第五章 形函数与等参单元教材
计算力学 有限单元法 清华大学 王勖成
3 有限元法的未来
1. 为真实模拟新材料、新结构的行为， 发展单元类型、新材料本构。 2. 为分析、模拟各类形式的结构在复杂工矿和 环境作用下的全 寿命过程的响应。 3. 有限元软件和CAD/CAM/CAE等软件系统共同 集成完整的虚拟产品发展系统
王勖成编著 清华大学出版社
教学参考资料：Zienkiewicz The finite element method Bathe Finite element procedures Batoz Modelisation des Structures
par La Medod Elements Finites
关于程序训练 通常安排在第5或第6周开始上机训练， 读懂程序（Fortan）, 利用程序计算简单的 算例 (输入数据文件，约束条件， 精度分析等等)，完成上机报告。
3.考核方法 平时习题 自选论文(程序实践) 考试
期中考试 期末考试 20％ 40％
10% 30% 60%
教材和教材参考书： 教材： 有限单元法 FINITE ELEMENT METHOD
等著名学者著教材
解析单元嵌入有限元中
跨尺度计算 或称多尺度计算
0.3.3 对于各种物理问题的 可应用性
有限元法求解的是物理问题的控制方程， 对线弹性，弹塑性问题，粘弹塑性问题， 动力问题，屈曲问题，热传导问题， ……， 均可以进行有效的分析
针对不同物理问题的控制方程 未知场函数 选用合适的单元、形函数 相应的求解方法
0.4 有限元法的发展、现状和未来
1 有限元法的早期工作
1943 Courant从应用数学角度的考虑 1956 Turner、Clough等将刚架位移法 推广到弹性力学平面问题 1960 Clough第一次提出了“有限单元法” （ The finite element method ）
《有限元基础及应用》课程大纲
《有限元基础及应用》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程目标（一）总体目标：有限元法是求解复杂工程问题进行数值模拟非常有效的方法，是现代数字化科技的一种重要基础性原理。
将它应用于科学研究中，可以成为探究物质客观规律的先进手段；将它应用于工程技术中，可成为工程设计和分析的可靠工具。
有限元法已经成为机械工程、车辆工程、航空航天工程、土木建筑等专业的必修课或选修课，有限元商用软件也是广大工程技术人员从事产品开发、设计、分析，以及生产服务的重要工具。
通过本课程的学习使同学们掌握有限元分析方法的基础知识和原理；掌握大型有限元分析软件（ANSYS）的使用；有限元方法的实际应用：能够针对具有复杂几何形状的变形体完整获取复杂外力作用下它内部准确力学信息，在准确进行力学分析的基础上，可以对所研究对象进行强度、刚度等方面的判断，以便对研究结构进行静态、动态的强度和刚度分析、参数设计以及结构优化设计。
内容由浅入深，通俗易懂，结合实践应用分析，培养学生理论联系实际和解决实际问题的能力。
（二）课程目标：课程目标1：掌握有限元方法的基本原理，分析过程和步骤，形函数的构造方法，以及针对不同维度、不同结构准确选择合适的单元的技巧；课程目标2：掌握有限元分析方法，具有对不同工程问题建立相应力学模型再选取适合的有限元模型离散，最后得到高精度低成本的数值模拟结果；课程目标3：利用有限元原理和应用软件（ANSYS），能够针对车辆结构中具有复杂几何形状的零部件完整获取复杂外力作用下其内部的准确力学信息（位移、应力和应变），并能根据强度、刚度、稳定性及疲劳等进行分析判断结构的安全性，具有分析和解决工程实际问题的能力；课程目标4：掌握大型商用有限元软件（ANSYS）对车辆结构部件的静力学、动力学和多物理场耦合问题进行数值模拟和分析。
能够了解不同单元的适用范围以及有限元方法数值模拟的局限性。
（三）课程目标与毕业要求、课程内容的对应关系本课程支撑专业培养计划中毕业要求1、2、3、5。
等参单元
