九年级数学垂径定理
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垂直于弦的直径
圆的对称性
▪ 圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称
轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
圆是中心对称图形吗？
如果是,它的对称中心是什么?
●O
你能找到多少个对称中心？
你又是用什么方法解决这个
问题的?
圆的对称性
▪ 圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无
若AB=16，OE=6则，AO=
，DE=
。
C
.
O
A
E
B
变式2：
D
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使
CD⊥AB，垂足为E．
若OE =5，AO=13则，AB=
，DE=
。
CC
.
O
A
E
B
变式3：
D
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使
CD⊥AB，垂足为E．
若DE =8，AO=20则，OE=
，AB=
。
C
.
O
A
E
B
变式4：
D
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，
垂足为E．
若OE =9， DE =6则，AO =
，AB =
。
C
.
O
A
E
B
变式5：
D
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使
CD⊥AB，垂足为E．
若AB=40，DE=10，则OE=
，AO=
。
小结：在圆的半径，弦长， 弦心距及拱高四个量中，只 要已知两个量，我们就可以 借助勾股定理求出另外的两 个量。
赵州石拱桥
解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高.
由题设 AB 37.4,CD 7.2,
11
AD AB 37.4 18.7,
22
OD OC DC R 7.2.
说你的想法和理由.
B 小明发现图中有:
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
垂径定理
▪ 如图,小明的理由是: ▪ 连接OA,OB,则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
C
∴AM=BM.
C
.
O
A
例1、
E
B
如图，AB是⊙O的一条弦，做D 直径CD，使CD⊥AB，
垂足为E．若AB=8，AO=5则，OE= ，DE=
。
思路指导：求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定 理转化为直角三角形,从而利用勾股定理来解决问题.
C
.
O
A
E
B
变式1：
D
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使
CD⊥AB，垂足为E．
⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A M└
B
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
C
C
A
B
E
O
O
A
B
E
图形分析：D
1、△ABC是等腰三角形
D
（OE是△ABC的AB边上的高， AB边上的中线， ∠AOB的角平分线。）
2、Rt △AOE≌ Rt △BOE（勾股定理）
数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
圆也是中心对称图形.
它的对称中心就是圆心.
●O
用旋转的方法即可解决这个
问题.
垂径定理
▪ AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A M└ ●O
D
▪ 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说
A M└ ●O
D
B ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,
∴ 重∴合当A⌒C,圆=⌒ A沿B⌒CC着和, AB⌒⌒直DC径重=B⌒合CDD,. 对⌒ AD折和时B⌒D,点重合A与. 点B
垂径定理三种语言
▪ 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A M└ ●O
D
如图∵ CD是直径,
E AC
DB
求证：AC＝BD。
方法归纳：
图１Baidu Nhomakorabea
解决有关弦的问题时，经常连结半径；过
圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为
应用垂径定理创造条件。
变式1：如图：OA=OB， AC=BD吗？为什么？
O.
AC
DB
图２
变式2：如图：OA=OB， AC=BD吗？为什么？
O
CA
BD
图３
提高练习: 已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12， CD=16，则AB和CD的距离为 2或14 ．
A C
B
A
D
.O
B
.O
C
D
作业
谢谢各位
A
┗●
B 小明发现图中有:
M
●O
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（D不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
垂径定理的逆定理
▪ 如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D=B⌒D.
▪ 老师提示:
▪ 垂径定理是圆 中一个重要的
结论,三种语言 要相互转化,形 成整体,才能运 用自如.
垂径定理的逆定理
▪ AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
▪ 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由.
7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得 A
OA2 AD2 OD 2 ,
37.4
C
D
B
即R2 18.72 (R 7.2)2.
R
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
O
讲解 垂径定理的应用
例2 已知：如图１，在以O为 圆心的两个同心圆中，大圆的
O.
弦AB交小圆于C，D两点。
圆的对称性
▪ 圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称
轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
圆是中心对称图形吗？
如果是,它的对称中心是什么?
●O
你能找到多少个对称中心？
你又是用什么方法解决这个
问题的?
圆的对称性
▪ 圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无
若AB=16，OE=6则，AO=
，DE=
。
C
.
O
A
E
B
变式2：
D
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使
CD⊥AB，垂足为E．
若OE =5，AO=13则，AB=
，DE=
。
CC
.
O
A
E
B
变式3：
D
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使
CD⊥AB，垂足为E．
若DE =8，AO=20则，OE=
，AB=
。
C
.
O
A
E
B
变式4：
D
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，
垂足为E．
若OE =9， DE =6则，AO =
，AB =
。
C
.
O
A
E
B
变式5：
D
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使
CD⊥AB，垂足为E．
若AB=40，DE=10，则OE=
，AO=
。
小结：在圆的半径，弦长， 弦心距及拱高四个量中，只 要已知两个量，我们就可以 借助勾股定理求出另外的两 个量。
赵州石拱桥
解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高.
由题设 AB 37.4,CD 7.2,
11
AD AB 37.4 18.7,
22
OD OC DC R 7.2.
说你的想法和理由.
B 小明发现图中有:
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
垂径定理
▪ 如图,小明的理由是: ▪ 连接OA,OB,则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
C
∴AM=BM.
C
.
O
A
例1、
E
B
如图，AB是⊙O的一条弦，做D 直径CD，使CD⊥AB，
垂足为E．若AB=8，AO=5则，OE= ，DE=
。
思路指导：求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定 理转化为直角三角形,从而利用勾股定理来解决问题.
C
.
O
A
E
B
变式1：
D
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使
CD⊥AB，垂足为E．
⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A M└
B
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
C
C
A
B
E
O
O
A
B
E
图形分析：D
1、△ABC是等腰三角形
D
（OE是△ABC的AB边上的高， AB边上的中线， ∠AOB的角平分线。）
2、Rt △AOE≌ Rt △BOE（勾股定理）
数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
圆也是中心对称图形.
它的对称中心就是圆心.
●O
用旋转的方法即可解决这个
问题.
垂径定理
▪ AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A M└ ●O
D
▪ 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说
A M└ ●O
D
B ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,
∴ 重∴合当A⌒C,圆=⌒ A沿B⌒CC着和, AB⌒⌒直DC径重=B⌒合CDD,. 对⌒ AD折和时B⌒D,点重合A与. 点B
垂径定理三种语言
▪ 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A M└ ●O
D
如图∵ CD是直径,
E AC
DB
求证：AC＝BD。
方法归纳：
图１Baidu Nhomakorabea
解决有关弦的问题时，经常连结半径；过
圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为
应用垂径定理创造条件。
变式1：如图：OA=OB， AC=BD吗？为什么？
O.
AC
DB
图２
变式2：如图：OA=OB， AC=BD吗？为什么？
O
CA
BD
图３
提高练习: 已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12， CD=16，则AB和CD的距离为 2或14 ．
A C
B
A
D
.O
B
.O
C
D
作业
谢谢各位
A
┗●
B 小明发现图中有:
M
●O
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（D不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
垂径定理的逆定理
▪ 如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D=B⌒D.
▪ 老师提示:
▪ 垂径定理是圆 中一个重要的
结论,三种语言 要相互转化,形 成整体,才能运 用自如.
垂径定理的逆定理
▪ AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
▪ 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由.
7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得 A
OA2 AD2 OD 2 ,
37.4
C
D
B
即R2 18.72 (R 7.2)2.
R
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
O
讲解 垂径定理的应用
例2 已知：如图１，在以O为 圆心的两个同心圆中，大圆的
O.
弦AB交小圆于C，D两点。