空间向量与立体几何教材分析

五、教学要求
1. 注重联系
本章从数量表示和几何意义两方面， 把对向量及其运算的认识从二维情形提 升到三维情形。这是“由此及彼，由浅 入深” 的认识发展过程。
2．体现思想
• 本章以立体几何问题为载体，体现向量的 工具作用和向量方法的基本步骤和原理， 再次渗透符号化、模型化、运算化和程序 化的数学思想。主要要思想方法是： • （1）类比、猜想、归纳、推广（让学生经 历由平面向空间推广的过程）； • （2）能灵活选择向量法、坐标法与综合法 解决立体几何问题。
a 2
,0)
B
a×b b
a
用向量语言（符号语言）描述空间线面关系： 空间线面关系的判定
平行 l1与l2
l1与1
垂直 e1⊥e2
e1∥n1 n1⊥n2
e1∥e2
e1⊥n1 n1∥n2
1与2
其中 e1 ， e2 分别为直线 l1 ， l2 的方向向量， n1 ， n2 分 别为平面1，2的法向量。
• 平面的法向量的计算： • （1）待定系数法 • 例如：在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中， E ， F 分别是 AB 与 BC 的中点，求 A 1 平面B1EF的法向量。
D1
C1 B1
D F A E B
C
z
D1 A1 B1
C1
D A E(a, x
C a F( ,a,0) 2 y
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
3.1.5 空间向量运算的坐标表示 复习小结
1课时
1课时 1课时
3．2 立体几何中的向量方法
复习小结
5课时
1课时
四、教材解读
• 课程目标 • 空间向量为处理立体几何问题提供了新工 具和新方法。通过学习本章，可以使学生 在对平面向量已有认识的基础上，进一步 学习空间向量，并运用空间向量研究立体 几何中的问题，进一步体会向量方法在解 决几何问题中的作用。
• 5.理解直线的方向向量与平面的法向量。 • 6.能用向量语言描述直线与直线、直线与 平面、平面与平面的垂直、平行关系。 • 7.能用向量方法证明有关直线、平面位置 关系的一些定理。 • 8.能用向量方法解决直线与直线、直线与 平面、平面与平面的夹角等的计算问题， 体会向量方法在研究几何问题中的作用。
• 3.温故知新
• 空间向量的基本概念及其性质是后续学习 的前提，由于空间向量是平面向量的推广， 空间向量及其运算所涉及的内容与平面向 量及其运算类似，所以，空间向量的教学 上要注重知识间的联系，温故而知新，运 用类比的方法认识新问题，经历向量及其 运算由平面向空间推广的过程。
• 4.强调通法
• 向量法有别于传统的纯几何方法，而是将 几何元素用向量表示，进行向量运算，再 回归到几何问题。这种“三步曲”式的解 决问题过程，在数学中具有一般性。 • 三步曲：空间向量表示几何元素→利用向 量运算研究几何元素间的关系→把运算结 果翻译成相应的几何意义。 • 向量运算时注意其几何意义，联系几何问 题（如三垂线定理及其逆定理等）加深对 有关运算的认识。
六、内容解析
• 空间向量及其运算
1. 关于共面向量的定义 —— 平行于同一平面的向 量，叫做共面向量（coplanar vector）： 理解：能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 对共面向量的理解要突出“自由向量”的特征， 向量与平面平行的概念有别于直线与平面的平 行，要帮助学生理解。
2. 关于共面向量定理 —— 如果两个向量 a ， b 不共
• 学习目标 • 1 . 经历向量及其运算由二维平面情形向三 维空间情形推广的过程。 • 2. 了解空间向量的概念，了解空间向量的 基本定理，掌握空间向量的正交分解及其 坐标表示。 • 3. 掌握空间向量的线性运算及其表示。 • 4. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示， 能运用向量的数量积判断向量的共线（平 行）与垂直。
4.关于空间向量的数量积
• (1)由于任意两个空间向量都可以转化为平面向量， 所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个 向量垂直的定义和符号、两个空间向量的数量积等 等，都与平面向量相同。 • (2)要正确使用两个向量夹角的符号〈a，b〉。 • (3)空间向量数量积的几何意义只要求学生了解。 • (4)空间向量数量积运算律的证明不作要求。
B E 2
c
C
|a||b+c|cosθ =|a||b|cosθ1+|a||c|cosθ2 所以： a·(b+c)=a· b+a· c
b
1 O
D
a
A
• a· (b+c)=a· b+a· c，对于空间向量
因为 |b+c|cosθ=|b|cosθ1+|c|cosθ2 |a|· |b+c|cosθ
与原大纲教材的比较
原大纲目标表述 新课标目标表述
1. 理解直线的方向向量、 1. 理解直线的方向向量与 平面的法向量、向量在平 平面的法向量. 面内的射影. 2.能用向量语言表述线线、 线面、面面的垂直、平行 关系 .
