第04章 刚体的转动 第1,2节

J r2dm
1.质量分布在有限体体积内
z
在刚体上选取一质量元 dm dV
dm，对应体积元dV
质量体密度
该质量元的转动惯量 dJ r 2dm
dV
or
整个刚体的转动惯量 J r2dV
17
2.质量分布在有限的面积上
在刚体上 取一面元
dm dS
：质量面密度
z
O r dS
dJ r2dm, J r2 dS
2l
3
又 d d d d dt d dt d
d
d
3g cosd
0
0
0 2l
棒在下摆任意θ角时的角速度 3g sin
l
28
例题3 :如图所示，质量m1=16kg的实心圆柱体A，其半径为r=15cm，可以
绕其固定水平轴转动，阻力忽略不计。一条轻的柔绳绕在圆柱体上，其一端
系一个质量为m2=8kg的物体B，求：（1）物体B由静止开始下降1s后的距 离，（2）绳的张力。
x dx
J2
l x2 m dx 1 ml 2
0l
3
O
z2
l
20
常见刚体的转动惯量
圆环： 转轴通过中心与环面垂直
薄圆盘： 转轴通过中心与盘面垂直
圆柱体： 转轴沿几何轴
细棒： 转轴通过中心与棒垂直
球体： 转轴沿直径
转轴沿直径
圆筒： 转轴沿几何轴
圆柱体： 转轴通过中心与几何轴垂直
细棒： 转轴通过端点与棒垂直
系，然后求解讨论
25
例题1 转动着的飞轮的转动惯量为J，在t=0时的角速度为ω0，此 后飞轮经过制动过程，阻力矩M的大小与角速度ω的平方成正比，
比例系数为κ（为大于0的常数），求：（1） ω= ω0/3时，飞轮的 角加速度α ；（2）从开始制动到ω= ω0/3时所经过的时间t ；（3）
从开始制动到ω= ω0/3飞轮转过的圈数。
10
4-2 刚体定轴转动定律（动力学）
力是使物体运动状态发生变化的原因
F
ma
如果想改变刚体转动状态，仅考虑力的因素就行了吗
力的大小、方向以及力的作用线相对于转轴的位置是 决定转动效果的几个重要因素 力矩
11
一 力矩
刚体刚的体P点绕上O且z 在轴转旋动转平, 力面Fv内作, r用v为在
由转心O点 到力的作用点 P 的位矢 .
z
R
采用补偿法 J剩余 J完整 J挖去 13 mR2
24
24
五 定轴转动定律的应用与解题步骤
解决有刚体的F系统动m力a学问题时解M题的一J般步骤
选取研究对象，隔离物体 分析被隔离物体的受力情况和力矩情况 对平动的刚体列出牛顿第二定律方程，对绕定轴转动的刚体
列出定轴转动定律方程 根据题设条件找出所选各隔离体间的联系和角量与线量的关
l/2
的转轴的转动惯量
m( l )2 1 ml2 1 ml2
2
12
3
23
2）转动惯量的叠加定理（了解）
如果一个刚体由几部分组成，可以分别计算各部分对 同一给定转轴的转动惯量，然后把结果相加就得到整 个刚体对该转轴的转动惯量
——转动惯量具有可加性
一半径为R的均质圆盘，挖去如图所 示的一块小圆盘（半径为R/2），剩 余部分的质量为m。试求其对通过中 心并垂直盘面的轴的转动惯量
x
x0
v0t
1 2
at 2
0 t
0
0t
1 t2
2
v2
v
2 0
2a(x
x0 )
2 02 2 ( 0 )
8
例1 一飞轮半径为 0.2m，转速为150 r/min, 因受制动而匀减速， 经 30 s 停止转动 . 求：（1）角加速度和在此时间内飞轮转过的角 度（2）制动开始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的速率、切向加速度和法向加速度大小 .
M M1 M2 M3 L
2） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消 Mij M ji
3）重力的合力矩等于系统的全部质量集中在质心上所受到
的力矩 14
二 刚体绕定轴转动的转动定律（动力学问题）
类比牛顿第二定律：F=ma
定义：刚体对定轴的转动惯量，描述刚体在转动中惯性 大小的物理量
J ( miri2 )
根据转轴的位置和方向是否随时间变化，可将转动 分为定轴转动和非定轴转动.
