高中数学变化率和导数
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【例73】设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
⑴求 的解析式；
⑵证明：曲线 的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
⑶证明：曲线 上任一点的切线与直线 和直线 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
【例74】已知抛物线 ： 和 ： ，如果直线 同时是 和 的切线，称 是 和 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．
⑵若 为线段 的中点，求证： 为此抛物线的切线；
⑶试问⑵的逆命题是否成立？请说明理由．
【例79】证明如下命题：
命题：设 是 轴正半轴上的一动点，过 的动直线与抛物线 交于 两点，则过 的抛物线的两切线的交点的轨迹方程为 ，且轨迹上任一点的横坐标一定是该点对应的切点弦 中点的横坐标．
【变式1】设 为直线 上任意一点，过 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ，
A． B． C． D．
【例57】曲线 在点 处的切线与 轴、直线 所围成的三角形的面积为 ，则 ．
【例58】曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）
A． B． C． D．
【例59】求曲线 的斜率等于 的切线方程．
【例60】若曲线 存在垂直于 轴的切线，则实数 取值范围是_____________．
由导数意义可知，曲线 过点 的切线的斜率等于 ．
（二）典例分析：
【例25】已知曲线 上一点 ，用斜率定义求：
⑴过点A的切线的斜率；⑵过点A的切线方程．
【变式】已知曲线 上一点 ，用斜率定义求：
⑴过点A的切线的斜率；⑵过点A的切线方程．
【例26】 函数 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【例27】求函数 的图象上过点 的切线方程．
【例28】曲线 在点 处的切线方程是（）
A． B． C． D．
【例29】求曲线 在点 的切线 方程，与过点 的切线 的方程．
【例30】函数 在点 处的切线方程为（）
A． B． C． D．
【例31】已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为_______．
【例41】设 为曲线 ： 上的点，且曲线 在点 处切线倾斜角的取值范围为 ，则点 横坐标的取值范围为（）
A． B． C． D．
【例42】曲线 在点 处的切线方程为（）
A． B． C． D．
【例43】设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，则曲线 在点 处切线的斜率为（）
A． B． C． D．
【例44】设曲线 在点 处的切线与 轴的交点的横坐标为 ，则 等于（）
【例66】曲线 有两条平行于直线 的切线，求此二切线之间的距离．
【例67】已知曲线 ，求经过点 且与曲线 相切的直线 的方程．
【例68】已知曲线 在点 处的切线 平行直线 ，且点 在第三象限，
⑴求 的坐标；⑵若直线 ，且 也过切点 ，求直线 的方程．
【例69】已知函数 ．
若函数 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 ，求 ， 的值．
A． B． C． D．
【例45】直线 与曲线 相切，则 （）
A． B． C． D．
【例46】已知直线 与曲线 相切，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【例47】在平面直角坐标系 中，点 在曲线 ： 上，且在第二象限内，已知曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则点 的坐标为____．
【例48】若存在过点 的直线与曲线 和 都相切，则 等于（）
【变式】求函数 在 附近的平均变化率，在 处的瞬时变化率与导数．
【例22】⑴已知某物体的运动方程是 ，则当 s时的瞬时速度是_______．
⑵已知某物体的运动方程是 ，则 时的瞬时速度是_______．
【例23】如果某物体做运动方程为 的直线运动（ 的单位为m， 的单位为s），那么其在 s末的瞬时速度为（）
⑵曲线 过点 的切线方程是_________．
【例53】已知曲线 ，则过点 的切线方程是_______．
【例54】已知曲线 ： 及点 ，则过点 可向 引切线的条数为_____．
【例55】曲线 和 在它们的交点处的两条切线与 轴所围成的三角形的面积是______．