与原大纲教材的比较
原大纲目标表述 新课标目标表述 2. 掌握直线和直线、直线和 3. 能用向量方法证明 平面、平面和平面所成的角、 有关线、面位置关系 距离的概念（对于异面直线 的一些定理（包括三 的距离，只要求会利用给出 垂线定理） . 公垂线计算距离）；掌握直 4. 能用向量方法解决 线和平面垂直的性质定理； 线线、线面、面面的 掌握两个平面平行的判定定 夹角的计算问题，体 理和性质定理；掌握两个平 会向量方法在研究几 面垂直的判定定理和性质定 何问题中的作用 . 理.
与原大纲教材的比较
大纲教材 重点 立体几何知识 新教材
空间向量和向量 方法
空间向量 对空间向量只是作为 强调对向量方法 知识 解决部分问题的工具 的一般性认识 立体几何 知识 有系统性要求 不作系统性要求
与原大纲教材的比较
原大纲目标表述 新课标目标表述
1. 理解空间向量的概念掌握 1.经历向量及其运算由平面向空 空间向量的加法、减法和数 间推广的过程 . 乘. 2.了解空间向量的概念，了解空 2. 了解空间向量基本定理； 间向量的基本定理及其意义，掌 理解空间向量的坐标的概念， 握空间向量的正交分解及其坐标 掌握空间向量运算. 表示 . 3. 掌握空间向量的数量积的 3.掌握空间向量的线性运算及其 定义及其性质，掌握用直角 坐标表示 . 坐标计算空间向量数量积的 4.掌握空间向量的数量积及其坐 公式；掌握空间两点间的距 标表示，能运用向量的数量积判 离公式. 断向量的共线与垂直.
可以平移到这个平面，所以就能用 a ， b 线性表
示．
3.关于空间向量基本定理:如果三个向量a，b，
c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在有
• •
• •
序实数组{x, y, z}，使p = xa + yb + zc． 发展路线：共线向量定理(一维)→平面向量 基本定理(二维)→空间向量基本定理(三维)。 通过向量分解惟一性定理的推广，引导学 生积极主动地探索． 目的：为空间向量的坐标表示做准备． 注意：“惟一性”的证明要用反证法(了 解)．
n e l
设e为直线l的方向向量，n 为平面 的法向量， l 与 平面所成的角为，则
线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存
在惟一的有序实数组(x, y)，使p = xa + yb． • 空间向量共面向量定理与平面向量基本定理 不仅在形式上是相同的，而且在本质上也是一 致的．这是因为任意两个空间向量 a ， b 都可以 平移到同一个平面，当 a ， b 不共线时，可以作 为基向量，向量 p 与它们共面，也就是向量 p 也
3.2节的重点与难点
• “ 立体几何中的向量方法”从一个侧面（立 体几何）反映了空间向量的应用，同时也 是对空间向量的再认识。重点是理解并掌 握向量方法解决立体几何问题的一般方法 （“三步曲”）。 • 难点是建立立体图形与空间向量之间的联 系，把立体几何问题转化为向量问题。
课时分配（12课时）
3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算 3.1.3 空间向量的数量积运算 1课时 1课时 1课时
空间线面关系的判定：
三垂线定理，线面平行的判定定理， 线面垂直的判定定理，面面平行的判
定定理，面面垂直的判定定理。
空间角的计算
1．线线角
l2 e2 l1
设 e1 ，e2分别为直线l1 ，l2的方
e1
向向量，直线 l1 ， l2 所成的
角为，则 cos
e1 e2 e1 e2
22.线面角
三、主要内容
