培优十——速度关联类问题求解

培优十速度关联类问题求解1、如图所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v运动．当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？2、(多选)如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用钉子靠着线的左侧，沿与水平方向成30°角的斜面向右以速度v匀速运动，运动中始终保持悬线竖直，下列说法正确的是( )．A．橡皮的速度大小为2vB ．橡皮的速度大小为3vC．橡皮的速度与水平方向成60°角D．橡皮的速度与水平方向成45°角3、如图所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过B、D．BC段水平，当以速度v0拉绳子自由端时，A沿水平面前进，求：当跨过B的两段绳子夹角为α时A的运动速度v4、一根长为L的杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M，高为h的物块上，如图所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v向右运动时，小球A的线速度v A(此时杆与水平方向夹角为θ)5、如图所示，A、B两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A车以速度v0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B车的速度是多少？6、如图所示，质量为m的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮. 由地面上的人以恒定的速度v0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°处，在此过程中人对物体所做的功为多少？7、如图所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B球水平速度为v B，加速度为a B，杆与竖直夹角为α，求此时A球速度和加速度大小8、一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m2连接．已知定滑轮到杆的距离为3m．物体m2由静止从AB连线为水平位置开始下滑1 m时，m1、m2恰受力平衡如图所示．已知重力加速度为g，试求：(1)m2在下滑过程中的最大速度(2)m2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离9、如图所示，S为一点光源，M为一平面镜，光屏与平面镜平行放置.SO是垂直照射在M上的光线，已知SO=L，若M以角速度ω绕O点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点S′在屏上移动的瞬时速度v为多大？10、一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体，如图所示.绳的P端拴在车后的挂钩上，Q端拴在物体上.设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H.提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经B驶向C.设A 到B的距离也为H，车过B点时的速度为v B．求在车由A 移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功．11、一带正电的小球，系于长为L的不可伸长的轻线一端，线的另一端固定在O点，它们处在方向水平向右电场强度大小为E的匀强电场中．已知电场对小球的作用力大小等于小球的重力．现把小球拉到图中的P1处，使线绷直，并与电场方向平行，然后由静止释放小球．已知小球在经过最低点的瞬间，因受线的拉力作用，速度的竖直分量突变为零，水平分量没有变化，则小与球到达P1等高的P2点时的速度的大小为多少？12、某人游水过河，他在静水中的速度是河水流速的1/2，为使他到达对岸的地点与正对岸距离最短，他的游泳方向是？13、质点绕半径为R=1m的圆轨道运动，其速率v和时间t满足v=πt的关系．求质点绕圆周运动一周回到出发点时，它的加速度的大小和方向．14、如图所示，B是质量为m B、半径为R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上．A是质为m A的细长直杆，被固定的光滑套管C约束在竖直方向，A可自由上下运动．碗和杆的质量关系为：m B＝2m A．初始时，A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触(如图)．然后从静止开始释放A，A、B便开始运动．设A 杆的位置用表示，为碗面的球心O至A杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角．求A与B速度的大小(表示成的函数)．