5679《数学建模》复习题

《数学建模》复习题
一.填空题：
1. 设开始时的人口数为
x，时刻t的人口数为)(t x，若人口增长率是常
数r，那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为.
2. 设年利率为0.05，则10年后20万元的现值按照复利计算应为.
3. 所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为.
4. 设某种商品的需求量函数是,
p
t
=t
Q而供给量函数是
)(
-
1200
25
)(+
=t
p
G，其中)(t p为该商品的价格函数，那麽该商品的均-
t
)(-
3600
35
)1
(
衡价格是.
5. 若银行的年利率是x%，则需要时间%)
+，存入的钱才可翻
ln x
/2
ln(
1
番.
6. 有人观察到鱼尾每摆动一次，鱼所移动的距离几乎与鱼身的长度相等，则鱼尾摆动的次数T（次/秒）、鱼身的长度L和它的速度V的关系式为kTL
V=（k是常数）
7. 已知行星的质量与它的密度和它的半径的立方成正比.若某行星的直径是地球直径的d倍，且它的平均密度是地球的s倍，则此行星质量是地球的3
sd倍.
8. 一个图能够一笔画的充分必要条件是该图为连通图且奇点个数为0或2
二.分析判断题
1. 从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料
（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个），建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决。

2. 某公司经营的一种产品拥有四个客户，由公司所辖三个工厂生产，每月产量分别为3000，5000和4000件.公司已承诺下月出售4000件给客户1，出售3000件给客户2以及至少1000件给客户3，另外客户3和4都想尽可能多购剩下的件数.已知各厂运销一件产品给客户可得到的净利润如表1所示，问该公司应如何拟订运销方案，才能在履行诺言的前提下获利最多？
表1 单位：元/件
上述问题可否转化为运输模型？若可以则转化之（只需写出其产销平衡运价表即可），否则说明理由。

3. 地方公安部门想知道，当紧急事故发生时，人群从一个建筑物中撤离所需要的时间，假设有足够的安全通道.若指挥者想尽可能多且快地将人群撤离，应制定甚麽样的疏散计划.请就这个计划指出至少三个相关因素，并使用数学符号表示.
1. 解：撤离时人员的分布状态S、人员总数N、撤离速度v、人们之间相对拥挤程度r、人
员所在地与安全地点的距离L 、人员撤离完毕所需要的总时间t 等.
注：列出的因素不足三个，每缺一个扣3.5分。

4. 假设某个数学模型建成为如下形式：
.e ])1(1[)(2
21
22x a
x x M x P --=
试在适当的假设下将这个模型进行简化.
2. 解：当
a
x
较小的时候，可以利用二项展开式将小括号部分简化为 ,21)1(2
2
21
22a
x a x -≈- 从而有
2
e 2)(2
x x a
M x P =
. 若x 也很小，则可以利用x x
+≈1e 将其进一步化简为
).1(2)(2
2
x x a
M x P +=
三.计算题
1. 有一批货物要从厂家A 运往三个销售地B 、C 、D ，中间可经过9个转运站.,,,,,,,,321321321G G G F F F E E E 从A 到321,,E E E 的运价依次为3、8、7；从1E 到21,F F 的运价为4、3；从2E 到321,,F F F 的运价为2、8、4；从3E 到32,F F 的运价为7、6；从1F 到21,G G 的运价为10、12；从2F 到321,,G G G 的运价为13、5、7；从3F 到32,G G 的运价为6、8；从1G 到C B ,的运价为9、10；从2G 到D C B ,,的运价为5、10、15；从3G 到D C ,的运价为8、7。

