陕西省洛南县永丰中学学年度北师大版函数的单调性教学课件
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函数的单调性ppt课件
利用函数的单调性求最值 [思路分析] (1)结合函数f(x)的图像分析f(x)的单调性，从而确定其最大值； 利用函数增加、减少的定义判断f(x)在[2,6]上的单调性，再求最值．
[规律总结] 1.熟记运用函数单调性求最值的步骤： 判断：先判断函数的单调性． 求值：利用单调性代入自变量的值求得最值． 明确利用单调性求最大值、最小值易出错的几点： 写出最值时要写最高(低)点的纵坐标，而不是横坐标． 求最值忘记求定义域． 求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入．
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下列命题正确的是( )
[答案] D
PART 1
利用定义证明或判断函数的单调性
结论：根据差的符号，得出单调性的结论．
定号：判断上式的符号，若不能确定，则分区间讨论；
作差变形：计算f(x1)－f(x2)，通过因式分解、通分、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方、分母(分子)有理化等方法变形；
取值：在给定区间上任取两个值x1，x2，且x1<x2；
在定义域的某个子集上是增加的或是减少的
增函数
减函数
单调函数
3．函数的单调性 如果函数_________________________________，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为________或________，统称为________．
[正解] 因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函数图像的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3. [答案] a＝－3 [规律总结] 单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
北师大版高中数学必修 -函数的单调性 PPT教学课件1
例4.（1）已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区 间(-∞,4]上是减函数，求实数a的范围。 （2）已知函数g(x)在R上是单调减函数 且g(t)>g(1-2t)，求实数t的范围。
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT 教学课 件1(完 美课件 )
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1.设值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2
则△x= x2 -x1>0时
2.作差变形:作差△y=f(x2)-f(x1)
并适当变形；
3.判断差符号:确定△y的正负； 4.下结论:由定义得出函数的单调性.
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结
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取自变量－1< 1，
而 f(－1) < f(1)
y
-1 1
f
(
x
)
1 x
O1
x
-1
∴不能说 y 1x在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数 因为 x1、x2 不具有任意性.
(-∞,0]上当x增大时f(x)随着减小
当x增大时f(x)随着增大 (0,+∞)上当x增大时f(x)随着增大
函数在R上是增函数 函数在(-∞,0]上是减函数
函数在(0,+∞)上是增函数
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1.设值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2
则△x= x2 -x1>0时
2.作差变形:作差△y=f(x2)-f(x1)
并适当变形；
3.判断差符号:确定△y的正负； 4.下结论:由定义得出函数的单调性.
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结
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取自变量－1< 1，
而 f(－1) < f(1)
y
-1 1
f
(
x
)
1 x
O1
x
-1
∴不能说 y 1x在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数 因为 x1、x2 不具有任意性.
(-∞,0]上当x增大时f(x)随着减小
当x增大时f(x)随着增大 (0,+∞)上当x增大时f(x)随着增大
函数在R上是增函数 函数在(-∞,0]上是减函数
函数在(0,+∞)上是增函数
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4.1《函数的单调性与极值》ppt-北师大版选修PPT课件
作业:P81 练习2
函 数 yxcosxsinx在 下 面 哪 个 区 间 内 是 增 函 数 ( )
A .(,3) B .(,2) C.(3,5) D .(2,3)
22
22
函 数 yxcosxsinx在 下 面 哪 个 区 间 内 是 增 函 数 (B )
A .(,3) B .(,2) C.(3,5) D .(2,3)
如果在某区间上f’(x)<0,则f(x)为该区间上减函数.
如果f(x)在这个区间(a,b)上是增函数, 那么任意x1，x2∈(a,b), 当x1<x2 时f(x1)<f(x2),即x1-x2与f(x1)－f(x2)同号,从而
f(x1)-f(x2) 0 , 即 x1 - x2
y 0 x
一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在
注:当x=0或2时, f′(x)=0,即函数在该点单 调性发生改变.
例4 求函数f(x)=xlnx的单调区间.
解：函数的定义域为x>0, f’(x)=x’lnx+x(lnx)’=lnx+1. 当lnx+1>0时，解得x>1/e.则f(x)的 单增区间是(1/e,+∞). 当lnx+1<0时，解得0<x<1/e.则f(x) 的单减区间是（0，1/e).
那么如何判断下列函数的单调性呢?
(1)yx32x2x;
(2)yxlnx;
(3)yexx1.
问题：用单调性定义讨论函数 单调性虽然可行，但比较麻烦. 如果函数图象也不方便作出来时.. 是否有更为简捷的方法呢？
先通过函数的y=x2－4x＋3图象来考 察单调性与导数有什么关系：
观察函数y=x2－4x＋3的图象上的点的切线：
北师大版必修1数学【原创精品课件】：2.3函数的单调性(导学式)(共25张PPT)
1
O
x
结论：单调区间通常不能合并，除非确 无错误.
探究点3
函数单调性概念的辨析
2.任意性：x1，x2的取值是任意的.
定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，那么f(x)一定是R上 问题5：
的增函数吗？
y
f(2)
提示：不一定，仅由f(2)>f(1)并不能推出 对于任意x1，x2，x1<x2时，f(x1)<f(x2). 结论：特殊代替不了一般.