难点5 速度关联类问题求解·速度的合成与分解一、分运动与合运动的关系1、一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果(v分、s分)互不干扰，即：独立性2、合运动与分运动同时开始、进行、同时结束，即：同时性3、合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代，即：等效性二、处理速度分解的思路1、选取合适的连结点(该点必须能明显地体现出参与了某个分运动)2、确定该点合速度方向(通常以物体的实际速度为合速度)且速度方向始终不变3、确定该点合速度(实际速度)的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向4、作出速度分解的示意图，寻找速度关系典型的“抽绳”问题：所谓“抽绳”问题，是指同一根绳的两端连着两个物体，其速度各不相同，常常是已知一个物体的速度和有关角度，求另一个速度．要顺利解决这类题型，需要搞清两个问题：(1)分解谁的问题哪个运动是合运动就分解哪个运动，物体实际经历的运动就是合运动．(2)如何分解的问题由于沿同一绳上的速度分量大小相同，所以可将合速度向沿绳方向作“投影”，将合速度分解成一个沿绳方向的速度和一个垂直于绳方向的速度，再根据已知条件进行相应计算．其实这也可以理解成“根据实际效果将合运动正交分解”的思路．1、如图所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v 运动．当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？解法一：应用微元法设经过时间Δt ，物体前进的位移Δs 1=BC ，如图所示.过C 点作CD ⊥AB ，当Δt →0时，∠BAC 极小，在△ACD 中，可以认为AC =AD ，在Δt 时间内，人拉绳子的长度为Δs 2=BD ，即为在Δt 时间内绳子收缩的长度.由图可知：BC =θcos BD① 由速度的定义：物体移动的速度为v 物=tBCt s ∆=∆∆1 ② 人拉绳子的速度v =t BDt s ∆=∆∆2③由①②③解之：v 物=θcos v解法二：应用合运动与分运动的关系绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v 物是合速度，将v 物按如图所示进行分解其中：v =v 物cos θ，使绳子收缩v ⊥=v 物sin θ，使绳子绕定滑轮上的A 点转动所以v 物=θcos v解法三：应用能量转化及守恒定律由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功人对绳子的拉力为F ，则对绳子做功的功率为P 1=Fv ；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为P 2=Fv 物cos θ，因为P 1=P 2所以v 物=θcos v2．(多选)如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O 点，用钉子靠着线的左侧，沿与水平方向成30°角的斜面向右以速度v 匀速运动，运动中始终保持悬线竖直，下列说法正确的是( )．A ．橡皮的速度大小为2vB ．橡皮的速度大小为3vC ．橡皮的速度与水平方向成60°角D ．橡皮的速度与水平方向成45°角解析 钉子沿斜面匀速运动，橡皮具有向上的分速度v ，同时具有沿斜面方向的分速度v ，根据运动的合成可知，橡皮的速度大小为3v ，速度与水平方向成60°角，选项B 、C 正确．答案 BC2、如图所示，物体A 置于水平面上，A 前固定一滑轮B ，高台上有一定滑轮D ，一根轻绳一端固定在C 点，再绕过B 、D ．BC 段水平，当以速度v 0拉绳子自由端时，A 沿水平面前进，求：当跨过B 的两段绳子夹角为α时A 的运动速度v解法一：应用微元法设经过时间Δt ，物体前进的位移Δs 1=BB’，如图所示． 过B’点作B’E⊥BD．当Δt →0时，∠BDB’极小，在△BDB’中，可以认为DE =B’D ． 在Δt 时间内，人拉绳子的长度为Δs 2=BB’+BE ，即为在Δt 时间内绳子收缩的长度．由图可知：BE =θcos 'BB①由速度的定义：物体移动的速度为v 物=tBB t s ∆∆∆'=1 ②人拉绳子的速度v 0=tBB t BE BB t s ∆∆∆∆)cos +1('=+'=2α ③ 由①②③解之：v 物=θcos +10v解法二：应用合运动与分运动的关系物体动水平的绳也动，在滑轮下侧的水平绳缩短速度和物体速度相同，设为v 物．根据合运动的概念，绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动．也就是说“物体”的方向(更直接点是滑轮的方向)是合速度方向，与物体连接的BD 绳上的速度只是一个分速度，所以上侧绳缩短的速度是v 物cos a因此绳子上总的速度为v 物+v 物cos =v 0，得到v 物=θcos +10v解法三：应用能量转化及守恒定律由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功设该时刻人对绳子的拉力为F ，则人对绳子做功的功率为P 1=Fv ．绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F，则绳子对物体做功的功率为分为2部分，BD绳对物体做功的功率为P 2=Fv 0cos ，BC 绳对物体做功的功率为P 2’=Fv 0由P 1=P 2+P 2’得到v 物=θcos +10v3、一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，靠在一个质量为M ，高为h 的物块上，如图所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v 向右运动时，小球A 的线速度v A (此时杆与水平方向夹角为θ)解题方法与技巧：选取物与棒接触点B 为连结点．