九年级数学垂径定理
垂径定理 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
●O
侧的两个半圆重合，点A与点B
AM
B C 重合，AM与BM重合，
D
线段：AM=BM
·O
⌒ AC和B⌒C重合, ⌒AD和B⌒D重合.
M A
B 等弧： A⌒C=B⌒C, A⌒D =B⌒D.
D
证明：
C
连接OA、 则OA=OB. ∵CODB⊥, AB ∴∠OMA=∠OMB
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
即CD所在直线是AA'的垂直平分线 ∴对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直 A 线CD的对称点A'，即:
'
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直 线都是圆的对称轴.
AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
C
你能发现图中有那些相等的线 段和弧？为什么？理由.
把圆沿着直径CD折叠时，CD两
｝ ｛ 题设
（1）直径 （2）垂直于弦
直径
结论
（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
垂径定理:
定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
C
题设
A
●O
M
由 ① CD是直径 B ② CD⊥AB
可推得
D
结论
①AM=BM,
②A⌒C=B⌒C, ③A⌒D=B⌒D.
定理辨析
CD ⊥AB，垂足为M，OM=3，
则CD= 8 .
A
●O
CM
D
B
3、在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为 直径，若CD=10，AM=1，则⊙O的半
径是 13 .
注意：解决有关弦的问题时,半径是常用的一种 辅助线的添法．往往结合勾股定理计算。
人教版九年级数学上册24.垂径定理课件
方法归纳：
解决有关弦的问题时，
经常连结半径；过圆心
作一条与弦垂直的线段
等辅助线，为应用垂径
E
定理创造条件。
2m
垂径定理经常和勾股定 理结合使用。
在⊙O中，若⊙O的半径r、圆心到弦的
距离d、弦长a、弓形高h中，任意知道
两个量，可根据 垂径定理 构造直角
三角形求出其余两个量。
C
(a)2 d 2 r2
• 学习目标： 1．理解圆的轴对称性，会运用垂径定理解决有 关的证明、计算和作图问题； 2．感受类比、转化、数形结合、方程等数学思 想和方法，在实验、视察、猜想、抽象、概括、 推理的过程中发展逻辑思维能力和识图能力．
• 学习重点： 垂径定理及其推论．
实践探究 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，
重复几次，你发现了什么？由此你能得到什 么结论？
r
2
O
或( a )2 （r h）2 r 2 2
rd A ha
B
D
例2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相 等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证： 四边形ADOE是正方形．
C
E
·O
A
D
B
小结评学
１、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都 是它的对称轴．
2、垂径定理及其推论：
直径平分弦
于点Ｅ，则AＥ=BＥ( √ )
４则、AＥ如=图BＥ(4，)，Ａ︵Ｄ⊙＝O中Ｂ︵，Ｄ弦(AB√⊥半) 径ＯD于点Ｅ，
Ｃ
Ｃ
Ｃ
Ｏ
Ｏ
Ｅ Ａ
ห้องสมุดไป่ตู้
ＢＡ Ｅ
ＢＡ
Ｄ 如图（1）
Ｄ 如图（2）
Ｏ Ｅ ＢＡ
Ｄ如图（3）
28.4 垂径定理 课件(共20张PPT) 数学冀教版九年级上册
第二十八章 圆
1.理解并掌握垂径定理及其推论的推导过程. (重点)2.能够运用垂径定理及其推论解决实际问题. (难点)
学习目标
问题 赵州桥的半径是多少？
它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
情景导入
知识点一：垂径定理
问题1 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．沿着CD所在的直线折叠，你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
新
线段：AE=BE
·
O
A
B
C
E
D
证明:如图所示,连接OA,OB.
在△OAB中,∵OA=OB,OE⊥AB,
∴AE=BE,∠AOE=∠BOE.
解：如图，连接OA.设⊙O的半径为r. ∴ CD为⊙O的直径，AB⊥CD， ∴ AE=BE. ∴AB=8，∴ AE=BE=4， 在 Rt△OAE 中，OA2=OE2+AE2， OE=OD－ED，即r2 = (r－2)2+42. 解得r=5，从而2r=10. 所以直径CD的长为10.
例2 解决求赵州桥拱半径的问题：
如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C.根据前面的结论可知，D是弦AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理推论1
几何语言：
你还有其他的结论吗？你发现了什么？
∵ CD是直径，AE=BE，
初中数学常见的命题和定理垂径定理
初中数学中，垂径定理是一个常见且重要的命题和定理，它在解决相关几何问题中起到了关键的作用。
下文将从垂径定理的概念入手，深入解析其原理和应用，并列举一些相关的例题，以便读者更加深入地理解和掌握这一重要定理。
一、垂径定理的概念垂径定理是指：如果在一个圆上，直径的两端连接圆上任意一点，那么这两条线段所夹的角都是直角。
简而言之，垂径定理可以理解为描述直径和圆上一点所构成的角是直角的规律。
二、垂径定理的证明1. 引理：直径是任意一点的最短距离。
这是基本的几何定理，无需证明。
2. 证明：设在圆上有直径AB，圆上的一点C。
连接AC和BC两条线段。
假设∠ACB不是直角，而是锐角或钝角。
那么，以AC为直径作圆，由于ACB不是直角，必定有另一个点D在圆上，使得∠ADB是锐角或钝角。
根据引理，AD+DB要小于或等于AE+EB，而AE+EB等于AB，所以AD+DB小于或等于AB，这与AD+DB等于AB矛盾。
由此可知，∠ACB必须是直角。
三、垂径定理的应用垂径定理在实际问题中有着广泛的应用。
通过运用垂径定理，我们可以解决许多与圆相关的问题，如圆的切线问题、直线与圆的位置关系问题等。
1. 圆的切线问题由垂径定理可知，连接圆上点和圆心构成的线段为直径，因此连接切点和圆心的线段垂直于切线。
这一性质是圆的切线问题得以解决的基础。
2. 直线与圆的位置关系问题利用垂径定理，可以判断直线与圆的位置关系。
当直线与圆相切时，由于切点和圆心连线垂直于切线，可根据垂径定理得出直线与圆相切的结论。
四、垂径定理的例题1. 已知AB是⊙O的直径，C,D是圆周上的两点，AC与BD相交于E，割⊙O的弦AE与BE的关系为（）A. AE=BEB. AE>BEC. AE<BED. 无法确定解析：根据垂径定理可知，连接圆上点和圆心构成的线段为直径，因此以AE为直径的⊙O必定经过B点，以BE为直径的⊙O必定经过A 点，所以EA=EB。
2. 如图，在直径AB上取一点C，过点C作弦CD，与⊙O交于点E，连接AE、EB，若CD与AB垂直，求证：AC=CB。
浙教版数学九年级上册3.3垂径定理(共13张PPT)
复习
M
●
A
1、圆弧：圆上任意两点之间的部分
2、等弧：能够完全重合的圆弧
3、弦：连结圆上任意两点的线段
4、圆具有轴对称性
O
B
实验操作
1、取出课前准备的圆，折出这个圆的一条对称轴
2、请用折叠的方法在圆上找到两个对称点
你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
O
·
E
A
B
D
几何演绎
如图,理由是：
梳理
A
C
M
└
●
B
O
D
条件
由①CD是直径
②CD⊥AB
可推得
结论
③AM＝BM
⌒ ⌒
④AC＝BC
⌒ ⌒
⑤AD＝BD
归纳小结
定理：垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的弧.
