数字信号处理3-离散傅里叶变换
数字信号处理 实验3 离散系统的频域分析
MATLAB 为求解离散系统的频率响应和连续系统的频率响应，分别提供了 freqz 和 freq（s 求
连续系统的频率响应函数）两个函数，使用方法类似。本实验主要讨论离散系统的频率响应。
例 3-1 已知离散时间系统的系统函数为
H(z)
=
0.1321− 0.3963 z−2 + 0.3963 z−4 − 0.1321z−6 1+ 0.34319 z−2 + 0.60439 z−4 + 0.20407 z−6
求该系统在 0～π频率范围内的绝对幅频响应、相对幅度响应、相位响率响应及群迟延。
解 MATLAB 程序如下：
b＝[0.1321，0，0.3963，0，0.3963，0，0.1321]；
a＝[1，0，－0.34319，0，0.60439，0，－0.20407]；
离散傅里叶变换(DFT)
课程名称：数字信号处理 （Digital Signal Processing）课程性质: 专业基础课 授课专业: 计算机科学与技术、自动化第3章 离散傅里叶变换（DFT）电子与信息工程学院 金海红数字信号处理引 言DFT: Discrete Fourier Transform 离散傅里叶变换是有限长序列的离散频域表示，不 仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用 计算机处理。
但是，直至上个世纪六十年代，由于 数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的 计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应 用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现 出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于 各种数字信号处理系统中。
2数字信号处理引 言Fourier Fourier变换的几种可能形式 变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换 连续时间、离散频率—傅里叶级数 离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换 离散时间、离散频率—离散傅里叶变换3数字信号处理1、连续时间、连续频率—傅里叶变换定义X ( jΩ) = ∫ x(t )e − jΩt dt−∞ ∞ ∞1 x(t ) = 2π∫−∞X ( jΩ)e jΩt d Ω结论： z 时域连续函数造成频域是非周期的谱 z 而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数4数字信号处理2、连续时间、离散频率—傅里叶级数 义定1 T0 / 2 − jk Ω0t X ( jk Ω0 ) = ∫ x(t )e dt − T / 2 T0 0 x(t ) =k =−∞∑∞X ( jk Ω0 )e jk Ω0t结论： z 时域连续函数造成频域是非周期的谱 z 频域的离散对应时域是周期函数。
5数字信号处理3、离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换定义X (e jω ) = 1 x ( n) = 2πn =−∞∑π−∞x(n)e − jωn X (e jω )e jωn dω∫π结论： z 时域的离散化造成频域的周期延拓 z 时域的非周期对应于频域的连续6数字信号处理4、离散时间、离散频率—离散傅里叶变换定义N −1 −j2π nk N 2π nk NX ( k ) = ∑ x ( n)e 1 x(n) = Nn =0 N −1 k =0∑ X ( k )ej结论： 一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此离 散傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的7数字信号处理四种傅里叶变换形式的归纳频率函数非周期和连续 非周期和离散(Ω0=2π/T0) 周期(Ωs=2π/T)和连续 周期(Ωs=2π/T)和 离散(Ω0=2π/T0)8时间函数连续和非周期 连续和周期(T0) 离散(T)和非周期 离散(T)和周期(T0)数字信号处理Contents1. 2. 3. 4.离散傅里叶变换（DFT）的定义 离散傅里叶变换（DFT）的基本性质 频率域采样 DFT的应用举例9数字信号处理3.1离散傅里叶变换的定义1. 1.余数运算表达式 余数运算表达式预备知识如果n = n1 + mN ，0 ≤ n1 ≤ N − 1 ，m为整数；则( (n ) )N= ( n1 ) ，此运算符表示 n 被 N 除，商为 m，余数为 n1 。
数字信号处理习题答案
因为
y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)
=ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］+3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］
a T［x1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2)
所以
bT［x2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2)
n
1=n+1
m0
3
1=8－n
mn4
④ n>7时， y(n)=0
题8解图（1）
最后结果为 0 n<0或n>7
y(n)= n+1 0≤n≤3 8－n 4≤n≤7
