282解直角三角形应用第二课时PPT课件
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28.2.2解直角三角形的简单应用PPT课件
180
180
新知讲解
归纳总结
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1.将实际问题抽象为数学问题； 画出平面图形，转化为解直角三角形的问题
2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去 解直角三角形； 3.得到数学问题的答案； 4.得到实际问题的答案.
新知讲解
例2 如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地 面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角） 约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？
结果取整数）？ 取3.142，
F
P
Q
O
新知讲解
解：设∠POQ= ，∵FQ是☉O的切线，
∴△FOQ是直角三角形. ∵cos OQ 6400 0.9491,
OF 6400 343
∴ 18.36 .
F
P
Q
O
∴PQ 的长为
18.36 6400 18.36 3.142 6400 205（ 1 km).
∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数据求得A、B两树
距离的有（ D ）
A．0组
B.1组
C．2组
D.3组
学以致用
某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼,该居民楼的一楼是高6米的小区超 市,超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午 的阳光与水平线的夹角为30°时.问：超市以上的居民住房采光是否有影响,为什么？
A
①
D
②
B
C
分层教学 做一做下面的题目，看谁做得又快又准确。
1、2组
如图，在离地面高度为5m的C处引
拉线固定电线杆，拉线与地面成α角，
则拉线AC的长为
§23.2 解直角三角形及其应用(第二课时)
C
图5
归纳与提高
α
α
β
β
450
45°
30°
45°
30°
400
O
B
AO
B
A
P
C
30°60° A
45° 22000米 45°
O
B
P 45°°
3300°°
202000米
D
O
B
初探中考题
在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传 条幅DC，小丽同学在点A处，测得条幅顶端D的仰角为 30°，再向条幅方向前进10米后， 又在点B处测得条幅顶 端D的仰角为45°，已知点A、B和C离地面高度都为1.44米 ，求条幅顶端D点距离地面的高度． （计算结果精确到0.1米） 参考数据:
（示意图不0.是374直6 角三角形0，（.92可米72）添加适当的0.辅404助0） 线示B意，图构中造的直边角、三在 角角关形系.二中或是，它将们已之知间条的件关（转米系化）（. 为米）
答：电线杆的高为10.5米。
E
α= 22°
D 1.2米
A
23米
C
问解题：2如、图如，图在，Rt在△A山BC坡中上，∠种A树=2，4°要，求相邻上、下两 树株距水（平相距离邻A两C=树5.5间m，的B水C⊥平AC距. 离）是5.5m，测得 斜坡的∵倾在斜角是2中4，°，求斜坡上相邻两树间的坡 面距离是多少？（精确到0.1m）
变题4：
汶川地震后，抢险队派一架直升
飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的
P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°（如
图5）．求A、B两个村庄间的距离．（结果精确到米，
参考数据 2 1.414， 3 1.732 ）.
《解直角三角形的应用》PPT教学课件(第2课时)
象为数学问题．
2、视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯角)和另一边，
利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度．
3、弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实际问题中的数量
关系归结到直角三角形中来求解．
课堂小结
解答含有方位角问题的方法
解决与方位角有关的实际问题时，必须先在每个位置中心建立方向
解直角三角形的
26.4
应用
第2课时
知识回顾
直角三角形中诸元素之间的关系：
（1）三边之间的关系：a2+b2=c2 (勾股定理)；
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；
（3）边角之间的关系：sin A
a
b
a
, cos A , tan A .
c
c
b
c
A
a
b
C
情景导入
如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？
方案Ⅱ：从A地开车穿越草地沿AC方向到牧民区C。
已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍。
（1）求牧民区到公路的最短距离？
解析：设CD=x千米，由题意，得∠CBD=300， ∠CAD=450，
∴AD=CD=x千米
3
在Rt△BCD中，tan300= 3 =，∴BD= 3x千米.
∵AB=40千米，AD+BD=AB，
1
tan
，因此 α≈26.57°.
2
C
在Rt△ABC中，
∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，
因此 sin
BC BC
.
