高中数学第二章函数3函数的单调性一学案北师大版必修
2021-2022学年北师大版必修1 第二章 3 函数的单调性 教案(2)
函数的单调性教材分析：学习函数单调性之前学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节内容是高中数学中相当重要的一个根底知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的根底。
掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论根底，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。
教学目标知识与技能1．通过生活中的例子帮助学生理解增函数、减函数及其几何意义2．学会应用函数的图象理解和研究函数的单调性及其几何意义。
过程与方法：1．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的教育。
2．通过探究与活动，使学生明白考虑问题要细致，说理要明确。
情感与态度：1．通过本节课的教学，使学生能理性的描述生活中的増长、递减的现象。
2．通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力和数形语言转化的能力。
重点难点重点：函数单调性概念的理解及应用。
难点：函数单调性的判定及证明。
关键：增函数与减函数的概念的理解教法分析为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了：1．通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。
2．在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念。
3．在鼓励学生主体参与的同时，不可无视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。
学法分析在教学过程中，教师设置问题情景让学生想方法解决；通过教师的启发点拨，学生的不断探索最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。
然后通过对函数单调性的概念的学习理解，最终把问题解决。
整个过程学生主动参与、积极思考、探素尝试的动态活动之中；同时让学生体验到了学习数学的快乐，培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。
教学过程：一．创设情境，引入课题观察动态过山车的行走轨迹，它的轨迹与我们所学过的那个函数的图象一样，并说说反映了相应函数的哪些变化规律：这就是我们本节课要学习的函数的单调性设计意图：通过生活中同学们感兴趣的坐过山车的例子，引入本节课的内容，激发同学们的学习兴趣，将数学与生活建立起联系，让同学们知道数学来源于生活。
高中数学北师大必修1学案：第二章 3 函数的单调性 (1)
§3函数的单调性第一课时函数的单调性预习课本P36～37，思考并完成以下问题1．函数y＝f(x)在区间A上是增加的(减少的)是如何定义的？2．函数的单调区间是如何定义的？3．函数的单调性是如何定义的？4．单调函数的定义是什么？[新知初探]1．函数在区间上增加(减少)的定义对于函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A，(1)如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的．(2)如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的．[点睛](1)讨论函数的单调性时，必须指出在哪个区间内讨论，离开区间讨论单调性是无意义的．(2)注意“任意”的含义，且指定区间必须是连续的．2．单调区间与单调性(1)单调区间如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．(2)单调性如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．(3)单调函数如果函数y ＝f (x )在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．[点睛](1)函数的单调性是相对于函数定义域内的某个区间A 而言的，在该区间内自变量x 的取值必须是连续的．(2)有些函数在定义域内的几个区间上都是单调的，但不能说在定义域上是单调函数，如y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减少的，但它在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是减少的．[小试身手]1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)函数y ＝kx (k 为常数，且k ＜0)在R 上是增函数．( ) (2)函数y ＝x 2在R 上是增函数．( ) (3)函数y ＝1x 在定义域内是减函数．( ) (4)函数y ＝1x 在区间(0，＋∞)上是减函数．( )★答案☆：(1)× (2)× (3)× (4)√2．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝|x －1|D ．f (x )＝x ＋1★答案☆：A3．函数y ＝－x 2的单调递增区间为( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－∞，＋∞) ★答案☆：A4．设函数f (x )＝(1－2a )x ＋b 是R 上的增函数，则有( ) A ．a ＜12B ．a ＞12C ．a ＜－12D ．a ＞－12★答案☆：A用定义判断或证明函数的单调性[典例] 证明函数y ＝x ＋9x 在(0,3]上为减函数． [证明] 设0＜x 1＜x 2≤3，则有 y 1－y 2＝⎝⎛⎭⎫x 1＋9x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋9x 2＝(x 1－x 2)－9(x 1－x 2)x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－9x 1x 2. ∵0＜x 1＜x 2≤3，∴x 1－x 2＜0，9x 1x 2＞1，即1－9x 1x 2＜0，∴y 1－y 2＞0，即y 1＞y 2.∴函数y ＝x ＋9x 在(0,3]上是减函数．定义法判断或证明函数单调性的一个步骤函数单调性的判断或证明是最基本的题型，最基本的方法是定义法，整个过程可分为五个步骤：第一步：取值．即设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1＜x 2. 第二步：作差．准确作出差值f (x 1)－f (x 2)[或f (x 2)－f (x 1)]．第三步：变形．通过因式分解、配方、分子(分母)有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形，一般变形为积的形式．第四步：确定f (x 1)－f (x 2)[或f (x 2)－f (x 1)]的符号．当符号不能直接确定时，可通过分类讨论、等价转化，然后作差，作商等思路进行．第五步：判断．根据定义作出结论．以上五个步骤可以简记为“取值——作差——变形——定号——判断”． [活学活用]判断并证明函数f (x )＝－x 2＋2x 在R 上的单调性．解：利用图像可判定f (x )在(－∞，1]是增函数，在(1，＋∞)是减函数，下面用定义加以证明．设x 1，x 2∈(－∞，1)，且x 1＜x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝(－x 21＋2x 1)－(－x 22＋2x 2)，＝2(x 1－x 2)－(x 1＋x 2)(x 1－x 2)，＝(x 1－x 2)[2－(x 1＋x 2)]．∵x 1＜x 2＜1.∴x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＜2，∴2－(x 1＋x 2)＞0，∴(x 1－x 2)[2－(x 1＋x 2)]＜0，即f (x 1)－f (x 2)＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )＝－x 2＋2x 在(－∞，1]是增函数．同理可证，f (x )＝－x 2＋2x 在(1，＋∞)是减函数.利用图像求函数的单调区间[典例] 画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图像并写出函数的单调区间．[解] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.函数图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．利用函数图像确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间．注意：当单调性相同的区间多于一个时，用“，”将它们隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接．[活学活用]作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x ＞1的图像，并指出函数的单调区间．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x ＞1的图像如图所示．由图像可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]，单调增区间为[2，＋∞).函数单调性的简单应用1．函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2，(1)若函数f (x )的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a 的值(或范围)是________． (2)若函数f (x )在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 的值(或范围)是________． 解析：(1)因为函数f (x )的单调递减区间是(－∞，4]，且函数f (x )图像的对称轴为直线x ＝1－a ，所以有1－a ＝4，即a ＝－3.(2)因为函数f (x )在区间(－∞，4]上单调递减， 且函数f (x )图像的对称轴为直线x ＝1－a ， 所以1－a ≥4，即a ≤－3.★答案☆：(1)－3 (2)(－∞，－3] 题点二：利用函数的单调性比较大小2．若函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )A ．f (a )＞f (2a )B ．f (a 2)＜f (a )C ．f (a 2＋a )＜f (a )D ．f (a 2＋1)＜f (a 2)解析：选D 因为f (x )是区间(－∞，＋∞)上的减函数，且a 2＋1＞a 2，所以f (a 2＋1)＜f (a 2)．故选D.题点三：利用函数的单调性求解不等式3．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)＜f (1－x )，求x 的取值范围． 解：∵f (x )在[－1,1]上为增函数，且f (x －2)＜f (1－x )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2＜1－x ，解得1≤x ＜32.∴x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，32.(1)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(2)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．层级一 学业水平达标1.如图是函数y ＝f (x )的图像，则此函数的单调递减区间的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由图像，可知函数y ＝f (x )的单调递减区间有2个．故选B. 2．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝－3x ＋1C ．f (x )＝x 2＋4x ＋3D ．f (x )＝x ＋1x解析：选Cf (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔f (x )在(0，＋∞)上为增函数，而f (x )＝2x 及f (x )＝－3x ＋1在(0，＋∞)上均为减函数，故排除A 、B.f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上递减，在[1，＋∞)上递增，故排除D.3．函数y ＝x 2－3x ＋2的单调减区间是( )A ．[0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．[1,2]D.⎝⎛⎦⎤－∞，32 解析：选D 由二次函数y ＝x 2－3x ＋2图像的对称轴为x ＝32且开口向上，所以该函数的单调减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，32，故选D. 4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，x －1，x ＜0在R 上是( )A ．减函数B ．增函数C ．先减后增D ．无单调性解析：选B 画出该分段函数的图像，由图像可知，该函数在R 上是增函数． 5．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝3xC ．y ＝x 2－4x ＋5D ．y ＝3x 2＋8x －10解析：选D 显然A 、B 在(0,2)上为减函数，排除； 对C ，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合条件； 对D ，函数在⎝⎛⎭⎫－43，＋∞上为增函数， 所以在(0,2)上也为增函数．故选D.6.函数y ＝f (x )的图像如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________．★答案☆：(－∞，1]和(1，＋∞)7．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时是增函数，则m 的取值范围是________．解析：由题意知m4≤－2，解得m ≤－8.★答案☆：(－∞，－8]8．已知f (x )是定义在R 上的增函数，且f (x －3)＜f (2－x )，则x 的取值范围为________． 解析：∵f (x )是定义在R 上的增函数， 又∵f (x －3)＜f (2－x )， ∴x －3＜2－x ，∴x ＜52，即x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，52. ★答案☆：⎝⎛⎭⎫－∞，529．