在(0,4)上递减，在(4，＋∞)上递增， ∴当x ∈[0，＋∞)时，f (x )min ＝f (4)．

∴要使f (x )＋5≥0恒成立，只需f (4)＋5≥0恒成立即可，代入解得m ≥17

9. 【答案】 A

3．若存在正数x 使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)

D ．(－1，＋∞)

【解析】 ∵2x (x －a )＜1，∴a ＞x －1

2x . 令f (x )＝x －1

2x ，∴f ′(x )＝1＋2－x ln 2＞0. ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )＞f (0)＝0－1＝－1，

∴a 的取值范围为(－1，＋∞)，故选D. 【答案】 D

4．(2017·安徽黄山一模，12)已知函数f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x －1x －2ln x (m ∈R )，g (x )＝

－m

x ，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( )

A.⎝ ⎛

⎦⎥⎤－∞，2e B.⎝ ⎛

⎭⎪⎫－∞，2e C ．(－∞，0]

D ．(－∞，0)

【解析】 由题意，不等式f (x )＜g (x )在[1，e]上有解，∵mx ＜2ln x 在[1，e]上有解，即m 2＜ln x x 在[1，e]上有解，令h (x )＝ln x

x ，则h ′(x )＝1－ln x x 2，当1≤x ≤e 时，h ′(x )≥0，∴在[1，e]上，h (x )max ＝h (e)＝1e ，∴m 2＜1e ，∴m ＜2

e .∴m 的取值范围是⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－∞，2e .故选B.

【答案】 B

5．(2017·山东师范大学附中二模)已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )＜f (x )，且f (x ＋2)为偶函数，f (4)＝1，则不等式f (x )＜e x 的解集为( )

A ．(－2，＋∞)

B ．(0，＋∞)

C ．(1，＋∞)

D ．(4，＋∞)

【解析】 由f (x ＋2)为偶函数可知函数f (x )的图象关于x ＝2对称，则f (4)＝f (0)＝1.令F (x )＝f (x )

e x ，则F ′(x )＝

f ′(x )－f (x )e x

＜0.∴函数F (x )在R 上单调递减．

又f (x )＜e x 等价于f (x )

e x ＜1，∴F (x )＜F (0)，∴x ＞0.

【答案】 B 二、填空题

6．已知不等式e x －x ＞ax 的解集为P ，若[0,2]⊆P ，则实数a 的取值范围是________．

【解析】 由题意知不等式e x －x ＞ax 在x ∈[0,2]上恒成立． 当x ＝0时，显然对任意实数a ，该不等式都成立．

当x ∈(0,2]时，原不等式即a ＜e x x －1，令g (x )＝e x

x －1，则g ′(x )＝e x (x －1)x 2，当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，当1＜x ＜2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，故g (x )在(0,2]上的最小值为g (1)＝e －1，故a 的取值范围为(－∞，e －1)．

【答案】 (－∞，e －1)

7．若在区间[0,1]上存在实数x 使2x (3x ＋a )<1成立，则a 的取值范围是________．

【解析】 2x (3x ＋a )<1可化为a <2－x －3x ，

则在区间[0,1]上存在实数x 使2x (3x ＋a )<1成立，等价于a <(2－x －3x )max ，而2－x －3x 在[0,1]上单调递减，

∴2－

x －3x 的最大值为20－0＝1，∴a <1，

故a 的取值范围是(－∞，1)． 【答案】 (－∞，1) 8．已知函数f (x )＝x －

1

x ＋1

，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对于任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．

【解析】 由于f ′(x )＝1＋

1

(x ＋1)2

＞0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋5

2x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]上能成立，只需使a ≥h (x )min ，又函数h (x )＝x 2＋5

2x 在x ∈[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥9

4.

【答案】 ⎣⎢⎡⎭

⎪⎫

94，＋∞