非定轴转动：转轴位置或方向变化的转动，陀螺：转轴为瞬时转轴 定轴转动: 转轴是固定不动的，刚体中所有的点都绕同一转轴做圆周运 动，如车床上的工件
三. 刚体的一般运动（平动+转动）
质心的平动 + 绕质心的转动
质心运动定理 转动定律
(3) 与牛顿第二定律相比，转动定律只是用力矩代替了作用在质点上的力， 用角加速度代替了加速度，而质点的质量则是由刚体转动惯量所代替
(4) 刚体定轴转动定律仅适用于惯性系 (5) 如果合外力矩为零，刚体保持静止或作匀速定轴转动 (6) 转动的物体具有保持原有转动状态不变的属性——转动惯性 (7) 转动惯量是衡量物体在转动中惯性大小的物理量，其地位与质点动力学
F 对转轴 Z 的力矩
v M
rv
v F
微分形式：
v dM
rv
v dF
力矩的大小：M Fr sin Fd
vz
M
v
O r
dP
F
M
力矩的方向：右手螺旋法则
绕定轴转动的刚体，正负反映了力矩方向——按右手螺旋法则判定力 矩方向，如果与规定的方向相同则取正，反之取负。
12
如果刚体受到的外力 F 不在转动平面内
球壳： 转轴沿直径
21
转动惯量的影响因素
J (miri2) r2dm
刚体的总质量：形状、大小和转轴位置都相同的匀质刚体， 总质量越大，转动惯量就越大
质量分布：形状、大小和转轴位置都相同的刚体，如果刚体 的总质量相同，那么质量分布距离转轴越远，转动惯量就越 大
转轴位置：同一刚体，对不同位置的转轴，其转动惯量不同
x dx
O
在棒任取一长度为dx的质元，该质 元到转轴的距离为x
l / 2
l/2
该质元对转轴的 转动惯量
dJ x2dm x2dx x2 mz1 dx
对所有质元求和
J1
l 2 l 2
x2
m l
dx
1 12
l
ml2
19
如果另有一转轴z2通过棒的一端并与棒垂直，求细棒相对于该
转轴的转动惯量
原点取在转轴上，在棒 上建立坐标轴Ox
4
四 刚体定轴转动（一维转动）的描述
1 角坐标
用转动平面中任意点P 相对于
选定的x 轴转过的角度 来确定定轴
转动刚体的空间位置（仅需角坐标 就能确定）
(t)
——刚体绕定轴转动的运动方程
z
v
转 rv •P
动 平
Oθ
面
参 考
x方
向
5
2 角速度 ——描述刚体转动快慢和转动方向,单位：弧度/秒（rad/s）
解（1）初角速度为：
0
150 2
60
5 rad s1
t = 30 s 时， 0
设 t = 0 s 时，0 0 .飞轮做匀减速转动
0 0 5 rad s1 rad s2
t
30
6
飞轮 30 s 内转过的角度
2 02 (5 )2 75 rad 2 2 ( 6)
9
（2）t 6s 时，飞轮的角速度
l
M m g cos l xdx 1 mgl cos
l
0
2
重力的合力矩等于系统的全部质量集中在质心上所受到的力矩
由于
xC
l 2
cos
M
M
rv
v F
sin
1
mgl cos
2
27
计算棒在下摆任意θ角时的角加速度和角速度
由转动定律得棒的角加速度
M J
1 mgl cos
2 1 ml 2
3g cos
22
四 关于转动惯量计算的几个定理
1）平行轴定理
m
刚体对任意轴的转动惯量J 等于刚体 对通过其质心且与该轴平行的轴的转动
Cd O
惯量JC 加上刚体的质量m与两轴间距离d
的平方的乘积
JO JC md 2
z 利用平行轴定理，在已知刚
2
z1
体对通过其质心转轴的转动
惯量的情况下，可以方便地
给出刚体对与此质心轴平行
(miri2 )是组成刚体的每个质元的质量与它到转轴垂直距
离平方的累加
刚体绕定轴转动的转动定律：作用于定轴转动刚体上的合外力矩 等于刚体对该轴的转动惯量与刚体角加速度的乘积
M J 15
说明
(1) 转动定律中的合外力矩M、转动惯量J 和角加速度 都是相对于同一个转
轴而言
(2) 转动定律是解决刚体转动问题的基本定律，其地位与解决质点动力学问 题的牛顿第二定律相当，
3. 质量分布在有限的长度上
在刚体上 取一线元
dm dl
dl
：质量线密度
r
dJ r2dm r2dl, J r 2dl
18
练习 一质量为m、长为l的均匀细长棒，当转轴z1通过棒的中心 并与棒垂直时，求细棒相对于该转轴的转动惯量
设棒的线密度为 m / l
原点取在转轴的质心上，在棒上建 立坐标轴Ox
0
t
(5
6
6)rad
s 1
4
rad s1