y(n)的波形如题8解图（1）所示。 (2) y(n) =2R4(n)*［δ(n)－δ(n－2)］=2R4(n)－2R4(n－2) = 2［δ(n)+δ(n－1)－δ(n+4)－δ(n+5)
n
n
x(n) 2 cos(0nT )
- n
（3）
0 2πf0 200π rad
T 1 2.5 ms fs
Xˆ a (
j )
1 T
X a ( j
k
jks )
2π T
[δ(
k
0
k s
)
δ(
0
ks )]
式中 s 2πfs 800π rad/s
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
第1章 时域离散信号与时域离散系统
h(n) 1[ (n) δ(n 1) δ(n 2) δ(n 3) δ(n 4)]
5
（2） 已知输入信号， 用卷积法求输出。 输出信号y(n)为 y(n) x(k)h(n k) k
数字信号处理第三版(姚天任、江太辉) 答案 第三章
3.1 图 P3.1 所示的序列 x(n) 是周期为 4 的周期性序列。请确定其傅里叶级数的系数 X (k) 。
∑ ∑ ∑ 解： X (k)
=
N −1
x(n)WNnk
=
N −1
x(−n)WNnk
=
−( N −1)
x(n)WN−nk
=
X (−k)
解：图 P3.5_1 所示的是计算这两个序列的周期卷积 x3 (n) 的过程，可以看出，x3 (n) 是 x1 (n) 延时 1 的结果， 即 x3(n) = x1(n −1) 。
3.6 计算下列序列的N点DFT：
(1) x(n) = δ (n)
(2) x(n) = δ [(n − n0 )]N * RN (n), 0 < n0 < N
总计需要时间： (105 + 21)s = 126s
用 FFT 计算 DFT：
复数乘法：
N 2
log2
N
=
5120次, 5120 ×100μ s
≈
0.512s
复数加法： N log2 N = 10240次,10240× 20μs ≈ 0.2048s
总计需要时间： (0.512 + 0.2048)s = 0.7168s
（2） x2 (n) = x ⎡⎣(2 − n)⎤⎦4 R4 (n)
解： x1(n) 和 x2 (n) 的图形如图 P3.7_1 所示：
3.8 图 P3.8 表示一个 4 点序列 x(n) 。 （1）绘出 x(n) 与 x(n) 的线性卷积结果的图形。 （2）绘出 x(n) 与 x(n) 的 4 点循环卷积结果的图形。 （3）绘出 x(n) 与 x(n) 的 8 点循环卷积结果的图形，并将结果与（1）比较，说明线性卷积与循环卷
数字信号处理—原理、实现及应用(第4版)第3章 离散傅里叶变换及其快速算法 学习要点及习题答案
·54· 第3章 离散傅里叶变换（DFT ）及其快速算法（FFT ）3.1 引 言本章是全书的重点，更是学习数字信号处理技术的重点内容。
因为DFT （FFT ）在数字信号处理这门学科中起着不一般的作用，它使数字信号处理不仅可以在时域也可以在频域进行处理，使处理方法更加灵活，能完成模拟信号处理完不成的许多处理功能，并且增加了若干新颖的处理内容。
离散傅里叶变换（DFT ）也是一种时域到频域的变换，能够表征信号的频域特性，和已学过的FT 和ZT 有着密切的联系，但是它有着不同于FT 和ZT 的物理概念和重要性质。
只有很好地掌握了这些概念和性质，才能正确地应用DFT （FFT ），在各种不同的信号处理中充分灵活地发挥其作用。
学习这一章重要的是会应用，尤其会使用DFT 的快速算法FFT 。
如果不会应用FFT ，那么由于DFT 的计算量太大，会使应用受到限制。
但是FFT 仅是DFT 的一种快速算法，重要的物理概念都在DFT 中，因此重要的还是要掌握DFT 的基本理论。
对于FFT 只要掌握其基本快速原理和使用方法即可。
3.2 习题与上机题解答说明：下面各题中的DFT 和IDFT 计算均可以调用MA TLAB 函数fft 和ifft 计算。
3.1 在变换区间0≤n ≤N -1内，计算以下序列的N 点DFT 。
(1) ()1x n =(2) ()()x n n δ=(3) ()(), 0＜＜x n n m m N δ=- (4) ()(), 0＜＜m x n R n m N = (5) 2j()e, 0＜＜m n N x n m N π=(6) 0j ()e n x n ω=(7) 2()cos , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(8)2()sin , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(9) 0()cos()x n n ω=(10) ()()N x n nR n =(11) 1,()0n x n n ⎧=⎨⎩，解：(1) X (k ) =1N kn N n W -=∑=21j0eN kn nn π--=∑=2jj1e1ekN n k nπ---- = ,00,1,2,,1N k k N =⎧⎨=-⎩(2) X (k ) =1()N knNM n W δ-=∑=10()N n n δ-=∑=1，k = 0, 1, …, N -1(3) X (k ) =100()N knNn n n W δ-=-∑=0kn NW 1()N n n n δ-=-∑=0kn NW，k = 0, 1, …, N -1为偶数为奇数·55·(4) X (k ) =1m knN n W -=∑=11kmN N W W --=j (1)sin esin k m N mk N k N π--π⎛⎫⎪⎝⎭π⎛⎫ ⎪⎝⎭，k = 0, 1, …, N -1 (5) X (k ) =21j 0e N mn kn N N n W π-=∑=21j ()0e N m k nNn