如图∵ CD是直径，
CD⊥AB，
B
∴AM ＝ BM，
C
A
M└
O
●
⌒
⌒
AC ＝BC，
⌒
⌒
AD＝BD.
D
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
问题一：
⌒
例1、已知AB如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点.
E
⌒
分析:要平分AB,只要画垂
直于弦AB的直径.而这条直径应在弦A源自的垂直平分线上.A
作法:
1. 连结AB;
⌒
2. 作AB的垂直平分线CD,交AB与点E;
⌒
∴点E就是所求AB的中点.
B
问题二：
例2：如图已知在⊙ O 中 弦AB=16，半径0B=10，
连接OA,OB, 则OA＝OB.
人教版九年级数学上册课件：24.1.2垂径定理(共15张PPT)
船能过拱桥吗
AB 7.2,CD 2.4, HN 1 MN 1.5.
AD 1 AB 1 7.2 3.6,
2
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 3.62 (R 2.4)2.
A
D
E C
O
B
自学指导（二）
认真阅读课本8 2页赵州桥问题，并思考：
1、解决赵州桥求半径问题做了什么辅助过线圆？心作弦的垂线 2、由图24.1-8知主桥拱是__A_B____, 跨度是__弦_A_B__，拱 高是__C_D__，弦心距是__O_D___，半径是__O_A_，_O_B___ ， AD= _B_D___.
任意知道两个量，可根据垂径定理求出第三个量：
必做题：课本P83练习1、2题。 选做题：课本P89第2题。 思考题：课本P89第8题。
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥弦的垂直平分线一定经过圆心
2、如图，直径为10cm的圆中，圆心到弦 AB的距离OM为4cm，求弦AB的长。
O
A
M
B
相信自己，我能行
破镜重圆
自学指导（一）
认真阅读课本81页—82页“赵州桥问 题” 上面的内容: 1、圆是______图形， __________都是它 的对称轴，对称轴有____条.
2、垂径定理的内容是_________________.
3、对照24.1-6用符号语言表示垂径定理 ？ 4、垂径定理的推论是什么？
人教版九年级上册数学课件24.2.2垂径定理
答：⊙O的半径为5cm.
2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
与你一起分享！！！ 答：⊙O的半径为5cm.
即
R2=18.
4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
O E A 9 0 E A D 9 0 O D A 9 0
∴四边形ADOE为矩形，
AE1AC， AD1AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的 货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
②平分弦的直线必垂直弦
你（能2）①发现线③图段中：有A②哪E=些④B等E量⑤关系平?与同分伴弦说说(你不的是想法直和理径由).的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两D 条弧.
垂弧就直：可①于 Ａ 推弦Ｃ出④的＝其直Ｂ余径Ｃ三②平个分结，③弦论Ａ,Ｄ.⑤并＝且Ｂ平Ｄ平分弦分所的弦两所条弧对. 的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 平直分径①弦 Ｃ所Ｄ⑤对平的分两弦②条Ａ弧Ｂ③的，直并④线且经过另圆一心,并条且弧垂直. 平分弦.
过点M作直径CD.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说 你的想法和理由.