5．等参单元本章包括以下内容： 5.1等参单元的基本概念 5.2四边形八节点等参单元 5.3等参单元的单元分析 5.4六面体等参单元5.1等参单元的基本概念在进行有限元分析时，单元离散化会带来计算误差，主要采用两种方法来降低单元离散化产生的误差：1）提高单元划分的密度，被称为h 方法（h-method ）；2）提高单元位移函数多项式的阶次，被称为p 方法（p-method ）。
在平面问题的有限单元中，我们可以选择四结点的矩形单元，如图5-1所示，该矩形单元在x 及y 方向的边长分别为2a 和2b 。
图5-1 四结点矩形单元同第三章的方法类似，将单元的位移模式选为，xy a y a x a a u 4321+++= xy a y a x a a v 8765+++=（5-1）可得到，p p m m j j i i u N u N u N u N u +++=p p m m j j i i v N v N v N v N v +++=（5-2）形态函数为， )1)(1(41b y a x N i --=)1)(1(41b y a x N j -+=)1)(1(41b y a x N m ++= )1)(1(41by ax N p +-=（5-3）上述单元位移模式满足位移模式选择的基本要求： 1）反映了单元的刚体位移和常应变， 2）单元在公共边界上位移连续。
在矩形单元的边界上，坐标x 和y 的其中一个取常量，因此在边界上位移是线性分布的，由两个结点上的位移确定。
与三结点三角形单元相比，四结点矩形单元的位移模式是坐标的二次函数，能够提高计算精度，但也有显著的缺点，两种单元的比较如下。
表5-1 三结点三角形单元与四结点矩形单元比较如果任意形状的四边形四结点单元采用矩形单元的位移模式，则在公共边界上不满足位移连续性条件。
为了既能得到较高的计算精度，又能适应复杂的边界形状，可以采用坐标变换。
图5-2任意四结点四边形单元图5-3四结点正方形单元在图5-2所示的任意四边形单元上，用等分四条边的两族直线分割四边形，以两族直线的中心为原点，建立局部坐标系),(ηξ，沿ξ及η增大的方向作为ξ轴和η轴，并令四条边上的ξ及η值分别为1±。
三维问题有限元分析(包括轴对称问题)
空间问题简介
工程实际中的很多问题难于简化为平面问题，如受任意 空间载荷作用的任意形状几何体，受对称于轴线载荷作 用的回转体,这类问题经典弹性力学往往无能为力。在 FEM中，空间问题只要求0阶连续，因此构造单元方便
➢空间问题的主要困难： （1）离散化不直观；————（网格自动生成） （2）分割的单元数量多，未知量的数目剧增。— ——— （对某些问题简化）——— ——— （轴对称问题） ➢空间分析的优点
p
s
C
(6-16)
e 1
e 1
式中
F e ——单元上集中力等效结点载荷列向量；
p
F e ——单元上表面力等效结点载荷列向量；
S
F e ——单元上体积力等效结点载荷列向量；
F e
——单元结点载荷列向量。
C
等效结点力公式为 Fe NTF p
式中
Fe SSeNTpSds
Fe VeNTpvdV
如同平面等参单元一样，需要通过雅克比矩阵来实现，由偏导法则
N i N xi x N yi y N zi z
同理可得
N i , N i
写成矩阵
Ni
x
y
z
Ni x
Ni x
Ni
x
y
z
Ni y
J
Ni y
Ni
x
y
z
Ni z
ui vi wi
(6-18)
式中
xi、yi、zi——结点i的坐标； ui、vi、wi——结点i沿x、y、z方向的位移； Ni——对应于i结点的形状函数。
在自然坐标系（局部坐标系）中，各结点的形状函数可写成如
下形式， 对于8个顶角结点（ i＝1，2，……，8）
等参单元
等参单元
xN x
i 1 m m ' i i
y N y
i 1 m
' i i
z N z
i 1
' i i
式中，m是用以进行坐标变换的单元节点数，Ni’是 用于坐标变换的形函数，它也是用局部（自然）坐 标表示的插值函数。
等参单元
y η η
ξ
o
o
ξ
o
x
二维单元的变换
等参单元
z ζ o ζ ξ oη ξ η
二维情况下的有关公式可由上面各式相应退化得到。
等参单元
等参变换的条件
