高中数学常见的函数问题总结
有关高一数学必修一函数知识点总结4篇
有关高一数学必修一函数知识点总结4篇有关高一数学必修一函数知识点总结4篇积累通识知识可以让我们对各种事物有更全面、更深刻的理解和把握。
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下面就让小编给大家带来高一数学必修一函数知识点总结，希望大家喜欢! 高一数学必修一函数知识点总结篇1知识点总结本节知识包括函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性和函数的图象等知识点。
函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性是学习函数的图象的基础，函数的图象是它们的综合。
所以理解了前面的几个知识点，函数的图象就迎刃而解了。
一、函数的单调性1、函数单调性的定义2、函数单调性的判断和证明：(1)定义法(2)复合函数分析法(3)导数证明法(4)图象法二、函数的奇偶性和周期性1、函数的奇偶性和周期性的定义2、函数的奇偶性的判定和证明方法3、函数的周期性的判定方法三、函数的图象1、函数图象的作法(1)描点法(2)图象变换法2、图象变换包括图象：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换。
四、常见考法本节是段考和高考必不可少的考查内容，是段考和高考考查的重点和难点。
选择题、填空题和解答题都有，并且题目难度较大。
在解答题中，它可以和高中数学的每一章联合考查，多属于拔高题。
多考查函数的单调性、最值和图象等。
五、误区提醒1、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。
2、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。
3、在多个单调区间之间不能用“或”和“ ”连接，只能用逗号隔开。
4、判断函数的奇偶性，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数。
5、作函数的图象，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法或图象变换法作函数的图象。
高一数学必修一函数知识点总结篇2一、函数的定义域的常用求法：1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于零;4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;5、三角函数正切函数y=tanx中x≠kπ+π/2;6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。
高中数学高频考点——函数最值、值域、恒成立问题知识点总结
函数最值、值域、恒成立问题一、函数最值定义1.（1）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≤；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。
就称M 是函数()y f x =的最大值。
（2）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≥；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。
就称M 是函数()y f x =的最小值。
2.【注】（1）函数的最值指的是函数值（y 值）的最大值和最小值。
求函数的最值，既要求函数的最大值也要求函数的最小值。
【注】（2）从函数图象上看，函数的最大值对应函数图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应函数图象最低点的纵坐标。
二、单调函数的最值1.单调函数的最值在闭区间的端点处取得。
（1）单调递增函数在闭区间的左端点取得最小值，在右端点取得最大值。
（2）单调递减函数在闭区间的左端点取得最大值，在右端点取得最小值。
【注】单调函数在开区间上无最值，即既无最大值，也无最小值。
2.函数值域闭区间的左端点是函数值的最小值，右端点是函数值的最大值。
求函数的值域，往往要求函数的最大值和最小值。
三、分段函数的最值1.分段函数的最大值，是各段函数值最大值中的最大值；2.分段函数的最小值，是各段函数值最小值中的最小值。
四、函数最值的求解方法函数求最值的方法一般有：配方法、换元法、数形结合法（图象法）、结合函数的单调性法等。
五、函数的值域问题函数值域中的最小值往往是函数值的最小值，函数值域中的最大值往往是函数值中的最大值，所以求函数的值域往往需要先求出函数的最大值和最小值。
六、恒成立问题假设()g x 为已知函数，求()f a 的取值范围，则有以下两种情况：（1）()()f a g x ≤恒成立()()min f a g x ⇔≤；（2）()()f a g x ≥恒成立()()max f a g x ⇔≥。
高中数学知识点总结三角函数的导数与极限
高中数学知识点总结三角函数的导数与极限高中数学知识点总结：三角函数的导数与极限一、三角函数的极限在高中数学中，我们经常遇到三角函数的极限问题。
三角函数的极限计算是求取无穷小量与无穷大量之间的关系，下面就来总结一些三角函数的极限。
1. 正弦函数的极限lim (x→0) sin(x) / x = 1这个极限可以通过泰勒级数展开或用几何图形说明来证明。
因为sin(x)的图像在x=0处有一条切线，斜率为1，所以极限值为1。
2. 余弦函数的极限lim (x→0) (cos(x) - 1) / x = 0余弦函数的图像在x=0处有一条切线，斜率为0，所以极限值为0。
3. 正切函数的极限lim (x→0) tan(x) / x = 1正切函数在x=0时，正切线斜率为1，因此极限值为1。
4. 余切函数的极限lim (x→0) csc(x) = ∞余切函数在x=0时趋于无穷大。
5. sec(x)与cot(x)的极限lim (x→0) sec(x) = 1lim (x→0) cot(x) = ∞在x=0处，sec(x)为1，cot(x)为无穷大。
二、三角函数的导数导数是函数在某一点上的变化率，下面我们来总结一下常见三角函数的导数。
1. 正弦函数的导数d/dx sin(x) = cos(x)2. 余弦函数的导数d/dx cos(x) = -sin(x)3. 正切函数的导数d/dx tan(x) = sec^2(x)4. 余切函数的导数d/dx cot(x) = -csc^2(x)5. 正割函数的导数d/dx sec(x) = sec(x) * tan(x)6. 余割函数的导数d/dx csc(x) = -csc(x) * cot(x)三、三角函数的导数与极限的应用三角函数的导数与极限在物理、工程、计算机科学等领域有广泛的应用。
下面举几个例子说明其应用。
1. 物理学中的振动问题物理学中很多振动问题涉及到角度的变化，而角度变化与三角函数有密切关系，通过计算三角函数的导数和极限，可以得到振动过程中的速度和加速度等相关信息。
高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法
高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法【知识要点】一、方程的根与函数的零点（1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等.（2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.（3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,c a b ∈）使得()0f c =，这个c 也就是方程的根.函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件.零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决. 二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法. （2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε. 第二步：求区间(,)a b 的中点1x .第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <，则令1b x = （此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步.三、一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布讨论一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组： （1）a 的符号； （2）对称轴2bx a=-的位置； （3）判别式的符号； （4）根分布的区间端点的函数值的符号.四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入. 五、方法总结函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法. 【方法点评】方法一 方程法使用情景 方程可以直接解出来. 解题步骤 先解方程，再求解.【例1 】已知函数2()32(1)(2)f x x a x a a 区间(1,1)-内有零点，求实数a 的取值范围.【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法.【反馈检测1】函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0,4]上的零点个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ． 7方法二 图像法使用情景 一些简单的初等函数或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像.解题步骤先求函数的单调性，再画图分析.【例2】（2017全国高考新课标I 理科数学）已知函数2()(2)xx f x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.(2) ①若0,a ≤由（1）知()f x 至多有一个零点.②若0a >，由（1）知当ln x a =-时，()f x 取得最小值，1(ln )1ln f a a a-=-+. （i ）当1a =时，(ln )f a -=0，故()f x 只有一个零点. （ii ）当(1,)a ∈+∞时，由于11ln a a-+>0，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点. （iii ）当0,1a ∈（）时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<. 422(2)(2)2220,f ae a e e ----=+-+>-+>故()f x 在(,ln )a -∞-只有一个零点.00000000003ln(1),()(2)203ln(1)ln ,()n n n n n n f n e ae a n e n n aa f x a>-=+-->->->->-∞设正整数满足则由于因此在（-lna,+)有一个零点.综上所述，a 的取值范围为（0,1）.