证明函数f (x )＝x 2－4x －1在[2，＋∞)上是增函数． 证明：设x 1，x 2是区间[2，＋∞)上的任意两个实数， 且x 2＞x 1≥2， 则f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1－1)－(x 22－4x 2－1) ＝x 21－x 22－4x 1＋4x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－4(x 1－x 2) ＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)．∵x 2＞x 1≥2，∴x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＞4， 即x 1＋x 2－4＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )＝x 2－4x －1在[2，＋∞)上是增函数．10．已知函数y ＝f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，对于任意的x ＞0，y ＞0，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )，且满足f (2)＝1.(1)求f (1)，f (4)的值；(2)求满足f (x )－f (x －3)＞1的x 的取值范围．解：(1)令x ＝y ＝1，则f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.f (4)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2)，而f (2)＝1.∴f (4)＝2×1＝2.(2)由f (x )－f (x －3)＞1，得f (x )＞f (x －3)＋1，而f (x －3)＋1＝f (x －3)＋f (2)＝f (2(x －3))，∴f (x )＞f (2(x －3))．∵函数y ＝f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －3＞0，x ＞2(x －3)，解得3＜x ＜6.∴x 的取值范围是(3,6)．层级二 应试能力达标1．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1＜x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＞f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定解析：选D 根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x 1，x 2不在同一单调区间内，故f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定，选D.2．若函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( ) A ．f (a )＞f (2a )B ．f (a 2)＜f (a )C ．f (a 2－1)＜f (a )D ．f (a 2＋1)＜f (a )解析：选D ∵a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34＞0，∴a 2＋1＞a .∴f (a 2＋1)＜f (a )．而A 、B 、C 中的大小关系均无法判断．故选D.3．函数f (x )的单调增区间是(－2,3)，则y ＝f (x ＋5)的单调增区间是( ) A ．(3,8) B ．(－7，－2) C ．(－2,3)D ．(0,5)解析：选B ∵函数f (x )的单调增区间是(－2,3)，∴y ＝f (x ＋5)的单调增区间满足－2＜x ＋5＜3，解得x ∈(－7，－2)，此即为函数y ＝f (x ＋5)的单调增区间，故选B.4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∩(0,1)C ．(0,1)D ．(0,1]解析：选D 因为g (x )＝ax 在区间[1,2]上是减函数，所以a ＞0.因为函数f (x )＝－x 2＋2ax 的图像开口向下，对称轴为直线x ＝a ，且函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，所以a ≤1.故满足题意的a 的取值范围是(0,1]．5．已知y ＝f (x )在[0，＋∞)上是减函数，则f ⎝⎛⎭⎫34与f (a 2－a ＋1)的大小关系为________________．解析：∵a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≥34， ∴由函数的单调性知f (a 2－a ＋1)≤f ⎝⎛⎭⎫34. ★答案☆：f (a 2－a ＋1)≤f ⎝⎛⎭⎫34 6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2b －1)x ＋b －1，x ＞0，－x 2＋(2－b )x ，x ≤0在R 上为增函数，则实数b 的取值范围为________．解析：要使此分段函数为R 上的增函数，必须使函数g (x )＝(2b －1)x ＋b －1在(0，＋∞)上是增函数；函数h (x )＝－x 2＋(2－b )x 在(－∞，0]上是增函数，且满足h (0)≤g (0)，根据一次函数和二次函数的单调性可得⎩⎪⎨⎪⎧2b －1＞0，－2－b2×(－1)≥0，0≤b －1，解得1≤b ≤2.即实数b 的取值范围是[1,2]． ★答案☆：[1,2]7．用定义判断函数f (x )＝ax ＋1x ＋2⎝⎛⎭⎫a ≠12在(－2，＋∞)上的单调性． 解：设－2＜x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1) ＝ax 2＋1x 2＋2－ax 1＋1x 1＋2＝(ax 2＋1)(x 1＋2)－(ax 1＋1)(x 2＋2)(x 2＋2)(x 1＋2)＝(x 2－x 1)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2)， ∵－2＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，x 1＋2＞0，x 2＋2＞0， 故当a ＜12时，f (x 2)－f (x 1)＜0，∴f (x )在(－2，＋∞)是减函数． 当a ＞12时，f (x 2)－f (x 1)＞0，∴f (x )在(－2，＋∞)是增函数．综上得，a ＜12时，f (x )在(－2，＋∞)是减函数；a ＞12时，f (x )在(－2，＋∞)是增函数．8．已知f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (x )＞0，f (3)＝1.判断g (x )＝f (x )＋1f (x )在(0,3]上是增函数还是减函数，并加以证明．解：函数在(0,3]上是减函数，证明如下： 任取x 1，x 2∈(0,3]，且x 1＜x 2，则 g (x 1)－g (x 2)＝⎣⎡⎦⎤f (x 1)＋1f (x 1)－⎣⎡⎦⎤f (x 2)＋1f (x 2)＝[f (x 1)－f (x 2)]⎣⎡⎦⎤1－1f (x 1)f (x 2).∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴f (x 1)－f (x 2)＜0. 又∵f (x )＞0，f (3)＝1，∴0＜f (x 1)＜f (x 2)≤f (3)＝1. ∴0＜f (x 1)f (x 2)＜1. ∴1f (x 1)f (x 2)＞1,1－1f (x 1)f (x 2)＜0.∴g (x 1)－g (x 2)＞0，于是函数g (x )＝f (x )＋1f (x )在(0,3]上是减函数．第二课时函数的最大值、最小值预习课本P38～39，思考并完成以下问题1．函数最大值的定义是什么？2．什么是函数的最小值？[新知初探]1．函数的最大值一般地，对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x0)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作y max＝f(x0)．2．函数的最小值一般地，对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x0)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作y min＝f(x0)．[点睛](1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整个定义域，这不同于单调性．(2)函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在．[小试身手]1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)若对任意x∈D，都有f(x)≤M，则M一定是y＝f(x)的最大值．()(2)如果函数y＝f(x)在定义域内存在x1和x2，使定义域内的任意x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则f(x1)是函数的最小值，f(x2)是函数的最大值．()(3)函数的最小值一定比最大值小．()★答案☆：(1)×(2)√(3)√2．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＞4，则f(x)的最小值是()A．4B．f(4)C．4.001 D．不能确定★答案☆：D3．函数f (x )的图像如图，则其最大值、最小值分别为( )A ．f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫－32B ．f (0)，Fn ⎝⎛⎭⎫32C ．f ⎝⎛⎭⎫－32，f (0) D ．f (0)，f (3) ★答案☆：B4．y ＝1x 在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是( ) A ．1，12B.12，1C.12，14D.14，12★答案☆：C5．函数y ＝2x 2＋1，x ∈N *的最小值为________． ★答案☆：3利用图像求函数的最值[典例] 求函数y ＝|x ＋1|－|x －2|的最大值和最小值．[解] y ＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1＜x ＜2，3，x ≥2.作出函数的图像，由图可知，y ∈[－3,3]．所以函数的最大值为3，最小值为－3. [类题通法]用图像法求最值的一般步骤[活学活用]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x，x ＞1.求f (x )的最大值、最小值．解：作出函数f (x )的图像(如图)， 由图像可知，当x ＝±1时， f (x )取最大值为f (±1)＝1.当x ＝0时，f (x )取最小值f (0)＝0，故f (x )的最大值为1，最小值为0.利用单调性求函数的最值[典例] 已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3,5]，(1)判断函数f (x )的单调性并证明． (2)求函数f (x )的最大值和最小值．[解] (1)f (x )在[3,5]上为增函数，证明如下：任取x 1，x 2∈[3,5]且x 1＜x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－x 2－1x 2＋2＝(x 1－1)(x 2＋2)－(x 2－1)(x 1＋2)(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2x 1－x 2－2－x 1x 2－2x 2＋x 1＋2(x 1＋2)(x 2＋2)＝3(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2)，∵x 1，x 2∈[3,5]且x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1＋2＞0，x 2＋2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴函数f (x )＝x －1x ＋2在[3,5]上为增函数．(2)由(1)知，当x ＝3时，函数f (x )取得最小值为f (3)＝25，当x ＝5时，函数f (x )取得最大值为f (5)＝47.(1)如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b ]上是增函数，在区间[b ，c )上是减函数，则函数y ＝f (x )，x ∈(a ，c )在x ＝b 处有最大值f (b )．(2)如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b ]上是减函数，在区间[b ，c )上是增函数，则函数y ＝f (x )，x ∈(a ，c )在x ＝b 处有最小值f (b )．(3)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，则在区间[a ，b ]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值．[活学活用]求函数f (x )＝x x －1在区间[2,5]上的最值．解：任取2≤x 1＜x 2≤5，则f (x 2)－f (x 1) ＝x 2x 2－1－x 1x 1－1＝x 1－x 2(x 2－1)(x 1－1)， ∵2≤x 1＜x 2≤5，∴x 1－x 2＜0，x 2－1＞0，x 1－1＞0， ∴f (x 2)－f (x 1)＜0，即f (x 2)＜f (x 1)．∴f (x )＝xx －1在区间[2,5]上是减函数．∴f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2， f (x )min ＝f (5)＝55－1＝54. 函数最值的实际应用[典例] 价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：x 45 50 y2712(1)确定x 与y )．(2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？[解] (1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b ，由表格得方程组⎩⎪⎨⎪⎧45a ＋b ＝27，50a ＋b ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝162，所以y ＝f (x )＝－3x ＋162. 