数学公式的证明【斯托尔茨定理

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斯托尔茨定理:
(PS2: 数学符号太麻烦了博客又没有公式功能我也懒得用图片,以下用infinity指代那个倒8,Xn Yn XN YN的n、N、n-1、N-1等等都是下标,/就是分子分母中间的那条横线,如果看着很难受请自己在稿纸上转化成平时写的那种格式吧,写出来就很容易看懂 了。这就是为什么我在presentation和oral defense的时候都喜欢黑板不喜欢使用ppt什么的)

首先,斯托尔茨定理,会搜到这里的人肯定都认识:
设整序变量Yn->+infinity,且从某一项Yn+1>Yn,则lim(Xn/Yn)=lim((Xn-Xn-1)/(Yn-Yn-1)) (等式右边的极限已知为存在)
如果等式右边的极限不存在,不能用这个定理哟亲。

证明:
设 lim((Xn-Xn-1)/(Yn-Yn-1)) =a,我们将证明 lim(Xn/Yn) 也是a。

首先我们复习一下整序变量(考研高数叫做数列,严格来说应该是下标只能是整数的数列,即整序变量)极限的定义,整序变量Xn有极限a的定义是:
对于任意一个正数m, 总可以找到下标N,使得n>=N时,|Xn-a|讨论定义的时候什么临域啊什么趋近啊都他妈扔掉,都是影响理解的货。

根据极限的定义,对任意小量e>0,必能求得序号N,使n>=N时有
|(Xn-Xn-1)/(Yn-Yn-1)-a|<(e/2)
(就是国内高数书里面那个什么这个东西落在a的临域内,忘记这个说法吧,这种说法就是让人更难理解极限而已)
Xn-Xn-1还是无穷减无穷型很难搞,我们得想办法找一个更容易解决问题的式子
从N到n都满足上式,即有
|(XN-XN-1)/(YN-YN-1)-a|<(e/2)
|(XN+1-XN)/(YN+1-YN)-a|<(e/2)
...
|(Xn-Xn-1)/(Yn-Yn-1)-a|<(e/2)
展开:
a-e/2< (XN-XN-1)/(YN-YN-1) ...
a-e/2< (Xn-Xn-1)/(Yn-Yn-1) 由于Yn>Yn-1,故不等式两边同乘分母可得
(a-e/2) (YN-YN-1) < XN-XN-1 <(a+e/2) (YN-YN-1)
(a-e/2) (YN+1-YN) < XN+1-XN <(a+e/2) (YN+1-YN)
...
(a-e/2) (Yn-Yn-1) < Xn-Xn-1 <(a+e/2) (Yn-Yn-1)
观察上式,可以发现将他们累加起来的话,前一个式子里减号前面的项可以消掉后一个式子减号后面的项,可得:(注意n是比N大的)
(a-e/2) (Yn-YN) < Xn-XN <(a+e/2) (Yn-YN)

|(Xn-XN)/(Yn-YN)-a|XN和YN是固定的数,这下比较好用了。

接下来介绍一个恒等式:
Xn/Yn-a=(XN-aYN)/Yn+(1-YN/Yn)((Xn-XN)/(Yn-YN)-a)
这个等式是成立的,可以很容易地直接验算。当初斯托尔茨怎么想出的这个等式,太牛逼了。

由于Yn>=YN,所以 1-YN/Yn <=1于是可得:
|Xn/Yn-a|<=|(XN-aYN)/Yn|+|(Xn-XN)/(Yn-YN)-a|
当n>=N'>N时,
由于XN-aYN是固定的数,Yn->infinity,故 |(XN-aYN)/Yn|->0,有 |(XN-aYN)/Yn| 同时刚才已经证明n>=N时 |(Xn-XN)/(Yn-YN)-a|
|Xn/Yn-a|即 Xn/Yn 的极限也是a
证毕。

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