【例56】曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）
“当 时， ”，或记作“ ”，符号“ ”读作“趋近于”．
函数在 的瞬时变化率，通常称为 在 处的导数，并记作 ．
这时又称 在 处是可导的．于是上述变化过程，可以记作
“当 时， ”或“ ”．
3．可导与导函数：
如果 在开区间 内每一点都是可导的，则称 在区间 可导．这样，对开区间 内每个值 ，都对应一个确定的导数 ．于是，在区间 内， 构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数 的导函数．记为 或 （或 ）．
【例3】若 ，则 ________．
【变式】若 ，则 _______．
【例4】设 在 可导，则 等于（）
A． B． C． D．
【变式】若 ，则 等于（）
A． B． C． D．
【变式】设 在 处可导， 为非零常数，则 _______．
A． B． C． D．
【例5】设 ，则 （）
A． B． C． D．
【例6】若 ，则当 无限趋近于 时， ______．
⑵ _____．
【例14】⑴ _________；⑵ ________．
【变式】 __________．
【例15】设函数 ，其中 ，已知对一切 ，有 和 ，求证： ．
【例16】如图，函数 的图象是折线段 ，其中 的坐标分别为 ，则 ；函数 在 处的导数 ．
【变式】 如图，函数 的图象是折线段 ，其中 的坐标分别为 ， ， ，则 ；
变化率和导数
要求层次
重难点
导数的概念
A
了解导数概念的实际背景；
理解导数的几何意义．
导数的几何意义
B
（一）知识内容
1．函数的平均变化率：
一般地，已知函数 ， ， 是其定义域内不同的两点，记 ，
，
则当 时，商 称作函数 在区间 （或 ）的平均变化率．
注：这里 ， 可为正值，也可为负值．但 ， 可以为 ．
【例7】已知函数 ，则 的值为 ．
【例8】已知 ，则 的值是（）
A． B． C． D．
【例9】若 ，则 _______．
【例10】已知函数 在 处可导，则 ______．
A． B． C． D．
【例11】计算 ________．
【变式】 _______．
【例12】 ______．
【例13】⑴若 ，则常数 _______．
【例70】已知函数 的图象过点 ，且在点 处的切线方程为 ．求函数 的解析式．
【例71】已知直线 为曲线 在点 处的切线， 为该曲线的另一条切线，且 ，
⑴求直线 的方程；
⑵求由直线 、 和 轴所围成的三角形的面积．
【例72】设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
⑴求 的解析式；
⑵证明：曲线 上任一点处的切线与直线 和直线 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
【例61】曲线 在点 处的切线方程是．
【例62】函数 在点 处的切线方程是（）
A． B． C． D．
【例63】已知函数 在 上满足 ，则曲线 在点 处的切线方程是（）
A． B． C． D．
【例64】已知曲线 ： ，求曲线 上横坐标为 的点的切线方程．
【例65】已知抛物线 通过点 ，且在点 处与直线 相切，求实数 、 、 的值．
【例32】（2008全国一4）
曲线 在点 处的切线的倾斜角为（）
A． B． C． D．
【例33】过点 作曲线 的切线，则切线方程为__________．
【例34】曲线 在点 处的切线方程为__．
【例35】若曲线 与 在 处的切线互相垂直，则 等于（）
A． B． C． D． 或
【例36】设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 （）
求证：直线 必过定点 ，且线段 的中点的横坐标一定对应于 点的横坐标．
A． 或 B．Βιβλιοθήκη 或 C． 或 D． 或【例49】已知函数 的图象在 点处的切线方程为 ，又 点的横坐标为 ，则 ________．
【例50】设曲线 在点 处的切线与直线 平行，则实数 等于（）
A． B． C． D．
【例51】已知函数 和 的图象在 处的切线互相平行，则 _______．
【例52】⑴曲线 在点 处的切线方程是____．
⑴则 取什么值时， 和 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程．
⑵若 和 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．
【例75】设 ，点 是函数 与 的图象的一个公共点，两函数的图象在点 处有相同的切线．试用 表示 ．
【例76】已知曲线 ： 与 ： ，直线 与 都相切，求直线 的方程．
【例77】已知函数 ．
2．函数的瞬时变化率、函数的导数：
设函数 在 附近有定义，当自变量在 附近改变量为 时，函数值相应的改变 ．
