北师大版八年级数学上册第二章：实数授课讲义
八年级数学上册 第二章 实数 2.6 实数教学课件
第二章
实数(shìshù)
2.6 实数(shìshù)
第一页，共十五页。
一、新课引入
第二页，共十五页。
二、新课讲解
(jiǎngjiě)
有理数和无理数统称(tǒngchēng)为实数，即实数可以分为有理数和无理数.
第三页，共十五页。
二、新课讲解(jiǎngjiě)
3 2 , 1 , 7 , , 2 , 20 ,
4
3
4 ,0.3737737773 9
正数(zhèngshù)集合
第五页，共十五页。
5, 5,3 8 2
负数(fùshù)集合
二、新课讲解
(jiǎngjiě)
（2）实数还可以(kěyǐ)怎样分类？
实数(shìshù)也可以分为正实数、0、负实数.
） √
第十二页，共十五页。
四、强化训练
2.在数轴(shùzhóu)上找13出 对应的点.
13 2 3 13
第十三页，共十五页。
本课结束 (jiéshù) 第十四页，共十五页。
内容(nèiróng)总结
八年级数学北师大版·上册。有理数和无理数统称为实数，即实数可以分为有理数和无理数.。如： 是正的， 是负的.。正数，即大于0的实数，包括所有的正有理数和正无理数.。负数，即小于0的实数，包括所有的负有理 数和负无理数.。（1）a是一个实数，它的相反数为_______，绝对值为_______。（2） 你能在数轴上找到 对 应的点吗。数轴上点A对应的数是 ，它介于(jièyú)整数1和2之间.。（ ）。本课结束
事实上，每一个实数都可以(kěyǐ)用数轴上的一个点来表示；反 过来，数轴上的每一个点都可以(kěyǐ)表示一个实数.即实数和数轴 上的点是一一对应的.
北师大版初中数学八年级上册第二章 实数2.6 实数 课件
线为半径画弧，与正半轴的交点就表示__2__2__，与负半轴的交
点就表示___2__2___.
2.请将图中数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来：
2 ，-1.5， 5 ， ，3
4
A
B CDE
解：点A、B、C、D、E分别对应_-_1_._5_、 __2_、__5_、_3__、___.
连接中考
2.6 实数/
2. 了解实数范围内相关概念的意义.
1. 了解实数的意义，并能将实数按要求进行 准确的分类.
探究新知
2.6 实数/
知识点 1 实数的概念和分类
（1）请把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？任何 有理数都能写成有限小数和无限循环小数吗？
3, 3 , 47 , 9 , 11 , 5 5 8 11 90 9
A
B
-1 0
3
解：因为数轴上A，B两点表示的数分别为-1和 3 ，
所以点B到点A的距离为1＋ 3 ，则点C到点A的距离为1+ 3 ，
设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为-1-x，
所以-1-x＝1＋ 3 ，
所以x＝-2- 3.
巩固练习
2.6 实数/
变式训练
1.如果以2为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角
0 ( a=0)
- a ( a﹤0)
探究新知
2.6 实数/
提示2：有理数的运算法则及运算律对实数仍然适用. 例如：
2 5 5 2
3
5
1 5
3
5
1 5
3
43 2 73 2 4 73 2 113 2
探究新知
2.6 实数/
素养考点 1 实数相关概念的应用 例 分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值．
新版北师大版八年级数学上册第二章实数全章课件
所以BD DC,则BD AB
由勾股定理得 : h
h
h不可能是整数；
B
D
C
h也不可能是分数.
四、强化训练
2、长，宽分别是3，2的长方形，它的对角线的长可能是整数 吗？可能是分数吗？
3 2
四、强化训练
3、如图是16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些 小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两 条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段.
, 3 3 9 ..... . 2 2 4,
a
结果都为分数，所以a不可能是以2为分母的
分数.
二、新课讲解
, ,
...... , ,
a
（3）(9)2 的算术平方根等于 3 .
四、强化训练
2.求下列各数的值
（1） 64
8
（3） （5）
21 4
3 2
32 42
5
（2） 0.81
0.9
（4） 0
0
（6）
1.44
1.2
四、强化训练
3.求下列各式中的正数x的值：
二、新课讲解
例 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
解：有理数有： 无理数有：
三、归纳小结
1．任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 2．无限不循环小数称为无理数.
