高中数学阶段常见函数性质汇总

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高中数学函数的基本性质 doc

高一数学函数的基本性质一、知识点1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。

如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论：若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。

（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。

高中数学-函数概念及其性质知识总结

数学必修1函数概念及性质（知识点陈述总结）（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．注重：○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注重：求出不等式组的解集即为函数的定义域。

)2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注重：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础.(3).求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等.3.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C={P(x,y)|y= f(x),x∈A}图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.(2)画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法（请参考必修4三角函数）常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。

专题07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性 (学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇

【考点预测】1.高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题07函数的性质——单调性、奇偶性、周期性函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数()f x 的定义域为A ，区间D A ⊆：如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x 当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是增函数．如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是减函数．①属于定义域A 内某个区间上；②任意两个自变量1x ，2x 且12x x <；③都有12()()f x f x <或12()()f x f x >；④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．（2）单调性与单调区间①单调区间的定义：如果函数()f x 在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()f x 在区间D 上具有单调性，D 称为函数()f x 的单调区间．②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．（3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.2．函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有) ()(f x f x --=，那么函数()f x 就叫做奇函数关于原点对称判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果0(())f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果0(())f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内(即定义域关于原点对称)．3．函数的对称性(1)若函数()y f x a =＋为偶函数，则函数()y f x =关于x a =对称．(2)若函数()y f x a =＋为奇函数，则函数()y f x =关于点(0)a ，对称．(3)若()()2f x f a x =-，则函数()f x 关于x a =对称．(4)若2(2)()f x f a x b -=＋，则函数()f x 关于点()a b ，对称．4.函数的周期性（1）周期函数：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有(()f x T f x +=），那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期.（2）最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做()f x 的最小正周期.【方法技巧与总结】1.单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设1x ，2x 是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <；②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若()f x 是增函数，则()f x -为减函数；若()f x 是减函数，则()f x -为增函数；②若()f x 和()g x 均为增(或减)函数，则在()f x 和()g x 的公共定义域上()()f x g x +为增(或减)函数；③若()0f x >且()f x 为增函数，1()f x 为减函数；④若()0f x >且()f x 为减函数，1()f x 为增函数．2.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 的图象关于y 轴对称；函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数()y f x =在0x =处有意义，则有(0)0f =；偶函数()y f x =必满足()(||)f x f x =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()f x 的定义域关于原点对称，则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2g x f x f x =+-，1()[()()]2h x f x f x =--，则()()()f x g x h x =+.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x f x g x +-⨯÷.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶.(7)复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.(8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()(01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-．③函数2()log log (1aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++④函数()log )a f x x =+或函数()log )a f x x =．注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+．②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-．③函数(||)f x 类型的一切函数．④常数函数3.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数4.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.5.对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-．（2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．【题型归纳目录】题型一：函数的单调性及其应用题型二：复合函数单调性的判断题型三：利用函数单调性求函数最值题型四：利用函数单调性求参数的范围题型五：基本初等函数的单调性题型六：函数的奇偶性的判断与证明题型七：已知函数的奇偶性求参数题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值题型九：已知()f x =奇函数+M 题型十：函数的对称性与周期性题型十一：类周期函数题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性题型十三：函数性质的综合【典例例题】题型一：函数的单调性及其应用例1．（2022·全国·高三专题练习）若定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有()-()-f a f b a b>0成立，则必有（）A ．f (x )在R 上是增函数B ．f (x )在R 上是减函数C ．函数f (x )先增后减D ．函数f (x )先减后增例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意两个不相等的实数a ，b 都有()()()0a b f a f b -->⎡⎤⎣⎦，则不等式()()315f x f x ->+的解集为（）．A ．(),3-∞B ．()3,+∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞例3．（2022·全国·高三专题练习）()252f x x x =-的单调增区间为（）A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()22xxf x =-.（1）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（2）解关于x 的不等式2(log )(1)f x f <.例5．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数()1axf x x =-（0a ≠）在(11)-，上的单调性.【方法技巧与总结】函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．题型二：复合函数单调性的判断例6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数y =）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,1]-∞-C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．[]12-，例7．（2022·全国·高三专题练习）函数()213log 412y x x =-++单调递减区间是（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,2-D ．()2,6-例8．（2022·全国·高三专题练习）函数2231()(2x x f x --=的单调递减区间是（）A ．(,)-∞+∞B ．(,1)-∞C ．(3,)+∞D ．(1,)+∞【方法技巧与总结】讨论复合函数[()]y f g x =的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：1．若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则[()]y f g x =为增函数；2．若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则[()]y f g x =为减函数．列表如下：()u g x =()y f u =[()]y f g x =增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．题型三：利用函数单调性求函数最值例9．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I 内单调递增且有界的函数()f x ，即0M ∃>，x I ∀∈，()f x M ≤．则下列函数中，所有符合上述条件的序号是______．①()f x =()21x f x x =+；③()e e e ex xx x f x ---=+；④()11e x f x -=+．例10．（2022·全国·高三专题练习）定义在()0,∞+上的函数()f x 对于任意的*,x y R ∈，总有()()()f x f y f xy +=，且当1x >时，()0f x <且()1f e =-．（1）求()1f 的值；（2）判断函数在()0,∞+上的单调性，并证明；（3）求函数()f x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．例11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()(0)2axf x a x =≠-.（1）判断函数()f x 在区间()2,2-上的单调性，并用单调性的定义加以证明；（2）若()33f =，求[]1,1x ∈-时函数()f x 的值域.例12．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知a b <，函数()f x 的定义域为I ，若存在[,]a b I ⊆，使得()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，我们就说()f x 是“类方函数”.下列四个函数中是“类方函数”的是（）①()21f x x =-+；②2()f x x =；③()2f x =+；④1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④【方法技巧与总结】利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：1．如果函数()y f x =在区间(]a b ，上是增函数，在区间[)b c ，上是减函数，则函数()()y f x x a c =∈，在x b =处有最大值()f b ．2．如果函数()y f x =在区间(]a b ，上是减函数，在区间[)b c ，上是增函数，则函数()()y f x x a c =∈，在x b =处有最小值()f b ．3．若函数()y f x =在[]a b ，上是严格单调函数，则函数()y f x =在[]a b ，上一定有最大、最小值．4．若函数()y f x =在区间[]a b ，上是单调递增函数，则()y f x =的最大值是()f b ，最小值是()f a ．5．若函数()y f x =在区间[]a b ，上是单调递减函数，则()y f x =的最大值是()f a ，最小值是()f b ．题型四：利用函数单调性求参数的范围例13．（2022·河南濮阳·一模（理））“1b ≤”是“函数()()22,0log 2,20bx x f x x b x +>⎧=⎨++-<≤⎩是在()2,-+∞上的单调函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例14．（2022·全国·江西科技学院附属中学高三阶段练习（理））已知函数()()e 4,0,2log 1,10,x m m x f x x x ⎧+>⎪=⎨-+-<≤⎪⎩若1x ∀，2x ∈R ，()()12120f x f x x x ->-，且()()2g x f x x =--仅有1个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,4e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭例15．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数2()2f x x ax b =-+在区间（-∞，1]是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．[1，+∞）B ．（-∞，1]C ．[-1，+∞）D ．（-∞，-1]例16．（2022·全国·高三专题练习）若函数21,1()2,,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围（）A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,1D ．()0,1例17.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =0a >且1a ≠）在区间[)1,3上单调递增，则实数a 的取值不可能是（）A ．13B ．12C ．23D ．56例18．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数，则实数a的范围是_______.例19．（2022·全国·高三专题练习）如果5533cos θsin θ7(cos θsin θ),θ[0,2π]->-∈，则θ的取值范围是___________．