初中数学竞赛精品标准教程及练习34反证法
初中数学竞赛：反证法
初中数学竞赛：反证法判断一个命题是否正确，既可以直接证明，又可以间接证明．反证法就是一种间接证明的推理方法，它的推理思路是首先提出反设——在已知条件下，暂时否定待证结论，提出与结论相反的假设；其次，推出矛盾——从反设出发，结合已知条件，通过严密推证，导出与已知公理、定理、定义或题设相矛盾的结果；然后，肯定结论——出现矛盾，因为是“否定结论”的结果，所以“反设”不成立，从而肯定命题是正确的．一般地，待证命题的结论中出现“至多”、“至少”、“相等”、“不等”、“存在”、“不存在”、“唯一”、“不唯一”、“有理”、“无理”等断语时，常可考虑用反证法．实际上，反证法适用于证明任何问题，只不过有时简捷，有时复杂就是了．例1 在同一平面内，平行于同一直线的两条不同直线必定平行．已知：(如图3－120)直线a，b，c中，a∥c，b∥c．求证：a∥b．证(1)提出反设：假定a b．(2)推出矛盾：由于a b，那么a，b必相交于一点，设为P．因为a∥c，b ∥c，那么过P点有a，b两条直线同时平行于c，与平行公理矛盾．(3)肯定结论：由(2)可知假设a b错误，所以a∥b．说明 (1)本题证明中，利用“平行与相交”互为否定．(2)本题证明中，写出了“(1)提出反设；(2)推出矛盾；(3)肯定结论”，目的是使读者体会反证法的论证步骤，在实际证明时，不必写出这三个小标题，直接写出反证法的证明过程即可．例2 如图3－121．在△ABC中，∠A的外角平分线与BC的延长线交于E，求证：AB＞AC．分析 AB＞AC的否定是AB≤AC，而AB≤AC只有两种情况：AB=AC和AB＜AC．以下就根据这两种情况推出矛盾．证 (1)若AB=AC，则∠B=∠3．又∠1=∠2，所以所以AE∥BE，此与AE与BC交于E矛盾，所以AB≠AC．(2)若AB＜AC，则∠B＞∠3，所以2∠B＞∠B+∠3．又∠B+∠3=∠1+∠2，∠1=∠2，所以∠B+∠3=2∠1，所以2∠B＞2∠1，所以∠B＞∠1．此与外角定理∠B＜∠1相矛盾，所以AB AC．由(1)，(2)得AB＞AC．说明本题结论的否定出现两种情况，即AB=AC和AB＜AC．利用反证法证明时，必须对原结论否定得彻底，即把原结论的所有可能方面一一否定后，分别推出矛盾，最后才能肯定待证结论的正确性．例3 求证：当x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根时，必有bc≠0．分析这个命题的条件是：如果x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根，结论是：那么bc≠0．而bC≠0的否定是bc=0，而bc=0有三种情况：(1)b=0，C=0；(2)b=0，c≠0；(3)b≠0，c=0．证假设bc=0．(1)若b=0，c=0，方程变为x2=0，那么x1=x2=0是方程x2+bx+c2=0的根，这与已知条件中方程有两个不相等的非零实数根矛盾．(2)若b=0，c≠0，方程变为x2+c2=0，则x2+c2≠0，与x2+bx+c2=0矛盾．(3)若b≠0，c=0，方程变为x2+bx=0，方程根为x1=0，x2=-b这与条件中方程有二个非零实数根矛盾．综合(1)，(2)，(3)可知bc≠0．例4 证明：x2-xy+y2+x+y不可能分解为两个一次因式的乘积．分析否定命题结论，然后利用恒等式比较系数，设法推出矛盾．证假设多项式x2-xy+y2+x+y能分解为两个一次因式的乘积，因为x2-xy+y2+x+y中不含常数项，所以上式可分解为(ax+by)(cx+dy+e)(其中a，b，c，d，e均不为0)，所以x2-xy+y2+x+y=(ax+by)(cx+dy+e)=acx2+(ad+bc)xy+aex+bdy2+bey．比较系数得由①，④得c=e，由③，⑤得d=e，从而c=d=e．又由④，⑤得a=b，所以②为ad+be=bd+bd=2bd=-1，所以多项式x2-xy+y2+x-y不可能分解为两个一次式的乘积．为基础，推出矛盾即可．则为偶数．设b=2m(m是整数)，则b2=4m2，那么2a2=4m2，所以a2=2m2，所以a2是偶数，则a必是偶数，所以a=2n(n是整数)．这样，a，b有公例6 已知点E，F，G，H分别在单位正方形ABCD的四边上(图又四边形EFGH的四个内角中，至少有一个内角不大于90°(否则，四边形内角和将大于360°)，因此，不妨设∠EFG≤90°，则EG2≤EF2+EG2(可根据勾股定理及广勾股定理证明．请读者自证)，所以EG2＜1，EG＜1．但在正方形ABCD中，AB∥CD，且AB与CD间距离为1，所以EG≥1，与EG＜1矛盾．说明在利用反证法证题时，推出的矛盾，可以是推出的事实与已知条件、已知定义、公理、定理相矛盾，也可以是推出的事实(如本题中的EG＜1)与推出的事实(如本题中的EG≥1)相矛盾．这一点要根据推证过程，灵活判断．例7 已知m，n，p都是正整数，求证：在三个数中，至多有一个数不小于1．证假设a，b，c中至少有两个数不小于1，不妨设a≥1，b≥1，则m≥n+p，n≥p+m．两式相加，得2p≤0，从而p≤0，与p是正整数矛盾．所以命题成立．说明“不妨设”是为了简化叙述，表示若有b≥1，c≥1和a≥1等其他各种情况时，证明过程是同样的．没有完全平方数．分析与证明 (1)我们先来观察这一串数有什么特征．