π--=∑=2j()2j()1e1em k N N m k Nπ--π----= ,0,,0≤≤1N k mk m k N =⎧⎨≠-⎩(6) X (k ) =01j 0eN nknN n W ω-=∑=021j 0e N k nN n ωπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=∑=002j 2j 1e1ek NN k N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭π⎛⎫- ⎪⎝⎭--= 0210j 202sin 2e2sin /2N k N N k N k N ωωωπ-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k = 0, 1, …, N -1或 X (k ) =00j 2j 1e 1e Nk N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭--，k = 0, 1, …, N -1(7) X (k ) =102cos N kn N n mn W N -=π⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=2221j j j 01e e e 2N mn mn kn N N N n πππ---=⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭∑=21j ()01e 2N m k n N n π--=∑+21j ()01e 2N m k n N n π--+=∑=22j ()j ()22j ()j ()11e 1e 21e 1e m k N m k N N N m k m k N N ππ--+ππ--+⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=,,20,,N k m k N mk m k N M ⎧==-⎪⎨⎪≠≠-⎩，0≤≤1k N - (8) ()22j j 21()sin ee 2j mn mnN N x n mn N ππ-π⎛⎫== ⎪-⎝⎭ ()()112222j j j ()j ()0011()=e e ee 2j 2j j ,2=j ,20,(0≤≤1)N N kn mn mn m k n m k n N N N N N n n X k W Nk m N k N mk k N --ππππ---+===--⎧-=⎪⎪⎨=-⎪⎪-⎪⎩∑∑其他(9) 解法① 直接计算χ(n ) =cos(0n ω)R N (n ) =00j j 1[e e ]2n n ωω-+R N (n )X (k ) =1()N knNn n W χ-=∑=0021j j j 01[e e ]e 2N kn n n N n ωωπ---=+∑=0000j j 22j j 11e 1e 21e 1e N N k k N N ωωωω-ππ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，k = 0, 1, … , N -1 解法② 由DFT 共轭对称性可得同样的结果。
(完整版)数字信号处理实验三
3.41；3.42 由教材可知： ，即序列的偶部分的傅立叶变换是序列的傅立叶变换的实部。
5、实验步骤
1、进行本实验，首先必须熟悉matlab的运用，所以第一步是学会使用matlab。
2、学习相关基础知识，根据《数字信号处理》课程的学习理解实验内容和目的。
plot(w/pi,angle(h1));grid
xlabel('\omega/\pi');ylabel('以弧度为单位的相位');
title('原序列的相位谱')
subplot(2,2,4)
plot(w/pi,angle(h2));grid
xlabel('\omega/\pi');ylabel('以弧度为单位的相位');
grid;
title('相位谱arg[H(e^{j\omega})]');
xlabel('\omega/\pi');
ylabel('以弧度为单位的相位');
3.4
clf;
w=-4*pi:8*pi/511:4*pi;
num1=[1 3 5 7 9 11 13 15 17];
h=freqz(num,1,w);
Q3.32 通过加入合适的注释语句和程序语句，修改程序P3.8，对程序生成的图形中的两个轴加标记。时移量是多少？
Q3.33 运行修改后的程序并验证离散傅里叶变换的圆周时移性质。
Q3.36 运行程序P3.9并验证离散傅里叶变换的圆周卷积性质。
Q3.38 运行程序P3.10并验证线性卷积可通过圆周卷积得到。
数字信号处理第3章 离散傅里叶变换(DFT)
Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k), 0≤k≤N-1(3.2.1)
其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。
3.2.2 循环移位性质
1. 序列的循环移位 设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移 位定义为 y(n)=x((n+m))NRN(N) (3.2.2)
其中 XR(k)=Re［X(k)］=DFT［xep(n)］
(3.2.17)
X(k)=DFT［x(n)］=XR(k)+jXI(k) (3.2.18)
jXI(k)=jIm［X(k)］=DFT［xop(n)］
设x(n)是长度为N的实序列，且X(k)=DFT［x(n)］，则
(1) X(k)=X*(N-k),0≤k≤N-1 (2) 如果 x(n)=x(N-m) 则X(k)实偶对称，即X(k)=X(N-k) (3.2.20) (3.2.19)