四、强化训练
1.选择题
(1)、正三角形的边长为4，高h是（ D ） A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数
(2)、如果一个圆的半径是2，那么该圆的周长与直径的和 是（ B ） A．有理数 B．无理数 C．分数 D．整数
北师大版初二(上)数学第二章实数讲义(二)
第二章实数2.2平方根1．平方根(1)平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根).32＝9，所以3是9的平方根．(－3)2＝9，所以－3也是9的平方根，所以9的平方根是3和－3.(2)平方根的表示方法：正数a 的平方根可记作“±a ”，读作“正、负根号a ”．“ ”读作“根号”，“a ”是被开方数．例如：2的平方根可表示为±2.(3)平方根的性质：若x 2＝a ，则有(－x )2＝a ，即－x 也是a 的平方根，因此正数a 的平方根有两个，它们互为相反数；只有02＝0，故0的平方根为0；由于同号的两个数相乘得正，因此任何数的平方都不会是负数，故负数没有平方根．综合上述：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．如：4的平方根有两个：2和－2，－4没有平方根．一个数a 的平方根可以表示成± a.（1）不是任何数都有平方根，负数可没有平方根，（2）式子√a 只有当a ≥0时才有意义,因为负数没有平方根.【例1】 求下列各数的平方根：(1)81；(2)(－7)2；(3)11549.【例2】 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由．(1)94；(2)0；(3)－9；(4)|－0.81|；(5)－22.【例3】如果一个正数的两个平方根为a+1和2a-7，请你求出这个正数 .2.算术平方根(1)算术平方根的概念：如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根．(2)算术平方根的表示方法：正数a 的算术平方根记作“a ”，读作“根号a ”．(3)算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有平方根，当然也没有算术平方根． 算术平方根的性质(1)只有正数和0(即非负数)才有算术平方根，且算术平方根也是非负数；(2)一个正数a 的正的平方根就是它的算术平方根．如果知道一个数的算术平方根，就可以写出它的负的平方根．【例4】 求下列各数的算术平方根：(1)0.09；(2)121169.如何确定一个数的算术平方根求一个数的算术平方根与求一个数的平方根类似，先找到一个平方等于所求数的数，再求算术平方根，应特别注意数的符号．【例5】先填写下表，通过观察后再回答问题．(1)被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根√a的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律．3．开平方求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数．开平方运算是已知指数和幂求底数．(1)因为平方和开平方互逆，故可通过平方来寻找一个数的平方根，也可以利用平方验算所求平方根是否正确．(2)开平方与平方互为逆运算，正数、负数、0可以进行“平方”运算，且“平方”的结果只有一个；但“开平方”只有正数和0才可以，负数不能开平方，且正数开平方时有两个结果．(3)对于生活和生产中的已知面积求长度的问题，一般可用开平方加以解决．【例6】求下列各式中的.(1) x2−81=0 (2) (x−1)2=25【例7】小明家计划用80块正方形的地板砖铺设面积是20 m2的客厅，试问小明家需要购买边长是多少的地板砖？4.a 2与(a )2的关系a 表示a 的算术平方根，依据算术平方根的定义，(a )2＝a (a ≥0).a 2表示a 2的算术平方根，依据算术平方根的定义，若a ≥0，则a 2的算术平方根为a ；若a ＜0，则a 2的算术平方根为－a ，即a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0. (1)区别：①意义不同：(a )2表示非负数a 的算术平方根的平方；a 2表示实数a 的平方的算术平方根．②取值范围不同：(a )2中的a 为非负数，即a ≥0；a 2中的a 为任意数．③运算顺序不同：(a )2是先求a 的算术平方根，再求它的算术平方根的平方；a 2是先求a 的平方，再求平方后的算术平方根．④写法不同．在(a )2中，幂指数2在根号的外面；而在a 2中，幂指数2在根号的里面．⑤运算结果不同：(a )2＝a ；a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.(2)联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算．②两式运算的结果都是非负数，即(a )2≥0，a 2≥0.③仅当a ≥0时，有(a )2＝a 2. 巧用(a )2＝a将(a )2＝a 反过来就是a ＝(a )2，利用此式可使某些运算更为简便．【例8】 化简：(6)2＝__________；(－7)2＝__________.5．平方根与算术平方根的关系(1)区别： ①概念不同 平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个数x 叫做a 的平方根． 算术平方根的概念：如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．②表示方法不同平方根：正数a 的平方根用符号±a 表示．算术平方根：正数a 的算术平方根用符号a 表示，正数a 的负的平方根－a 可以看成是正数a 的算术平方根的相反数．③读法不同a 读作“根号a ”；±a 读作“正、负根号a ”． ④结果和个数不同一个正数的算术平方根只有一个且一定为正数，而一个正数的平方根有两个，它们一正一负且互为相反数．