如果当 趋近于 时，平均变化率 趋近于一个常数 （也就是说平均变化率与某个常数 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数 称为函数 在点 的瞬时变化率．
“当 趋近于零时， 趋近于常数 ”可以用符号“ ”记作：
导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．
（二）典例分析：
【例1】正三棱锥相邻两侧面所成的角为 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【变式】在正 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（）
A． B． C． D．
【例2】对于任意 都有（）
A． B．
C． D．
A． m/s B． m/s C． m/s D． m/s
【例24】求 在 处的导数．
（一）知识内容
导数的几何意义：
设函数 的图象如图所示． 为过点 与 的一条割线．由此割线的斜率是 ，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点 沿曲线趋近于点 时，割线 绕点 转动，它的最终位置为直线 ，这条直线 叫做此曲线过点 的切线，即 切线 的斜率．
A．2B． C． D．
【例37】设曲线 在点 处的切线与直线 平行，则 （）
A． B． C． D．
【例38】若曲线 的一条切线 与直线 平行，则 的方程为______________．
【例39】若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为（）
A． B． C． D．
【例40】设 为曲线 ： 上一点，曲线 在点 处的切线的斜率的范围是 ，则点 纵坐标的取值范围是__________．
⑴求曲线 在点 处的切线方程；
⑵求曲线 过点 的切线的方程．
⑶设 ，如果过点 可作曲线 的三条切线，证明： ．
⑷求过任一点 能作的曲线 的切线的条数．
【例78】如图，在平面直角坐标系 中，过 轴正方向上一点 任作一直线，与抛物线 相交于 两点，一条垂直于 轴的直线，分别与线段 和直线 交于点 ，
⑴若 ，求 的值；
．（用数字作答）
【例17】下列哪个图象表示的函数在 点处是可导的（）
【例18】函数 在闭区间 内的平均变化率为（）
A． B． C． D．
【例19】求函数 在 到 之间的平均变化率．
【例20】若函数 ，则当 时，函数的瞬时变化率为（）
A．1 B． C．2 D．
【例21】求函数 在 附近的平均变化率，在 处的瞬时变化率与导数．
⑴求 的解析式；
⑵证明：曲线 的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
⑶证明：曲线 上任一点的切线与直线 和直线 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
【例74】已知抛物线 ： 和 ： ，如果直线 同时是 和 的切线，称 是 和 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．
⑵若 为线段 的中点，求证： 为此抛物线的切线；
⑶试问⑵的逆命题是否成立？请说明理由．
【例79】证明如下命题：
命题：设 是 轴正半轴上的一动点，过 的动直线与抛物线 交于 两点，则过 的抛物线的两切线的交点的轨迹方程为 ，且轨迹上任一点的横坐标一定是该点对应的切点弦 中点的横坐标．
【变式1】设 为直线 上任意一点，过 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ，
A． B． C． D．
【例57】曲线 在点 处的切线与 轴、直线 所围成的三角形的面积为 ，则 ．
【例58】曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）
A． B． C． D．
【例59】求曲线 的斜率等于 的切线方程．
【例60】若曲线 存在垂直于 轴的切线，则实数 取值范围是_____________．
由导数意义可知，曲线 过点 的切线的斜率等于 ．
（二）典例分析：
【例25】已知曲线 上一点 ，用斜率定义求：
⑴过点A的切线的斜率；⑵过点A的切线方程．
【变式】已知曲线 上一点 ，用斜率定义求：
⑴过点A的切线的斜率；⑵过点A的切线方程．
【例26】 函数 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【例27】求函数 的图象上过点 的切线方程．
【例28】曲线 在点 处的切线方程是（）
A． B． C． D．
【例29】求曲线 在点 的切线 方程，与过点 的切线 的方程．
【例30】函数 在点 处的切线方程为（）
A． B． C． D．
【例31】已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为_______．