如果序列x(n)的长度为M， 则只有当频域采样点
数N≥M时， 才有
xN(n)=IDFT［X(k)］=x(n) 即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)，否则产生时 域混叠现象。 这就是频域采样定理。
下面推导用频域采样X(k)表示X(z)的内插公式和内
插函数。设序列x(n)长度为M，在频域0~2π之间等间隔 采样N点，N≥M，则有
的值。
图 3.2.3 共轭对称与共轭反对称序列示意图
如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对
称分量一样，任何有限长序列x(n)都可以表示成共轭对 称分量和共轭反对称分量之和，即
x(n)=xep(n)+xop(n)
0≤n≤N-1
(3.2.11)
(3.2.13) (3.2.14)
数字信号处理之离散傅里叶变换
共轭对称性
对于实数输入信号，DFT 的结果X[k]满足共轭对称 性，即X[-k] = X[k]*。
离散傅里叶变换的矩阵表示
DFT可以表示为一个矩阵运算， 即X = W * x，其中X是DFT的输 出，x是输入信号，W是DFT的
权重矩阵。
权重矩阵W是一个复数矩阵，具 有特殊的结构，可以通过快速傅 里叶变换（FFT）算法进行高效
03
其他信号处理方法还包括短时 傅里叶变换、Wigner-Ville分 布等，可根据具体应用场景选 择合适的信号处理方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 06
结论
离散傅里叶变换的重要性和应用价值
离散傅里叶变换（DFT）是数字信号处理领域 中的重要工具，它能够将信号从时域转换到频 域，从而揭示信号的频率成分和特征。
DFT在通信、雷达、声呐、图像处理、语音识 别等领域有着广泛的应用，是实现信号分析和 处理的关键技术之一。
图像压缩
通过对图像进行DFT变换，将图像从空间域变换到频域，可以提取出图像的主要频率成分 ，从而实现图像压缩。常见的图像压缩算法有JPEG和JPEG2000等。
05
离散傅里叶变换的局限性和改进方法
离散傅里叶变换的局限性
计算量大
离散傅里叶变换需要进行大量复杂的复数运算，对于大数据量信 号处理效率较低。
方式。
离散傅里叶变换的编程实现
01
编程语言如Python、C等提供了离散傅里叶变换的库函数，可 以直接调用进行计算。
02
编程实现时需要注意数据的输入输出、内存管理、异常处理等
问题，以保证程序的正确性和稳定性。
编程实现离散傅里叶变换时，可以根据实际需求选择不同的库
03
函数和算法，以达到最优的计算效果。
《数字信号处理》C3离散傅里叶变换及快速算法
j
n
x(n) z n
M 1 n 0
n x ( n ) z jn
X ( e ) DTFT [ x ( n )]
n
x ( n )e
M 1 n 0
jn ( ) x n e
2 j X ( e ) FT [ x N ( n )] N ( k ) DFS [ x N ( n )] X X ( k ) DFT [ x ( n )]N
n 0
N 1
n
1 n0 N
N 1
X (k )W
k 0
N 1
nk N
n z
1 N 1 N 1 nk n X (k ) WN z N k 0 n 0
N 1 1 N 1 k 1 n X (k ) WN z N k 0 n 0
(n) ak e x
k 0 N 1 j 2 kn N
2 2 T 0 0T NT N
为什么是有限项之和？ 如何求系数？
( n )e x
n 0
N 1
j
2 mn N
2 2 j kn j mn ak e N e N n 0 k 0 N 1 N 1
N 1
ak ak lN
周期
3.1 周期序列的傅里叶级数
数字信号处理：离散傅里叶变换(DFT)
X (k ) XX((kkX)))X(XX(z(ez(zzjjjj))))222kk,,k, 200k0,kkkNN--1N1-1 0((33..1(1.3.44.)1k).4) NNN N
2021/8/24
6
3.1 离散傅里叶变换的定义
DFT的物理意义：
(1)x(n)的N点DFT 是x(n)的Z变换在单位
。 j 2 kn 8
解: (1) 设变换区间N=8， 则：n0
N 0
XX(k(k)
77
)
nn00
xx(Xn(n)W()Wk8k)8nkn 3373 eexj 28j(28knnkn)We8jk83nk NnN000
sin(3 k 2 sin kn
80,1,
,
7
(2) 设变换区间N=16， 则 2 k 8
设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为：
N 1
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn
n0
N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNkn
n0
0 k N-1
X (比k较) 上XXX面(((kkkX)二))式X(XX(z(可z(z)z)))得zzzezej2关jeN2Njk2Nke,系k,j,2N式 k00,0kkkNN--N11-10 ((33k..1(1.3.33.)1).3)N
(
j2 k
X
(k)
X(k)
DFT
[=x(Xn~ ()k]
)RNDD(nFF)ST[n[x~x(0~n()n] )RNnN01(n
[0, 2]上的N点
单位圆上的N
等间隔采样
DFT
点等间隔采样
~
X (k ) DFFTT [ x(n)] ZT DFT [x(n)RN (n)] X
数字信号处理3
m 0,1,2,3
X [0] X [1] X [2] X [3]
W80 W81 W82 W83