【点评】（1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当0,1a ∈（）时，要先判断(,ln )a -∞的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，(ln )0f a -<，还必须在该区间找一个函数值为正的值，它就是422(2)(2)2220,f aea e e ----=+-+>-+>要说明(2)0f ->，这里利用了放缩法，丢掉了42ae ae --+.(3) 当0,1a ∈（）时，要判断(ln ,)a -+∞上的零点个数，也是在考查函数的零点定理，还要在该区间找一个函数值为正的值，它就是03ln(1)n a>-，再放缩证明0()f n >0. （4）由此题可以看出零点定理在高考中的重要性.【例3】已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =- 因此()()21616101616ln 291f f =-⨯>-=()()213211213f e f --<-+=-<所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<，因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--【点评】本题第(3)问，由于函数()f x 中没有参数，所以可以直接画图数形结合分析解答.【反馈检测2】已知函数2()1x e f x ax=+，其中a 为实数，常数 2.718e =.(1) 若1 3x=是函数()f x的一个极值点，求a的值；(2) 当4a=-时，求函数()f x的单调区间；(3) 当a取正实数时，若存在实数m，使得关于x的方程()f x m=有三个实数根，求a的取值范围.方法三方程+图像法使用情景函数比较复杂，不容易求函数的单调性.解题步骤先令()0f x=,重新构造方程()()g x h x=,再画函数(),()y g x y h x==的图像分析解答.【例4】函数()lg cosf x x x=-的零点有（）A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个【点评】调性不是很方便，所以先令()lg cos0f x x x=-=,可化为lg cosx x=,再在同一直角坐标系下画出lgy x=和cosy x=的图像分析解答.（2）方程+图像是零点问题中最难的一种，大家注意理解掌握和灵活应用.【反馈检测3】设函数()()()221ln,1,02f x x m xg x x m x m=-=-+>．（1）求函数()f x的单调区间；（2）当1m≥时，讨论函数()f x与()g x图象的交点个数．422510152025oy=cosxy=lgxyx参考答案【反馈检测1答案】C【反馈检测2答案】（1）95a =；（2）()f x 的单调增区间是51(1)2-，15(,12+； ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,12-，5(1)++∞；（3）a 的取值范围是(1,)+∞. 【反馈检测2详细解析】(1)222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ 因为13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点.因此95a =.(2) 当4a =-时，222(481)()(14)xx x e f x x -++'=-令()0f x '=得24810x x -++=，解得51x =，而12x ≠±.所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是x1(,)2-∞-15(,1)22-- 512-51(1,)22-15(,1)22+ 512+5(1,)2++∞ ()f x '--++-()f x极小值极大值因此()f x 的单调增区间是51(1,)22-，15(,1)22+；()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,1)2--，5(1,)++∞； 【反馈检测3答案】（1）单调递增区间是),m +∞, 单调递减区间是(m ；（2）1．【反馈检测3详细解析】（1）函数()f x 的定义域为()()(0,,'x m x m f x x+∞=．当0x m <<()'0f x <,函数()f x 单调递减，当x m >时，()'0f x >函数()f x 单调递增，综上，函数()f x 的单调递增区间是),m +∞, 单调递减区间是(m ．（2）令()()()()211ln ,02F x f x g x x m x m x x =-=-++->,问题等价于求函数()F x 的零点个数，()()()1'x x m F x x--=-,当1m =时，()'0F x ≤，函数()F x 为减函数，F x有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．综上，函数()。
高中数学函数求最值常用方法总结
高中数学中的函数最值求解问题是学习中的难点，在解决函数最值问题的时候要经过全方位的考虑，结合函数的定义域，将各种可能出现的结果进行分析，最终求得准确的计算结果。
在数学学习的过程中活跃的数学思维非常重要，它不仅可以改善学习方法，而且可以帮助学生掌握更多的解题技巧，进而提高解题速度和学习效率。
本文总结了一些求函数最值的常用方法如下：一、利用一次函数的单调性【例题1】 已知 x , y , z 是非负实数，且 x + 3y + 2z = 3 , 3x + 3y + z = 4 ,求函数 w = 2x - 3y + z 的最值 .解：得 y = 5/3 （1 - x）, z = 2x - 1∴ w = 9x - 6又 x , y , z 非负，依一次函数 w = 9z - 6 的单调性可知当 x = 1/2 时，Wmin = -3/2 ,当 x= 1 时，Wmax = 3 .注：再求多元函数的条件最值时，通常是根据已知条件消元，转化为一元函数来解决问题.对于一次函数 y = kx + b ( k ≠ 0 ) 的最值，关键是指出自变量的取值范围，即函数的定义域，当一次函数的定义域是闭区间时，其最值在闭区间的端点处取得 .二、利用二次函数的性质【例题2】 设 α , β 是方程 4x^2 - 4kx + k + 2 = 0 的两个实数根，当 k 为何值时 α^2 + β^2 有最小值？解：∵ α , β 为方程的两个实数根，∴ α + β = k , αβ = 1/4 ( k + 2 ) ,令 y = α^2 + β^2 , 则有又由原方程由实数根可知，∴ k ≤ -1 或 k ≥ 2 .而二次函数的顶点 （1/4，-17/16）不在此范围内，根据二次函数的性质知，y 是以 k = 1/4 为对称轴，开口向上的，定义域为 （-∞，-1]∪[2，+∞）的抛物线，比较 k = -1 及 k = 2 时 y 的值知，当 k = -1 时，有 ymin = 1/2 .注：利用二次函数的性质求最值时，不能机械地套用最值在顶点处取得 . 首先要求出函数的定义域，然后在看顶点是否在函数的定义域内，最后再根据函数的单调性来判定 . 【例题3】 如图所示，抛物线 y = 4 - x^2 与直线 y = 3x 交于 A , B 两点，点 P 在抛物线上由 A 运动到 B，求 △APB 的面积最大时点 P 的坐标 .分析：由于 A , B 为定点，所以 AB 长为定值，欲使 △APB 的面积最大，须使 P 到 AB的距离最大 .解：设 P 点坐标为 （x0 , y0）,∵ A , B 在直线 y = 3x 上，∴联立抛物线与直线方程，可得xA = -4 , xB = 1 ,∴ -4 ≤ x0 ≤ 1 ,则有∴当 x = -3/2 时，d 取最大值，△APB 面积最大，此时 P 点坐标为 （-3/2 , 7/4）.注：在解决实际问题时要注意确定自变量取值范围的方法，本题是由直线与抛物线的交点来确定的，这样才能确定定义域内的最值 .三、利用二次方程的判别式欲求函数 y = f(x) ( x ∈ R ) 的极值，如果可以把函数式整理成关于 x 的二次方程， 注意到 x 在其定义域内取值，即方程有实根，所以可以通过二次方程的判别式 △ ≥ 0 来探求 y 的极大值与极小值 .【例题4】 已知 0 ≤ x ≤ 1 , 求的最值 .解： 原式可化为∵ x ∈ R ,∴解得 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ，即函数 y 的值域为 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ，∴ y极大 = 1/4，y极小 = 9/16 .当 y = 1/4 时，代入原函数解析式得 x = 1 ∈ [ 0 , 1 ] ;当 y = 9/16 时，代入原函数解析式得 x = -1 [ 0 , 1 ] .又 x = 0 时 ， y = 2/3 ,∴ 当 x = 0 时，y 取极大值 2/3 .注：① 由判别式确定的是函数的值域，由值域得到的是函数的极值而不是最值；② 对有些函数来说，极值与最值相同，而有的函数就不一定，如本题中的极大值比极小值还小，这是因为极值是就某局部而言；③ 若要求函数在给定的定义域内的最值，一定要注意极值是否在此定义域内取得， 即要注意验根 .四、利用重要不等式【例题5】 设 x , y , z ∈ R+ , 且 2x + 4y + 9z = 16 .求 6√x + 4√y + 3√z 的最大值 .解：令 u = 6√x + 4√y + 3√z ,∴ u ≤ 4√23 ,( 其中当 9/x = 1/y = 1/9z 时，即当 x = 144/23 , y = 16/23 , z = 16/207 时取等号) 故注：这里是应用柯西不等式，在应用公式时，如何构造出已知条件等式 2x + 4y + 9z = 16，颇具技巧性和解题意义 .五、利用三角函数的有界性对于三角函数的极值，通常是利用三角函数的有界性来求解问题的，如正、余弦函数的最大（小）值很明显：y = asinx + bcosx （a , b ≠ 0）引入辅助角 θ，则其最值也一目了然 . 而对于其它的类型或用同角关系式、或用万能公式、或用正余弦定理作转化，变为二次函数问题来求解 .【例题6】 求的最值 .解法一： （利用降幂公式）解法二： （用判别式法）注： 本例还可以用万能公式等方法来求解 .六、利用参数换元对于有些函数而言，直接求极值比较复杂或不方便，这时可根据题目的特点作变量代换，然后运用前面的几种方法来解决问题.在换元时，一定要注意新的变量的取值范围 . 【例题7】 求函数 y = x + √( 1 - x ) 的极值 .解：原函数变为∵ t = 1/2 ∈ [ 0 , +∞ ) ,∴ 当 t = 1/2 ，即 x = 3/4 时，ymax = 5/4 .注： 这种换元虽然十分简单，但具有代表性 .七、利用复数的性质【例题8】 已知复数 z 满足 | z | = 2 , 求 | 1 + √3 i + z | 的极值 . 解法一：设 z = 2（cosθ + isinθ） （∵ | z | = 2）故 | 1 + √3 i + z |max = 4 , | 1 + √3 i + z |min = 0 .解法二：依据 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | ,有 | 1 + √3 i | - | z | ≤ | 1 + √3 i + z | ≤ | 1 + √3 i | + | z | ，即 2 - 2 ≤ | 1 + √3 i + z | ≤ 2 + 2 ，∴ | 1 + √3 i + z |max = 4 , | 1 + √3 i + z |min = 0 .注：求复数模的最值通常可用代数法，三角法（解法一），复数模的性质及其公式 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | , 此外还有数形结合方法等，但以上两种方法最为简捷.八、利用数形结合有些代数和三角问题，若能借助其几何背景，予以几何直观，这时求其最值常能收到直观、明快，化难为易得功效.【例题9】 求的最值 .解： 将函数式变形为其几何意义是在直角坐标系中，动点 P（cosx , sinx）和定点 A（-2 ，-1）连线的斜率，动点 P 的轨迹为单位圆，如下图所示：知 kAB 最小，kAC 最大，显然 kAB = 0 ,又 tgθ = |OB|/|AB| = 1/2 ,tg∠A = tg2θ = 2tgθ/（1 - tg^2 θ）= 4/3 ,即 kAC = 4/3 ,故 ymin = 0 , ymax = 4/3 .注：形如 [f(x) - a] / [g(x) - b] 的函数式，通常都可视作点 （g(x) ，f(x) ） 与点 （b , a）的连线的斜率 .运用数形结合的思想解题，关键是要进行合理的联想和类比，将代数式通过转化、变形、给予几何解释，通常这种转化与变形的过程常是一种挖掘和发现的过程，如本例需要挖掘 .。