11=2×5+1，111=2×55+1，1111=2×555+1，………………(2)我们再用反证法来证明这一命题．因为上式右端为偶数，所以a2-1也是偶数，所以a2为奇数．但a2-1=(a+1)(a-1)，由于(a+1)与(a-1)均为偶数，故可设a+1=2m，a-1=2n．这样练习二十一1．△ABC中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，且BE=CF，求证：AB=AC．2．如图3－123．D点在△ABC的内部，AB=AC，DB＞DC，求证：∠ADB＜∠ADC．3．实数a，b，c满足a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，且abc＞0．试证：a，b，c 都是正数．4．已知a＞b＞c，且a+b+c=0，则二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根．数．。
初中数学竞赛培优辅导反证法和构造法(含答案)
培优辅导 反证法和构造法一、选择题:1．若假设“整数a,b,c 中恰有一个偶数”不成立，则有（ ） A 、a,b,c 都是奇数 B 、a,b,c 都是偶数C 、a,b,c 中至少有两个偶数D 、a,b,c 都是奇数或至少有两个偶数 2．已知△ABC 的周长为18，c b a 、、三边的关系为c b a ≤≤,则( ) A 、a <6 B 、a >6 C 、a >7 D 、6≤a3．A 、B 、C 、D 、E 、F 、六个足球队单循环赛，已知A 、B 、C 、D 、E 五个队已经分别比赛了5、4、3、2、1场，则还未与B 队比赛的球队是（ ）A 、C 队B 、D 队C 、E 队D 、F 队 4．设等式在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不同的实数，则的值是( )A 、3B 、31 C 、2 D 、35 5．关于x 的一元二次方程2a x 2-2x-3a-2=0的一根大于1，另一根小于1，则a 的取值范围是 （ ）A 、a ＞0或a ＜-4．B 、a ＜-4．C 、a ＞0．D 、－4＜a ＜0．二、填空题6．用反证法证明：“三角形中最多有一个角是直角或钝角。
”时，第一步应反设:________________________________________________. 7．不查表可求得=︒5.22cot _________.8．321-+-++x x x 的最小值是______________.9．若28,1422=++=++x xy y y xy x ，则=+y x _________.10．已知))((4)2a c b a c b --=-（且0≠a ,则acb +=______________.三、解答题11．设 c b a ,, 为互不相等的非零实数，求证三个方程：022=++c bx ax ，022=++a cx bx ，022=++b ax cx 不可能都有两个相等的实数根。
初中数学《反证法》课后练习
假设
．
9．用反证法证明 “若| a| ≠| b| ，则 a≠b”时，应假设
．
10．用反证法证明 “如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等
腰三角形 ”的第一步
．
三、解答题
11．用反证法证明： 两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
《反证法》课后练习
一．选择题
1．用反证法证明命题：如果 AB⊥CD， AB⊥ EF，那么 CD∥EF，证明的第一个步
骤是（ ）
A．假设 CD∥EFB．
B.假设 AB∥EF
C．假设 CD和 EF不平行 D．假设 AB 和 EF不平行
2．用反证法证明 “＞ａb”时，应假设（ ）
A．a＜b B．a≤b C．a≥b D．a≠b 3．用反证法证明 “若 a＞b＞0，则 a2＞b2”，应假设（ ） A．a2＜ b2 B．a2=b2 C．a2≤b2 D．a2≥b2
4．用反证法证明命题 “三角形中必有一个内角小于或等于 60°时”，首先应假设这
个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于 60° B．每一个内角都小于 60°
C．有一个内角大于 60° D．有一个内角小于 60°
5．用反证法证明命题： “四边形中至少有一个角是钝角或直角 ”，我们应假设（ ）
A．没有一个角是钝角或直角 B．最多有一个角是钝角或直角
C．有 2 个角是钝角或直角 D．4 个角都是钝角或直角 二．填空题
6．已知△ ABC中，AB=AC，求证：∠ B＜90°，若用反证法证这个结论，应首先假
设
．Байду номын сангаас
7．用反证法证明： “三角形中最多有一个钝角 ”时，首先应假设这个三角形
漫谈初中数学解题中的“反证法”
61学子 ２０１７．０５数学教学漫谈初中数学解题中的“反证法”王玉琴一、“反证法”解题方法在解题中，反证法一般分为三步：1.提出假设：做出与所要求证的结论相反的假定。
2.推理求证：由“假设”出发进行推理，得出与定义、定理、公理或与题设相矛盾的结论。
3.得出结论：根据“矛盾”得出假设不成立，原求证结论正确。
