数学建模练习题复习进程
《1 数学建模活动的准备》(同步训练)高中数学必修_北师大版_2024-2025学年
《1 数学建模活动的准备》同步训练(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、数学模型的建立过程一般包括哪些步骤？A. 明确问题、假设简化、建立模型、求解模型、分析模型、检验结果B. 假设简化、明确问题、建立模型、求解模型、分析模型、检验结果C. 明确问题、假设简化、建立模型、求解模型、检验结果、分析模型D. 假设简化、明确问题、建立模型、求解模型、检验结果、分析模型2、在以下数学建模活动准备过程中，不属于必要步骤的是：A. 收集数据B. 确定模型类型C. 进行验证和修正D. 编写技术应用报告3、在数学建模活动中，以下哪种方法不是常用的数据收集方法？（）A、问卷调查B、实验数据C、市场调研D、网络爬虫4、某市规定每个人的身份证号码第17位是用奇数表示男性，偶数表示女性，如果你在处理一个数据集时发现某人的身份证号码第17位是8，那么这个人是：A、男性B、女性C、无法确定D、学校教工5、在数学建模活动的准备工作阶段，以下哪项工作不需要进行？A. 收集和整理问题背景资料B. 分析数据类型和数量C. 确定建模的数学工具D. 评估题目的难度系数6、在数学建模活动中，以下哪个步骤不属于模型建立阶段？（）A. 收集数据B. 建立数学模型C. 模型验证D. 模型应用7、某数学模型描述了一个物体在直线上运动，其位移随时间变化的关系为(s(t)=2t2+3t+1)（单位：米，时间单位：秒），则该物体在第2秒时的速度为多少米/秒？A、11米/秒B、7米/秒C、5米/秒D、3米/秒8、已知某城市前往机场的出租车行程费用由两部分组成：起步价和按行驶路程加价的费用。
起步价为10元，起步路程为3公里，以后每公里加价2元。
现有一乘客从市区打车到机场，共支付了32元，问他此次行程的实际路程是多少公里？（设此行程的实际路程为x公里）A. 7公里B. 8公里C. 9公里D. 10公里二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、在数学建模活动中，以下哪些步骤是进行数学建模前的准备工作？（）A、收集数据B、建立模型C、验证模型D、分析结果2、在数学建模活动的准备阶段，以下哪些步骤是必须进行的？A、明确建模目的B、收集相关资料C、确定建模对象D、确定建模方法3、某校举办数学建模竞赛，共有四个选拔阶段：初赛（题一）、复赛（题二）、决赛（题三）、大洋彼岸行（题四），每个阶段有100%的评审权。
数学建模复习完整版
数学建模复习HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】一（10）(1)简述数学模型的概念，分析数学模型与数学建模的关系。
（2）建立数学模型的一般方法是什么？在建模中如何应用这些方法，结合实例加以说明。
二（10分）、(1).简述数学建模的一般步骤，分析每个步骤的主要内容和注意事项。
(2)简述数学模型的表现形态，并举例说明。
三（10分）、（1）简述合理分配席位的Q -值方法,包括方法的具体实施过程，简述分配席位的理想化原则。
（2）建立录像机记数器读数与录像带转过时间之间的关系模型，包括模型假设与模型建立全过程。
四 (15分)（1）建立不允许缺货情况下的存储模型,确定订货周期和订货量（包括问题叙述,模型假设和求解过程）.（2）建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r k r >,．在每个生产周期 T 内，开始的一段时间（00T t ≤≤）一边生产一边销售，后来的一段时间T t T ≤≤0(）只销售不生产．设每次生产开工费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，（a)求出存储量)(t q 的表示式并画出示意图。
（2）以总费用最小为准则确定最优周期T ，讨论r k >>的情况． 五（15分）、（1）建立传染病传播的SIS 模型并求解（简述假设条件和求解过程），（2）建立SIR 模型，并用相平面方法求解，在相平面上画出相轨线并进行分析。
六（15分）（1）建立一般的战争模型，分析各项所表示的含义。
（2）在假设a b y x 9,00==条件下对正规战争模型（忽略增援和非战斗减员）进行建模求解，确定战争结局和结束时间。
七（15分）设渔场鱼量的自然增长服从模型x Nrx x ln = ，又单位时间捕捞量为Ex h =．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量mh 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平0x ．八（10分）假设商品价格k y 和供应量k x 满足差分方程求差分方程的平衡点，推导稳定条件参考答案与评分标准一（10）(1)简述数学模型的概念，分析数学模型与数学建模的关系。
数学建模做题步骤及注意事项【数模经验谈】
拿到建模题目以后，按照一下流程去分工合作红色表示步骤蓝色表示注意事项一、第一天上午1. 各自对立思考1个小时，主要分析题目的问题背景，已知条件，建模目的等问题。
至少每人必须提出10到15个问题，并回答自己的问题。
2. 重点用语言的形式表述清楚问题的结构，即用语言描述自己的初步模型。
（要自己提出的模型，可能就会产生一些假设。
）3. 再和队友讨论。
讨论1个小时。
形成自己团队的初步模型，同样是以语言形式描述的。
4. 接下来查找一些文献，讨论修改团队的模型，形成一个最终较完整的模型。
并根据讨论最后形成对问题的统一认识，形成问题重述部分的内容。
注：1）如果问题有好几问，可以重点讨论第一个问题，但是也要考虑其他问题与第一问的关系！（一般建模中的几问都是有一定联系得）；也可以同时考虑，同时建模。
2）注意参考文献的处理，参考别人的方法一定要在文中注明！这也是要求一直留意查找文献的目的。
【随时记录】二、第一天下午将自己团队的模型数学化，用数学符号和数学语言公式的形式，表述自己的模型。
此时会继续需要查文献，产生一些假设条件，并产生自己论文中的符号说明。
三、第二天上午一个人开始写文章，语言重在逻辑清晰，叙述简洁明了！图、表准确。
文章格式正确、内容完整。
（问题重述，问题分析，模型假设，符号说明，模型形式，以及参考文献都已经在第一天的讨论中有了一定的共识。
）其余两个人（在不清楚时3人讨论），开始考虑第一个问题的模型的求解，即研究模型的解法。
查找文献或者自己提出对模型的求解方法。
此时可能需要继续对第一天建立的模型进行修改，简化等处理。
（讨论后，及时告诉写文章的队友）。
四、第二天下午写文章的继续。
编程的开始编程计算模型。
此时，可能需要根据所采取的算法对模型的表述重新修改。
另一人帮忙编程，并开始考虑第二个、第三个问题的模型及求解方法。
并一起讨论，形成共识，写进文章中。
（此时，同样可能需要查文献，符号表示，产生假设）【注意是两个人求解，一个MATLAB，一个MATHEMATICA】五、第三天上午应该给出所有问题的计算结果了（最迟下午6点前）。
《数学建模》复习思考题
0349）《数学建模》复习思考题一、名词解释1．原型 2．模型3．数学模型 4．机理分析 5．测试分析 6．理想方法 7．直觉 8．灵感9．想象力 10．洞察力 11．类比法 12．思维模型13．符号模型 14 ．直观模型 15．物理模型 16．计算机模拟 17．蛛网模型 18．群体决策二、填空题1．模型指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的（ 2．数学模型是由数字、 字母或其它数字符号组成的， 描述现实对象数量规律的 （ （ ）（ ）。
建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。
4．理想方法是从观察和经验中通过（ ）和（ ），把对象简 化、纯化，使其升华到理想状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。
5．计算机模拟是根据实际系统或过程的特性，按照一定的（拟司机运行情况并依据大量模拟结构对系统或过程进行（6．测试分析是将研究对象看作一个 （ ）系统， 通过对系统 （）、（ ）数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。
7．物理模型主要指科技工作者为一定的目的根据（ 以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行（ 规律。
）分析市场经济稳定性的图示法在经济学中）（ ）（ ））描述受环境约束的所谓 “阻滞增长”）描述随机因素的影响，建立比较简单的随机模）的数学规划，称为混合整数规划。
）（ ）两个条件。
）两种。
）和（ ）两种基本方法。
三、判断题 。
（正确的打 R ，错误的打 W ） 1．原型和直观模型是一对对偶体。
（ ）2．模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次。
（ ）3．一个原型只能建立一个模型（） W4．用建模法解决实际问题，首先是用数学语言表述问题，其次才用数学工具求解构成的模 型。
（ ） R 5． 衡量一个数学模型的优劣在于它采用了什么样的数学方法。
（ ） W）。
）），3．机理分析是根据对（）的认识，找出反映内部机理的（）用计算机程序语言模 ）。
）构造的模型，它不仅可 ），间接地研究原型的某些8．用（）和（称为蛛网模型。
数学建模复习题
数学建模复习题一、引言在数学建模课程中，复习题是巩固知识、提高解题能力的有效方法。
本文将围绕数学建模复习题展开讨论，涵盖模型选择、建模方法、求解策略等方面，以帮助读者系统地进行复习。
二、模型选择解决实际问题的数学建模过程，首先要选择适当的数学模型。
在复习中，我们可以从典型模型出发，将问题转化为已有的模型类型，借鉴解决方法、技巧。
同时，我们也要注意问题的特殊性，不局限于典型模型，而是根据问题的特殊要求，进行模型的自由选择。
三、建模方法在建模过程中，选择合适的方法是非常重要的。
数学建模的方法多种多样，如线性规划、动态规划、图论等。
复习时，我们需要回顾各类方法的基本原理，了解其适用范围和解题步骤。
同时，还要学会综合应用不同方法，构建多层次、多角度的模型。
四、求解策略解决复杂问题，需要合理的求解策略。
在复习中，我们要加强对不同求解策略的理解和实践。
比如，对于线性规划问题，我们可以采用单纯形法、内点法等不同的算法；对于图论问题，我们可以使用深度优先搜索、广度优先搜索等算法。
通过掌握不同求解策略，可以更高效地解决实际问题。
五、概念定义和定理证明数学建模不仅仅是应用数学工具，还涉及到概念的定义和定理的证明。