AC 240
2、视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯角)和另一边，
利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度．
3、弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实际问题中的数量
关系归结到直角三角形中来求解．
课堂小结
解答含有方位角问题的方法
解决与方位角有关的实际问题时，必须先在每个位置中心建立方向
解直角三角形的
26.4
应用
第2课时
知识回顾
直角三角形中诸元素之间的关系：
（1）三边之间的关系：a2+b2=c2 (勾股定理)；
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；
（3）边角之间的关系：sin A
a
b
a
, cos A , tan A .
c
c
b
c
A
a
b
C
情景导入
如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？
方案Ⅱ：从A地开车穿越草地沿AC方向到牧民区C。
已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍。
（1）求牧民区到公路的最短距离？
解析：设CD=x千米，由题意，得∠CBD=300， ∠CAD=450，
∴AD=CD=x千米
3
在Rt△BCD中，tan300= 3 =，∴BD= 3x千米.
∵AB=40千米，AD+BD=AB，
1
tan
，因此 α≈26.57°.
2
C
在Rt△ABC中，
∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，
因此 sin
BC BC
.
AC 240
人教版九年级数学下册：28.2 解直角三角形的应用教学课件 共13张PPT
A 仰角 水平线
B
α β D
Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，
所以利用解直角三角形的知识求出
俯角 C
BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．BD CD ta a ,tan AD AD
BD AD tan a 120 tan 30
B
A
┌ C
测量中的最远点问题
例3： 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变 轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地 球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？ 这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果取整数）
仰角和俯角
读一读
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线 的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线 铅 直 线 仰角 水平线 俯角 视线
仰角与俯角
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距 离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m） 分析：我们知道，在视线与水平线所 成的角中视线在水平线上方的是仰角， 视线在水平线下方的是俯角，因此， 在图中，a=30°,β=60°
看到的地球上的点，应是视 线与地球相切时的切点．
分析：从飞船上能最远直接
F P
Q
α O·
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
OQ 6400 cos a 0 . 95 OF 6400 350
F P α O· Q
a 18 . 36
B
α β D
Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，
所以利用解直角三角形的知识求出
俯角 C
BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．BD CD ta a ,tan AD AD
BD AD tan a 120 tan 30
B
A
┌ C
测量中的最远点问题
例3： 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变 轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地 球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？ 这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果取整数）
仰角和俯角
读一读
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线 的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线 铅 直 线 仰角 水平线 俯角 视线
仰角与俯角
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距 离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m） 分析：我们知道，在视线与水平线所 成的角中视线在水平线上方的是仰角， 视线在水平线下方的是俯角，因此， 在图中，a=30°,β=60°
看到的地球上的点，应是视 线与地球相切时的切点．
分析：从飞船上能最远直接
F P
Q
α O·
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
OQ 6400 cos a 0 . 95 OF 6400 350
F P α O· Q
a 18 . 36
《解直角三角形(第2课时)》课件 (共29张PPT)
B
α=30° 120 D β=60°
A
C
P
Q
α O·
1. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同 时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那 么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m） A B 140° C E
50° D
3. 如图,太阳光与地面成60度角,一棵倾斜的大树 AB与地面成30度角,这时测得大树在地面上的影长 为10m,请你求出大树的高.
P
30°
A
200米
45°
O
B
L U D
合作与探究
变题2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB 左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得 大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水 A 平距离.
P
45° 30°
200米 D
O
B
例2:热气球的探测器 显示,从热气球看阳光 宾馆顶部的仰角为 30°,看它的底部的俯 角为60°,热气球与阳 光宾馆的水平距离为 120m,阳光宾馆有多 高?
Ａ
a
b
Ｃ
温故而知新
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）若∠A=30°，BC=3，则AC= 3 3 （2）若∠B=60°，AC=3，则BC=
3
（3）若∠A=α°，AC=3，则BC= 3 tan
m （4）若∠A=α°，BC=m，则AC= tan
B
A
┌ C
例题 例4： 2008年10月15日“神舟”7号载人航天飞船发射 成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的 圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点 在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？ （地球半径约为6 400km，结果精确到0.1km） F
新人教版九年级下册数学 28.2 解直角三角形及其应用参考课件(共30张PPT)
2.如图,沿AC方向开山修路,为了加快施工进度,要在小山的 另一边同时施工,从AC上的一点B取∠ABD=140°,BD=520m, ∠d=50°,那么开挖点E离D多远正好能A,C,E使成一直线,(精 确到0.1m)?
例5.如图,一般海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯 塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于 灯塔P的南偏东34°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距 离灯塔P有多远(结果取整数)?
问题 要想使人平安地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶 端,梯子与地面所成的角α,一般要满足50°≤α≤75°. 现有一个长6m的梯子.问
(1)使用这个梯子最高可以平安攀上多高的墙(精确到0.1m)
对于问题(1),当梯子与地面成的角α为75°时,梯子顶 端与地面的距离是使用这个梯子所以攀到的最大高度.
