(完整版)2018-2019北京市丰台区高三第一学期期末数学(理科)试卷及答案

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丰台区2018—2019学年度第一学期期末练习 高三数学(理科) 2019.01

第一部分 (选择题 共40分)

一、 选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题

目要求的一项。

1.已知集合{1,0,1,2,3}A =-,{|22}B x x =-≤≤,那么A B =I (A ){1,0,1}- (B ){1,0,1,2}- (C ){1,0,1,2,3}-

(D ){|22}x x -≤≤

2.若复数(2i)(i)a -+的实部与虚部互为相反数,则实数a = (A )3

(B )

13

(C )13

-

(D )3-

3.执行如图所示的程序框图,输出的S 的值为

(A )34 (B )

45 (C )56

(D )67

4.已知等差数列{}n a 中,13a =,26a =. 若2n n b a =,则数列{}n b 的前5项和等于 (A )30 (B )45 (C )90

(D )186

5.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的 棱中,最长的棱的长度为 (A )2 (B

C

)(D )

俯视图

侧(左)视图

正(主)视图

6.设a ,b 是非零向量,则“=a b ”是“2

=g

a a

b ”的 (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件

(D )既不充分也不必要条件

7.一种画双曲线的工具如图所示,长杆OB 通过O 处的铰链与固定好的短杆OA 连接,取一条定长的细绳,一端固定在点

A ,另一端固定在点

B ,套上铅笔(如图所示).作图时,使

铅笔紧贴长杆OB ,拉紧绳子,移动笔尖M (长杆OB 绕O 转动),画出的曲线即为双曲线的一部分.若||10OA =,

||12OB =,细绳长为8,则所得双曲线的离心率为

(A )

6

5

(B )

54

(C )

32

(D )

52

8.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,,,E F G 分 别是棱1,,AB BC CC 的中点,P 是底面ABCD 内一动点,若直线

1D P 与平面EFG 不存在公共点,则三角形1PBB 的面积的最小值

为 (A

(B )1 (C

(D )2

第二部分(非选择题 共110分)

二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

9.在极坐标系中,圆C :2sin =ρθ的圆心到点(1,0)的距离为____. 10.5(21)x -展开式中2x 的系数为____. 11.能够说明“设,a b 是任意非零实数.若1>b

a

,则>b a ”是假命题的一组整数..,a b 的值依次为____.

12.若,x y 满足1,1,210,x y x y x y +⎧⎪

-⎨⎪-+⎩

≥≤≥ 则2z x y =-的最大值为____.

13.动点(,)A x y 在圆221x y +=上沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知时间0t =时,

C 1

A 1

A

的坐标是1

)22

,则当06t ≤≤时,动点A 的纵坐标y 关于t (单位:秒)的函数的值域为____.

14.已知函数33,,

()2,

.x x x a f x x x a ⎧-+=⎨<⎩≥

① 若0a =,则函数()f x 的零点有____个;

② 若存在实数m ,使得函数()y f x m =+总有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是____.

三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15.(本小题13分)

在ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,3a =

,b =,1

cos 3

B =. (Ⅰ)求c 的值; (Ⅱ)求AB

C △的面积.

16.(本小题14分)

如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,侧棱PA ⊥底面ABCD ,Q 为棱PD 的中点,PA AB =.

(Ⅰ)求证:AQ CD ⊥;

(Ⅱ)求直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值;

(Ⅲ)求二面角C AQ D --的余弦值.

17.(本小题13分)

2018年11月5日上午,首届中国国际进口博览会拉开大幕,这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展.其中企业产品展分为7个展区,每个展区统计了备受关注百分比,如下表:

备受关注百分比指:一个展区中受到所有相关人士关注(简称备受关注)的企业数与该展区的企业数的比值.

(Ⅰ)从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家,求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率;

(Ⅱ)从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中,任选2家接受记者采访.

(i )记X 为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数,求随机变量X 的分布列;

(ii )假设表格中7个展区的备受关注百分比均提升10%.记Y 为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数.试比较随机变量,X Y 的均值()E X 和()E Y 的大小.(只需写出结论)

18.(本小题14分)

已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ,离心率为1

2

,直线:(4)

l y k x =-(0)k ≠与椭圆C 交于不同两点,M N ,直线,FM FN 分别交y 轴于,A B 两点.

(Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)求证:||||FA FB =.

19.(本小题13分)

设函数()sin cos ,[0,]2

f x a x x x x π

=-∈. (Ⅰ)当1a =时,求证:()0f x ≥;

(Ⅱ)如果()0f x ≥恒成立,求实数a 的最小值.

20.(本小题13分)

将m n ⨯阶数阵111212122212,,,,,,,,,n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M M M L 记作{}i j m n a ⨯(其中,当且仅当,i s j t ==时,i j st a a =).如果对于任意的1,2,3,,i m =L ,当12j j <时,都有12i j i j a a <,那么称数阵

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