(2)联系：①平方根中包含了算术平方根，就是说算术平方根是平方根中的一个，即一个正数的平方根有一正一负两个，其中正的那一个就是它的算术平方根，这样要求一个正数a 的平方根，只要先求出这个正数的算术平方根a ，就可以直接写出这个正数的平方根±a 了．②在平方根±a 和算术平方根a 中，被开方数都是非负数，即a ≥0.严格地讲，正数和0既有平方根，又有算术平方根，负数既没有平方根，又没有算术平方根．③0的平方根和算术平方根都是0.【例9】 (1)求(－3)2的平方根；(2)计算144；(3)求(π－3.142)2的算术平方根；(4)求16的平方根．【例10】求下列各式的值：(1)±81；(2)－16；(3)925；(4)(－4)2.与平方根相关的三种符号弄清与平方根有关的三种符号±a，a，－a的意义是解决这类问题的关键．±a表示非负数a的平方根，a表示非负数a的算术平方根，－a表示非负数a的负平方根．注意a ≠±a.在具体解题时，“”的前面是什么符号，其计算结果就是什么符号，既不能漏掉，也不能多添．6．巧用算术平方根的两个“非负性”众所周知，算术平方根a具有双重非负性：(1)被开方数具有非负性，即a≥0.(2)a本身具有非负性，即a≥0.这两个非负性形象、全面地反映了算术平方根的本质属性．在解决与此相关的问题时，若能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的这两个非负性，就可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果．由于初中阶段学习的非负数有三类，即一个数的绝对值，一个数的平方(偶次方)和非负数的算术平方根．关于算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一般情况下都是它们的和等于0的形式．此类问题可以分成以下几种形式：(1)算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题〔||＋()2＝0，||＋＝0，()2＋＝0〕，甚至同一道题目中同时出现这三个内容〔||＋()2＋＝0〕．(2)题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用完全平方公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算．【例11】若－x2＋y＝6，则x＝__________，y＝__________.【例12】若|m－1|＋n－5＝0，则m＝__________，n＝__________.注：若几个非负数的和为0，则每个数都为0.【例13】如果y＝x2－4＋4－x2x＋2＋2 013成立，求x2＋y－3的值．针对训练1.若√a+2=4，则(a+2)2的平方根是( )A. 16B.±16C. 2D. ±22.√(−3)2的平方根是( )A. √3B.±√3C. 3D. ±33.已知一个数的两个平方根分别是a+3与2a-15，这个数的值为（）A. 4B.±7C. -7D. 494.当x=-9时，√x2的值为（）A. 9B. -9C. 3D. -35.一个数的算术平方根为a，比这个数大2 的数是（）A. a+2B. √a+2C. √a−2D. a2+2√2x−529.√4的算术平方根是______=_______10.√94=__________.11.已知√x−3和|x−2y−5|互为相反数，且x≠0，则yx12.若y=√x−3+√3−x+2，则x y的算术平方根是__________.13.算一算小文房间的面积为10.8m2，房间地面恰巧由120 块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长为______.14.探究1:√0.0625≈0.25,√6.25≈2.5,√625=______探究2:√0.625≈0.791,√62.5≈7.91,√6250=___根据上述规律计算：√6250000≈________,√625000≈___________15.求下列各式中的数(1) 4x2=25; (2) (x+1)2=25.3616.已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的算术平方根是4，求a+2b的值.17.已知(x−1)2+|y+2|+√z−3=0，求x+y+z的平方根.18.7-√10的整数部分为a，小数部分为b,求a+b的值.。
2022八年级数学上册第二章实数2.2平方根1算术平方根授课课件新版北师大版
2.2
平方根
第1课时 算术平方根
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
算术平方根的定义 求算术平方根
算术平方根的非负性（ ≥a 0， a≥0）
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
(1)根据图填空： x2=___2____, y2=___x_2+_1__,
复习提问z2=___y_2+_1__, 引出问题w2=__z_2_+_1 __,
现 a , a 时，a只有为0才有意义．
课堂小结
无理数
1. a 表示的是a的算术平方根，由算术平方根的定 义知它具有“双重”非负性：a≥0， a ≥0，即算术平
方根及它的被开方数都为非负数． 2.对于所有的算术平方根，被开方数越大，对 应的算术平方根也越大；反之亦然．
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月23日星期三2022/3/232022/3/232022/3/23 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/232022/3/232022/3/233/23/2022 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/232022/3/23March 23, 2022
由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为 0，由此可求出x和y的值，进而求得答案． 解：由题意可得x－1＝0，y－2＝0. 所以x＝1，y＝2. 所以x－y＝1－2＝－1.