在复习过程中，我们应该对各个概念的定义进行梳理和总结，理解其内涵和外延。
同时，对于重要的定理，要复习其证明思路和关键步骤，增强理论的掌握和运用能力。
六、优秀范例分析复习中，我们可以参考一些经典的数学建模范例，学习其中的解题思路和方法。
通过分析优秀范例，可以更好地理解模型构建和求解的过程。
同时，还可以从范例中寻找共性和规律，为解决其他问题提供启示。
七、实战训练在复习过程中，实战训练是非常重要的环节。
通过解答大量的数学建模复习题，我们可以提高问题分析和解决的能力。
在实战训练中，要注重理论与实际的结合，培养灵活运用知识的能力，提升解题的效率和质量。
八、总结与展望通过对数学建模复习题的系统复习，我们可以更好地理解和掌握数学建模的基本原理和方法。
数学建模复习提纲
数学建模复习提纲1．奇偶校验法：方格填数问题、瓷砖铺地问题如：要用56块方形瓷砖铺设如图所示的地面，但商店只有长方形瓷砖，每块大小等于方形的两块。
现买28块长方形瓷砖，问能否完整的铺好地面？2如：人、狗、鸡、米均要过河，船上除1人划船外，最多还能运载一物，而人不在场时，狗要吃鸡，鸡要吃米，问人，狗、鸡、米应如何过河？3．比例法建模：席位分配问题（比例法或Q 值法）如：某市四县两区党员数分别为：A 县1200人、B 县700、C 县650人、D 县550人、E 区500人、F 区200人，市委将召开党员代表大会，共有100个代表名额，请设计一个分配方案，最大公平的把100个代表分配到上述六个地方。
4．分析法建模：椅子四腿着地问题，如：（1）将四条腿一样长的正方形椅子放在不平的地面上，是否总能设法使它的四条腿同时着地，即放稳。
（2）对于一个长方形桌子有如何说明？5．几何法建模：雕像最佳视角问题，足球最佳射门点问题，如：在激烈的足球比赛中，对于每一个运动员都想进球，但对于绿营场来说，运动员站在不同的位置，其射中的机会是不同的，必须寻找最佳射击位置。
现在假定甲方边锋从边线沿直线带球向乙方球门快速推进至前半场，如图所示。
已知前进方向与底线垂直，且与球门AB 所在底线交于D 点，试说明推进过程中的最佳射击位置即是使得入射角β达最大的射门点的位置，并求出此入射角β。
6．微分方程建模：人口问题的马尔撒斯人口模型，物体冷却问题模型，圆锥容器注水问题模型（正立或倒立），如：（1）将温度为00120T C =物体放在温度为25C 的空气中冷却，经10min后，物体温度降为0180T C 。
问t=20min 时，物体的温度是多少？（2）国家统计局发布了第六次全国人口普查主要数据公报，截止到2010年10月，中国人口13.39亿比2000年第五次全国人口普查相比，十年年平均增长0.57%，假设在未来20年的时间内每年的人口增长率平均为0.5%，试推导马尔撒斯人口模型，并预测2030年中国人口大致为多少？（3）P51例17．概率建模：几种概率形式（约会问题）甲乙两人约定在下午6点到7点之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人20分钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．（蒲丰投针问题）平面上画有间隔为a(a > 0)的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l (l < a)的针，求针与任一平行线相交的概率．8．递推法建模，如：（1）试对兔子生殖问题总数建立斐波那契数列模型。
数学建模解题方法与步骤
数学建模与创业计划实践部学习目标1.能表述建立数学模型的方法、步骤；2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；；3.能表述数学建模的分类；4.会采用灵活的表述方法建立数学模型；5.培养建模的想象力和洞察力。
一、建立数学模型的方法和步骤—般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。
这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。
即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数．可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。
那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。
建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同学请教，尽量掌握第一手资料.模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量(常量和变量)之间的等式(或不等式)关系或其他数学结构．这里除需要一些相关学科的专门知识外，还常常需要较广阔的应用数学方面的知识，以开拓思路.当然不能要求对数学学科门门精通,而是要知道这些学科能解决哪一类问题以及大体上怎样解决．相似类比法，即根据不同对象的某些相似性，借用已知领域的数学模型，也是构造模型的一种方法．建模时还应遵循的一个原则是，尽量采用简单的数学工具，因为你建立的模型总是希望能有更多的人了解和使用,而不是只供少数人欣赏.模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术．一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。
数学建模解题方法与步骤
数学建模与创业计划实践部学习目标1.能表述建立数学模型的方法、步骤；2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；；3.能表述数学建模的分类；4.会采用灵活的表述方法建立数学模型；5.培养建模的想象力和洞察力。
一、建立数学模型的方法和步骤—般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。
这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。
即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数．可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。
那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。
建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同学请教，尽量掌握第一手资料.模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量(常量和变量)之间的等式(或不等式)关系或其他数学结构．这里除需要一些相关学科的专门知识外，还常常需要较广阔的应用数学方面的知识，以开拓思路.当然不能要求对数学学科门门精通,而是要知道这些学科能解决哪一类问题以及大体上怎样解决．相似类比法，即根据不同对象的某些相似性，借用已知领域的数学模型，也是构造模型的一种方法．建模时还应遵循的一个原则是，尽量采用简单的数学工具，因为你建立的模型总是希望能有更多的人了解和使用,而不是只供少数人欣赏.模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术．一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。
(完整版)数学建模复习内容带习题答案
考试内容分布：1、线性规划2题，有1题需编程；2、非线性规划2题，有1题需编程；3、微分方程1题，需编程；4、差分方程2题，纯计算，不需编程；5、插值2题，拟合1题，纯计算，不需编程；；6、综合1题(4分)，纯计算，不需编程。
一、列出下面线性规划问题的求解模型，并给出matlab计算环境下的程序1.某车间有甲、已两台机床，可用于加工三种工件，假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400,600和500，且已知用两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。
问怎样分配车床的加工任务，才能即满足加工工件的要求，又使加工费用最低。
（答案见课本P35, 例1）2.有两个煤厂A,B，每月进煤分别不少于60t、100t，它们负责供应三个居民区的用煤任务，这三个居民区每月需用煤分别为45t, 75t, 40t。
A厂离这三个居民区分别为10km, 5km, 6km，B厂离这三个居民区分别为4km, 8km, 15km，问这两煤厂如何分配供煤，才能使总运输量最小？(1)问题分析设A煤场向这三个居民区供煤分别为x1,x2,x3;B煤场向这三个居民区供煤分别为x4,x5,x6，则min f=10*x1+5*x2+6*x3+4*x4+8*x5+15*x6，再根据题目约束条件来进行解题。
(2) 模型的求解>> f=[10 5 6 4 8 15];>> A=[-1 -1 -1 0 0 00 0 0 -1 -1 -1-1 0 0 -1 0 00 -1 0 0 -1 00 0 -1 0 0 -1];>> b=[-60;-100;-45;-75;-40];>> Aeq=[];>> beq=[];>> vlb=zeros(6,1);>> vub=[];>> [x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimization terminated.(3) 结果分析x =0.0000 20.0000 40.0000 45.0000 55.0000 0.0000 fval = 960.0000即A 煤场分别向三个居民区供煤0t,20t,40t ；B 煤场分别向三个居民区供煤45t,55t,0t 可在满足条件下使得总运输量最小。
(0349)《数学建模》复习思考题答案 (1)
（0349）《数学建模》复习思考题答案一、名词解释1．原型：原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。
2．模型：指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
3．数学模型：是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。
4．机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。
