初中数学竞赛精品标准教程及练习34反证法

初中数学竞赛精品标准教程及练习34反证法反证法是数学中一种常用的证明方法，它通过假设待证命题为假，然

后推导出矛盾的结论，从而推断待证命题为真。本文将介绍反证法的基本

思想和应用，并提供一些相关练习。

一、反证法的基本思想

反证法的基本思想是假设待证命题为假，然后推导出矛盾的结论，从

而推断待证命题为真。具体步骤如下：

1.假设待证命题为假。

2.将待证命题的否定形式作为假设，并推导出矛盾的结论。

3.根据矛盾的结论，得出待证命题为真。

二、反证法的应用

反证法在数学竞赛中常用于证明诸如存在性、唯一性、等式、不等式

等问题。下面通过一些例题来说明反证法的具体应用。

例1：证明3的平方根是无理数。

假设3的平方根是有理数，即可以表示为分数的形式，即√3=a/b，

其中a和b互质且b不等于0。将该等式两边平方得到3=a^2/b^2，即

3b^2=a^2、说明a^2为3的倍数。

根据整数的唯一分解定理，如果一个整数的平方是3的倍数，那么该

整数也是3的倍数。假设a不是3的倍数，则可以得出a^2不是3的倍数，与前面的结果矛盾。

所以，假设不成立，即3的平方根是无理数。

例2：已知一条直线与平面上两个不在同一条直线上的点A和B重合，证明该直线与平面上所有点重合。

假设该直线与平面上其他点C不重合，即不在同一条直线上。由于直

线与平面上的任意两点确定一条直线，所以A、B、C三点确定三条不同的

直线。由于A、B两点与直线重合，所以这三条直线相交于同一点，即A、B、C三点共线，与题设矛盾。

所以，假设不成立，即该直线与平面上所有点重合。

三、练习题

1.证明：不存在最大的自然数。

2.已知a、b、c是正整数，且满足a^2+b^2=4c^2，证明a和b不能

同时为奇数。

3.证明：根号2是无理数。

4.已知a、b、c是正整数，且满足a^2+b^2=c^2，证明a、b、c不能

同时为奇数。

以上是一些关于反证法的练习题，希望你能通过这些练习加深对反证

法的理解和应用。

反证法是一种常用的数学证明方法，通过假设待证命题为假，推导出

矛盾的结论，从而推断待证命题为真。在数学竞赛中，掌握并灵活运用反

证法，将能够解决更多的问题，提高解题能力。