反证法的步骤好理解和掌握，关键是要反设正确，在结论的方面呈多种情况或比较隐晦时，在反设时就比较困难，现将其中常用的互为否定形式词语总结如下：其中，在至少有一个、至多有n 个、至多有一个等证明结论的反设上，需要更为细心的琢磨，让学生明白一个也没有、至多有二个、至多有n 个的深刻含义，从而顺利进行证明。
反证法的使用，使得一些数学试题的解决简单便捷。
二、“反证法”例题展示１．定理性命题的证明在数学的基本定理中，利用“反证法”来证明，更便捷、具有说服力。
案例１：勾股定理的证明如图所示，在直角三角形△ABC 中，∠C=90°，三个边长分别为a、b、c，求证：c2=a2+b2.证明：过C 点作斜边AB 上的垂线于D，假设a 2+b 2 ≠ c 2，即AC 2+BC 2≠AB 2，根据三角形的中垂线定理可得：AB 2=AB•AB=AB（AD+BD）=AB•AD+AB•BD 根据假设又知：AC2≠AB•AD，BC2≠AB•BD 即AD：AC ≠AC：AB，或者BD：BC ≠BC：AB，在△ADC 和△ACB 中，因为∠A=∠A，则当AD：AC ≠AC：AB 时，∠ADC ≠∠ACB；在△CDB 和△ACB 中，因为∠B=∠B，则当BD：BC ≠BC：AB 时，∠CDB ≠∠ACB，又因为∠ACB=90°，所以∠ADC ≠90°，∠CDB ≠90°，这与CD ⊥AB 是矛盾的，所以AC 2+BC 2≠AB 2不成立，则有：AC 2+BC 2=AB 2，即c 2=a 2+b 2２．无限性命题的证明“无限”、“无穷”等概念，往往出现在求证命题中，正面证明缺乏一定的头绪，而“反证法”使得解题变得非常简单。
中学数学竞赛中的反证法
≤
一
ｌ
１
矛 盾．
恰当地选择一 类量 ． 并作 出关 于这类量
矛盾 ． 故 最 小值 是 ９ ．
பைடு நூலகம்
３ ． 命题不易证 明时． 例４ 在 空间 中给 出８ 个 已知点 ． 其
的某个最大量 或最小量 的假设 ． 叫做反
证法 的优化假设 ． 反 证法 中个 优化假设
⑧ 结束语
２ （ Ｊ ｝ 一 ＋ ｆ ２ 一 ｎ ） ＝ 一 １矛盾 ．
于是 ， 偶数 ， 令
２ ｘ ］ 一 ４ ３ ＝
明存在 性 ． 但从 局部 看 。 证 明 的最后 ～
部分是反证法 ．用来证 明所构造 的Ｊ Ｐ 符 合本 题的要 求．因此 这是 构造性证 明
中 的局 部 反 证 ．
先看下 面一个例子． 例 ６ 设Ｅ 是 平 面上 ２ ｎ 个 点构 成 的
论构 成 的 ． 一个命 题 是真 ． 就是从 题设
出发 能够依 逻辑推理推 出结论 ． 我们要
问在推理 时 。仅从几个 题设条件 出发 ，
不加入其他 因素 ． 凭逻辑推理 能完成推
＼ｎ ｌ ／ ＼ｎ ｌ ／ ｎｌ
（ 此式右端为整数 ） ．
但 不是整数 ． 所 以 ｍ２ 不是 整 数
．
盾． 故原命 题成 立” ．至 此 ． 命题 的证 明 般地 ．在反证法 的使用过程 中 ．
于是 １ ０ ０ ≤２ ≤２ 吼≤３ ・ ２
３・ ２ 吼＿ ３ ≤ ３・ ２ ３・ ２ ≤ ３・ ２ ￣ ＝ ９ ６，
投 稿邮 箱：
业 ： ………………… … 数学ｔ ｌ ｔ ￣ｔ ｌ ｉ Ｒ （ 中等教育 ） ……………………………试 题 研 究＞ 解 题 技 巧
初中数学反证法
初中数学反证法在初中数学的学习中，我们会接触到各种各样的解题方法，其中反证法是一种独特而富有魅力的方法。
它就像是数学世界中的“逆向思维魔法”，常常能帮助我们在看似无解的困境中找到出路。
反证法，顾名思义，就是先假设命题的结论不成立，然后通过一系列的推理，得出与已知条件、定理、公理等相互矛盾的结果，从而证明原命题的结论是正确的。
这种方法听起来似乎有点绕，但其实只要我们深入理解，就能发现它的巧妙之处。
为了更好地理解反证法，让我们来看一个简单的例子。
假设要证明“在一个三角形中，最多只能有一个直角”。
我们先假设在一个三角形中可以有两个或三个直角。
如果有两个直角，那么三角形的内角和就会超过 180 度，这与三角形内角和是 180 度这个定理相矛盾。
同样，如果有三个直角，内角和更是远远超过 180 度，这显然是不可能的。
所以，我们的假设是错误的，从而得出在一个三角形中最多只能有一个直角的结论。
再比如，证明“根号 2 是无理数”。
如果假设根号 2 是有理数，那么它可以表示为一个既约分数 p/q（p、q 为整数，且互质），即根号 2 ＝p/q，两边平方得到 2 ＝ p^2/q^2，即 p^2 ＝ 2q^2。
由此可知 p^2 是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以 p 也是偶数。
不妨设 p ＝ 2m，代入上式得到 4m^2 ＝ 2q^2，即 2m^2 ＝ q^2，这又说明 q 也是偶数。
但是 p、q 都是偶数，这与 p、q 互质矛盾。
所以，假设不成立，根号 2 是无理数。
反证法的应用范围非常广泛。
在几何证明中，当直接证明某个结论比较困难时，反证法常常能发挥意想不到的作用。
比如在证明“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”时，就可以使用反证法。
假设过直线外一点有两条直线与已知直线平行，然后通过一系列的推理，会得出与平行公理相矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
在代数中，反证法也有很多用武之地。
例如，证明方程 x^5 ＋ x 1＝0 只有一个正实数根。
初中数学 导学案：反证法