间D上的图象是上升的或下降的．
探究点3
函数单调性概念的辨析
1.局部性：函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质.
反比例函数在，上均为减函数，能说其在定义域内为减 问题4： 函数吗？
y
提示：不能！因为函数单调性是一个 局部性质.例如取x1=2，x2=1，此时 x1<x2，但是f(x1)<f(x2)，不符合减函数 的定义.
第二章
函数
§3 函数的单调性
高中数学必修1· 精品课件
学习目标
1．理解单调函数的定义，理解增函数、减函数的定义． 2．掌握定义法判断函数单调性的步骤． 3．掌握求函数单调区间的方法(定义法、图象法)
引入课题
生活中我们都有这样的常识：在一碗水中加入一定量的糖，糖 加得越多水就越甜，在这一现象中又蕴含着什么样的数学知识呢？ 这就谈到了本节课的课题：函数的单调性.
[解析]
(1) y(x>0) ；
变式训练
(2)证明：任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝
＝.
∵0<x1<x2， ∴x1－x2<0，且>0，>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． ∴f(x)＝在(0, +∞)上是增函数．
O
x
结论：单调区间通常不能合并，除非确 无错误.
探究点3
函数单调性概念的辨析
2.任意性：x1，x2的取值是任意的.
定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，那么f(x)一定是R上 问题5：
的增函数吗？
y
f(2)
提示：不一定，仅由f(2)>f(1)并不能推出 对于任意x1，x2，x1<x2时，f(x1)<f(x2). 结论：特殊代替不了一般.
间D上的图象是上升的或下降的．
探究点3
函数单调性概念的辨析
1.局部性：函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质.
反比例函数在，上均为减函数，能说其在定义域内为减 问题4： 函数吗？
y
提示：不能！因为函数单调性是一个 局部性质.例如取x1=2，x2=1，此时 x1<x2，但是f(x1)<f(x2)，不符合减函数 的定义.
第二章
函数
§3 函数的单调性
高中数学必修1· 精品课件
学习目标
1．理解单调函数的定义，理解增函数、减函数的定义． 2．掌握定义法判断函数单调性的步骤． 3．掌握求函数单调区间的方法(定义法、图象法)
引入课题
生活中我们都有这样的常识：在一碗水中加入一定量的糖，糖 加得越多水就越甜，在这一现象中又蕴含着什么样的数学知识呢？ 这就谈到了本节课的课题：函数的单调性.
[解析]
(1) y(x>0) ；
变式训练
(2)证明：任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝
＝.
∵0<x1<x2， ∴x1－x2<0，且>0，>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． ∴f(x)＝在(0, +∞)上是增函数．
北师大版高中数学课件必修第1册第二章 §3 第1课时 函数的单调性
特别提醒作差变形的常用技巧:
(1)因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后通常进行因式分解.
(2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因
式分解.
(3)配方.当所得的差式是含有x1,x2的二次三项式时,可以考虑配方,便于判
断符号.
(4)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化.
提示不能.不连续的单调区间必须分开写,中间用“,”或“和”连接,不能用符
1
x
号“∪”连接.如y= 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减.
课堂篇 探究学习
探究一
判断函数的单调性
1.利用图象判断函数的单调性
例1根据函数图象直观判断下列函数的单调性:
(1)y=|x2+2x-3|;(2)y=-x2+2|x|+1.
递增;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔
f(x 1 )-f(x 2 )
x 1 -x 2
x 1 -x 2
>0⇔f(x)在[a,b]上单调
<0⇔f(x)在[a,b]上单调递减.
二、单调性、单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间
I上具有单调性.此时,区间I为函数y=f(x)的单调区间.
由图象可得原函数在区间[-3,-1]和[1,+∞)上单调递增,原函数在区间(-∞,-3]
和[-1,1]上单调递减.
- 2 + 2 + 1, ≥ 0,
(2)y= 2
- -2 + 1, < 0,
-(-1)2 + 2, ≥ 0,
即 y=
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的定义，并解读定义中的关键词，如：区间
内，任意，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)。
类似地分析图象在y轴的左侧部分?
北师大版 高中数 学必修 《函数 的单调 性》P PT （新版）1
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教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 2 小组探究，归纳结论.
教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 2 学情分析：
一次函数、 二次函数、 反比例函数
对函数的增减性 有了初步的感性 认识
用符号语言刻画 图形语言，用定 量分析解释定性 结果
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1 在教材中的地位和作用：来自定量分析性质一次函数、二次 函数、反比例函 数
仿照单调增函数定义，由学生说出单调减函数的定义。
注意强调：函数的单调性是函数在定义域某个区间上 的局部性质，也就是说，一个函数在不同的区间上可 以有不同的单调性。（我将给出函数y==X2，并画出 这个函数的图像，让学生观察函数图像的特点，让他 们描述函数图像的增减性，慢慢得到函数单注调释内性容的二概 念。在这个过程中，学生把对图像的感性认识转化为 了数学关系，这种从特殊到一般的学习过程有利于学 生对概念的理解）
理。
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教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 教学方法
启发引导 互动式探究
教学手段
信息技术辅助教学
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教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明
(1)培养从概念出发，进一步提高研究性质的意识及能力； (2)体会数形结合、分类讨论的数学思想。
内，任意，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)。
类似地分析图象在y轴的左侧部分?