由微积分学知，两个坐标之间一对一变换的条件是 Jacobi行形式∣J∣不得为0，等参变换作为一种坐标 变换也必须服从此条件。在二维的情况下，面积微元
dA J d d dξ dη dξ dη sin(dξ , dη)
Байду номын сангаас
等参单元
u N1 v 0 u1 v 1 0 u2 N 3 v2 u3 v3 x1 y 1 0 x2 y N3 2 x3 y3
V
e
G ( x, y, z )dxdydz
1 1
1
1
1 1
G * ( x( , , ), y ( , , ), z ( , , )) J d d d
1
A
g ( x, y, z )dS e
1 1
1
g * ( x(c, , ), y(c, , ), z (c, , )) Add
其中∣a∣表示向量a的模。
形函数法
三、形函数法(2007-03-06 15:29:49)转载形函数法是目前实体插值领域最重要的一种算法，是有限元分析的重要基础，同时也可应用于等高线的生成。
形函数法就是如何根据线段、平面多边形、空间多面体等的节点上的已知值来建立求解线段、平面多边形、空间多面体等内部任意一点的值的插值函数。
平面多边形中除了平面三角形之外，基本可以应用等参单元法来求取形函数表达式；但是空间体中基本只有8节点六面体以及其变体的形函数可以应用等参单元法。
对于不可以应用等参单元求解形函数的平面多边形或空间多面体，基本可以采用面积法或体积法来推导插值形函数。
一、面积、体积法求取形函数对于平面三角形和空间四面体等，基本采用面积或体积法来求出形函数。
任取如下图平面三角形，节点逆时针分别为A（X A,Y A）、B（X B,Y B）、C（X C,Y C），任意待求点为P（X P,Y P），A、B、C点样本值分别为UA、UB、UC，待求P点的值为UP。
图1 面积法求三角形形函数图根据上图DABP、DBCP、DCAP的面积分别为T1、T2、T3，显然有下式成立：SDABC＝T1＋T2＋T3上式两边分别除以SDABC，则上式转化为：根据上式就可定义A点的相对面积变量sA如下：显然当P点与A点重合，此时sA＝1，当P点B、C点重合时，显然sA＝0。
同样可以B、C点。
因此三角形的形函数可以表示为：应用体积法同样可以求取空间四面体的插值形函数。
下面给出其相应解。
设空间四面体的4个节点分别为A（xA,yA,zA ）、B（xB,yB,zB ）、C（xC,yC,zC ）、D（xD,yD,zD ），任意待求点为P（xp,yp,zp ），A、B、C、D点样本值分别为UA、UB、UC、UD，待求P点的值为UP。
则空间四面体的形函数可以表示为：二、等参单元法的基本思路等参单元法是最广泛应用于有限元领域的一种数学方法，其目的就是如何根据线段、平面多边形、空间多面体等的节点上的值来建立求解线段、平面多边形、空间多面体等内部任意一点的值的插值函数。
等参单元及其应用
等参单元及其应用摘要本文主要讲述等参单元的原理及其对有限元法工程应用的意义。
等参单元的数值积分方法，等参单元刚度矩阵的数值积分方法及确定积分阶的原理。
全积分、减缩积分单元讨论和评价。
线性等参单元和非协调元，全积分、减缩积分线性等参单元和非协调元有关问题的分析讨论。
关键词等参单元; 数值积分; 应用1.引言用有限元法划分单元时，单元的节点数越多，单元精度越高。
因此在这一点上，矩形单元优于简单三角形单元，六面体单元优于四面体单元。
但单独使用矩形或长方体单元都不能模拟任意形状几何体，且网格中单元大小无法过渡。
所有上述单元都是直线边界，处理曲边界几何体误差较大。
解决上述矛盾的途径是突破矩形单元和长方体单元几何上的限制，使其成为平面任意四边形和空间任意六面体单元，如果再增加边中间节点，还可以成为曲边四边形和曲面六面体高精度单元。
任意四边形和任意六面体单元的位移模式和形函数的构造不能沿用前面构造简单单元时采用的总体坐标多项式位移函数插值的方法，必须通过所谓的等参变换建立单元局部坐标，采用相同的插值函数对单元节点的总体坐标和节点位移在单元上进行插值。
这类单元称为等参单元。
等参单元的提出对于有限元法在工程实践中的应用具有重要意义。