又y ≥0，所以30≤x ≤54，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋162，x ∈[30,54]． (2)由题意得，P ＝(x －30)y ＝(x －30)(162－3x ) ＝－3x 2＋252x －4 860＝－3(x －42)2＋432，x ∈[30,54]．当x ＝42时，最大的日销售利润P ＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．解实际应用题的四个步骤(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系； (2)建模：建立数学模型，列出函数关系式；(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围)； (4)回归：数学问题回归实际问题，写出★答案☆． [活学活用]某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为________元/瓶．解析：设销售价每瓶定为x 元，利润为y 元，则y ＝(x －3)⎝⎛⎭⎫400＋4－x0.5×40＝80(x －3)(9－x )＝－80(x －6)2＋720(x ≥3)，所以x ＝6时，y 取得最大值．★答案☆：6层级一 学业水平达标1．函数f (x )＝1x 在[1,5)上( )A ．有最大值，无最小值B ．有最小值，无最大值C ．有最大值，也有最小值D ．无最大值，也无最小值解析：选A 函数f (x )＝1x 在[1,5)上是减函数，∴函数f (x )＝1x 有最大值，无最小值． 2．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( ) A ．y ＝1x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x解析：选A 由函数性质知，B 、C 中的函数在[1,4]上均为增函数，A 、D 中的函数在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]，x ＋7，x ∈[－1，1，)则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对解析：选A 当1≤x ≤2时，8≤2x ＋6≤10， 当－1≤x ＜1时，6≤x ＋7＜8.∴f (x )min ＝f (－1)＝6，f (x )max ＝f (2)＝10.4．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2D ．0解析：选C 当a ＞0时，y ＝ax ＋1在[1,2]上为增函数，∴(2a ＋1)－(a ＋1)＝a ＝2；当a ＜0时，y ＝ax ＋1在[1,2]上为减函数，∴(a ＋1)－(2a ＋1)＝－a ＝2，即a ＝－2.故a ＝2或－2.5．函数f (x )＝－x 2＋6x ＋8在[－2,1]上的最大值是( ) A ．－8 B ．13 C ．17D ．8解析：选B f (x )＝－x 2＋6x ＋8＝－(x －3)2＋17， ∴函数f (x )在[－2,1]上是增函数， ∴f (x )的最大值为f (1)＝13.6．函数y ＝f (x )的定义域为[－4,6]，且在区间(－4，－2]上递减，在区间(－2,6]上递增，且f (－4)＜f (6)，则函数f (x )的最小值为________，最大值为________．解析：画出f (x )的一个大致图像，由图像可知最大值为f (6)，最小值为f (－2)．(或根据单调性和最大(小)值的定义求解)．★答案☆：f (－2) f (6) 7．函数y ＝1x －2，x ∈[3,4]的最大值为________． 解析：函数y ＝1x －2在[3,4]上是单调减函数，故y 的最大值为13－2＝1. ★答案☆：18．函数f (x )＝x 2＋bx ＋1的最小值是0，则实数b ＝_____________________________. 解析：函数f (x )为二次函数，其图像开口向上，∴最小值为4－b 24×1＝0.∴b ＝±2.★答案☆：±29．已知函数f (x )＝|x |(x ＋1)，试画出函数f (x )的图像，并根据图像解决下列两个问题． (1)写出函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－1，12的最大值．解：f (x )＝|x |(x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ，x ≤0，x 2＋x ，x ＞0的图像如图所示．(1)f (x )的单调增区间是⎝⎛⎦⎤－∞，－12和[0，＋∞)，单调减区间是⎣⎡⎦⎤－12，0. (2)∵f ⎝⎛⎭⎫－12＝14，f ⎝⎛⎭⎫12＝34， ∴f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－1，12的最大值为34. 10．已知函数f (x )＝2xx ＋1，x ∈[－3，－2]，求函数的最大值和最小值． 解：设－3≤x 1＜x 2≤－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1x 1＋1－2x 2x 2＋1＝2x 1(x 2＋1)－2x 2(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝2(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1).由于－3≤x 1＜x 2≤－2，所以x 1－x 2＜0，x 1＋1＜0，x 2＋1＜0. 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．所以函数f (x )＝2x x ＋1，x ∈[－3，－2]是增函数．又因为f (－2)＝4，f (－3)＝3， 所以函数的最大值是4，最小值是3.层级二 应试能力达标1．已知函数y ＝kx 在[2,4]上的最大值为1，则k 的值为( ) A ．2B ．－4C ．2或－4D ．4解析：选A 当k ＞0时，函数y ＝kx在[2,4]上为减函数，∴k 2＝1，即k ＝2.当k ＜0时，函数y ＝k x 在[2,4]上为增函数，∴k 4＝1，即k ＝4.又∵k ＜0，∴k 无解．综上可知k ＝2.2．当0≤x ≤2时，a ＜－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)解析：选C 令f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x 2－2x ＋1)＋1＝－(x －1)2＋1(0≤x ≤2)，函数图像如图所示：∴f (x )最小值为f (0)＝f (2)＝0. 而a ＜－x 2＋2x 恒成立，∴a ＜0.3．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x (其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元解析：选C 设公司在甲地销售x 台，则在乙地销售(15－x )台，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎫x －1922＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．4．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )的最小值为－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C 因为f (x )＝－(x －2)2＋4＋a ，由x ∈[0,1]可知当x ＝0时，f (x )取得最小值，即－4＋4＋a ＝－2，所以a ＝－2，所以f (x )＝－(x －2)2＋2，当x ＝1时，f (x )取得最大值为－1＋2＝1.故选C.5．函数y ＝|3x ＋1|在[－2,2]上的最大值为________．解析：y ＝|3x ＋1|＝⎩⎨⎧－3x －1，－2≤x ≤－13，3x ＋1，－13＜x ≤2.当－2≤x ≤－13时，0≤－3x －1≤5；当－13＜x ≤2时，0＜3x ＋1≤7.∴0≤y ≤7，故其最大值为7. ★答案☆：76．函数f (x )＝x ＋1－1－x 的最大值为________．解析：函数的自变量x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，1－x ≥0，解得－1≤x ≤1.因为y ＝x ＋1在区间[－1,1]上为增函数，y ＝1－x 在区间[－1,1]上为减函数，所以根据函数单调性的判断规律可得：f (x )＝x ＋1－1－x 在区间[－1,1]上为增函数，故f (x )max ＝f (1)＝ 2. ★答案☆： 27．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋5a ，x ≥2ax ＋5，x ＜2(a 为常数)．(1)对任意x 1，x 2∈R ，当x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，求实数a 的取值范围；(2)在(1)的条件下，求g (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[1,3]上的最小值h (a )． 解：(1)由题意，函数在定义域上为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a2≤2，a ＞0，22－2a ＋5a ≥2a ＋5，所以1≤a ≤4.故实数a 的取值范围为[1,4]．(2)g (x )＝x 2－4ax ＋3＝(x －2a )2＋3－4a 2， 对称轴为x ＝2a ，由(1)得2≤2a ≤8.①当2≤2a ≤3，即1≤a ≤32时，h (a )＝g (2a )＝3－4a 2；②当3＜2a ≤8，即32＜a ≤4时，h (a )＝g (3)＝12－12a .综上，h (a )＝⎩⎨⎧3－4a 2，1≤a ≤32，12－12a ，32＜a ≤4.8．某市一家报刊摊点，从该市报社买进该市的晚报价格是每份0.40元，卖出价格是每份0.60元，卖不掉的报纸以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(按30天计算)里，有18天每天可卖出400份，其余12天每天只能卖出180份．摊主每天从报社买进多少份，才能使每月获得最大的利润(设摊主每天从报社买进的份数是相同的)?解：设每天从报社买进x 份报纸，每月获利为y 元，则：y ＝0.20(18x ＋12×180)－0.35×12(x －180)＝－0.6x ＋1 188,180≤x ≤400，x ∈N. 函数y ＝－0.6x ＋1 188在区间[180,400]上是减函数，所以当x ＝180时函数取最大值，最大值为y ＝－0.6×180＋1 188＝1 080.即摊主每天从报社买进180份时，每月获得的利润最大，最大利润为1 080元．。
高中数学《函数的单调性》学案1北师大版必修1
§单一性与最大（小）值（1）学习目标1.经过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单一性及其几何意义；2.能够娴熟应用定义判断数在某区间上的单一性；3.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.学习过程一、课前准备（预习教材P27~ P 29，找出迷惑之处）前言：函数是描绘事物运动变化规律的数学模型，那么可否发现变化中保持不变的特点呢？复习 1：察看以下各个函数的图象.商讨以下变化规律：①随 x 的增大， y 的值有什么变化？② 可否看出函数的最大、最小值？③ 函数图象能否拥有某种对称性？复习 2：画出函数 f ( x) x 2 、 f ( x)x2的图象 .小结：描点法的步骤为：列表→描点→连线.二、新课导学※ 学习研究研究任务：单一性有关观点2思虑：依据 f ( x) x 2 、 f (x) x (x 0) 的图象进行议论：随x的增大，函数值如何变化？问题：一次函数、二次函数和反比率函数，在什么区间函数有如何的增大或减小的性质？新知：设函数 y=f ( x)的定义域为I ，假如对于定义域x1，x2，当 x1<x2时，都有 f ( x1)< f ( x2)，那么就说function ）.I 内的某个区间D内的随意两个自变量f ( x)在区间 D 上是增函数（increasing试一试：模仿增函数的定义说出减函数的定义.新知：假如函数 f ( x)在某个区间 D上是增函数或减函数，就说 f ( x)在这一区间上拥有（严格的）单一性，区间 D叫 f ( x)的单一区间.反省：① 图象如何表示单一增、单一减？② 全部函数能否是都拥有单一性？单一性与单一区间有什么关系？③函数 f ( x) x2的单一递加区间是，单一递减区间是.试一试：如图，定义在 [-5,5] 上的f ( x) ，依据图象说出单一区间及单一性.※ 典型例题例 1 依据以下函数的图象，指出它们的单一区间及单一性，并运用定义进行证明.（1） f ( x) 3x 2 ；1 （ 2） f (x).x变式：指出 y kx b 、 y k ( k 0) 的单一性 .x 例 2 物理学中的玻意耳定律p k（ k 为正常数），告诉我们对于必定量的气体，当其体积VV增大时，压强p 如何变化？试用单一性定义证明.小结：① 比较函数值的大小问题，运用比较法而变为鉴别代数式的符号；② 证明函数单一性的步骤：第一步：设x 1、 x 2∈给定区间，且x 1<x 2；第二步：计算 f ( x1)－ f ( x 2)至最简；第三步：判断差的符号；第四步：下结论.※ 着手试一试练 1. 求证f ( x) x 1的 (0,1) 上是减函数，在 [1, ) 是增函数 . x练 2.指出以下函数的单一区间及单一性.（1） f ( x) | x |；（2）f ( x)x3 .三、总结提高※ 学习小结1.增函数、减函数、单一区间的定义；2.判断函数单一性的方法（图象法、定义法）.3.证明函数单一性的步骤：取值→作差→变形→定号→下结论. ※ 知识拓展函数 f ( x) x a(a 0) 的增区间有[ a, ) 、 ( , a ] ，减区间有 (0, a ] 、[ a ,0) . x学习评论※ 自我评论你达成本节导教案的状况为（A. 很好B.较好C.一般D.较差）.※ 当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 函数 f ( x) x2 2x 的单一增区间是（）A. ( ,1]B. [1, )C. RD. 不存在2. 假如函数 f (x) kx b 在 R上单一递减，则（）A. k 0B. k 0C. b 0D. b 03. 在区间 ( ,0) 上为增函数的是（）A． y 2x B ． y 2 xC． y | x | D． y x24. 函数 y x3 1 的单一性是.5. 函数 f ( x) | x 2| 的单一递加区间是，单一递减区间是.课后作业1. 议论 f ( x) 1 的单一性并证明 .x a2.议论 f ( x)ax2bx c (a 0) 的单一性并证明.§单一性与最大（小）值（ 2）学习目标1. 