C
A
┗●
B 由 CD是直径
M
●O
九年级数学圆第三节垂径定理知识梳理及典例分析
第三节垂径定理知识点梳理【知识点一】垂径定理1.圆的轴对称：圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴。
2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
3.弧的中点：分一条弦成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点。
4.弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。
【知识点二】垂径定理的逆定理1.定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
2.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
典例分析【题型一】利用垂径定理进行计算【例1】如图,在⊙O中,AB,AC为互相垂直且相等的两条弦,OD丄AB ,0E丄AC,垂足分别为D,E.若 AC=AB=2 cm,求⊙O的半径.【变式1】如图⊙O的直径AB =16 cm,P是0B的中点,∠APD=30°,求CD的长.【题型二】在直角坐标系中利用垂径定理求点的坐标【例1】如图,以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点,点P的坐标为(4,2) ,点A的坐标为(2,0) ,则点B的坐标为_______【变式1】如图在平面直角坐标系中，点O为坐标原点,点P在第一象限，⊙P与x轴交于O,A 两点,点A的坐标为(6,0),⊙P的半径为13,则点P的坐标为_________【题型三】应用垂径定理等分弧【例1】如图为一自行车内胎的一部分，如何利用所学知识将它平均分给四个小朋友做玩具？【变式1】小云出黑板报时遇到了一个难题,在版面设计过程中需要将一个半圆面三等分.如图,请帮她设计一个合理的等分方案,要求尺规作图,保留作图痕迹。
【题型四】垂径定理的实际应用【例1】某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图,污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶部距离为10 cm,问:修理人员应准备内径多大的管道?【变式1】如图是一条水平铺设的直径为2 m的通水管道横截面,其水面宽1.6 m,则这条管道中此时最深为__________m【题型五】利用垂径定理求最值【例1】如图 , ⊙O的半径为5 ,弦AB 的长为8,M是弦AB上的一个动点,则线段0M长的最小值为( ).A.2B.3C.4D.5【变式1】如图,在⊙O 中,AB 是⊙O 的直径,AB = 8 cm,AC =CD =BD ,M 是AB 上一动点,CM十DM 的最小值为______cm【题型六】与垂径定理有关的分类讨论问题【例1】已知点 A,B,C 都在⊙O 上,且 AB=AC,圆心O 到BC 的距离为6 cm,圆的半径为l4 cm,求AB 的长.【变式1】已知⊙O 的直径CD=10 cm ，AB 是⊙O 的弦,AB= 8 cm,且AB 丄CD,垂足为点 M,则 AC 的长为( ). A.52cm B.54cm C.52cm 或54cm D.32cm 或34cm【变式2】已知,⊙O 的半径是5,AB, CD 为⊙O 的两条弦,且 AB ∥CD, AB=6, CD = 8,求 AB, CD 间的距离。
垂径定理九年级知识点
垂径定理九年级知识点垂径定理，也称为垂径长定理，是几何中一个重要的定理，用来描述圆内任意两条互相垂直的直径和其所对应的弦的关系。
下面将详细介绍有关垂径定理的九年级知识点。
1. 垂径定理的表述垂径定理指出，一个圆的直径与其所对应的弦垂直相交，具体表述为："在一个圆内，如果一条弦垂直于直径，那么这条弦将被切成两段，而且这两段的乘积等于每个一段的长度与直径的乘积，即 d1×d2=2×r×a"。
其中，d1和d2分别代表切割弦的两段，r代表圆的半径，a代表这两段与直径的距离。
2. 垂径定理的证明垂径定理的证明可以通过数学推理和几何推导来完成。
首先，假设圆的直径AB与弦CD互相垂直相交于点O，以及切割弦CD的两段为CE和ED。
根据垂径定理的表述，我们可以得出以下几个等式：AE×EB = CE×ED （1）AO×OB = CO×OD （2）由于AO = CO, OB = OD，将式（2）代入式（1），我们可以得到：AE×EB = AO×OB = r×r = r²因此，垂径定理得证。
3. 垂径定理的应用垂径定理在几何证明和问题求解中经常被应用。
下面介绍几个常见的应用场景：a. 证明两条直线垂直相交当需要证明两条直线垂直相交时，可以利用垂径定理。
首先，通过画圆和连接弦的方式将直线和圆相交，然后利用垂径定理得出圆内两条互相垂直的直径和它们对应的弦的关系，进而推断出直线的垂直关系。
b. 求解弦长已知圆的半径和一个垂直切线与弦的交点坐标，可以利用垂径定理求解弦的长度。
根据垂径定理的表述，我们可以通过已知的半径和切线坐标计算出弦的长度，从而得到所需的结果。
c. 求解直径长已知圆的半径和两条互相垂直的弦的长度，可以利用垂径定理求解直径的长度。
根据垂径定理的表述，我们可以通过已知的弦长和半径计算出直径的长度，进而得到所需的结果。
垂径定理课件(26张PPT)冀教版数学九年级上册
知识点 2 垂径定理的推论
如图所示，在☉O中，直径CD与弦AB(非直径)相交于点E. C
【思考】
(1)若AE=BE，能判断CD与AB垂直吗？
O
AD 与 BD (或 AC 与 BC )相等吗？说明你的理由. A
EB
D
(2)若 AD = BD (或 AC =BC )，能判断CD与AB垂直吗？
AE与BE相等吗？说明你的理由.
C
O EB D
结论 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分这条弦所对的两条弧.
能不能用所学过的知识证明你的结论？
C
O
A
EB
D
已知：如图，在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且
CD⊥AB，垂足为E.
求证：AE=BE，AD BD，AC BC.
证明：如图，连接OA，OB.
C
在△OAB中，∵OA=OB，OE⊥AB， ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE. ∴ AD BD . ∵∠AOC=180°－∠AOE，∠BOC=180°－∠BOE，
解：(1)CD⊥AB，AD BD (或 AC BC ). C
理由：连接OA，OB，如图所示，则△OAB是等 腰三角形，
∵AE得 AD BD， AC BC .
A
EB
(2)CD⊥AB，AE=BE. 理由： ∵ AD BD，∴∠AOD=∠BOD， 又∵OA=OB，OE=OE， ∴△AEO≌△BEO，
A
E C
O
D
B
拓宽视野： 对于圆中的一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个， 那么一定具备其他三个： （1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（非直径）；（4） 平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧. 简记为“知二推三”.