感悟新知
总结
知3－讲
(1)算术平方根和数的平方、绝对值一样，都是
北师大版八年级数学上册第二章：实数授课讲义
第二章：实数讲义【无理数】1. 定义：2. 常见无理数的几种类型：（1） （2） （3） （4） （5）3.有理数与无理数的区别：（1） （2）例：（1）下列各数：①、②……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。
（填序号）（2）有五个数:…,…,-π,4,32其中无理数有 ( )个 【算术平方根】：1. 定义：2.算术平方根具有双重非负性：3.算术平方根与平方根的关系：例：（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=；（C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=- D 、235=-（3）2)3(-的算术平方根是 。
（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。
（6）（提高题）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。
求x － y 的值. 平方根：1.定义：2.性质：（1） （2） （3）例（1）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （2）当x 时，x 23－有意义。
（3）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少这个正数是多少3. 的性质与22)0()(a a a ≥：（1） （2）例：1.求下列各式的值（1）27 （2）27-）（ （3）249-）（2.已知1)12-=-a a （，那么a 的取值范围是 。
3.已知2＜x ＜3,化简=-+|3|)-22x x （ 。
【立方根】 1.定义：2.性质：例：（1）64的立方根是（2）若9.28,89.233==ab a ，则b 等于（3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±。
北师大版八年级(上)数学 第二章 实数 22 平方根 讲义
平方根 平方根的有关概念、性质1、了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根；2、了解开发与乘法互为逆运算，会用开发运输求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根.1．算术平方根一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根. a 的算术平方根记为______，读作________，a 叫做__________.规定：0的算术平方根是_____.2. 平方根一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根.这就是说，如果2x a =，那么______叫做_________的平方根.a 的算术平方根记为______，读作________，a 叫做__________.求一个数a 的平方根的运算，叫做_________.1、解算术平方根【例1】求下列各数的算术平方根（1）100 （2）0.0001练1. 求下列各数的算术平方根（1）0.0025 （2）121练2. （2021春•2(4)-________81是__________.2．利用计算器求算术平方根【例23136练4.用计算器求下列各式的值.（11369 （25 （精确到0.01）2．比较大小【例3】小丽想用一块面积为400cm 2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm 2的长方形纸片，使它的长宽之比为3:2.不知能否裁出来，正在发愁.小明见了说“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片”，你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？练5. 14012.练6. 要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米，求长和宽各是多少米？3．计算平方根【例4】求下列各数的平方根：（1）100 （2）0.25.练7．11125的平方根是_______; 0的平方根是________. 练8．一个数的平方根是±2，则这个数的平方是______.【例5】求下列各式的值.（1144 （2）121196练9．8136 练10．40.36121【例635.练11．一个数的算术平方根是a ，则比这个数大8数是____________.练12．若23270x -=，则x =____________.练13．已知0a ≥，那么2)a 等于什么？1．（1）一个正数有_____个平方根，它们_________;（2）0的平方根是____________;（3）负数__________2．25的算术平方根是_________, ________是916________.3．（1）若294x =，则x =__________; （2）若22(2)x =-，则x =__________．4．要切一块面积为16cm 2的正方形钢板，它的边长是多少?5. a a 满足_______；若a --a 满足_______1.计算：3252.0.040.253.计算：256. 4．计算：2125. 计算：1 2 46．如果2x-有平方根，那么x的值为.7．x1x-有意义平方根，那么x的值为.。
北师大版八年级上册课件 第二章2.6.1实数(共17张PPT)
9 64
•
0.6
3 4
64
•
0.6
3 4
3
0.13
3 9 3 0.13
自学指导2：5分钟：
自学课本P39 “议一议”，思考并完成下列问题： 1.每一个有理数都可以用数轴上的点来表示，反 之，数轴上的每一个点是否都表示有理数呢？
2.只有__实_数___才与数轴上的点是一一对应的。
当堂训练（5分钟）