反证法【学习目标】知识与能力：通过实例，体会反证法的含义，培养用反证法简单推理的技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。
过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。
【学习重难点】学习重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题。
学习难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”。
【学习过程】一、学前准备1、复习回顾两点确定条直线；过直线外一点有且只有条直线与已知直线平行；过一点有且只有条直线与已知直线垂直。
2、看故事并回答：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的吗?答：。
他运用了怎样的推理方法? 答：。
3、自学课本162页内容：（1）反证法的定义：在证明一个命题时,人们有时先假设不成立,然后从这个假设出发,经过，得出与、，21H FG E DCBA已证明的 、或 等相矛盾的结果,从而得出假设的结论不成立,从而说明命题的结论正确的.这种证明方法叫做反证法.反证法证题的基本步骤：1．假设 ；（反设）2．从这个假设和 出发，经过 ，得出与 、 ，已证明的 、 或 等相矛盾的结果；（归缪）3．由 ，判定假设不成立，从而说明 是正确的.（结论） 二、自学、合作探究1、用具体例子体会反证法的含义及思路 例1、已知：在△ABC 中，AB ≠AC 求证：∠B ≠ ∠ C证明：假设 ，则 这与 矛盾．假设不成立． ∴ ．例2、用反证法证明平行线的性质定理一： 。
初中数学竞赛竞赛辅导反证法和构造法(含答案)
竞赛辅导 反证法和构造法一、选择题:1．设c b a ,,为实数，,22,62,32222πππ+-=+-=+-=c c z c b y b a x 则z y x ,,中，至少有一个值（ ）（A ）大于0 （B ）等于0 （C ）不大于0 （D ）小于0 2．在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）5 3.已知实数b a ≠，且满足)1(33)1(2+-=+a a ，2)1(3)1(3+-=+b b ,则baaa b b + 的值为（ ）（A ）23 （B ）23- （C ）2- （D ）13- 4．当220041+=x 时，多项式20053)200420074(--x x 的值是（ ） (A)1 (B)－1 (C)22005 (D)－ 220055．已知c >1，12,1,1+-+=-+=--=c c z c c y c c x 则x ，y ，z ，的大小关系是 （ ）（A ）x ＞y ＞x （B ）z ＞x ＞y （C ）y ＞x ＞z （D ）z ＞y ＞x二、填空题6、若a 是整数，2a 是偶数，则a 为 .7．已知三角形的3边互不相等，则过某一顶点且分原三角形为两个全等三角形的线段共5有__________条.8．对于实数x ，y ，定义一种新的运算“*”：x*y=ax+by+c ，其中a 、b 、c 为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算．已知3*5=15，4*7=28，那么1*1=_______． 9、20042005×20052004-20042004×20052005=______________.10．实数x 、y 、z 满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z 的最大值是________.三、解答题11．设2121,,,b b a a 都是实数，21a a ≠，满足1))(())((22122111=++=++b a b a b a b a ，求证：1))(())((22211211-=++=++b a b a b a b a .12．求代数式1342222+-+++x x x x 的最小值。
初一数学竞赛专讲第⑵讲含例题及答案：数论的方法技巧(下)
初一数学竞赛讲座第2讲数论的方法技巧（下）四、反证法 反证法即首先对命题的结论作出相反的假设，并从此假设出发，经过正确的推理，导出矛盾的结果，这就否定了作为推理出发点的假设，从而肯定了原结论是正确的。
反证法的过程可简述为以下三个步骤： 1．反设：假设所要证明的结论不成立，而其反面成立； 2．归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾； 3．结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。
运用反证法的关键在于导致矛盾。
在数论中，不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。
解：如果存在这样的三位数，那么就有 100a+10b+c=（10a+b）+（10b+c）+（10a+c）。
上式可化简为80a=b+c，而这显然是不可能的，因为a≥1，b≤9，c≤9。
这表明所找的数是不存在的。
说明：在证明不存在性的问题时，常用反证法：先假设存在，即至少有一个元素，它符合命题中所述的一切要求，然后从这个存在的元素出发，进行推理，直到产生矛盾。