• 3.1空间向量及其运算 • 空间向量及其加减法运算 • 空间向量数乘运算（直线的方向向量,共面 向量定理） • 空间向量的数量积运算 • 空间向量的正交分解及其坐标表示（空间 向量基本定理） • 空间向量运算的坐标表示
三、主要内容
• • • • • • • • 3.2 立体几何中的向量方法 平面的法向量 空间线面关系的判定 空间角的计算 立体几何中的向量方法（三部曲） 1. 向量表示 2. 向量运算 3. 回归几何
普通高中课程标准实验教科书 选修2—1
空间向量与立体几何
教学指导意见解读
空间向量章首语
• 本章共分两节： • 3．1 空间向量及其运算 • 3．2 立体几何中的向量方法
一、内容与要求
二、地位与作用
• 1.本章是必修数学4“平面向量”在空间的推 广，又是必修数学2“立体几何初步”的延续。 • 2.空间向量为处理立体几何问题提供了新的 视角(“立体几何初步”侧重于定性研究，本 章则侧重于定量研究)。 • 3.进一步体会向量方法在研究几何问题中的 作用。
空间向量数量积的几何意义
• a· b 的几何意义：数量积 a· b 等于 a 的长 度|a|与b在a的方向上的投影|b|· cos<a， b>的乘积。 • 或者等于b的长度|b|与a在b的方向上的 投影|a|· cos<a，b> 的乘积。
• 空间向量数量积运算律（分配律）的说明
• a· (b+c)=a· b+a· c，对于平面向量 因为 |b+c|cosθ=|b|cosθ1+|c|cosθ2
知识结构
空间向量的定义
空间向量运算的几何意义
空间向量的运算 线性运算和数量积运算
空间向量运算的坐标表示
用空间向量表示点、直线、平面等元素
建立空间图形与空间向量在联系
空间向量的应用
空间向量及其运算知识结构
实际背景
空间向量的概念
坐标表示
基本定理
数量积
线性运算
简单应用
3.1节的重点与难点
• “ 空间向量及其运算”是本章的基础， 这一节的重点是空间向量的基本概念 和基本运算、空间向量的基本定理。 • 难点是空间向量的基本定理。
立体几何中的向量方法
直线的方向向量与平面的法向量
如何用向量来刻画直线、平面的“方向”？
• 直线的方向向量不惟一，这些方向向量是共线向 量；两条平行直线的方向向量是共线向量．可以 用直线的方向向量研究空间线线、线面的平行与 垂直关系． • 平面的法向量不惟一，这些法向量是共线向量； 两个平行平面的法向量是共线向量．可以用平面 的法向量研究空间线面、面面的平行与垂直关 系．
• 5.螺旋上升
• 必修2中，已经讨论过空间中直线、平面的 平行、垂直等位置关系，当时没有对相关 判定定理进行证明，只证明了相关性质定 理。 • 本章以三垂线定理、线面垂直的判定定理 等为例，用向量方法对其进行证明，然后 指出运用向量方法可以证明关于线面位置 关系的其他判定定理，并引导学生进行尝 试。这样可以加强所学前后知识的联系， 对空间位置关系提高认识水平。
B
c
C
=|a|· |b|cosθ1+|a|· |c|cosθ2
E
b
2
O
1
D
所以 a· (b+c)=a· b+a· c
aபைடு நூலகம்
D
A
• 代数证明（运算的坐标表示）： • 设a=x1i+y1j+z1k， b=x2i+y2j+z2k， c=x3i+y3j+z3k • 则b+c=(x2+x3)i+(y2+y3)j+(z2+z3)k， • a· (b+c)=x1(x2+x3)+y1(y2+y3)+z1(z2+z3) =x1x2+x1x3+y1y2+y1y3+z1z2+z1z3 • 又因为：a· b=x1x2+y1y2+z1z2， • a· c=x1x3+y1y3+z1z3 • a· b+a· c=x1x2+x1x3+y1y2+y1y3+z1z2+z1z3 • 所以： a· (b+c)=a· b+a· c