-1 -1 -1 -1
X2[0]
X2[1] X2[2] X2[3]
X [4] X [5]
X [6]
X [7]
8点基2时间抽取FFT算法流图
x[0] x[0]
XX11[0] 11[0]
X1[0] X1[1] X1[2] X1[3]
X 1[ m ]
N / 2 1 r 0 mr x1[r ]WN / 2
X 2 [m ]
N / 2 1 r 0
mr x2 [r ]WN / 2
m 0,1 N 1 2
（2）合成
m X [m] X 1[m] WN X 2 [m]
X [ m N ] X 1[ m ] W X 2 [ m ] 2
X[4] X[5] X[6] X[7]
1
W80 W82
W80
1 1
W82 W83
1
3. 基2时间抽取FFT算法的计算复杂度
算法 直接计 算DFT 基2时 间抽取 FFT 复乘 次数 N2
N log 2 N 2
复乘次数
复加 次数 N(N-1)
18000 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0
1. 基2频率抽取FFT算法原理
将频域序列X[m]分成两个长度为N/2的短序列X1、X2 合成 偶数点序列 X 1[ r ] X [2 r ]
N r 0,1, , 1 2 奇数点序列 X 2 [ r ] X [2r 1]
这两个频域短序列分别由N/2点时域序列x1、x2经过DFT计 算得到 N /21 N /2 1
第3章--离散傅里叶变换(DFT)(用此参考课件上课)
x(n)
三. DFT的隐含周期性
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 WNkn的周期性，使x(n) 和X(k)均具有隐含周期性，且周期
均为N。 对任意整数m，总有
1 使DFT具有特殊性质(如循环移位、循环卷积等)的根 本原因，也是学习DFT需要着重理解的性质！ 2 不论原始有限长度序列的性质如何，只要对它做DFT 运算，即将它看做是周期为N的周期序列
xn
W kn 2N
n0
nN
N 1
N 1
x
n
W kn 2N
x n N W2kNnN
n0
n0
N1
k n N 1
kn kN
x n WN2 x n N WN2 WN 2
n0
n0
N 1
x
kn
n WN2
1 e jk
n0
2
X
k 2
,
0，
k 偶数 k 奇数
0 k 2N -1
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
可直接按IDFT{Y(k)}证明
再利用DFS和DFT关系
DFT[x((n m))N RN (n)] DFT[~x (n m)RN (n)] WNmk X~(k )RN (k ) WNmk X (k )
例题：
已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFT[x(n)]，
令 y n x n N R2N n ，试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。
解：
2 N 1
2 N 1
Y k
y
n
第3章--离散傅里叶变换(DFT)
设x(n)是一种长度为M旳有限长序列， 则定义x(n)旳N点
离散傅里叶正变换为
N 1
j 2 nk
X (k ) DFT[x(n)] x(n)e N
N 1
x(n)WNnk
n0
n0
离散傅里叶逆变换为
离散傅里叶变换对
x(n)
IDFT[ X (k )]
1 N
N 1
j 2 nk
X (k )e N
3.2 离散傅里叶变换旳基本性质
1 线性性质 假如x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数， 即N=max［N1, N2］，
则y(n)旳N点DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2［k］, 0≤k≤N-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)旳N点DFT。 若N1<N2，则N=N2,那么需将x1(n)补上N2-N1个零值点后变
k 2 k f f s k
N
N
以上所讨论旳三种频率变量之间旳关系，在对模 拟信号进行数字处理以及利用模拟滤波器设计数 字滤波器乃至整个数字信号处理中十分主要，望 同学们高度注重。
第三章 离散傅里叶变换DFT
3.1.2 DFT旳隐含周期性------ DFT与 DFS旳关系
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列,但因为WknN旳周
第三章 离散傅里叶变换DFT
例2 ： x(n) R8 (n)，分别计算x(n)旳8点、16点DFT。
解: x(n)旳8点DFT为
X (k)
7 n0
R8 (n)W8k n
7 j2k n
第三章离散时间信号的傅里叶变换
第三章离散时间信号的傅里叶变换课程：数字信号处理目录第三章离散时间信号的傅里叶变换 (3)教学目标 (3)3.1引言 (3)3.2傅里叶级数CFS (4)3.2.1傅里叶级数CFS定义 (4)3.2.2傅里叶级数CFS性质 (6)3.3傅里叶变换CFT (7)3.3.1傅里叶变换CFT定义 (7)3.3.2傅里叶变换CFT的性质 (8)3.4离散时间信号傅里叶变换DTFT (9)3.4.1离散时间信号傅里叶变换DTFT定义 (9)3.4.2离散时间信号傅里叶变换的性质 (10)3.5周期序列的离散傅里叶级数(DFS) (14)3.5.1周期序列的离散傅里叶级数的定义 (14)3.5.2周期序列的离散傅里叶级数的性质 (18)3.6离散傅里叶变换(DFT) (20)3.6.1离散傅里叶变换(DFT) (20)3.6.2离散傅里叶变换的性质 (23)3.7CFS、CFT、DTFT、DFS和DFT的区别与联系 (25)3.8用DFT计算模拟信号的傅里叶分析 (28)3.9实验 (30)本章小结 (32)习题 (33)参考文献： (36)第三章离散时间信号的傅里叶变换教学目标本章讲解由时域到频域的傅里叶变换，频域观察信号有助于进一步揭示系统的本质，对于某些系统可以极大的简化其设计和分析过程。