5．测试分析：将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。
6．理想方法：是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。
7．直觉：直觉是人们对新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。
8．灵感：灵感是指在人有意识或下意识思考过程中迸发出来的猜测、思路或判断。
9．想象力：指人们在原有知识基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工、处理，创造出新形象，是一种形象思维活动。
10．洞察力：指人们在充分占有资料的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用那些方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出判断。
11．类比法：类比法注意到研究对象与以熟悉的另一对象具有某些共性，比较二者相似之处以获得对研究对象的新认识。
12．思维模型：指人们对原形的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接储存于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。
13．符号模型：是在一定约束条件或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描述原型。
14．直观模型：指那些供展览用的实物模型以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。
15．物理模型：主要指科技工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。
数学建模做题流程总结
数学建模做题流程总结一、组队。
数学建模不是一个人的战斗，那得找小伙伴一起呀。
找队友可不能马虎，就像找对象似的。
得找有不同专长的人，比如说有人数学特别好，那计算啊、推导公式啥的就靠他啦；有人计算机编程厉害，像Matlab、Python这些软件玩得溜，处理数据、跑模型就交给他；还有人文字表达能力强，最后写论文的时候就靠他把咱们的成果清晰漂亮地呈现出来。
而且队友之间得合得来，要是整天吵架，那这建模可没法做了。
大家互相了解彼此的优缺点，在组队的时候就得商量好，谁负责啥，这样后面做事才有效率嘛。
二、选题。
选题就像在商场里挑衣服，要挑个适合自己的。
题目类型可多了去了，有优化类的、预测类的、评价类的等等。
那怎么选呢？一方面得看自己团队的实力，要是对某个领域比较熟悉，那就优先考虑相关的题目。
另一方面呢，也得看看题目给的数据是不是齐全，要是数据都找不着，那做起来可费劲了。
有时候，看到一个题目，感觉似曾相识，好像自己学过相关的知识，或者做过类似的小项目，那就像发现了宝藏一样，这个题目可能就是个不错的选择。
三、模型建立。
这可是数学建模的核心部分。
咱们得把实际问题转化成数学模型，这就好比把一团乱麻捋成一根根整齐的线。
要根据题目的类型和已知条件，从自己的知识库里找出合适的模型。
比如说，如果是预测销售量，可能线性回归模型就挺合适；要是资源分配的问题，线性规划模型说不定就能派上用场。
在建立模型的时候，可不能生搬硬套，要根据实际情况做一些调整和改进。
有时候可能一个模型还不够，得把几个模型组合起来用，就像搭积木一样，一块一块拼起来，让这个模型更符合问题的要求。
四、数据处理。
数据就像做菜的食材，得处理好了才能下锅。
数据来源可多了，有从网上找的，有从实际调研来的。
但是这些数据可能不干净，有错误的、有重复的，这时候就得用一些方法把数据清洗一下。
像Excel就有很多好用的功能可以用来初步处理数据。
要是数据量特别大，就得靠编程软件了。
处理好的数据要能为模型所用，要是数据和模型不匹配，那就像鞋子不合脚一样，走起来可难受了。
《2 数学建模的主要步骤》(同步训练)高中数学必修_北师大版_2024-2025学年
《2 数学建模的主要步骤》同步训练(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、数学建模的主要步骤中，以下哪个步骤不是模型的求解过程？（）A. 确定变量B. 建立模型C. 模型验证D. 模型求解2、在数学建模过程中，以下哪个步骤不属于问题分析阶段的内容？A. 确定问题的实际背景和目标B. 收集与问题相关的数据和信息C. 建立数学模型D. 进行模型的验证与修正3、在数学建模过程中，下列哪个步骤是先于模型验证的？A. 模型假设B. 建立模型C. 模型求解D. 数据收集4、在数学建模的过程中，以下哪个步骤不是建模的基本步骤？A. 提出问题B. 收集数据C. 分析模型D. 模型验证5、在数学建模的过程中，以下哪个步骤不属于数学建模的主要步骤？（）A. 确定问题背景和目标B. 建立数学模型C. 模型求解D. 模型评估与改进6、在数学建模的步骤中，以下哪个环节是确保模型准确性和可靠性的关键？A. 问题的提出与分析B. 模型的建立C. 模型求解与验证D. 模型的优化与应用7、在数学建模过程中，以下哪个步骤不属于数学建模的主要步骤？A. 问题分析B. 建立数学模型C. 求解数学模型D. 模型检验与评估8、在数学建模的过程中，以下哪个步骤是首先进行的？（）A. 数据分析B. 建立模型C. 模型验证D. 模型求解1、数学建模的主要步骤包括以下哪些内容？（）A. 提出问题B. 收集和分析数据C. 建立模型D. 检验和修正模型E. 模型应用2、在数学建模的过程中，以下哪些步骤是必须的？（）A. 收集数据B. 提出假设C. 选择数学模型D. 验证模型3、以下哪些是数学建模的主要步骤？（）A. 提出问题B. 收集数据C. 建立模型D. 模型求解E. 模型验证F. 模型推广第一题：已知某市居民在一个月内用于购买食品、服装和交通的支出比例分别为40%、30%和20%。
如果该市居民一个月的总支出为5000元，那么居民用于购买服装的支出是多少元？第二题：某工厂生产一种新型电子元件，其成本函数为(C(x)=5000+10x+0.1x2)元（其中(x)为生产的元件数量），销售价格函数为(P(x)=100+5x)元。
数学建模练习题 1复习过程
数学建模练习题15.一个身高为153cm，下肢92cm的女士穿高跟鞋，她的鞋跟高度为_______cm 看起来最美。
6．已知某女士身高为165cm，下肢100cm的女士穿高跟鞋，她的鞋跟高度为_______cm看起来最美。
7某人的身高为175cm，他的下肢长度应该_________cm身材比例才协调。
8.欧拉在建立七桥问题数学模型时把桥假设为________,把岛和岸假设为_____ 9．欧拉通过巧妙的假设，把原来的七桥问题能否不重复走遍问题转化为一个图能否_______问题。
nchester战争数学模型判断战争的结局主要根据双方的_________. 11．根据混合战争模型分析美国与越南战争的结局，美国最后失败是因为________________。
12. 商人过河数学模型中用状态变量表示某岸________情况；用决策变量表示_______情况；最后找出状态变量随________变化的规律。
13．兔子出生以后两个月就能生小兔子，假设每次不多不少恰好生一对（一雌一雄）。
某人买了初生的小兔子一对，则一年后共有______对兔子。
（假设生下来的小兔子都正常活着）14．拳击冠军的争夺赛中共有63人参加,每轮比赛中出场的两人中的胜者及轮空者进入下一轮,直至比赛结束,问共需要进行______场比赛，共需要_____轮比赛。
15．在个人围棋冠军的争夺赛中共有67人参加，,每轮比赛中出场的两人中的胜者及轮空者进入下一轮,直至比赛结束,问共需要进行______场比赛，共需要____ 轮比赛。
16在层次分析法中，当一致性比率小于_______时，通过一致性检验。
17决策按照方案和条件可分为确定型决策、不确定型决策和_______。
18在层次分析法中，当一致性比率大于_______时，认为没有通过一致性检验。
20线性规划问题中基本可行解与可行解域的________等价。
21．在线性规划问题中，基本可行解的非基变量取值应该是_______。
电大数学建模复习资料
第一次作业（第1-2章）一、填空题1．设年利率为0.05，则10年后20万元的现值按照复利计算应为 . 2．所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为 .3．设某种商品的需求量函数是,1200)(25)(+-=t p t Q 而供给量函数是3600)1(35)(--=t p t G ，其中)(t p 为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是 .4．在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关：（1） 参加展览会的人数n ；（2）气温T 超过C10；（3）冰淇淋的售价p .由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 .5．有人观察到鱼尾每摆动一次，鱼所移动的距离几乎与鱼身的长度相等，则鱼尾摆动的次数T （次/秒）、鱼身的长度L 和它的速度V 的关系式为 .二、分析判断题1. 从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个） ，建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决．2. 一条公路交通不太拥挤，以至人们养成“冲过”马路的习惯，不愿意走临近的“斑马线”．交管部门不允许任意横穿马路，为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”，以便让行人可以穿越马路．那末“选择设置斑马线的地点”这一问题应该考虑哪些因素？试至少列出3种．3．怎样解决下面的实际问题．包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等． （1）估计一个人体内血液的总量．（2）为保险公司制定人寿保险计划（不同年龄的人应缴纳的金额和公司赔偿的金额）． （3）估计一批日光灯管的寿命．（4）确定火箭发射至最高点所需的时间． （5）决定十字路口黄灯亮的时间长度．（6）为汽车租赁公司制订车辆维修、更新和出租计划．（7）一高层办公楼有4部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制订合理的运行计划4．