1.判断题 （1）无限小数都是无理数；（×） （2）无理数都是无限小数； （√） （3）带根号的数都是无理数； （×） （4）有理数都是实数，实数不都是有理数；（√） （5）实数都是无理数，无理数都是实数； （×） （6）实数的绝对值都是非负实数； （√） （7）有理数都可以表示成分数的形式.（√）
点拨：
在数轴上作出 5 对应的点。需要保留作图痕迹。
5
2
-2
-1
0
1
25
自学检测2(8分钟) 1、P40“随堂练习” T3。 2、P40“知识技能” T3，“问题解决” T4。 3、化简：
21_2_ 1_2_2_,3_3 _2 _ 2 .__
5 4、大于 13 而小于
的所有整数为_－_3_,－_2_, －__1,_0,1,2
3.在数轴上作出表示数 2, 2, 2 1 的点？ 4.在数轴上做出表示 5
5.如何用数轴比较任意两个实数的大小？
－2
－1
想一想
B
2
A
0
1 22
1.那么 2 对应的点在哪里呢？
2 1对应的点呢？
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反 过来，数轴上的每一点都表示一个实数。即实数 和数轴上的点是一一对应的。
北师大版数学八年级上册 第二章 实数 复习课件(共31张PPT)
例4：x取何值时， 4 x 有意义？
4 x 0, x 4
1、基本概念
算术平方根：如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数 x叫做a的算术平方根；特别的，0的算术平方根是0； 平方根：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的 平方根； 立方根：如果一个数x的立方等于a，那么这个数x叫做a的 立方根。
同学们，不管你现在的成绩 怎么样，不管你现在的基础怎么样 ，只要坚定信念，超越自我，你就 有了努力的方向，你就有了奋斗的 目标，你就有了生活的动力，你就 有了成功的希望！
独立
知识的升华
作业
P
1 3 老3师期望:
习 悟 做完题目后,一定要“ ”到点东西,纳入到自
己的认知结构中去.
13. 9( y 3)2 1
解
4
方
解:( y 3)2 1
程：
36
1
y 3
36
y 3 1 6
y 19 或y 17
6
6
14. 2（ 7 x 2）3 125 0
3
解: 27(x 2)3 125
3
(x 2)3 125
3
27
2 125
3、绝对值：整数的绝对值是其本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是 其相反数。
易错 例1、 5 的相反数是
5
，倒数是
5 5 ，绝对值是
5
。
c 例2、 3.14 的值是(
)
A. 3.14- 2 B. 3.14 C. –3.14
D. 无法确定
常考 例3、已知 2 2x 1 y 22 4 z 0，
(4 4 3 3) 1 (4 4 3 3)
北师大版数学八年级上册课件-第二章实数
（5 ）
（6）
256 16
，16的算术平方根是4，即
256
的算术平方根是4.
( 0.25) 2 0.25,所以
( 0.25) 2 的算术平方根是0.5.
【例题】
【例2】用大小完全相同的240块正方形地板砖，铺一间面积为60 m2的会议室 的地面，每块地板砖的边长是多少？ 【解析】设每块地板砖的边长为x m.由题意，得
第二章 实数
1 认识无理数
学习目标
1.理解无理数的概念，会判断一个数是有理数还是 无理数.
2.能在数轴上表示某些简单的无理数.
新课导入
把两个边长为1的小正方形拼成一个大正方形
a
设大正方形的边长为 a，则 a 满足什么条件？
【 解析】 因为 S 大正方形 2,
所以 a 2 2.
议一议
上式中的a可能是整数吗？ a可能是分数吗？ 因为 a不是整数， a也不是分数， 所以 a不是有理数.
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无 限循环小数. 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
无理数的定义： 无限不循环小数称为无理数.
,
2
,
2 1
0.101 001 000 1…（两个1之间依次多1个0） -168.323 223 222 3…（两个3之间依次多1个2）
估一估
1
a
面积为2
2 2
1
a
由上可得边长a的一个大致的范围，但a的整数部分 是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……
算一算
请同学们借助计算器进行探索 边长a 面积S 1<S<4 1.96<S<2.25 1.988 1<S<2.016 4 1.999 396<S<2.002 225 1.999 961 64<S<2.000 244 49
北师大八年级数学上册《实数》课件(共17张PPT)
实数与数轴上的点的对应关系
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； 反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。即实 数和数轴上的点是一一对应的。
实数 a
-2 -1 a 0
1
2
在数轴上作出 5 对应的点．
课堂小结
通过今天的学习,说说你的收 获和体会。
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
3 9
正数集合
5 , 5, 3 8, 2
负数集合
实数又可以分为: 正实数、0 和 负实数
实数的分类
有理数 实数
无理数
正实数 实数. 实数不是有理数就是无理数（ ）
2. 无理数一定都带根号（×）
3. 无理数都是无限不循环小数（ ）
4. 无限小数都是无理数（× ） 5. 带根号的数一定是无理数 （ × ）
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
第二章 实 数
第 6 节 实数
zxxk
一、知识回顾
1、有理数怎样分类？
整数 有理数
分数
有理数
正有理数 0
负有理数
2.什么是无理数？
无限不循环小数叫做无理数.