高中数学根据导数求函数的最值问题解题技巧总结
高中数学根据导数求函数的最值问题解题技巧总结在高中数学中，根据导数求函数的最值是一个常见的考点。
这类问题要求我们通过求函数的导数，找到函数的极大值或极小值点，从而确定函数的最值。
下面我将总结一些解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地应对这类问题。
一、寻找函数的极值点在解决根据导数求函数最值问题时，首先需要找到函数的极值点。
一般来说，函数的极值点就是函数的导数等于零的点，即函数的驻点。
我们可以通过以下步骤来找到函数的极值点：1. 求函数的导数。
根据问题给出的函数，我们可以先对其求导数。
例如，对于函数f(x)，我们可以求得它的导函数f'(x)。
2. 解方程f'(x) = 0。
将求得的导函数f'(x)置零，解方程求得函数的驻点。
这些驻点就是函数的极值点。
需要注意的是，有时候函数的极值点可能还存在于函数的定义域的边界处，所以我们还需要将边界处的点也考虑进去。
二、判断极值点的性质找到函数的极值点后，我们需要进一步判断这些点的性质，即确定它们是极大值点还是极小值点。
这里有两种常见的方法：1. 使用导数的符号表。
我们可以通过绘制导数的符号表来判断极值点的性质。
具体做法是，在函数的定义域上选择几个代表性的点，代入导数f'(x)的值，然后根据导数的正负确定函数在这些点附近的增减性。
如果导数从正变负，那么这个点就是极大值点；如果导数从负变正，那么这个点就是极小值点。
2. 使用二阶导数。
二阶导数可以帮助我们更准确地判断极值点的性质。
具体做法是，求得函数的二阶导数f''(x)，然后将极值点代入二阶导数。
如果二阶导数大于零，那么这个点就是极小值点；如果二阶导数小于零，那么这个点就是极大值点。
三、举一反三根据导数求函数的最值问题不仅仅局限于求解极值点，还可以应用到其他类型的函数中。
下面举一个例子来说明。
例题：求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的最大值和最小值。
高中数学常见函数及其应用
高中数学常见函数及其应用数学是一门广泛应用于各个领域的学科，而函数是数学中的基本概念之一。
在高中数学中，我们需要掌握并熟练运用一些常见函数及其应用。
本文将介绍一些常见的高中数学函数及其在实际问题中的应用。
一、线性函数线性函数是最简单的一类函数，其表达式为y = kx + b，其中k和b为常数。
线性函数的图像为一条直线，其斜率k代表直线的倾斜程度，而常数b代表直线与y轴的截距。
线性函数常见的应用有以下几种：1. 方程的解：在线性方程中，我们常常需要求解一元一次方程。
以y = 2x + 3为例，我们可以通过这个线性函数找到方程的解。
当x取特定的值时，我们可以求得对应的y值，从而得到该方程的解。
2. 直线的斜率和截距：线性函数的斜率和截距可以帮助我们分析直线的性质。
斜率决定了直线的倾斜程度，而截距则决定了直线与y轴的交点。
二、二次函数二次函数是一个非常常见的函数形式，其表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线，常见的应用有以下几种：1. 抛物线的顶点问题：二次函数的顶点是抛物线的最高点或者最低点，在实际问题中可以用来寻找最优解，例如最大值或最小值。
2. 建模问题：二次函数可以用来建立实际问题的模型。
例如，通过分析苹果从树上掉落的过程，可以建立一个与时间相关的二次函数来描述苹果的运动轨迹。
三、指数函数指数函数是以一个正常数为底数，变量为指数的函数，其表达式为y = a^x，其中a为常数且大于0。
指数函数的图像通常是上升或下降的曲线，常见的应用有以下几种：1. 指数增长问题：指数函数在自然界中的许多现象都有应用，例如人口增长、细胞分裂等。
通过分析指数函数的特点，我们可以预测未来的发展趋势。
2. 复利计算：指数函数在金融领域中有着重要的应用，特别是在计算复利方面。
通过利率和时间的指数函数关系，我们可以计算复利的收益。
四、对数函数对数函数是指以一个正常数为底数，另一个正数为真数的函数，其表达式为y = loga(x)，其中a为常数且大于0且不等于1。
高中数学常用问题总结归纳
高中数学常用问题总结归纳在高中数学学习过程中，我们常常会遇到一些困难和难题。
本文将总结归纳高中数学常见的问题，帮助同学们更好地理解和应对这些困难。
以下是一些常见问题及解答：一、代数运算问题高中代数运算问题主要包括整式的运算、方程的解法等。
在解决整式的运算问题时，常常会碰到因式分解和配方法的困扰。
在解决方程的解法时，方程的分解、配方法及根的求解是常见的问题。
解决这些问题的关键在于理解代数运算的基本规则，熟练掌握因式分解和配方法，并且灵活运用这些规则和方法。
二、函数与图像问题函数与图像问题是高中数学中的重点内容。
常见问题包括函数的性质、图像的变换和对称性等。
在解决函数的性质问题时，需要掌握函数的定义、定义域、值域、单调性和奇偶性等基本概念。
在解决图像的变换问题时，了解平移、伸缩、翻转和旋转等变换方式，并能够根据给定的函数式进行图像的变换。
此外，对称性是函数与图像问题中的另一个重要方面，需要熟练掌握函数图像的对称性和判定方法。
三、几何问题高中几何问题包括平面几何和立体几何两个方面。
在解决平面几何问题时，常见的问题包括直线与圆的性质、相交定理、相似三角形等。
解决这些问题的关键在于几何图形的性质和定理的理解和运用。
在解决立体几何问题时，需要掌握立体图形的性质、体积和表面积的计算等。
在解决这些问题时，可以多画图、多列方程，以便更好地理解和解决问题。
四、概率与统计问题概率与统计问题是高中数学中的一块重要内容。
在解决概率问题时，常见的问题包括事件的概率计算、条件概率和独立事件等。
解决这些问题需要掌握基本的概率计算方法和公式，并能够运用它们解决实际问题。
在解决统计问题时，需要了解统计数据的收集和整理方法，以及数据的分析和解读。
同时，也需要掌握频率分布表、直方图和折线图等统计图形的绘制和解读。
总结：在高中数学学习过程中，我们会遇到各种各样的问题，但只要我们充分理解并掌握基本的数学概念和方法，灵活运用它们，就能够解决大多数的困难。
高中数学常见的函数问题总结
高中数学常见的函数问题总结在高中数学学习过程中，我们经常遇到各种关于函数的问题。
函数作为数学中的一种基本概念，广泛应用于各个领域，并在解决实际问题中发挥重要的作用。
本文将总结并分类常见的高中数学函数问题，希望能够帮助同学们更好地理解和应用函数知识。
一、函数的定义和性质问题函数的定义是数学函数学习的第一步，也是最基本的概念之一。
在函数的定义问题中，常常涉及到确定定义域、值域、函数值、自变量等概念。
以函数f(x) = x²为例，常见的问题有：1. 确定定义域和值域；2. 求特定函数值，如f(2)、f(a)等；3. 求自变量，使得函数值满足一定条件，如f(x) = 4的解；4. 通过定义域和值域讨论函数的奇偶性、单调性等性质。
二、函数的图象和图像的性质问题函数的图象是函数概念的直观体现，通过观察函数图象的形状、特点，可以进一步了解函数的性质。
以函数f(x) = sinx为例，常见的问题有：1. 绘制函数的图象，并根据周期、对称性等性质进行分析；2. 求函数在某个区间上的最值，如f(x)在[0, π]上的最大值和最小值；3. 根据图象判断函数的奇偶性、单调性等性质；4. 根据图象及其性质，解决与函数相关的实际问题。
三、函数的运算问题函数的运算是高中数学中的一个重要知识点，掌握函数的运算规则，能够解决更加复杂的函数问题。
以函数f(x) = 2x + 1和g(x) = x²为例，常见的问题有：1. 计算两函数的和、差、积及商函数；2. 求复合函数，如f(g(x))、g(f(x))等；3. 求函数的反函数，并讨论反函数与原函数之间的关系；4. 利用函数的运算规则，简化和求解函数表达式。
四、函数的应用问题函数作为数学工具，广泛应用于各个学科和实际问题中。
通过函数的应用问题，我们能够更好地理解函数的实际意义和应用方法。
以函数f(t) = 30t + 500为例，常见的问题有：1. 利用函数模拟和解决实际问题，如某人每天固定工资500元，每工作1小时再额外获得30元，问他工作t小时总共能获得多少报酬；2. 使用函数模型进行预测和预测误差的分析，如根据历史数据建立的销售额预测模型；3. 使用函数解决几何问题，如通过函数关系求解图形的面积、体积等。
高中数学必修一函数性质综合问题分类总结(自己总结)
函数性质的综合问题一、利用函数的奇偶性、单调性比较大小1 已知函数f (x )在[－5,5]上是偶函数，且在[0,5]上是单调函数，若f (－4)<f (－2)，则下列不等式一定成立的是( )A ．f (－1)<f (3)B ．f (2)<f (3)C ．f (－3)<f (5)D ．f (0)>f (1)2．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上的解析式为f (x )＝x ＋1，下列大小关系正确的是( )A ．f (1)>f (2)B ．f (1)>f (－2)C ．f (－1)>f (－2)D ．f (－1)<f (2)3．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0成立，则( ) A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)二、利用奇函数、偶函数的图象解不等式4 设函数f (x )为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f (－2)＝0，则xf (x )<0的解集为( )A ．(－1,0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2) 5．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则不等式f (x )x>0的解集为________． 三、利用函数的奇偶性、单调性解不等式6 奇函数f (x )是定义在(－1,1)上的减函数，若f (m －1)＋f (3－2m )<0，求实数m 的取值范围．7．