华东师范大学九年级上册数学知识点总结

华师大版九年级上册数学知识点总结

第21章 二次根式

1. 二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式．

2. 二次根式的性质：

（1）=2)(a （a ≥0）；（2

；（

3）

⎪⎩

⎪

⎨⎧<=>==

)0___()0___()0___(____2a a a a

3. 二次根式的乘除：

计算公式：___(0,0)

___(0,0)

a b a b ⎧≥≥⎪⎨=≥>⎪⎩

4. 概念： 1.2.⎧⎨

⎩最简二次根式：(1) (2) (3)同类二次根式：

5. 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 )

（1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式．

6. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：

根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母． 7. 二次根式的混合运算：

（1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．

（2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． （3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

第22章 一元二次方程

1. 一元二次方程：

1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． 2) 一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ．

它的特征：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零．

2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数

项．

2. 一元二次方程的解法：

1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法．

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程．根据平方根的定义可知，

a x +是

b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b <0时，方程没有实数根．

2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看

做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±．

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式． 3) 公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法．

一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(242

2≥--±-=

ac b a

ac b b x 4) 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法．

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式．

3. 一元二次方程根的判别式：

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆． 1) 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； 2) 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； 3) 当△<0时，一元二次方程没有实数根． 4. 韦达定理：

如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，a

c

x x =21．也

就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以

二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商． 5. 一元二次方程的二次函数的关系：

其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当y =0的时候就构成了一元二次方程了．那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X 轴的交点，也就是该方程的解了．

第23章 图形的相似

1． 比例线段的有关概念

==在比例式::中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，

a c

(a b c d )a d b c a c b d

b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b =

c ，那么b 叫做a 、

d 的比例中项． 2． 比例性质

①基本性质：

a b c

d

ad bc =⇔= ②更比性质(交换比例的内项或外项)：

()()()

()⎧=⎪⎪

⎪=⎪=⇒⎨

⎪=⎪⎪⎪=⎩交换内项交换外项同时交换内外项同时交换比的前项和后项a b

c d d c a c

b a d b b d

c a b d

a c

②合比性质：

±±a b c d a b b c d d =⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a

b

===+++⇒++++++=()0

3． 黄金分割

在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果

AC

BC

AB AC =

，即AC 2=AB ×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．其中AB AC 2

1

5-=≈0.618AB ． 4． 平行线分线段成比例定理

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：

l 1∥l 2∥l 3．则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF

DF

===

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5． 相似三角形的判定

①两角对应相等，两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ③三边对应成比例，两三角形相似． 6． 相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等,对应边成比例；

②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ③相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方． 7． 六种相似基本模型：

C A

B

D

C

A

B

D

E E D B

A

C

DE ∥BC ∠B =∠AED ∠B =∠ACD