理解函数的最大（小）值及其几何意义；2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.学习过程一、课前准备 （预习教材 30 ~32，找出迷惑之处）2复习 1：指出函数 f ( x) ax bx c (a0) 的单一区间及单一性，并进行证明.复习 2：函数 f (x) 2 2ax bx c (a 0) 的最小值为， f ( x) ax bx c (a 0)的最大值为 .复习 3：增函数、减函数的定义及鉴别方法.二、新课导学 ※ 学习研究研究任务： 函数最大（小）值的观点 思虑：先达成下表，函数最高点最低点f (x)2x 3f (x)2 x3 , x[ 1,2]f (x)x 2 2x 1f ( x) x 2 2 x 1 , x [ 2,2]议论表现了函数值的什么特点？新知：设函数 y =f ( x ) 的定义域为 I ，假如存在实数 M 知足：对于随意的 x ∈I ，都有 f ( x ) ≤ M ； 存在 x 0∈ ，使得 f ( x 0) = . 那么，称 是函数 = ( x ) 的最大值（ Maximum Value ） .I M M y f试一试：模仿最大值定义，给出最小值（ Minimum Value ）的定义．反省：一些什么方法能够求最大（小）值？※ 典型例题例 1 一枚炮弹发射，炮弹距地面高度h （米）与时间 t （秒）的变化规律是 h 130t 5t 2 ，那么什么时辰距离地面的高度达到最大？最大是多少？变式：经过多少秒后炮弹落地？试一试：一段篱笆笆长20 米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？小结：数学建模的解题步骤：审题→设变量→成立函数模型→研究函数最大值. 例 2 求y 3 在区间 [3 ， 6] 上的最大值和最小值 .x 2变式：求y 3x , x [3,6]的最大值和最小值. x 2小结：先按定义证明单一性，再应用单一性获得最大（小）值.试一试：函数 y (x 1)22, x [0,1] 的最小值为，最大值为.假如是x[ 2,1]呢？※ 着手试一试练 1. 用多种方法求函数y 2x x 1 最小值 .变式：求 y x1 x 的值域 .练 2. 一个星 房价（元） 住宅率（ %）级旅店有 150 个标准房，经过一段时间的经营， 经理获得一些160 55 订价和住宅率的数据如右： 欲使每日的140 65 的营业额最高，应如何订价？120 7510085三、总结提高 ※ 学习小结1. 函数最大（小）值定义； .2. 求函数最大（小）值的常用方法：配方法、图象法、单一法.※ 知识拓展求二次函数在闭区间上的值域， 需依据对称轴与闭区间的地点关系，联合函数图象进行 研究 . 比如求 f ( x)x2ax 在区间 [m, n] 上的值域，则先求得对称轴xa，再分am 、22mam n 、 m n a n 、an 等四种状况 , 由图象察看得解 .22 2 22学习评论※ 自我评论 你达成本节导教案的状况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 函数 f ( x) 2x x2 的最大值是（） .A. － 1B. 0C. 1D. 22. 函数 y | x 1| 2 的最小值是（） .A. 0B. － 1C. 2D. 33. 函数 y x x 2 的最小值是（） .A. 0B. 2C. 4D. 24. 已知函数 f (x) 的图象对于y轴对称，且在区间 ( ,0) 上，当x 1时，f ( x)有最小值3，则在区间 (0, ) 上，当 x 时， f (x) 有最值为 .5. 函数 y x2 1, x [ 1,2] 的最大值为，最小值为.课后作业1. 作出函数 y x2 2x 3 的简图，研究当自变量x 在以下范围内取值时的最大值与最小值．（ 1） 1 x 0 ；（2） 0 x 3 ；（3）x ( , ) .2.如图，把截面半径为10 cm的圆形木头锯成矩形木材，假如矩形一边长为 x ，面积为y，试将y表示成 x 的函数，并画出函数的大概图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？§奇偶性学习目标1. 理解函数的奇偶性及其几何意义；2. 学会判断函数的奇偶性；3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.学习过程一、课前准备（预习教材 P 33 ~ P 36，找出迷惑之处） 复习 1：指出以下函数的单一区间及单一性 .（1） f ( x)x 2 1 ；（ 2） f ( x) 1x复习 2：对于 f ( x ) ＝x 、 f ( x ) ＝ x 2 、f ( x ) ＝ x 3 、 f ( x ) ＝ x 4 ，分别比较f ( x ) 与 f ( － x ).二、新课导学 ※ 学习研究研究任务： 奇函数、偶函数的观点思虑：在同一坐标系分别作出两组函数的图象： （1） f ( x)x 、 f ( x)1、 f ( x) x 3 ；x（2） f ( x) x 2 、 f (x) | x | .察看各组图象有什么共同特点？函数分析式在函数值方面有什么特点？新知： 一般地， 对于函数 偶函数（ even functionf (x) 定义域内的随意一个） .x ，都有 f ( x)f (x) ，那么函数f ( x)叫试一试：模仿偶函数的定义给出奇函数（odd function）的定义.反省：① 奇偶性的定义与单一性定义有什么差别？② 奇函数、偶函数的定义域对于对称，图象对于对称 .试一试：已知函数1在 y 轴左侧的图象如下图，画出它右f ( x)2边的图象 .x※ 典型例题例 1 鉴别以下函数的奇偶性：（1） f ( x) 3 x4 ；（ 2） f ( x) 4 x3 ；（3） f ( x) 3 x4 5 x2；（ 4） f ( x) 3 x 1 .x3小结：鉴别方法，先看定义域能否对于原点对称，再计算 f ( x) ，并与 f ( x) 进行比较. 试一试：鉴别以下函数的奇偶性：（1）f ( x) ＝ | x＋ 1|+| x－1|；（ 2）f ( x) ＝x＋1 ；x（3）f ( x) ＝x2 ；（ 4）f ( x) ＝x2 , x∈[-2,3].1 x例 2 已知f ( x) 是奇函数，且在 (0,+ ∞ ) 上是减函数，判断f ( x) 的 (- ∞ ,0) 上的单一性，并给出证明 .f ( x)是偶函数，且在[ a, b] 上是减函数，试判断 f ( x)在[- b,- a]上的单一性，并变式：已知给出证明 .小结：设→转变→单一应用→奇偶应用→结论.※ 着手试一试练习：若 f ( x) ax 3bx 5 ，且 f ( 7) 17 ，求 f (7) .三、总结提高※ 学习小结1.奇函数、偶函数的定义及图象特点；2. 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.3. 判断函数奇偶性的方法：图象法、定义法.※ 知识拓展定义在 R 上的奇函数的图象必定经过原点.由图象对称性能够获得，奇函数在对于原点对称区间上单一性一致，偶函数在对于原点对称区间上的单一性相反.学习评论※ 自我评论你达成本节导教案的状况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 对于定义域是R 的随意奇函数 f (x) 有（） .A． f ( x) f ( x) 0 B． f (x) f ( x) 0C． f ( x)gf ( x) 0 D． f (0) 02. 已知 f ( x) 是定义 ( , ) 上的奇函数，且 f ( x) 在 0, 上是减函数 . 以下关系式中正确的是（）A. f (5) f ( 5)B. f (4) f (3)C. f ( 2) f (2)D. f ( 8) f (8)3. 以下说法错误的选项是（） .A. f ( x) x1 是奇函数xB. f ( x) | x 2| 是偶函数C. f ( x) 0, x [ 6,6] 既是奇函数，又是偶函数3 2D. f (x) x x 既不是奇函数，又不是偶函数x 14. 函数 f ( x) | x 2 | | x 2 |的奇偶性是.5. 已知 f ( x)是奇函数，且在[3,7] 是增函数且最大值为4，那么f ( x) 在 [-7,-3] 上是函数，且最值为.课后作业1. 已知 f ( x) 是奇函数， g (x) 是偶函数，且 f ( x) g( x) 1 ，求 f (x) 、 g( x) .x 12.设f ( x)在R上是奇函数，当x>0时，f (x)x(1 x) ，试问：当x <0时， f (x)的表达式是什么？。
高一数学北师大版必修1教学教案第二章3函数的单调性
函数的单调性教学设计与反思一.教材分析函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用．根据函数单调性在整个教材内容中的地位与作用，本节课教学应实现如下教学目标【教学目标】1.知识与技能理解函数单调性概念；掌握用定义判断和证明一些简单函数单调性的方法；了解函数单调区间。
2.过程与方法培养从概念出发,进一步研究其性质的意识及能力;体会感悟数形结合、分类讨论的思想.3.情感态度价值观由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望,突出学生的主观能动性,激发学生学习数学的兴趣.【教学重难点】重点:函数单调性的概念,判断和证明一些简单函数单调性的方法.难点:关于函数单调性概念的符号语言的认知,应用定义证明单调性的代数推理论证【教学过程】一.导课要研究函数的单调性,我们先从熟知的函数入手,下面请同学们作出函数y=x+1 和y=x+1 的图像.1.思考: 从左到右看,图像的变化趋势如何？随着自变量的变化,函数值如何变化?2.观察动画回答：(1)由函数y=x2图像,观察图像的变化趋势。
(2)函数y=x2中y随x如何变化?那么,我们怎样用符号语言表达函数值的增减变化呢?〖设计意图〗从图像直观感知函数单调性在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生明了，过去所研究的函数的相关特征，就是现在所学的函数的单调性，从而加深对函数单调性概念的理解．二.新知探究1.请同学们阅读课本37页(3分钟)2.老师强调相关概念:函数递增时,图像是_________函数递减时, 图像是________在函数y=f(x)的定义域内的一个区间内A上,如果对于任意两个数x1,x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数在区间A上是增加的,有时也称函数在区间A上是递增的。
高中数学第二章函数3函数的单调性一课时跟踪训练含解析北师大版必
学习资料函数的单调性（一）[A组学业达标]1．（2019·泸县高一模拟)在区间(－∞，0）上为增函数的是（)A．f（x)＝－3x＋2 B．f(x)＝错误!C．y＝｜x｜D．f（x）＝－2x2＋4解析：对于A，函数在R递减；对于B，函数在(－∞，0)递减;对于C，x＜0时，y＝－x,递减；对于D，函数的对称轴是x＝0,开口向下，故函数f(x)在(－∞,0）递增．答案:D2．若函数y＝ax与y＝－错误!在区间(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx 在区间(0,＋∞）上是(）A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增解析：由于函数y＝ax与y＝－错误!在区间(0，＋∞)上都是减函数,所以a＜0，－b＞0，即a＜0，b＜0。
因为抛物线y＝ax2＋bx的对称轴为x＝－错误!＜0，且抛物线开口向下，所以y＝ax2＋bx在区间(0，＋∞）上是减函数．答案：B3．若函数f（x)＝x2＋3ax＋5在区间(－∞，5)上为减函数，则实数a的取值范围是(）A。
错误!B。
错误!C.错误!D.错误!解析：因为函数f(x)＝x2＋3ax＋5的单调递减区间为错误!,所以（－∞,5)⊆错误!,所以a≤－错误!.答案：A4．（2019·临猗县高一模拟）若函数f（x）＝｜2x＋a|的单调递增区间是［3，＋∞），则a的值为（)A．－2 B．2 C．－6 D．6解析：∵f（x）＝|2x＋a|的单调递增区间错误!，∴由－a2＝3得a ＝－6. 答案：C5．(2019·马尾区高一模拟)已知f (x ）是定义在[0，＋∞）上单调递增的函数，则满足f (2x －1）＜f 错误!的x 取值范围是( ) A.错误! B.错误! C 。
错误!D.错误!解析：∵f （x )是定义在[0，＋∞）上单调递增的函数， ∴不等式f (2x －1)＜f 错误!等价为0≤2x －1＜错误!, 即错误!≤x ＜错误!，即不等式的解集为错误!. 答案:C6．(2019·海淀区高一模拟)写出函数f (x )＝－x 2＋2｜x ｜的单调递增区间是________． 解析:由题意，函数 f (x ）＝－x 2＋2｜x |＝错误! 作出函数f (x ）的图像如图所示：由图像知，函数f (x ）的单调递增区间是(－∞，－1)和（0,1）． 答案：（－∞，－1)和(0，1)7．已知函数f （x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞）时，f （x ）是增函数，当x ∈（－∞，－2）时,f (x )是减函数,则f (1)＝________。
高中数学第二章函数2.3函数的单调性(2)教案北师大版必修1
1.3.1函数的单调性教学目标：（一）知识与技能目标1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义2、会根据函数的图像判断函数的单调性3、能根据单调性的定义证明函数在某一区间上是增函数还是减函数（二）学情分析按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。
依据现有认知结构，学生只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大，函数值增大”的变化趋势，而不能用符号语言进行严密的代数证明，只能依据形的直观性进行感性判断而不能进行“思辩”的理性认识。
（三）过程目标1、培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力2、通过利用定义证明单调性，进一步加强逻辑推理能力及判断推理能力的培养（四）德育目标（情感、态度和价值观）1、通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，分析归纳，严谨论证的良好习惯2、通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心教学重点形成增（减）函数的形式化定义教学难点形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述；用定义证明函数的单调性。