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0，f (x )＝x 2＋2x ，若f (3－2a )>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，1)C ．(－1，＋∞)D ．(1，＋∞)8．已知函数f (x )在R 上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]9．设函数f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，则a 的取值范围是________．四、利用函数的奇偶性、单调性求函数的最值10 已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －2，0<x <1，2x －3，x ≥1，若f (x )在⎣⎡⎦⎤－4，－14上的最大值为m ，最小值为n ，求m ＋n .11已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a <b <0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b ，－a ]上( )A ．有最大值4B ．有最小值－4C ．有最大值－3D ．有最小值－312．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a 的值为________．五、抽象函数的性质应用13 函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m －2)<3.14．已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，当x >1时，f (x )>0，且f (x ·y )＝f (x )＋f (y )．(1)求f (1)；(2)证明：f (x )在定义域上是增函数；(3)如果f ⎝⎛⎭⎫13＝－1，求满足不等式f (x )－f (x －2)≥2的x 的取值范围．六、函数性质的综合应用15 已知函数f (x )＝ax ＋b x 2＋1，f (x )为R 上的奇函数且f (1)＝12.(1)求a ，b ；(2)判断f (x )在[1，＋∞)上单调性并证明；(3)当x ∈[－4，－1]时，求f (x )的最大值和最小值．16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x ≥0，ax 2＋bx ，x <0为奇函数．(1)求a －b 的值；(2)若f (x )在区间[－1，m －2]上单调递增，求实数m 的取值范围．练习，已知函数是偶函数，则的递减区间是七、奇函数+常数类型求值17．已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8(a ，b 是常数)，且f (－3)＝5，则f (3)＝________.练习，设函数1sin )1()(22+++=x xx x f 的最大值为M ，最小值为m ，则m M +=_18．函数f (x )在R 上为奇函数，且x ≥0时，f (x )＝x 2－x ＋2－b ，则f (－2)等于( )A ．6－bB ．－4＋bC ．2D ．－2八、函数周期性和对称性19．已知)(x f 在R 上是奇函数,且满足)()4(x f x f =+,当)2,0(∈x 时,22)(x x f =,则)7(f 的值为 （ ）2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+)(x fA ．2-B ．2C ．98-D ．9820．已知定义在R 上的函数()f x ，对任意x R ∈，都有()()()63f x f x f +=+成立，若函数()1y f x =+的图象关于直线1x =-对称，则()2013()f =A ．0B ．2013C ．3D ．2013-21．设偶函数()f x 对任意x R ∈都有()()13f x f x +=-,且当[]3,2x ∈--时，()4f x x =,则()107.5f =（ ）A ．10B ．110C ．-10D ．110- 22．奇函数f （x ）的定义域为R ，若f(x+2)为偶函数，则f(1)=1,则f(8)+f(9)= ( )A. －2B.－1C. 0D. 123．定义在R 上的奇函数)(x f 满足=-=+=-)1(,2)2014(),23()(f f x f x f 则 ．1、已知()1+x f是偶函数，则函数()x f y 2=的图象的对称轴是（ ） A. 1-=x B. 1=x C . 21-=x D. 21=x 2.设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （ ） A ．0 B ．1 C ．25 D ．53.设f （x ）是定义在R 上以6为周期的函数，f （x ）在(0,3)内单调递减，且y=f （x ）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ ）(A)()()()1.5 3.5 6.5f f f <<； (B)()()()3.5 1.5 6.5f f f <<；(C)()()()6.5 3.5 1.5f f f <<； (D)()()()3.5 6.5 1.5f f f <<4.已知定义在R 上的奇函数)x (f 满足)x (f )2x (f -=+，则)6(f 的值为（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 25.函数)x (f 对于任意实数x 满足条件)x (f 1)2x (f =+，若5)1(f -=，则))5(f (f 等于A. 5B. 5-C. 51D. 51- 6.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（ ）A.0 B. C.1 D. 7.在R 上定义的函数)x (f 是偶函数，且)x 2(f )x (f -=，若)x (f 在 区间]2,1[上是减函数，则)x (f （ ）A. 在区间]1,2[--上是增函数，在区间]4,3[上是增函数B. 在区间]1,2[--上是增函数，在区间]4,3[上是减函数C. 在区间]1,2[--上是减函数，在区间]4,3[上是增函数D. 在区间]1,2[--上是减函数，在区间]4,3[上是减函数8.已知定义在R 上的函数)x (f y =满足下列三个条件：① 对于任意的R x ∈，都有)x (f )4x (f =+；② 对于任意的2x x 021≤<≤，都有)x (f )x (f 21<；③ 函数)2x (f y +=的图象关于y 轴对称。
高中数学-函数根问题及例题解析
高中数学-函数根问题及例题解析1. 函数根问题简介函数根问题是数学中常见的问题之一。
它涉及到求解一个函数在给定条件下的根或零点。
函数根问题在高中数学中经常出现，需要掌握相应的解题方法和技巧。
2. 一元函数根问题2.1 常见的一元函数根问题一元函数根问题指的是求解只有一个自变量的函数在某个区间内的根。
常见的一元函数根问题包括线性方程、二次方程、指数函数、对数函数等。
2.2 解题方法和例题解析在解决一元函数根问题时，可以运用代数方法、图像分析和函数性质等多种方法。
下面是几个例题的解析：2.2.1 线性方程的根例题：求解方程2x + 3 = 0的根。
解析：将方程变形为x = -3/2，因此方程的根为x = -3/2。
2.2.2 二次方程的根例题：求解方程x^2 - 4x + 3 = 0的根。
解析：可以通过因式分解、配方法或求根公式等方法解决二次方程。
将方程分解为(x - 1)(x - 3) = 0，因此方程的根为x = 1和x = 3。
2.2.3 指数函数的根例题：求解方程2^x = 8的根。
解析：通过观察可以得知2^3 = 8，因此方程的根为x = 3。
2.2.4 对数函数的根例题：求解方程logx = 2的根。
解析：可通过进行对数运算，得到方程的解为x = 100。
3. 多元函数根问题3.1 常见的多元函数根问题多元函数根问题涉及到求解一个函数在多个自变量的条件下的根。
常见的多元函数根问题包括方程组、不等式等。
3.2 解题方法和例题解析在解决多元函数根问题时，可以运用代数方法、矩阵运算、线性方程组解法等多种方法。
下面是一个例题的解析：3.2.1 方程组的根例题：求解方程组{2x + 3y = 7,x - y = 1}解析：可以通过代数求解或矩阵运算的方式解决方程组。
求解得到x = 2和y = 1，因此方程组的根为(x, y) = (2, 1)。
4. 总结函数根问题是高中数学中的重要内容，掌握相应的解题方法和技巧对学习数学很有帮助。
高考数学中的基本初等函数题型总结
高考数学中的基本初等函数题型总结作为全国高中生的普及性质考试，高考中必定会考到数学这个科目，而其中初等函数部分则是数学中的基础知识。
初等函数常常出现在多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等高中知识点当中。
因此，对于考生来说，掌握初等函数的知识点，对高考数学考试及日后的数学学习都非常重要。
本文就高考数学中的基本初等函数题型进行总结。
1. 最值问题求函数的最值是很常见的一种初等函数题型。
以一些典型的例子为参考，可更好地掌握这类题型。
例1：已知$f(x)=x^2-2x+2$，求$f(x)$的最小值。
解：首先，把$f(x)$变形为完全平方的形式。
即$$f(x)=(x-1)^2+1$$显然，当$x=1$时，$(x-1)^2$取最小值$0$。
故$f(x)$在$x=1$时取得最小值$1$。
例2：已知$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-3x+5$，求$f(x)$的最大值。
解：同样把$f(x)$变形为完全平方的形式。
即$$f(x)=\dfrac{1}{2}(x-3)^2+\dfrac{1}{2}$$显然，当$x=3$时，$(x-3)^2$取最小值$0$。
故$f(x)$在$x=3$时取得最大值$\dfrac{1}{2}$。
2. 解方程解初等函数的方程是另一种常见的题型。
以下为几个典型的例子，例3：已知$y=2^x-x$，求$y=0$时的$x$的值。
解：根据方程可得$$2^x-x=0$$$$x=2^x$$把函数$y=2^x-x$作图，可以看出在$x=1$时交于$y=0$。
因此，方程的解为$x=1$。
例4：已知$y=\dfrac{1}{2}\log_2(x-1)+2$，求$y=1$时$x$的值。
解：根据方程可得$$\dfrac{1}{2}\log_2(x-1)+2=1$$$$\log_2(x-1)=2$$$$x-1=2^2=4$$因此，方程的解为$x=5$。
3. 函数图像解题函数图像是初等函数题目中重要的一部分。
高中数学必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解