在2.5节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型．5. 假设某个数学模型建成为如下形式：.e ])1(1[)(22122x ax x M x P --= 试在适当的假设下将这个模型进行简化.三、计算题 1．在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1．试用比例方法构造模型解释这个现象．（1）分析商品价格c 与商品重量w 的关系．价格由生产成本、包装成本和其它成本决定，这些成本中有的与重量w 成正比，有的与表面积成正比，还有与w 无关的因素．（2）给出单位重量价格c 与w 的关系，画出它的简图，说明w 越大c 越小，但是随着w 的增加c 减小的程度变小．解释实际意义是什么？2．设某产品的售价为p ，成本为q ，售量为x （与产量相等），则总收入与总支出分别为px I =，qx C =．试在产销平衡的情况下建立最优价格模型．四、综合题某人身高1.70 m ， 以适当的初速度在地球表面上可跳过与其身高相同的高度．试利用类比建模法说明：若该人以相同的初速度在月球上跳，试问他能跳多高？(地球与月球的重力加速度之比为6：1)第一次作业（第1-2章）讲评一、填空题1．解：根据现值计算公式：10)05.01(20)1(+=+=n R S Q 2783.1221201011≈=（万元） 应该填写：12.2783万元．2．解：应该填写：问题分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析． 3．解： 由商品的均衡价格公式：80352536001200)(=++=++=c ad b t p 应该填写：80.4．解：因为冰淇淋的销量与人数n 、气温T 成正比，与售价p 成反比，因此应该填写： ),10(,/)10(0C T p T Kn N ≥-= K 是比例常数；5．解：因为鱼尾摆动的次数T 、鱼身的长度L 与它的速度V 成正比，因此应该填写：kTL V = （k 是常数）；二、分析判断题 1.解：（1）要研究的问题：如何设置四部电梯的停靠方式，使之发挥最大效益．（2）所需资料为：每天早晨乘电梯的总人数、各层上、下电梯的人数、电梯的速度、楼层的高度、层数等． （3）要做的具体建模前期工作：观察和统计所需资料，一般讲，需要统计一周内每天的相关资料． （4）可以建立概率统计模型，亦可在适当的假设下建立确定性模型． 2.解：（1）车流的密度 （2）车的行驶速度 （3）道路的宽度（4）行人穿越马路的速度 （5）设置斑马线地点的两侧视野等． 3．解：（1）注射一定量的葡萄糖，采集一定容量的血样，测量注射前后葡萄糖含量的变化，即可估计人体的血液总量．注意采集和测量的时间要选择恰当，使血液中的葡萄糖含量充分均匀，又基本上未被人体吸收．（2）调查不同年龄的人的死亡率，并估计其在未来一定时期的变化，还应考虑银行存款利率和物价指数，保险金与赔偿金之比大体上应略高于死亡率．（3）从一批灯管中取一定容量的样本，测得其平均寿命，可作为该批灯管寿命的估计值．为衡量估计的精度，需要从样本寿命确定该批灯管寿命的概率分布，即可得到估计值的置信区间．还可试验用提高电压的办法加速寿命测试，以缩短测量时间．（4）根据牛顿第二定律建立火箭向上发射后的运动方程，初速已知，若不考虑空气阻力，很容易算出到达最高点（即速度为零）时间；若考虑空气阻力，不妨设其与火箭速度（或速度的平方）成正比，并有试验及拟合方法确定阻力系数，再解方程得到结果．（5）司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离S 1，设通过十字路口的距离为S 2，汽车行驶速度为v ，则黄灯的时间长度t 应使距停车线S 1之内的汽车能通过路口，即t ≈（S 1+S 2）/v ．S 1可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响．（6）根据资料和经验确定维修费用随着车龄和行驶里程的增加而增加的关系，再考虑维修和更新费用，可以以一年为一个时段，结合租金决定应该维修或更新．（7）统计在各层上班的人数，通过数据或计算确定电梯运行时间，以等待的人数与时间乘积为目标，建立优化模型，确定每部电梯运行的楼层（有的从大厅直接运行到高层）． 4．解：不妨设1)(+'=b b λλ，表示火势b 越大，灭火速度λ越小，分母b +1中的1是防止b →0x 时λ→∞而加的．最优解为λβλβλ'++'+++'=)1()(21]()1(2[23221b c b b b c b c x ． 5.解：当ax较小的时候，可以利用二项展开式将小括号部分简化为 ,21)1(222122ax a x -≈- 从而有2e 2)(2x x a M x P =.若x 也很小，则可以利用x x+≈1e 将其进一步化简为 ).1(2)(22x x aMx P +=三、计算题 1．在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1．试用比例方法构造模型解释这个现象．（1）分析商品价格c 与商品重量w 的关系．价格由生产成本、包装成本和其它成本决定，这些成本中有的与重量w 成正比，有的与表面积成正比，还有与w 无关的因素．（2）给出单位重量价格c 与w 的关系，画出它的简图，说明ww 的增加c 减小的程度变小．解释实际意义是什么？ 解：（1）生产成本主要与重量w 成正比，包装成本 主要与表面积s 成正比，其它成本也包含与w 和s 成正 比的部分，上述三种成本中都含有与w 和s 无关的成分． 又因为形状一定时一般有s ∝w 2/3，故商品的价格可表为 C = αw +β w 2/3+γ（α，β，γ为大于0的常数）．（2）单位重量价格131--++==w w wCc γβα，其 图2 简图如图2所示．显然c 是w 的减函数，说明大包装商品比小包装商品便宜；曲线是下凸的,说明单价的减少值随包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品．2．解：因为售量x 依赖于价格p ，记作)(p f x =，称为需求函数，它是p 的减函数．由此可知收入I 和支出C 都是价格p 的函数，所以利润U 可以表示为)()()(p C p I p U -= （2.8）使利润U （p ）达到最大的最优价格p *可以由0d d *==p p pU 得到，即**d d d d p p p p pC pI ===（2.9）其中p I d d 称为边际收入，pC d d 称为边际支出．（2.9）式表明最大利润在边际收入等于边际支出时达到．假设需求函数是线性函数，即bp a p f -=)(，0,>b a （2.10）并且每件产品的成本q 与产量x 无关，将总收入函数、总支出函数、需求函数和（2.10）式代入（2.8）式可得))(()(bp a q p p U --=用微分法求出使U （p ）达到最大的最优价格p *为baq p 22*+=（2.11） 在（2.10）式中a 可以理解为这种产品免费供应时（p = 0）社会的需求量，称为“绝对需求量”．pxb d d -=表示价格上涨一个单位时销售量下降的幅度．在实际工作中a ，b 可以由价格p 和售量x 的统计数据用最小二乘法拟合来确定．（2.11）式表明最优价格是两部分之和，一部分是成本q 的一半，另一部分与“绝对需求量”成正比，与市场需求对价格的敏感系数成反比．四、综合题解：问题分析 由于月球上的情况不了解，可先建立我们所熟悉的在地球上的有关结论，然后通过类比来加以解决．模型假设（1） 人在地球上跳高与空气阻力关系微弱，故可忽略空气阻力不计； （2） 在地面上跳高，实际上就是克服地球引力把身体“抛”到高处．其实质是把人体的重心提高到了1.70米，故可视人体为一质点．一般地，人体的重心约在身高的一半处． 模型构建与求解 依假设，可视跳高为以初速 v 0 把位于身高一半处的一质点铅直上抛．为了求出所跳高度x 与时间 t 的函数关系，可建立起跳处为原点，水平方向为 x 轴，铅直向上为 y 轴正向的平面直角坐标系．则由g tv-=d d ，0)0(v v = 知 v (t ) = -gt + v 0 (2.12) 又由)(d d t v t x =，85.0270.1)0(==x 得 85.02)(02++=t v gt t x (2.13) 类比建模： 在月球上跳高与在地球上跳高相比是完全类似的，所差的仅是重力加速度．设月球上的重力加速度为g m ，若记月球上的速度及位置函数分别为v 0，x m （因题设初始速度相同，故仍记月球上的初速度为v 0）, 则应有 v m (t ) = - g m t + v 0 (2.14)85.02)(02++=t v t g t x m m (2.15) 由(2.15)知，为求出此人在月球上能跳多高，只需求出初速v 0及跳到最高处所需时间．注意到初速与地球的相同，故可由式（2.12），（2.13）求之：因跳到最高处时v 0= 0，故v 0 = gt ，于是 t = v 0/g ．又此人在地球上跳了1.70m 高，故有85.0)()(2170.10020++-=gv v g vg由此得v 0=g 7.1= 4.082 m/s (2.16)于是该人在地球上跳到1.70m 高处时所用的时间为t = v 0/g = 0.42s ． 以下再求在月球上以相同的初速跳到最高处所用的时间，即由 (2.14) 式及v m (t)=0,得v 0= g m t m ，即g 7.1=g m t m ，由此可得t m =g 7.1/g m . (2.17)将(2.16)，(2.17)两式代入(2.15)式，便有x m ≈-21g m (m g g 7.1)2+g 7.1(mg g 7.1)+0.85 =27.1mg g+0.85=5.9 (m)即在月球上能跳过的高度约为5.9米.（m g g 6=）模型分析为求出人在月球上的活动结论，与同类活动在地球上的相应结论通过类比方法加以解决，这是类比法的又一个成功范例．同样，利用地球上的初速及相应公式求得月球上所需数据也是很关键的一步，亦是巧妙之举．第二次作业（第3-5章）一、填空题1．设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若人口增长率是常数r ，那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为 ，其解为 .2．设某种物资有两个产地21,A A ，其产量分别为10、20，两个销地21,B B 的销量相等均为15．如果从任意产地到任意销地的单位运价都相等为a ，则最优运输方案与运价具有 两个特点．二、分析判断题1．对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型．