专题1-第4讲

一、选择题1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f ′(x )＞0，且f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，则不等式f (x )＜0的解集为( )A.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜12 B.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫0＜x ＜12C.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－12或0＜x ＜12 D.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－12≤x ≤0或x ≥12【解析】 如图所示，根据图象得不等式f (x )＜0的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－12或0＜x ＜12.【答案】 C2．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3m ，x ∈[0，＋∞)，若f (x )＋5≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫179，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫179，＋∞ C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)【解析】 f ′(x )＝x 2－4x ，由f ′(x )＞0，得x ＞4或x ＜0. ∴f (x )在(0,4)上递减，在(4，＋∞)上递增， ∴当x ∈[0，＋∞)时，f (x )min ＝f (4)．∴要使f (x )＋5≥0恒成立，只需f (4)＋5≥0恒成立即可，代入解得m ≥179. 【答案】 A3．若存在正数x 使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)【解析】 ∵2x (x －a )＜1，∴a ＞x －12x . 令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－x ln 2＞0. ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )＞f (0)＝0－1＝－1，∴a 的取值范围为(－1，＋∞)，故选D. 【答案】 D4．(2017·安徽黄山一模，12)已知函数f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x (m ∈R )，g (x )＝－mx ，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，2e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2e C ．(－∞，0]D ．(－∞，0)【解析】 由题意，不等式f (x )＜g (x )在[1，e]上有解，∵mx ＜2ln x 在[1，e]上有解，即m 2＜ln x x 在[1，e]上有解，令h (x )＝ln xx ，则h ′(x )＝1－ln x x 2，当1≤x ≤e 时，h ′(x )≥0，∴在[1，e]上，h (x )max ＝h (e)＝1e ，∴m 2＜1e ，∴m ＜2e .∴m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2e .故选B.【答案】 B5．(2017·山东师范大学附中二模)已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )＜f (x )，且f (x ＋2)为偶函数，f (4)＝1，则不等式f (x )＜e x 的解集为( )A ．(－2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)【解析】 由f (x ＋2)为偶函数可知函数f (x )的图象关于x ＝2对称，则f (4)＝f (0)＝1.令F (x )＝f (x )e x ，则F ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x＜0.∴函数F (x )在R 上单调递减．又f (x )＜e x 等价于f (x )e x ＜1，∴F (x )＜F (0)，∴x ＞0.【答案】 B 二、填空题6．已知不等式e x －x ＞ax 的解集为P ，若[0,2]⊆P ，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由题意知不等式e x －x ＞ax 在x ∈[0,2]上恒成立． 当x ＝0时，显然对任意实数a ，该不等式都成立．当x ∈(0,2]时，原不等式即a ＜e x x －1，令g (x )＝e xx －1，则g ′(x )＝e x (x －1)x 2，当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，当1＜x ＜2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，故g (x )在(0,2]上的最小值为g (1)＝e －1，故a 的取值范围为(－∞，e －1)．【答案】 (－∞，e －1)7．若在区间[0,1]上存在实数x 使2x (3x ＋a )<1成立，则a 的取值范围是________．【解析】 2x (3x ＋a )<1可化为a <2－x －3x ，则在区间[0,1]上存在实数x 使2x (3x ＋a )<1成立，等价于a <(2－x －3x )max ，而2－x －3x 在[0,1]上单调递减，∴2－x －3x 的最大值为20－0＝1，∴a <1，故a 的取值范围是(－∞，1)． 【答案】 (－∞，1) 8．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对于任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2＞0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋52x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]上能成立，只需使a ≥h (x )min ，又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞三、解答题9．已知f(x)＝x ln x，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>1e x－2e x成立．