(完整版)2018-2019北京市丰台区高三第一学期期末数学(理科)试卷及答案
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丰台区2018—2019学年度第一学期期末练习 高三数学(理科) 2019.01
第一部分 (选择题 共40分)
一、 选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题
目要求的一项。
1.已知集合{1,0,1,2,3}A =-,{|22}B x x =-≤≤,那么A B =I (A ){1,0,1}- (B ){1,0,1,2}- (C ){1,0,1,2,3}-
(D ){|22}x x -≤≤
2.若复数(2i)(i)a -+的实部与虚部互为相反数,则实数a = (A )3
(B )
13
(C )13
-
(D )3-
3.执行如图所示的程序框图,输出的S 的值为
(A )34 (B )
45 (C )56
(D )67
4.已知等差数列{}n a 中,13a =,26a =. 若2n n b a =,则数列{}n b 的前5项和等于 (A )30 (B )45 (C )90
(D )186
5.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的 棱中,最长的棱的长度为 (A )2 (B
(
C
)(D )
俯视图
侧(左)视图
正(主)视图
6.设a ,b 是非零向量,则“=a b ”是“2
=g
a a
b ”的 (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件
(D )既不充分也不必要条件
7.一种画双曲线的工具如图所示,长杆OB 通过O 处的铰链与固定好的短杆OA 连接,取一条定长的细绳,一端固定在点
A ,另一端固定在点
B ,套上铅笔(如图所示).作图时,使
铅笔紧贴长杆OB ,拉紧绳子,移动笔尖M (长杆OB 绕O 转动),画出的曲线即为双曲线的一部分.若||10OA =,
||12OB =,细绳长为8,则所得双曲线的离心率为
(A )
6
5
(B )
54
(C )
32
(D )
52
8.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,,,E F G 分 别是棱1,,AB BC CC 的中点,P 是底面ABCD 内一动点,若直线
1D P 与平面EFG 不存在公共点,则三角形1PBB 的面积的最小值
为 (A
(B )1 (C
(D )2
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
9.在极坐标系中,圆C :2sin =ρθ的圆心到点(1,0)的距离为____. 10.5(21)x -展开式中2x 的系数为____. 11.能够说明“设,a b 是任意非零实数.若1>b
a
,则>b a ”是假命题的一组整数..,a b 的值依次为____.
12.若,x y 满足1,1,210,x y x y x y +⎧⎪
-⎨⎪-+⎩
≥≤≥ 则2z x y =-的最大值为____.
13.动点(,)A x y 在圆221x y +=上沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知时间0t =时,
C 1
A 1
点
A
的坐标是1
)22
,则当06t ≤≤时,动点A 的纵坐标y 关于t (单位:秒)的函数的值域为____.
14.已知函数33,,
()2,
.x x x a f x x x a ⎧-+=⎨<⎩≥
① 若0a =,则函数()f x 的零点有____个;
② 若存在实数m ,使得函数()y f x m =+总有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是____.
三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15.(本小题13分)
在ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,3a =
,b =,1
cos 3
B =. (Ⅰ)求c 的值; (Ⅱ)求AB
C △的面积.
16.(本小题14分)
如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,侧棱PA ⊥底面ABCD ,Q 为棱PD 的中点,PA AB =.
(Ⅰ)求证:AQ CD ⊥;
(Ⅱ)求直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角C AQ D --的余弦值.
17.(本小题13分)
2018年11月5日上午,首届中国国际进口博览会拉开大幕,这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展.其中企业产品展分为7个展区,每个展区统计了备受关注百分比,如下表:
备受关注百分比指:一个展区中受到所有相关人士关注(简称备受关注)的企业数与该展区的企业数的比值.
(Ⅰ)从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家,求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率;
(Ⅱ)从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中,任选2家接受记者采访.
(i )记X 为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数,求随机变量X 的分布列;
(ii )假设表格中7个展区的备受关注百分比均提升10%.记Y 为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数.试比较随机变量,X Y 的均值()E X 和()E Y 的大小.(只需写出结论)
18.(本小题14分)
已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ,离心率为1
2
,直线:(4)
l y k x =-(0)k ≠与椭圆C 交于不同两点,M N ,直线,FM FN 分别交y 轴于,A B 两点.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)求证:||||FA FB =.
19.(本小题13分)
设函数()sin cos ,[0,]2
f x a x x x x π
=-∈. (Ⅰ)当1a =时,求证:()0f x ≥;
(Ⅱ)如果()0f x ≥恒成立,求实数a 的最小值.
20.(本小题13分)
将m n ⨯阶数阵111212122212,,,,,,,,,n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M M M L 记作{}i j m n a ⨯(其中,当且仅当,i s j t ==时,i j st a a =).如果对于任意的1,2,3,,i m =L ,当12j j <时,都有12i j i j a a <,那么称数阵