（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与采用新技术的人数成正比，推广是无限的． （2）总人数有限，因而推广速度还会随着尚未采用新技术人数的减少而降低． （3）在（2）的前提下考虑广告等媒介的传播作用．三、计算题1．与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：xNrx t xln )(= ，其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同．设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h =Ex ．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量h m 及获得最大产量的捕捞强度 E m 和渔场鱼量水平x *0．2. 试求如表4所示运输问题的最优运输方案和最小运输费用：B 1、B 2、B 3供选择，运费依次为20，40和30；而进口港也有三个可供选择，代号为C 1，C 2和C 3，运费为：B 1到C 1、C 2、C 3依次为70、40、60，B 2到C 1、C 2、C 3依次为30、20、40，B 3到321,,C C C 依次为40、10、50；进口后可经由两个城市D 1, D 2运抵目的地E ，从C 1、C 2、C 3到D 1、D 2的运费为10和40，60和30，30和30；从D 1、D 2到E 的运费则为30和40. 试利用图模型协助策划一个运输路线，使总运费最低.四、综合题一个星级旅馆有150个客房，经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到一些数据：若每间客房定价为160元，住房率为55%；每间客房定价为140元，住房率为65%；每间客房定价为120元，住房率为75%；每间客房定价为100元，住房率为85%.欲使每天收入最高，每间客房定价应为多少？注：本题要求按照五步建模法给出建模全过程.第二次作业（第3-5章）讲评一、填空题1．解 应该填写：⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(d d x x rx t x ，.e )(0rtx t x =2．解：因为该问题从任意产地到任意销地的单位运价都相等故其具有最优运输方案不惟一；总运费均相等特点．应该填写： 最优运输方案不惟一；总运费均相等．二、分析判断题1．解：设t 时刻采用新技术的人数为x(t )． （1）指数模型xtxλ=d d ． （2）Logistic 模型)(d d x N ax tx-=，N 为总人数． （3）广告等媒介在早期作用较大，它对传播速度的影响与尚未采用新技术的人数成正比，在模型（2）的基础上，有))((d d x N b ax tx-+= （2）和（3）区别见图1．图1三、计算题1．解： 模型为Ex xNrx x F x-==ln )( ， 如图3所示，有2个平衡点：x = 0和x 0 =rE N -e．可证x = 0不稳定，x 0稳定（与E ，r 的大小无关）．最大持续 产量为h m = rN/e ，获得h m 的E m = r ，x *0 =e /N ．图32. 解：易见，这是一个产销平衡且为最小值类型的运输问题．我们有 (1) 利用最小元素法可得初始方案如表5，（2）使用闭回路法可得负检验数为12λ= -1，故令12x 进基（3）使用闭回路法进行调整知11x 出基，便得新的运输方案如表6表6（4）再进行检验知，所有检验数0≥ij λ，故得最优运销图如图2：图2 最小费用为385（百元）．3．某公司自国外A 厂家进口一部分精密机器.由厂家到出口港有三个港口B 1、B 2、B 3供选择，运费依次为20，40rN/A 1 B 3 B 2 5 15 A 2 B 2 B 1 10 5 A 3 B 4 B 2 10 15和30；而进口港也有三个可供选择，代号为C 1，C 2和C 3，运费为：B 1到C 1、C 2、C 3依次为70、40、60，B 2到C 1、C 2、C 3依次为30、20、40，B 3到321,,C C C 依次为40、10、50；进口后可经 由两个城市D 1, D 2运抵目的地E ， 从C 1、C 2、C 3到D 1、D 2的运费 为10和40，60和30，30和30； 从D 1、D 2到E 的运费则为30和 40. 试利用图模型协助策划一个 运输路线，使总运费最低.解：首先建立图模型如图7． 图7 利用双标号法求最短路线过程如图8.图8利用逆向搜索法可得最优运输方案为方案1 ,223E D C B A ⇒⇒⇒⇒ 方案2 ,113E D C B A ⇒⇒⇒⇒方案3 .112E D C B A ⇒⇒⇒⇒ .110min =l四、综合题 解：（一）问题分析1. 易于看出，定价每降低20元，住房率便增加10%，呈线性增长趋势；2. 160元的定价是否为最高价应给予确定；3. 是否所有客房定价相同需要确定. （二） 模型假设1. 在无其他信息时，每间客房的最高定价均为160元；2. 所有客房定价相同. （三）模型建立根据假设1.，如果设y 代表旅馆一天的总收入，而x 表示与160元相比降低的房价，则可得每降低1钱元的房价，住房率增加为10%/20=0.005.由此便可以得到)005.055.0)(160(150x x y +-= （1） 注意到,1005.055.0≤+x 又得到,900≤≤x 于是得到所求的数学模型为： max )005.055.0)(160(150x x y +-=，.900≤≤x （四）模型求解这是一个二次函数的极值问题，利用导数方法易于得到]90,0[25∈=x 为唯一驻点，问题又确实存在最大值，故25=x （元）即为价格降低幅度，也即160-25=135（元）应为最大收入所对应的房价.（五）模型分析 1. 将房价定在135元时，相应的住房率为%,5.6725005.055.0=⨯+最大收入为75.13668%5.67135150max =⨯⨯=y （元）.表面上住房率没有达到最高，但是总收入达到最大，这自然是住房率与价格相互制约造成.2. 可以将五种定价的总收入求出以做比较（从略）和检验，知我们的结果是正确的.3. 为了便于管理，将价格定在140元/（天.间）也无妨，因为此时的总收入与最高收入仅差18.75元.4. 假如定价是180元，住房率应为45%，其相应的收入只有12150元，由此可知，我们的假设1.是正确的.13春综合练习题1一、填空题 1．设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若人口增长率是常数r ，那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为 ，其解为 .2．设某种物资有两个产地21,A A ，其产量分别为10、20，两个销地21,B B 的销量相等均为15．如果从任意产地到任意销地的单位运价都相等为a ，则最优运输方案与运价具有 两个特点．二、分析判断题1．对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型．（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与采用新技术的人数成正比，推广是无限的． （2）总人数有限，因而推广速度还会随着尚未采用新技术人数的减少而降低． （3）在（2）的前提下考虑广告等媒介的传播作用．三、计算题1. 试求如表4所示运输问题的最优运输方案和最小运输费用：B 1、B 2、B 3供选择，运费依次为20，40和30；而进口港也有三个可供选择，代号为C 1，C 2和C 3，运费为：B 1到C 1、C 2、C 3依次为70、40、60，B 2到C 1、C 2、C 3依次为30、20、40，B 3到321,,C C C 依次为40、10、50；进口后可经由两个城市D 1, D 2运抵目的地E ，从C 1、C 2、C 3到D 1、D 2的运费为10和40，60和30，30和30；从D 1、D 2到E 的运费则为30和40. 试利用图模型协助策划一个运输路线，使总运费最低.一、填空题1．解 应该填写：⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(d d x x rx t x ，.e )(0rtx t x =2．解：因为该问题从任意产地到任意销地的单位运价都相等故其具有最优运输方案不惟一；总运费均相等特点． 应该填写： 最优运输方案不惟一；总运费均相等．二、分析判断题1．解：设t 时刻采用新技术的人数为x (t )． （1）指数模型x txλ=d d ． （2）Logistic 模型)(d d x N ax tx-=，N 为总人数． （3）广告等媒介在早期作用较大，它对传播速度的影响与尚未采用新技术的人数成正比，在模型（2）的基础上，有))((d d x N b ax tx-+= （2）和（3）区别见图1．图1三、计算题1. 解：易见，这是一个产销平衡且为最小值类型的运输问题．我们有 (1) 利用最小元素法可得初始方案如表5，表5（2）使用闭回路法可得负检验数为12λ= -1，故令12x 进基（3）使用闭回路法进行调整知11x 出基，便得新的运输方案如表6表6（4）再进行检验知，所有检验数0≥ij λ，故得最优运销图如图2：图2 最小费用为385（百元）．2．某公司自国外A 厂家进口一部分精密机器.由厂家到出口港有三个港口B 1、B 2、B 3供选择，运费依次为20，40和30；而进口港也有三个可供选择，代号为C 1，C 2和C 3，运费为：B 1到C 1、C 2、C 3依次为70、40、60，B 2到C 1、C 2、C 3依次为30、20、40，B 3到321,,C C C 依次为40、10、50；进口后可经由两个城市D 1, D 2运抵目的地E ，从C 1、C 2、C 3到D 1、D 2的运费 为10和40，60和30，30和30； 从D 1、D 2到E 的运费则为30和40. 试利用图模型协助策划一个运输路线，使总运费最低. 解：首先建立图模型如图7． 利用双标号法求最短路线过程如图8.图8利用逆向搜索法可得最优运输方案为方案1 ,223E D C B A ⇒⇒⇒⇒ 方案2 ,113E D C B A ⇒⇒⇒⇒方案3 .112E D C B A ⇒⇒⇒⇒ .110min =l13春综合练习题2一、填空题1．设年利率为0.05，则10年后20万元的现值按照复利计算应为 .A 1B 3 B 2 5 15 A 2 B 2 B 1 10 5 A 3 B 4 B 2 10 152．所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为 .3．