北师版八年级数学上册第二章 实数6 实数
按性质分
无理数常
(1)无限不循环小数；(2)π 及含有 π 的数，
见的三种
π
如 ；(3)开不尽的方根，如 2 ，
2
类型
5等
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1. 0既不是正实数，也不是负实数 .
2.不能看到带根号的数，就认为是无理数，也
不能看到有分数线的数，就认为是有理数 .
感悟新知
知1－讲
特别解读
1.在实数范围内，一个数不是有理数，那么它
右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大 .
知4－练
例 4 用“<”连接下列各数：－1， 3，－2 2，2.5，0.
2
解题秘方：比较一组实数的大小和比较一组有理数的
大小一样，可先将这些数在数轴上表示出
来，然后根据“数轴上右边的点表示的数
总比左边的点表示的数大”求解.
知4－练
解：将各数的大致位置在数轴上表示出来，如图2-6-2.
＜π.
4
实数
数轴
有理数
定义
无理数
实数
性质
运算
三“查”——检查过程和结果是否正确.
知3－练
例 3 计算：|1－ 2|＋| 3－ 2|＋ ( 3－2)2.
解题秘方：在进行实数的运算时，有理数的运算法则
及运算性质等同样适用.
解：原式＝ 2－1＋ 3－ 2＋2－ 3＝1.
去绝对值符号和开方时，一定要注意代数式符号 .
感悟新知
知3－练
3-1.计算： 5×
相反数；一个数的倒数与它本身的正负一致 .
知2－练
例2
[母题 教材P40习题T2 ]求下列各数的相反数、倒数和
绝对值.
北师版初中八年级上册数学精品授课课件 第二章 实数 本章归纳总结
18.一个圆的半径为1 cm，和它等面积的正方形的边长是多
少厘米?（结果精确到0.01 cm)
【教材P51 复习题 第18题】
解：设正方形的边长为x cm， 则x2 = 12·π ， 所以x ≈ 1.77， 即正方形的边长约为1.77 cm.
19.一个正方体形状的木箱容积是4m3，求此木箱的棱长
2
2
23．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其
计（算单公位式:m为)，Tπ取2π3.1g4l ，，g其=中9.T8表m示/s2周.假期如（一单台位座:钟s）的，摆l表长示为摆长
0.5m，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1 min内， 该座钟大约发出了多少次滴答声?
【教材P52 复习题 第23题】
R
P 1500
1500
所以15Ω < R < 19.27Ω，即甲满足要求.
答：该用电器是甲.
26．如图，15只空油桶（每只油桶底面的直径均为50 cm） 堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？ （结果精确到0.1 cm）
【教材P52 复习题 第26题】
解：如图，由勾股定理可得，
遮雨棚的高 4d 2 2d 2 d 223.（2 cm）
②无4 限循环小数不能认为是无理数.如
,
它是分数，是分数而不是无理数. 0.3 1 3
3.二次根式的运算.
①化简后只有被开方数相同，才能将它们进行合并.
如
，因为它们本身就是最简二次根式，
并且2被开方3数 也5不相同，不能直接合并.
