有理数单元培优测试卷

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）

1．数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值.例：点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，则A、B两点间的距离表示为AB＝|a﹣b|.根据以上知识解题：

（1）点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示2，那么AB＝________.

（2）在数轴上表示数a的点与﹣2的距离是3，那么a＝________.

（3）如果数轴上表示数a的点位于﹣4和2之间，那么|a+4|+|a﹣2|＝________.

（4）对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值.如果没有.请说明理由.

【答案】（1）1

（2）1或-5

（3）6

（4）解：∵|a-3|+|a﹣6|表示a到3与a到6的距离的和，

∴当3≤a≤6时，|a-3|+|a-6|= =3，

当a>6或a<3时，|a-3|+|a﹣6|>3，

∴|a-3|+|a﹣6|有最小值，最小值为3.

【解析】【解答】（1）AB= =1，

故答案为：1

（ 2 ）∵数轴上表示数a的点与﹣2的距离是3，

∴ =3，

∴-2-a=3或-2-a=-3，

解得：a=1或a=-5，

故答案为：1或-5

（ 3 ）数a位于﹣4与2之间，|a+4|+|a﹣2|表示a到-4与a到2的距离的和，

∴|a+4|+|a﹣2|= =6，

故答案为：6

【分析】（1）根据数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值即可算出答案；

（2）根据数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值列出方程，求解即可；

（3）根据题意可知：此题其实质就是求数轴上表示数a的点到表示数字-4的点的距离与数轴上表示数a的点到表示数字2的点的距离的和，又数轴上表示数a的点位于-4与2之间，故该距离等于数轴上表示数字-4与表示数字2的点之间的距离，从而即可得出答案；（4）此题其实质就是求数轴上表示数a的点到表示数字3的点的距离与数轴上表示数a 的点到表示数字6的点的距离的和，从而分当3≤a≤6时，当a>6或a<3时三种情况考虑即可得出答案.

2．如图，在数轴上点A表示的数a、点B表示数b，a、b满足|a-30|+(b+6)2=0.点O是数轴

原点。

（1）点A表示的数为________，点B表示的数为________，线段AB的长为________。（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC=2BC，则点C在数轴上表示的数为________。

（3）现有动点P、Q都从B点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到O点时，点Q才从B点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P 到达A点时，点Q就停止移动，设点P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两点相距4个单位长度？

【答案】（1）30；﹣6；36

（2）6或﹣42

（3）解：①当点Q未出发，P、Q两点相距4个单位长度，

此时t×1=4，所以t=4；

②点P用了6秒移动到O点时，点Q才从B点出发。当点Q在点P后面，P、Q两点相距4个单位长度，此时3(t﹣6)= t﹣4，所以t=7；

③点P用了6秒移动到O点时，点Q才从B点出发。当点Q在点P前面，P、Q两点相距4个单位长度，此时3(t﹣6)= t+4，所以t=11；

所以t=4或t=7或t=11。

【解析】【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b表示的数，然后将点A和点B表示在数轴上，容易求出线段AB的长；

（2）分两种情况讨论：①若点C在线段AB上，则点C为线段AB的三等分点，此时

BC=AB=12，易得点C在数轴上表示的数为6；②若点C在线段AB的延长线上，则点B 为线段AC的中点，此时BC=AB=36，易得点C在数轴上表示的数为-42.

（3）先求出t秒后点P、Q所对应的数分别是t、3（t-3），然后分三种情况分别列出方程解出t的值即可：①当点Q未出发（0＜t≤6）时，P、Q之间的距离即为点P移动的距离；②点p用了6秒移动到O点（t＞6）时，点Q才开始从B点出发。当点Q在点P的后面时，点Q表示的数比点P表示的数小4；③点P用了6秒移动到O点（t＞6）时，点Q才开始从B点出发。当点Q在点P的前面时，点Q表示的数比点P表示的数大4。

3．【新知理解】

如图①，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC 称作互为圆周率伴侣线段．

（1）若AC=3，则AB=________；

（2）若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），则AC________BD；（填“=”或“≠”）

（3）【解决问题】

如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．

若点M、N是线段OC的圆周率点，求MN的长；

（4）图②中，若点D在射线OC上，且线段CD与以O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数．

【答案】（1）3+3

（2）=

（3）解：∵d=1，

∴c=d=，

∴C点表示的数为：+1，

∵M、N都是线段OC的圆周率点，

设点M离O点近，且OM=x，则CM=x，

∵OC=OM+ MC，

∴+1=x+x，

解得：x=1，

∴OM=CN=1，

∴MN=OC-OM-CN=+1-1-1=-1.

（4）解：设点D表示的数为x，则OD=x，

①若CD=OD，如图1，

∵OC=OD+CD，

∴+1=x+x，

解得：x=1，

∴点D表示的数为1；