数学模型复习资料

数模复习资料

第一章 1. 原型与模型

原型就是实际对象.模型就是原型的替代物.所谓模型, 按北京师范大学刘来福教授的观点：模型就是人们为一定的目的对原型进行的一个抽象.如航空模型、城市交通模型等.

模型⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨

⎧数学模型如地图、电路图

符号模型如某一操作

思维模型

抽象模型如某一试验装置物理模型如玩具、照片等直观模型形象模型

2. 数学模型

对某一实际问题应用数学语言和方法,通过抽象、简化、假设等对这一实际问题近似刻划所得的数学

结构,称为此实际问题的一个数学模型. 例如力学中著名的牛顿第二定律使用公式2

2dt x

d m

F =来描

述受力物体的运动规律就是一个成功的数学模型.或又如描述人口()t N 随时间t 自由增长过程的微分

方程

()()t rN dt

t dN =. 3. 数学建模

所谓数学建模是指根据需要针对实际问题组建数学模型的过程.更具体地说,数学建模是指对

于现实世界的某一特定系统或特定问题,为了一个特定的目的,运用数学的语言和方法,通过抽象和简化,建立一个近似描述这个系统或问题的数学结构(数学模型),运用适当的数学工具以及计算机技术来解模型,最后将其结果接受实际的检验,并反复修改和完善.

数学建模过程流程图为： 实际问题

抽象、简化、假设 确定变量、参数

归结 数学模型

数学地、数值地

求解模型 估计参数

检验模型 (用实例或有关知

识)

符合否？

是

评价、推广并交付使用 产生经济、社会效益

4.数学建模的步骤

依次为：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用

否

5.数学模型的分类

数学模型可以按照不同的方式分类,常见的有：

a. 按模型的应用领域分类 数学模型 ⎪⎪⎪⎪

⎪⎩⎪

⎪⎪⎪⎪

⎨⎧再生资源利用模型

水资源模型城镇规划模型生态模型环境模型（污染模型）交通模型

人口模型

b. 按建模的数学方法分类

数学模型 ⎪⎪⎪⎪

⎪⎩⎪

⎪⎪⎪⎪

⎨⎧规划论模型

概率模型组合数学模型图论模型微分方程模型几何模型

初等数学模型

c. 按建模目的来分类 数学模型 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪

⎨⎧控制模型

决策模型优化模型预报模型

分析模型描述模型

d.层次分析法的基本步骤：1.建立层次结构模型2.构造成对比较阵3.计算权向量并作一致性检验4.计算组合权向量并作组合一致性检验

e.n 阶正互反正A 是一致阵的充要条件为A 的最大特征值为n

f.正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法：幂法、和法、根法

4．在“椅子摆放问题”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余条件不变.试构造模型并求解.

解：设椅子四脚连线呈长方形ABCD. AB 与CD 的对称轴为x 轴，用中心点的转角θ表示椅子的位置.将相邻两脚A 、B 与地面距离之和记为)(θf ;C 、D 与地面距离之和记为

)(θg .并旋转0180.于是，设,0)0(,0)0(=g f 就得到()()0,0=ππf g .

数学模型：设()()θθg f 、是[]π2,0上θ的非负连续函数.若[]πθ2,0∈∀,有

()()0=θθg f ,且()()()()0,0,00,00==ππf g f g ,则[]πθ2,00∈∃,使

()()000==θθg f .

模型求解:令)()()(θθθg f h -= .就有,0)0( h 0)(0)()()( ππππg g f h -=-=.再由()()θθg f ,的连续性,得到()θh 是一个连续函数. 从而()θh 是[]π,0上的连续函数.由连续函数的介值定理：()πθ,00∈∃,使()00=θh .即()πθ,00∈∃,使

()()000=-θθg f .

又因为[]πθ2,0∈∀,有()()0=θθg f .故()()000==θθg f .

9． （1）某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿. 次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店.某乙说，甲必在两天中的同一时刻经 过路径中的同一地点.为什么？

（2）37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者 进入下一轮，直至比赛结束.问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛.如果是n 支球队比赛呢？

解：（1）方法一：以时间t 为横坐标，以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程x 为纵坐标， 第一天的行程)(t x 可用曲线（I ）表示 ，第二天的行程)(t x 可用曲线（I I ）表示，（I ）（I I ）是连续曲线必有交点),(000d t p ,

两天都在0t 时刻经过0d 地点. x

d

方法二：设想有两个人， (I ) 一人上山，一人下山，同一天同 0p 时出发，沿同一路径,必定相遇. 0d (I I ) t

早8 0t 晚5

方法三：我们以山下旅店为始点记路程,设从山下旅店到山顶的路程函数为)(t f (即t 时刻

走的路程为)(t f ),同样设从山顶到山下旅店的路函数为)(t g ,并设山下旅店到山顶的距离为a (a >0).由题意知：,0)8(=f a f =)17(,a g =)8(,0)17(=g .令)()()(t g t f t h -=,则有0)8()8()8(<-=-=a g f h ，0)17()17()17(>=-=a g f h ，由于)(t f ,)(t g 都是时间t 的连续函数,因此)(t h 也是时间t 的连续函数,由连续函数的介值定理,]17,8[0∈∃t ,使0)(0=t h ,即)()(00t g t f =.

（2）36场比赛，因为除冠军队外，每队都负一场；6轮比赛，因为2队赛1轮，4队赛2轮，32队赛5轮. n 队需赛1-n 场，若k k n 221

≤- ，则需赛k 轮.

7.深水中的波速v 与波长λ、水深d 、水的密度ρ和重力加速度g 有关，试用量纲分析方法给出波速v 的表达式.

解：设v ,λ,d ,ρ，g 的关系为),,,,(g d v f ρλ=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1

，[λ]=LM 0T 0

，

[d ]=LM 0T 0，[ρ]=L -3MT 0， [g ]=LM 0T -2

,其中L ，M ，T 是基本量纲.

---------4分

量纲矩阵为

A=)

()()()()()()()(200010

100013111g d v T M L ρλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡---

齐次线性方程组Ay=0 ，即

⎪⎩⎪

⎨

⎧===+-++02y - y -0 y 03y y 51

454321y y y 的基本解为1y =),2

1

,0,0,21,1(--

2y =)0,0,1,1,0(- 由量纲i P 定理 得 ⎪⎩⎪⎨⎧==---2

1

12

1

21

πλπλd g v

∴g v λ=

1π, )(21πϕπ=, λπd =2

)(λ

ϕλd g v =∴，其中ϕ是未定函数 .