例2 将某个17位数的数字的排列顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加。
试说明，得到的和中至少有一个数字是偶数。
解：假设得到的和中没有一个数字是偶数，即全是奇数。
在如下式所示的加法算式中，末一列数字的和d+a为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b+c≤9。
将已知数的前两位数字a，b与末两位数字c，d去掉，所得的13位数仍具有“将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数”这一性质。
照此进行，每次去掉首末各两位数字，最后得到一位数，它与自身相加是偶数，矛盾。
故和的数字中必有偶数。
说明：显然结论对（4k+1）位数也成立。
但对其他位数的数不一定成立。
如12+21，506+605等。
例3 有一个魔术钱币机，当塞入1枚1分硬币时，退出1枚1角和1枚5分的硬币；当塞入1枚5分硬币时，退出4枚1角硬币；当塞入1枚1角硬币时，退出3枚1分硬币。
初中数学竞赛专题反证法与同一法(有答案)
初中数学竞赛专题反证法与同一法(有答案)板块一反证法反证法反证法是一种间接证法．为了证明某个命题的正确性，先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题正确的目的，这种方法就是反证法．反证法的逻辑根据是“排中律”：对于同一思维对象，所作的两种互相对立的判断只能一真一假、反证法就是通过证明结论的反面不真而肯定结论为真的一种证明方法．用反证法证明一个命题的正确性的步骤，大体上分为：（1）反设：假设结论的反面成立；（2）归谬：由反设及原命题的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾；（3）结论：否定反设，肯定原命题正确．按照反设所涉及到的情况的多少，反证法可分为归谬反证法与穷举反证法．1．若结论的反面只有一种情形，那么，反设单一，只须驳倒这种情形，便可达到反证的目的．这叫归谬反证法．2．若结论的反面不只一种情形，那么，要将各种情形一一驳倒，才能肯定原命题正确，这叫穷举反证法．【例1】设)0是一次函数()0y ax b a=+≠上一点，试证y ax b=+的图象至多只能通过一个有理点（横坐标和纵坐标都是有理数的点）．【解析】将x=，0y=代入y ax b=+，得b=，于是(y a x=，设()0y a x b a=+≠的图象上有两个不同的有理点()11x y，、()22x y，，则1x、1y、2x、2y都是有理数，且((1122y a xy a x⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去a，变形得122121x y x yy y--知识导航夯实基础反证法与同一法因为12x x ≠，则12y y ≠，所以上式左端是有理数，它不可能等于无理数，故()0y ax b a =+≠的图象至多只能通过一个有理点．【备选】 求证:平面上任意两个不同的整点到点P 的距离都不相等． 【解析】 假设结论不成立，则平面上两个不同的整点(,)A a b 、(,)B c d （其中a 、b 、c 、d 都是整数）使得AP BP =．由22AP BP =可得2222((((a b c d -+-=-+-，即22222(2(a c b d a b c d --+--，从而22222228()12()8()(()a c b d a c b d a b c d -+-+--=+--，进而可得22222228()(()8()12()a c b d a b c d a c b d --+------， 因此()()0a c b d --=．⑴ 若0a c -=，则0b d -=，从而a c =，b d =，A 、B 重合． ⑵ 同理，若0b d -=，A 、B 重合．习题1. 若0a ≠，则关于x 的方程0ax b +=的解是唯一的．【解析】 因为0a ≠，则bx a=-是0ax b +=的一个解，假设0ax b +=的解不是唯一的，不妨设1x 、2x 都是0ax b +=的解，这里12x x ≠，则 10ax b += ①20ax b += ② ①-②得 ()120a x x -=由于12x x ≠，所以120x x -≠，则0a =，这与0a ≠矛盾． 故若0a ≠，则x 的方程0ax b +=的解是唯一的．【点评】证明的第一行是说明解的存在，在这种情况下，结论“解是唯一的”的否定是“至少有两个解”，但本题的反设是“若1x 、2x （12x x ≠）是0ax b +=的解”，其实，这里省去了“只要有两个不同的解，就能导出矛盾，当然不可以有更多的不同的解”的推理．【例2】 平面上有一点P 及ABC △，若PB PC AB AC +>+，求证：点P 在ABC △外部． 【解析】 假设点P 不在ABC △外部，则有如下几种可能：⑴ 若点P 在BC 边上（如下左图）．由PB PC BC AB BC +=<+，与已知矛盾，所以点P 不可能在BC 边上． ⑵ 若点P 在AC （或AB ）边上（不包括端点）（如下中图），则PB AB AP <+所以PB PC AB AP PC AB AC +<++=+与已知矛盾，所以点P 不可能在AC （或AB ）边上．