问题(1)可以归结为:在Rt△ABC中,己知∠A=75°,斜边 AB=6,求∠A的对边BC的长.
(1)坡度α和β; (2)坝顶宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角 三角形问题); (2)根据条件的特点,适中选用锐角三角函数等去解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案.
例3 2022年6月18日，“神舟〞九号载人航天飞船与“天宫〞 一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟〞九号与“天宫〞一 号的组合体当在离地球外表343km的圆形轨道上运行.如图,当组 合体运行到地球外表上P点的正上方时，从中能直接看到的地球 外表最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少?(地球半 径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数)？
解 : 如图在RtAPC中
九年级数学下册28.2 《解直角三角形及其应用》PPT课件
解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是 看C点，AB就是“楼”的高度，
在Rt△OCB中，∠O
AC OC
180
4.5 ，
OB
OC cos∠O
6370 cos 4.5
6389km，
∴ AB=OB－OA=6389－6370=19(km). 即这层楼至少要高19km，即1900m. 这是不存在 的.
例1 2012年6月18日，“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号
目标飞行器成功实现交会对接. “神州”九号与“天宫”一号的
组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组
合体运行到离地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的
地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少
（地球半径约为6 400km，取3.142，结果取整数）？
个角）， 其中∠C=90°.
B
(1) 三边之间的关系:a2+b2=__c_2__；
c a
(2) 锐角之间的关系： ∠A+∠B=__9_0_°_；
A
a
bC
b
(3) 边角之间的关系：sinA=__c___，cosA=__c___，
a
tanA=___b__.
讲授新课
一 已知两边解直角三角形
合作探究
在图中的Rt△ABC中，
三 已知一锐角三角函数值解直角三角形
例3 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = 1，
3
BC = 5， 试求AB的长.
解： C 90，cos A 1， AC 1 . 3 AB 3
设 AB x, AC 1 x，
B
人教版数学九年级下册 28.2.1 解直角三角形 课件(共27张PPT)
学习目标
1.了解并掌握解直角三角形的概念. 2.理解直角三角形中的五个元素之间的联系. 3.学会解直角三角形.
课堂导入
如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中 心点为 B，塔身中心线与垂直中心线 的夹角为∠A，过点 B 向垂直中心线 引垂线，垂足为点 C .在 Rt△ABC 中， ∠C =90°，BC =5.2 m，AB =54.5 m.
解这个直角三角形.
A
2
C
6
B
2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝35°，
b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位). A
c
b
35°
20
B
a
C
3.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = 13，BC = 5， 试 求AB 的长.
随堂练习
D ∠A≠30° ,AC =2
1.解直角三角形时，已知其中的两个元素中，至少 有一个是边. 2.在解直角三角形时,先画出一个直角三角形，标明 已知元素，然后确定锐角，再确定它的对边和邻边.
直角三角形中的边角关系
如图，在 Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A，∠B，∠C
所对的边分别为 a，b，c，那么除直角∠C 外的五个
元素之间有如下关系：
B
1.三边之间的关系：a2 +b2 =c2 (勾股定理) =90°； c a
A bC
B ca A bC
新知探究 知识点2：解直角三角形的基本类型及解法
已知两边解直角三角形的方法
1.已知斜边和一直角边：通常先根据勾股定理求出 另一条直角边，然后利用已知直角边与斜边的比得 到一个锐角的正弦(或余弦)值，求出这个锐角，再 利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角. 2.已知两直角边：通常先根据勾股定理求出斜边， 然后利用两条直角边的比得到其中一个锐角的正切 值，求出该锐角，再利用直角三角形中的两锐角互 余求出另一个锐角.
人教版九年级下册数学 28. 2 解直角三角形及应用 (共15张PPT)
作业：
如右下图，海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A 处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B 到C处的距离. 解：如图，过B点作BD⊥AC于D ∴∠ABD=60°，∠DCB=90°-45°=45° 设BD=x，则CD=BD=x 在Rt△ABD中，AD=x·tan60°= x 在Rt△BDC中， BC= BD= X 又AC=5×2=10，AD+CD=AC ∴ x +x=10 ，得x=5（ -1） ∴BC= •5（ -1)=5( - ) （海里）， 答：灯塔B距C处5( - ) 海里。
28.2.2 解直角三角形的应用
一、创设情景，导入新课
画出方位角（表示东南西北四个方向的）并依次画出表示东南 方向、西北方向、北偏东60度、南偏东30度方向的射线.