(1)【解】∀x∈(0，＋∞)，有2x ln x≥－x2＋ax－3，则a≤2ln x＋x＋3 x，设h(x)＝2ln x＋x＋3x(x>0)，则h′(x)＝(x＋3)(x－1)x2，①当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，②当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.因为对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min＝4，即a的取值范围为(－∞，4]．(2)【证明】问题等价于证明x ln x>xe x－2e(x∈(0，＋∞))成立．f(x)＝x ln x(x∈(0，＋∞))的最小值是－1 e，当且仅当x＝1e时取到．设m(x)＝xe x－2e(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝1－xe x，易知m(x)max＝m(1)＝－1e，当且仅当x＝1时取到．从而对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>1e x－2e x成立．10．(2017·潍坊一模)已知函数f(x)＝ln x＋x2－ax(a为常数)．(1)若x＝1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；(2)当0＜a≤2时，试判断f(x)的单调性；(3)若对任意的a∈(1,2)，x0∈[1,2]，不等式f(x0)＞m ln a恒成立，求实数m 的取值范围．【解】f′(x)＝1x＋2x－a.(1)由已知得：f′(1)＝0，所以1＋2－a＝0，所以a＝3.(2)当0＜a≤2时，f′(x)＝1x＋2x－a＝2x2－ax＋1x＝2⎝⎛⎭⎪⎫x－a42＋1－a28x.因为0＜a≤2，所以1－a28＞0，而x＞0，即f′(x)＝2x2－ax＋1x＞0，故f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)当a∈(1,2)时，由(2)知，f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)＝1－a，故问题等价于：对任意的a∈(1,2)，不等式1－a＞m ln a恒成立，即m＜1－a ln a恒成立．记g(a)＝1－aln a(1＜a＜2)，则g′(a)＝－a ln a－1＋aa(ln a)2.令M(a)＝－a ln a－1＋a，则M′(a)＝－ln a＜0，所以M(a)在(1,2)上单调递减，所以M(a)＜M(1)＝0，故g′(a)＜0，所以g(a)＝1－aln a在a∈(1,2)上单调递减，所以m≤g(2)＝1－2ln 2＝－log2e，即实数m的取值范围为(－∞，－log2e]．11．已知函数f(x)＝ax＋bx＋c(a＞0)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1.(1)用a表示出b，c；(2)若f(x)≥ln x在[1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围；(3)证明：1＋12＋13＋…＋1n＞ln(n＋1)＋n2(n＋1)(n≥1)．(1)【解】 f ′(x )＝a －bx 2，则有⎩⎨⎧f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，f ′(1)＝a －b ＝1，解得⎩⎨⎧b ＝a －1，c ＝1－2a .(2)【解】 由(1)知，f (x )＝ax ＋a －1x ＋1－2a .令g (x )＝f (x )－ln x ＝ax ＋a －1x ＋1－2a －ln x ，x ∈[1，＋∞)，则g (1)＝0，g ′(x )＝a －a －1x 2－1x ＝ax 2－x －(a －1)x 2＝a (x －1)⎝⎛⎭⎪⎫x －1－a a x 2，(ⅰ)当0＜a ＜12时，1－a a ＞1.若1＜x ＜1－aa ，则g ′(x )＜0，g (x )是减函数， 所以g (x )＜g (1)＝0，即f (x )＜ln x . 故f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上不成立． (ⅱ)当a ≥12时，1－a a ≤1.若x ＞1，则g ′(x )＞0，g (x )是增函数， 所以g (x )＞g (1)＝0，即f (x )＞ln x ，故当x ≥1时，f (x )≥ln x . 综上所述，所求a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.(3)【证明】 法一 由(2)知：当a ≥12时，有f (x )≥ln x (x ≥1)． 令a ＝12，有f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ≥ln x (x ≥1)，且当x ＞1时，12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＞ln x .令x ＝k ＋1k ，有ln k ＋1k ＜12⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －k k ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎦⎥⎤1＋1k －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋1， 即ln(k ＋1)－ln k ＜12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1k ＋1，k ＝1,2,3，…，n .将上述n个不等式依次相加得ln(n＋1)＜12＋⎝⎛⎭⎪⎫12＋13＋…＋1n＋12(n＋1)，整理得1＋12＋13＋…＋1n＞ln(n＋1)＋n2(n＋1).法二用数学归纳法证明．①当n＝1时，左边＝1，右边＝ln 2＋14＜1，不等式成立．②假设n＝k时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k＞ln(k＋1)＋k2(k＋1).那么1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1＞ln(k＋1)＋k2(k＋1)＋1k＋1＝ln(k＋1)＋k＋22(k＋1).由(2)知：当a≥12时，有f(x)≥ln x(x≥1)．令a＝12，有f(x)＝12⎝⎛⎭⎪⎫x－1x≥ln x(x≥1)．令x＝k＋2k＋1，得：12⎝⎛⎭⎪⎫k＋2k＋1－k＋1k＋2≥lnk＋2k＋1＝ln(k＋2)－ln(k＋1)．∴ln(k＋1)＋k＋22(k＋1)≥ln(k＋2)＋k＋12(k＋2).∴1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1＞ln(k＋2)＋k＋12(k＋2).这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立．根据①和②，可知不等式对任何n∈N*都成立．。