教学基本流程引入课题通过两个具体实例，引导学生说出一个变量随另一个变量变化而变化，更直观的让其看到这个变化所引起的图像的变化，从而导出今天的课题图象的上升和下降反映了函数的一个重要性质-----单调性（板书课题）二、推进新课（1）画出下列函数的图象，观察其变化规律：（学生动手）请作出函数f(x) = x和f(x) = x2的图象，并观察自变量变化时，函数值的变化规律．（学生先自己观察，然后通过多媒体----几何画板形象观察）1．f(x) = x○1从左至右图象上升还是下降 ______?○2在区间 _________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．2．f(x) = x2○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．（2）引出增（减）函数的概念如何利用数学符号语言描述“y随x的增大而增大”和“y随x的增大而减小”？（学生思考、交流探讨，指导学生从定性分析到定量分析，从直观认识过渡到数学符号表述）（3）给出增（减）函数的定义：1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）．提问：同学们能不能仿照这样的描述给出减函数的定义呢？（学生思考，模仿描述）思考：增（减）函数定义中需要注意的关键点有哪些？注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) ．2、函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.三自主探究例题1．课本P34例1 、如图，是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还减函数。
高中数学 第二章 函数 3 函数的单调性(一)学案 北师大
3 函数的单调性（一）学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．知识点一 函数的单调性思考 画出函数f (x )＝x 、f (x )＝x 2的图像，并指出f (x )＝x 、f (x )＝x 2的图像的升降情况如何？梳理 单调性是相对于区间来说的，函数图像在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数．反之则为减函数．很多时候我们不知道函数图像是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙．所以有以下定义：一般地，在函数y ＝f (x )的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么，就称函数y ＝f (x )在区间A 上是__________，有时也称函数y ＝f (x )在区间A 上是__________．在函数y ＝f (x )的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么，就称函数y ＝f (x )在区间A 上是__________，有时也称函数y ＝f (x )在区间A 上是__________．如果函数y ＝f (x )在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，就称函数y ＝f (x )在该子集上具有单调性；如果函数y ＝f (x )在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数是增函数或减函数，统称为单调函数． 知识点二 函数的单调区间思考 我们已经知道f (x )＝x 2在(－∞，0]上是减少的，f (x )＝1x在区间(－∞，0)上是减少的，这两个区间能不能交换？梳理一般地，有下列常识：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．类型一求单调区间并判断单调性例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增加的还是减少的？反思与感悟函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增加的，要么是减少的，不能二者兼有．跟踪训练1 写出函数y ＝|x 2－2x －3|的单调区间，并指出单调性．类型二 证明单调性命题角度1 证明具体函数的单调性例2 证明f (x )＝x 在其定义域上是增函数．反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x 1，x 2且x 1<x 2的条件下，转化为确定f (x 1)与f (x 2)的大小，要牢记五大步骤：取值→作差→变形→定号→小结．跟踪训练2 求证：函数f (x )＝x ＋1x在[1，＋∞)上是增函数．命题角度2 证明抽象函数的单调性例3 已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是增函数．反思与感悟因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x1)－f(x2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f(x1)－f(x2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值．跟踪训练3 已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.求证：f(x)在R上是减函数．类型三 单调性的应用命题角度1 利用单调性求参数范围例4 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ，x <1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为( ) A ．[18，13)B ．(0，13)C ．[18，＋∞)D ．(－∞，18]∪[13，＋∞)反思与感悟 分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超．另外，函数在单调区间上的图像不一定是连续不断的．跟踪训练4 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________．命题角度2 用单调性解不等式例5 已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围．反思与感悟若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小；由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小．跟踪训练5 在例5中若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)<f(2a－1)，则a 的取值范围又是什么？1．函数y ＝f (x )在区间[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的增区间是( )A ．[－2,0]B ．[0,1]C ．[－2,1]D ．[－1,1]2．函数y ＝6x的减区间是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)3．在下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)的是( ) A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝2x ＋14．已知函数y ＝f (x )满足：f (－2)>f (－1)，f (－1)<f (0)，则下列结论正确的是( ) A ．函数y ＝f (x )在区间[－2，－1]上递减，在区间[－1,0]上递增 B ．函数y ＝f (x )在区间[－2，－1]上递增，在区间[－1,0]上递减 C ．函数y ＝f (x )在区间[－2,0]上的最小值是f (－1) D ．以上的三个结论都不正确5．若函数f (x )在R 上是减函数，且f (|x |)>f (1)，则x 的取值范围是( ) A ．x <1 B ．x >－1 C ．－1<x <1D ．x <－1或x >11．若f (x )的定义域为D ，A ⊆D ，B ⊆D ，f (x )在A 和B 上都递减，未必有f (x )在A ∪B 上递减．2．对增函数的判断，对任意x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)，也可以用一个不等式来替代： (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0或f x 1－f x 2x 1－x 2>0.对减函数的判断，对任意x 1<x 2，都有f (x 1)>f (x 2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0或f x 1－f x 2x 1－x 2<0.3．熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等．4．若f (x )，g (x )都是增函数，h (x )是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f (x )＋g (x )递增，f (x )－h (x )递增，②－f (x )递减，③1f x递减(f (x )≠0)．5．对于函数值恒正(或恒负)的函数f (x )，证明单调性时，也可以作商f x 1f x 2与1比较．答案精析问题导学 知识点一思考 两函数的图像如下：函数f (x )＝x 的图像由左到右是上升的；函数f (x )＝x 2的图像在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的．梳理 增加的 递增的 减少的 递减的 知识点二思考 f (x )＝x 2的减区间可以写成(－∞，0)，而f (x )＝1x的减区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属于f (x )＝1x的定义域．题型探究例1 解 y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2]，[1,3]上是减少的，在区间[－2,1]，[3,5]上是增加的．跟踪训练1 解 先画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3，x <－1或x >3，－x 2－2x －，－1≤x ≤3的图像，如图．所以y ＝|x 2－2x －3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；递增区间是[－1,1]，[3，＋∞)． 例2 证明 f (x )＝x 的定义域为[0，＋∞)．设x 1，x 2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2.∵0≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )＝x 在定义域[0，＋∞)上是增函数．跟踪训练2 证明 设x 1，x 2是实数集R 上的任意实数，且1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－(x 2＋1x 2)＝(x 1－x 2)＋(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)(1－1x 1x 2)＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)．∵1≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0,1<x 1x 2， ∴x 1x 2－1x 1x 2>0，故(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )＝x ＋1x在区间[1，＋∞)上是增函数．例3 证明 方法一 设x 1，x 2是实数集上的任意两个实数，且x 1>x 2. 令x ＋y ＝x 1，y ＝x 2，则x ＝x 1－x 2>0.f (x 1)－f (x 2)＝f (x ＋y )－f (y )＝f (x )＋f (y )－1－f (y )＝f (x )－1.∵x >0，∴f (x )>1，f (x )－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． ∴函数f (x )在R 上是增函数． 方法二 设x 1>x 2，则x 1－x 2>0， 从而f (x 1－x 2)>1，即f (x 1－x 2)－1>0.f (x 1)＝f [x 2＋(x 1－x 2)]＝f (x 2)＋f (x 1－x 2)－1>f (x 2)，故f (x )在R 上是增函数．跟踪训练3 证明 ∵对于任意实数m ，n ，恒有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，令m ＝1，n ＝0，可得f (1)＝f (1)·f (0)， ∵当x ＞0时，0＜f (x )＜1， ∴f (1)≠0，∴f (0)＝1. 令m ＝x ＜0，n ＝－x ＞0，则f (m ＋n )＝f (0)＝f (－x )·f (x )＝1，∴f (x )f (－x )＝1，又∵－x ＞0时，0＜f (－x )＜1，∴f (x )＝1f －x＞1. ∴对任意实数x ，f (x )恒大于0.设任意x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴0<f (x 2－x 1)<1，∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)f (x 1)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]<0， ∴f (x )在R 上是减少的．例4 A [要使f (x )在R 上是减函数，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1<0，－a <0，a －＋4a ≥－a ·1. 解得18≤a ＜13.] 跟踪训练4 a ≤1或a ≥2解析 由于二次函数开口向上，故其增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]，而f (x )在区间[1,2]上单调，所以[1,2]⊆[a ，＋∞)或[1,2]⊆(－∞，a ]，即a ≤1或a ≥2. 例5 解 f (1－a )<f (2a －1)等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23， 即所求a 的取值范围是0<a <23. 跟踪训练5 解 ∵y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，∴1－a <2a －1，即a >23， ∴所求a 的取值范围是(23，＋∞)． 当堂训练1．C 2.C 3.B 4.D 5.C。
北师版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第2章 函数 3 第1课时 函数的单调性
1
a> 时,f(x)在区间(-2,+∞)上单调递增.
2
探究点三
函数单调性的应用
2 + 1, ≥ 1,
【例3】 (1)若函数 f(x)= -1, < 1 在R上单调递增,则实数a的取值范
Hale Waihona Puke 围是(0,3].