通过本章的学习，要理解连续时间信号的傅里叶级数和傅里叶变换的和离散时间信号基本概念、性质和应用；了解一些典型信号的傅里叶变换；理解连续时间信号的傅里叶级数(CFS)、连续时间信号的傅里叶变换(CFT)、离散时间傅里叶变换(DTFT)、离散时间傅里叶级数(DTFS)和离散傅里叶变换(DFT)它们相互间的区别与联系；掌握傅里叶变换的参数选择，以及这些参数对傅里叶变换性能的影响；了解信号处理中其它算法（卷积、相关等）可以通过离散傅里叶变换(DFT)来实现。
3.1引言一束白光透过三棱镜，可以分解为不同颜色的光，这些光再通过三棱镜，就会得到白光。
数字信号处理第三章习题解答
（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。
解：
（1）已知
（2）
（3）
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）
18.我们希望利用 长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与 的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列 ，m表示第m段计算输出。最后，从 中取出Ｂ个，使每段取出的Ｂ个采样点连接得到滤波输出 。
————第三章————
离散傅里叶变换DFT
3.1 学习要点
3.1.1DFT的定义、DFT与Z变换(ZT)、傅里叶变换(FT)的关系及DFT的物理意义
1.DFT的定义
设序列 为有限长序列，长度为 ,则定义 的 点离散傅立叶变换为
(3.1)
的 点离散傅立叶逆变换为
(3.2)
其中， ， 成为DFT变换区间长度。
学习DFT的性质时，应与傅里叶变换的性质对照学习，要搞清两者的主要区别。我们知道，傅里叶变换将整个时域作为变换区间，所以在其性质中，对称性以原点为对称点，序列的移动范围无任何限制。
然而，DFT是对有限长序列定义的一种变换，也就是说，DFT变换区间为 。这一点与傅立叶变换截然不同，由于 及 区间在DFT变换区间以外，所以讨论对称性时，不能再以原点作为对称点，而是以 点作为对称点。为了区别于无限长共轭对称序列，用 和 分别表示有限长（或圆周）共轭对称序列和共轭反对称序列。其定义为
即 隐含周期性，周期为 。
数字信号处理第三版第三章
第三章．离散傅里叶变换（DFT ）一 离散傅里叶变换的定义及物理意义1 DFT 定义设x(n)是一个长度为M 的有限长序列10()[()]()0,1,,1N kn N n X k D FT x n x n Wk N -====-∑ 逆变换：101()[()]()N kn N k x n ID FT X k X k W N --===∑2 DFT 与傅里叶变换和z 变换的关系2()()j kN z e X k X z π== 3 DET 的隐含周期性在进行DFT 时，有限长序列都是作为周期序列的一个周期来考虑的。
因此，凡是涉及DFT 关系，都隐含有周期性意义二：离散傅里叶变换的基本性质1. 线性性质1212[()()]()()D FT ax n bx n aX k bX k +=+ a ，b 为常数2. 循环移位性质2,1序列的循环移位长度为N 的有限长序列x (n )的圆周移位定义为N N y(n )x ((n m ))R (n )=+2.2 时域循环移位定理设x (n )是长度为N 的有限长序列，y (n )为x (n )圆周移位则圆周移位后的DFT 为()[()][(())()]()m k N N N Y k D FT y n D FT x n m R n W X k -==+=2.3频域循环移位定理频域有限长序列X (k )，也可看成是分布在一个N 等分的圆周上由于频域与时域的对偶关系，有如下性质若 ()[()]X k DFT x n =则 2[(())()]()()j nl nl N N N N IDFT X k l R k W x n ex n π-+==3 循环卷积定理3.1定义：设x 1(n )和x 2(n )都是点数为N 的有限长序列（0≤n ≤N -1），且有：1122[()]()[()]()DFT x n X k DFT x n X k ==若12()()()Y k X k X k =则11201210()[()]()(())()()(())()N N N m N N N m y n ID FT Y k x m x n m R n xm x n m R n -=-===-=-∑∑上式所表示的运算称为x 1(n )和x 2(n )的N 点圆周卷积3.2 循环卷积定理若12()()()y n x n x n = x 1(n )，x 2(n )皆为N 点有限长序列则 1120121012()[()]1()(())()1()(())()1()()N N N l N N N l Y k D FT y n X l X k l R k NX l X k l R k NX k X k N -=-===-=-=∑∑ 3.3 复共轭序列的DFT设x *(n )为x (n )的共轭复序列，已知X (k )= DFT[x (n )]则DFT ［x *(n )］=X *(N-k ) 0≤k ≤N -1且 X (N )=X (0)3.4 共轭对称性三 频域采样1频域采样定理如果序列x (n )长度为M ，则只有当频域采样点数N>M 时，才有()()()()()()N N N N r x n x n R n x n rN R n x n ∞=-∞==+=∑即由频域采样X (k )恢复原序列x (n )，否则产生时域混叠现象。