经典高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分析一、函数的概念与表示1、映射：1对映射定义的理解;2判断一个对应是映射的方法;一对多不是映射,多对一是映射集合A,B 是平面直角坐标系上的两个点集,给定从A →B 的映射f:x,y →x 2+y 2,xy,求象5,2的原象.3.已知集合A 到集合B ＝｛0,1,2,3｝的映射f:x →11-x ,则集合A 中的元素最多有几个写出元素最多时的集合A.2、函数;构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 待定系数法：在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法; 例1 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时,常用配凑法;但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域,而是()g x 的值域;例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式;与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化; 例3 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法; 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式;例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f例6 设)(x f 为偶函数,)(x g 为奇函数,又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式六、赋值法：当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式;例7 已知：1)0(=f ,对于任意实数x 、y,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,求)(x f七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式;例8 设)(x f 是+N 上的函数,满足1)1(=f ,对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(,求)(x f1、求函数定义域的主要依据：1分式的分母不为零；2偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义；32 2 (21)x x 已知f －的定义域是[-1,3],求f()的定义域1求函数值域的方法①直接法：从自变量x 的范围出发,推出y=fx 的取值范围,适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式； ③判别式法：运用方程思想,依据二次方程有根,求出y 的取值范围；适合分母为二次且x ∈R 的分式；④分离常数：适合分子分母皆为一次式x 有范围限制时要画图； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域； ⑦利用对号函数四．1．定义:2.性质：①y=fx 是偶函数⇔y=fx 的图象关于y 轴对称, y=fx 是奇函数⇔y=fx 的图象关于原点对称,②若函数fx 的定义域关于原点对称,则f0=0③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇两函数的定义域D 1 ,D 2,D 1∩D 2要关于原点对称31、函数单调性的定义：2 设()[]x g f y =是定义在M 上的函数,若fx 与gx 的单调性相反,则()[]x g f y =在M 上是减函数；若fx 与gx 的单调性相同,则()[]x g f y =在M 上是增函数;时,1)(>x f ,⑴求证：)(x f 在R 上是增函数； ⑵若4)3(=f ,解不等式2)5(2<-+a a f 3函数)26(log 21.0x x y -+=的单调增区间是________4高考真题已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是A (0,1)B 1(0,)3C 11[,)73D 1[,1)7一：函数单调性的证明1.取值 2,作差 3,定号 4,结论 二：函数单调性的判定,求单调区间x a x y += 0>a xax y -= 0>a 三：函数单调性的应用1.比较大小 例：如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有)2()2(-=+t f t f ,那么 A 、)4()1()2(f f f << B 、)4()2()1(f f f <<C 、)1()4()2(f f f << C 、)1()2()4(f f f <<2.解不等式例：定义在－1,1上的函数()f x 是减函数,且满足：(1)()f a f a -<,求实数a 的取值范围; 例：设是定义在上的增函数,,且,求满足不等式的x 的取值范围.3.取值范围例: 函数 在上是减函数,则 的取值范围是_______．例：若(31)41()log 1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数,那么a 的取值范围是A.(0,1)B.1(0,)3C.11[,)73D.1[,1)74. 二次函数最值例：探究函数12)(2+-=ax x x f 在区间[]1,0的最大值和最小值;例：探究函数12)(2+-=x x x f 在区间[]1,+a a 的最大值和最小值;5.抽象函数单调性判断例：已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞,当1>x 时,0)(>x f ,且)()()(y f x f xy f +=⑴求)1(f ,⑵证明)(x f 在定义域上是增函数⑶如果1)31(-=f ,求满足不等式)21()(--x f x f ≥2的x 的取值范围例：已知函数fx 对于任意x ,y ∈R ,总有fx ＋fy ＝fx ＋y ,且当x >0时,fx <0,f 1＝－错误!.1求证：fx 在R 上是减函数； 2求fx 在－3,3上的最大值和最小值．例：已知定义在区间0,＋∞上的函数fx 满足f 错误!＝fx 1－fx 2,且当x >1时,fx <0. 1求f 1的值；2判断fx 的单调性；3若f 3＝－1,解不等式f |x |<－2.六．函数的周期性：1．定义若⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数,T 是它的一个周期;说明：nT 也是)(x f 的周期推广若)()(b x f a x f +=+,则)(x f 是周期函数,a b -是它的一个周期对照记忆()()f x a f x a +=-说明：()()f a x f a x +=-说明：2．若)()(x f a x f -=+；)(1)(x f a x f =+；)(1)(x f a x f -=+；则)(x f 周期是2a1 已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+2=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D22 定义在R 上的偶函数()f x ,满足(2)(2)f x f x +=-,在区间-2,0上单调递减,设( 1.5),(2),(5)a f b f c f =-==,则,,a b c 的大小顺序为_____________3 已知f x 是定义在实数集上的函数,且,32)1(,)(1)(1)2(+=-+=+f x f x f x f 若则f 2005= .4 已知)(x f 是-∞+∞，上的奇函数,)()2(x f x f -=+,当0≤≤x 1时,fx=x,则f=________ 例11 设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x 恒满足)()2(x f x f -=+,当]2,0[∈x 时22)(x x x f -=⑴求证：)(x f 是周期函数；⑵当]4,2[∈x 时,求)(x f 的解析式；⑶计算：1、已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数,则)1(f 的范围是A 25)1(≥fB 25)1(=fC 25)1(≤fD 25)1(>f2、方程0122=++mx mx 有一根大于1,另一根小于1,则实根m 的取值范围是_______八．指数式与对数式 1．幂的有关概念1零指数幂)0(10≠=a a 2负整数指数幂()10,n na a n N a-*=≠∈ 3正分数指数幂()0,,,1m n m na a a m n N n *=>∈>； 5负分数指数幂()110,,,1m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>60的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质3．根式根式的性质:当n 是奇数,则a a n n =；当n 是偶数,则⎩⎨⎧<-≥==00a aa aa a n n4．对数1对数的概念:如果)1,0(≠>=a a N a b ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a2对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a3对数的运算性质 logMN=logM+logN对数换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>=m m a a N aNN m m a 且且 对数的降幂公式：)10,0(log log ≠>>=a a N N mnN a n a m 且 1 213323121)()1.0()4()41(----⨯b a ab 2 1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+x 名称 指数函数 对数函数 一般形式 Y=a x a>0且a ≠1 y=log a x a>0 , a ≠1 定义域 -∞,+ ∞ 0,+ ∞ 值域 0,+ ∞ -∞,+ ∞ 过定点 ０,1 1,０ 图象 指数函数y=a x 与对数函数y=log a x a>0 , a ≠1图象关于y=x 对称数相同,如果底数相同,可利用指数函数的单调性；指数相同,可以利用指数函数的底数与图象关系对数式比较大小同理记住下列特殊值为底数的函数图象：3、研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的（1）1、平移变换：左+ 右- ,上+ 下- 即①函数图象及变化规则掌握几类基本的初等函数图像是学好本内容的前题1、基本函数1一次函数、2二次函数、3反比例函数、4指数函数、5对数函数、6三角函数;2、图象的变换1平移变换左加右减①函数y=fx+2的图象是把函数y=fx的图像沿x轴向左平移2个单位得到的；反之向右移2个单位②函数y=fx-3的图象是把函数y=fx的图像沿y轴向下平移3个单位得到的；反之向上移3个单位2对称变换①函数y=fx 与函数y=f-x 的图象关于直线x=0对称； 函数y=fx 与函数y=-fx 的图象关于直线y=0对称；函数y=fx 与函数y=-f-x 的图象关于坐标原点对称；②如果函数y=fx 对于一切x ∈R 都有fx+a=fx-a,那么y=fx 的图象关于直线x=a对称;③y=f-1x 与y=fx 关于直线y=x 对称 ⑤y=fx →y=f|x|3、伸缩变换y=afxa>0的图象,可将y=fx 的图象上的每一点的纵坐标伸长a>1或缩短0<a<1到原来的a 倍;y=faxa>0的图象,可将y=fx 的图象上的每一点的横坐标缩短a>1或伸长0<a<1到原来的a 倍;十．函数的其他性质1．函数的单调性通常也可以以下列形式表达：1212()()0f x f x x x ->- 单调递增1212()()0f x f x x x -<- 单调递减2．函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：()()0f x f x +-= 奇函数 ()()0f x f x --= 偶函数3．函数的凸凹性：1212()()()22x x f x f x f ++<凹函数图象“下凹”,如：指数函数 1212()()()22x x f x f x f ++>凸函数图象“上凸”,如：对数函数。