设某种商品的需求量函数是,1200)(25)(+-=t p t Q 而供给量函数是3600)1(35)(--=t p t G ，其中)(t p 为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是 .4．在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关：（2） 参加展览会的人数n ；（2）气温T 超过C10；（3）冰淇淋的售价p .由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 .5．有人观察到鱼尾每摆动一次，鱼所移动的距离几乎与鱼身的长度相等，则鱼尾摆动的次数T （次/秒）、鱼身的长度L 和它的速度V 的关系式为 .二、分析判断题1. 从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个） ，建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决．2. 一条公路交通不太拥挤，以至人们养成“冲过”马路的习惯，不愿意走临近的“斑马线”．交管部门不允许任意横穿马路，为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”，以便让行人可以穿越马路．那末“选择设置斑马线的地点”这一问题应该考虑哪些因素？试至少列出3种．3．怎样解决下面的实际问题．包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等． （1）估计一个人体内血液的总量．（2）为保险公司制定人寿保险计划（不同年龄的人应缴纳的金额和公司赔偿的金额）． （3）估计一批日光灯管的寿命．（4）确定火箭发射至最高点所需的时间． （5）决定十字路口黄灯亮的时间长度．（6）为汽车租赁公司制订车辆维修、更新和出租计划．（7）一高层办公楼有4部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制订合理的运行计划三、计算题 1．在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1．试用比例方法构造模型解释这个现象．（1）分析商品价格c 与商品重量w 的关系．价格由生产成本、包装成本和其它成本决定，这些成本中有的与重量w 成正比，有的与表面积成正比，还有与w 无关的因素．（2）给出单位重量价格c 与w 的关系，画出它的简图，说明w 越大c 越小，但是随着w 的增加c 减小的程度变小．解释实际意义是什么？第一次作业（第1-2章）讲评一、填空题1．解：根据现值计算公式：10)05.01(20)1(+=+=n R S Q 2783.1221201011≈=（万元）应该填写：12.2783万元．2．解：应该填写：问题分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析． 3．解： 由商品的均衡价格公式：80352536001200)(=++=++=c ad b t p 应该填写：80.4．解：因为冰淇淋的销量与人数n 、气温T 成正比，与售价p 成反比，因此应该填写：),10(,/)10(0C T p T Kn N ≥-= K 是比例常数；5．解：因为鱼尾摆动的次数T 、鱼身的长度L 与它的速度V 成正比，因此应该填写：kTL V = （k 是常数）；二、分析判断题 1.解：（1）要研究的问题：如何设置四部电梯的停靠方式，使之发挥最大效益．（2）所需资料为：每天早晨乘电梯的总人数、各层上、下电梯的人数、电梯的速度、楼层的高度、层数等． （3）要做的具体建模前期工作：观察和统计所需资料，一般讲，需要统计一周内每天的相关资料． （4）可以建立概率统计模型，亦可在适当的假设下建立确定性模型． 2.解：（1）车流的密度 （2）车的行驶速度 （3）道路的宽度（4）行人穿越马路的速度 （5）设置斑马线地点的两侧视野等． 3．解：（1）注射一定量的葡萄糖，采集一定容量的血样，测量注射前后葡萄糖含量的变化，即可估计人体的血液总量．注意采集和测量的时间要选择恰当，使血液中的葡萄糖含量充分均匀，又基本上未被人体吸收．（2）调查不同年龄的人的死亡率，并估计其在未来一定时期的变化，还应考虑银行存款利率和物价指数，保险金与赔偿金之比大体上应略高于死亡率．（3）从一批灯管中取一定容量的样本，测得其平均寿命，可作为该批灯管寿命的估计值．为衡量估计的精度，需要从样本寿命确定该批灯管寿命的概率分布，即可得到估计值的置信区间．还可试验用提高电压的办法加速寿命测试，以缩短测量时间．（4）根据牛顿第二定律建立火箭向上发射后的运动方程，初速已知，若不考虑空气阻力，很容易算出到达最高点（即速度为零）时间；若考虑空气阻力，不妨设其与火箭速度（或速度的平方）成正比，并有试验及拟合方法确定阻力系数，再解方程得到结果．（5）司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离S 1，设通过十字路口的距离为S 2，汽车行驶速度为v ，则黄灯的时间长度t 应使距停车线S 1之内的汽车能通过路口，即t ≈（S 1+S 2）/v ．S 1可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响．（6）根据资料和经验确定维修费用随着车龄和行驶里程的增加而增加的关系，再考虑维修和更新费用，可以以一年为一个时段，结合租金决定应该维修或更新．（7）统计在各层上班的人数，通过数据或计算确定电梯运行时间，以等待的人数与时间乘积为目标，建立优化模型，确定每部电梯运行的楼层（有的从大厅直接运行到高层）．三、计算题 1．在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1．试用比例方法构造模型解释这个现象．（1）分析商品价格c 与商品重量w 的关系．价格由生产成本、包装成本和其它成本决定，这些成本中有的与重量w 成正比，有的与表面积成正比，还有与w 无关的因素．（2）给出单位重量价格c 与w 的关系，画出它的简图，说明w 越大c 越小，但是随着w 的增加c 减小的程度变小．解释实际意义是什么？ 解：（1）生产成本主要与重量w 成正比，包装成本 主要与表面积s 成正比，其它成本也包含与w 和s 成正 比的部分，上述三种成本中都含有与w 和s 无关的成分． 又因为形状一定时一般有s ∝w 2/3，故商品的价格可表为 C = αw +β w 2/3+γ（α，β，γ为大于0的常数）．（2）单位重量价格131--++==w w wCc γβα，其 图2 简图如图2所示．显然c 是w 的减函数，说明大包装商品比小包装商品便宜；曲线是下凸的,说明单价的减少值随包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品．数学建模13春综合练习题3一、填空题。
2020年高三复习课《数学建模》专题(学案)
2020年高三复习课数学科数学建模专题教学目标：1.通过学习有关《课标》《考纲》等有关文件，明确“数学建模”考什么？2.通过近年高考“数学建模”试题分析、研究，明确“数学建模”怎么考？怎么解答？3.通过“数学建模”典例分析，提高解决相关问题的能力，提升“数学建模”素养；4.通过“数学建模”有关作业题，训练解题能力，增强“数学建模”应试能力和信心.教学方案：1.学习《课标》、《考纲》等有关“数学建模”的相关内容数学模型，是指对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个特定的目的，在做了一些必要的简化、假设，运用适当的数学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构。
广义地说，数学中的各种基本概念，都是以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的数学概念，各种数学公式、方程式、定理、理论体系等，都是一些具体的数学模型.数学模型使得数学回归于现实世界,构建了数学与现实世界的桥梁,是数学应用的重要形式,是应用数学解决实际问题的基本手段，是推动数学发展的重要动力。
数学建模是对现实问题进行数学抽象，并用数学语言描述、表达问题，运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，它搭建了数学与外部世界的联系。
数学建模是数学核心素养的重要组成部分，是构建数学模型且用数学方法解决问题的核心素养加强应用意识和创新意识，突出数学建模的考查，是近年来数学高考命题进行探索与改革的重要思路与创新举措，它有助于培养学生自觉地运用数学知识去思考和处理日常生活、生产中所遇到的问题，从而形成良好的思维品质，造就具有探索新知识、新方法的创造性思维能力的人才，体现文化育人、立德树人的教育理念.《普通高中数学课程标准（2017版）》关于数学建模指出：通过数学建模的学习，“学生能有意识的用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联，学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验。
”“教师应整体设计、分步实施数学建模活动与数学探究活动，引导学生从类比、模仿到自主创新，从局部实施到整体构想，......”建模过程“七环节六状态”:1.理解“现实问题”构造“情景模型”；2.简化“情景模型”构造“现实模型”；3.数学化，即用数学的语言描述“现实模型”，构造“数学模型”；4.运用数学方法得到“数学结果”；5.根据现实问题解释数学结果，获得“现实结果”；6.结合原来的情景验证结果，如果答案差强人意，则重新进行建模；7.介绍问题解决方案，并与他人交流.应用意识和应用能力(《考试大纲》、《考试大纲的说明》)：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，并加以解决.对应用能力的考查主要采用解决应用问题的形式.命题时坚持“贴近生活,背景公平,控制难度”的原则.试题要贴近生活，背景公平,富有时代气息,体现数学的应用价值.对应用意识的考查主要采用解决应用问题的形式.试题设计要切合中学数学教学的实际和考生的年龄特点,并结合实践经验,使数学应用问题的难度适合考生的水平.加强应用意识和创新意识，突出数学建模的考查，是近年来数学高考命题进行探索与改革的重要思路与创新举措，它有助于培养学生自觉地运用数学知识去思考和处理日常生活、生产中所遇到的问题，从而形成良好的思维品质，造就具有探索新知识、新方法的创造性思维能力的人才，体现文化育人、立德树人的教育理念.2.近年来高考数学试题中“数学建模”分析、研究一、2019年高考全国卷数学试题考查实际问题“数学建模”试题统计卷别题号问题背景数学模型核心素养五育卷Ⅰ文4理4黄金分割率方程、不等式逻辑推理、数学运算美育文6体质测验随机抽样数据分析、逻辑推理体育理15篮球运动古典概型逻辑推理、数学运算体育文17商场服务质量概率、独立性检验逻辑推理、数学运算、数据分析德育理21药物试验分布列、数列逻辑推理、数学运算、数据分析德育卷Ⅱ理4航天方程逻辑推理、数学运算德育文4生物实验古典概型数学运算劳育理5演讲比赛统计分析逻辑推理、数据分析德育文5一带一路逻辑分析逻辑推理德育理13文14高铁列车样本估计总体数据分析、数学运算德育理16文16金石印信空间几何体直观想象、数学运算德育理18乒乓球比赛概率逻辑推理、数学运算体育文19中小企业生产统计分析数学运算、数据分析劳育卷Ⅲ理3文4四大名著韦恩图、样本估计数学抽象、逻辑推理、数据分析德育理16文163D打印空间几何体直观想象、数学运算劳育理17文17小鼠离子残留统计分析数据分析、数学运算劳育二、试题分析【题1】（2019年全国Ⅲ卷文科第4题理科第4题）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8【练习1】某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在90以上的有38人。