(不直接选A 点，因为A 点与物块速度的v 的关系不明显)因为B 点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故B 点的合速度(实际速度)也就是物块速度v ；B 点又在棒上，参与沿棒向A 点滑动的速度v 1和绕O 点转动的线速度v 2．因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v 2=v sin θ设此时OB 长度为a ，则a =h /sin θ令棒绕O 点转动角速度为ω，则：ω=v 2/a =v sin 2θ/h 故A 的线速度v A =ωL =vL sin 2θ/h4、如图所示，A 、B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A 车以速度v 0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B 车的速度是多少？ 解析：右边的绳子的速度等于A 车沿着绳子方向的分速度，设绳子速度为v ． 将A 车的速度分解为沿着绳子的方向和垂直于绳子的方向，则v =v A cos 同理，将B 车的速度分解为沿着绳子方向和垂直于绳子的方向，则v =v B cos 由于定滑轮上绳子的速度都是相同的，得到A B v v αβcos cos =5、如图所示，质量为m 的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮. 由地面上的人以恒定的速度v 0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°处，在此过程中人对物体所做的功为多少？ 解析：已知地面上的人是以恒定速度拉动小球的，则人做的功其实就等于平台上的物体动能的增加量． 关键是要求出如图状态下物体的速度v ．根据定滑轮的特性，可以知道物体m 的速度和绳子的速度是相同的．对小球进行分析，小球水平方向做v 0的匀速运动是合运动，v 0是合速度，是沿着绳子方向的速度与垂直于绳子方向的速度的合．因此v 0cos45°=v ，得到022=v v 2020241=21•21=21==mv v m mv E W k ∆ 6、如图所示，均匀直杆上连着两个小球A 、B ，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B 球水平速度为v B ，加速度为a B ，杆与竖直夹角为α，求此时A 球速度和加速度大小 解析：分别对小球A 和B 的速度进行分解，设杆上的速度为v则对A 球速度分解，分解为沿着杆方向和垂直于杆方向的两个速度．v =v A cos对B 球进行速度分解，得到v =v B sin 联立得到v A =v B tan加速度也是同样的思路，得到a A =a B tan7、一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m 1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m 2连接．已知定滑轮到杆的距离为3m ．物体m 2由静止从AB 连线为水平位置开始下滑1 m 时，m 1、m 2恰受力平衡如图所示．试求：(1)m 2在下滑过程中的最大速度 (2)m 2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离 解析：(1)由图可知，随m 2的下滑，绳子拉力的竖直分量是逐渐增大的，m 2在C 点受力恰好平衡，因此m 2从B 到C 是加速过程，以后将做减速运动，所以m 2的最大速度即出现在图示位置.对m 1、m 2组成的系统来说，在整个运动过程中只有重力和绳子拉力做功，但绳子拉力做功代数和为零，所以系统机械能守恒.ΔE 增=ΔE 减，即21m 1v 12+21m 22v 2+m 1g (A C -A B )sin30°=m 2g ·B C 又由图示位置m 1、m 2受力平衡，应有：T cos∠ACB =m 2g ,T =m 1g sin30°又由速度分解知识知v 1=v 2cos∠ACB ，代入数值可解得v 2=2.15 m/s,(2)m 2下滑距离最大时m 1、m 2速度为零，在整个过程中应用机械能守恒定律，得： ΔE 增′=ΔE 减′即：m 1g (AB AB H -+22)sin30°=m 2gH利用(1)中质量关系可求得m 2下滑的最大距离H =343m=2.31 m8、如图所示，S 为一点光源，M 为一平面镜，光屏与平面镜平行放置.SO 是垂直照射在M 上的光线，已知SO =L ，若M 以角速度ω绕O 点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点S ′在屏上移动的瞬时速度v 为多大？ 解析：由几何光学知识可知：当平面镜绕O 逆时针转过30°时，则：∠SOS ′=60°，OS ′=L /cos60°选取光点S ′为连结点，因为光点S′在屏上，该点运动方向不变，故该点实际速度(合速度)就是在光屏上移动速度v ；光点S′又在反射光线OS ′上，它参与沿光线OS ′的运动.速度v 1和绕O 点转动，线速度v 2；因此将这个合速度沿光线OS ′及垂直于光线OS ′的两个方向分解，由速度矢量分解图可得：v 1=v sin60°,v 2=v cos60°又由圆周运动知识可得：当线OS ′绕O 转动角速度为2ω 则：v 2=2ωL /cos60°vc os60°=2ωL /cos60°，v =8ωL9、一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ 提升井中质量为m 的物体，如图5-12所示.