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教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 2 小组探究，归纳结论.
教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 2 学情分析：
一次函数、 二次函数、 反比例函数
对函数的增减性 有了初步的感性 认识
用符号语言刻画 图形语言，用定 量分析解释定性 结果
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1 在教材中的地位和作用：来自定量分析性质一次函数、二次 函数、反比例函 数
仿照单调增函数定义，由学生说出单调减函数的定义。
注意强调：函数的单调性是函数在定义域某个区间上 的局部性质，也就是说，一个函数在不同的区间上可 以有不同的单调性。（我将给出函数y==X2，并画出 这个函数的图像，让学生观察函数图像的特点，让他 们描述函数图像的增减性，慢慢得到函数单注调释内性容的二概 念。在这个过程中，学生把对图像的感性认识转化为 了数学关系，这种从特殊到一般的学习过程有利于学 生对概念的理解）
理。
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启发引导 互动式探究
教学手段
信息技术辅助教学
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教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明
(1)培养从概念出发，进一步提高研究性质的意识及能力； (2)体会数形结合、分类讨论的数学思想。
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例1 利用导数判断下列函数的单调性:
(1) f (x) x3 3x; (2) f (x) sin x x, x(0,);
(3) f (x) x 1 x
解析: (3)
பைடு நூலகம்
因为
f
(x)
x
1
,
x
(-
,0)
(
0,
)
x
所以
f
(x)
1 x2
0
因此, 函数 f (x) x 1 在区间 (- ,0)和 ( 0, ) 上单调递增.
(2) 因为 f (x) sin x x, x(0, ) , 所以
f (x) cos x 1 0.
(3) f (x) x 1 x
因此, 函数 f (x) sin x x 在 x (0, )上单调递减.
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》课 件（完 整版）1
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》课 件（完 整版）1
1.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会 数形结合思想，发展直观想象素养。
2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运 算素养。
问题1:我们已经学习过函数的单调性，你能从数、形、定义等不同的角度描述函
数f(x)在区间 I 上是单调递增的吗？
(1)如果在区间I上，自变量增大函数值也增大，那么f(x)在区间I上是单调递增的。
追问2：在高台跳水运动员问题中，可以用函数导数的正负判断函数的单调性， 那么这种做法是否具有一般性？
y
y
y
y
o
x
yx
函数在R上 f '(x) 1 0
ox
y x2
（-∞，0）
(1) f (x) x3 3x; (2) f (x) sin x x, x(0,);
(3) f (x) x 1 x
解析: (3)
பைடு நூலகம்
因为
f
(x)
x
1
,
x
(-
,0)
(
0,
)
x
所以
f
(x)
1 x2
0
因此, 函数 f (x) x 1 在区间 (- ,0)和 ( 0, ) 上单调递增.
(2) 因为 f (x) sin x x, x(0, ) , 所以
f (x) cos x 1 0.
(3) f (x) x 1 x
因此, 函数 f (x) sin x x 在 x (0, )上单调递减.
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1.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会 数形结合思想，发展直观想象素养。
2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运 算素养。
问题1:我们已经学习过函数的单调性，你能从数、形、定义等不同的角度描述函
数f(x)在区间 I 上是单调递增的吗？
(1)如果在区间I上，自变量增大函数值也增大，那么f(x)在区间I上是单调递增的。
追问2：在高台跳水运动员问题中，可以用函数导数的正负判断函数的单调性， 那么这种做法是否具有一般性？
y
y
y
y
o
x
yx
函数在R上 f '(x) 1 0
ox
y x2
（-∞，0）
高中数学北师大版必修一《函数的单调性》第一课时参考课件
§3
函数的单调性
第1课时
定义1： 在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上, 如果对于任意两数x1 , x2∈A ,当x1＜x2时,都 有f(x1)＜f(x2) , 那么, 就称函数y=f(x)在区间A 上是增加的 , 有时也称函数y=f(x)在区间A上
是递增的.
定义2： 在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上, 如果对于任意两数x1 , x2∈A ,当x1＜x2时,都
有f(x1)＞f(x2) , 那么, 就称函数y=f(x)在区间A
上是减少的 , 有时也称函数y=f(x)在区间A上
是递减的.
定义的另一种叙述:
设函数y=f(x)的定义域为D , A D
,若对任意的x1 , x2∈A 且x1≠x2 , 都有
f ( x2 ) f ( x1 ) 0, x2 x1
ห้องสมุดไป่ตู้
则函数y=f(x)在A上是增
f ( x2 ) f ( x1 ) 0 加的或递增的.反之,若都有 x x 2 1
,则函数y=f(x)在A上是减少的或递减的.
★如果函数y=f(x)在区间A上是增加的
或是减少的, 那么称区间A为单调区间 .
