轴对称求最短路径小专题

轴对称求最短路径
——从将军饮马说起
□教研讲义 ■随堂讲义 ■课下练习 □测验卷
前情回顾 例 1、唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说： “白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河． ”诗中隐含着一个 有趣的数学问题：著名的“将军饮马”问题，有一位将军骑着马要从 A 地走到 B 地，但途中要到水边喂马 喝一次水，则将军怎样走最近？ 你可以在 a 上找几个点试一试,能发现什么规律?
在相应的资料类型前涂黑
·B ·A
a
·B ·A
a
·B ·A
N a
·A′
图1
M
·A′
M
图2
图3
作图集中营
作图： （ 1 ） 在 直 线 l 上 求 作 一 点 P ， 使 PA+PB 最 小 ；
（ 2 ） 在 直 线 l 上 求 作 一 点 P ， 使 PA-PB 最 小 ．
（ 3 ） 在 直 线 l 上 求 作 一 点 P ， 使 PA-PB 最 大 ．
特殊三角形中的轴对称 1

例 2 、如 图 ，正 三 角 形 ABC 的 边 长 为 2 ， M 是 BC 边 上 的 中 点 ， P 是 AC 边 上 的 一 个 动 点 ，求 PB+PM 的最小值．
练一练
1 、 如 图 Rt △ ABC 中 ， AB=BC=4 ， D 为 BC 的 中 点 ， 在 AC 边 上 存 在 一 点 E ， 连 接 ED ， EB ， 求 △ BDE 周长的最小值
2 、 如 图 ， 已 知 AB=3 ， BC=7 ， CD=
． 且 AB ⊥ BC ， ∠ BCD=135 °． 点 M 是 线 段 BC 上 的 一 个 动 点 ，
连 接 AM 、 DM ． 点 M 在 运 动 过 程 中 ， 求当 AM+DM 的 值 最 小 时 ， BM 的 值
；
这题和之前的有什么不同
例 3 、 如 图 ， 已 知 ∠ AOB 的 大 小 为 α ， P 是 ∠ AOB 内 部 的 一 个 定 点 ， 且 OP=2 ， 点 E 、 F 分 别 是 OA 、 OB 上 的 动 点 ， 若 △ PEF 周 长 的 最 小 值 等 于 2 ， 求 α 的 度 数
作图集中营②
已 知 ：如 图 2 ，在 △ ABC 中 ，若 在 上 一 题 的 条 件 改 为 D 是 AB 上 一 定 点 ，在 BC 、 CA 、上 分 别 找 一 点
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E 、 F 使 △ DEF 的 周 长 最 小 ， 请 作 出 相 应 图 形 并 写 出 作 法 ；
将军又要饮马了
例 4、 如 图 ， A 为 马 厩 ， B 为 帐 篷 ， 将 军 某 天 要 从 马 厩 牵 出 马 ， 先 到 草 地 边 的 某 一 处 牧 马 ， 再 到 河 边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线．作出图形并说明理由．
造桥工程师
例 5 、 如 图 ， A 和 B 两 地 在 一 条 河 的 两 岸 ， 现 要 在 河 上 造 一 座 桥 MN ， 使 从 A 到 B 的 路 径 AMNB 最 短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直） （ ）
A．
B．
C．
D．
例 6、 如 图 ， 五 羊 大 学 建 立 分 校 ， 校 本 部 与 分 校 隔 着 两 条 平 行 的 小 河 ， l1∥ l2 表 示 小 河 甲 ， l3∥ l4 表 示 小 河 乙 ， A 为 校 本 部 大 门 ， B 为 分 校 大 门 ， 为 方 便 人 员 来 往 ， 要 在 两 条 小 河 上 各 建 一 座 桥 ，桥 面 垂 直 于 河 岸 ．图 中 的 尺 寸 是 ：甲 河 宽 8 米 ，乙 河 宽 10 米 ， A 到 甲 河 垂 直 距 离 为 40 米 ， B 到 乙 河 垂 直 距 离 为 20 米 ， 两 河 距 离 100 米 ， A 、 B 两 点 水 平 距 离 （ 与 小 河 平 行 方 向 ） 120 米 ， 为 使 A 、 B 两 点 间 来 往 路 程 最 短 ， 两 座 桥 都 按 这 个 目 标 而 建 ， 那 么 ， 此 时 A、 D 两 点 间 来 往 的 路 程 是 多 少 米 ？
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平面直角坐标系中的最短路径
例 7、 已 知 ： 如 图 所 示 ， M（ 3， 2） ， N （ 1 ， -1 ） ． 点 P 在 y 轴 上 使 PM+PN 最 短 ， 求 P 点 坐 标
例 8 、 如 图 ， 在 直 角 坐 标 系 内 有 两 个 点 A （ -1 ， -1 ） ， B（ 2， 3） ， 若 M 为 x 轴 上 一 点 ， 且 使 MB-MA 最大，求 M 点的坐标，并说明理由．
例 9 、 在 直 角 坐 标 系 中 ， 有 四 个 点 A （ -8 ， 3 ） 、 B （ -4 ， 5 ） 、 C （ 0 ， n ） 、 D （ m ， 0 ） ， 当 四 边 形 ABCD 的 周 长 最 短 时 ， 求 的 值 ．
例 10 、 已 知 ： a 、 b 是 正 数 ， 且 a+b=2 ， 求
的最小值是
练 1、 已 知 ： 如 图 所 示 ， M（ 3， 2） ， N （ 1 ， -1 ） ． 点 P 在 y 轴 上 使 PM+PN 最 短 ， 求 P 点 坐 标
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练 2 、 平 面 直 角 坐 标 系 内 有 A （ 2 ， -1 ） ， B（ 3 ， 3 ） 两 点 ， 点 P 是 y 轴 上 一 动 点 ， 求 P 到 A 、 B 距 离 之和最小时的坐标．
一次函数中的最短路径
在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， A（ 2， 0） ， B（ 3， 0） ， P 是 直 线 y=x 上 的 点 ， 当 PA+PB 最 小 时 ， 试 求 P 点 的坐标．
终极挑战
如 图 所 示 ， 已 知 Rt △ ABC 中 ， ∠ B=90 °， AB=3 ， BC=4 ， D ， E ， F 分 别 是 三 边 AB ， BC ， CA 上 的 点 ， 求 DE+EF+FD 的 最 小 值
已 知 ： 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， 是 否 存 在 D 、 E 、 F 分 别 在 AB 、 BC 、 CA ， 且 △ DEF 的 周 长 最 小 ？ 若 存 在 请作出相应图形并写出作法；若不存在，请说明理由．
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