西
北
北
东 西
东
南
南
合作探究 达成目标
例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏 东65 方向，距离灯塔80海里的A处，它
65°
A
沿正南方向航行一段时间后，到达位于 灯塔P的南偏东34 方向上的B处.这时， P
练习： 1、如图:一艘轮船由海平面上A地出发 向南偏西400的方向行驶40海里到达B地, 再由B地向北偏西200的方向行驶40海里 到达C地,则A,C两地的距离为 ___ _ 。
北
C A
北
D
B
2、如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向， 距离灯塔40 2 海里的 A处，它沿正南方向航行 一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东3 0 ° 方 向上的 B处，则海轮行驶的路程 AB 为多少海 里（结果保留根号）．
解：在Rt△APC中， ∵AP=40 ，∠APC=45° ∴AC=PC=40 在Rt△BPC中， ∵∠PBC=30°，∴∠BPC=60° ∴BC=PC•tan60°=40× =40 ∴AB=AC+BC=40+40 （海里） 答：海轮行驶的路程AB为 (40+40
282解直角三角形(坡度问题)PPT课件
h α
L
1、斜坡的坡比是1:1 ，则坡角α=______度。
2、斜坡的坡角是600 ，则坡比是 _______。
3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。
4、传送带和地面所成的斜坡的坡比为1：2，把物体 从地面送到离地面9米高的地方，则物体通过的路 程为 _______米。
5、斜坡的坡度是1：3，斜坡长=100 米，则斜坡高为_______米。
练习
3.如图,在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的 水平距离)是5.5米,测得斜坡的倾斜角是24度,求 斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米?（精 确到0.1米）
B
24°
C
(
5.5
A
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过 程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平 面图形，转化为解直角三角形的问题）；
。
3、一辆汽车沿着坡度为i =1:3的斜坡前进了100m，
则它上升的最大高度为
m。(精确到0.1m)
练习
2.我军某部在一次野外训练中,有一辆坦克准备通 过一座小山,已知山脚和山顶的水平距离为1000 米,山高为565米,如果这辆坦克能够爬300 的斜坡, 试问:它能不能通过这座小山？
A
1000米
B 565米 C
基础练习
1.如图 (1)若h=2cm，l=5cm，则i=
(2)若i=1:1.5，h=2m，则l=
2.水库的横断面是梯形ABCD,迎水坡AB的坡 度i= 1：2坝高h=20m,迎水坡的水平宽度= tanα=
BC B
h
α
C
l
AA
E
D
例1.铁路路基横断面是一个等腰梯形ABCD,若腰 的坡度是i=1: 3 ,顶宽是4m,路基高是6m,求（1）
《解直角三角形的应用》PPT课件2
26.4 解直角三角形的应用
1．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线__上____方的叫做 仰角，在水平线___下_____方的叫做俯角．
2．如图，坡面的垂直高度 h 和_水__平__宽___度__l_的比hl 叫做坡面的坡 度(或h__坡__比____)，坡面与水平面的__夹__角____叫做坡角，即 tan α＝
AB
的高度．(结果精确到
0.1
米，
3≈1.732)
3.由题意可知，四边形 BCED 是平行四边形所以 CE＝BD ＝6 米，CB＝ED＝1.5 米，在 Rt△ACE 中，tan ∠AEC＝
AECC，即 tan 60°＝A6C，∴AC＝ 3×6≈1.732×6≈10.4(米)， ∴AB＝AC＋CB＝10.4＋1.5＝11.9(米)
据： 2≈1.41， 3≈1.73， 6≈2.45，结果精确到 0.1)
17．过点 B 作 BD⊥CA，交 CA 的延长线于点 D. 由 题 意 ， 得 ∠ACB ＝ 60°－ 30°＝ 30°， ∠ABC ＝ 75°－ 60°＝ 15°， ∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∴在 Rt△ADB 中，AB＝12 海里，∠BAD ＝45°，∴BD＝AD＝AB·cos 45°＝12× 22＝6 2(海里)． 在 Rt△BCD 中，CD＝taBn D30°＝6 32＝6 6(海里)．
MN 靠岸？请说明理由．(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
18.(1)过点 A 作 AC⊥OB 于点 C，由题意知 OA＝20 3 千 米，OB＝20 千米，∠AOC＝30°，∴AC＝12×OA＝12×20 3＝ 10 3(千米)．在 Rt△AOC 中，OC＝OA·cos ∠AOC＝20 3 ×cos 30°＝30(千米)，∴BC＝OC－OB＝30－20＝10(千米)，∴