★如果函数y=f(x)在定义域的某个子集
上是增加的或减少的, 那么就称函数y=f(x) 在这个子集上具有单调性 . ★如果函数y=f(x)在整个定义域内是增 加的或是减少的, 我们分别称这个函数为增 函数或减函数, 统称为单调函数 .
例4. 已知函数f(x)对任意的m,n∈R ,都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当x＞0时,f(x)＞1, 求证: f(x)在R上是增函数.
小结: 函数的单调性有关定义
作业: 作业课本39页A组第4、5题
函数的单调性
第1课时
定义1： 在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上, 如果对于任意两数x1 , x2∈A ,当x1＜x2时,都 有f(x1)＜f(x2) , 那么, 就称函数y=f(x)在区间A 上是增加的 , 有时也称函数y=f(x)在区间A上
是递增的.
定义2： 在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上, 如果对于任意两数x1 , x2∈A ,当x1＜x2时,都
有f(x1)＞f(x2) , 那么, 就称函数y=f(x)在区间A
上是减少的 , 有时也称函数y=f(x)在区间A上
是递减的.
定义的另一种叙述:
设函数y=f(x)的定义域为D , A D
,若对任意的x1 , x2∈A 且x1≠x2 , 都有
f ( x2 ) f ( x1 ) 0, x2 x1
ห้องสมุดไป่ตู้
则函数y=f(x)在A上是增
f ( x2 ) f ( x1 ) 0 加的或递增的.反之,若都有 x x 2 1
,则函数y=f(x)在A上是减少的或递减的.
★如果函数y=f(x)在区间A上是增加的
或是减少的, 那么称区间A为单调区间 .
★如果函数y=f(x)在定义域的某个子集
上是增加的或减少的, 那么就称函数y=f(x) 在这个子集上具有单调性 . ★如果函数y=f(x)在整个定义域内是增 加的或是减少的, 我们分别称这个函数为增 函数或减函数, 统称为单调函数 .
例4. 已知函数f(x)对任意的m,n∈R ,都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当x＞0时,f(x)＞1, 求证: f(x)在R上是增函数.
小结: 函数的单调性有关定义
作业: 作业课本39页A组第4、5题
北师大版高中数学必修一课件2.3.1《函数的单调性》
x
图2-16
返回
180 160 140 120 100
80 6429 501
图2-15
503 505 507 509
返回
日期
511 513 515 517 519
1. 自变量取值的任意性. 2. 增函数、减函数、单调函数是 对整个 定义域而言。有的函数不 是单调函数，但在某个区间上可 以有单调性。
问题探究
1.教材P37：例1、2.
2. 证明函数f (x)=－2x+3在R 上是减函数.
k 3. 讨论函数f (x) = ( k≠0 ) x
在(0, ＋∞)上的单调性.
阅读与思考
1、阅读教材 P36---37例1 上方止。 2、思考问题
（1）从P36图2-15 （北京从2003042120030519每日新增非典病例的变化统计 图）看出，形势从何日开始好转？ 图 （2）从P36图2-16你能否说出y随x如何 图 变化？ （3）什么是增函数、减函数、单调函 数、函数的单调性、函数的单调区间？
思考交流
1.教材p39 ：B 1
2.若f(x) = a ┃ x-b ┃ +2在[0， + ∞ ）上为增函数，则a,b的取 值范围是————————。
y
100 80 60 40 20 0
-6 -5 -4
-2.3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-20 -40 -60 -80
方法小结
用定义证明函数的单调性的步骤:
(1). 设x1＜x2, 并是某个区间上任意二值; (2). 作差f(x1)－f(x2) ; (3). 判断f(x1)－f(x2) 的符号:
① 分解因式, 得出因式x1－x2. ② 配成非负实数和.
高中数学北师大版必修一《函数的单调性》课件
间 D 上是递减的.
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9
判断单题 击你认此为处下列编说辑法是母否正版确标，请题说样明理式由（举
• 单击此例处或编者画辑图母）版. 文本样式
– 二级(1) 设函数 y f (x) 的定义域为 [a, )，若对任意x a ，都 • 三有级 [a, ) ，则 f (x) f (a)在区间 y f (x) 上递增.
– 四级 » 五级
（2）函数 f (x) x 1 在区间 (0, +)上有何单调性？
x
5
问题单3 （击1）此如何处用编数学辑符母号描版述标函数题图象样的式“上升”
• 单击此特征处，编即辑“母y随版x文的本增大样而式增大” ？
– 二级例如 函数 f (x) x2 在区间 [0, )上递增的.
• 三级
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
11
单击此处编辑母版标题样式
例题 判断并证明函数 f (x) 0.001x 1 的单调性.
•
单击此处编辑母版文本样式
– 二级练习 证明函数 f (x) x
1 x
(
x
0)
的单调性：
• 三, ) 上递增.