垂径定理九年级数学知识点
垂径定理九年级数学知识点垂径定理是九年级数学中的一个重要知识点，它涉及到平面几何的基本概念和性质。
在学习垂径定理之前，我们先来了解一下什么是垂径。
一、垂径的定义和性质垂径是在平面上与一条直线垂直相交的线段。
根据垂径的定义，我们可以得到以下性质：1. 一个点到直线的垂径只有一个。
2. 直径的两个垂径互相垂直。
3. 如果两条直径互相垂直，那么它们一定相交于圆的圆心上。
了解了垂径的定义和性质，我们就可以进一步探讨垂径定理了。
二、垂径定理的表述垂径定理是指：如果一条直径和一条垂径相交于圆上的一个点，那么这条垂径所对的弧就是直径所对的弧的一半。
换句话说，直径和垂径所对的弧互为一半。
三、垂径定理的证明垂径定理的证明可以通过利用圆的基本性质和几何知识来完成。
下面我们通过具体的例子来进行证明。
假设在圆O中，AB是直径，CD是与AB垂直相交于点E的垂径。
我们要证明的是：弧CD是弧AB的一半。
首先，连接OA和OB。
根据垂径的性质，我们知道OA和CD互相垂直，所以OA和CD构成一对垂直线段。
同样地，OB和CD也构成一对垂直线段。
由于OA和OB是圆的直径，所以它们穿过圆心O，并且与圆相交于圆上的两个点A和B。
根据圆的性质，直径的两条垂径与圆相交的弧互为一半。
因此，我们可以得出结论：弧CA等于弧CB的一半。
根据弧度的性质，我们知道弧度等于圆心角的度数。
所以弧度CA等于角CBA的度数。
同理，弧度CB等于角CAB的度数。
既然我们已经知道角CBA和角CAB是互补角，而且它们的两条弧互为一半。
所以我们可以得出结论：弧CD等于弧AB的一半。
四、垂径定理的应用垂径定理的应用非常广泛，不仅在九年级的几何学中常常被使用，而且在实际生活中也可以见到它的应用。
例如，在建筑设计中，我们经常会使用垂径定理来确定建筑物的位置和相对位置。
通过利用垂径定理，我们可以确定建筑物的中心位置，从而达到平衡和美观的效果。
此外，在航空和导航领域，垂径定理也被广泛运用。
垂径定理 (共17张ppt)九年级下学期数学北师大版
10 O
16
A
C
B
例2、如图，一条公路的转弯处是一段弧(即图中CD，点O是CD 所在圆的圆心)，其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足 为F，EF=90m，求这段弯路的半径。
解：连接 OC .
设弯路的半径为 R m，则 OF =（R – 90）m .
∵ OE⊥CD
∴ CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
在Rt△OCF 中 ， OC2 = CF2 + OF2
即 R2 = 3002 +（R – 90）2.
解得 R = 545.
答，这段弯路的半径为 545 m.
CE FD
O
练一练
3.已知⊙0的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则
圆心到弦AB的距离为( D )
A. 8cm B. 5cm C. 9cm D. 12cm
求证：AB⊥CD， AC= BC，AD= BD。
证明：连接OA、OB， 则OA=OB
D
∵CD平分AB, ∴AM=BM， 在△OAM和△OBM中
OA=OB， AM=BM，
O
AM B C
OM=OM
∴AB⊥CD，
∴△OAM≌△OBM
∴AC= BC
∴∠AMO=∠BMO =90°
AD= BD
新知归纳
垂径定理的逆定理：
证明：连接OA、OB，则OA=OB
在Rt△OAM和Rt△OBM中 ∵OA=OB，OM=OM ∴Rt△OAM≌Rt△OBM ∴AM=BM， ∠AOC=∠BOC
└
D
O
AM B C
∴AC= BC ∵∠AOD=180°-∠AOC ∴∠AOD=∠BOD
中考数学垂径定理
中考数学垂径定理
一、垂径定理基本形式
垂径定理是圆的基本性质之一，它指出：通过圆心且垂直于任意弦的直径将该弦平分。
用数学语言表示就是：如果一条直径通过圆心O，并且垂直于弦AB，那么它将弦AB平分于点C。
即 AC = CB。
二、圆心到弦的垂线性质
根据垂径定理，我们可以推导出圆心到弦的垂线性质。
如果一条弦通过圆心O，且圆心到弦的垂线交弦于点C，那么这条垂线将弦分为两段相等的部分。
即 AC = CB。
同时，这条垂线也是该弦所对的圆周角平分线。
三、圆心到切线的性质
圆心到切线的性质是指：通过圆心的直线与圆的切线垂直。
如果一条直线通过圆心O，且与圆相切于点P，那么这条直线与切线垂直。
即OP与AP垂直。
同时，切线与过切点的半径也垂直。
四、切线长定理
切线长定理是指：过圆上一点作圆的切线，则切线长相等。
具体来说，如果圆上有点A，且过点A分
别作圆的两条切线AB和AC，那么这两条切线的长度相等。
即 AB = AC。
这个定理可以用来证明一些与切线相关的几何问题。
部编数学九年级上册24.3垂直于弦的直径垂径定理(知识讲解)(人教版)含答案
专题24.3 垂直于弦的直径-垂径定理（知识讲解）【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.特别说明： (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 (2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的推论根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.特别说明：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、利用垂径定理求圆的半径、弦心距、角度、弦1．如图，AB 是O e 的直径，弦CD AB ^于点E ，点M 在O e 上，MD 恰好经过圆心O ，连接MB ．（1）若16CD =，4BE =，求O e 的直径；（2）若M D Ð=Ð，求D Ð的度数．【答案】（1）20；（2）30°【分析】（1）由CD ＝16，BE ＝4，根据垂径定理得出CE ＝DE ＝8，设⊙O 的半径为r ，则4OE r =-，根据勾股定理即可求得结果；（2）由OM ＝OB 得到∠B ＝∠M ，根据三角形外角性质得∠DOB ＝∠B ＋∠M ＝2∠B ，则2∠B ＋∠D ＝90°，加上∠B ＝∠D ，所以2∠D ＋∠D ＝90°，然后解方程即可得∠D 的度数．解：（1）∵AB ⊥CD ，CD ＝16，∴CE ＝DE ＝8，设OB r =，又∵BE ＝4，∴4OE r =-∴222(4)8r r =-+，解得：10r =，∴⊙O 的直径是20．（2）∵OM ＝OB ，∴∠B ＝∠M ，∴∠DOB ＝∠B ＋∠M ＝2∠B ，∵∠DOB ＋∠D ＝90°，∴2∠B ＋∠D ＝90°，∵M DÐ=Ð，∴∠B＝∠D，∴2∠D＋∠D＝90°，∴∠D＝30°；【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．举一反三：e中，弦AB长50mm．求：【变式1】如图，在半径为50mm的OÐ的度数；（1）AOB（2）点O到AB的距离．【答案】（1）60°；（2）【分析】V是等边三角形，从而可得结论；（1）证明AOBAC BC再利用勾股定理可（2）过点O作OC⊥AB，垂足为点C，利用垂径定理求解,,得答案.