例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 满足()()()()1,f x y f x f y x y R +=+-∈，当0x >时，()1f x >，且()12f =.（1）求()()0,1f f -的值，并判断()f x 的单调性；（2）当[]1,2x ∈时，不等式()()231f ax x f x -+<恒成立，求实数a 的取值范围.【方法技巧与总结】若已知函数的单调性，求参数a 的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数a 的不等式，利用下面的结论求解．1.若()a f x >在[]m n ，上恒成立()a f x ⇔>在[]m n ，上的最大值．2.若()a f x <在[]m n ，上恒成立()a f x ⇔<在[]m n ，上的最小值．题型五：基本初等函数的单调性例21．（2022·全国·高三阶段练习（文））下列函数在()1,3上单调递减的是（）A ．24y x x =-B ．12x y -=C ．y =D ．cos 1y x =+例22．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是A ．xy e -=B ．3y x =C ．ln y x=D ．y x=例23．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 是奇函数，且()()12120f x f x x x ->-对任意12,x x R ∈且12x x ≠都成立，设32a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3log 7b f =，()30.8c f =-，则（）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a<<D ． a c b<<例24．（2022·山东·济南一中模拟预测）设函数()232xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()ln 3a f =，()5log 2b f =-，c f =（e 为自然对数的底数），则（）．A ．a b c>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．a c b>>【方法技巧与总结】1.比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.2.求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间(同增异减).3.利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系.题型六：函数的奇偶性的判断与证明例25．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）A ．是偶函数，且在R 是单调递增B ．是奇函数，且在R 是单调递增C ．是偶函数，且在R 是单调递减D ．是奇函数，且在R 是单调递减例26．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．1y x=B ．ln y x x=--C ．3y x x=--D ．3=-+y x x例27．（2022·广东·二模）存在函数()f x 使得对于x R ∀∈都有()()f g x x =，则函数()g x 可能为（）A ．()sin g x x=B ．()22g x x x=+C ．()3g x x x=-D ．()()x xg x e e-=+例28．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：（1）f (x )（2）f (x )＝(x ＋（3）f (x ).（4）f (x )＝2221,0,21,0;x x x x x x ⎧-++>⎨+-<⎩例29．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足：①()01f =；②()g x 为奇函数；③()0,x ∀∈+∞，()0>g x ；④任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()f x 在()0,+∞上的单调性.【方法技巧与总结】函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性.题型七：已知函数的奇偶性求参数例30．（2022·北京海淀·二模）若(),01,0x a x f x bx x +<⎧=⎨->⎩是奇函数，则（）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b =-=C ．1,1a b ==D ．1,1a b =-=-例31．（2022·河南洛阳·三模（理））若函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则=a （）A ．-1B ．0C ．1D ．±1例32．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数()22x x af x a +=-为奇函数，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．±1例33．（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））已知函数()(1)1x mf x x e=++为偶函数，则m 的值为_________.例34．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数()()22330x xa a a f x -+=-⋅≠为奇函数，则=a ______．例35．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数()2221x xa b f x x -+⋅=+为偶函数，则=a ______．例36.（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数)1()e ln e x xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为R 上的偶函数，则实数=a ___________.【方法技巧与总结】利用函数的奇偶性的定义转化为()()f x f x -=±，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值例37．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））设()f x 为奇函数，且0x >时，()e ln xf x x =+，则()1f -=___________.例38．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数()f x ，当0x >时，()()212f x x f x '=-+，则()f x 的图象在点()()2,2f --处的切线的斜率为（）A ．3-B ．3C ．5-D ．5例39．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≤时，()232f x x x m =-+，则()f x 在[]1,2上的最大值为()A ．1B ．8C ．5-D ．16-例40．（2022·江西·模拟预测（理））(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2022sin 25+=--x f x g x x x ，则下列说法错误的是（）A ．(0)1g =B ．()g x 在[]0,1上单调递减C ．(1101)-g x 关于直线1101=x 对称D ．()g x 的最小值为1例41．（2022·山西吕梁·一模（文））已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()21x f x x =+-，则当0x <时，()f x =（）A ．21x x ---B ．21x x -++C ．121x ----D ．121x --++例42．（2022·北京·高三专题练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =+，且当()0,1x ∈时，()241xxf x =+.(1)求()1f 和()1f -的值；(2)求()f x 在[]1,1-上的解析式.例43．（2022·全国·高三专题练习）若函数()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且其定义域均为{R,1}x x x ∈≠±.若()1()1f xg x x +=-，求()f x ，()g x 的解析式.【方法技巧与总结】抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式.题型九：已知()f x =奇函数+M例44．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知()34f x ax =++（a ，b 为实数），()3lg log 102022f =，则()lg lg3f =______．例45．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数()2sin 414x xf x x -=++，且()5f a =，则()f a -=（）A ．2B ．3C ．－2D ．－3例46．（2022·福建省福州第一中学高二期末）若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1xg x f x x =++在区间[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（）A ．4B ．8C ．12D ．16例47．（2022·上海·高一专题练习）若函数()()2221sin 1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 3g x M m x M m x π⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦图像的对称中心不可能是_______A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．28,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．416,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭例48．（2022·河南·温县第一高级中学高三月考（理））若函数()()113e sin 1ex x x f x --⋅--=在区间[]3,5-上的最大值、最小值分别为p 、q ，则p q +的值为（）．A ．2B ．1C ．6D ．3例49．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））函数()()211()2x x f x x x e e x --=--+在区间[1,3]-上的最大值与最小值分别为M ，N ，则M N +的值为（）A ．2-B ．0C ．2D ．4例50．（2022·广东潮阳·高一期末）函数()()22ln41ax a xf x x a++=++，若()f x 最大值为M ，最小值为N ，[]1,3a ∈，则M N +的取值范围是______.例51．（2022·安徽·合肥市第九中学高三月考（理））已知定义域为R 的函数2222020sin ()2x x e e x xf x x λλμ++=++有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为6，则λ-μ=___.【方法技巧与总结】已知()f x =奇函数+M ，[,]x a a ∈-，则（1）()()2f x f x M -+=（2）max min ()()2f x f x M +=题型十：函数的对称性与周期性例52．（2022·天津三中二模）设函数()y f x =的定义域为D ，若对任意的12,x x D ∈，且122x x a +=，恒有()()122f x f x b +=，则称函数()f x 具有对称性，其中点(,)a b 为函数()y f x =的对称中心，研究函数1()1tan(1)1f x x x x =+++--的对称中心，求13540432022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （）A ．2022B ．4043C ．4044D ．8086例53．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()24f x f x +=+，且()1f x +是奇函数，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的图象关于直线12x =对称C ．()f x 是奇函数D ．()f x 的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称例54．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()2220222f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数()2021f x +的图象关于点()2021,0-对称，且()12022f =，则()2021f =（）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-例55．（2022·新疆·三模（文））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()6f x f x +=，且当[]0,3x ∈时，()e x f x x =，则下面结论正确的是（）A ．()()()3ln 3e e f f f <<-B ．()()()3e ln 3ef f f -<<C ．()()()3e e ln 3f f f <-<D ．()()()3ln 3e ef f f <-<例56．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数()f x 满足(3)(1)9(2)f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称，且(1)2022,f =则(45)f =（）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-例57．（2022·广东茂名·模拟预测）已知函数()f x 是R 上的奇函数，且3()()2f x f x -=-，且当30,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()23f x x =-，则(2021)(2022)(2023)f f f -+--的值为（）A ．4B ．4-C ．0D ．6-例58．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若32f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数且()12f =，则()()()202020212022f f f ++=（）A ．2-B ．4C ．4-D ．6例59．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）函数()()()222f x x x x ax b =+++满足：对x R ∀∈，都有()()11f x f x +=-，则函数()f x 的最小值为（）A ．-20B ．-16C ．-15D ．0例60．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的实数x ∈R ，都有()()220f x f x ++-=成立；②函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称；③对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立.则()2021f ，()2022f ，()2023f 的大小关系为（）A ．()()()202120232022f f f >>B ．()()()202120222023f f f >>C ．()()()202320222021f f f >>D ．()()()202220212023f f f >>例61．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））已知函数()f x 满足()()f x f x -=--，且函数()f x 与()cos 2g x x x =≠-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，则()41i ii x y =+=∑（）A ．－4πB ．－2πC ．2πD ．4π【方法技巧与总结】（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.题型十一：类周期函数例62．（2022·天津一中高三月考）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．[]2,3B ．[]1,3C ．[]1,4D ．[]2,4例63．（2022·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为R 的函数()f x 满足(2)3()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，若[4,2]x ∈--时，13()()18f x t t≥-恒成立，则实数t 的取值范围是()A ．