» 五级
单击此处编辑母版标题样式
• 单北击师大此版处高编中数辑学母版文本样式
– 二级
谢谢大家 • 三级 – 四级 » 五级
15
13
课堂单作击业 此处编辑母版标题样式
（1）第38页 习题2-3 A组：3，5
• 单击此（处2）编判辑断母并版证文明本函数样式f (x) x 1 在 (, 0)
– 二级上的单调性.
x
• 单击此处编辑母版文本样式
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
9
判断单题 击你认此为处下列编说辑法是母否正版确标，请题说样明理式由（举
• 单击此例处或编者画辑图母）版. 文本样式
– 二级(1) 设函数 y f (x) 的定义域为 [a, )，若对任意x a ，都 • 三有级 [a, ) ，则 f (x) f (a)在区间 y f (x) 上递增.
– 四级 » 五级
（2）函数 f (x) x 1 在区间 (0, +)上有何单调性？
x
5
问题单3 （击1）此如何处用编数学辑符母号描版述标函数题图象样的式“上升”
• 单击此特征处，编即辑“母y随版x文的本增大样而式增大” ？
– 二级例如 函数 f (x) x2 在区间 [0, )上递增的.
• 三级
– 二级
• 三级
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例题 判断并证明函数 f (x) 0.001x 1 的单调性.
•
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– 二级练习 证明函数 f (x) x
1 x
(
x
0)
的单调性：
• 三, ) 上递增.
» 五级
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– 二级
谢谢大家 • 三级 – 四级 » 五级
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课堂单作击业 此处编辑母版标题样式
（1）第38页 习题2-3 A组：3，5
• 单击此（处2）编判辑断母并版证文明本函数样式f (x) x 1 在 (, 0)
– 二级上的单调性.
x
北师大版高中数学必修《函数的单调性》优质教学ppt1
减 函
图像特征： 增函数
y
数
减函数
y
的
f(x1) f(x2)
概 念 ：
y = f (x)
f(x1)
f(x2)
x a x1 Ox2 b
x
O
a
x1
x2 b
北师大版 高中数 学必修 《函数 的单调 性》优 质教学p pt1
单
若函数y=f(x)在某个区间是增函
调 数或减函数，则就说函数y=f(x)在这
性 一区间具有（严格的）单调性，这
y
y x2
f (x1)
O
x1
x
北师大版 高中数 学必修 《函数 的单调 性》优 质教学p pt1
二、新课讲解： 从函数y=x2的图象（图1）看到：
y
f (x1 )
图象在y轴的右侧部分是
y x2 上升的，也就是说，当x在区 间[0，+∞)上取值时，随着x的 增大,相应的y值也随着增大， 即如果取x1, x2∈[0，+∞)，得 到y1=f(x1), y2=f(x2), 那么当 x1<x2时，有y1<y2 . 这时我们就 说函数y=x2在[0,+ ∞)上是增函 数.
x1 O
你x能仿照这样的描,说述明
函数f x x2在区间,0
北师大版 高中数 学必修 《函数 的单调 性》优 质教学p pt1
上是减函数?吗
北师大版 高中数 学必修 《函数 的单调 性》优 质教学p pt1
如何用x与 f(x)来描述上升的图象？
y
yf(x)
在给定区间上任x取 1, x2,
x1 x2
y
y x2
f (x1)
Ox 1
x
数学：2.3.1《函数的单调性》课件(北师大必修1)
2. 判断函数 f (x) = x2+1在 (0, ＋∞)上是增函数还是减函数?
3. 若函数f (x) 在区间[a, b]及
(b, c]上都单调递减, 则f (x)在区 间[a, c]上的单调性为 ( D )
A. 单调递减; B. 单调递增;
C. 高考资源网 一定不单调; D. 不确定.
4. 函数f (x)= 2x+1, (x≥1)
C.没有一实根; D.必有唯一实根.
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小结
1. 概念 定义法
2. 方法 图象法
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思考交流
1.教材p39 ：B 1 2.若f(x) = a ┃ x-b ┃ +2在[0，
+ ∞ ）上为增函数，则a,b的取 值范围是————————。
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作业
教材P38 2、3、4、5
高考资源网
y
100
80
60
40
20
-2.3
0
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
-20
-40
-60
-80
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图2-16
返回
人
180 160 140 120 100
80 60 40 20
0
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图2-15
421 423 425 427 429 501 503 505 507 509 511 513 515 517 519
5 － x, (x＜1)
则f (x)的递减区间为( B )
A. [1, ＋∞) B. (－∞, 1)
C. (0, ＋∞) D. (－∞, 1]
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5. 若函数f (x) 在区间[a, b]单
3. 若函数f (x) 在区间[a, b]及
(b, c]上都单调递减, 则f (x)在区 间[a, c]上的单调性为 ( D )
A. 单调递减; B. 单调递增;
C. 高考资源网 一定不单调; D. 不确定.
4. 函数f (x)= 2x+1, (x≥1)
C.没有一实根; D.必有唯一实根.
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2. 方法 图象法
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思考交流
1.教材p39 ：B 1 2.若f(x) = a ┃ x-b ┃ +2在[0，
+ ∞ ）上为增函数，则a,b的取 值范围是————————。
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421 423 425 427 429 501 503 505 507 509 511 513 515 517 519
5 － x, (x＜1)
则f (x)的递减区间为( B )
A. [1, ＋∞) B. (－∞, 1)
C. (0, ＋∞) D. (－∞, 1]
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5. 若函数f (x) 在区间[a, b]单
《函数单调性北师大》PPT课件
如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的 或减少,这个函数为增函数或减函数,统称 为单调函数.