（3）t 6s 时，飞轮边缘上一点的线速度大小
v r 0.2 4 rad s1 2.5 m s1
该点的切向加速度和法向加速度大小
at
r
0.2 ( )m s2
6
0.105
m s2
an r 2 0.2 (4 )2 m s2 31.6m s2
做垂 的法转直：F于动把转状力动态F分平，//解面对为的转F平力轴行不不和能产垂改生直变力于刚矩转体动平面M的Ovd两zr个Fv分量 FFv//
外力 F 对转轴z的力矩等于平行于转 动平面的分力的力矩
13
说明
1）转动合力矩等于各分力矩的矢量和
vv v M M1 M2 L
rv1
v F1
rv2
v F2
第四章
4-1 刚体的基本运动（运动学）
1
质点模型忽略了物体的大小和形状，突出了物体具有质 量和占有空间位置特点，因而也无需考虑自身的形变以及是 否发生转动的问题
如果要讨论转动就需要建立一个新的理想模型——刚体： 在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体 。刚体的运 动形式：平动、转动 .
刚体模型不考虑物体由于受力而引起的形状和体积的改变， 因此刚体上任意两点之间的距离永远保持不变,刚体可以看作是 由许多质点（质元）组成的质点系
2
一. 平动
刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任 意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线 .
刚体平动时，各质元的轨迹都一样，故可用体内任意一点的 运动来代表整体的运动。
刚体平动 质点运动
3
二. 转动
刚体中所有的点都绕同一直线作圆周运动，这种运 动称为转动，该直线称为转轴。
d
dt
z
z
刚体绕定轴转动的方向只有沿转轴向上或 向下，常用正负区分
刚体转动的快慢还可以用转速n来表示
0 ω
0
单位时间（1s）内刚体绕转轴转过的圈数
n 1 T 2
2 n
ω
6
3 角加速度
——描述刚体角速度变化快慢。单位：弧度/平方秒（rad /s2）
d
dt
百度文库
d 2
dt 2
当角加速度的方向与刚体角速度的方向相同时，刚体做加速转动，当 角加速度的方向与刚体角速度的方向相反时，刚体做减速转动
解: (1)由题意知, M kw2 ，根据转动定律,有
M
k(0 )2
3
k02
（2）因为
J
k2
J
J
J
d
9J
分离变量并两边积分，得
dt
t dt J
0
k
0 3
d
w 0
2
所以：t 2J
k0
（3）因为 k2 J J d J d d J d
dt dt d
d
设t=0时角坐标为0，分离变量并两边积分，得角位移为
中质点的质量相当 (8) 合外力矩一定时，刚体的转动惯量越大，角加速度就越小，刚体的转动
状态越不容易改变 (9)力矩是使刚体改变转动状态的原因，是刚体获得角加速度的原因，具有
瞬时性
16
三 转动惯量的计算
对质量离散分布的转动系统，直接用定义式计算
J (miri2)
对质量连续分布的刚体，要用积分来代替求和
L
r F合外力
定轴转动：外力对转轴z的力矩只有两个方向，所以先确定转动方向，再
确定力矩的正负，规定一个正方向，当力矩与正方向一致时取正，反之取负。
v M
z 沿z轴正v方向
F
z 沿z轴负方向
v vF
M
所以：刚体定轴转动时，如果有几个力同时作用在刚体上，它们的合
力距就等于这几个力各自对转轴产生的力矩的代数和（力矩有正负）
4 刚体上各质点的线量与刚体角量之间的关系
v r
at
dv dt
d(r) dt
r
an
v2 r
(r)2 r
r 2
7
五 匀变速转动的公式
匀角速转动：刚体绕定轴转动的角速度恒定 匀变速转动：刚体绕定轴转动的角加速度恒定
质点匀变速直线运动与刚体匀变速转动公式对比
质点匀变速直线运动
刚体匀变速转动
v v0 at
d J
0
3
d
0
k 0
得:
J ln 3 k
n J ln 3 2 2 k26
例题2 一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑
水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求 它由此下摆θ角时的角加速度和角速度。
解：
O
x
x dx
dM
rv
v dF
sin
x
m dxg cos