解：（1）∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB＝50mm，又∵AB＝50mm，∴OA＝OB＝AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°． （2）过点O作OC⊥AB，垂足为点C，如图所示，由垂径定理得AC ＝CB ＝12AB ＝25mm ，在Rt △OAC 中OC 2＝OA 2－AC 2＝502－252＝252×3，∴OC mm ），即点O 到AB 的距离是．【点拨】本题考查的是等边三角形的判定与性质，圆的性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练垂径定理的运用是解题的关键.【变式2】如图，AB 是O e 的直径，E 为O e 上一点，EF AB ^于点F ，连接OE ，//AC OE ，OD AC ^于点D ．若2,4BF EF ==，求线段AC 长．【答案】6【分析】设OE =x ，根据勾股定理求出x ，根据全等三角形的判定定理和性质定理得到AD =OF =3，根据垂径定理得到答案．解：设OE =x ，则OF =x -2，由勾股定理得，OE 2=OF 2+EF 2，即x 2=（x -2）2+42，解得，x =5，∴OF =3，∵AC ∥OE ，OD ⊥AC ，∴OD ⊥OE ，∠A =∠EOF ，∵OA =OE ，EF ⊥AB ，∴△ADO ≌△OFE ，∴AD =OF =3，∵OD ⊥AC ，∴AC=2AD=6．【点拨】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．类型二、利用垂径定理求进行证明2．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD^AB，OE^AC，垂足分别为D、E．(1)求证：四边形ADOE是正方形；(2)若AC=2cm，求⊙O的半径．【答案】(1)见分析【分析】（1）根据AC^AB，OD^AB，OE^AC，可得四边形ADOE是矩形，由垂径定理可得AD=AE，根据邻边相等的矩形是正方形可证；（2）连接OA，由勾股定理可得．(1)证明：∵AC^AB，OD^AB，OE^AC，∴四边形ADOE是矩形，12AD AB=，12AE AC=，又∵AB=AC，∴AD=AE，∴四边形ADOE是正方形．(2)解：如图，连接OA，∵四边形ADOE是正方形，∴112OE AE AC===cm，在Rt△OAE中，由勾股定理可得：OA==，即⊙O cm．【点拨】本题考查圆与正方形，熟练掌握正方形的判定方法、圆有关的性质，是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF【分析】根据垂径定理进行解答即可．解：∵E为AB中点，MN过圆心O，∴MN⊥AB，∴∠MEB＝90°，∵AB∥CD，∴∠MFD＝∠MEB＝90°，即MN⊥CD，∴CF＝DF．【点拨】本题考查了垂径定理的运用，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．【变式2】已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．求证：AC=BD．【分析】过圆心O 作OE ⊥AB 于点E ，根据垂径定理得到AE=BE ，同理得到CE=DE ，又因为AE-CE=BE-DE ，进而求证出AC=BD ．解：过O 作OE ⊥AB 于点E ，则CE=DE ，AE=BE ，∴BE-DE=AE-CE.即AC=BD.【点拨】本题考查垂径定理的实际应用．类型三、利用垂径定理推论求圆的半径、弦心距、角度、弦3．如图，∠AOB 按以下步骤作图：①在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作圆弧PQ ，交射线OB 于点D ；②连接CD ，分别以点C 、D 为圆心，CD 长为半径作弧，交圆弧PQ 于点M 、N ；③连接OM ，MN ．根据以上作图过程及所作图形完成下列作答．(1)求证：OA 垂直平分MD .(2)若30AOB Ð=°，求∠MON 的度数.(3)若20AOB Ð=°，6OC =，求MN 的长度．【答案】(1)证明见分析；(2)90MON Ð=°；(3)6MN =．【分析】（1）由垂径定理直接证明即可得；（2）根据相等的弧所对的圆心角也相等求解即可得；（3）由（2）可得：20COM COD DON Ð=Ð=Ð=°，得出60MON Ð=°，根据等边三角形得判定可得OMN n 为等边三角形，即可得出结果．(1)证明：如图所示，连接MD ，由作图可知，CM CD =，∴»ºCM C D =，∵OA 是经过圆心的直线，∴OA 垂直平分MD ；(2)解：如图所示，连接ON ，∵CM CD DN ==，∴»º»CM C D D N ==，∴30COM COD DON Ð=Ð=Ð=°，∴90MON COM COD DON Ð=Ð+Ð+Ð=°，即90MON Ð=°；(3)解：由（2）可得：20COM COD DON Ð=Ð=Ð=°，∴60MON Ð=°，∵OM ON =，∴OMN n 为等边三角形，∴6MN OM OC ===．【点拨】题目主要考查垂径定理，等弧所对的圆心角相等，等边三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些基础知识点是解题关键．举一反三：【变式1】 如图，AB 为圆O 直径，F 点在圆上，E 点为AF 中点，连接EO ，作CO ⊥EO 交圆O 于点C ，作CD ⊥AB 于点D ，已知直径为10，OE ＝4，求OD 的长度．【答案】3【分析】根据垂径定理的逆定理得到OE ⊥AF ，由CO ⊥EO ，得到OC ∥AF ，即可得到∠OAE ＝∠COD ，然后通过证得△AEO ≌△ODC ，证得CD ＝OE ＝4，然后根据勾股定理即可求得OD ．解：∵E 点为AF 中点，∴OE ⊥AF ，∵CO ⊥EO ，∴OC ∥AF ，∴∠OAE ＝∠COD ，∵CD ⊥AB ，∴∠AEO ＝∠ODC ，在△AEO 和△ODC 中，OAE COD AEO ODC OA OC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△AEO ≌△ODC （AAS ），∴CD ＝OE ＝4，∵OC ＝5，∴OD＝3．【点拨】本题考查垂径定理的逆定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握垂径定理和全等三角形的判定与性质是解答的关键．【变式2】如图所示，直线=y x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线BC 交x 轴于D ，交△ABO 的外接圆⊙M 于C ，已知∠COD ＝∠OBC ．（1）求证：MC ⊥OA ；（2）求直线BC 的解析式．【答案】（1）见分析；（2）y=【分析】（1）利用弧弦角转化得¼¼OC AC=，由垂径定理即可得MC⊥OA；（2）由直线=y x与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出A、B两点坐标，从而得到A、B中点M点坐标，再由勾股定理求出OM，进而求出点C坐标．由B、C两点坐标用待定系数法求直线BC解析式即可．解：（1）证明：∵∠COD＝∠OBC，∴¼¼OC AC=，∵点M是圆心，∴由垂径定理的推论，得MC⊥OA；（2）解：∵MC⊥OA，∴OG＝GA＝12OA，∵点M是圆心，∴BM＝AM，∴GM是△AOB的中位线，∴GM，∵=y x轴、y轴分别交于A、B两点，∴当x＝0时，y y＝0时，x＝3，∴B（0，A（3，0）∴OB OA＝3，∴MG OG＝32，连接OM，在Rt△OGM中，由勾股定理，得OM＝∴GC=∵点C 在第三象限，∴C （32，）．