精选课件ppt
8
练习:给出下列函数的图象,指出函数的单调区间, 并指明其单调性.
图（1）
图（2）
注意：单调区间不能求并集
精选课件ppt
9
[-6,-5],[-2,1],[3,4.5],[7,8]上是增加的 [-5,-2],[1,3],[4.5,7],[8,9]上是减少的
1.3.1.1函数的单调性
y
0
精选课件ppt
x
1
【教材分析】
函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数 的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理 论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数 大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中 对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利 用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我 们整个高中数学教学。
yB
A
1
0 x1 x2
1
Ay
B
1
x x1 x2 0 1 x
y
B A
1
1 0 x 1 x1 x2
1
精选课件ppt
5
思考交流
对于下图的函数,你能说出它的函数值y随自变 量x值的变化情况吗?
问题2：如何描述函数图像的上升和下降趋势？
图像上升：y随x的增大而增大 图像下降：y随x的增大而减少
精选课件ppt
借助多媒体动态地展示图象的上升与下 降过程，完成从感性认识到理性思维的质 的飞跃．注重学生的参与意识，让学生从 问题中发现、归纳、总结，最终运用概 念．同时，潜移默化地渗透各种数学思想 方法．精选课件ppt Nhomakorabea4
精选课件ppt
8
练习:给出下列函数的图象,指出函数的单调区间, 并指明其单调性.
图（1）
图（2）
注意：单调区间不能求并集
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9
[-6,-5],[-2,1],[3,4.5],[7,8]上是增加的 [-5,-2],[1,3],[4.5,7],[8,9]上是减少的
1.3.1.1函数的单调性
y
0
精选课件ppt
x
1
【教材分析】
函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数 的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理 论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数 大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中 对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利 用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我 们整个高中数学教学。
yB
A
1
0 x1 x2
1
Ay
B
1
x x1 x2 0 1 x
y
B A
1
1 0 x 1 x1 x2
1
精选课件ppt
5
思考交流
对于下图的函数,你能说出它的函数值y随自变 量x值的变化情况吗?
问题2：如何描述函数图像的上升和下降趋势？
图像上升：y随x的增大而增大 图像下降：y随x的增大而减少
精选课件ppt
借助多媒体动态地展示图象的上升与下 降过程，完成从感性认识到理性思维的质 的飞跃．注重学生的参与意识，让学生从 问题中发现、归纳、总结，最终运用概 念．同时，潜移默化地渗透各种数学思想 方法．精选课件ppt Nhomakorabea4
省洛南县永丰中学度(北师大版)函数的单调性示范课件
教学过程
创设情境、兴趣引入
合合作作探探究究、、形形成成概概念念
例题分析、练习巩固
在某一区间内，
函数值y 随x的增大而增大——图像在该区间内逐渐上升； 函数值y 随x的增大而减小——图像在该区间内逐渐下降。
函数的这种性质称为函数的单调性
教学过程
创设情境、兴趣引入
合合作作探探究究、、形形成成概概念念
内为单调递减函数
课后作业
教材39页习题2-3
•
1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。
•
2.它由一系列展示人物性格,反映人物 与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。
•
3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整 体感知 小说的 起点。 命题者 在为小 说命题 时,也必 定以情 节为出 发点,从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。
归纳小结、提升自我
分当析堂归练纳习、、自检主测定反义馈
1.小明从家里出发，去学校取书，顺路将自行车送还王伟同 学．小明骑了30分钟自行车，到王伟家送还自行车后，又步行10 分钟到学校取书，最后乘公交车经过20分钟回到家．小明离开家 的距离与时间的关系如图．指出这个函数的单调区间.．
2.利用定义证明y -x2在0，
x
注意点： x1, x2的特征（1）属于同一区间；（ 2）任意性
教学过程
创设情境、兴趣引入
合作探究、形成概念
例例题题分分析析、、练成习果巩巩固固
例1.根据图像，说出函数的单调区间，以及在每一个区间上函 数式单调增还是单调减？
数学北师大版高中必修1北师大版必修1第二章函数第三节《函数的单调性》课件
调性是怎样的？
可见：一次函数的单调性与其一次项的系
数有关，当ｋ＜０时，在Ｒ上为减函数， 当ｋ＞０时，在Ｒ上为增函数。
1 上是减函数 . 例３.证明函数f ( x) 在0， x y
0 思考:此函数在(-∞,0)的单调性呢?
x
错误分析
注意：通过观察图象，对函数是否具有某种性质 作出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种 猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数 学方法。
感谢聆听！
§ 2.3 函数的单调性
一、复习回顾
1.函数有几个要素?各是什么? 2.函数的定义域怎样确定?怎样表示? 3.函数的表示方法常见的有几种?各有什 么优点?
二、讲授新课
Question: 2 3 对比函数 y x 与 y x 的图像,观察在自变量x
变化时,y有怎样的变化?