2.等参单元的数值积分方法2.1 高斯数值积分的基本概念一维高斯数值积分公式：i ni i H x f dx x f I )()(111∑⎰=-== 其中：积分点-i x ，积分点数目，积分阶-n ，权重系数-i H结论：n 阶高斯积分公式对 2n-1 次多项式被积函数可求得精确积分！ 同理，对二维高斯积分：),(),(111111i i j n i nj i F H H d d F I ηξηξηξ∑∑⎰⎰==--==积分公式对ξ，η方向最高方次为 2n-1 的多项式可求得精确值。
2.2 减缩积分的原理实际应用中选取的积分阶往往可以低于被积函数所有项次精确积分所需要的阶数，这种积分方案称为减缩积分。
第五章.等参数单元
母单元 首先，根据形函数的定义，在局部坐标中，建立起几何形 状简单且规整的单元，我们称之为母单元。
1. 一维母单元 采用局部坐标ξ，单元为直线段，即。具体形式如下： 1） 线性单元（2结点）
1 2 1 2
1 -1 0 (a) 线 性 单 元
2 1
N1
N2
2） 二次单元（3结点）
(8-14)
其中， N是用局部坐标表示的形函数，(x,y)是结点i 的整体坐标，上式即为平面坐标变换公式。
返回
图5-4表示了一维单元的坐标变换。原来的直线状的母单 元分别变换成了直线、二次曲线和三次曲线状的子单元，这是 因为变换式中的形函数Ni分别是ξ的一次、二次和三次函数。
y
3 1 2
1 -1
(8-19)
返回
其中，[J]-1是[J]的逆阵
y 1 J x
3. 三维母单元 三维母单元是坐标系中的2×2×2正六面体
1 1 1 1 1 1
如图5-3所示，坐标原点在单元形心上，单元边界是六个平面。 单元结点在角点及各边的等分点上。 1) 线性单元（8结点） 5 8
13
5
16
15 14
8
6
1
这正方形单元的位移模式是：
而其中形函数为：
由图（b）可知
• 假如图 (a)中的任意四边形单元能用上式的位移 模式及形函数进行计算，则前面所提的位移连续 性条件就可以得到满足，所以问题归结为：如何 将任意四边形单元的整体坐标(x，y)，变换成正 方形单元的局部坐标( , )。
根据形函数的两条性质：
2
图5-2 以上形函数也可以合并表示为 1 1
有限元课件第4讲等参元和高斯积分
关于坐标系
直角坐标系( x , y , z)
极坐标(r,) ，2维 球坐标系(r,θ, ) 柱坐标系 (, , z)
自然坐标系
自然坐标系:
➢选轨迹上任一点O为原点 ➢用轨迹长度S 描写质点位置
m
OS
n
➢质点沿切线前进方向的单位矢量为 切向单位矢量(tangential unit vector)
➢质点与切向正交且指向轨迹曲线凹侧的 单位矢量为法向单位矢量(normal unit vector)
U e 1 (x( )) (x( ))dV 1 x2 Ee (x( )) (x( ))Aedx
2 e
2 x1
U e 1 1 EeB( )qeB( )qe Ae (le / 2)d
2 1
U e
1 qeT [
1
(l e
/
T
2)B
( )Ee AeB( )d ]qe
2
1
U e 1 qeT Keqe 2
x(,) N(,)xe
u(x(,), y(,)) u(,) N(,)qe
N1
1 4
(1
)(1 )
N2
1 4
(1
)(1 )
N3
1 4
(1
)(1 )
N4
1 4
(1 )(1)
ε(x(,), y(,)) u(,) N(,)qe B(,)qe
x
B(
, )
0
y
0
x 1 2 3 4 N1x1 N2x2 N3x3 N4x4
y
1
2
3
4
N1 y1
N2
y2
N3
y3
N4
y4
N1
有限元分析与应用 第6讲、等参单元
我们可以看到,位移插值函数公式(3)和 坐标变换公式(4)具有完全相同的形式,它们 用同样数目的对应节点值作为参数,并有完 全相同的形状函数 N (ζ ,η ), 作为这些节点 值前面的系数,我们称具有这种特点的单元 为等参数单元
i
等参变换步骤: 等参变换步骤
1找变换 x = x(ξ ,η ), y = (ξ ,η ) ,使x0y面上的任意四边形变成在 上的边长为2的正方形.
