高中数学常见的函数问题总结

3．已知实数 a≠0，函数
3 f(1－a)＝f(1＋a)，则 a 的值为___. 4
2x＋a，x＜1， f(x)＝ 若 －x－2a，x≥1，
4. 定义在 D 上的函数 f(x)，如果满足：任意 x∈D，存在常数 A， 都有|f(x)|≤A 成立，则称函数 f(x)是 D 上的“有界函数”，下列函数中： x ①f(x)＝2sinx；②f(x)＝ 1－x2；③f(x)＝1－2x；④f(x)＝ 2 ． x ＋1 其中是“有界函数”的是
9．导数及其应用：导数的概念(A)， 导数的几何意义(B)；导数的运算(B)，利 用导数研究函数的单调性与极值(B)；导 数在实际生活中的应用(B).
Hale Waihona Puke Baidu
二、——四年新课程卷的命题规律 1. “重点知识重点考查，重点知识均衡考 查” ;
2. 从函数类型看，一次函数，二次函数 (含参，含绝对值等)，三次函数(含参)， 简单的分式函数，与y＝lnx或y＝ex组合 (用于函数综合题)以及分段函数(一定有) 等.
主要问题：审题不到位！
9. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为 10，则f(2)＝______．
解：因为f’(x)＝3x2＋2ax＋b，所以f’(1) ＝0． 所以3＋2a＋b＝0，1＋a＋b＋a2＝10.
解得a＝4或－3．
当a＝4时，b＝5，满足题意，f(2)＝18;
当a＝－3时，b＝3，但f’(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0， 不符合题意，舍去．
(4) 若不等式 f ( x) g ( x) 恒成立，则函数
h( x) f ( x) g ( x) 的最小值 0
（5） 若在某区间上至少存在一个实数 x0 ，使 f ( x0 ) g ( x0 ) 成立， 则
不等式 f ( x) g ( x) 0 在某区间上有解
（6）若存在 x1 , x2 [1,1], 使得 f ( x1 ) g ( x2 ) 成立，则
求导后一定能从导数中“分离”出 ex
2 x －ax＋1 1 湖南(22)：f(x)＝x－x－alnx(aR)，f (x)＝ ， 2 x
要高度重视(强调)二次函数！
三、解题中常见的词语及转化方法
Ａ
（1）方程 f ( x) a 有解 a f ( x) 的值域;
（2）不等式 f ( x) a 恒成立 a f ( x) min
说明：分离参变量，转化为求新函数的值域．
第二部分
三角函数
一、基本要求
内 容
要
求
A B C 三角函数的有关概念 同角三角函数的基本关系式 3．基本初等 正弦函数 、余弦函数的诱导公式 函数Ⅱ（三 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 角函数） 、三 函数 y = Asin(x + )的图象和性质 角恒等变换 两角和（差）的正弦、余弦及正切 二倍角的正弦、余弦及正切 积化和差、和差化积及半角公式 4．解三角形 正弦定理、余弦定理及其应用 √ √ √ √ √ √ √ √ √
一定要检验！可导函数y＝f(x)在x＝x0处取得极值的 必要不充分条件是f ’(x0)＝0．
10.（山东卷理科第16题）
11.（辽宁卷文科第16题）
12. 2011 年台湾区第二次高考数学甲卷试题：第一部分 (4)： 设 f 为实系数三次多项式函数. 已知五个方程式的相异实根个数如下表所述： 方程式 相异实根的个数 f(x)－20＝0 1 f(x)－10＝0 3 f(x )＝ 0 3 f(x)＋10＝0 1 f(x)＋20＝0 1 关于 f 的极小值，试问下列哪一个选项是正确的？ (1) 不存在 (2)－20＜＜－10 (3) －10＜＜0 (4) 0＜＜10 (5) 10＜＜20
2
（2）当 y＝f(x)在区间[－1，1]上有两个的零点时，
△＝8a ＋24a＋4＞0， －1＜－ 1 ＜1， －3－ 2a 解得 a≥5 或 a＜ 2 af ( － 1) ≥ 0 ， af(1)≥0．
综上，a≥1 或 a≤
7
．
－3－ 7 －3－ 7 ，即 a∈(－∞， ]∪[1，＋∞)． 2 2
(3)
13.（2011年江苏卷第12题）
ex 14. 安徽(18)：函数 f(x)＝ (a>0)为 R 上的单调函数，求参数 a 的 1＋ax2 取值范围.
2 1 ax ax x 分析： f ( x) e . 2 2 (1 ax )
因 f ( x ) 为 R 上的单调函数，所以 f ( x) 在 R 上不变号， 又由 a>0 知 ax 2ax 1 0 在 R 上恒成立，
2 1 (t－3) －2 1 7 y＝ · t ＝ (t＋ t －6)． 2 2 7 7 设 g(t)＝t＋ t ，g„(t)＝1－ 2，t∈(1， 7)时，g„(t)＜0，此函数 g(t)单调递减； t t∈( 7，5)时，g„(t)＞0．此函数 g(t)单调递增，∴y 的取值范围是[ 7－3， －3－ 7 1 1]．∴a∈[ 7－3，1]，即 a∈(－∞， ]∪[1，＋∞)． 2
另解：a＝0 时，不符合题意，所以 a≠0．
∴f(x)＝2ax2＋2x－3－a＝0 在[－1， 1]上有解(2x2－1)a＝3－2x 在[－1， 2 1 2x －1 1]上有解a＝ 在[－1，1]上有解． 3－2x 2x2－1 问题转化为求函数 y＝ 在[－1，1]上的值域． 3－2x 设 t＝3－2x，x∈[－1，1]，则 2x＝3－t，t∈[1，5]，
3 2
cx d
;
（6 ）
y | x a |
又如：
与 y＝lnx 组合，如 2 广东(19)：f(x)＝lnx＋a(1－a)x －2(1－a)x(a>0)； 福建(22)：f(x)＝－ax＋b＋axlnx(a0)； 1 湖南(22)：f(x)＝x－x－alnx(aR)；
与 y＝ex 组合， ex 安徽(18)：f(x)＝ (a>0)； 1＋ax2 北京(18)：f(x)＝(x－k) ex；
| f ( x1 ) f ( x2 ) | c, 则
c | f ( x1 ) f ( x2 ) |max f ( x)max f ( x)min
(3)若对 x1 [2, 2], 总存在 x0 [2, 2]，使 f ( x1 ) g ( x0 ) 成立， 则
f ( x) 的值域是 g ( x) 值域的子集
①②④
（写出所有满足要求的序号） ．
考查函数的整体性质，根据已有的性质考查新的性质．
5：(07海南、宁夏）设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)是 偶函数，则a的值是 a=-1 ．
利用偶函数的定义解决问题，用特值法解决时 一般要注意检验．
6. 在 y＝2x，y＝log2x，y＝x2，y＝cos2x 这四个函数中，当 0＜x1＜x2＜1 x1＋x2 f(x1)＋f(x2) 时 ， 使 f( ) ＞ 恒 成 立 的 函 数 的 个 数 2 2 是 ． 2个
二、备考要点及注意事项
• 1、重视基础教学：
• 2、强调常规通法： • 3、规范答题书写：
熟悉以下基础知识
1. 两角和、差、倍的正弦、余弦、正切公式
升（降）幂公式： sin 2
1 cos 2 1 cos 2 、 cos 2 、 2 2 1 sin cos sin 2 ； 2
二、——新课程卷的命题规律
3．分量重，约有40分左右，占总分值的 四分之一；难度分布广，易、中、难都有， 而试卷的难度“制高点”之一都是函数；
4．围绕基本初等函数，主要考查函数的 单调性与奇偶性、最值、图象等；函数 与方程，分类讨论，数形结合，等价转 化等数学思想都有所涉及.
a （1） f ( x ) x ( a 0) 型; x ax b