若规定,自变量x是从x轴左端向x轴右端变化,即 自变量x逐渐增大时,变量y是如何变化的? 图象演示
三、例题讲解
例1.下图是定义在闭区间[-5，4]上的函数y=f(x)
图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在 每一单调区间上，y=f(x)是增函数还是减函数. y
-5 –4 –3 –2 –1 0
1 2 3 4
x
例２：证明函数
上是增函数。
f ( x ) 3 x 2 在Ｒ
思考：若 f ( x) 3x 2 ，则在Ｒ上的单
x2
x
(2) 下面我们就用数学语言给出函数单调的精确 定义: ⑴对于属于定义域I内某个区间上的任意两 个自变量的值 x1, x ,2 当 x1 x2 时, 都 有 f ( x1 ) f ( x2 ) ,那么就说f(x)在这个区间 上是增函数.
可见：一次函数的单调性与其一次项的系
数有关，当ｋ＜０时，在Ｒ上为减函数， 当ｋ＞０时，在Ｒ上为增函数。
1 上是减函数 . 例３.证明函数f ( x) 在0， x y
0 思考:此函数在(-∞,0)的单调性呢?
x
错误分析
注意：通过观察图象，对函数是否具有某种性质 作出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种 猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数 学方法。
感谢聆听！
§ 2.3 函数的单调性
一、复习回顾
1.函数有几个要素?各是什么? 2.函数的定义域怎样确定?怎样表示? 3.函数的表示方法常见的有几种?各有什 么优点?
二、讲授新课
Question: 2 3 对比函数 y x 与 y x 的图像,观察在自变量x
变化时,y有怎样的变化?
若规定,自变量x是从x轴左端向x轴右端变化,即 自变量x逐渐增大时,变量y是如何变化的? 图象演示
三、例题讲解
例1.下图是定义在闭区间[-5，4]上的函数y=f(x)
图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在 每一单调区间上，y=f(x)是增函数还是减函数. y
-5 –4 –3 –2 –1 0
1 2 3 4
x
例２：证明函数
上是增函数。
f ( x ) 3 x 2 在Ｒ
思考：若 f ( x) 3x 2 ，则在Ｒ上的单
x2
x
(2) 下面我们就用数学语言给出函数单调的精确 定义: ⑴对于属于定义域I内某个区间上的任意两 个自变量的值 x1, x ,2 当 x1 x2 时, 都 有 f ( x1 ) f ( x2 ) ,那么就说f(x)在这个区间 上是增函数.
北师大版高中数学必修《函数的单调性》PPT执教课件1
1.3.1单调性与最大（小）值
——函数的单调性
知识探究（一）
观察下列两个函数，图象变化有什么特征？
（1） f (x) x ； (2) f (x) x2 x 0
y
y
o
x
o
x
f(x)随着x的增大而增大
思考：如何用数学语言来刻画“f(x)随着x的 增大而增大呢？”
若x1 x2
y
则f(x1) f(x2)
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT 执教课 件1
小 北师大版高中数学必修《函数的单调性》PPT执教课件1
结
利用定义确定或证明函数f(x)在给定的 区间D上的单调性的一般步骤：
1.取数:任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2.作差:f(x1)－f(x2)； 3.变形:通常是因式分解、配方、有理化;
考察下列两个函数:
（1） f (x) x ； (2) f(x)x2(x0)
y
y
f ( x1) f (x2) y f (x)
o
x
o
x
思考:这两个函数的图象分别是什么？二者有何 共同特征？
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT 执教课 件1
增函数的定义. y
你能类比增函数的研究方法定义减函数吗？ y
f(x2)
f(x1)
f(x1)
f(x2)
x x O
设函数y=f(x)的1定义域为I：2
x
如果对于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
x x O
x
设函数y=f(x)的1定义域为I： 2
如果对于定义域I内某个区间D上
——函数的单调性
知识探究（一）
观察下列两个函数，图象变化有什么特征？
（1） f (x) x ； (2) f (x) x2 x 0
y
y
o
x
o
x
f(x)随着x的增大而增大
思考：如何用数学语言来刻画“f(x)随着x的 增大而增大呢？”
若x1 x2
y
则f(x1) f(x2)
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT 执教课 件1
小 北师大版高中数学必修《函数的单调性》PPT执教课件1
结
利用定义确定或证明函数f(x)在给定的 区间D上的单调性的一般步骤：
1.取数:任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2.作差:f(x1)－f(x2)； 3.变形:通常是因式分解、配方、有理化;
考察下列两个函数:
（1） f (x) x ； (2) f(x)x2(x0)
y
y
f ( x1) f (x2) y f (x)
o
x
o
x
思考:这两个函数的图象分别是什么？二者有何 共同特征？
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT 执教课 件1
增函数的定义. y
你能类比增函数的研究方法定义减函数吗？ y
f(x2)
f(x1)
f(x1)
f(x2)
x x O
设函数y=f(x)的1定义域为I：2
x
如果对于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
x x O
x
设函数y=f(x)的1定义域为I： 2
如果对于定义域I内某个区间D上
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陕西省洛 南县永 丰中学 学年度 北师大 版函数 的单调 性教学 课件
教学过程
创设情境、兴趣引入
合合作作探探究究、、形形成成概概念念
例题分析、练习巩固
活动一：分别作出函数 y x 1, y 1 , y x2
x
的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律？
y y=x+1
y
y1 x
ox 图1
o
例例题题分分析析、、练成习果巩巩固固
例1.根据图像，说出函数的单调区间，以及在每一个区间上函 数式单调增还是单调减？
y
-5 -3 o 1 2 5
x
教学过程
例例题题分分析析、、练练习习巩巩固固
归纳小结、提升自我
当堂练习、检测反馈
例2.证明函数 f (x) 7x2 在0,上是增函数
证明：在区间0,上任取两个值 x1, x2满足 x1 x2
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O
x
思考 : 观察图象， 这个图象有 什么特征?