> 0,
解析 因为函数 f(x)在 R 上单调递增,所以
解得 0<a≤3,所以 a 的
图示
单调递减
自左向右图象逐渐下降
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间
I上具有单调性.单调递增区间和单调递减区间统称为单调区间.
单调性是函数的局部性质
名师点睛
x1,x2的三个特征:
(1)同区间性,即x1,x2∈D;
(2)任意性,即不可用区间D上的两个特殊值代替x1,x2;
(1)一个函数f(x)不是增函数,就是减函数.( × )
(2)若函数f(x)为R上的减函数,则f(-3)>f(3).( √ )
(3)若函数f(x)为定义在R上的函数且满足f(-3)>f(3),则函数f(x)为R上的减函
数.( × )
2.[人教B版教材例题]求证:函数f(x)=-2x在R上是减函数.
证明 任取x1,x2∈R且x1<x2,则x1-x2<0,那么f(x1)-f(x2)=(-2x1)-(-2x2)=2(x2-x1)
>0,从而f(x1)>f(x2).因此,函数f(x)=-2x在R上是减函数.
重难探究·能力素养速提升
探究点一
判断函数的单调性
角度1利用图象判断函数的单调性
【例1-1】 根据函数图象直观判断下列函数的单调性:
高中数学 第二章 函数 2.3 函数的单调性教案 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学教案
§函数的单调性一、教材分析-----教学内容、地位和作用本课是北师大版新课标普通高中数学必修一第二章第3节《函数的单调性》的内容，函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。
在学生现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；在本节课是以函数的单调性的概念为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；这是本节课的重点内容。
利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性一个难点，也是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。
学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。
另外，这也是以后要学习的不等式证明的比较法的基本思路，现在提出来对今后的教学也有了一定的铺垫。
二、教学目标：根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标：(一)三维目标1 知识与技能：（1）使学生理解函数单调性的概念，能判断并证明一些简单函数在给定区间上的单调性。
（2）通过函数单调性的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力；2 过程与方法：（1）通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。
（2） 通过探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。
3 情感，态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离，培养学生对数学的兴趣。
（二）重点、难点 重点：函数单调性的概念:为了突出重点，使学生理解该概念，整个过程分为：每个步骤都是在教师的参与下与引导下，通过学生与学生之间，师生之间的合作交流，不断反省，探索，直到完善结论，最终达到一个严密，简洁的定义。
2018版高中数学北师大版必修一学案：第二章 函数 §3
§3函数的单调性(一)学习目标 1.了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法(重点)；2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点(重、难点)．预习教材P36－39完成下列问题：知识点一增函数与减函数的定义1．增函数定义：在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的；有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的．图示：如图所示．2．减函数定义：在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的．图示：如图所示．【预习评价】1．已知(a，b)是函数y＝f(x)的单调增区间，且x1，x2∈(a，b)，若x1<x2，则有() A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)＝f(x2)C．f(x1)>f(x2) D．以上都正确解析根据函数单调性的定义可得正确答案．答案 A2．函数y＝f(x)的图像如图，根据图像函数y＝f(x)的增区间为________，________；减区间为________，________．解析 由图像可知函数y ＝f (x )的增区间为[－1,0)，[1,2]，减区间为[－2，－1)，[0,1)． 答案 [－1,0) [1,2] [－2，－1) [0,1) 知识点二 函数的单调区间与单调性(1)如果y ＝f (x )在区间A 上是增加的或减少的，那么称A 为单调区间．(2)定义：如果函数y ＝f (x )在定义域的某个子集上是增加的或减少的，那么就称y ＝f (x )在这个子集上具有单调性．如果函数y ＝f (x )在整个定义域内是增加的或减少的，分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．【预习评价】1．若函数f (x )在定义域内的两个区间D 1，D 2上都是减函数，那么f (x )的减区间能写成D 1∪D 2吗？提示 单调区间不能取并集，如y ＝1x 在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y ＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．2．任何函数在定义域上都具有单调性吗？提示 函数的单调性是指函数在定义域内或定义域的某个区间内的变化趋势，是递增或递减的一种定性描述，它是函数的局部性质．有的函数不具有单调性，例如：函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 是有理数，0，x 是无理数；再如：函数y ＝x ＋1(x ∈Z )，它的定义域不能用区间表示，也不能说它在定义域上具有单调性．题型一 确定(求)函数的单调区间【例1】 (1)如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图像，则函数的单调递减区间是________、____________，在区间________、________上是增函数．(2)函数y ＝1x －1的单调递减区间是________．解析 (1)观察图像可知，y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]．其中y ＝f (x )在区间[－5，－2]，[1,3]上是增函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是减函数．(2)y ＝1x －1的图像可由函数y ＝1x 的图像向右平移一个单位得到，如图所示，其单调递减区间是(－∞，1)和(1，＋∞)．答案 (1)[－2,1] [3,5] [－5，－2] [1,3] (2)(－∞，1)，(1，＋∞)【例2】 画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图像并写出函数的单调区间．解 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0. 函数的大致图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．规律方法 1.作出函数的图像，利用图形的直观性能快速判断函数的单调区间，但要注意图像一定要画准确．2．函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域． 3．一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接．【训练1】 作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图像，并指出函数的单调区间． 解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图像如图所示．由图像可知：函数的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为[2，＋∞)． 题型二 函数单调性的判定与证明【例3】 求证：函数f (x )＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．证明 设任意的x 1，x 2∈(0,1)，且x 1<x 2， 所以f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－⎝⎛⎭⎫x 1＋1x 1＝x 2－x 1＋x 1－x 2x 1x 2＝(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2 ＝(x 2－x 1)(x 1x 2－1)x 1x 2．因为0<x 1<x 2<1，所以x 1x 2－1<0，x 1x 2>0，x 2－x 1>0， 所以(x 2－x 1)(x 1x 2－1)x 1x 2<0，所以f (x 2)<f (x 1)．所以函数f (x )＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．规律方法 利用定义证明函数单调性的步骤如下：(1)取值：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2；(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子；(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)的符号；(4)结论：根据f (x 1)－f (x 2)的符号及定义判断单调性． 【训练2】 已知函数f (x )＝2－xx ＋1，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数． 证明 任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2． 则f (x 1)－f (x 2)＝2－x 1x 1＋1－2－x 2x 2＋1＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)． ∵x 2>x 1>－1，∴x 2－x 1>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数.【探究1】 已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋2.若f (x )在区间(－∞，4)上为减函数，求a 的取值范围．解 由f (x )在区间(－∞，4)上为减函数，说明(－∞，4)只是函数f (x )的一个减区间．当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2在(－∞，4)上单调递减，故成立．当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1a ≥4，得0<a ≤14.综上可知a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |0≤a ≤14．【探究2】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1是R 上的增函数，则a 的取值范围是________．解析 因为f (x )在R 上是单调递增的函数，所以f (x )需满足在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上都是单调递增的，并且端点处x ＝1的函数值－12－a －5≤a1，即a ≥－3；f (x )＝－x 2－ax －5的对称轴为直线x ＝－a 2，且在(－∞，1]上单调递增，所以－a 2≥1，即a ≤－2；f (x )＝ax 在(1，＋∞)上单调递增，所以a <0.综上所述，a 的取值范围是[－3，－2]．答案 [－3，－2]【探究3】 已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围．解 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1. 解得0<a <1. ①因为f (x )在(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)， 所以1－a >2a －1， 即a <23. ②由①②可知，0<a <23．故a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |0<a <23．【探究4】 已知函数y ＝f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，对于任意的x >0，y >0，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )，且满足f (2)＝1．(1)求f (1)，f (4)的值；(2)求满足f (2)＋f (x －3)≤2的x 的取值范围．解 (1)令x ＝y ＝1，得f (1)＝f (1)＋f (1)，所以f (1)＝0， 令x ＝y ＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)＝1＋1＝2，所以f (4)＝2． (2)由f (2)＝1及f (xy )＝f (x )＋f (y )可得： 2＝1＋1＝f (2)＋f (2)＝f (4)． 因为f (2)＋f (x －3)≤2， 所以f (2(x －3))≤f (4)．又函数f (x )在定义域(0，＋∞)上是单调增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2(x －3)>0，2(x －3)≤4，解得3<x ≤5．规律方法 利用函数单调性求参数范围的类型及相应的技巧 (1)已知函数解析式求参数(2)抽象函数求参数只需利用单调增函数f (x )中f (a )>f (b )⇔a >b ，单调减函数f (x )中f (a )>f (b )⇔a <b ，去掉符号“f ”，此时特别注意a ，b 要在给定的单调区间内．课堂达标1．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( ) A ．y ＝x 2－2 B ．y ＝3xC ．y ＝1＋2xD ．y ＝－(x ＋2)2解析 y ＝x 2－2在(－∞，0]上是减函数， y ＝3x在(－∞，0)内是减函数． y ＝1＋2x 在R 上为增函数，所以在(－∞，0]是增函数．y ＝－(x ＋2)2在(－∞，－2)上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数．答案 C2．若函数f (x )在R 上单调递增，且f (m )<f (n )，则m 与n 的关系为( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ≥nD ．m ≤n 解析 因为f (x )在R 上单调递增，且f (m )<f (n )，所以m <n ． 答案 B3．已知函数f (x )的图像如图所示，则函数的单调增区间为____________．解析 由图知单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)． 答案 (－∞，－1)，(1，＋∞)4．设函数f (x )是R 上的减函数，若f (m －1)>f (2m －1)，则实数m 的取值范围是________． 解析 由f (m －1)>f (2m －1)且f (x )是R 上的减函数，得m －1<2m －1，所以m >0． 答案 {m |m >0}5．利用单调性的定义，证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．证明 任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)， 因为－1<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)>0，即f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)．所以y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．课堂小结1．对函数单调性的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性．(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x 1，x 2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x 1，x 2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x 1<x 2；三是属于同一个单调区间．(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f (x )是增(减)函数且f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2(x 1>x 2)．(4)并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性．2．单调性的证明方法证明f (x )在区间D 上的单调性应按以下步骤： (1)设元：设x 1、x 2∈D 且x 1<x 2； (2)作差：将函数值f (x 1)与f (x 2)作差；(3)变形：将上述差式(因式分解、配方等)变形； (4)判号：对上述变形的结果的正、负加以判断； (5)定论：对f (x )的单调性作出结论．其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止，切忌变形不到位就定号．3．单调性的判断方法(1)定义法：利用定义严格判断．(2)图像法：作出函数的图像，用数形结合的方法确定函数的单调区间．(3)用两个函数和(差)的单调性的规律判断：“增＋增＝增”，“减＋减＝减”，“增－减＝增”，“减－增＝减”．。