设直线BC 的解析式为：y ＝kx +b ，∴32k b =+解得：k b ìïíïî，直线BC的解析式为：y =【点拨】本题主要考查了弧弦角的性质，垂径定理，数形结合求出关键点坐标是解决本题的关键．类型四、利用垂径定理推论求进行证明4．如图所示，已知在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB 于D ，F 是⊙O 上的点，且»»CFCB =，BF 交CG 于点E ，求证：CE ＝BE ．【分析】证法一：连接CB ，可证»»CFGB =，从而可证明CE ＝BE ；证法二：作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ，证明△ONE ≌△ODE ，可得NE ＝DE，再结合垂径定理可得BN＝CD，再根据线段的差即可证明结论；证法三：连接OC交BF于点N，只需要证明△CNE≌△BDE即可证明结论．解：证法一：如图(1)，连接BC，∵AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB，∴»»CB GB=,∵»»CF BC=，∴»»CF GB=，∴∠C＝∠CBE，∴CE＝BE．证法二：如图(2)，作ON⊥BF，垂足为N，连接OE．∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CG，∴»»CB BG=，∵»»CB CF=，∴»»»CF BC BG==，∴BF＝CG，ON＝OD，∵∠ONE＝∠ODE＝90°，OE＝OE，ON＝OD，∴△ONE≌△ODE（HL），∴NE＝DE．∵12BN BF=，12CD CG=，∴BN＝CD，∴BN-EN＝CD-ED，∴BE＝CE．证法三：如图(3)，连接OC交BF于点N．∵»»=，CF BC∴OC⊥BF，∵AB是⊙O的直径，CG⊥AB，∴»»=，BG BC∴»»»==，CF BG BC=，∴»»BF CG=，ON OD∵OC＝OB，∴OC-ON＝OB-OD，即CN＝BD，又∠CNE＝∠BDE＝90°，∠CEN＝∠BED，∴△CNE≌△BDE，∴CE＝BE．【点拨】本题考查垂径定理、圆周角定理、全等三角形的性质和判定等．熟练掌握垂径定理及其推理是解题关键．举一反三：【变式1】如图，已知AB，CD是⊙O内非直径的两弦，求证：AB与CD不能互相平分．【分析】根据反证法的步骤进行证明：先假设AB与CD能互相平分，结合垂径定理的推论，进行推理，得到矛盾，从而肯定命题的结论正确．解：设AB，CD交于点P,连接OP，假设AB与CD能互相平分，则CP=DP，AP=BP，∵AB，CD是圆O内非直径的两弦，∴OP⊥AB，OP⊥C D，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾”,所以假设不成立，所以AB与CD不能互相平分【点拨】本题考查了反证法，解题的关键是：掌握反证法的步骤．【变式2】如图，已知在⊙O中，»»»＝＝，OC与AD相交于点E．求证：AB BC CD（1）AD∥BC（2）四边形BCDE为菱形．【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD，根据平行线的判定可得结论；（2）证明△DEF≌△BCF，得到DE=BC，证明四边形BCDE为平行四边形，再根据»»=得到BC=CD，从而证明菱形．BC CD解：（1）连接BD，∵»»»==，AB BC CD∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC；（2）连接CD ，∵AD ∥BC ，∴∠EDF =∠CBF ，∵»»BCCD =，∴BC =CD ，∴BF =DF ，又∠DFE =∠BFC ，∴△DEF ≌△BCF （ASA ），∴DE =BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，又BC =CD ，∴四边形BCDE 是菱形．【点拨】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF =DF ．类型五、垂径定理及推论解决其他问题5．如图，AB 为O e 的一条弦，连接OA 、OB ，请在O e 上作点C 使得ABC V 为以AB 为底边的等腰三角形．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】分别以点A 、B 为圆心，大于AB 长的一半为半径画弧，交于两点，连接这两点，交O e 于点C ，则问题可求解．解：如图所示：【点拨】本题主要考查垂径定理及等腰三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C，以点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD；（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：⊙D的半径为 ；点（6，﹣2）在⊙D （填“上”、“内”、“外”）；∠ADC的度数为 ．【答案】（1）见分析；（2）90°【分析】（1）根据原点所在的位置，建立平面直角坐标系即可；根据圆心D必在线段AB和线段BC的垂直平分线上进行求解即可；（2）由（1）得到D点坐标，即可得到OA，OD的长，利用勾股定理求解即可得到AD 的长；利用两点距离公式求出点（6，-2）到圆心D的距离与AD的长比较即可得到点（6，-2）与圆D的位置关系；利用勾股定理的逆定理判断△ADC是直角三角形即可得到答案．解：（1）如图所示，即为所求；（2）由（1）可知D 点坐标为（2，0），A 点坐标为（0，4）∴OD =2，OA =4，AD ==∴圆D 的半径为∵点（6，﹣2）到圆心D =∴点（6，﹣2）到圆心D 的距离等于半径的长，∴点（6，﹣2）在⊙D 上．∵D （2，0），C （6，2），A （0，4），∴CD ==，AC ==，∴222CD AD AC +=，∴∠ADC =90°，故答案为：90°．【点拨】本题主要考查了坐标与图形，两点距离公式，确定圆心位置，点与圆的位置关系，勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟知相关知识．【变式2】如图，O e 中，P 是»AB 的中点，C 、D 是PA 、PB 的中点，过C 、D 的直线交O e 于E 、F ．求证：EC FD =．【分析】连结OC，OD，OP交EF于G，由P是»AB的中点，可得¼¼AP BP=，根据弧等相等可得AP=BP，由C、D是PA、PB的中点，根据垂径定理可得OC⊥PA，OD⊥PB，CP=12AP，DP=12BP，可求∠PCO=∠PDO=90°，CP=DP，由勾股定理OC==OD，根据线段垂直平分线判定可得OP是CD的垂直平分线，可得CG=DG，根据垂径定理可得EG=FG即可．解：连结OC，OD，OP交EF于G，∵P是»AB的中点，∴¼¼AP BP=，∴AP=BP，∵C、D是PA、PB的中点，∴OC⊥PA，OD⊥PB，CP=12AP，DP=12BP，∴∠PCO=∠PDO=90°，CP=DP，∴OC=OD，∴OP是CD的垂直平分线，∴CG=DG，∵CD在EF上，EF是弦，OP为半径，OP⊥EF，∴EG=FG，∴EC=EG-CG=GF-GD=DF．