高二数学常考题型归纳总结
高二数学常考题型归纳总结在高二数学学科中，有一些常见的考试题型，它们是学生们经常遇到的，也是老师们着重讲解和强调的部分。
本文将对这些常考题型进行归纳总结，以便帮助学生们更好地理解和应对考试。
第一部分：函数与方程1. 一次函数一次函数是高中数学中最常见的函数类型之一。
其一般形式为y =kx + b，其中k和b为常数。
常见的一次函数问题包括求解方程、确定函数图像以及函数间的关系等。
2. 二次函数二次函数是另一种常见的函数类型，其一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。
常见的二次函数问题包括求解方程、确定函数的图像和性质，以及与其他函数的关系等。
3. 指数函数与对数函数指数函数和对数函数是常见的数学模型，在实际问题中应用广泛。
常见的问题包括指数方程、对数方程的求解，以及指数函数与对数函数的性质和图像等。
4. 绝对值函数与分段函数绝对值函数和分段函数常常涉及到函数的定义域、值域以及函数图像的画法等问题。
理解函数在不同区间上的性质和特点对于解决此类问题非常重要。
第二部分：几何与三角函数1. 直线与曲线的性质在几何学中，直线和曲线是最基本的图形，其性质的研究也是几何学的核心内容。
常考的问题包括直线与曲线的方程，以及与之相关的性质和定理等。
2. 三角函数的应用三角函数是高中数学中重要的内容之一，通过三角函数的应用可以解决许多几何问题。
常见的问题包括利用三角函数解决三角形相关的问题，以及三角函数图像的性质和变换等。
3. 平面几何与立体几何在平面几何中，对于平面图形的性质和计算是常见的考点。
在立体几何中，常考的问题涉及到计算体积、表面积，以及解决与立体图形相关的问题等。
第三部分：概率与统计1. 概率问题概率是数学中一个有趣且实用的分支，常考的问题包括概率的计算、概率的性质和应用等。
例如，计算事件发生的可能性、重复实验的次数以及组合概率等。
2. 统计问题统计学是一门关于数据收集、分析和解释的学科。
高中数学函数单调性的几种常见题型总结
高中数学函数单调性的几种常见题型总结在高中数学学习中，函数是非常重要的一部分内容。
其中，函数的基本性质——单调性更是重中之重。
在对函数问题的考查中，函数的单调性占很大的比重。
因此，需要对函数单调性的常见题型进行系统的归纳总结。
本文将从以下四方面结合具体的例子来分析总结涉及到函数单调性的几种常见题型。
一、分段函数单调性问题目前，高中数学教材必修一中这样定义函数单调性：一般地，设函数定义域为 :如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数。
根据定义，我们可以得到，若函数在上单调递增，则满足两个条件：（1）在上单调递增，在上单调递增；（2）；同理，若函数在上单调递减，则满足两个条件：（1）在上单调递减，在上单调递减；（2） .例题:已知函数在上是减函数，则的取值范围是.这道题考查的是分段函数的单调性问题。
根据题意，时，是二次函数，在对称轴左侧单调递减；时，是对数函数，在时单调递减；再利用端点处的函数值大小关系即可得出满足条件的的取值范围。
解答：当时，为二次函数，对称轴为，在对称轴左侧单调递减，所以，解得；当时，，当时单调递减。
所以可得到，需满足，解得 .所以答案为.这里需要注意的是端点处函数值的大小关系是学生容易忽略或出错的地方，我们在教学中需要加以解释与强调。
利用函数单调性参数取值范围在这一类问题中，我们重点分析以下这种与对数函数相关的复合函数类型的题目，这是学生们的易错点，我们在上课时需要引起重视。
例题：若在区间上递减，则的取值范围为（）.这道题考查与对数函数相关的复合函数的单调性，我们知道复合函数单调性遵从“同增异减”的原则。
解答：令，则，由题意，在区间上，的取值需令真数，且函数在区间上单调递减。
配方得，故对称轴为，如图所示：由图像可知，当对称轴时，在区间上单调递减，又真数，二次函数在上单调递减，故只需当时，，则时，真数恒成立，代入解得，所以得取值范围是 .故选 .在教学过程中，我发现“真数大于0”这一条件在解题过程中很容易被忽略，或者有的学生对“真数大于0”这一条件该如何列不等式计算模棱两可，所以这一类型的题目在学生们中出现了“屡教不改”的现象。
高中数学必修一第三章函数的概念与性质知识总结例题(带答案)
高中数学必修一第三章函数的概念与性质知识总结例题单选题1、已知定义在R 上的奇函数f (x )在(0,+∞)上单调递增，且f(1)=0，若实数x 满足xf (x −12)≤0，则x 的取值范围是（ ）A ．[−12,0]∪[12,32]B ．[−12,12]∪[32,+∞)C ．[−12,0]∪[12,+∞)D ．[−32,−12]∪[0,12] 答案：A分析：首先根据函数的奇偶性和单调性得到函数f (x )在R 上单调递增，且f (1)=f (−1)=0，从而得到x ∈(−∞,−1)，f (x )<0，x ∈(−1,0)，f (x )>0，x ∈(0,1)，f (x )<0，x ∈(1,+∞)，f (x )>0，再分类讨论解不等式xf (x −12)≤0即可.因为奇函数f (x )在(0,+∞)上单调递增，定义域为R ，f(1)=0，所以函数f (x )在R 上单调递增，且f (1)=f (−1)=0.所以x ∈(−∞,−1)，f (x )<0，x ∈(−1,0)，f (x )>0，x ∈(0,1)，f (x )<0，x ∈(1,+∞)，f (x )>0.因为xf (x −12)≤0，当x <0时，f (x −12)≥0，即−1≤x −12≤0或x −12≥1，解得−12≤x <0.当x =0时，符合题意.当x >0时，f (x −12)≤0，x −12≤−1或0≤x −12≤1， 解得12≤x ≤32. 综上：−12≤x ≤0或12≤x ≤32. 故选：A2、若函数f (x )=x α的图象经过点(9,13)，则f (19)=（ ）A ．13B ．3C ．9D ．8分析：将(9,13)代入函数解析式，即可求出α，即可得解函数解析式，再代入求值即可. 解：由题意知f (9)=13，所以9α=13，即32α=3−1，所以α=−12，所以f (x )=x −12，所以f (19)=(19)−12=3.故选：B3、若函数f(x)=x 2−mx +10在(−2,1)上是减函数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[2,+∞)B ．[−4,+∞)C ．(−∞,2]D ．(−∞,−4]答案：A分析：结合二次函数的对称轴和单调性求得m 的取值范围.函数f(x)=x 2−mx +10的对称轴为x =m 2，由于f (x )在(−2,1)上是减函数，所以m 2≥1⇒m ≥2. 故选:A4、函数f (x )=x 2−1的单调递增区间是（ ）A ．(−∞,−3)B ．[0,+∞)C ．(−3,3)D ．(−3,+∞)答案：B分析：直接由二次函数的单调性求解即可.由f (x )=x 2−1知，函数为开口向上，对称轴为x =0的二次函数，则单调递增区间是[0,+∞).故选：B.5、若函数f （x ）＝x ln （x +√a +x 2）为偶函数，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．1或﹣1答案：B分析：由f （x ）＝x ln （x +√a +x 2）为偶函数，则设g （x ）＝ln （x +√a +x 2）是奇函数，由g （0）＝0，可解：∵函数f（x）＝x ln（x+√a+x2）为偶函数，x∈R，∴设g（x）＝ln（x+√a+x2）是奇函数，则g（0）＝0，即ln√a=0，则√a=1，则a＝1．故选：B．6、函数f(x)=log2x−1x的零点所在的区间为（）A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案：B解析：判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理，判断选项.f(1)=0−1=−1<0，f(2)=1−12=12>0，且函数f(x)=log2x−1x 的定义域是(0,+∞)，定义域内y=log2x是增函数，y=−1x也是增函数，所以f(x)是增函数，且f(1)f(2)<0，所以函数f(x)=log2x−1x的零点所在的区间为(1,2).故选：B小提示：方法点睛：一般函数零点所在区间的判断方法是：1.利用函数零点存在性定理判断，判断区间端点值所对应函数值的正负；2.画出函数的图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或是转化为两个函数的图象交点判断.7、函数y=√2x+4x−1的定义域为（）A．[0,1)B．(1,+∞)C．(0,1)∪(1,+∞)D．[0,1)∪(1,+∞)答案：D分析：由题意列不等式组求解由题意得{2x≥0x−1≠0，解得x≥0且x≠1，故选：D8、设a为实数，定义在R上的偶函数f(x)满足：①f(x)在[0,+∞)上为增函数；②f(2a)<f(a+1)，则实数a 的取值范围为（）A．(−∞,1)B．(−13,1)C．(−1,13)D．(−∞,−13)∪(1,+∞)答案：B分析：利用函数的奇偶性及单调性可得|2a|<|a+1|，进而即得.因为f(x)为定义在R上的偶函数，在[0,+∞)上为增函数，由f(2a)<f(a+1)可得f(|2a|)<f(|a+1|)，∴|2a|<|a+1|，解得−13<a<1.故选：B.多选题9、某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为（）A．2.5元B．3元C．3.2元D．3.5元答案：BC分析：设每册杂志定价为x(x>2)元，根据题意由(10−x−20.2×0.5)x≥22.4，解得x的范围，可得答案.依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，设每册杂志定价为x(x>2)元，则发行量为10−x−20.2×0.5万册，则该杂志销售收入为(10−x−20.2×0.5)x万元，所以(10−x−20.2×0.5)x≥22.4，化简得x2−6x+8.96≤0，解得2.8≤x≤3.2，故选：BC小提示：关键点点睛：理解题意并求出每册杂志定价为x(x>2)元时的发行量是解题关键.10、已知函数f(x)={|x |+2,x <1x +2x,x ≥1 ，下列说法正确的是（ ） A ．f(f(0))=3B ．函数y =f(x)的值域为[2,+∞)C ．函数y =f(x)的单调递增区间为[0,+∞)D ．设a ∈R ，若关于x 的不等式f(x)≥|x 2+a|在R 上恒成立，则a 的取值范围是[−2,2]答案：ABD解析：作出函数f(x)的图象，先计算f(0)，然后计算f(f(0))，判断A ，根据图象判断BC ，而利用参变分离可判断D ．画出函数f(x)图象.