试利用图模型协助厂家制定一个总运费最少的运输路线。

2．解 建立图模型如图1．
图1
图2 F E A ⇒⇒⇒221m in C G F E A ⇒⇒⇒⇒221 或 ,321C G F E A ⇒⇒⇒⇒ ;21m in =l
,321D G F E A ⇒⇒⇒⇒ 20m in =l ． …………………25分 （注意，到C 的路线只给出一条者扣2分）
2. 试求如表2所示运输问题的最优运输方案和最小运输费用：
表2
单位：百元/吨
3. 某铝合金加工单位要加工一批成套窗料，每套窗料含有)(2.2m 和)(5.1m 长度的料各两根，
总计要加工20套，所用原料的长度均为),(6.4m 试建立整数规划模型以给出一个截料方案，使得所用原料最少？
1.
由此假设，按照方案1、2、3分别需原料321,,x x x 根，以z 表示总料头长，则有
⎪⎩⎪⎨⎧∈
=+
+
=+++=N
x x x x x x x x x x z 321
2
132
321,,,
403,4022.09.01.0min
由两个约束条件得,3/)40(,2/)40(2123x x x x -=-=一起代入目标函数得 ,30
233162x z += 可见应令.20,3
40
,0312==⇒=x x x 但1x 非整数，
于是可将原问题添加条件构成两个新的整数规划问题：
⎪⎩⎪⎨⎧∈
≤=+
+
=+++=N
x x x x x x x x x x x z 3211
2
1
3
2321,,
,13,403,402)1(2.09.01.0min
⎪⎩⎪
⎨⎧
∈
≥=++=+++=N
x
x x x x x x x x x x z 1321
2132321,,,14,
403,402)2(2.09.01.0min
其中问题（2）无解，而（1）可同上求解得 ,113,3
40,220212
123≥⇒≤-=-
=x x x x x x 但 代入目标函数可知.2
1
19,131312==⇒=x x x
依此再进行分支和求解，最后获得解为
.4.818,4,12m in 321=⇒===z x x x
即按照方案1、2、3各自截12、4、18根原料即为最优方案.
4. 求如图一所示网络中1v 到9v 的最短路线及其路长.
图一
2. 解：利用双标号法可得图二：
图二 故得1v 到9v 的最短路线（两条）及其路长分别为 第一条：.18;m in 975341=→→→→→l v v v v v v 第二条：.18;m in 975641=→→→→→l v v v v v v
四.综合应用题
1、 试建立方桌问题在四条腿脚呈长方形情形时的数学模型，以说明方桌能否在地面上放稳的问题。

（ 提示：要求按照五步建模法进行建模工作，本题至少应给出前四个步骤。

）
2、一个星级旅馆有150个客房，经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到一些数据：若每间客房定价为160元，住房率为55%；每间客房
定价为140元，住房率为65%；每间客房定价为120元，住房率为75%；每间客房定价为100元，住房率为85%.欲使每天收入最高，每间客房定价应为多少？
注：本题要求按照五步建模法给出建模全过程.
解：（一）问题分析
1. 易于看出，定价每降低20元，住房率便增加10%，呈线性增长趋势；
2. 160元的定价是否为最高价应给予确定；
3. 是否所有客房定价相同需要确定. （二） 模型假设
1. 在无其他信息时，每间客房的最高定价均为160元；
2. 所有客房定价相同. （三）模型建立
根据假设1.，如果设y 代表旅馆一天的总收入，而x 表示与160元相比降低的房价，则可得每降低1钱元的房价，住房率增加为10%/20=0.005.由此便可以得到
)005.055.0)(160(150x x y +-= （1） 注意到,1005.055.0≤+x 又得到,900≤≤x 于是得到所求的数学模型为： m ax )005.055.0)(160(150x x y +-=，.900≤≤x （四）模型求解
这是一个二次函数的极值问题，利用导数方法易于得到]90,0[25∈=x 为唯一驻点，问题又确实存在最大值，故25=x （元）即为价格降低幅度，也即160-25=135（元）应为最大收入所对应的房价.
（五）模型分析
1. 将房价定在135元时，相应的住房率为%,5.6725005.055.0=⨯+最大收入为
75.13668%5.67135150m ax =⨯⨯=y （元）.表面上住房率没有达到最高，但是总收入达到
最大，这自然是住房率与价格相互制约造成.
2. 可以将五种定价的总收入求出以做比较（从略）和检验，知我们的结果是正确的.
3. 为了便于管理，将价格定在140元/（天.间）也无妨，因为此时的总收入与最高收入仅差18.75元.
4. 假如定价是180元，住房率应为45%，其相应的收入只有12150元，由此可知，我们的假设1.是正确的.。