PCBAAB C PD ABC P⑶ 若P 与A 重合，显然PB PC AB AC +=+，与已知矛盾，故点P 不可能是A 点． ⑷ 若点P 在ABC △内（如上页右图），延长BP 交AC 于D ，则AB AD BP PD +>+ ① PD DC PC +> ②①+②得AB AD PD DC BP PD PC +++>++初中数学竞赛专题反证法与同一法(有答案)即AB AC PB PC +>+，与已知矛盾，所以点P 不在ABC △内． 由以上⑴～⑷知，点P 必在ABC △外．习题2. 如右图，在凸四边形ABCD 中，若AB BD AC CD ++≤，求证：AB AC <．DCB A【解析】 设AB AC ≥，则ACB ABC ∠∠≥，因为ABCD 是凸四边形，所以BCD ACB ∠>∠，ABC DBC ∠>∠，则B C D D B C ∠>∠，于是BD CD >，故A B B D A C C D +>+，与已知条件矛盾，因此，AB AC <得证．习题3. 在同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a 与b 相交，c a ⊥，d b ⊥，则c 与d 也相交．【解析】 假设c d ∥，因为a c ⊥，所以a d ⊥，又因为b d ⊥，所以a 、b 平行，这与已知条件a与b 相交矛盾，故c 与d 也相交．【例3】 在四边形ABCD 中，OA OC =，ABC ADC ∠=∠，求证：ABCD 是平行四边形．【解析】 若OB OD =，则显然ABCD 是平行四边形．若OB OD ≠，不妨设OB OD >，则在OB 上取点'B ，使得'OB OD =，连结''AB B C 、，则四边形'AB CD 是平行四边形，则'ADC AB C ABC ∠=∠>∠，矛盾！ 故ABCD 是平行四边形．习题4. 已知在四边形ABCD 和''''A B C D 中，''AB A B =，''BC B C =，''CD C D =，''DA D A =，且AB CD ∥，''''B C D A ∥．证明：这两个四边形都是平行四边形．探索提升【解析】 显然，若AB CD =则结论成立．否则，不妨设AB CD >，BC DA >．如图，在线段BA 上截取BE CD =，连结DE ； 则四边形EBCD 是平行四边形，DE BC =． 同样，在线段''B C 上截取'''B F A D =， 则'''A B FD 是平行四边形，'''D F A B =．那么'''''AB CD AE ED AD BC AD B C A D FC -=>-=-=-=，'''''''D F C D A B C D AB CD >-=-=-，矛盾!即两个四边形均是平行四边形．【例4】 G 是ABC △的重心，若AB GC ACGB +=+，则AB AC =．BB【解析】 若AB AC ≠，不妨设AB AC >，通过倍长中线可得CAG BAG ∠>∠，作点C 关于AG 的对称点'C ，则由“8字模型”，''AB GC AC GB +>+， 可得AB GC AC GB +>+，矛盾！故AB AC =．【例5】 试证明雷米欧司—斯坦纳定理：内角平分线相等的三角形是等腰三角形．非常挑战初中数学竞赛专题反证法与同一法(有答案)FEDCB A【解析】 如图，若AB AC >，则一方面， ACB ABC ∠>∠，DCB EBC ∠>∠，在DBC △和EBC △中，CD BE =，BC CB =于是BD CE > ……① 另一方面，作DBEF □，则BE DF =，又BE CD = ∴FDC △为等腰三角形，其中DF DC = ∴FCD DFC ∠=∠，而ABE ACD ∠<∠∴EFC ECF ∠>∠，从而EC EF BD >= ……② 综合①、②，矛盾．【备选】 设凸五边形ABCDE 的各边相等，并且A B C D E ∠∠∠∠∠≥≥≥≥，求证：此五边形是正五边形．【解析】 假设A E ∠>∠，那么在BAE △和AED △中，由BAE AED ∠>∠可得BE AD >；因此，在ABD △和EBD △中，由BE AD >可得BDE ABD ∠>∠．另外，由BC CD =可得BDC CBD∠=∠，结合BDE ABD ∠>∠可得CDE CBA ∠>∠，而这与已知条件B D ∠≥∠矛盾．所以A E ∠≤∠，结合已知条件可得A B C D E ∠=∠=∠=∠=∠，得证．本题中，多次使用了“两边对应相等的两个三角形中，夹角越大，则第三边也越大；反之亦然”这一定理．板块二 同一法同一法在符合同一法则的前提下，代替证明原命题而证明它的逆命题成立的一种方法叫做同一法．同一法是间接证法的一种．当要证明某种图形具有某种特性而不易直接证明时，使用此法往往可以克服这个困难．用同一法证明的一般步骤是:(1)不从已知条件入手，而是作出符合结论特性的图形； (2)证明所作的图形符合已知条件；(3)推证出所作图形与已知为同一图形．【例6】 在等腰ABC △中，AB AC =，36A ∠=︒，D 是AC 上的一点，满足AD BC =；求证：（1）ABD CBD ∠=∠；（2）BD BC =．【解析】 由点D 的唯一性，利用同一法可以轻松解决问题．【例7】 在ABC △中，D 是BC 边上一点，40B ∠=︒，30BAD ∠=︒，AB CD =，求C ∠．探索提升知识导航初中数学竞赛专题反证法与同一法(有答案)【解析】 在BC 所在直线上找点'C ，使得'AC AB =，连结'AC则'40C ∠=︒，70ADC ∠=︒，那么'70DAC ∠=︒，由此''DC AC AB DC ===，即C 、'C 重合．