商务数学61__定积分的概念与性质

第六章定积分Definite Integral

定积分是积分学中另一个重要概念，它也是从大量实际问题中抽象出来的.定积分不仅在积分学中有着重要的地位，而且在科学技术及经济管理学等领域也有着广泛的

应用.定积分与不定积分在概念上有着根本区别，但它们又有着密切的联系.本章主要介绍定积分的概念、性质、计算及其在几何学和经济学中的若干应用.

§1 定积分的概念与性质

1.1 引出定积分概念的两个例子

1.1.1 曲边梯形的面积

在生产实际中，有些问题的计算常常归结为要计算一个由曲线围成的图形的面积（area）.例如在设计船体时，需要计算水线面面积（waterplane area），即用水平面满载船体所得截面的面积.又如测量河流的流量，需

要知道河床断面面积（riverbed cross section

area ），这些都需要讨论由曲线围成的图形的面积.从几何直观来看，由曲线围成的图形的面积，往往可以化为两个曲边梯形的面积之差.所谓曲边梯形（curved trapezoidal ）是这样的图形，它有三条边是直线段，其中两条互相平行，第三条与前两条垂直（叫做底边[hemline ]），第四条边是一条曲线弧（叫做曲边

[curved ]），这条曲边与任意一条垂直于底边的直线至多只交于一点.今后，称由连续曲线()x f y =，直线a x =，b x =及x 轴所围成的图形AabB 为曲边梯形（See Figure 6-1）.

关于曲边梯形AabB 的面积的计算，我们一般采取如下方法：

①用分点0x a =＜1x ＜2x ＜…＜1n x -＜b x n =将[]b ,a 分成n 个小区间[]10x ,x ，[]21x ,x ，…，[]n 1n x ,x -，它们的长度分别为：1i i i x x x --=∆，n ,,2,1i =.过每个分点i x （n ,,2,1i =）作x 轴的的垂线，把曲边梯形AabB 分成n 个小曲边梯形（See Figure 6-2）.若用S 表示AabB 的面积，i S ∆表示第i 个小曲边梯形的面积，则有n 21S S S S ∆∆∆+++= ∑=∆=n 1i i

S .

②在每个小区间[]i 1i x x ,-（n 21i ,,, =）任取一点i ξ，[]i 1i i x x ,-∈ξ，过i ξ作x 轴

的垂线与曲边()x f y =交于点()()i i i f P ξξ,，以i x ∆为底，以()i f ξ为高作矩形，于是()i i i x f S ∆∆ξ≈，作总和()∑=∆=n 1i i

i n x f S ξ，则n S 为S 的近似值.

③用{}i x max x ∆∆=表示所有小区间中最大区间的长度，当分点数n 无限增大而0x →∆时，总和n S 的极限就定义

为曲边梯形AabB 的面积

S ，即

()∑=→∆∆=n 1i i i 0x x f lim S ξ. 【Note 】上面这种求曲边梯形面积的方法，就是古希腊数学家安提芬（Antiphon ）、欧多克斯（Eudoxus ）、阿基米德（Archimedes ）等所用的穷竭法（method of exhaustion ）.

1.1.2 变速直线运动的距离

当物体作匀速直线运动时，其运动的距离等于速度乘以时间.现设物体运动的速度v 随时间t 变化，即v 是时间t 的函数()t v v =，求此物体在时间区间[]b ,a 内运动的距离S .

①用分点0t a =＜1t ＜2t ＜…＜1n t -＜b t n =将[]b a ,分成n 个小区间[]10t t ,，[]21t t ,，…，[]n 1n t t ,-（See Figure 6-2）.它们的长度分别为：1i i i t t t --=∆，n ,,2,1i =.

②在每个小区间[]i 1i t t ,-（n 21i ,,, =）任取一点i τ，[]i 1i i t t ,-∈τ，以()i i t v ∆τ作为物体在小时间区间[]i 1i t t ,-上运动的距离

i S ∆的近似值，即()i i i t v S ∆≈∆τ，则物体在时间区间[]b a ,上运动的距离S 的

近似值为()∑=∆=n 1i i i n t v S τ.

③当分点数n 无限增大而小时间区间中最大一个的长度0t →∆时，总和n S 的极限就是物体以变速()t v 从时刻a 到时刻b 这段时间内运动的距离S ，即()∑=→∆∆=n

1i i i 0t t v lim S τ. 从以上两个实际例子可以看出，问题虽不相同，但解决问题的基本思想和方法是一致的，即都是求同一形式的极限问题.上述基本思想和方法的抽象与概括，就是定积分的概念.定积分就是从大量这样的积累问题（the

problem of accumulate ）中提炼概括出来的.

1.2 定积分的定义

Definition 6.1（See p.134）

若函数()x f 在区间[]b a ,上有定义，用点0x a =＜1x ＜2x ＜…＜1n x -＜b x n =将区间[]b ,a 分成n 个小区间[]i 1i x x ,-（n 21i ,,, =），其长度为1i i i x x x --=∆，在每个小区间[]i 1i x x ,-上任取一点i ξ（[]i 1i i x x ,-∈ξ），作函数值()i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积()i i x f ∆ξ，并求总和()∑=∆=n 1i i

i n x f S ξ.如果当n 无限增大，而

i x ∆中最大者0x →∆（{}i x max x ∆=∆）时，

总和的极限存在，且此极限与[]b ,a 的分法及i ξ的取法无关，则称函数()x f 在区间[]b ,a 上是可积的（integrable ），并称此极限值为函数在区间[]b ,a 上的定积分（definite integral ），记作

()⎰b

a dx x f ，即()()∑⎰=→∆∆=n

1i i i 0x b a x f lim dx x f ξ.

其中()x f 称为被积函数（integrand ），()dx x f 称为被积表达式（integral

expression ），x 称为积分变量（variable

of integration ），[]b a ,成为积分区间（integral interval ），a 和b 分别称为积分下限（lower limits of integration ）和积分上限（upper limits of integration ），a 与b 可以统称为积分