如图，A 项，f(0)=2，f(f(0))=f(2)=3，B 项，由图象易知，值域为[2,+∞)C 项，有图象易知，[0,+∞)区间内函数不单调D 项，当x ≥1时，x +2x ≥|x 2+a|恒成立，所以−x −2x ≤x 2+a ≤x +2x 即−32x −2x ≤a ≤x 2+2x 在[1,+∞)上恒成立，由基本不等式可得x 2+2x ≥2，当且仅当x =2时等号成立，3x 2+2x ≥2√3，当且仅当x =2√33时等号成立， 所以−2√3≤a ≤2.当x <1时，|x |+2≥|x 2+a|恒成立，所以−|x |−2≤x 2+a ≤|x |+2在(−∞,1)上恒成立，即−|x |−2−x 2≤a ≤|x |+2−x 2在(−∞,1)上恒成立 令g (x )=|x |+2−x 2={−32x +2,x ≤0x 2+2,0<x <1 ，当x ≤0时，g (x )≥2，当0<x <1时，2<g (x )<32，故g (x )min =2；令ℎ(x )=−|x |−2−x 2={12x −2,x ≤0−3x 2−2,0<x <1 ，当x ≤0时，ℎ(x )≤−2，当0<x <1时，−72<ℎ(x )<−2，故ℎ(x )max =−2； 所以−2≤a ≤2.故f(x)≥|x 2+a|在R 上恒成立时，有−2≤a ≤2. 故选：ABD ．小提示：关键点点睛：本题考查分段函数的性质，解题方法是数形结合思想，作出函数的图象，由图象观察得出函数的性质，绝对值不等式恒成立，可以去掉绝对值符号，再利用参变分离求参数的取值范围．11、已知函数f (x )={x 2,−2≤x <1−x +2,x ≥1关于函数f (x )的结论正确的是（ ） A ．f (x )的定义域为RB ．f (x )的值域为(−∞,4]C ．若f (x )=2，则x 的值是−√2D ．f (x )<1的解集为(−1,1)答案：BC分析：求出分段函数的定义域可判断A ；求出分段函数的值域可判断B ；分x ≥1、−2≤x <1两种情况令f (x )=2求出x 可判断C ；分x ≥1、−2≤x <1两种情况解不等式可判断D.函数f (x )={x 2,−2≤x <1−x +2,x ≥1的定义域是[−2,+∞)，故A 错误； 当−2≤x <1时，f (x )=x 2，值域为[0,4]，当x ≥1时，f (x )=−x +2，值域为(−∞,1]，故f (x )的值域为(−∞,4]，故B 正确；当x ≥1时，令f (x )=−x +2=2，无解，当−2≤x <1时，令f (x )=x 2=2，得到x =−√2，故C 正确； 当−2≤x <1时，令f (x )=x 2<1，解得x ∈(−1,1)，当x ≥1时，令f (x )=−x +2<1，解得x ∈(1,+∞)，故f (x )<1的解集为(−1,1)∪(1,+∞)，故D 错误．故选：BC．填空题12、写出一个同时具有下列性质的函数f(x)=___________.①f(x)是奇函数；②f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数；③f(x1x2)=f(x1)f(x2).答案：x−1（答案不唯一，符合条件即可）分析：根据三个性质结合图象可写出一个符合条件的函数解析式．f(x)是奇函数，指数函数与对数函数不具有奇偶性，幂函数具有奇偶性，又f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数，同时f(x1x2)=f(x1)f(x2)，故可选，f(x)=xα,α<0,且α为奇数，所以答案是：x−113、已知幂函数f(x)=(m2−3m+3)x m+1的图象关于原点对称，则满足(a+1)m>(3−2a)m成立的实数a 的取值范围为___________.答案：(23,4)分析：利用幂函数的定义及性质求出m值，再解一元二次不等式即可得解.因函数f(x)=(m2−3m+3)x m+1是幂函数，则m2−3m+3=1，解得m=1或m=2，当m=1时，f(x)=x2是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知f(x)的图象关于原点对称矛盾，当m=2时，f(x)=x3是奇函数，其图象关于原点对称，于是得m=2，不等式(a+1)m>(3−2a)m化为：(a+1)2>(3−2a)2，即(3a−2)(a−4)<0，解得：23<a<4，所以实数a的取值范围为(23,4).所以答案是：(23,4)14、若幂函数y=f(x)的图像经过点(18,2)，则f(−18)的值为_________.答案：−2分析：根据已知求出幂函数的解析式f(x)=x−13，再求出f(−18)的值得解.设幂函数的解析式为f(x)=x a ，由题得2=(18)a =2−3a ,∴−3a =1,∴a =−13，∴f(x)=x −13.所以f(−18)=(−18)−13=(−12)3×(−13)=−2.所以答案是：−2.小提示：本题主要考查幂函数的解析式的求法和函数值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解答题15、美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系为y =kx a (x >0)，其图像如图所示.（1）试分别求出生产A ，B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式；（2）现在公司准备投入40千万元资金同时生产A ，B 两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.答案：（1）生产A ，B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式分别为y =0.25x ，y =√x (x >0)，（2）9千万元分析：（1）根据待定系数法可求出函数解析式，（2）将实际问题转换成二次函数求最值的问题即可求解解：（1）因为生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设y =mx (m >0)，因为当x =1时，y =0.25，所以m =0.25，所以y =0.25x ，即生产A 芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式为y =0.25x ，对于生产B 芯片的，因为函数y =kx a (x >0)图像过点(1,1),(4,2)，所以{1=k k⋅4a=2，解得{k=1a=12，所以y=x12，即生产B芯片的毛收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系为y=√x(x>0)，（2）设投入x千万元生产B芯片，则投入(40−x)千万元生产A芯片，则公司所获利用f(x)=0.25(40−x)+√x−2=−14(√x−2)2+9，所以当√x=2，即x=4千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元。
高中数学根据函数性质解题技巧总结
高中数学根据函数性质解题技巧总结在高中数学中，函数是一个重要的概念，它是数学中的一种基本关系，描述了自变量和因变量之间的对应关系。
掌握了函数的性质，我们就能够更加灵活地解决各种与函数相关的问题。
本文将总结一些根据函数性质解题的技巧，并通过具体的题目举例说明。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在自变量取相反数时，函数值的变化规律。
对于一个函数f(x)，如果满足f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；如果满足f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
例题1：已知函数f(x) = x^3 - x，判断该函数的奇偶性。
解析：我们可以将函数的定义代入判断。
对于任意的x，有f(-x) = (-x)^3 - (-x)= -x^3 + x。
与f(x)进行比较，发现f(-x) = -f(x)，所以该函数是奇函数。
通过这个例题，我们可以看到，判断函数的奇偶性可以通过将自变量取相反数，然后与原函数进行比较，从而得到结论。
这个技巧在解题中非常实用。
二、函数的周期性函数的周期性是指函数在某个区间内的函数值具有重复的规律性。
对于一个函数f(x)，如果存在正数T，使得对任意的x，有f(x+T) = f(x)，则称该函数为周期函数，T称为函数的周期。
例题2：已知函数f(x) = sin(x)，求f(x)的周期。
解析：根据三角函数的性质，我们知道sin(x+2π) = sin(x)，所以函数f(x)的周期为2π。
周期函数在解题中经常出现，掌握函数的周期性可以帮助我们快速求解问题。
例如在解决函数在某个区间上的最值问题时，我们可以利用函数的周期性将区间缩小，从而简化计算。
三、函数的单调性函数的单调性是指函数在某个区间上的函数值的变化规律。
对于一个函数f(x)，如果在某个区间上，当x1 < x2时，有f(x1) < f(x2)，则称该函数在该区间上为递增函数；如果在某个区间上，当x1 < x2时，有f(x1) > f(x2)，则称该函数在该区间上为递减函数。
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3．已知实数 a≠0，函数
3 f(1－a)＝f(1＋a)，则 a 的值为___. 4
2x＋a，x＜1， f(x)＝ 若 －x－2a，x≥1，
4. 定义在 D 上的函数 f(x)，如果满足：任意 x∈D，存在常数 A， 都有|f(x)|≤A 成立，则称函数 f(x)是 D 上的“有界函数”，下列函数中： x ①f(x)＝2sinx；②f(x)＝ 1－x2；③f(x)＝1－2x；④f(x)＝ 2 ． x ＋1 其中是“有界函数”的是
二、备考要点及注意事项
• 1、重视基础教学：
• 2、强调常规通法： • 3、规范答题书写：
熟悉以下基础知识
1. 两角和、差、倍的正弦、余弦、正切公式
升（降）幂公式： sin 2
1 cos 2 1 cos 2 、 cos 2 、 2 2 1 sin cos sin 2 ； 2
高考常考查以下几种函数：
(2) f ( x )
mx n (3) f ( x) 2 ; ax bx c
g ( x) g ( x) h( x) (4) f ( x) ; h( x) g ( x) h( x)
(5) f ( x) ax bx cx d
一定要检验！可导函数y＝f(x)在x＝x0处取得极值的 必要不充分条件是f ’(x0)＝0．
10.（山东卷理科第16题）
11.（辽宁卷文科第16题）
12. 2011 年台湾区第二次高考数学甲卷试题：第一部分 (4)： 设 f 为实系数三次多项式函数. 已知五个方程式的相异实根个数如下表所述： 方程式 相异实根的个数 f(x)－20＝0 1 f(x)－10＝0 3 f(x )＝ 0 3 f(x)＋10＝0 1 f(x)＋20＝0 1 关于 f 的极小值，试问下列哪一个选项是正确的？ (1) 不存在 (2)－20＜＜－10 (3) －10＜＜0 (4) 0＜＜10 (5) 10＜＜20
三次函数如， 3 2 2 天津(19)：f(x)＝4x ＋3tx －6t x＋t－1(t R)； 1 3 江西(20)：f(x)＝ x ＋mx2＋nx； 3
其它如， 山东(17)应用题(分式函数)， 上海(21)：f(x)＝a· 2x＋ b · 3x．
对导数的研究都落实到二次函数上！
2 1 ＋ ax －2ax ex x 安徽(18)：f(x)＝ 2( a>0)，f (x)＝e · 2 2 ， 1＋ax (1＋ax )
辅助角公式： a sin b cos a 2 b2 sin( ) （ 由 a , b 具体的值确定）
正切公式的变形： tan tan tan( )(1 tan tan ) .