∴EC= DF．【点拨】本题考查弧了垂径定理，等腰三角形判定与性质，线段垂直平分线判定与性质，线段和差，掌握垂径定理，等腰三角形判定与性质，线段垂直平分线判定与性质，线段和差是解题关键．类型六、利用垂径定理及推论的实际应用6．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，且折痕6AB =，求O e 的半径．【答案】【分析】过点O 作OE ⊥AB 于点E ，连接OA ，根据垂径定理，可得132AE AB ==，由折叠得： 12OE OA =，然后在Rt AEO V 中，利用勾股定理即可求得结果．解：如图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，连接OA ，∴132AE AB ==，由折叠得：12OE OA =，设=2OE x OA x =，则，∴在Rt AEO V 中，由勾股定理得：222=OE AE OA +，即：2223=4x x +解得： x 1x 2＝∴2x答：O e 的半径为【点拨】本题主要考查了折叠的性质、垂径定理和勾股定理，熟练运用相关性质和定理是解题的关键．举一反三：【变式1】某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；AB=，水面最深地方的高度（即»AB的中点(2)若这个输水管道有水部分的水面宽16cm到弦AB的距离）为4cm，求这个圆形截面所在圆的半径．【答案】(1)见分析(2)10cm【分析】（1）根据尺规作图的步骤和方法做出图即可，（2）先过圆心O作半径CO⊥AB，交AB于点D，设半径为r，得出AD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径．(1)如图所示，⊙O为所求作的圆形截面．(2)如图，作半径OC⊥AB于D，连接OA，AB＝8 cm，点C为AB n的中点，则AD＝12进而，CD＝4 cm．设这个圆形截面所在圆的半径为r cm，则OD＝（r－4）cm．在Rt△ADO中，有82＋（r－4）2＝r2，解得r＝10．即这个圆形截面所在圆的半径为10 cm．【点拨】此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解．【变式2】如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：（1）拱桥所在的圆的半径；（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．【答案】（1）拱桥所在的圆的半径为17m；（2）不需要采取紧急措施，理由见分析．【分析】（1）由垂径定理可知AM＝BM、A′N＝B′N，再在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，即可求出半径；（2）求出ON＝OP﹣PN＝15（m），再由勾股定理可得A′N＝8（m），则A′B′＝2A'N＝16米＞15m，即可得出结论．解：（1）设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为xm，则OA＝OA′＝OP，由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝30m，AB＝15（m），∴AM＝12在Rt△AOM中，OM＝OP﹣PM＝（x﹣9）m，由勾股定理可得：AO2＝OM2+AM2，即x2＝（x﹣9）2+152，解得：x＝17，即拱桥所在的圆的半径为17m；（2）∵OP＝17m，∴ON＝OP﹣PN＝17﹣2＝15（m），在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N=8（m），∴A′B′＝2A'N＝16米＞15m，∴不需要采取紧急措施．【点拨】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，准确计算是解题的关键．。
九年级数学垂径定理
点与圆的位置关系&＆垂径定理知识梳理：1、圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
如图所示：由上图可知：圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任意角度形成的圆与原来的圆重合。
2、点与圆的位置关系：设圆O的半径为r，点P在O O内，则rPO<；点P在O O上，则rPO=；点P在O O外，则rPO>3、概念：圆心，半径，直径弦，弦心距，弧，优弧，劣弧，圆心角4、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦。
（如何证明？）已知：O为下图圆的圆心，PQ为圆O的一条弦，PQOM⊥于M。
求证：QMPM=P Q5、同圆中，等弧对等弦，等弦对等弧；等弧对相等的圆心角。
学圆这一章，千万别忘记圆的定义所得出的这个简单结论：同一圆中，所有的半径相等.追根溯源，圆的定义是得到圆中其它结论的"根"。
圆的定义&&点与圆的位置关系&&垂径定理例1：已知⊙O的半径等于5cm，弦AB=6cm ，CD=8cm，且AB∥CD，则AB、CD之间的距离是多少？注意： 要考虑周全。
C DC DA B A B例2： 如图所示，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，CM cm BC cm AC ,4,2==是AB 边上的中线，以点C 为圆心，cm 5为半径作圆，则A 、B 、C 、M 四点在圆外的有________ , A 在圆上的有_________, 在圆内的有________ 。
M C B 例3：（2008重庆）在平面内，⊙O 的半径为5cm ，点P 到圆心O 的距离为3cm ，则点P 与⊙O 的位置关系是_______________ .练习（一）： （点与圆的位置关系） 1、已知⊙O 的周长为π10，（1）若6=PO ，则点P 在____________ ； （2）若4=PO ，则点P 在____________ ；（3）若点P 在圆上，则=OP ___________.2、 已知线段cm AB 2=，在平面内作出到点A 和点B 的距离都小于1.5cm 的所有点组成的图形。
人教版数学九年级上册课件垂径定理的推论
沧海可填山可移，男儿志气当如斯。
顶心天随立 朗地月奇高 一男，子志点，与要秋，把霜乾洁且坤。扭O转来E。⊥CD垂足为F，EF=90m．求这段弯路
贫穷是一切艺术职业的母亲。
的半径． 石看纹理山看脉，人看志气树看材。
寄言燕雀莫相唣，自有云霄万里高。 成功往往偏向于有准备的人 志不立，天下无可成之事。
解:连接OC．
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ③ 平分弦
（10）平分弦所对的两条弧的直径过圆心， 并且垂直平分弦．
课堂小结
1． 圆是轴对称图形
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
O
2． 垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧．
C
几何语言：
O E A
D
∵CD是⊙O的直径， CD⊥AB． B ∴AE＝BE，A⌒C＝B⌒C，A⌒D＝的弧相等．
M
