全等几何模型讲解
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常见的几何模型
一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半角。
这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类。
1.绕点型（手拉手模型）
（1）自旋转：
例题讲解：
1.如图所示，P是等边三角形ABC内的一个点，PA=2，PB= ，PC=4，求△ABC的边长。
2.如图，O是等边三角形ABC内一点，已知：∠AOB=115°，∠BOC=125°，则以线段OA、OB、OC为边构成三角形的各角度数是多少？
（1）求边 在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当 和 平行时(如图2)，求正方形 旋转的度数；
（3）如图3，设 的周长为 ，在旋转正方形 的过程中， 值是否有变化？请证明你的结论.
7. (2011石景山一模)已知：如图，正方形ABCD中，AC，BD为对角线，将∠BAC绕顶点A逆时针旋转α°（0＜α＜45），旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q，交BC，CD于点E、点F，连接EF，EQ．
9.(2014平谷一模24)
（1）如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，∠EAF=45°，连接EF，
则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD．连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足 ，请证明这个等量关系；
（2）在△ABC中，AB=AC，点D、E分别为BC边上的两点．
AH=AB；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）
5.已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1)，易证BM+DN=MN．
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2)，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明．
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想．
6.(14房山2模).边长为2的正方形 的两顶点 、 分别在正方形EFGH的两边 、 上(如图1)，现将正方形 绕 点顺时针旋转，当 点第一次落在 上时停止旋转，旋转过程中， 边交 于点 ， 边交 于点 .
2.半角模型
说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
例题：
1.在等腰直角△ABCD的斜边上取两点M,N,使得 ,记AM=m,MN=x,BN=n，
求证以m，x，n为边长的三角形为直角三角形。
2.如图，正方形ABCD的边长为1，AB,AD上各存在一点P、Q，若△APQ的周长为2，
2.（13北京中考）
在△ABC中，AB=AC，∠BAC= （ ），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得
到线段BD。
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含 的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求 的值。
（1）如图1，若点 在线段 上，请分别写出线段 和 之间的位置关系和数量关系：___________，___________；
（2）在（1）的条件下，当点 在线段 上，且 时，求证： ；
（3）当点 在线段 的延长线上时，在线段 上是否存在点 ，使得 ．若存在，请直接写出 的长度；若不存在，请说明理由．
3.如图，P是正方形ABCD内一点，且满足PA：PD：PC=1：2：3，则∠APD=.
4.如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。
（2）共旋转（典型的手拉手模型）
模型变形：
例题讲解：
1.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF.
(1)如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF ‚②AC=CF+CD.
(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。
（1）在∠BAC的旋转过程中，∠AEQ的大小是否改变？若不变写出它的度数；若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；
（2）探究△APQ与△AEF的面积的数量关系，写出结论并加以证明．
8．已知在 中， ， ， 于 ，点 在直线 上， ，点 在线段 上， 是 的中点，直线 与直线 交于 点.
求 的度数。
3. 、 分别是正方形 的边 、 上的点，且 ， ， 为
垂足，求证： ．
4.已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：
把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到 ．
连结 ．则 ,
， ．
∵Baidu NhomakorabeaEAF=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°,
∠DAM′+∠DAF=45°, ．
∴ ≌ ．∴ =MN．
在 中， ,
∴
（2）① ；
②
3.空翻模型
例题：
1.如图，点 为正三角形 的边 所在直线上的任意一点(点 除外)，作 ，射线 与 外角的平分线交于点 ， 与 有怎样的数量关系?
①如图2，当∠BAC=60°，∠DAE=30°时，BD、DE、EC应满足的等量关系是
②如图3，当∠BAC= ，(0°< <90°)，∠DAE= 时，BD、DE、EC应满足的等量关系是___________．【参考： 】
注意：
(1)在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∠ABM=∠ADN=45°．
一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半角。
这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类。
1.绕点型（手拉手模型）
（1）自旋转：
例题讲解：
1.如图所示，P是等边三角形ABC内的一个点，PA=2，PB= ，PC=4，求△ABC的边长。
2.如图，O是等边三角形ABC内一点，已知：∠AOB=115°，∠BOC=125°，则以线段OA、OB、OC为边构成三角形的各角度数是多少？
（1）求边 在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当 和 平行时(如图2)，求正方形 旋转的度数；
（3）如图3，设 的周长为 ，在旋转正方形 的过程中， 值是否有变化？请证明你的结论.
7. (2011石景山一模)已知：如图，正方形ABCD中，AC，BD为对角线，将∠BAC绕顶点A逆时针旋转α°（0＜α＜45），旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q，交BC，CD于点E、点F，连接EF，EQ．
9.(2014平谷一模24)
（1）如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，∠EAF=45°，连接EF，
则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD．连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足 ，请证明这个等量关系；
（2）在△ABC中，AB=AC，点D、E分别为BC边上的两点．
AH=AB；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）
5.已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1)，易证BM+DN=MN．
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2)，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明．
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想．
6.(14房山2模).边长为2的正方形 的两顶点 、 分别在正方形EFGH的两边 、 上(如图1)，现将正方形 绕 点顺时针旋转，当 点第一次落在 上时停止旋转，旋转过程中， 边交 于点 ， 边交 于点 .
2.半角模型
说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
例题：
1.在等腰直角△ABCD的斜边上取两点M,N,使得 ,记AM=m,MN=x,BN=n，
求证以m，x，n为边长的三角形为直角三角形。
2.如图，正方形ABCD的边长为1，AB,AD上各存在一点P、Q，若△APQ的周长为2，
2.（13北京中考）
在△ABC中，AB=AC，∠BAC= （ ），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得
到线段BD。
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含 的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求 的值。
（1）如图1，若点 在线段 上，请分别写出线段 和 之间的位置关系和数量关系：___________，___________；
（2）在（1）的条件下，当点 在线段 上，且 时，求证： ；
（3）当点 在线段 的延长线上时，在线段 上是否存在点 ，使得 ．若存在，请直接写出 的长度；若不存在，请说明理由．
3.如图，P是正方形ABCD内一点，且满足PA：PD：PC=1：2：3，则∠APD=.
4.如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。
（2）共旋转（典型的手拉手模型）
模型变形：
例题讲解：
1.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF.
(1)如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF ‚②AC=CF+CD.
(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。
（1）在∠BAC的旋转过程中，∠AEQ的大小是否改变？若不变写出它的度数；若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；
（2）探究△APQ与△AEF的面积的数量关系，写出结论并加以证明．
8．已知在 中， ， ， 于 ，点 在直线 上， ，点 在线段 上， 是 的中点，直线 与直线 交于 点.
求 的度数。
3. 、 分别是正方形 的边 、 上的点，且 ， ， 为
垂足，求证： ．
4.已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：
把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到 ．
连结 ．则 ,
， ．
∵Baidu NhomakorabeaEAF=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°,
∠DAM′+∠DAF=45°, ．
∴ ≌ ．∴ =MN．
在 中， ,
∴
（2）① ；
②
3.空翻模型
例题：
1.如图，点 为正三角形 的边 所在直线上的任意一点(点 除外)，作 ，射线 与 外角的平分线交于点 ， 与 有怎样的数量关系?
①如图2，当∠BAC=60°，∠DAE=30°时，BD、DE、EC应满足的等量关系是
②如图3，当∠BAC= ，(0°< <90°)，∠DAE= 时，BD、DE、EC应满足的等量关系是___________．【参考： 】
注意：
(1)在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∠ABM=∠ADN=45°．