速度关联类问题求解速度的合成与分解

速度关联类问题求解·速度的合成与分解

编辑 杨国兴

运动物体间速度关联关系，往往是有些高考命题的切入点.而寻找这种关系则是考生普遍感觉的难点

●难点

1.（★★★）如图5-1所示，A 、B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A 车以速度v 0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B 车的速度是多少？

2.★★★★如图5-2所示，质量为m 的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮.由地面上的人以恒定的速度v 0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°处，在此过程中人对物体所做的功为多少？

●案例探究

［例1］★★★如图5-3所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v 运动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？

命题意图：考查分析综合及推理能力，B 级要求.

错解分析：弄不清合运动与分运动概念，将绳子收缩的速度按图5-4所示分解，从而得出错解v 物=v 1=v cos θ.

解题方法与技巧：解法一:应用微元法

设经过时间Δt ，物体前进的位移Δs 1=BC ，如图5-5所示.过C 点作CD ⊥AB ，当Δt →0时，∠BAC 极小，在△ACD 中，可以认为AC =AD ，在Δt 时间内，人拉绳子的长度为Δs 2=BD ，即为在Δt 时间内绳子收缩的长度.

由图可知：BC =

θ

cos BD

①

由速度的定义：物体移动的速度为v 物=

t

BC

t s ∆=∆∆1 ②

人拉绳子的速度v =

t BD

t s ∆=∆∆2

③

由①②③解之：v 物=

θ

cos v

解法二:应用合运动与分运动的关系

绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v 物是合速度，将v 物按如图5-6所示进行分解.

其中:v =v 物cos θ，使绳子收缩.

v ⊥=v 物sin θ,使绳子绕定滑轮上的A 点转动. 所以v 物=

θ

cos v

解法三：应用能量转化及守恒定律

由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功.

人对绳子的拉力为F ，则对绳子做功的功率为P 1=Fv ；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为P 2=Fv 物cos θ，因为P 1=P 2所以v 物=

θ

cos v

图5-7

［例2］（★★★★★）一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，靠在一个质量为M ，高为h 的物块上，如图5-7所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v 向右运动时，小球A 的线速度v A （此时杆与水平方向夹角为θ）.

命题意图：考查综合分析及推理能力.B 级要求.

错解分析：①不能恰当选取连结点B 来分析，题目无法切入.②无法判断B 点参与的分运动方

向.

解题方法与技巧：选取物与棒接触点B 为连结点.（不直接选A 点，因为A 点与物块速度的

v

图

5-1

图

5-2 图5-3 图5-4

图5-5

图5-6

的关系不明显）.因为B点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故B点的合速度（实际速度）也就是物块速度v；B点又在棒上，参与沿棒向A点滑动的速度v1和绕O点转动的线速度v2.因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v2=v sinθ.

设此时OB长度为a，则a=h/sinθ.

令棒绕O点转动角速度为ω，则：ω=v2/a=v sin2θ/h.

故A的线速度v A=ωL=vL sin2θ/h.

●锦囊妙计

一、分运动与合运动的关系

1.一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（v分、s分）互不干扰，即：独立性.

2.合运动与分运动同时开始、进行、同时结束，即：同时性.

3.合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代，即：等效性.

二、处理速度分解的思路

1.选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）.

2.确定该点合速度方向（通常以物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变.

3.确定该点合速度（实际速度）的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向.

4.作出速度分解的示意图，寻找速度关系.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.（★★★）如图5-8所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，

高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过B、D.BC段水平，

当以速度v0拉绳子自由端时，A沿水平面前进，求：当跨过B的两段绳子

夹角为α时A的运动速度v.

2.（★★★★★）如图5-9所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B球水平速度为v B，加速度为a B，杆与竖直夹角为α，求此时A球速度和加速度大小

.

图5-9 图5—10

3.（★★★★）一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑

斜面上的物体m1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m2连接.

已知定滑轮到杆的距离为3m.物体m2由静止从AB连线为水平位置

开始下滑1 m时，m1、m2恰受力平衡如图5-10所示.试求：

（1）m2在下滑过程中的最大速度.

（2）m2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离.

4.（★★★★）如图5-11所示，S为一点光源，M为一平面镜，光屏与平面镜平行放置.SO是垂直照射在M上的光线，已知SO=L，若M以角速度ω绕O点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点S′在屏上移动的瞬时速度v为多大？

5.（★★★★★）一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量

为m的物体，如图5-12所示.绳的P端拴在车后的挂钩上，Q端拴在物

体上.设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦

都忽略不计.开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左

侧绳绳长为H.提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经B驶向C.

设A到B的距离也为H，车过B点时的速度为v B.求在车由A移到B的

过程中，绳Q端的拉力对物体做的功.

6.（★★★★★）如图5-13所示，斜劈B的倾角为30°，劈尖顶着竖直

墙壁静止于水平地面上，现将一个质量与斜劈质量相同、半径为r的球A放

在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，求此后运动

中

（1）斜劈的最大速度.

（2）球触地后弹起的最大高度。（球与地面作用中机械能的损失忽略不计）

参考答案：

［难点］

图

5-8

图

5-11

图

5-12

图5-13