(](],10,3-∞- B．((,-∞ C ．[)[)1,03,-+∞ D．))⎡+∞⎣ 例64．（2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)2213,0,1{ln ,1,2x x x f x x x x -+∈=∈，若当[)4,2x ∈--时，函数()22f x t t ≥+恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．30t -≤≤B ．31t -≤≤C ．20t -≤≤D ．01t ≤≤例65．（2022·湖北·高三月考）已知函数()11,022(2),2x x f x f x x ⎧--≤≤=⎨->⎩，其中R a ∈，给出以下关于函数()f x 的结论：①922f ⎛⎫= ⎪⎝⎭②当[]0,8x ∈时，函数()f x 值域为[]0,8③当4,15k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时方程()f x kx =恰有四个实根④当[]0,8x ∈时，若()22xf x a +≤恒成立，则1a ≥-）A ．1B ．2C ．3D ．4【方法技巧与总结】1.类周期函数若()y f x =满足：()()f x m kf x +=或()()f x kf x m =-，则()y f x =横坐标每增加m 个单位，则函数值扩大k 倍．此函数称为周期为m 的类周期函数．xx类周期函数图象倍增函数图象2.倍增函数若函数()y f x =满足()()f mx kf x =或()(xf x kf m=，则()y f x =横坐标每扩大m 倍，则函数值扩大k倍．此函数称为倍增函数．注意当m k =时，构成一系列平行的分段函数，222311()[1)(1)[)()(1)[)(1)[)n n ng x x m g x m x m m f x g x m x m m g x m x m m --∈⎧⎪-+∈⎪⎪=-+∈⎨⎪⎪⎪-+∈⎩，，，，，，，，．题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性例66．（2022·山东聊城·二模）已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x >时，都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤--<⎢⎥⎣⎦，则不等式()()114x f x ++>的解集为（）A ．()3,1-B ．()()3,11,1---C ．()(),11,1-∞-- D ．()(),31,-∞-⋃+∞例67．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =-，12b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b<<例68．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R 的偶函数满足()()2f x f x -=，当01x ≤≤时，()1e 1x f x -=-，则方程()11f x x =-在区间[]3,5-上所有解的和为（）A ．8B ．7C ．6D ．5例69．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足：①()01f =；②任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.（1）求()()22f xg x -的值；（2）判断并证明函数()f x 的奇偶性.例70．（2022·上海·高三专题练习）定义在(－1，1)上的函数f (x )满足①对任意x 、y ∈(－1，1)，都有f (x )+f (y )=f (1x y xy ++)；②当x ∈(－1，0)时，有f (x )>0．求证：21111()()()()511312f f f f n n +++>++ ．【方法技巧与总结】抽象函数的模特函数通常如下：(1)若()()()f x y f x f y +=+，则()(1)f x xf =(正比例函数)(2)若()()()f x y f x f y +=，则()[(1)]x f x f =(指数函数)(3)若()()()f xy f x f y =+，则()log b f x x =(对数函数)(4)若()()()f xy f x f y =，则()a f x x =(幂函数)(5)若()()()f x y f x f y m +=++，则()(1)f x xf m =-(一次函数)(6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适当变形.题型十三：函数性质的综合例71．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数()()ln ln 2cos 2f x x x x=---，则关于t 的不等式()()20f t f t +<的解集为（）A ．()2,1-B．(-C ．()0,1D．(例72．（2022·安徽·六安市裕安区新安中学高三开学考试（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增.若实数a 满足212(log )(lo )g )2(1f a f f a +≤，则a 的最小值是（）A ．32B ．1C ．12D ．2例73．（2022·河南许昌·高三月考（理））已知函数31()224e e x xf x x x =-++-，其中e 是自然对数的底数，若()2(6)8f a f a -+>，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．(3,2)-C ．(,3)-∞-D ．(,3)(2,)-∞-⋃+∞例74．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高三月考（文））已知函数()3112e 33ex x f x x x =-+-+，其中e是自然对数的底数，若()2(23)6f a f a -+≥，则实数a 的取值范围是（）A ．(,3][1,)-∞-+∞ B ．(,3]-∞-C ．[1,)+∞D ．[]3,1-例75．（2022·江苏·南京市中华中学高三月考）定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1x ≥时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（）A ．1-B ．23-C ．13-D ．13例76．（2022·内蒙古·赤峰二中高一月考（理））设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，若对任意[]2x a a ∈+，，不等式()()2f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．)+∞B．)+∞C ．()1-∞，D．⎡⎣例77．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知函数221e e ()312x x xf x --=++，若不等式2(4)(2)1f ax f ax -+≤对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]e,0-B ．[]2,0-C ．[]4,0-D ．2e ,0⎡⎤-⎣⎦例78．（2022·全国·模拟预测）已知函数()2121xx f x -=+，若()()e 0x f f ax +<有解，则实数a 的取值范围为（）A ．()0,∞+B ．(),e -∞-C ．[]e,0-D ．()(),e 0,-∞-⋃+∞例79．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（理））已知函数()()1ln e 12x f x x =+-(e 为自然对数的底数)，若()()21f a f a ≥-，则实数a 的取值范围是（）A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．[1，+∞)C ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)1,1,3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦【方法技巧与总结】（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.【过关测试】一、单选题1．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．1y x=B ．ln y x x =--C ．3y x x =--D ．3=-+y x x2．（2022·河南·模拟预测（文））已知0x >，0y >，且2e e sin 2sin x y x y ->-，则（）A ．2x y<B ．2x y>C ．x y>D ．x y<3．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()221e e 1x x f x -=+，不等式()()22f x f x >+的解集为（）A ．()(),12,-∞-+∞B ．()1,2-C ．()(),21,-∞-+∞ D ．()2,1-4．（2022·浙江浙江·高三阶段练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 在0x >时满足32()(1)62f x x x =-++，且()()8f x m f x +≤在[]1,3x ∈有解，则实数m 的最大值为（）A ．23B ．2C ．53D ．45．（2022·河北·石家庄二中高三开学考试）已知函数(()cos ln 4f x x x π=+⋅+在区间[5,5]-的最大值是M ，最小值是m ，则()f M m +的值等于()A ．0B ．10C ．4πD ．2π6．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））已知()f x 为奇函数，且当0x >时()211e xf x x-=+，则曲线()y f x =在点11,22f⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（）A ．240x y ++=B ．240x y -+=C ．220x y -+=D ．220x y ++=7．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数()f x 的图象关于原点对称，且()()4f x f x =+，当()0,2x ∈时，()f x =32433log 4f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．-11B ．-8C ．3log 4D ．38log 4-8．（2022·江西·南昌市实验中学一模（理））对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x --是函数()f x 的一对“隐对称点”．若函数()2ln ,0,0x x f x mx mx x >⎧=⎨--≤⎩的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1⋃(1,)+∞C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞二、多选题9．（2022·海南·模拟预测）下面关于函数23()2x f x x -=-的性质，说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞⋃+∞B ．()f x 的值域为RC ．()f x 在定义域上单调递减D ．点(2,2)是()f x 图象的对称中心10．（2022·辽宁·模拟预测）已知定义在R 上的偶函数()f x 的图像是连续的，()()()63f x f x f ++=，()f x 在区间[]6,0-上是增函数，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的一个周期为6B ．()f x 在区间[]12,18上单调递减C ．()f x 的图像关于直线12x =对称D ．()f x 在区间[]2022,2022-上共有100个零点11．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-，若函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对任意的()12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，若()20f -=，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()20220f =C ．()f x 的图象关于点()1,0对称D ．()()21f f ->-12．（2022·河北秦皇岛·二模）已知函数())lg f x x =，()212xg x =+，()()()F x f x g x =+，则（）A ．()f x 的图象关于()0,1对称B ．()g x 的图象没有对称中心C ．对任意的[](),0x a a a ∈->，()F x 的最大值与最小值之和为4D ．若()3311F x x x -+-<-，则实数x 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞三、填空题13．（2022·山东临沂·二模）已知函数e ()1xmxf x x =+-是偶函数，则m =__________．14．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()()ln 0f x x a a a =-+>在21,e ⎡⎤⎣⎦上的最小值为1，则a 的值为________.15．（2022·广东佛山·三模）已知函数()22x x f x a -=+⋅的图象关于原点对称，若3(21)2f x ->，则x 的取值范围为________．16．（2022·陕西宝鸡·二模（文））若函数f （x ）同时满足：（1）对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；（2）对于定义域上的任意12,x x ，当12x x ≠，恒有()()12120f x f x x x -<-，则称函数f （x ）为“理想函数”，下列①()1f x x=，②()=f x ，③()1212xxf x -=+，④22,0(),0x x f x x x ⎧-=⎨<⎩四个函数中，能被称为“理想函数”的有___________.（填出函数序号）四、解答题17．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）设a ∈R ，函数2()21x x af x +=+；(1)求a 的值，使得f （x ）为奇函数；(2)若3()2a f x +<对任意x ∈R 成立，求a 的取值范围．18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的函数，()()f x f x -=-恒成立，且12.25f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)确定函数()f x 的解析式；(2)用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数；(3)解不等式()()10f x f x -+<．19．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））设函数()()20,1,R x xf x ka a a a k -=->≠∈，()f x 是定义域为R 的奇函数(1)确定k 的值(2)若()13f =，判断并证明()f x 的单调性；(3)若3a =，使得()()()221f x f x λ≤+对一切[]2,1x ∈--恒成立，求出λ的范围.20．（2022·全国·高三专题练习）定义域均为R 的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()10x f x g x +=．(1)求函数()f x 与()g x 的解析式；(2)证明：1212()()2()2x x g x g x g ++≥；(3)试用1()f x ，2()f x ，1()g x ，2()g x 表示12()f x x -与12()g x x +．21．（2022·全国·高三专题练习）定义在R 上的函数()f x ，对任意12,x x R ∈，满足下列条件：①1212()()()2f x x f x f x +=+-②(2)4f =（1）是否存在一次函数()f x 满足条件①②，若存在，求出()f x 的解析式；若不存在，说明理由.（2）证明：()()2g x f x =-为奇函数；22．（2022·上海·二模）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”.(1)已知函数π()2cos 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，试判断()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由；(2)设1()423x x f x m +=-⋅-是定义域R 上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围；(3)若()22log 2,3()2,3x mx x f x x ⎧->⎪=⎨-<⎪⎩为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 取值范围.。