绳的P 端拴在车后的挂钩上，Q 端拴在物体上.设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时，车在A 点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H .提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A 经B 驶向C.设A 到B 的距离也为H ，车过B 点时的速度为v B ．求在车由A 移到B 的过程中，绳Q 端的拉力对物体做的功． 解析：以物体为研究对象，开始时其动能E k1=0．随着车的加速运动，重物上升，同时速度也不断增加．当车子运动到B 点时，重物获得一定的上升速度v Q ，这个速度也就是收绳的速度，它等于车速沿绳子方向的一个分量，如图，即v Q =v B 1=v B c os45°=22v B 于是重物的动能增为 E k2 =21mv Q 2=41mv B 2在这个提升过程中，重物受到绳的拉力T 、重力mg ，物体上升的高度和重力做的功分别为h =2H-H=(2-1)H W G =-mgh =-mg (2-1)H于是由动能定理得 W T +W G =ΔE k =E k2-E k1 即WT -mg (2-1)H =41mv B 2-0 所以绳子拉力对物体做功W T =41mv B 2+mg (2-1)H 10、一带正电的小球，系于长为L 的不可伸长的轻线一端，线的另一端固定在O 点，它们处在方向水平向右电场强度大小为E 的匀强电场中．已知电场对小球的作用力大小等于小球的重力．现把小球拉到图中的P 1处，使线绷直，并与电场方向平行，然后由静止释放小球．已知小球在经过最低点的瞬间，因受线的拉力作用，速度的竖直分量突变为零，水平分量没有变化，则小与球到达P 1等高的P 2点时的速度的大小为多少？ 解析：已知qE=mg ，则小球从释放到经过最低点的过程中，做速度为零的匀加速直线运动． 根据动能定理0-21=+2Q mv qEL mgL gL v Q 2=又已知小球在经过最低点的瞬间，因受线的拉力作用，速度的竖直分量突变为零．将小球过最低点时的速度沿竖直向下与水平向右分解，则突变后的速度为gL v Q 2='再列动能定理2'2t 21-21=+-Q mv mv qEL mgL 得到gL v t 2=12、某人游水过河，他在静水中的速度是河水流速的1/2，为使他到达对岸的地点与正对岸距离最短，他的游泳方向是？解析：因为人的速度小于水的速度，那么合速度就不可能垂直于河岸了． 设v 合与河岸夹角为β 那么过河的位移s =v 合t t =v /v sin β整理下得到s =d /sin β则要得到s 最短，必须β最大．同样，以v 人为半径，v 水的端点为圆心画圆．只有当v 人垂直于v 合的时候，β最大． sin β=v 人/v 水=1/2 得到s =d /sin β=2d13．质点绕半径为R=1m 的圆轨道运动，其速率v 和时间t 满足v =πt 的关系．求质点绕圆周运动一周回到出发点时，它的加速度的大小和方向．解：质点绕圆周一周所走过的路程为L=2πR ①由v =πt 可知其切向加速度大小为a τ=π(m/s 2) ∴ 21=L a τ·t 2 ② 联立①、②可得 t =2(s)此时 v =a τt =2π(m/s 2)向心加速度 )/(4222s m Rv a n π== )/(1611624222s m a a a n ππππτ+=+=+=总设与速度方向夹角为φ，tan φ=4πφ=85.5°如图所示，B 是质量为m B 、半径为R 的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上．A 是质为m A 的细长直杆，被固定的光滑套管C 约束在竖直方向，A 可自由上下运动．碗和杆的质量关系为：m B ＝2m A ．初始时，A 杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触(如图)．然后从静止开始释放A ，A 、B 便开始运动．设A 杆的位置用 表示， 为碗面的球心O 至A 杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角．求A 与B 速度的大小(表示成 的函数)．、由题设条件知，若从地面参考系观测，则任何时刻，A 沿竖直方向运动，设其速度为v A ，B 沿水平方向运动，设其速度为v B ．若以B 为参考系，从B 观测，则A 杆保持在竖直方向，它与碗的接触点在碗面内作半径为R 的圆周运动，速度的方向与圆周相切，设其速度为V A ．杆相对地面的速度是杆相对碗的速度与碗相对地面的速度的合速度，速度合成的矢量图如图中的平行四边形所示．由图得A V v =θsin A (1)B A cos v =θV (2) 因而θcot A B v v = (3) 由能量守恒2B B 2A A A 2121cos v v m m gR m +=θ (4) 由(3)、(4) 两式及A B 2m m =得θθθ2A cos 1cos 2sin +=gR v (5)θθθ2B cos 1cos 2cos +=gR v (6)（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。