所以40C ∠=︒．习题5. 在ABC △中，D 是BC 边上一点，42B ∠=︒，27BAD ∠=︒，AB CD =，求C ∠．【解析】 说明：答案为42︒；题目可进一步变成“在ABC △中，D 是BC 边上一点，B α∠=，BAD β∠=，32180αβ+=︒，AB CD =，求C ∠”．【备选】 在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90B C ∠+∠=︒，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：()12EF BC AD =-．【解析】 延长BA 、CD 交于点P ，连结PF 交AD 于点'E ，利用线束定理容易证明'E 即为AD 的中点，那么E 、'E 重合，则1122EF PF PE BC AD =-=-，得证．【例8】 在ABC △中，AD 是角平分线，I 是AD 上一点，且1902BIC BAC ∠=︒+∠，则I 为ABC △的内心．【解析】 设'I 为三角形的内心，显然'I 必在AD 上，且1'902BI C BAC ∠=︒+∠．若点I 在'AI 上，非常挑战易得1902BIC BAC∠<︒+∠；若点I在'I D上，易得1902BIC BAC∠>︒+∠．所以，点I与点'I重合，即I为三角形的内心．习题6.如图，I是ABC△的BAC∠的角分线上一点，直线MN过点I，与A B A C、边分别交于点M N、，且ABI NIC∠=∠，ACI MIB∠=∠．求证：I是ABC△的内心．【解析】1180902BIC MIB NIC BAC∠=︒-∠-∠==︒+∠，结合上题结论可知，I是ABC△的内心．。
初中数学竞赛证明三点共线
初中数学竞赛证明三点共线要证明三点共线，我们可以使用反证法。
假设有三个点A,B和C，我们要证明它们共线。
那么我们可以假设它们不共线，即A,B和C不在同一条直线上。
首先，我们可以连接AB和AC这两条线段。
这样我们就得到了一个三角形ABC。
在三角形ABC中，我们可以找到一个内角D，使得D是一个钝角。
我们假设D是钝角。
现在，我们将点B向点C移动。
点B移动到B'，新的线段BB'与AC相交于点E。
由于AB'与AC相交于E，所以根据隐含的直角定理，我们可以得知E是一个直角，即∠AEB'=90°。
同理，我们将点C向点B移动，点C移动到C'，新的线段CC'与AB相交于点F。
由于AC'与AB相交于F，我们可以得知F是一个直角，即∠AFC'=90°。
现在，我们来考虑线段BB'和CC'的关系。
根据直线的传递性，我们可以得知∠EAF'=∠CFB'。
同时，根据直角的性质，我们可以得知∠EAF'=∠CAF'和∠CFB'=∠CBF'。
因此，∠CBF'=∠CAF'。
现在，考虑三角形BC'F'和AC'F'。
根据共边原理，我们可以得知∠C'BF'=∠A'CF'和∠F'CB'=∠F'CA'。
因此，∠C'BF'=∠A'C F'。
现在，我们来考虑三角形BC'F'和BA'F'。
根据角边对应原理，我们可以得知∠C'BF'=∠B'AF'和∠F'CB'=∠F'BA'。
因此，∠C'BF'=∠B'AF'。
现在，我们来考虑线段ABB'和ACC'的关系。
初二反证法练习题
初二反证法练习题反证法是一种证明方法，通过否定所要证明的结论，推导出矛盾的结果，从而得出结论的方法。
初中数学中，反证法被广泛应用于各种问题的解决中，能够培养学生的逻辑思维和推理能力。
下面，我将为大家提供一些初二反证法练习题，帮助大家更好地理解和掌握这一方法。
1. 问题描述：证明：不存在一个整数 x，满足方程 x² = -1。
解答思路：假设存在一个整数 x，满足方程 x² = -1。
根据平方根的定义，x²的平方根是一个数 y，满足 y² = x²。
此时，我们来考虑平方根 y 的取值：- 如果 y 是一个正整数，那么 x² = y²一定是一个正整数，与方程 x²= -1 矛盾。
- 如果 y 是一个负整数，那么 x² = y²一定是一个正整数，同样与方程 x² = -1 矛盾。
- 如果 y 是一个分数，那么 x² = y²一定是一个正数，但不是一个整数，也与方程 x² = -1 矛盾。
因此，无论 y 取什么值，都无法满足方程 x² = -1，所以不存在一个整数 x，满足该方程。
2. 问题描述：证明：根号2 是一个无理数。
解答思路：假设根号2 是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值，即根号2 = m/n（其中 m 和 n 为互质的整数，n ≠ 0）。
根据根号2 的定义，我们将其平方，得到 2 = (m/n)²，即 2n² = m²。
从上式可以看出，m²是一个偶数，因为 2n²是 2 的倍数。
那么，m 也必定是一个偶数，设 m = 2k（其中 k 为整数）。
将该式代入原式，得到 2n² = (2k)²，即 2n² = 4k²，再进一步化简得n² = 2k²。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析1. 引言1.1 反证法在初中数学解题中的重要性反证法是初中数学解题中一种重要的思维方法，其在数学推理和证明中扮演着至关重要的角色。
通过反证法，我们可以通过假设所要证明的结论为假，从而推导出矛盾，进而证明原命题的正确性。