高中数学函数题型全归纳

高中数学函数题型全归纳
一、函数定义与性质
函数的基本定义：函数的定义域、值域、对应法则。

函数的性质：奇偶性、对称性、周期性、连续性等。

二、一次函数与反比例函数
一次函数的表达式及性质。

反比例函数的表达式及性质。

一次函数与反比例函数的图像及性质。

三、二次函数
二次函数的表达式及性质。

二次函数的图像及性质。

二次函数的极值问题。

四、分式函数与根式函数
分式函数的表达式及性质。

根式函数的表达式及性质。

分式函数与根式函数的图像及性质。

五、三角函数
正弦、余弦、正切的定义及性质。

三角函数的图像及性质。

三角函数的变换公式。

三角函数的值域及最值问题。

六、指数函数与对数函数
指数函数的表达式及性质。

对数函数的表达式及性质。

指数函数与对数函数的图像及性质。

指数函数与对数函数的运算性质。

七、幂函数与反函数
幂函数的表达式及性质。

反函数的定义及性质。

幂函数与反函数的图像及性质。

八、复合函数
复合函数的定义及性质。

复合函数的分解与化简。

复合函数的值域及最值问题。

复合函数的单调性及极值问题。

九、函数的单调性与极值
函数的单调性的判断方法。

函数的极值的定义及求法。

高考常用函数知识点汇总

高考常用函数知识点汇总函数是数学中非常重要的一个概念，也是高考中常常出现的考点。

理解和掌握常用函数的知识点对于高考数学题目的解答非常有帮助。

本文将对高考常用的函数知识点进行汇总，以帮助同学们更好地备考。

一、一次函数一次函数是最基本的函数之一，其定义域为全体实数。

一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k和b是常数。

一次函数的图像为一条直线，其斜率k决定了直线的倾斜程度，常数b决定了直线与y轴的交点。

二、二次函数二次函数是高中数学中较为复杂的函数之一，其定义域为全体实数。

二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数且a ≠ 0。

二次函数的图像为一条抛物线，其开口方向由二次项系数a的正负决定。

三、指数函数指数函数是以一个正常数为底数的幂函数，其定义域为全体实数。

指数函数的一般形式为y = a^x，其中a是正常数且a ≠ 1。

指数函数的特点是呈现指数递增或递减的趋势，底数a的大小决定了函数的增长速度。

四、对数函数对数函数是指数函数的逆函数，其定义域为x > 0。

对数函数的一般形式为y = loga(x)，其中a是正常数且a ≠ 1。

对数函数的特点是呈现递增或递减的趋势，底数a的大小决定了函数的增长速度。

五、三角函数三角函数是研究角及其变化规律的函数，其定义域为全体实数。

常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

三角函数的图像为周期性的波动曲线，其周期和振幅由函数的参数决定。

六、反三角函数反三角函数是三角函数的逆函数，其定义域由对应的三角函数确定。

常见的反三角函数有反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。

反三角函数的图像可通过对应的三角函数的图像通过y = x镜像得到。

七、指数对数函数指数对数函数是指数函数和对数函数的组合，其定义域由对应的函数确定。

常见的指数对数函数有指数对数函数、指数对数对函数和对数指数函数。

这些函数的图像由对应的指数函数和对数函数的图像组合而成。

高中阶段常见函数性质汇总

高中阶段常见函数性质汇总函数名称：常数函数解析式形式：f (x )=b (b ∈R)图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合〔垂直于y 轴〕的直线定义域：R 值域：{b} 单调性：没有单调性奇偶性：均为偶函数[当b =0时，函数既是奇函数又是偶函数] 反函数：无反函数周期性：无周期性函数名称：一次函数解析式形式：f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 图象及其性质：直线型图象。

|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓；当b =0时，函数f (x )的图象过原点；当b =0且k =1时，函数f (x )的图象为一、三象限角平分线；当b =0且k =-1时，函数f (x )的图象为二、四象限角平分线；定义域：R 值域：R单调性：当k>0时，函数f (x )为R 上的增函数；当k<0时，函数f (x )为R 上的减函数；奇偶性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性；反函数：有反函数。