②有一种形式的二次根式的除法运算不能运用分配律. 如：
6 （ 2 3） 6 2 6 3；
25．用电器的电阻R、功率P与它两端的电压U之间有关系：
北师大版八年级上册数学《实数》说课稿
谢谢
03
说教学目标
说教学目标
1. 理解实数的定义 和基本概念；
3. 能够运用所学知 识解决实际问题。
2. 掌握实数的分类 方法和比较大小的
方法；
04
说教学重难点
说教学重难点
本节课的教学重点是实数的定义和基本概 念，难点是实数的分类方法和比较大小的 方法。在教学中需要注意让学生理解实数 的概念和性质，同时要引导学生掌握实数 的分类方法和比较大小的技巧。
新课引入
教师可以通过一个实际问题引出实数 的概念和意义，例如：
小明在超市购买了一些商品，总共花 费了100元，但是他只有80元现金， 需要使用信用卡支付剩余的20元，请 问这个问题涉及到哪些数？
通过这个问题，引出有理数和无理数 的概念，并让学生了解实数的重要性 和应用价值。
实数的定义和基本概念
教师可以先介绍实数的定义和基本概念，例如： 实数是有理数和无理数的总称，有理数是可以表示为两个整数之比的 数，无理数是不能表示为两个整数之比的数。
05
说教法与学法
说教法与学法
在本节课的教学中，可以采用讲授、讨论、 练习等多种教学方法，同时也要注重启发 式教学，引导学生通过思考和实践来理解 和掌握所学知识。在学习过程中，学生应 该注重思考，积极参与课堂讨论和练习， 同时也要注重归纳总结，加深对所学知识 的理解和记忆。
06
说教学过程
说教学过程
07
说板书设计
说板书设计
实数 实数的定义、有理数和无理数的概念、实数的分类 方法和比较大小的技巧等内容。同时，板书应该清 晰明了，重点突出，便于学生理解和记忆。
08说教Βιβλιοθήκη 反思说教学反思在本节课的教学中，应该注重启发式教 学，引导学生通过思考和实践来理解和 掌握所学知识。同时，也要注重巩固和 拓展，让学生在课后能够进一步深化对 所学知识的理解和掌握。
北师大初二上册第二章实数讲义
北师大初二上册第二章实数讲义第一部分要点一、无理数1. 定义 无穷不循环小数称为无理数。
有理数：整数、分数、有限小数、无穷循环小数无理数：无穷不循环小数，此中有开方开不尽的数，如 π、2、33等2.有理数和无理数的区别（1）有理数都可以化为小数。
此中整数可以看作小数点后面是零的小数，比方 5=5.0；分数都可以化为有限小数或无穷循环小数，比方21=0.5， 31=0.3。
（2）有限小数和无穷循环小数都可以化为分数，也便是说，一切有理数都可以用分数来表示；而无穷不循环小数不能化为分数，它是无理数。
典范例题1. 鉴别正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由。
(1) 无理数都是无穷小数（ ）(2) 无穷小数都是无理数（ ）(3) 带根号的数都是无理数（ ）(4) 有理数都是有限小数 （ ）(5) 敷衍任何实数 a 与 b,|a －b|=|b －a|恒成立（ ）(6) 两个无理数之和一定是无理数（ ） -π+π(7) 两个无理数之积不一定是无理数（ ） )12)(1-2(-）(8) 任何有理数都有倒数（ ）(9) 最小的负数是－ 1（ ）(10) a 的相反数的绝对值是它本身 （ ）(11) 实数a 、b ，若|a|=2,|b|=3 且 ab>0，则 a －b=－1（ ）2. 把下列各数分别填入相应的聚集里-|-3|，21.3，－1.234，-722，sin60°，0，-9， -381-，-2π，8，（2-3）×0，3-2，cot45°，1.2121121112······中 无理数聚集｛ ｝ 负分数聚集 ｛ ｝整数聚集 ｛ ｝ 非负数聚集 ｛ ｝3. 有下列三个命题：此中正确的是（ ）（1）若α，β是不相等的无理数，则αβ+α﹣β是无理数；αβ+α﹣β=αβ+α﹣β﹣1+1=（α﹣1）（β+1）+1，令α=2-1，β=2+1（2）若α，β是不相等的无理数，则βαβ-α+是无理数； 令α=2，β=22（3）若α，β是不相等的无理数，则α+β是无理数； -π+π；-2+2第二部分要点一、平方根（1）算术平方根：要是一个正数x 的平方即是a ，即x 2=a ，这个正数x 叫a 的算数平方根，记作a ，读作根号a 。
北师大版八年级数学上册第二章《2.6实数》说课稿
北师大版八年级数学上册第二章《2.6实数》说课稿（封面）北师大版八年级数学上册第二章《2授课学科：授课年级：授课教师：授课时间：XX学校一、教材分析1、教材的地位和作用本节课是北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》的第六节内容。
在本节之前学生已学习了平方根、立方根，认识了无理数，了解了无理数是客观存在的，从而将有理数扩充到实数范围，使学生对数认识进一步深入。
中学阶段有关数的问题多是在实数范围内进行讨论的，同时实数内容也是今后学习一元二次方程、函数的基础。
2、教学目标：（根据新课程标准的要求，结合本节教材的特点，以及八年级学生的认知规律，我制定如下目标）。
知识技能：(1)了解无理数和实数的概念以及实数的分类。
(2)知道实数与数轴上的点具有一一对应关系。
数学思考：(1) 经历对实数进行分类的过程，发展学生的分类意识。
(2) 经历从有理数逐步扩充到实数的过程，了解人类对数的认识是不断发展的。
解决问题：通过无理数的引入，使学生对数的认识由有理数扩充到实数。
情感态度：(1) 通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用。
(2) 敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题。
3、教学重点、难点重点：了解实数意义，能对实数进行分类，明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数。
难点：用数轴上的点来表示无理数。
二、学情分析在学习本节课前，学生已掌握对一个非负数开平方和对一个数开立方运算。
课本对学生掌握实数要求不高。
只要求学生了解无理数和实数的意义。
但实数的知识却贯穿中学数学始终，所以我们只能逐步加深学生对实数的认识。
本节主要引导学生熟知实数的概念和意义，为后面学习打下基础。