2. 若函数 f ( x) A sin(x ) 是偶函数，则 =_______;
考查函数的凹凸性，在教材的习题中有所体现．
7.（山东卷理科第9题）
8. 一辆中型客车的营运总利润y (单位：万元)与营运 年数x(x∈N)的变化关系如下表所示： 5 时，该客车的年平均利 则客车的运输年数为 _______ 润最大． x(年 ) y＝ax2＋bx＋c (万元) 4 7 6 11 8 7 … …
f ( x) 的最小值小于 g ( x) 的最大值
四、真题例析
1 1.(07 广东)已知函数 f(x)＝ 的定义域为 1. 1－x M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为 N，则 M∩N 是 （-1，1） ． 说明：考查分式函数、对数函数的定义域及集合的运 算．
1 ( , ) 2.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是_____. 2
9．导数及其应用：导数的概念(A)， 导数的几何意义(B)；导数的运算(B)，利 用导数研究函数的单调性与极值(B)；导 数在实际生活中的应用(B).
二、——四年新课程卷的命题规律 1. “重点知识重点考查，重点知识均衡考 查” ;
2. 从函数类型看，一次函数，二次函数 (含参，含绝对值等)，三次函数(含参)， 简单的分式函数，与y＝lnx或y＝ex组合 (用于函数综合题)以及分段函数(一定有) 等.
2
（2）当 y＝f(x)在区间[－1，1]上有两个的零点时，
△＝8a ＋24a＋4＞0， －1＜－ 1 ＜1， －3－ 2a 解得 a≥5 或 a＜ 2 af ( － 1) ≥ 0 ， af(1)≥0．
综上，a≥1 或 a≤
7
．
－3－ 7 －3－ 7 ，即 a∈(－∞， ]∪[1，＋∞)． 2 2
| f ( x1 ) f ( x2 ) | c, 则
c | f ( x1 ) f ( x2 ) |max f ( x)max f ( x)min
(3)若对 x1 [2, 2], 总存在 x0 [2, 2]，使 f ( x1 ) g ( x0 ) 成立， 则
f ( x) 的值域是 g ( x) 值域的子集
2
2 因此 4a 4a 4a(a 1) 0, 解得 0 a 1.
处理“恒成立求参数范围”有两个基本途
15. 已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，函数y＝f(x)在 区间[－1，1]上有零点，求a的取值范围．
解：若 a＝0，f(x)＝2x－3，显然在[－1，1]上没有零点，所以 a≠0． （1）当 y＝f(x)在区间[－1，1]上有惟一的零点时， ①f(－1)· f(1)≤0，(a－1)(a－5)≤0，即 1≤a≤5，经检验 1≤a＜5； －3± 7 ②设△＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋24a＋4＝0，解得 a＝ ， 2 a＝ －3－ 7 满足题意． 2
求导后一定能从导数中“分离”出 ex
2 x －ax＋1 1 湖南(22)：f(x)＝x－x－alnx(aR)，f (x)＝ ， 2 x
要高度重视(强调)二次函数！
三、解题中常见的词语及转化方法
Ａ
（1）方程 f ( x) a 有解 a f ( x) 的值域;
（2）不等式 f ( x) a 恒成立 a f ( x) min
（3）不等式 f ( x) a 有解
存在 x R ，使 f ( x) a 成立
a f ( x) max
B.(1)若对任意的 x1 , x2 [1, e] ，都有 f ( x1 ) g ( x2 ) 成立，则
f ( x) 的最小值不小于 g ( x) 的最大值
(2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值 x1 , x2 ，都有
(4) 若不等式 f ( x) g ( x) 恒成立，则函数
h( x) f ( x) g ( x) 的最小值 0
（5） 若在某区间上至少存在一个实数 x0 ，使 f ( x0 ) g ( x0 ) 成立， 则
不等式 f ( x) g ( x) 0 在某区间上有解
（6）若存在 x1 , x2 [1,1], 使得 f ( x1 ) g ( x2 ) 成立，则
(3)
13.（2011年江苏卷第12题）
ex 14. 安徽(18)：函数 f(x)＝ (a>0)为 R 上的单调函数，求参数 a 的 1＋ax2 取值范围.
2 1 ax ax x 分析： f ( x) e . 2 2 (1 ax )
因 f ( x ) 为 R 上的单调函数，所以 f ( x) 在 R 上不变号， 又由 a>0 知 ax 2ax 1 0 在 R 上恒成立，
另解：a＝0 时，不符合题意，所以 a≠0．
∴f(x)＝2ax2＋2x－3－a＝0 在[－1， 1]上有解(2x2－1)a＝3－2x 在[－1， 2 1 2x －1 1]上有解a＝ 在[－1，1]上有解． 3－2x 2x2－1 问题转化为求函数 y＝ 在[－1，1]上的值域． 3－2x 设 t＝3－2x，x∈[－1，1]，则 2x＝3－t，t∈[1，5]，
高中数学中的函数问题
第一部分 函数与导数
一、2014年“考试说明”中关于“函数与 导数”的考查要求 2．函数的概念与基本初等函数Ⅰ： 函数的概念(B)，函数的基本性质(B)，指 数与对数(B)，指数函数的图象与性质(B)， 对数函数的图象与性质(B)，幂函数(A)， 函数与方程(A)，函数模型及其应用(B).
说明：分离参变量，转化为求新函数的值域．
第二部分
ห้องสมุดไป่ตู้
三角函数
一、基本要求
内 容
要
求
A B C 三角函数的有关概念 同角三角函数的基本关系式 3．基本初等 正弦函数 、余弦函数的诱导公式 函数Ⅱ（三 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 角函数） 、三 函数 y = Asin(x + )的图象和性质 角恒等变换 两角和（差）的正弦、余弦及正切 二倍角的正弦、余弦及正切 积化和差、和差化积及半角公式 4．解三角形 正弦定理、余弦定理及其应用 √ √ √ √ √ √ √ √ √
2 1 (t－3) －2 1 7 y＝ · t ＝ (t＋ t －6)． 2 2 7 7 设 g(t)＝t＋ t ，g„(t)＝1－ 2，t∈(1， 7)时，g„(t)＜0，此函数 g(t)单调递减； t t∈( 7，5)时，g„(t)＞0．此函数 g(t)单调递增，∴y 的取值范围是[ 7－3， －3－ 7 1 1]．∴a∈[ 7－3，1]，即 a∈(－∞， ]∪[1，＋∞)． 2
2
k , ( k Z )
若函数 f ( x) A sin(x ) 是奇函数，则 =______.
k ,(k Z )
3. 三角形中的常见结论 （1） ABC 中， A B sin A sin B （2） ABC 中,sin2A=sin2B 时， ABC 的形状是__________; (3) 0<tanAtanB<1 时， ABC 的形状是__________; （4）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 成立吗？ （5）若 ABC 是锐角三角形，你有何想法？