[特殊地，当k =-1或b =0且k =1时，函数f (x )的反函数为原函数f (x )本身] 周期性：无函数名称：反比例函数解析式形式：f (x )=xk(k ≠0) 图象及其性质：图象分为两部分，均不与坐标轴相交，当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限；双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线；图象成中心对称图形，对称中心为原点；图象成轴对称图形，对称轴有两条，分别为y =x 、y =-x ；定义域：),0()0,(+∞-∞ 值域：),0()0,(+∞-∞单调性：当k>0时，函数f (x )为)0,(-∞和),0(+∞上的减函数；当k<0时，函数f (x )为)0,(-∞和),0(+∞上的增函数；奇偶性：奇函数反函数：原函数本身周期性：无函数名称：变式型反比例函数解析式形式：f (x )=dcx bax ++ (c ≠0且 d ≠0)图象及其性质：图象分为两部分，均不与直线c a y =、直线cdx -=相交，当k>0时，b函数f (x )的图象分别在直线c a y =与直线c d x -=形成的左下与右上部分；当k<0时，函数f (x )的图象分别在直线ca y =与直线c d x -=形成的左上与右下部分；双曲线型曲线，直线c a y =与直线cdx -=分别是曲线的两条渐近线；图象成中心对称图形，对称中心为点),(c a c d -；图象成轴对称图形，对称轴有两条，分别为cda x y ++=、cda x y -+-=；由于c a cd x c ad bc d cx c ad b c a d cx c ad b d cx c a d cx b ax x f ++-=+-+=+-++=++=2)()( 令2c ad bc k -=，则c a c d x k x f ++=)( 进而函数f (x )的图象可以看成是由函数x k y =向左平移cd 个单位，向上平移c a个单位得到的定义域：),(),(+∞---∞c d c d 值域：),(),(+∞-∞cac a单调性：当0>-ad bc 时，函数在),(c d --∞和),(+∞-c d 上均为减函数；当0<-ad bc 时，函数在),(cd--∞和),(+∞-c d 上均为增函数；奇偶性：非奇非偶函数反函数：acx b dx y -+-= 周期性：无函数名称：二次函数解析式形式：一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为a b x 2-=，顶点坐标为)44,2(2ab ac a b --或),(h k ，与y 轴的交点为),0(c ；②当0>a 时，抛物线的开口向上，此时函数图象有最低点)44,2(2a b ac a b --；当0<a 时，抛物线的开口向下，此时函数图象有最高点)44,2(2a b ac a b --；③当042>-=∆ac b 时，函数图象与x 轴有两个交点，当042=-=∆ac b 时，函数图象与x 轴有一个交点，当042<-=∆ac b 时，函数图象与x 轴没有交点；④横坐标关于对称轴对称时，纵坐标相等；当0>a 时，横坐标距对称轴近则函数值小，当0<a 时，横坐标距对称轴近则函数值大；⑤函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 均可由函数)0()(2≠=a ax x f 平移得到；定义域：R 值域：当0>a 时，值域为),44(2+∞-ab ac ；当0<a 时，值域为)44,(2a b ac --∞单调性：当0>a 时，]2,(a b --∞上为减函数，),2[+∞-a b 上为增函数；当0<a 时，),2[+∞-a b 上为减函数，]2,(ab--∞上为增函数；奇偶性：当0=b 时，函数为偶函数；当0≠b 时，函数为非奇非偶函数反函数：定义域范围内无反函数，在单调区间内有反函数周期性：无c bx ++指数函数y=a x (常数a>0且a≠1)图象特征函数性质图象向左、向右无限延展，但永远不和x轴相交x∈R图象都在x轴上方函数值恒大于0图象必经过点(0,1) 当x=0时，y=1a>1 图象在第一象限部分的点的纵坐标都大于1 当x>0时，y>1 图象在第二象限部分的点的纵坐标都小于1 当x<0时，0<y<10<a<1 图象在第一象限部分的点的纵坐标都小于1 当x>0时，0<y<1 图象在第一象限部分的点的纵坐标都大于1 当x<0时，y>1a>1 图象上升增函数0<a<1 图象下降减函数对数函数y=lo g a x(a>0且a≠1的常数)图象特征函数性质图象都在y轴右方函数定义域：x>0y 函数值域：y∈R图象必经过点(1,0) 当x=1时，y=0a>1横坐标大于1的点的纵坐标都大于0 当x>1时，y>0 横坐标大于0，小于1的点的纵坐标都小于0 当0< x< 1时，y<00<a<1横坐标大于1的点的纵坐标都小于0 当x>1时，y<0 横坐标大于0，小于1的点的纵坐标都大于0 当0< x< 1时，y>0a>1 图象上升增函数0<a<1 图象下降减函数y =x n (n ∈R 且n 为常数)不同点图象呈现“抛物线”型的弧图象呈现“双曲线”型的弧图象与x 、y 轴无限接近，但永不相交图象都经过点(0,0)、(1,1) 图象都经过(1,1)在第一象限，函数值随着x 的增大而增大即在(0,+∞)上是增函数在第一象限，函数值随着x 的增大而减小即在(0,+∞)上是减函数共同点(1) 当n =0时，图象是一条去掉(0,1)的直线； (2) 幂函数的图象与坐标轴最多只有一个交点(0,0)； (3) 幂函数的图象不可能经过第四象限； (4) 任何两个幂函数的图象最多只有三个交点图像定义域 (-∞,0)⋃(0,+∞)(-∞,0)⋃(0,+∞)奇偶性奇函数奇函数单调性递增区间),(a --∞和),(+∞a递增区间 (-∞,0)和(0, +∞)递减区间)0,(a -和),0(a递减区间无值域]a 2,(--∞⋃),a 2[+∞R减小减小xyO aa -a 2 a 2-)0(>+=a xax yxyO )0(>-=a xax y a a -。