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创设情境、兴趣引入
合合作作探探究究、、形形成成概概念念
例题分析、练习巩固
பைடு நூலகம்
在某一区间内，
函数值y 随x的增大而增大——图像在该区间内逐渐上升； 函数值y 随x的增大而减小——图像在该区间内逐渐下降。
(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性． (2) 证明方法和步骤：设元、作差变形、判断符号、定论． (3) 数学思想方法：数形结合．
②因为函数
f (x)
1 x
在区间
(,0)和(0,)
上都是减函数，所以 f (x) 1 在 (,0) (0,) 上是减函数.
x
注意点： x1, x2的特征（1）属于同一区间；（ 2）任意性
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合作探究、形成概念
陕西省洛 南县永 丰中学 学年度 北师大 版函数 的单调 性教学 课件
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教学过程
创设情境、兴趣引入
合合作作探探究究、、形形成成概概念念
例题分析、练习巩固
巩固概念
判断题：
①若函数 f (x)满足f (2) f (3),则函数f (x)在区间[2，3]上为增函数
例题分析、练习巩固
●如果 y f (x)在区间A上是增加的或是减少的，那么 称A为单调区间； ●如果函数y f (x) 在定义域的某个子集上是增加的 或是减少的，那么称函数 y f (x)在这个子集上具有 单调性； ●如果函数 y f (x)在整个定义域内是增加的或是减 少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数统称 为单调函数
如果函数y f (x)在数集A上满足：对于 任意x1, x2 A,当x1 x2时，f (x1) f (x2 ), 则称y f (x)在区间A上是增加的，有时 也称函数y f (x)在区间A上是递增的.
增函数：荣辱与共、步调一致 x1<x2
f(x1)<f(x2)
陕西省洛 南县永 丰中学 学年度 北师大 版函数 的单调 性教学 课件
x
图2
陕西省洛 南县永 丰中学 学年度 北师大 版函数 的单调 性教学 课件
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教学过程
创设情境、兴趣引入
图象在y轴的 左侧从左向
右是下降的。
合合作作探探究究、、形形成成概概念念
例题分析、练习巩固
y
y x2
图象在y轴的 右侧从左向 右是上升的。
时也称函数y f (x)在区间A上是
递减的.
减函数：此消彼长、步调相反 x1<x2
f(x1)>f(x2)
陕西省洛 南县永 丰中学 学年度 北师大 版函数 的单调 性教学 课件
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教学过程
创设情境、兴趣引入
合合作作探探究究、、形形成成概概念念
陕西省洛 南县永 丰中学 学年度 北师大 版函数 的单调 性教学 课件
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创设情境、兴趣引入
合合作作探探究究、、形形成成概概念念
例题分析、练习巩固
在函数y f (x)的定义域内的一个区
间A上，如果对于任意x1, x2 A,当 x1 x2时，都有f (x1) f (x2 ),则称 y f (x)在区间A上是减少的，有
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主要步骤 1. 设元，任取x1，x2∈I，且x1<x2； 2. 作差f(x1)－f(x2)； 3. 变形（通常是因式分解和配方）； 4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5. 下结论
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例题分析、练习巩固
归归纳纳小小结结、、提提升升自自我我
当堂练习、检测反馈
本节课你学到了那些知识点，用到了那些数学思想？
f (x1) f x2 7x12 7x22 7(x1 x2 )( x1 x2 )
x1, x2 0,,且x1 x2
x1 x2 0, x1 x2 0,（7 x1 x2）（x1 - x2） 0
f (x1) f (x2 ) 0, f (x1) f (x2 )
f (x) 7x2在0,上是增函数。
例题分析、练习巩固
2、艾宾浩斯遗忘曲线
你从左图中发现了 什么规律呢？
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动创脑设思情考境、探兴索趣新引知入
合作探究、探索新知
例题分析、练习巩固
下图为股市中，某股票在半天内的行情，请描述此股票的涨幅情况.
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函数的这种性质称为函数的单调性
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例题分析、练习巩固
问题2：如何从解析式的角度，用准确的数学符号语言说明 “ y随x的增大而增大”，“ y随x的增大而减小”的含义？
课 程 数学
§3 函数的单调性 第一课时
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例题分析、练习巩固
姚明职业生涯技术统计
赛季 2002 2003 2004 2005 2006
场均 13.5 17.5 18.3 22.3 25 得分
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