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例3.3 已知周期序列如图所示，求 已知周期序列如图所示， (1)序列傅里叶级数系数的幅度特性和相位特性。 序列傅里叶级数系数的幅度特性和相位特性。 序列傅里叶级数系数的幅度特性和相位特性 (2)在周期序列上任意截取一个周期求其傅里叶级数。 在周期序列上任意截取一个周期求其傅里叶级数。 在周期序列上任意截取一个周期求其傅里叶级数
N−1
−j
2π nm N
X p (k ) = ∑xp (n)e
−j
2π nk N
WN = e
−j
2π N
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周期序列傅里叶级数变换
D FS xp (n) = X p (k ) = ∑xp (n)W
n=0
[
]
N−1
nk N
1 N −1 −nk IDFS X p (k ) = xp (n) = ∑X p (k )WN N n=0
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解：(1)周期序列周期为 10, 周期序列周期为
X (k) = ∑x (n)W = ∑W = ∑e
nk nk p n=0 p 10 n=0 10 n=0
9
4
4
−j
2π nk 10
=
1− (e
−j
2π k 5 10
)
1− e
−j
2π k 10
=e
j
5 πk 10 j
π
10
−e −e
−j −j
同理
xp3 (n) = ∑ xp2(m) xp1(n − m)
m=0
N−1
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由于求和仅在一个周期内进行， 由于求和仅在一个周期内进行，因此称之为 周期卷积。它与第1章介绍的线性卷积主要区别在 周期卷积。它与第 章介绍的线性卷积主要区别在 于线性卷积求和区间是从负无穷到正无穷。 于线性卷积求和区间是从负无穷到正无穷。 频域周期卷积特性如下
X (ejω) 在主值区 离散傅里叶变换DFT是频谱 离散傅里叶变换 是频谱
点均匀抽样， 点均匀抽样 是其频谱的一个近似。 0 ≤ ω ≤ 2π 的N点均匀抽样，是其频谱的一个近似。
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例3.6 已知有限长序列
an 0 ≤ n ≤ N −1 x(n) = 其它 0
求其离散傅里叶变换
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3.1 离散傅里叶级数(DFS) 离散傅里叶级数(DFS)
周期序列的Z变换无意义 周期序列的 变换无意义. 变换无意义 3.1.1 离散傅里叶级数 离散傅里叶级数定义为
2π 1 N−1 j (n) = ∑X p(k) e N nk xp N k=0
周期为N的周期序列表示成 个正弦序列或复指数序列之 周期为 的周期序列表示成N个正弦序列或复指数序列之 的周期序列表示成 和的形式,只有 个独立分量，这是因为，周期为N的周期 只有N个独立分量 和的形式 只有 个独立分量，这是因为，周期为 的周期 序列虽然无限长，但它实质上只有N个独立信息 个独立信息。 序列虽然无限长，但它实质上只有 个独立信息。
= W X P (k)
−km N
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3. 周期卷积特性 周期卷积特性又称周期卷积定理。 周期卷积特性又称周期卷积定理。
X p1(k) = ∑ xp1(n)W
n=0
N−1
nk N
X p2 (k) = ∑ xp2(n)W
n=0
N−1
nk N
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X p3(k) = X p1(k) X p2 (k)
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X (k) =
0.56
2 2
2π 2π 1−0.9cos k + 0.9sin k 8 8 0.56 = π 1.81−1.8cos k 4
π n − 0.9si 4 k ϕ(k ) = tg−1 1− 0.9cos π k 4
x( n)
• 0
• N −1
n
x p ( n)
…
• −N • 0 • N
…
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周期序列的周期为N, 有限长序列的长度为 N, 周期序列的周期为
x(n) 0 ≤ n ≤ N −1 x(n) = 其 n 它 0
xp (n) = xp (n + rN)
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有限长序列是周期序列的主值序列 周期序列是有限长序列以N为周期的周期延拓 周期序列是有限长序列以 为周期的周期延拓
N−1 N−1
1 N−1 −k(n−m−r ) 1 r = n − m = ∑WN N k=0 0 r ≠ n − m
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x (n) = ∑x (m)∑x (r)δ[r −(n − m)]
p3 m=0 p1 r=0 p2
N−1
N−1
= ∑xp1(m) xp2 (n − m)
m=0
N−1
