高中数学第二章函数3函数的单调性一学案北师大版必修

3 函数的单调性（一）

学习目标1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．

知识点一函数的单调性

思考画出函数f(x)＝x、f(x)＝x2的图像，并指出f(x)＝x、f(x)＝x2的图像的升降情况如何？

梳理单调性是相对于区间来说的，函数图像在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数．反之则为减函数．

很多时候我们不知道函数图像是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙．所以有以下定义：

一般地，在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1

在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是__________，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是__________．

如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，就称函数y＝f(x)在该子集上具有单调性；如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数是增函数或减函数，统称为单调函数．

知识点二函数的单调区间

思考我们已经知道f(x)＝x2在(－∞，0]上是减少的，f(x)＝1

x

在区间(－∞，0)上是减少

的，这两个区间能不能交换？

梳理一般地，有下列常识：

(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．

(2)单调区间D⊆定义域I.

(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．

类型一求单调区间并判断单调性

例1如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增加的还是减少的？

反思与感悟函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增加的，要么是减少的，不能二者兼有．

跟踪训练1写出函数y ＝|x 2

－2x －3|的单调区间，并指出单调性．

类型二证明单调性

命题角度1证明具体函数的单调性

例2证明f (x )＝x 在其定义域上是增函数．

反思与感悟运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x 1，x 2且x 1

跟踪训练2求证：函数f (x )＝x ＋1

x

在[1，＋∞)上是增函数．

命题角度2证明抽象函数的单调性

例3已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是增函数．

反思与感悟因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x1)－f(x2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f(x1)－f(x2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值．

跟踪训练3已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0

类型三单调性的应用

命题角度1利用单调性求参数范围

例4若函数f (x )＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

3a －1x ＋4a ，x <1，

－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围

为() A ．[18，1

3)

B ．(0，1

3)

C ．[1

8

，＋∞)

D ．(－∞，18]∪[1

3

，＋∞)

反思与感悟分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超．另外，函数在单调区间上的图像不一定是连续不断的．

跟踪训练4已知函数f (x )＝x 2

－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________．

命题角度2用单调性解不等式

例5已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )

反思与感悟若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小；由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小．

跟踪训练5在例5中若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)

1．函数y ＝f (x )在区间[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的增区间是()

A ．[－2,0]

B ．[0,1]

C ．[－2,1]

D ．[－1,1]

2．函数y ＝6

x

的减区间是()

A ．[0，＋∞)

B ．(－∞，0]

C ．(－∞，0)，(0，＋∞)

D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)

3．在下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1f (x 2)的是()

A ．f (x )＝x 2

B ．f (x )＝1

x

C ．f (x )＝|x |

D ．f (x )＝2x ＋1

4．已知函数y ＝f (x )满足：f (－2)>f (－1)，f (－1)

5．若函数f (x )在R 上是减函数，且f (|x |)>f (1)，则x 的取值范围是() A ．x <1 B ．x >－1 C ．－1

D ．x <－1或x >1

1．若f (x )的定义域为D ，A ⊆D ，B ⊆D ，f (x )在A 和B 上都递减，未必有f (x )在A ∪B 上递减．

2．对增函数的判断，对任意x 10或

f x 1－f x 2

x 1－x 2

>0.对减函数的判断，对任意x 1

f (x 1)>f (x 2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0或f x 1－f x 2

x 1－x 2

<0.

3．熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等．