三、教法学法分析：教法分析：根据本节课的教学内容和学生的实际水平，我采用的是引导发现法、类比法和多媒体辅助教学。
(1)在教学中通过设置疑问，创设出思维情境，然后引导学生动脑、动手，使学生在开放、民主、和谐的教学氛围中获取知识，提高能力，促进思维的发展。
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北师大版八年级数学上册第二章：实数授课讲义(总6页)
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第二章：实数讲义
【无理数】
1. 定义：
2. 常见无理数的几种类型：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
3.有理数与无理数的区别：
（1）
（2）
例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥3
2-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。
（填序号）
（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有
( )个
【算术平方根】：
1. 定义：
2.算术平方根具有双重非负性：
3.算术平方根与平方根的关系：
例：（1）下列说法正确的是 （ ）
A ．1的立方根是1±；
B ．24±=；（
C ）、81的平方根是3±； （
D ）、0没有平方根；
（2）下列各式正确的是（ ）
A 、981±=
B 、14.314.3-=-ππ
C 、3927-=-
D 、235=-
（3）2)3(-的算术平方根是 。
（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。
（6）（提高题）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。
求x － y 的值.
平方根：
1.定义：
2.性质：
（1）
（2）
（3）
例（1）若x 的平方根是±2，则x= ；
（2）当x 时，x 23－有意义。
（3）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少这个正数是多少
3. 的性质与22)0()(a a a ≥：
（1）
（2）
例：1.求下列各式的值
（1）27 （2）27-）（ （3）
249-）（
2.已知1)12-=-a a （，那么a 的取值范围是 。
3.已知2＜x ＜3,化简=-+|3|)-22x x （ 。
【立方根】
1.定义：
2.性质：
例：（1）64的立方根是 （2）若
9.28,89.233==ab a ，则b 等于
（3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832
±=±。
其中正确的有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个
D 、4个
【估算】
用估算法确定无理数的大小：
注：“精确到”与“误差小于”的区别：精确到1m ，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1m ，答案在其值左右1m 内都符合题意，答案不唯一。
例：估算下列各数的大小
（1））（误差小于1.0327 （2））（精确到1.0327 （3）
）（误差小于133453
用估算的方法比较数的大小
用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，且在比较大小时，一般先采用分析法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较
当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：
比较两个数的大小：
例：比较下列两数的大小
（1） 2
123-10与 （2）5325与
【实数】
定义：
实数的性质：
实数的大小比较法则：
实数的运算：
实数与数轴的关系：
例：（1）下列说法正确的是（ ）；
A 、任何有理数均可用分数形式表示 ；
B 、数轴上的点与有理数一一对应 ；
C 、1和2之间的无理数只有2 ；
D 、不带根号的数都是有理数。
（2）a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )
A 、b a -
B 、ab
C 、b a +
D 、a b -
（3）比较大小(填“>”或“<”).
-， 76______67， 2
15- 21，
（4）数 2,3-- 的大小关系是 ( )
A. 32<-<-
B. 32-<<-
C. 23-<<-
D.
32-<-<（5）将下列各数：51,3,8,23---，用“＜”连接起来；
______________________________________。
（6）若2,3==b a ，且0<ab ，则：b a -= 。
【二次根式】
定义：
注意：
（1）
（2）
例：下列根式是否为二次根式
（1）3- （2）｜｜3- （3）a - （
4）32--
二次根式的性质：
性质1：
性质2：
最简二次根式：
例：1.化简：
（1）1512⨯ （2）)0(2724≥b b a
（3）x
94 2.计算：
32278115.041--+ 323811613125.0⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-
3.已知：()()06
4.01,12173
2-=+=-y x ，求代数式3245102y y x x ++--的值。
6.（提高题）观察下列等式：回答问题：
①2111111112111122=+-+=++
②611121211312112
2=+-+=++ ③12111313114131122=+-+=++，…… （1）根据上面三个等式的信息，请猜想225
1411++的结果；
（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式，并加以验证。