【例41】设 为曲线 ： 上的点，且曲线 在点 处切线倾斜角的取值范围为 ，则点 横坐标的取值范围为（）
A． B． C． D．
【例42】曲线 在点 处的切线方程为（）
A． B． C． D．
【例43】设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，则曲线 在点 处切线的斜率为（）
A． B． C． D．
【例44】设曲线 在点 处的切线与 轴的交点的横坐标为 ，则 等于（）
【例66】曲线 有两条平行于直线 的切线，求此二切线之间的距离．
【例67】已知曲线 ，求经过点 且与曲线 相切的直线 的方程．
【例68】已知曲线 在点 处的切线 平行直线 ，且点 在第三象限，
⑴求 的坐标；⑵若直线 ，且 也过切点 ，求直线 的方程．
【例69】已知函数 ．
若函数 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 ，求 ， 的值．
A． B． C． D．
【例45】直线 与曲线 相切，则 （）
A． B． C． D．
【例46】已知直线 与曲线 相切，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【例47】在平面直角坐标系 中，点 在曲线 ： 上，且在第二象限内，已知曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则点 的坐标为____．
【例48】若存在过点 的直线与曲线 和 都相切，则 等于（）
【变式】求函数 在 附近的平均变化率，在 处的瞬时变化率与导数．
【例22】⑴已知某物体的运动方程是 ，则当 s时的瞬时速度是_______．
⑵已知某物体的运动方程是 ，则 时的瞬时速度是_______．
【例23】如果某物体做运动方程为 的直线运动（ 的单位为m， 的单位为s），那么其在 s末的瞬时速度为（）
⑵曲线 过点 的切线方程是_________．
【例53】已知曲线 ，则过点 的切线方程是_______．
【例54】已知曲线 ： 及点 ，则过点 可向 引切线的条数为_____．
【例55】曲线 和 在它们的交点处的两条切线与 轴所围成的三角形的面积是______．
【例56】曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）
“当 时， ”，或记作“ ”，符号“ ”读作“趋近于”．
函数在 的瞬时变化率，通常称为 在 处的导数，并记作 ．
这时又称 在 处是可导的．于是上述变化过程，可以记作
“当 时， ”或“ ”．
3．可导与导函数：
如果 在开区间 内每一点都是可导的，则称 在区间 可导．这样，对开区间 内每个值 ，都对应一个确定的导数 ．于是，在区间 内， 构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数 的导函数．记为 或 （或 ）．
【例3】若 ，则 ________．
【变式】若 ，则 _______．
【例4】设 在 可导，则 等于（）
A． B． C． D．
【变式】若 ，则 等于（）
A． B． C． D．
【变式】设 在 处可导， 为非零常数，则 _______．
A． B． C． D．
【例5】设 ，则 （）
A． B． C． D．
【例6】若 ，则当 无限趋近于 时， ______．
⑵ _____．
【例14】⑴ _________；⑵ ________．
【变式】 __________．
【例15】设函数 ，其中 ，已知对一切 ，有 和 ，求证： ．
【例16】如图，函数 的图象是折线段 ，其中 的坐标分别为 ，则 ；函数 在 处的导数 ．
【变式】 如图，函数 的图象是折线段 ，其中 的坐标分别为 ， ， ，则 ；
变化率和导数
要求层次
重难点
导数的概念
A
了解导数概念的实际背景；
理解导数的几何意义．
导数的几何意义
B
（一）知识内容
1．函数的平均变化率：
一般地，已知函数 ， ， 是其定义域内不同的两点，记 ，
，
则当 时，商 称作函数 在区间 （或 ）的平均变化率．
注：这里 ， 可为正值，也可为负值．但 ， 可以为 ．
【例7】已知函数 ，则 的值为 ．
【例8】已知 ，则 的值是（）
A． B． C． D．
【例9】若 ，则 _______．
【例10】已知函数 在 处可导，则 ______．
A． B． C． D．
【例11】计算 ________．
【变式】 _______．
【例12】 ______．
【例13】⑴若 ，则常数 _______．
【例70】已知函数 的图象过点 ，且在点 处的切线方程为 ．求函数 的解析式．
【例71】已知直线 为曲线 在点 处的切线， 为该曲线的另一条切线，且 ，
⑴求直线 的方程；
⑵求由直线 、 和 轴所围成的三角形的面积．
【例72】设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