数学建模上机练习习题及答案教学内容
数学建模上机练习习题及答案教学内容练习1 基础练习⼀、矩阵及数组操作：1．利⽤基本矩阵产⽣3×3和15×8的单位矩阵、全1矩阵、全0矩阵、均匀分布随机矩阵（[-1，1]之间）、正态分布矩阵（均值为1，⽅差为4）。
A=eye(3) B=eye(15,8) C=ones(3) D=ones(15,8) E=zeros(3) F=zeros(15,8) G=(-1+(1-(-1))*rand(3)) H=1+sqrt(4)*randn(5) 2．利⽤fix及rand函数⽣成[0，10]上的均匀分布的10×10的整数随机矩阵a，然后统计a中⼤于等于5的元素个数a=fix(0+(10-0)*rand(10));K=find(a>=5);Num=length(K)或者num=sum(sum(a>=5))num =533．在给定的矩阵中删除含有整⾏内容全为0的⾏，删除整列内容全为0的列。
如已给定矩阵A在给定的矩阵中删除含有整⾏内容全为0的⾏在命令窗⼝中输⼊A(find(sum(abs(A'))==0),:)=[];删除整列内容全为0的列。
A(：，find(sum(abs(A'))==0))=[];⼆、绘图：4．在同⼀图形窗⼝画出下列两条曲线图像： y1=2x+5； y2=x^2-3x+1，并且⽤legend 标注 x=0:0.01:10; y1=2*x+5; y2=x.^2-3*x+1; plot(x,y1,x,y2,'r') legend('y1', 'y2')12345678910-10010203040506070805．画出下列函数的曲⾯及等⾼线： z=x^2+y^2+sin(xy)．在命令窗⼝输⼊： [x,y]=meshgrid(0:0.25:4*pi);z=x.^2+y.^2+sin(x.*y)；contour3(x,y,z); meshc(x,y,z)5101551015100200300400三、程序设计：6．编写程序计算（x在[-3，3]，间隔0.01）建⽴M⽂件d.mx=input('请输⼊x的值:');if x>=-3&x<-1y=(-x.^2-4*x-3)/2;elseif x>=-1&x<1y=-x.^2+1;elseif x>=1&x<=3y=(-x.^2+4*x-3)/2;elsey='error'endy在命令窗⼝输⼊x 的值：7．有⼀列分数序列：求前15项的和。
高一 数学建模练习题
高一数学建模练习题高一数学建模练题一、题目描述本文档为高一数学建模练题，旨在帮助学生提高数学建模能力和解决实际问题的能力。
本练题共包含若干问题，涵盖了数学建模的常见题型和技巧。
二、问题一题目：某超市正在举办促销活动，买一送一的优惠活动。
小明想购买一袋价值为10元的薯片，但他不确定是否值得购买。
请你帮助小明完成以下问题：1. 如果小明能得到这个优惠，他应该付多少钱？2. 如果小明不能得到这个优惠，他应该付多少钱？3. 在不同的购买方式下，小明应该选择哪一种购买方式？解答：1. 如果小明能得到买一送一的优惠，他只需要支付10元即可购买一袋薯片。
2. 如果小明不能得到买一送一的优惠，他需要支付20元才能购买一袋薯片。
3. 在买一送一的优惠下，小明应该选择购买方式一，只需支付10元即可获得两袋薯片；在不能得到优惠的情况下，小明应该选择购买方式二，只需支付20元购买一袋薯片。
三、问题二题目：某地区的温度变化可以近似地用线性函数来描述。
已知该地区今天的最高气温是30℃，明天的最高气温是35℃。
请你帮助完成以下问题：1. 写出今天和明天的气温变化函数。
2. 根据这个函数，预测后天的最高气温。
解答：1. 今天和明天的气温变化函数可以表示为：- 今天的气温变化函数：$T_{today}(x) = 30 + 5x$，其中$x$表示天数，$T_{today}(x)$表示第$x$天的最高气温。
- 明天的气温变化函数：$T_{tomorrow}(x) = 35 + 5x$，其中$x$表示天数，$T_{tomorrow}(x)$表示第$x$天的最高气温。
2. 根据这个函数，预测后天的最高气温为：$T_{after\_tomorrow}(x) = 40 + 5x$，其中$x$为2，代入可得$T_{after\_tomorrow}(2) = 40 + 5 \times 2 = 50$。
因此，后天的最高气温预测为50℃。
四、问题三题目：某电商平台举办促销活动，一款原价为500元的商品打折出售。
数学建模解题过程
数学建模解题过程数学建模，这四个字听着是不是感觉有点高大上，有点神秘莫测？其实啊，它就像咱们盖房子，一砖一瓦地搭建出一个完整又实用的“建筑”。
咱们先来说说准备工作。
就好比你要出门旅行，不得先收拾行李，规划路线嘛。
数学建模也一样，你得先搞清楚题目到底在说啥，要解决啥问题。
这就像在黑暗中摸索着找到那把能打开宝藏的钥匙。
然后呢，就是选择合适的模型。
这可不像在菜市场挑菜，随便拿一把就行。
得根据问题的特点，像挑衣服一样，选最合身的那个模型。
比如说，如果是研究增长趋势的，可能就得用上线性回归模型；要是分析不同因素的影响，说不定就得用个层次分析法。
选好了模型，接下来就是收集数据啦。
数据就像是建筑材料，没有好材料，房子能结实吗？这收集数据的过程，那可真是像大海捞针，得从各种各样的渠道里找到有用的信息。
有时候，为了几个关键的数据，得翻遍好多资料，跑好多地方，是不是有点像唐僧取经，历经九九八十一难？有了数据，可别高兴得太早，还得处理这些数据呢。
就像做菜，食材有了，不得切切洗洗，搭配好？把那些杂乱无章的数据整理得井井有条，去掉没用的，留下精华。
接下来就是建立模型啦。
这就像是搭积木，一块一块地往上加，得小心翼翼，还得有耐心。
有时候，搭着搭着发现不对，还得推倒重来，这得多考验咱们的心态啊！模型建好了，还得检验一下。
这就好比新做的衣服，不得试试合不合身？看看模型的结果和实际情况是不是相符，如果差得太远，那可就得找找问题出在哪，是数据不对，还是模型选错了？最后就是优化模型和得出结论啦。
把模型调整得越来越好，就像把一件粗糙的工艺品打磨得越来越精美。
得出的结论要清晰明了，让人一看就懂。
你说，这数学建模的过程，是不是就像一场充满挑战和惊喜的冒险？咱们得有勇气，有智慧，才能成功地解决问题，找到那个藏在数字背后的秘密。
所以啊，别害怕数学建模，勇敢地去尝试，说不定你就是那个能揭开神秘面纱的高手呢！。
数学建模复习内容带习题答案
考试内容分布：1、线性规划 2题，有 1题需编程；2、非线性规划 2题，有 1题需编程；3、4、微分方程 1题，需编程；差分方程 2题，纯计算，不需编程；5、插值 2题，拟合 1题，纯计算，不需编程；；6、综合 1题(4分)，纯计算，不需编程。
一、列出下面线性规划问题的求解模型，并给出matlab计算环境下的程序1.某车间有甲、已两台机床，可用于加工三种工件，假定这两台车床的可用台时数分别为800和 900，三种工件的数量分别为400,600和 500，且已知用两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。
问怎样分配车床的加工任务，才能即满足加工工件的要求，又使加工费用最低。
（答案见课本 P35,例 1）2.有两个煤厂 A,B，每月进煤分别不少于60t、 100t ，它们负责供应三个居民区的用煤任务，这三个居民10km, 5km, 6km， B厂离这三个居民区区每月需用煤分别为45t, 75t, 40t。
A厂离这三个居民区分别为分别为 4km, 8km, 15km ，问这两煤厂如何分配供煤，才能使总运输量最小？(1)问题分析设 A煤场向这三个居民区供煤分别为x1,x2,x3;B 煤场向这三个居民区供煤分别为x4,x5,x6，则min f=10* x1+5*x2+6*x3+4*x4+8*x5+15*x6，再根据题目约束条件来进行解题。
(2)模型的求解>> f=[10 5 6 4 8 15];>> A=[-1 -1 -1 0 0 00 0 0 -1 -1 -1-1 0 0 -1 0 00 -1 0 0 -1 00 0 -1 0 0 -1];>> b=[-60;-100;-45;-75;-40];>> Aeq=[];>> beq=[];>> vlb=zeros(6,1);>> vub=[];>> [x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimization terminated.(3)结果分析x =0.000020.000040.000045.000055.00000.0000fval =960.0000即 A煤场分别向三个居民区供煤下使得总运输量最小。
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数学建模习题题目11.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。
比如洁银牙膏50g装的每支1.5元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1.试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。
价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小，解释实际意义是什么。
解答：（1）分析：生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其他成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都包含有与w,s均无关的成本。