1．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线__上____方的叫做 仰角，在水平线___下_____方的叫做俯角．
2．如图，坡面的垂直高度 h 和_水__平__宽___度__l_的比hl 叫做坡面的坡 度(或h__坡__比____)，坡面与水平面的__夹__角____叫做坡角，即 tan α＝
AB
的高度．(结果精确到
0.1
米，
3≈1.732)
3.由题意可知，四边形 BCED 是平行四边形所以 CE＝BD ＝6 米，CB＝ED＝1.5 米，在 Rt△ACE 中，tan ∠AEC＝
AECC，即 tan 60°＝A6C，∴AC＝ 3×6≈1.732×6≈10.4(米)， ∴AB＝AC＋CB＝10.4＋1.5＝11.9(米)
据： 2≈1.41， 3≈1.73， 6≈2.45，结果精确到 0.1)
17．过点 B 作 BD⊥CA，交 CA 的延长线于点 D. 由 题 意 ， 得 ∠ACB ＝ 60°－ 30°＝ 30°， ∠ABC ＝ 75°－ 60°＝ 15°， ∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∴在 Rt△ADB 中，AB＝12 海里，∠BAD ＝45°，∴BD＝AD＝AB·cos 45°＝12× 22＝6 2(海里)． 在 Rt△BCD 中，CD＝taBn D30°＝6 32＝6 6(海里)．
MN 靠岸？请说明理由．(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
18.(1)过点 A 作 AC⊥OB 于点 C，由题意知 OA＝20 3 千 米，OB＝20 千米，∠AOC＝30°，∴AC＝12×OA＝12×20 3＝ 10 3(千米)．在 Rt△AOC 中，OC＝OA·cos ∠AOC＝20 3 ×cos 30°＝30(千米)，∴BC＝OC－OB＝30－20＝10(千米)，∴
解直角三角形应用(第二课时)课件
直角三角形的勾股定理
勾股定理是直角三角形最重要且最基础的定理之一，它建立了直角三角形的 边与斜边之间的关系。
勾股定理:
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
角三角形的平方和公式
平方和公式是将两个直角三角形合并为一个更大的直角三角形时使用的数学公式。
平方和公式:
在一个直角三角形中，直角边的平方和等于另外两条边的平方和。
直角三角形的余弦定理
余弦定理是解决非直角三角形的边和角之间关系的重要工具之一。
余弦定理:
在一个三角形中，一个边的平方等于另外两条边的平方和减去它们的乘积与这两边夹角的余弦的乘积。
直角三角形的特殊形态
等边直角三角形
等边直角三角形拥有相等的三条 边和相等的内角。
等腰直角三角形
等腰直角三角形拥有两条相等的 边和相等的内角。
不等边直角三角形
不等边直角三角形不存在任何相 等的边或内角。
直角三角形的应用案例
建筑设计
直角三角形的特性使得它在设计建筑物和桥梁 时非常有用。
电子工程
直角三角形的原理在电路设计和信号处理中扮 演着重要角色。
解直角三角形应用(第二 课时)ppt课件
本课程将深入探讨直角三角形的定义和性质，介绍其特殊形态和应用案例， 并详细解释海伦公式、勾股定理以及平方和公式等重要概念。
直角三角形的定义和性质
1 什么是直角三角形?
直角三角形是一种具有一个内角为90度的三角形。
2 直角三角形的性质
直角三角形的两条边相互垂直，满足勾股定理，为我们解决很多几何问题提供了便利。
测量和导航
直角三角形可以帮助我们测算距离、角度和方 向。
航空航天
直角三角形的理论是飞行路径和卫星定位的基 础。
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A
45°
X
60° 157.C73海里
B
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联 的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过 作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅 助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善 于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角 关系。
2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系， 所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作 为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。
4.得到实际问题的答案.
解直应用——方位角
• 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 900的角,叫做方位角.