⑴求 的解析式；
⑵证明：曲线 上任一点处的切线与直线 和直线 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
【例61】曲线 在点 处的切线方程是．
【例62】函数 在点 处的切线方程是（）
A． B． C． D．
【例63】已知函数 在 上满足 ，则曲线 在点 处的切线方程是（）
A． B． C． D．
【例64】已知曲线 ： ，求曲线 上横坐标为 的点的切线方程．
【例65】已知抛物线 通过点 ，且在点 处与直线 相切，求实数 、 、 的值．
【例32】（2008全国一4）
曲线 在点 处的切线的倾斜角为（）
A． B． C． D．
【例33】过点 作曲线 的切线，则切线方程为__________．
【例34】曲线 在点 处的切线方程为__．
【例35】若曲线 与 在 处的切线互相垂直，则 等于（）
A． B． C． D． 或
【例36】设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 （）
求证：直线 必过定点 ，且线段 的中点的横坐标一定对应于 点的横坐标．
A． 或 B．Βιβλιοθήκη 或 C． 或 D． 或【例49】已知函数 的图象在 点处的切线方程为 ，又 点的横坐标为 ，则 ________．
【例50】设曲线 在点 处的切线与直线 平行，则实数 等于（）
A． B． C． D．
【例51】已知函数 和 的图象在 处的切线互相平行，则 _______．
【例52】⑴曲线 在点 处的切线方程是____．
⑴则 取什么值时， 和 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程．
⑵若 和 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．
【例75】设 ，点 是函数 与 的图象的一个公共点，两函数的图象在点 处有相同的切线．试用 表示 ．
【例76】已知曲线 ： 与 ： ，直线 与 都相切，求直线 的方程．
【例77】已知函数 ．
2．函数的瞬时变化率、函数的导数：
设函数 在 附近有定义，当自变量在 附近改变量为 时，函数值相应的改变 ．
如果当 趋近于 时，平均变化率 趋近于一个常数 （也就是说平均变化率与某个常数 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数 称为函数 在点 的瞬时变化率．
“当 趋近于零时， 趋近于常数 ”可以用符号“ ”记作：
导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．
（二）典例分析：
【例1】正三棱锥相邻两侧面所成的角为 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【变式】在正 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（）
A． B． C． D．
【例2】对于任意 都有（）
A． B．
C． D．
A． m/s B． m/s C． m/s D． m/s
【例24】求 在 处的导数．
（一）知识内容
导数的几何意义：
设函数 的图象如图所示． 为过点 与 的一条割线．由此割线的斜率是 ，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点 沿曲线趋近于点 时，割线 绕点 转动，它的最终位置为直线 ，这条直线 叫做此曲线过点 的切线，即 切线 的斜率．
A．2B． C． D．
【例37】设曲线 在点 处的切线与直线 平行，则 （）
A． B． C． D．
【例38】若曲线 的一条切线 与直线 平行，则 的方程为______________．
【例39】若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为（）
A． B． C． D．
【例40】设 为曲线 ： 上一点，曲线 在点 处的切线的斜率的范围是 ，则点 纵坐标的取值范围是__________．
⑴求曲线 在点 处的切线方程；
⑵求曲线 过点 的切线的方程．
⑶设 ，如果过点 可作曲线 的三条切线，证明： ．
⑷求过任一点 能作的曲线 的切线的条数．
【例78】如图，在平面直角坐标系 中，过 轴正方向上一点 任作一直线，与抛物线 相交于 两点，一条垂直于 轴的直线，分别与线段 和直线 交于点 ，
⑴若 ，求 的值；
．（用数字作答）
【例17】下列哪个图象表示的函数在 点处是可导的（）
【例18】函数 在闭区间 内的平均变化率为（）
A． B． C． D．
【例19】求函数 在 到 之间的平均变化率．
【例20】若函数 ，则当 时，函数的瞬时变化率为（）
A．1 B． C．2 D．
【例21】求函数 在 附近的平均变化率，在 处的瞬时变化率与导数．