七年级数学上册用一元一次方程解决问题一元一次方程基本题型与创新题型素材

一元一次方程基本题型与创新题型

★ 基本题型 一、方程的解的定义 例1 已知2是关于x 的方程

022

3

=-a x 的解，则12-a 的值是 ( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1

分析：根据方程解的定义，将方程的解代入方程可得关于字母系数a 的一元一次方程，从而可求出a 的值，然后将其代入求值式即可得到答案.

解：把2=x 代入方程，得

02223=-⨯a ，故23=a .故212

3

212=-⨯=-a ，选C.

点评：已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解.可把它叫做“有解就代入”.

二、一元一次方程的定义

例2 若关于x 的的方程0115)12(32=-++-n x x m 是一元一次方程，求关于x 的方程1=+n mx 的解.

分析：根据“一元一次方程”的定义可知，012=+m 且13=-n ，由此可求n m 、的值，然后将其代入1=+n mx 中可解出x .

解：由题意，得012=+m 且13=-n ，故21-=m ，4=n ，于是有142

1

=+-x ，故6=x .

点评：本题主要考查一元一次方程和解方程的定义.解这类问题时要抓住一元一次方程定义中的条件——只含有一个未知数且未知数的次数是1.

三、一元一次方程的基本变形及其解法 例3 解方程

13

23594=+-+y

y . 分析：本题可按解一元一次方程的一般步骤来解.去分母时要先找到各分母的最小公倍数，同时要注意不要漏乘不含分母的项，去括号时要注意括号里各项是否要变号等问题.

解：去分母，得15)23(5)94(3=+-+y y ， 去括号，得1510152712=--+y y ， 移项，合并同类项，得32=y ，

系数化为1，得2

3=

y . 点评：解一元一次方程一般要经历五个步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.事实上，与一元一次方程有关的问题的解决最终几乎都要落实在解一元一次方程上，所以能正确而熟练地解一元一次方程是学习本章最基本的要求.

例4 解方程{

91(51[7143

2

++x ]6)＋1}8=+. 分析：方程含有多层括号，各分母的最小公倍数又是个很大的数，用常规去分母或去括号的方法来解，都较为繁琐，所以必须另辟蹊径，才能巧妙求解.我们可采用从大到小逐层去括号的方法来解.

解：方程两边同乘以9，得

(51[7143

2

++x ]6)＋98＝＋， 移项，合并，得[71(

5143

2

++x ]6)＋=1， 方程两边同乘以7，得(

51432

++x 6)＋=7， 移项，合并，得(51）43

2

++x =1，

方程两边同乘以5，得43

2

++x =5， 移项，合并，得3

2

+x =1，故32=+x ，故1=x .

点评：本题的解法启示我们：解一元一次方程时，其五个变形步骤未必都要用到，也未必要按照自上而下的顺序进行，要根据方程的结构特征灵活安排解题步骤，这样既能避繁就简，化难为易，又能减少直至避免一些常见错误.

四、构造一元一次方程解决有关问题

例5 已知|2-a |+0)5(2=+b ，那么b a +的值是________.

分析：因为绝对值和平方的结果都是非负数，而两个非负数的和等于0，则每个非负数都应等于0，据此可构造两个一元一次方程，求出b a ,后即可求b a +的值.

解：由题意，得02=-a ，05=+b ，故2=a ，5-=b ，故b a +=2+(-5) =-3. 点评：概念也是解题的重要依据之一.解决这类问题，关键是要掌握相关概念的含义. ★ 创新题型 一、图文信息型

例6 根据下图给出的信息，可得到的正确的方程是 ( )

A ．2286()()(5)22x x ππ⨯=⨯⨯+

B ．22

86()()(5)22

x x ππ⨯=⨯⨯-

C ．2286(5)x x ππ⨯=⨯⨯+

D ．22

865x ππ⨯=⨯⨯

分析：这是一道图表型信息题，所有的信息都以漫画形式给出.要解答此题，首先要读懂图中两个乌鸦的对话并从中找到相等关系.显然相等关系是：两个量筒中水的体积相等.故选A.

解：A.

点评：象这样的图表型信息题是近几年中考的热点之一，解这类问题的关键是认真观察图表，获取有效信息，找到相等关系，然后建立方程进行求解.

二、新定义型

例7 d c b a ,,,为有理数，先规定一种运算新的运算： =bc ad -，

那么 =18时，=x ______.

分析：根据规定，符号“| |”实质上表示的是一种积差运算——对角乘积的差，故由此可得到一个一元一次方程，进而可求x 的值.

解：由题意，得 10-4(1-x )，即10-4(1-x )=18，故=x 3.

点评：本题通过定义一种新运算，巧妙地将解一元一次方程与新定义的运算结合在一 起，情景新颖，设计巧妙.解这类问题的关键是把陌生的符号转化为熟悉的四则运算.

小乌鸦,你飞到装有相同水量的小量筒,就可以喝到水了

!

8㎝

老乌鸦,我喝不到大量筒中的水!

x ㎝

5

)1(42x －=

5

)1(4

2x －d

c b a