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离散傅里叶变换在时域、频域都是离散的、 离散傅里叶变换在时域、频域都是离散的、有 限长的， 限长的，所以可以很方便地利用计算机完成它们 之间的变换， 之间的变换，这是离散傅里叶变换的最大优点之 一。 虽然离散傅里叶变换是两个有限长序列之间的 变换，但它们是利用DFS关系推导出来的，因而 关系推导出来的， 变换，但它们是利用 关系推导出来的 隐含着周期性。 隐含着周期性。
[
]
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3.1.2 离散傅里叶级数的性质 1. 线性特性
DFS axp (n) + by p (n) = aX P (k) + bYp (k)
2. 序列位移特性
[
]
IDFS[X P (k + l )] = W xp (n)
nl N
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DFS xp (n + m) = W
[
]
−km N
第三章 离散傅里叶变换
时间函数 频率函数 连续时间、连续频率—傅里叶变换 连续时间、连续频率 傅里叶变换 连续时间、离散频率—傅里叶级数 连续时间、离散频率 傅里叶级数 离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换 离散时间、连续频率 序列的傅里叶变换 离散时间、离散频率—离散傅里叶变换 离散时间、离散频率 离散傅里叶变换
5 πk 10
e
k
π
10
k
⋅e
−j
5 πk 10
e
−j
π
10
k
5 sin( πk) 10 = sin(
π
10
k)
e
−j
4 πk 10
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• 所以
5 sin πk 10 (k) = Xp π k sin 10
4 arg[X p (k )] = − πk 10
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x(n) = R4 (n)
频谱
抽样点N=8 抽样点 抽样点N=16 抽样点
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3.3 离散傅里叶变换的性质
3.3.1 线性特性
y(n) = ax1(n) + bx2 (n)
Y(k) = a X1(k) + b X 2 (k)
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序列长度及DFT点数均为 。若不等，设分别为 点数均为N 若不等， 序列长度及 点数均为 N1，N2，则需补零使两序列长度相等，均为 ， ， ，则需补零使两序列长度相等，均为N， 且
x (n) = IDFS[X (k)]
p3 p3
= ∑xp1(m) xp2 (n − m) = ∑xp2(m) xp1(n − m)
m=0 m=0
N−1
N−1
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证明：
p3
x (n) = IDFS[X (k)]
p3
1 N−1 1 N−1 −nk −nk = ∑X p3(k)WN = ∑ X p1(k) X p2 (k) WN N k=0 N k=0
N = m [N1, N2] ax
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3.3.2 圆周位移特性 1. 圆周位移定义 有限长序列的圆周位移定义为
y(n) = x ((n−m))N RN (n)
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首先将有限长序列延拓成周期序列,然后将周 首先将有限长序列延拓成周期序列 然后将周 期序列向右移位， 期序列向右移位，最后截取其主值 对图中的主值区进行观察， 对图中的主值区进行观察，发现移出主值区的样 等于移入主值区的样值。 值，等于移入主值区的样值。这种移位可以想象 成序列排列在一个N等分的圆周上 等分的圆周上， 个样值点首 成序列排列在一个 等分的圆周上，N个样值点首 尾相接， 尾相接，沿圆周顺移 m位 ，(表示在圆周上旋转 位 表示在圆周上旋转 m位)，因此得名“圆周位移”或者叫“循环位 位 ，因此得名“圆周位移”或者叫“ 移”。
xp3 (n) = xp1(n) xp2 (n)
1 N−1 X p3(k) = DFS xp3(n) = N ∑X p1(l) X p2 (k −l) l =0 1 N−1 = ∑X p2(l ) X p1(k −l ) N l=0
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[
]
对以N为周期的周期序列 任取一个周期求得 对以 为周期的周期序列,任取一个周期求得 为周期的周期序列 的傅里叶级数， 的傅里叶级数，与在主值区求得的傅里叶级数相 同。 对于两个周期为N的周期序列 的周期序列， 对于两个周期为 的周期序列，任取一个周期 进行周期卷积，卷积结果与在主值区内进行的周 进行周期卷积， 期卷积结果相同。因此周期卷积也可以用反褶、 期卷积结果相同。因此周期卷积也可以用反褶、 平移、相乘、取和的几何法求解。 平移、相乘、取和的几何法求解。
求得的傅里叶级数系数与(1)中结果相同。 求得的傅里叶级数系数与 中结果相同。 中结果相同
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1−e
2π k 10
3.2 离散傅里叶变换(DFT) 离散傅里叶变换(DFT)