高中数学函数性质总结

高中数学函数性质总结高中数学函数性质总结函数性质1..函数的单调性(1)设x1x2a,b,x1x2那么f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；x1x2f(x1)f(x2)(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在a,b上是减函数.x1x2(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数.注：如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数;如果函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数.(x1x2)f(x1)f(x2)02.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．注：若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa).注：对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数xabab;两个函数yf(xa)与yf(bx)的图象关于直线x对称.22a注：若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称;若2f(x)f(xa),则函数yf(x)为周期为2a的周期函数.3.多项式函数P(x)anxan1xnn1a0的奇偶性多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数yf(x)的图象的对称性(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)f(2ax)f(x).(2)函数yf(x)的图象关于直线xab对称f(amx)f(bmx)2f(abmx)f(mx).4.两个函数图象的对称性(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.(2)函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线x(3)函数yf(x)和yf1ab对称.2m(x)的图象关于直线y=x对称.25.若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf(xa)b的图象；若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图象.5.互为反函数的两个函数的关系f(a)bf1(b)a.27.若函数yf(kxb)存在反函数,则其反函数为y11[f(x)b],并不是ky[f1(kxb),而函数y[f1(kxb)是y1[f(x)b]的反函数.k6.几个常见的函数方程 (1)正比例函数f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.(2)指数函数f(x)a,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.(3)对数函数f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).(4)幂函数f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f(1).(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，“xf(0)1,limx0g(x)1.x7.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=a；（2）f(x)f(xa)0，1(f(x)0)，f(x)1或f(xa)(f(x)0),f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),则f(x)的周期T=2a；21(3)f(x)1(f(x)0)，则f(x)的周期T=3a；f(xa)f(x1)f(x2)(4)f(x1x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，则1f(x1)f(x2)f(x)的周期T=4a；(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的周期T=5a；(6)f(xa)f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=6a.或f(xa)8.分数指数幂(1)a(2)amn1nmnam1mn（a0,m,nN，且n1）.（a0,m,nN，且n1）.a9.根式的性质（1）(na)a.（2）当n为奇数时，aa；nnna,a0当n为偶数时，a|a|.a,a0nn10.有理指数幂的运算性质(1)aaarsrrsrs(a0,r,sQ).(2)(a)a(a0,r,sQ).(3)(ab)ab(a0,b0,rQ).p注：若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式rrrslogaNbabN(a0,a1,N0).34.对数的换底公式logmN(a0,且a1,m0,且m1,N0).logmann推论logamblogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).mlogaN11.对数的四则运算法则若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)loga(MN)logaMlogaN;MlogaMlogaN;Nn(3)logaMnlogaM(nR).(2)loga2注：设函数f(x)logm(axbxc)(a0),记b4ac.若f(x)的定义域为2R,则a0，且0;若f(x)的值域为R,则a0，且0.对于a0的情形,需要单独检验.12.对数换底不等式及其推论1,则函数ylogax(bx)a11(1)当ab时,在(0,)和(,)上ylogax(bx)为增函数. aa11(2)(2)当ab时,在(0,)和(,)上ylogax(bx)为减函数.aa若a0,b0,x0,x推论:设nm1，p0，a0，且a1，则（1）logmp(np)logmn.（2）logamloganloga【例1】求下列各式的值：n（3）（1）n（n1,且nN*）；（2）(xy)2.n（3）3；解：（1）当n为奇数时，nn（3）|3|3.当n为偶数时，n2mn.2（2）(xy)2|xy|.当xy时，(xy)2xy；当xy时，(xy)2yx.a3na3n【例2】已知a21，求n的值.naa3n3nnn2naa(aa)(a1a2n)12n2n解：na1a211221nnnaaaa212n 【例4】已知函数f(x)a23x(a0,且a1).（1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性.2时，a23xa01.32所以，该函数的图象恒过定点(,1).3（2）∵u23x是减函数，∴当0a1时，f(x)在R上是增函数；当a1时，f(x)在R上是减函数.21【例3】求下列函数的单调区间：（1）yax2x3；（2）y.x0.21u2解：（1）设ya,ux2x3.解：（1）当23x0，即x由ux22x3(x1)24知，u在(,1]上为减函数，在[1,)上为增函数.根据yau的单调性，当a1时，y关于u为增函数；当0a1时，y关于u为减函数.∴当a1时，原函数的增区间为[1,)，减区间为(,1]；当0a1时，原函数的增区间为(,1]，减区间为[1,).（2）函数的定义域为{x|x0}.设y而根据y1,u0.2x.易知u0.2x为减函数.u11的图象可以得到，在区间(,1)与(1,)上，y关于u均为减函数.u1∴在(,0)上，原函数为增函数；在(0,)上，原函数也为增函数.xx2f(x1)f(x2)【例1】若f(x)ax(a0,且a1)，则f(1.)22证明：x1x2f(x1)f(x2)x1x2ax1ax2ax1ax22ax1ax2(ax1ax2)220.f()a22222xx2f(x1)fx( 2)∴f(1.（注：此性质为函数的凹凸性）)22bx【例2】已知函数f(x)2(b0,a0). ax111（1）判断f(x)的奇偶性；（2）若f(1),log3(4ab)log24，求a，b的值.22bx解：（1）f(x)定义域为R，f(x)2f(x)，故f(x)是奇函数.ax1b1（2）由f(1)，则a2b10.又log3(4a-b)=1，即4a-b=3.a12a2b10由得a=1，b=1.4ab3exa【例3】（01天津卷.19）设a＞0，f(x)是R上的偶函数.aex（1）求a的值；（2）证明f(x)在(0,)上是增函数．exa解：（1）∵f(x)是R上的偶函数，∴f(x)f(x)0.aexexaexa111∴xx0(a)ex(a)ex0(a)(exex)0.aeaeaaaex－e-x不可能恒为“0”，∴当1－a＝0时等式恒成立，∴a＝1．a（2）在(0,)上任取x1＜x2，ex11111f(x1)f(x2)x1ex2x2(ex1ex2)(x1)(ex1ex2)(1x1x2)x2aeeeeee(ex1ex2)( ex1ex21)x1x2x1x2∵e＞1，x1＜x2，∴ee1，∴ee＞1，＜0，ex1ex2∴f(x1)f(x2)0，∴f(x)是在(0,)上的增函数．【例4】已知1992年底世界人口达到54.8亿.（1）若人口的平均增长率为1.2%，写出经过t年后的世界人口数y（亿）与t的函数解析式；（2）若人口的平均增长率为x%，写出20xx年底世界人口数为y（亿）与x 的函数解析式.如果要使20xx年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？t*解：（1）经过t年后的世界人口数为y54..8(11.t2)54.8t1.0N12,（2）20xx年底的世界人口数y与x的函数解析式为y54.8(1x)18.由y54.8(1x)1866.8，解得x100(18所以，人口的年平均增长率应控制在1.1%以内.66.81)1.1.54.扩展阅读：高中数学函数概念及其性质知识总结数学必修1函数概念及性质（知识点总结）（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式注意：○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．子有意义的实数的集合；○定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。

2024年高二数学函数基本性质知识总结

2024年高二数学函数基本性质知识总结____年高二数学函数基本性质知识总结（____字）一、函数的定义和基本性质函数是一种特殊的关系，每一个自变量只对应一个因变量。

函数的定义包括定义域、值域、对应关系和表达式。

函数的基本性质包括单调性、奇偶性、周期性和界值性。

1.1 定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

定义域可以通过解不等式或考察定义域的连续性来确定。

值域可以通过求导或考察函数的图像来确定。

1.2 对应关系函数的对应关系决定了自变量和因变量之间的对应关系。

函数可以用图像、显式表达式、隐式表达式或递推关系来表示。

对应关系可以用一一对应、多对一或一对多来描述。

1.3 单调性一个函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。

函数可以是上下单调递增、上下单调递减、左右单调递增或左右单调递减。

单调性可以通过求导数或摸底函数的上下凸性来判断。

1.4 奇偶性一个函数的奇偶性是指函数在定义域上的对称性。

一个函数是奇函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=-f(x)。

一个函数是偶函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=f(x)。

奇偶性可以通过观察函数的对称性或通过代入-x来判断。

1.5 周期性一个函数的周期性是指函数具有重复出现的规律。

周期函数满足f(x+T)=f(x)，其中T为函数的周期。

周期性可以通过观察函数的周期性或通过解函数的方程来判断。

1.6 界值性一个函数的界值性是指函数在定义域或值域上的极大值或极小值。

界值性可以通过求导数或考察函数的图像来判断。

二、高中数学中常见的函数高中数学中常见的函数包括常函数、一次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