这种方法在解决复杂问题或证明难题时常常能够起到意想不到的效果，为我们打开了解决问题的新思路。
在初中数学学习中，反证法的重要性不言而喻。
通过反证法，我们可以更好地理解数学定理和公式，并且培养逻辑思维和分析问题的能力。
它帮助我们发现问题的本质，找到解决问题的关键，提高数学学习的效率和深度。
在解决数学问题时，有时直接证明一个命题比较困难，而通过反证法可以简化证明过程，使得解题更加简洁和清晰。
反证法在初中数学解题中的重要性不容忽视。
它不仅能够提高我们的数学解题能力，还可以培养我们的逻辑思维方式，让我们在数学学习中收获更多的成就和乐趣。
熟练掌握反证法对于初中生来说是十分重要的。
1.2 反证法的基本原理反证法是逻辑推理中常用的一种方法，其基本原理是通过否定待证命题的反命题来间接证明原命题的真实性。
这种方法在数学证明中被广泛运用，特别是在初中数学解题中具有重要意义。
反证法的基本原理可以用简单的逻辑推理来解释。
假设我们要证明一个命题P，而假设P是假的，即非P是真的。
我们利用这个假设来推导出某些结论Q，但我们最终发现Q与已知事实或其他命题矛盾，从而得出结论非P也是假的，即P是真的。
这一过程就是利用反证法间接证明原命题的过程。
反证法的基本原理可以帮助我们加深对待证命题的理解，发现存在逻辑矛盾的地方，从而推导出命题的真实性。
在数学解题中，反证法可以帮助我们简化证明过程，节省时间和精力，提高解题效率。
了解和掌握反证法的基本原理对于初中生学习数学和解题是非常重要的。
反证法不仅仅是一种证明方法，更是一种思维方式和逻辑推理的训练，可以帮助学生提升解决问题的能力和思考深度。
2. 正文2.1 反证法在代数方程解题中的运用在解代数方程中，反证法是一种常用且有效的解题方法。
初中数学解题方法：反证法
初中数学解题方法：反证法初中数学解题方法:反证法反证法，亦称“逆证”，是间接论证的方法之一，是通过断定与论题相矛盾的判断的虚假来确立论题的真实性的论证方法。
以下是小编为大家整理的初中数学解题方法:反证法相关资料，供大家参考。
反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。
推理必须严谨。
导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
本章节的初中数学学习方法汇编之反证法，相信同学们都认真记忆了吧。
接下来还有更多更全的初中数学学习方法等着大家来掌握哦。
初中数学解题方法之常用的公式下面是对数学常用的公式的讲解，同学们认真学习哦。
对于常用的公式如数学中的乘法公式、三角函数公式，常用的数字，如11～25的平方，特殊角的三角函数值，化学中常用元素的化学性质、化合价以及化学反应方程式等等，都要熟记在心，需用时信手拈来，则对提高演算速度极为有利。
总之，学习是一个不断深化的认识过程，解题只是学习的一个重要环节。
你对学习的内容越熟悉，对基本解题思路和方法越熟悉，背熟的数字、公式越多，并能把局部与整体有机地结合为一体，形成了跳跃性思维，就可以大大加快解题速度。
初中数学解题方法之学会画图数学的解题中对于学会画图是有必要的，希望同学们很好的学会画图。
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初中数学竞赛精品标准教程及练习34反证法反证法是数学中一种常用的证明方法，它通过假设待证命题为假，然
后推导出矛盾的结论，从而推断待证命题为真。
本文将介绍反证法的基本
思想和应用，并提供一些相关练习。
一、反证法的基本思想
反证法的基本思想是假设待证命题为假，然后推导出矛盾的结论，从
而推断待证命题为真。
具体步骤如下：
1.假设待证命题为假。
2.将待证命题的否定形式作为假设，并推导出矛盾的结论。
3.根据矛盾的结论，得出待证命题为真。
二、反证法的应用
反证法在数学竞赛中常用于证明诸如存在性、唯一性、等式、不等式
等问题。
下面通过一些例题来说明反证法的具体应用。
例1：证明3的平方根是无理数。
假设3的平方根是有理数，即可以表示为分数的形式，即√3=a/b，
其中a和b互质且b不等于0。
将该等式两边平方得到3=a^2/b^2，即
3b^2=a^2、说明a^2为3的倍数。
根据整数的唯一分解定理，如果一个整数的平方是3的倍数，那么该
整数也是3的倍数。
假设a不是3的倍数，则可以得出a^2不是3的倍数，与前面的结果矛盾。
所以，假设不成立，即3的平方根是无理数。
例2：已知一条直线与平面上两个不在同一条直线上的点A和B重合，证明该直线与平面上所有点重合。
假设该直线与平面上其他点C不重合，即不在同一条直线上。
由于直
线与平面上的任意两点确定一条直线，所以A、B、C三点确定三条不同的
直线。
由于A、B两点与直线重合，所以这三条直线相交于同一点，即A、B、C三点共线，与题设矛盾。
所以，假设不成立，即该直线与平面上所有点重合。
三、练习题
1.证明：不存在最大的自然数。
2.已知a、b、c是正整数，且满足a^2+b^2=4c^2，证明a和b不能
同时为奇数。
3.证明：根号2是无理数。
4.已知a、b、c是正整数，且满足a^2+b^2=c^2，证明a、b、c不能
同时为奇数。
以上是一些关于反证法的练习题，希望你能通过这些练习加深对反证
法的理解和应用。
反证法是一种常用的数学证明方法，通过假设待证命题为假，推导出
矛盾的结论，从而推断待证命题为真。
在数学竞赛中，掌握并灵活运用反
证法，将能够解决更多的问题，提高解题能力。