北师大版高中数学必修一2.3函数的单调性教学设计
教学设计模板：
1. 如图为某市一天内的气温变化图：
春兰股份图
二、归纳探索，形成概念
对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义。
1．借助图象，直观感知
问题1：分别作出函数21
2,2,,y x y x y x y x
=+=-+==
的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？（学生自己动手画，然后电脑显示下图）
师：大家共同描述一下函数2,2y x y x =+=-+的变化情况。
师：请一位同学描述一下函数2
y x =的图像变化规律
师：我们学过区间的表示方法，如何用区间的概念来表述图像的变化规律。
师：这样表述就比较严密了，很好。
由上面的讨论可知，函数的单调性与自变量的范围有关，一个函数并不一定在整个正义域内是单调函数，但在定义城的某个子集上可以是单调函数。
变小。
函数整个定义域内随大；函数
个定义域内的增大而减小．
在随小．在侧增大。
在x 在的增大而减小．。
北师大版必修一第二章函数的单调性学案(无答案).doc
新课标北师大版高中数学必修一第二章第三节《函数的单调性》学案3课时2、3、1 函数的单调性【预 习】北师大版必修一教材第36～38页；【复 习】函数的有关概念；（1）增函数和减函数的定义：①图形语言 ；②自然语言；③符号语言；（2）单调性和单调区间的定义；【导 言】从这一节开始我们研究函数的性质，函数的性质主要指单调性、奇偶性（对称性）；我们首先来研究函数的单调性。
【探索新知】2、3、1函数单调性的定义例子：对于函数2)(x x f =；图形语言：在),0(+∞上，y 随x 的增大而增大；增加（上升） 在)0,(-∞上，y 随x 的增大而减小；减少（下降）请同学们将图形语言改为符号语言，就得到增函数和减函数的定义。
①增函数的定义：任意 ，都有 ；②减函数的定义：任意 ，都有 ；单调性和单调区间的概念辨析①函数的单调性：②函数的单调区间：利用函数的图像判断下列函数的单调性：①c x f =)( ； ②b kx x f +=)(；32-=x y ；1+-=x y ；③x k x f =)( ； x y 1=； x y 2-=； ④c bx ax x f ++=2)(； x x y 22+-=； 122--=x x y ； x y 1= 1)(=x f例1、判断下列说法是否正确（1）常数函数是单调函数；（ ×） 常数函数不具有单调性（2）一次函数是单调函数；（ √）（3）反比例函数是单调函数；（ ×） 反比例函数的单调区间有2个，单调性相同；（4）二次次函数是单调函数；（ ×） 二次函数的单调区间有2个，单调性相反；（5）若)(x f y =在b)(a,上是增函数，在c)[b,上是增函数，于是)(x f y =在c)(a,上也是增函数。
（ ×）（6）若)(x f y =在c)(a,上也是增函数，则)(x f y =在c)[b,上是增函数，在b)(a,上是增函数。
高中数学 第二章 函数 2.3 函数的单调性教案1 北师大版必修1(2021年最新整理)
高中数学第二章函数2.3 函数的单调性教案1 北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章函数2.3 函数的单调性教案1 北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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函数的单调性本节教材分析本节内容,正是初中有关内容的深化和提高.给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图像上进行观察的较为粗略的方法,又有根据定义进行证明的较为严格的方法,最好根据图像观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性，这样就将以上两种方法统一起来了.三维目标1、知识与技能：（1）建立增（减）函数的概念通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小)的规律,由此得出增(减）函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。
（2)函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛.2、过程与方法（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质；(3)能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性.3、情态与价值，使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性,增强学习函数的紧迫感.教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．教学建议：本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情景，以利于学生作函数图像，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性。
2019-2020学年度北师大版高中数学必修一学案：第二章 3 函数的单调性(二)
——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度北师大版高中数学必修一学案：第二章 3函数的单调性（二）______年______月______日____________________部门20xx最新20xx北师大版高中数学必修一学案：第二章 3 函数的单调性（二）知识点一函数的最大(小)值思考在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1为什么不是最小值？梳理对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax ＝f(x0)．知识点二函数的最大(小)值的几何意义思考函数y＝x2，x∈[－1,1]的图像如图所示：试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值．梳理一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．类型一借助单调性求最值例1 已知函数f(x)＝(x>0)，求函数的最大值和最小值．反思与感悟(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小)．函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的．(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．跟踪训练 1 已知函数f(x)＝(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值．类型二求二次函数的最值例2 (1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值；(2)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值；(3)已知函数f(x)＝x－2－3，求函数f(x)的最值；(4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1 m)反思与感悟(1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．(2)图像直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题．跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝x4－2x2－3，求函数f(x)的最值；(2)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；(3)如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．那么水流喷出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为h＝－x2＋2x＋，x∈[0，]．求水流喷出的高度h的最大值是多少？类型三函数最值的应用例3 已知x2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．引申探究把例3中“x∈(0，＋∞)”改为“x∈(，＋∞)”，再求a的取值范围．反思与感悟恒成立的不等式问题，任意x∈D，f(x)>a恒成立，一般转化为最值问题：f(x)min>a来解决．任意x∈D，f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a.跟踪训练3 已知ax2＋x≤1对任意x∈(0,1]恒成立，求实数a的取值范围．1．函数y＝－x＋1在区间[，2]上的最大值是( )A．－ B．－1 C. D．32．函数f(x)＝在[1，＋∞)上( )A．有最大值无最小值B．有最小值无最大值C．有最大值也有最小值D．无最大值也无最小值3．函数f(x)＝x2，x∈[－2,1]的最大值，最小值分别为( )A．4,1 B．4,0C．1,0 D．以上都不对4．已知函数f(x)＝，))则f(x)的最大值，最小值分别为( ) A．10,6 B．10,8C．8,6 D．以上都不对5．若不等式－x＋a＋1≥0对一切x∈(0，]成立，则a的最小值为( )A．0 B．－2 C．－ D．－121．函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y ＝.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．2．二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图像的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．答案精析问题导学知识点一思考最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值．知识点二思考x＝±1时，y有最大值1，对应的点是图像中的最高点，x＝0时，y有最小值0，对应的点为图像中的最低点．题型探究例1 解设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－x2x22＋1＝x\o\al(2,2)＋1－x2x\o\al(2,1)＋1,x\o\al(2,1)＋1x\o\al(2,2)＋1)＝x2－x1x2x1－1,x\o\al(2,1)＋1x\o\al(2,2)＋1).当x1<x2≤1时，x2－x1>0，x1x2－1<0，f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(0,1]上递增；当1≤x1<x2时，x2－x1>0，x1x2－1>0，f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1，＋∞)上递减．∴f(x)max＝f(1)＝，无最小值．跟踪训练1 解设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－2x2－1＝x2－1－x1－1],x1－1x2－1)＝x2－x1,x1－1x2－1).由2≤x1<x2≤6，得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．所以函数y＝在区间[2,6]上是减函数．因此，函数y＝在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值，最大值是2，在x＝6时取得最小值，最小值是.例2 解(1)∵函数f(x)＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1，∴f(x)在[0,1]上递减，在[1,2]上递增，且f(0)＝f(2)．∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，f(x)min＝f(1)＝－4.(2)∵对称轴x＝1，①当1≥t＋2即t≤－1时，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.②当≤1<t＋2，即－1<t≤0时，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4.③当t≤1<，即0<t≤1时，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4.④当1<t，即t>1时，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.设函数最大值为g(t)，最小值为φ(t)，则有g(t)＝t≤0，,t2＋2t－3t>0，))φ(t)＝t≤－1，,－4－1<t≤1，,t2－2t－3t>1.))(3)设＝t(t≥0)，则x－2－3＝t2－2t－3.由(1)知y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增．∴当t＝1即x＝1时，f(x)min＝－4，无最大值．(4)作出函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t ＋18的图像(如图)．显然，函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度． 由二次函数的知识，对于函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t ＋18， 我们有：当t ＝－－4.9)＝1.5时，函数有最大值h ＝－4.9×18－14.72,4×－4.9)≈29.于是，烟花冲出后 1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m.跟踪训练2 解 (1)设x2＝t(t≥0)， 则x4－2x2－3＝t2－2t －3.y ＝t2－2t －3(t≥0)在[0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增．∴当t ＝1即x ＝±1时，f(x)min ＝－4， 无最大值．(2)∵函数图像的对称轴是x ＝a ， ∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数， ∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数， ∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.当2≤a≤4时，f(x)min ＝f(a)＝2－a2.∴f(x)min＝⎩⎨⎧6－4a ，a<2，2－a2，2≤a ≤4，18－8a ，a>4.(3)由函数h＝－x2＋2x＋，x∈[0，]的图像可知，函数图像的顶点就是水流喷出的最高点．此时函数取得最大值．对于函数h＝－x2＋2x＋，x∈[0，]，当x＝1时，函数有最大值hmax＝－12＋2×1＋＝.于是水流喷出的最高高度是 m.例3 解方法一令y＝x2－x＋a，要使x2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，只需ymin＝>0，解得a>.∴实数a的取值范围是(，＋∞)．方法二x2－x＋a>0可化为a>－x2＋x.要使a>－x2＋x对任意x∈(0，＋∞)恒成立，只需a>(－x2＋x)max，又(－x2＋x)max＝，∴a>.∴实数a的取值范围是(，＋∞)．引申探究解f(x)＝－x2＋x在(，＋∞)上为减函数，∴f(x)的值域为(－∞，)，要使a>－x2＋x对任意x∈(，＋∞)恒成立，只需a≥，∴a的取值范围是[，＋∞)．跟踪训练3 解∵x>0，∴ax2＋x≤1可化为a≤－.要使a≤－对任意x∈(0,1]恒成立，只需a≤(－)min.设t＝，∵x∈(0,1]，∴t≥1.1－＝t2－t＝(t－)2－.x2当t＝1时，(t2－t)min＝0，即x＝1时，(－)min＝0，∴a≤0.∴a的取值范围是(－∞，0]．当堂训练1．C 2.A 3.B 4.A 5.D。
北师大版数学高一-《函数的单调性》 名师学案