1 4 1 4 1 4 1 4
(1 − ξ )(1 − η ) (1 + ξ )(1 − η ) (1 + ξ )(1 + η ) (1 − ξ )(1 + η )
利用节点处得（ξ,η）坐标，上式可以写成统一得形式:
1 Ni (ξ ,η ) = (1 + ξiξ )(1 + ηiη ) 4
其中（ξi,ηi）为
ξoη 面
2在 ξoη 面上构造多项式插值函数 N k (ξ ,η ) 满足µ = ∑ N k (ξ ,η )µ k
3再变回xoy即: µ = ∑ N k (ξ ( x, y ) η ( x, y ))µ k = ∑ N k ( x, y )µ k 由于在 ξoη 面交界两测 u是连续的,xoy 面上也同样连续,但现在 N k (x, y )已经不 再是x,y的多项式了.
等参数单元平面问题变换的有限元格式
前面讲的建立有限元计算格式的推导过程中,前几步的主要 目的是求出以节点位移表示的单元位移插值函数,或求出单元形 状函数,后几步的主要目的是求出单元刚度矩阵,然后是用已知节 点位移计算应力。对于等参数单元,上面得到了四节点四边形等 参数单元的形状函数,下面主要讨论单元刚度矩阵的形成。 单元应变—单元位移—节点位移之间的关系. 由平面问题几何方程和位移插值公式(3)有:
有限元第5章-等参数单元
不相同，提高精度的方法： （1）减小单元尺寸； （2）提高单元插值函数的阶次。 为了适应不规则边界，要求用曲边单元。 基于以上原因，引入等参数单元。
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1
5-2 四节点四边形等参数单元
四节点四边形单元的位移插值函数可以写成（以 x方向的位移插值函数为例）
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27
利用
x
, y
的表达式，可以将形状函数 Ni,
对整体坐标x,y的偏导数，转换成对局部坐标 ,
的偏导数。
例如 其中
Ni
Ni y
Nxi J1N i J1x
xyN N ii
y
4
4
y
i1
Ni ,yi
,
y
i1
Ni ,yi
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4
4
x
i1
Ni , xi
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30
为此，展开雅可比矩阵
x
J
x
y
y
4 i 1 4 i 1
N N
i
i
, ,
xi xi
4
N
i
,
y i
i 1
4
N
i
,
y i
i 1
4
i 1 4
i 1
i
4
i
4
1 i 1 i
xi xi
4
i 1
4
i 1
i
4
i
4
1 1
i i
234 678
或者
, f,
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第五章_形函数与等参单元
➢ 推导原理和过程明确，但是推导繁琐，只能适应简单的少节点单
元（常应变三角形单元等）；
➢ 思变：形函数仅是单元内部的位移插值函数（利用节点位移达到
内部位移），可考虑利用数学中的“插值函数”方法，直接给出
形函数。从而避开繁琐的推导
2
5.1 面积坐标与自然坐标
一．面积坐标
1．面积坐标的定义
二者之间可通过一定的坐标转换公式进行转换
10
Hale Waihona Puke 优点✓该种坐标系下,无论四边形的大小和形状如何,其坐标特征是相同的,
因此可用统一的表达式描述,可以推导统一的有限元公式;
✓以局部坐标系导出的公式,有利于数值积分运算,可克服高精度单元的
单刚矩阵、等效节点力矩阵等因无法导出显式而必须进行积分所遇到的 困难；
Lm = 1－Li－Lj，变换式可以把平面上的任意三角形ijm变换为LiLj平面上的三角形
i1 , j1 , m1。
7
4 面积坐标的求导和积分 当面积坐标的函数对直角坐标求导时，可以应用下列公式
Li Lj Lm bi bj bm x x Li x Lj x Lm 2 Li 2 Lj 2 Lm Li Lj Lm ci c j cm y y Li y Lj y Lm 2 Li 2 Lj 2 Lm
l
Li
Lj
ds
(
! ! l 1)!