• 如图：点A在O的北偏东30°
• 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
北
A
30°
西
东
O
45°
B
南
例3. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距 离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海 轮所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里）
A
3x
45° 60°
C 300米
D
xB
变式2 在山顶上处D有一铁塔，在塔顶B处测得地面 上一点A的俯角α=60o，在塔底D测得点A的俯角β=45o， 已知塔高BD=30米，求山高CD。
B α
30米 30°
D
β
45°
x
Cx
A
建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观察 旗杆顶部A的仰角为50°,观察底部B的仰角为 45°,求旗杆的高度(tan50°≈1.19，精确到0.1m)
α＝22°
1.20
E
22.7
图19.4.4
例2:热气球的探测器 显示,从热气球看一栋 高楼顶部的仰角为 30°,看这栋高楼底部 的俯角为60°,热气球 与高楼的水平距离为 120m,这栋高楼有多 高?
B
α=30°
A 120 D
β=60°
C
变式1 在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。 问题如下： 1）沿着水平地面向前300米到达D点，在D点 测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB。
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
感悟：利用解直角三角形的知识解决实际问题
的一般步骤: 1.将实际问题抽象为数学问题;
(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)
2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形; (有“斜”用“弦”; 无“斜” 用“切”)
3.得到数学问题的答案;
65°80 A P
C
34°
B
例4.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏 东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东 航行，有没有触礁的危险？
A
6509°0
B 12
3310°0
DF
为正南正北方向，楼高都是16m。某时
太阳光线与水平线的夹角为30°，如果
南北两楼间隔仅有20m，试求：
(2)要使南楼的影子
刚好落在北楼的墙
A
脚，两楼间的距离 应当是多少？
16m
B 20m
D
C
3. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同 时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那
部C的俯角a＝600, 求两座建筑物 AB及CD的高.
30° 60°
50米
检测4
如图， 我市某住宅区高层建筑均 为正南正北方向，楼高都是16m。某时 太阳光线与水平线的夹角为30°，如果 南北两楼间隔仅有20m，试求： (1)此时南楼的影子 落在北楼上有多高？ A
16m
D
B 20m
C
如图， 我市某住宅区高层建筑均
28.2 解直角三角形(2)
1. 在△ABC中，∠B＝600，AD⊥BC，
AD＝ 3 ，AC＝ 1 9 ，则AB＝ ，
BC＝
；
A
B
C
D
Rt △ABD已知一边一角 Rt △ADC已知两边
2. 如图，在△ABC中，∠B=45°，
∠C=30°，AB= 4 2 ，求AC和BC。
Rt △ABD已知一边一角
4.国外船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里 以内的区域，如图，设A、B是我们的观察站，A和B 之间的距离为157.73海里，海岸线是过A、B的一条 直线，一外国船只在P点，在A点测得∠BAP=450，同 时在B点测得∠ABP=600，问此时是否要向外国船只 发出警告，令其退出我国海域.
P
X
么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m）
解：要使A、C、E在同一直线上， 则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角
AB 140°
∴∠BED=∠ABD－∠D=90°
C
E
cosBDE DE
50°
BD
D E c o s B D E B D
DБайду номын сангаас
c o s 5 0 5 2 0 0 .6 4 5 2 0 3 3 2 .8
1.在解直角三角形及应用时经常接触到 的一些概念(仰角,俯角;方位角等)
2.实际问题向数学模型的转化 (解直角三角形)
28.2.２ 解直角三角形(2)
例：2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞 船发射成功，当飞船完成变轨后，就在离地球 表面350km的圆形轨道上运行，如图所示， 当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从 飞船上能直接看到的地球上最远的点在什么位 置？这样的最远点与P点的距离是多少？(地球 半径为6400km，结果精确到0.1km)
3.如图，在△ABC，∠C＝90O，D是BC 上一点，∠ADC＝45O， ∠ABC＝300， BD＝10 ，求：AB的长
C
x
D A
B
解直应用——仰角和俯角
在进行测量时，
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做
仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做
俯角.
视线
铅 直
仰角
线 俯角
水平线
视线
例1.如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电 线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测 得电线杆顶端B的仰角a＝22°， 求电线杆AB的高．（精确到0.1米）
A
B
D 40 C
检测2
2. 某人在A处测得建筑物的仰角∠BAC为300 , 沿AC方向行20m至D处,测得仰角∠BDC 为450, 求此建筑物的高度BC.
B
A ____________________
D
C
检测3
3. 两座建筑AB及CD，其地面距离 AC为50米，从AB的顶点B测得CD
的顶部D的仰角β＝300,测得其底