【必修1】第二章 函数 第三节 函数的单调性学时：2学时 【学习引导】一、自主学习P 36--- P 38 2.回答问题（1）课本内容分成几个层次？每个层次的中心内容是什么？ （2）层次间有什么联系？（3）什么是递增函数？什么是递减函数？ （4）函数的单调性是指什么？ 3. 完成P 38练习. 4. 小结.二、方法指导函数的性质，突出了影响较强的函数的变化趋势——单调性。
单调性是函数的局部性质，常常考虑区间上函数的增加或减少。
同学们学习时，应该复习初中所学函数的单调性问题。
对于函数单调性的证明，同学们应该掌握一般函数的单调性的证明和有关证明格式，同时应领会“任选”的妙处、比较法的运用和两数大小的判断等，体会数形结合的数学思想。
【思考引导】 一、提问题1．如何判断简单函数的单调性？ 2．函数1y x=（0x ≠）在整个定义域内都是递减函数吗？ 二、变题目 1.判断题： ①已知1()f x x=，因为(1)(2)f f -<，所以函数()f x 是增函数。
（ ） ②若函数()f x 满足(2)(3)f f <，则函数()f x 在区间[2,3]为增函数。
（ ） ③若函数()f x 在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数()f x 在区间(1,3)上为增函数．（ ） ④因为函数1()f x x=在区间(,0)-∞和(0,)+∞上都是减函数，所以1()f x x =在(,0)(0,)-∞+∞上是减函数. （ ）2. 下列说法正确的是 （ ）A.定义在(,)a b 上的函数()f x ，若存在12,(,)x x a b ∈，使得12x x <时有12()()f x f x <，那么()f x 在(,)a b 上为增函数B.定义在(,)a b 上的函数()f x ，若有无穷多对12,(,)x x a b ∈，使得12x x <时有12()()f x f x <，那么()f x 在(,)a b 上为增函数C.若()f x 在区间1I 上为增函数，在区间2I 上也为增函数，那么()f x 在1I 2I 上也一定为增函数D.若()f x 在区间I 上为增函数，且12()()f x f x <（12,x x I ∈），那么12x x < 3．在区间(0,)+∞上不是增函数的函数是 （ ）A.21y x =+B.231y x =+ C.2y x=D.221y x x =++ 4．已知()f x 在区间[],a b 上单调且()()0f a f b <，则方程()0f x =在区间 [,]a b 内 （ ） A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根 D.必有唯一的实根5．已知()f x 在区间(－∞，＋∞)上是增函数，,a b R ∈且0a b +≤，则下列不等式中正确的是（ ）A.()()()()f a f b f a f b +≤-+B.()()()()f a f b f a f b +≤-+-C.()()()()f a f b f a f b +≥-+D.()()()()f a f b f a f b +≥-+-6．函数()245f x x mx =-+在区间[)2,+∞上是增函数，在区间(],2-∞+上是 减函数，则m 的值为 （ ） A.8 B.-16 C.-8 D.16【总结引导】1．对于函数的单调性强调三点：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．③函数在定义域内的两个区间A,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在A B上是增（或减）函数．2．在函数()y f x =的定义域内的一个区间A 上，如果对于两个数12,x x ∈A.（1）当 时，称函数()y f x =在区间A 上是递增的，此时区间A 称为函数()y f x =的 ；（2）当 时，称函数()y f x =在区间A 上是递减的，此时区间A 称为函数()y f x =的 .3．定义法证明函数单调性的步骤：（1） （2） （3）（4） （5） .【拓展引导】一、课外作业：P 38 A 组2，3，5 二、课外思考：1. 证明：函数)(x f 在区间),(b a 上是增函数的充要条件是对任意的),(,b a h x x ∈+，且,0≠h 有0)()(>-+hx f h x f ．2. 研究函数)0(1>+=x xx y 的单调性，并结合描点法画出函数的草图．撰稿：黄福萍 审稿：宋庆参考答案【思考引导】 二，变题目1．①错②错③错④错2．D 3．C 4．D 5．B 6．D 【拓展引导】 1. 利用定义证明 .2.。
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3 函数的单调性（一）学习目标1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．知识点一函数的单调性思考画出函数f(x)＝x、f(x)＝x2的图像，并指出f(x)＝x、f(x)＝x2的图像的升降情况如何？梳理单调性是相对于区间来说的，函数图像在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数．反之则为减函数．很多时候我们不知道函数图像是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙．所以有以下定义：一般地，在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是__________，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是__________．在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是__________，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是__________．如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，就称函数y＝f(x)在该子集上具有单调性；如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数是增函数或减函数，统称为单调函数．知识点二函数的单调区间思考我们已经知道f(x)＝x2在(－∞，0]上是减少的，f(x)＝1x在区间(－∞，0)上是减少的，这两个区间能不能交换？梳理一般地，有下列常识：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．类型一求单调区间并判断单调性例1如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增加的还是减少的？反思与感悟函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增加的，要么是减少的，不能二者兼有．跟踪训练1写出函数y ＝|x 2－2x －3|的单调区间，并指出单调性．类型二证明单调性命题角度1证明具体函数的单调性例2证明f (x )＝x 在其定义域上是增函数．反思与感悟运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x 1，x 2且x 1<x 2的条件下，转化为确定f (x 1)与f (x 2)的大小，要牢记五大步骤：取值→作差→变形→定号→小结．跟踪训练2求证：函数f (x )＝x ＋1x在[1，＋∞)上是增函数．命题角度2证明抽象函数的单调性例3已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是增函数．反思与感悟因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x1)－f(x2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f(x1)－f(x2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值．跟踪训练3已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.求证：f(x)在R上是减函数．类型三单调性的应用命题角度1利用单调性求参数范围例4若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1x ＋4a ，x <1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为() A ．[18，13)B ．(0，13)C ．[18，＋∞)D ．(－∞，18]∪[13，＋∞)反思与感悟分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超．另外，函数在单调区间上的图像不一定是连续不断的．跟踪训练4已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________．命题角度2用单调性解不等式例5已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围．反思与感悟若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小；由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小．跟踪训练5在例5中若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)<f(2a－1)，则a 的取值范围又是什么？1．函数y ＝f (x )在区间[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的增区间是()A ．[－2,0]B ．[0,1]C ．[－2,1]D ．[－1,1]2．函数y ＝6x的减区间是()A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)3．在下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)的是()A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝2x ＋14．已知函数y ＝f (x )满足：f (－2)>f (－1)，f (－1)<f (0)，则下列结论正确的是() A ．函数y ＝f (x )在区间[－2，－1]上递减，在区间[－1,0]上递增 B ．函数y ＝f (x )在区间[－2，－1]上递增，在区间[－1,0]上递减 C ．函数y ＝f (x )在区间[－2,0]上的最小值是f (－1) D ．以上的三个结论都不正确5．若函数f (x )在R 上是减函数，且f (|x |)>f (1)，则x 的取值范围是() A ．x <1 B ．x >－1 C ．－1<x <1D ．x <－1或x >11．若f (x )的定义域为D ，A ⊆D ，B ⊆D ，f (x )在A 和B 上都递减，未必有f (x )在A ∪B 上递减．2．对增函数的判断，对任意x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)，也可以用一个不等式来替代： (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0或f x 1－f x 2x 1－x 2>0.对减函数的判断，对任意x 1<x 2，都有f (x 1)>f (x 2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0或f x 1－f x 2x 1－x 2<0.3．熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等．4．若f (x )，g (x )都是增函数，h (x )是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f (x )＋g (x )递增，f (x )－h (x )递增，②－f (x )递减，③1f x递减(f (x )≠0)．5．对于函数值恒正(或恒负)的函数f (x )，证明单调性时，也可以作商f x 1f x 2与1比较．答案精析问题导学 知识点一思考两函数的图像如下：函数f (x )＝x 的图像由左到右是上升的；函数f (x )＝x 2的图像在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的．梳理增加的递增的减少的递减的 知识点二思考f (x )＝x 2的减区间可以写成(－∞，0)，而f (x )＝1x的减区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属于f (x )＝1x的定义域．题型探究例1解y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2]，[1,3]上是减少的，在区间[－2,1]，[3,5]上是增加的．跟踪训练1解先画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3，x <－1或x >3，－x 2－2x －3，－1≤x ≤3的图像，如图．所以y ＝|x 2－2x －3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；递增区间是[－1,1]，[3，＋∞)． 例2证明f (x )＝x 的定义域为[0，＋∞)．设x 1，x 2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2 ＝x 1－x 2x 1＋x 2x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2.∵0≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )＝x 在定义域[0，＋∞)上是增函数．跟踪训练2证明设x 1，x 2是实数集R 上的任意实数，且1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－(x 2＋1x 2)＝(x 1－x 2)＋(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)(1－1x 1x 2)＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)．∵1≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0,1<x 1x 2， ∴x 1x 2－1x 1x 2>0，故(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )＝x ＋1x在区间[1，＋∞)上是增函数．例3证明方法一设x 1，x 2是实数集上的任意两个实数，且x 1>x 2. 令x ＋y ＝x 1，y ＝x 2，则x ＝x 1－x 2>0.f (x 1)－f (x 2)＝f (x ＋y )－f (y )＝f (x )＋f (y )－1－f (y )＝f (x )－1.∵x >0，∴f (x )>1，f (x )－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． ∴函数f (x )在R 上是增函数． 方法二设x 1>x 2，则x 1－x 2>0， 从而f (x 1－x 2)>1，即f (x 1－x 2)－1>0.f (x 1)＝f [x 2＋(x 1－x 2)]＝f (x 2)＋f (x 1－x 2)－1>f (x 2)，故f (x )在R 上是增函数．跟踪训练3证明∵对于任意实数m ，n ，恒有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，令m ＝1，n ＝0，可得f (1)＝f (1)·f (0)，∵当x ＞0时，0＜f (x )＜1， ∴f (1)≠0，∴f (0)＝1.令m ＝x ＜0，n ＝－x ＞0，则f (m ＋n )＝f (0)＝f (－x )·f (x )＝1，∴f (x )f (－x )＝1，又∵－x ＞0时，0＜f (－x )＜1，∴f (x )＝1f －x＞1. ∴对任意实数x ，f (x )恒大于0.设任意x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴0<f (x 2－x 1)<1，∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)f (x 1)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]<0，∴f (x )在R 上是减少的．例4A[要使f (x )在R 上是减函数，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1<0，－a <0，3a －1·1＋4a ≥－a ·1.解得18≤a ＜13.] 跟踪训练4a ≤1或a ≥2解析由于二次函数开口向上，故其增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]，而f (x )在区间[1,2]上单调，所以[1,2]⊆[a ，＋∞)或[1,2]⊆(－∞，a ]，即a ≤1或a ≥2. 例5解f (1－a )<f (2a －1)等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23， 即所求a 的取值范围是0<a <23. 跟踪训练5解∵y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，∴1－a <2a －1，即a >23， ∴所求a 的取值范围是(23，＋∞)． 当堂训练1．C2.C3.B4.D5.C。