(i, j, m)
式中l为该边的长度。可得到
Li dxdy A / 3
L2i dxdy A / 6
Li Ljdxdy A /12
（5-7） （5-8）
9
二．四边形自然坐标（归一化处理）
(-1,1) 4
1(1,1)
弹性力学有限元法详解
x
4
i1 4
Ni ( ,)xi
y
i1
Ni ( ,) yi
总体坐标系适用于整体结构，局部坐标系只适用于具体某个 单元。
常用的对于平面问题还有八节点等参元，空间问题有八节 点空间等参元，二十节点等参元等 。
第18页，共40页。
3.2 连续体离散化
5.轴对称单元
对于回转结构，如果约束条件和载荷都对称于回转轴，其 应力、应变和位移也都对称于回转轴线，这类应力应变问题称 为轴对称问题 ，通常用柱坐标来描述应力、应变和位移，单元 为实心圆环体，仅截面不同
1
2
ai
(1
0
)
ai (1 0 ) ai (1 0 )
1
2
ai
(1
0
)
(i, j,l,m)
对于平面应变问题：
E
E 1 2
1
第29页，共40页。
3.3 单元分析
2. 单元分析
由虚功原理得：
Fe
K e BT DBdxdyt A
BT DBdxdyt δe
A
Fe Keδe
单元刚度矩阵可分块表示为：
第10页，共40页。
3.2 连续体离散化
3. 薄板弯曲单元和薄板单元
A. 薄板弯曲单元
l
θxi
i
θyi
wi
m
j
四边形弯 曲单元
四边形单元有四个节点，每个节点有三个自由度，主要承 受横向载荷和绕水平轴的弯矩。
第11页，共40页。
3.2 连续体离散化
3.薄板弯曲单元和薄板单元
A. 薄板弯曲单元
m
θxi
对于平面应变问题：
E
E 1 2
4.3形函数、坐标变换和等参元
N4
(ξ
)
=
9
(1
−
ξ
2 )(1
16
+
3ξ
)
上述形函数满足前面提及的四个条件。
(二) 二维形函数 {ξη}
二维单元 (a) 线性单元 (b) 二次单元 (c) 三次单元
(a) 线性单元（4节点）N1=(1−
ξ
) (1 −η
4
)
N3
=
(1 +
ξ
) (1 + η
4
)
(1+ ξ )(1−η )
N2 =
(一) 平面坐标变换
对于平面问题的等参元分析，子单元内任一点的坐标在整体
直角坐标系 {oxy} 中用局部坐标形函数 Ni (ξ ,η ) 表示如下：
n
x = ∑ Ni (ξ ,η ) xi i =1
n
y = ∑ Ni (ξ ,η ) yi i =1
其中(xi, yi)为节点i的整体坐标。
)一维等参单元的坐标变换
− ξi−1 )(ξ − ξi+1 )"(ξ − ξn ) − ξi−1 )(ξi − ξi+1 )"(ξi − ξn
)
=
n j =1, j ≠i
ξ ξi
−ξj −ξj
(一) 一维形函数 {ξ }
(a) 线性单元（２节点）
１
２
-1
0 ξ +1
N1
(ξ
)
=
1
−ξ
2
N
2
(ξ
)
=
1
+ξ
2
(b) 二次单元（３节点）
边节点上：
N4 = 4L1L2 , N5 = 4L2L3, N6 = 4L1L3
第5章有限元法基础——二维单元
1 1 1 Sm (1 )(1 )( ) 4 4 4
同样，可以确定其它三个节点的形函数：
1 Si (1 )(1 )(1 ) 4 1 S j (1 )(1 )(1 ) 4 1 S n (1 )(1 )(1 ) 4
第五章 有限元法基础 ——二维单元
本章介绍二维单元及其形函数
矩形单元 二次四边形单元 三角形单元
5.1 矩形单元
第四章中分析了一维问题。我们研究 了悬臂梁的热传递问题，使用了一维线 性函数来近似温度沿单元的分布，但在 实际问题中，若温度在x方向和y方向均 会产生变化，这就需要用二维函数去近 似求解。 一维解是由线段近似的，二维解是由 平面片近似的。
