高中数学必修5第二章等差数列知识点

等差数列

1、等差数列的概念：1 2,n n d a a n n N d -=-≥∈（）为常数（用来判断数列是否为等差数列）

2、等差数列通项公式：

*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈，首项:1a ，公差:d ，末项:n a ；

推广：d m n a a m n )(-+=，从而m

n a a d m n --=

。 3、等差中项：

（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=

或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++=+≥⇔=+ 4、等差数列的前n 项和公式： ①22111()(1)1()2222

n n n a a n n d S na d n a d n An Bn +-=

=+=+-=+ （其中A 、B 是常数，所以当0d ≠时，n S 是关于n 的二次式且常数项为0）

②特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

5、等差数列的判定方法：

（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列；

（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列-11122(2)2n n n n n n a a a n a a a +++⇔=+≥⇔=+；

（3）数列{}n a 是等差数列n a kn b ⇔=+（其中b k ,是常数）；

（4）数列{}n a 是等差数列2n S An Bn ⇔=+,（其中A 、B 是常数）。

6、等差数列的证明方法：

定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列．

7、提醒：

（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项1(1)n a a n d =+-

②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++，…（公差为d ）；

③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ）

8、等差数列的性质：

（1）当公差0d ≠时，

等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；

前n 和211(1)()222

n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0。 （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=。

注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅

（4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列。

（5）若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S --，…也成等差数列。

（6）数列{}n a 为等差数列,每隔*

()k k N ∈项取出一项23(,,,,)m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅仍为等差数列。

（7）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和

①当项数为偶数n 2时，则

()121135212

n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+=

=奇 ()22246212

n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶 ()11n n n n S S na na n a a ++-=-=-偶奇 11

n n n n S na a S na a ++==奇偶 ②当项数为奇数12+n 时，则

21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧+⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩

n+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶 （其中a n+1是项数为21n +的等差数列的中间项）

（8）{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n n A f n B =，则2121

(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--。 （9）等差数列{}n a 的前n 项和m S n =，前m 项和n S m =，则前m n +项和()m n S m n +=-+

（10）求n S 的最值（或求{}n a 中正负分界项）

法一：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和

即当100a d ><，，由⎩⎨⎧≤≥+0

01n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值。 （2）“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。

即当100a d <>，，由⎩⎨⎧≥≤+001

n n a a 可得n S 达到最小值时的n 值。 法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二

次函数对称轴最近的整数时，n S 取最大值（或最小值）。若p q S S =则其对称轴为2

p q n +=。 9、注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和d 的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量。