2.1 常函数常函数是一个常数，其函数图像是一条平行于x轴的直线。

常函数的定义域是整个实数集，值域是只有一个值的数集。

2.2 一次函数一次函数是一个一次多项式，函数表达式为f(x)=ax+b，其中a和b为常数，a称为斜率，b称为截距。

高中数学必修1函数的基本性质

高中数学必修1函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。

如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

高中数学函数的必考性质

高中数学函数的必考性质高中数学函数的必考性质一次函数一、定义与定义式自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b （k为任意不为零的实数 b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。

所以可以列出2个方程：y1=kx1+b 和y2=kx2+b（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。

s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。

高中数学函数的性质知识点整理

一、函数（一）、函数的单调性1、定义：一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1 ,x 2，当x 1<x 2时,都有f(x 1)<f(x 2),那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数；当x 1<x 2时,都有f(x 1)>f(x 2),那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数。

单调性定义的等价形式:设x 1，x 2∈[a,b],x 1≠x 2.(1)若有(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]>0或>0，则f(x)在闭区间[a,b]上是增函数;(2)若有(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]<0或<0，则f(x)在闭区间[a,b]上是减函数.2、常用结论(1)若f(x)，g(x)均为区间A 上的增(减)函数，则f(x)+g(x)也是区间A 上的增(减)函数. (2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反.(3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x)，y=的单调性相反.(4)函数y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y=的单调性相同.(5)复合函数单调性的确定方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”. （二）、函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义：函数()f x 的定义域必须关于原点对称，对定义域内的任意一个x 都满足 ①()()f x f x -=⇔函数()f x 为偶函数；②()()()()0f x f x f x f x -=-⇔-+=⇔函数()f x 为奇函数.2．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；反过来如果一个函数的图像关于原点对称，则该函数为奇函数，若该函数的图像关于y 轴对称，该函数为偶函数. 3．函数奇偶性的性质①既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即()0f x =，x D ∈，其中定义域D 是关于原点对称的非空数集.②奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.即奇函数()f x 在区间[,](0)a b a b ≤<上单调递增（减），则()f x 在区间[,]b a --上也是单调递增（减）； ③偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.即偶函数()f x 在区间[,](0)a b a b ≤<上单调递增（减），则()f x 在区间[,]b a --上也是单调递减（增）； ④任意定义在R 上的函数()f x 都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和.即()()()()()22f x f x f x f x f x +---=+（三）、函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）特别的（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称; （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称.本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称. 3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 中心对称（当0a =时，恰好就是奇函数）; （2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称;（3）()f x a +是奇函数，则()()f x a f x a +=--+，进而可得到：()f x 关于(),0a 中心对称。

高中数学必修一——函数基本性质

高中数学必修一——函数基本性质引言：函数是高中数学中的重要知识点之一，它不仅在高考中占有一定比重，而且在大学数学、物理等学科中也应用广泛。

因此，学好函数是中学数学的重要任务之一。

本文将介绍函数的基本性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，同时提供20道以上的练习题，供读者参考。

一、函数的定义函数是一种特殊的映射关系，它把一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。

函数通常用符号f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。

函数可以表示为f:A\rightarrow B，其中A是定义域，B是值域。

二、函数的基本性质1.定义域：函数的定义域是指所有可以输入函数的自变量的值的集合。

函数的定义域可以是实数集、有理数集、整数集等。

在定义函数时，需要指定函数的定义域。

2.值域：函数的值域是指所有函数可能的输出值的集合。

它是由定义域和函数的性质决定的。

3.单调性：函数的单调性指函数在定义域上的单调变化性质，包括单调递增和单调递减。

如果函数的自变量增大，函数值也增大，则称函数在这个区间内是单调递增的；如果函数的自变量增大，函数值减小，则称函数在这个区间内是单调递减的。

4.奇偶性：函数的奇偶性指函数的性质，可以分为偶函数和奇函数。

如果函数在定义域内满足f(-x)=f(x)，则称函数为偶函数；如果函数在定义域内满足f(-x)=-f(x)，则称函数为奇函数。

5.周期性：函数的周期性指函数在定义域上存在一个最小正周期T，即f(x+T)=f(x)，其中T是正实数。

三、练习题1.设函数f(x)=ax+b，其中a,b是实数，且f(2)=3,f(3)=4，求a,b。

2.求函数f(x)=2x^2-3x+1的定义域和值域。

3.若函数f(x)在区间[a,b]上是单调递增的，且f(a)=f(b)=0，证明f(x)=0在区间[a,b]上有且只有一个实根。

4.设函数f(x)=\sin(x+\alpha)，其中0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}，证明f(x)是奇函数。

高中数学函数的基本性质

考点三函数的周期性 1.周期函数的概念设函数y=f(x),x∈D.如存在非零常数T,使得对任何x∈D都有f(x+T)=f(x), 则函数f(x)为周期函数,T为y=f(x)的一个周期. 2.关于函数周期性的几个常用结论 (1)若T为函数f(x)的一个周期,则kT(k为非零整数)也是函数f(x)的周期,这就是说,一个函数如果有周期,就有无数多个.
1 x x2 1
x 2 1 )=-f(x),∴f(x)是奇函数. =-log2(x+
解法二:易知f(x)的定义域为R. ∵f(-x)+f(x)=log2[(-x)+ ( x)2 1 ]+log2(x+ x 2 1 )=log21=0,∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
∵定义域关于原点不对称,∴函数f(x)是非奇非偶函数. (2)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称, 当x>0时,-x<0, f(-x)=x2-2x-1=-f(x); 当x<0时,-x>0, f(-x)=-x2-2x+1=-f(x), ∴f(-x)=-f(x),即函数是奇函数.
4 x 2 0, (3)由题意知 ⇒-2≤x≤2且x≠0, | x 3 | 3
解题导引
求出f(x)的周期为8 f(80),f(11) 在[-2,2]内求f(-25),
根据f(x)为奇函数且在[0,2]上是结论
增函数得f(x)在[-2,2]上是增函数
解析 ∵f(x+4)=-f(x),∴f(x+8)=-f(x+4), ∴f(x+8)=f(x), ∴f(x)的周期为8,∴f(-25)=f(-1), f(80)=f(0), f(11)=f(3)=f(-1+4)=-f(-1)=f(1), 又∵奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数, ∴f(x)在区间[-2,2]上是增函数, ∴f(-25)<f(80)<f(11),故选D.