a3 1 ( X k X j )Ti ( X i X k )T j ( X j X i )Tk 2A
这里A是三角形单元的面积
2 A (Y j Yk ) X i (Yk Yi ) X j (Yi Y j ) X k
将
a1 ， a3
S F1 ( , ) F2 ( , ) 1, 1 1
S F1 ( , ) F2 ( , ) 1, 0 0
S F1 ( , ) F2 ( , ) 0, 1 0
得到
c1 1 4
1 c2 4
1 c3 4
节点m 的形函数为
应用边界条件
0
确定 c1
1 2
. 1
So 1
1 So (1 )(1 )(1 ) 2
同样可以得到中间节点
p
，k 和
l
的形函数
1 2 So (1 )(1 ) 2
等参单元概述
Ni 1
， (6-1)
N i 0 ；
2. 能保证用它定义的未知量（位移或坐标）在相邻单元之 间的连续性； 3. 应包含任意线性项，以保证用它定义的单元位移可满足 常应变条件； 应满足下列等式 以保证用它定义的单元位移能反映刚体位移。
二、母单元
首先，根据形函数的定义，在局部坐标中，建立起几何形 状简单且规整的单元，称为母单元。 二维母单元是平面中的2×2正方形
在有限元分析中，两者的作用是不同的。直角坐标系在 x, y, z整个结构的所有子单元中共同采用，所以称为整体坐标。 而曲线坐标系 ,,则只适用于单个独立的子单元，所以称 为局部坐标。整体坐标在整体分析中采用，局部坐标则在单 元分析中采用。
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现在讨论两类坐标系中有关偏导数的关系，以二维坐标为例： 根据复合函数的求导法则，有 x y x y (6-5) x y x y 上式可写成矩阵形式 x (6-6) J y x y 其中：[J]称为雅可比（Jacobi）矩阵 J x y (6-7)
图 6-2 表示了二维单元的平面坐标变换。母单元是正方形， 子单元则分别变换成任意四边形和曲边四边形。而且相邻子单 元在公共边上的整体坐标是连续的。以二次单元为例，两个相 邻单公共边界上都是二次曲线（抛物线），而在三个公共结点 上具有相同的坐标。因此，整个公共边界都有相同的坐标，即 相邻单元是连续的。
为了克服以上缺点，人们试图找出这样一种单元：一方面， 单元能很好地适应曲线边界和曲面边界，准确地模拟结构形状； 另一方面，这种单元要具有较高次的位移模式，能更好地反映 结构的复杂应力分布情况，即使单元网格划分比较稀疏，也可 得到较好的计算精度。等参数单元（等参元）就具备了以上两 条优点，因此，得到广泛应用。
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（ii）三角形的三个顶点处
结点i处：Li 1, L j 0 , Lm 0 结点j处：Li 0 , L j 1, Lm 0 结点m处：Li 0 , L j 0 , Lm 1
（iii）三角形的三条边上
i j边： Lm 0 j - m边：Li 0 m i边：Li 0
推导原理和过程明确，但是推导繁琐，只能适应简单的少节点单 元（常应变三角形单元等）； 思变：形函数仅是单元内部的位移插值函数（利用节点位移达到 内部位移），可考虑利用数学中的“插值函数”方法，直接给出 形函数。从而避开繁琐的推导
2
5.1 面积坐标与自然坐标
一．面积坐标 1．面积坐标的定义 对于三角形单元，用面积坐标代替一般的直角坐标，不仅可以简化应力矩
! ! ! Li L j Lm dxdy 2A ( 2)!