证明：作直径MN垂直于弦AB
D ∵ AB∥CD
B ∴ 直径MN也垂直于弦CD
∴A⌒M＝B⌒M，
O
C⌒M＝D⌒M
∴A⌒M－C⌒M ＝B⌒M－D⌒M
即 A⌒C＝B⌒D N
两条弦在圆心的同侧
垂径定理的推论2 有这两种情况：
O
A
B 两条弦在圆心的两侧
C
D
A
B
O
C
D
小练习 C
AD 1 AB 1 37.4 18.7,
2
2
OD=OC－CD=R－7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得 A
C
D
B
OA2=AD2+OD2
R
即 R2=18.72+（R－7.2）2
O
解得 R≈27.9（m）
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圆也是中心对称图形.
它的对称中心就是圆心.
●O
用旋转的方法即可解决这个
问题.
垂径定理
▪ AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A M└ ●O
D
▪ 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说
说你的想法和理由.
B 小明发现图中有:
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
垂径定理
▪ 如图,小明的理由是: ▪ 连接OA,OB,则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
C
∴AM=BM.
A
┗●
B 小明发现图中有:
M
●O
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（D不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
垂径定理的逆定理
▪ 如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C,
7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得 A
OA2 AD2 OD 2 ,
37.4
C
D
B
即R2 18.72 (R 7.2)2.
R
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
O
讲解 垂径定理的应用
例2 已知：如图１，在以O为 圆心的两个同心圆中，大圆的
O.
弦AB交小圆于C，D两点。
垂直于弦的直径
圆的对称性
▪ 圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称
轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
圆是中心对称图形吗？
如果是,它的对称中心是什么?
●O
你能找到多少个对称中心？
你又是用什么方法解决这个
问题的?
圆的对称性
▪ 圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无
。
C
.
O
A
E
B
变式4：
D
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，
垂足为E．
若OE =9， DE =6则，AO =
，AB =
。
C
.
O
A
E
B
变式5：
D
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使
CD⊥AB，垂足为E．
若AB=40，DE=10，则OE=
，AO=
。
小结：在圆的半径，弦长， 弦心距及拱高四个量中，只 要已知两个量，我们就可以 借助勾股定理求出另外的两 个量。
⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A M└
B
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
C
C
A
B
E
O
O
A
B
E
图形分析：D
1、△ABC是等腰三角形
D
（OE是△ABC的AB边上的高， AB边上的中线， ∠AOB的角平分线。）
2、Rt △AOE≌ Rt △BOE（勾股定理）
A CBAD来自.OB.O
C
D
作业
谢谢各位
E AC
DB
求证：AC＝BD。
方法归纳：
图１
解决有关弦的问题时，经常连结半径；过
圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为
应用垂径定理创造条件。
变式1：如图：OA=OB， AC=BD吗？为什么？
O.
AC
DB
图２
变式2：如图：OA=OB， AC=BD吗？为什么？
O
CA
BD
图３
提高练习: 已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12， CD=16，则AB和CD的距离为 2或14 ．
C
.
O
A
例1、
E
B
如图，AB是⊙O的一条弦，做D 直径CD，使CD⊥AB，
垂足为E．若AB=8，AO=5则，OE= ，DE=
。
思路指导：求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定 理转化为直角三角形,从而利用勾股定理来解决问题.
C
.
O
A
E
B
变式1：
D
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使
CD⊥AB，垂足为E．
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D=B⌒D.
▪ 老师提示:
▪ 垂径定理是圆 中一个重要的
结论,三种语言 要相互转化,形 成整体,才能运 用自如.
垂径定理的逆定理
▪ AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
▪ 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由.
A M└ ●O
D
B ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,
∴ 重∴合当A⌒C,圆=⌒ A沿B⌒CC着和, AB⌒⌒直DC径重=B⌒合CDD,. 对⌒ AD折和时B⌒D,点重合A与. 点B
垂径定理三种语言
▪ 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A M└ ●O
D
如图∵ CD是直径,
若AB=16，OE=6则，AO=
，DE=
。
C
.
O
A
E
B
变式2：
D
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使
CD⊥AB，垂足为E．
若OE =5，AO=13则，AB=
，DE=
。
CC
.
O
A
E
B
变式3：
D
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使
CD⊥AB，垂足为E．
若DE =8，AO=20则，OE=
，AB=
赵州石拱桥
解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高.
由题设 AB 37.4,CD 7.2,
11
AD AB 37.4 18.7,
22
OD OC DC R 7.2.