又因为形状一定时一般有,故商品的价格可表示为（α，β，γ为大于0的常数）。
（2）单位重量价格,显然c是w的减函数。
说明大包装比小包装的商品更便宜，曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。
函数图像如下图所示：题目22.在考虑最优定价问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设,β为增长率。
又设单位时间的销售量为(p为价格)。
今将销售期分为和两段，每段的价格固定，记为,.求,的最优值，使销售期内的总利润最大。
如果要求销售期T内的总销售量为,再求,的最优值。
解答：由题意得：总利润为,=+=由=0，，可得最优价格,设总销量为，在此约束条件下的最大值点为,题目33.某商店要订购一批商品零售，设购进价,售出,订购费c(与数量无关)，随机需求量r的概率密度为p(r)，每件商品的贮存费为(与时间无关)。
问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少。
为使这个平均利加什么限制？润为正值，需要对订购费c解答：设订购量为u，则平均利润为u的最优值满足最大利润为.为使这个利润为正值，应有.题目44.雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。
解答：雨滴质量m，体积V，表面积S与某特征尺寸l之间的关系为，，可得。
雨滴在重力和空气阻力的作用下以匀速v降落，所以=，而.由以上关系得.题目55.某银行经理计划啊用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如表1所示。
按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。
此外还有以下限制：1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；表1 证券信息证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益/%A 市政 2 9 4.3B 代办机构 2 15 5.4C 政府 1 4 5D 政府 1 3 4.4E 市政 5 2 4.5（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？解答：（1）设投资证券A,B,C,D,E的金额分别为（百万元），按照规定、限制和1000万元资金约束，列出模型s.t.，即，即用LINGO求解得到：证券A,C,E分别投资2.182百万元，7.364百万元，0.454百万元，最大税后收益为0.298百万元。
（2）由（1）的结果中影子价格可知，若资金增加100万元，收益可增加0.0298百万元。
大于以2.75%的利率借到100万元资金的利息，所以应借贷。
投资方案需将上面模型第二个约束右端改为11，求解得到：证券A,C,E分别投资2.40百万元，8.10百万元，0.50百万元，最大税后收益为0.3007百万元。
（3）由（1）结果中目标函数系数的允许范围（最优解不变）可知，证券A的税前收益可增加0.35%，故若证券A的税前收益增加为4.5%，投资不应改变；证券C的税前收益可减少0.112%（按50%的税率纳税），故若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应该改变。
题目66.某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分别记为A,B）。
按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别为原料丙混合生产A,B。
已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别为3%，1%，2%，1%，进货价格分别为6,16,10,15（千元/t）；产品A,B的含硫量分别不能超过2.5,1.5（%），售价分别为9,15（千元/t）。
根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50t；产品A,B的市场需求量分别为100t，200t。
问应如何安排生产？解答：设分别是产品A中是来自混合池和原料丙的吨数，分别是产品B中来自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲、乙、丁所占的比例分别为.优化目标是总利润最大，即约束条件为：1）原料最大供应量限制：2）产品最大需求量限制：3）产品最大含硫量限制：对产品A，，即对产品B，类似可得4)其他限制：用LINGO求解得到结果为：，其余为0；目标函数值为450.题目77.建立耐用消费品市场销售量的模型。
如果知道了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数？解答：设耐用品销售量为x(t)，可用logistic模型描述x(t)的变化规律，即=kx(N-x),其中N是市场饱和量，k是比例系数，N，k，可由过去若干时期的销售量确定，不妨设,则方程可离散化为,可取或，N和k可由最小二乘法估计。
题目88.在鱼塘中投放尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的质量将增加。
（1）设尾数n(t)的（相对）减少率为常数；由于喂养引起的每尾鱼质量的增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼质量的减少率与质量本身成正比。
分别建立尾数与每尾鱼质量的微分方程，并求解。
（2）用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对减少量表示，记作E，即单位时间捕获量是En(t).问如何选择T和E，使从T开始的捕获量最大。
解答：（1）尾数n(t)满足得.每尾鱼重w(t)满足，不妨近似设w(0)=0，得. （2）设t=T时开始捕捞，且单位时间捕捞率为E，则t T时有，因此得，单位时间捕捞鱼的尾数为En(t)，每尾鱼重w(t)，所以从T开始的鱼捕捞量是，问题为求使y最大，可用数值法求解。
题目99.速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是。
用量纲分析方法确定风车获得的功率P与v,s,的关系。
解答：设,量纲表达式：，解得，故(是无量纲常数)。
题目1010.大陆上物种数目可以看做常数，各物种独立地从大陆向附近一岛屿迁移。
岛上物种数量的增加与尚未迁移的物种数量有关，而随着迁移物种的增加又导致岛上物种的减少。
在适当假设下建立岛上物种数的模型，并讨论稳定状况。
解答：植物、哺乳动物、爬行动物的数量分别记作.若不考虑自然资源对植物生长的限制，则模型为平衡点为P（0，0,0），.1题目1111.下表列出了某城市18位35-44岁经理的年平均收入（千元），风险偏好度和人寿保险额y（千元）的数据，其中风险偏好度是根据发给每个经理的问卷调查表综合评估得到的，它的数值越大就越偏爱高风险。
研究人员想研究此年龄段中的经理所投保的人寿保险额与年均收入及风险偏好度之间的关系。
研究者预计，经理的年均收入和人寿保险额之间存在着二次关系，并有把握的认为风险偏好度对人寿保险额有线性效应，但对于风险偏好度对人寿保险额是否有二次效应以及两个自变量是否对人寿保险额有交互效应，心中没底。
请你通过表2中的数据建立一个合适的回归模型，验证上面的看法，并给出进一步的分析。
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 196 63 252 84 126 14 49 49 266x1 66.2940.9672.99645.0157.20426.85238.122 35.8475.796x2 7 5 10 6 4 5 4 6 9 序号10 11 12 13 14 15 16 17 18 y 49 105 98 77 14 56 245 133 133x1 37.4154.3846.18646.1330.366 39.06 79.3852.76655.916x2 5 2 7 4 3 5 1 8 6最终的回归方程为,且(如模型中加入项，其回归系数置信区间均含零点)。
表明只有经理们的年均收入及其二次项和风险偏好度本身对他们投保的人寿保险额有显著影响。
题目1212.表3给出了某工厂产品的生产批量与单位成本（单位：元）的数据，从散点图可以明显的发现，生产批量在500以内时，单位成本对生产批量服从一种线性关系，生产批量超过500时服从另一种线性关系，此时单位成本明显下降。
希望你构造一个合适的回归模型全面的描述生产批量与单位成本的关系。
生产批量650 340 400 800 300 600 720 480 440 540 750 单位成本 2.48 4.45 4.52 1.38 4.65 2.96 2.18 4.04 4.2 3.1 1.5不同关系，引入一个虚拟变量D，令建立线性回归模型，得到参数参数估计值参考置信区间β0 6.1621 [5.0368,7.2874]β1 -0.0047 [-0.0074,-0.0020]β2 -0.0036 [-0.0076,0.0003]当生产批量小于500时，每增加一个单位批量，单位成本降低0.0047元；当生产批量超过500时，每增加一个单位批量，单位成本降低0.0047+0.0036=0.0083元。
从散点图看，也可以拟合x的二次回归模型.题目1313.在一项调查降价折扣券对顾客的消费行为影响的研究中，商家对1000个顾客发放了商品折扣券和宣传资料，折扣券的折扣比例分别为5%，10%，15%，20%，30%，每种比例的折扣券均发放了200人，现记录他们在一个月内使用折扣券购物的人数和比例数据如表4.折扣比例/% 持折扣券人数使用折扣券人数使用折扣券人数比例5 200 32 0.1610 200 51 0.25515 200 70 0.3520 200 103 0.51530 200 148 0.74比例，建立普通的一元线性回归模型。
（2）直接利用MATLAB统计工具箱中的glmfit命令，建立使用折扣券人数比例与折扣比例的logit模型。
与（1）作比较，并估计若想要使用折扣券人数比例为25%，则折扣券的折扣比例应该为多大？解答：（1）记x为折扣比例，为使用折扣券人数比例，做logit变换,普通的一元线性回归模型为,这里没有给出误差项的形成，利用MATLAB统计工具箱中的命令regress，可算出，通过检验，高度显著。