2
k , ( k Z )
若函数 f ( x) A sin(x ) 是奇函数，则 =______.
k ,(k Z )
3. 三角形中的常见结论 （1） ABC 中， A B sin A sin B （2） ABC 中,sin2A=sin2B 时， ABC 的形状是__________; (3) 0<tanAtanB<1 时， ABC 的形状是__________; （4）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 成立吗？ （5）若 ABC 是锐角三角形，你有何想法？
考查函数的凹凸性，在教材的习题中有所体现．
7.（山东卷理科第9题）
8. 一辆中型客车的营运总利润y (单位：万元)与营运 年数x(x∈N)的变化关系如下表所示： 5 时，该客车的年平均利 则客车的运输年数为 _______ 润最大． x(年 ) y＝ax2＋bx＋c (万元) 4 7 6 11 8 7 … …
f ( x) 的最小值小于 g ( x) 的最大值
四、真题例析
1 1.(07 广东)已知函数 f(x)＝ 的定义域为 1. 1－x M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为 N，则 M∩N 是 （-1，1） ． 说明：考查分式函数、对数函数的定义域及集合的运 算．
1 ( , ) 2.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是_____. 2
三次函数如， 3 2 2 天津(19)：f(x)＝4x ＋3tx －6t x＋t－1(t R)； 1 3 江西(20)：f(x)＝ x ＋mx2＋nx； 3
其它如， 山东(17)应用题(分式函数)， 上海(21)：f(x)＝a· 2x＋ b · 3x．
对导数的研究都落实到二次函数上！
2 1 ＋ ax －2ax ex x 安徽(18)：f(x)＝ 2( a>0)，f (x)＝e · 2 2 ， 1＋ax (1＋ax )
辅助角公式： a sin b cos a 2 b2 sin( ) （ 由 a , b 具体的值确定）
正切公式的变形： tan tan tan( )(1 tan tan ) .
2. 若函数 f ( x) A sin(x ) 是偶函数，则 =_______;
2
2 因此 4a 4a 4a(a 1) 0, 解得 0 a 1.
处理“恒成立求参数范围”有两个基本途
15. 已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，函数y＝f(x)在 区间[－1，1]上有零点，求a的取值范围．
解：若 a＝0，f(x)＝2x－3，显然在[－1，1]上没有零点，所以 a≠0． （1）当 y＝f(x)在区间[－1，1]上有惟一的零点时， ①f(－1)· f(1)≤0，(a－1)(a－5)≤0，即 1≤a≤5，经检验 1≤a＜5； －3± 7 ②设△＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋24a＋4＝0，解得 a＝ ， 2 a＝ －3－ 7 满足题意． 2
高中数学中的函数问题
第一部分 函数与导数
一、2014年“考试说明”中关于“函数与 导数”的考查要求 2．函数的概念与基本初等函数Ⅰ： 函数的概念(B)，函数的基本性质(B)，指 数与对数(B)，指数函数的图象与性质(B)， 对数函数的图象与性质(B)，幂函数(A)， 函数与方程(A)，函数模型及其应用(B).
（3）不等式 f ( x) a 有解

存在 x R ，使 f ( x) a 成立

a f ( x) max
B.(1)若对任意的 x1 , x2 [1, e] ，都有 f ( x1 ) g ( x2 ) 成立，则
f ( x) 的最小值不小于 g ( x) 的最大值
(2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值 x1 , x2 ，都有
高考常考查以下几种函数：
(2) f ( x )
mx n (3) f ( x) 2 ; ax bx c
g ( x) g ( x) h( x) (4) f ( x) ; h( x) g ( x) h( x)
(5) f ( x) ax bx cx d