（5-7）
式中 , , 为整函数。求面积坐标的幂函数在三角形某一 边的积分值时，可以应用积分公式
! ! l Li L j ds ( 1)! l
bi bj bm
ci Li cj Lj cm xi Li x j L j xm Lm y yi Li y j L j y m Lm
Li L j Lm 1
以上三式就是面积坐标与直角坐标之间的变换公式。设Li、Lj为独立变量，则 Lm = 1－Li－Lj，变换式可以把平面上的任意三角形ijm变换为LiLj平面上的三角形 i1 , j1 , m1。
（Am 0)
；
。 （iv） 根据面积坐标的定义，不难看出，在平行jm边的直线上的所有各点， 都有相同的Li坐标，并且这个坐标就等于“该直线至jm边的距离”与“结点i至 jm边的距离”的比值。图中示出了Li的一些等值线。
4
3 面积坐标和直角坐标之间的关系
三角形Pjm的面积是
1 Ai 1 x j 2 1 xm
5-5b）
5
它们的矩阵形式可写为
Li ai 1 aj Lj L 2 A a m m
Nm就等于面积坐标Li、Lj、Lm。
bi bj bm
ci 1 cj x y cm
（5-6）
与(5-4)式对比，可见前述三角形常应变单元中的形函数Ni、Nj、
分别是三角形Pjm、Pmi、Pij的面积。这 三个比值称为P点的面积坐标（节点的对 向三角形面积）。
y
Aj
P
Ai
Am
O
x
j 0,1,0
3
2．面积坐标的性质 （i）三个面积坐标并不完全是独立的，只有两个是独立的 所以
Ai Aj Am A
Li L j Lm 1
（5-2） （5-3）
可写为
x 1 bi 2 A ci y
bj cj
L i bm cm L j Lm
8
求面积坐标的幂函数在三角形单元上的积分时，可以应用积分公式
7
4 面积坐标的求导和积分
当面积坐标的函数对直角坐标求导时，可以应用下列公式
bj Lm bi bm Li L j x x Li x L j x Lm 2 Li 2 L j 2 Lm cj Lm ci c Li L j m y y Li y L j y Lm 2 Li 2 L j 2 Lm
1
y
(-1,1)
1
1
(1,1) 3
P( , )
4
O
2 1 (-1,-1) 1 (1,-1) 母体单元
2 1 1 (-1,-1) (1,-1)
O
Li Ni , Lj N j , Lm Nm
则三节点三角形单元的位移函数可以写成面积坐标的表达式
u Lu i i L j u j Lmum , v Li vi L j v j Lmvm
6
将式（5-6）求逆，可得到
1 ai x aj y a m
于是
1
x
1 y j ( ai bi x ci y ) 2 ym
y
（5-4）
Ai 1 Li ( ai bi x ci y ) A 2A
类似
（5-5a）
Lj
1 1 ( a j b j x c j y ) , Lm ( am bm x cm y ) 2 2
阵、刚度矩阵和载荷矩阵等的运算，而且它不随三角形单元形状和方位改变， 对于计算机的应用也十分有利。 如图所示的三角形单元ijm，任意一点P ( x , y )的位置，可以用如下三个比 值来确定
Ai Li A
Lj
Aj A
Am Lm A
（5-1）
i 1,0,0
m 0,0,1
A , Aj , Am 式中A 为三角形ijm的面积， i
第五章 形函数与等参单元
1
内容回顾
通过前面的学习认识到了形函数在有限单元法中的重要性，形函
数作为单元的内插函数，在单元的位移模式中有重要作用，对单 元刚度的推导，外力的节点等效起着关键作用；
假定简单代数多 项式位移函数 利用节点坐标和 节点位移分量求 得多项式的呆待 定系数 待定系数反代得 到位移函数，推 演得到形函数
(i, j, m)
（5-8）
式中l为该边的长度。可得到
i
L dxdy A / 3
2 L i dxdy A / 6
L L dxdy A /12
i j
9
二．四边形自然坐标（归一化处理） (-1,1) 4
1
1
O
(1,1) 3
P( , )