高中数学常见的九大奇函数和偶函数类型

高中数学常见的九大奇函数和偶函数类型在高中数学中，九大常见的奇函数（odd function）和偶函数（even function）类型包括：1.幂函数（power function）：奇函数和偶函数都可以为幂函数。

例如，f(x) = x^3 是一个奇函数，而 f(x) = x^2 是一个偶函数。

2.正余弦函数（sine and cosine functions）：正余弦函数是奇函数（sin(x)）和偶函数（cos(x)）。

sin(-x) = -sin(x) 表示正弦函数的奇函数性质，而cos(-x) = cos(x) 表示余弦函数的偶函数性质。

3.正切函数（tangent function）：切函数（tan(x)）是一个奇函数。

tan(-x) = -tan(x) 表示切函数的奇函数性质。

4.反正弦函数（arcsine function）：反正弦函数（arcsin(x)）是一个奇函数，即 arcsin(-x) = -arcsin(x)。

5.反余弦函数（arccosine function）：反余弦函数（arccos(x)）是一个偶函数，即 arccos(-x) = arccos(x)。

6.反切函数（arctangent function）：反切函数（arctan(x)）是一个奇函数，即 arctan(-x) = -arctan(x)。

7.双曲正弦函数（hyperbolic sine function）：双曲正弦函数（sinh(x)）是一个奇函数，即 sinh(-x) = -sinh(x)。

8.双曲余弦函数（hyperbolic cosine function）：双曲余弦函数（cosh(x)）是一个偶函数，即 cosh(-x) = cosh(x)。

9.双曲正切函数（hyperbolic tangent function）：双曲正切函数（tanh(x)）是一个奇函数，即 tanh(-x) = -tanh(x)。

高中数学函数性质大全

一．函数奇偶性1.函数奇偶性判断途径:定义法①定义域关于原点对称（易被忽略）②途径：经验法①且为偶数）②常见奇函数：（为奇数），上式证明方法：③运算型判断若是奇函数（或偶函数），则：若为奇函数，为偶函数，则：为偶函数，（可将看做号，看做对应相应奇偶性）2.奇偶性与单调性奇函数在原点对称区间上单调性一致。

偶函数原点对称区间上单调性相反。

3.奇偶性与对称性奇函数关于原点对称偶函数关于轴对称。

已知函数)(t x f +是R 上的奇函数，则)(x f 关于点)0,(t 对称。

已知)(t x f +是偶函数，则)(x f 关于直线t x =对称。

4.奇函数特殊和性质，其中为奇函数，已知,为奇函数，则5.奇函数的一条特殊性质若为奇函数，且在6.奇偶函数与零点在0处有定义的奇偶函数有唯一零点，则0为零点。

二．函数奇偶性考点简述1.函数奇偶性判断（方法同上）例1.奇函数除于偶函数为奇函数。

2.利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值例2.故的定义域为,又因为为奇函数，则例3.解析：可看做的乘积，为偶函数，例4.例5.例上的偶函数，则的值域是．例7.是奇函数，则的值为例8.是偶函数，则的值为3.奇函数特殊和性质例9.，为奇函数，例10.例11.为奇函数，例12.解析：例13.4.函数奇偶性的结合性质例15.设()f x 、()g x 是R 上的函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则结论正确的是（）A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数例16.设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（） A ．)()(x g x f +是偶函数 B ．)()(x g x f −是奇函数 C ．)()(x g x f +|是偶函数 D ．)()(x g x f −|是奇函数例17.设函数与的定义域是且,是偶函数, 是奇函数,且,求和的解析式。

高中数学函数的基本性质

函数的基本性质要点一、函数的单调性1．增函数、减函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为A ，区间D A ⊆：如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数.如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是减函数.要点诠释：(1)属于定义域A 内某个区间上；(2)任意两个自变量12,x x 且12x x <； (3)都有1212()()(()())f x f x f x f x <>或；(4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.2．单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间D 上具有单调性，D 称为函数f(x)的单调区间.函数的单调性是函数在某个区间上的性质. 要点诠释：①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；③不能随意合并两个单调区间； ④有的函数不具有单调性.(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？ 3.证明函数单调性的步骤(1)取值.设12x x ，是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <； (2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； (3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系； (4)得出结论.4.函数单调性的判断方法(1)定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断。

(2)图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性。

(3)直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间。

高中函数必考知识点总结

高中函数必考知识点总结一、函数的概念与性质1. 函数的概念函数是一种特殊的关系，它是一个或多个自变量和因变量之间的对应关系。

在数学中，通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。

函数也可以用y表示，即y=f(x)。

函数的定义域为自变量能取得的值的集合，值域为函数在定义域内所有可能取得的值的集合。

2. 函数的性质（1）定义域和值域：一个函数的定义域和值域是描述这个函数在横坐标和纵坐标上的取值范围。

（2）奇函数与偶函数：奇函数的图像对称于原点，即f(-x)=-f(x)；偶函数的图像对称于y 轴，即f(-x)=f(x)。

（3）周期函数：周期函数是指满足f(x+T)=f(x)的函数，其中T为函数的周期。

（4）单调性：函数在定义域上的单调性分为递增和递减两种情况。

二、函数的图像与性质1. 一次函数（1）一次函数的图像是一条直线，其表达式一般为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。

（2）一次函数的图像是一条直线，斜率k表示了直线的斜率，而截距b表示了直线与y 轴的交点。

2. 二次函数（1）二次函数的图像是一个抛物线，其表达式一般为y=ax^2+bx+c，其中a不为0。

（2）二次函数的顶点坐标为（-b/2a，c-b^2/4a），对称轴方程为x=-b/2a，开口向上或开口向下取决于a的正负。

3. 指数函数（1）指数函数的图像是一条过点（0,1）的递增曲线，其表达式一般为y=a^x，其中a为底数，a>0且a≠1。

（2）指数函数的性质：具有底数为正数，且大于1时函数递增；具有底数为0到1之间的数时函数递减。

（3）指数函数的图像在x轴上没有横截点，y轴上有一个横截点（0,1）。

4. 对数函数（1）对数函数的图像是一条过点（1,0）的递增曲线，其表达式一般为y=loga(x)，其中a为底数，a>0且a≠1。

（2）对数函数的性质：具有底数为正数，且大于1时函数递增；具有底数为0到1之间的数时函数递减。

高中数学函数的性质及其证明方法

高中数学函数的性质及其证明方法函数是数学中的重要概念，它描述了两个数集之间的对应关系。

在高中数学中，函数的性质是我们学习的重点之一。

本文将从函数的连续性、单调性、奇偶性以及周期性等方面，介绍函数的性质及其证明方法。

一、函数的连续性连续性是函数的基本性质之一。

我们知道，函数在某一点连续，意味着函数在该点的图像没有突变，可以用手绘图或者计算机绘图来观察函数的连续性。

但是，如何用数学语言来描述和证明函数的连续性呢？以函数f(x) = x^2为例，我们可以通过极限的方法来证明其连续性。

假设函数在点a处连续，即lim(x→a)f(x) = f(a)，那么我们需要证明对于任意给定的ε > 0，存在δ > 0，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - f(a)| < ε。

对于函数f(x) = x^2，我们可以通过计算来证明其连续性。

假设a = 2，我们需要找到一个δ > 0，使得当0 < |x - 2| < δ时，有|f(x) - f(2)| < ε。

我们可以选择δ = ε/5，这样当0 < |x - 2| < δ时，有|f(x) - f(2)| = |x^2 - 4| = |x - 2||x + 2| < 5|x - 2| < ε，即满足连续性的条件。

二、函数的单调性函数的单调性描述了函数在定义域上的增减情况。

在高中数学中，我们通常通过导数的正负来判断函数的单调性。

以函数f(x) = x^3为例，我们可以通过导数的正负来证明其单调性。

对于函数f(x) = x^3，我们需要计算其导数f'(x) = 3x^2。

当x > 0时，f'(x) > 0，即函数在正半轴上单调递增；当x < 0时，f'(x) < 0，即函数在负半轴上单调递减。

因此，函数f(x) = x^3在整个定义域上都是单调递增的。