矩阵的初等变换在解题中的应用.
分块矩阵的初等变换及其应用
分块矩阵的初等变换及其应用
分块矩阵的初等变换是指对一个分块矩阵进行基本的矩阵变换，例如行交换、行加减等操作。
这些操作可以用来简化计算、求解线性方程组、矩阵的逆等。
对于分块矩阵，其基本的初等变换有以下几种：
1. 行交换：将矩阵中的两行交换位置，即交换它们在矩阵中的行号。
2. 行加减：将矩阵中的某一行加上（或减去）另一行的某一倍，得到新的行替换原来的行。
3. 列交换：将矩阵中的两列交换位置，即交换它们在矩阵中的列号。
4. 列加减：将矩阵中的某一列加上（或减去）另一列的某一倍，得到新的列替换原来的列。
这些初等变换可以用来求解线性方程组，例如将系数矩阵进行初等变换，得到一个简化的矩阵，再将方程组进行相应的变换，得到一个等价的方程组。
这个等价的方程组可以更容易地求解。
此外，分块矩阵的初等变换也可以用来求矩阵的逆，例如将待求逆的矩阵与单位矩阵组成增广矩阵，对其进行初等变换，使得待求逆的矩阵变为单位矩阵，此时增广矩阵的另一半就是所求的逆矩阵。
总之，分块矩阵的初等变换是求解线性方程组、求矩阵的逆等问题中不可或缺的工具。
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矩阵的初等变换在线性代数中的简单应用
矩阵的初等变换在线性代数中的简单应用作者：李慧来源：《课程教育研究》2019年第09期【摘要】线性代数是高校经管类以及理工类专业学生的一门重要基础课程，其中矩阵理论为主要内容，在整个线性代数的学习过程中有着重要作用。
本文对矩阵初等变换在线性代数中的简单应用进行分析。
【关键词】线性代数矩阵初等变换应用【中图分类号】O151.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）09-0142-02在线性方程组的求解过程中，任意交换两个方程的位置，或者将某一方程乘数c（c∈F且c≠0），或者将某一方程乘数c加到另一方程上时，最终求得的解与原方程组的解相同。
矩阵的初等变换即起源于解线性方程组的三类同解变换，在处理线性代数相关问题时，具有相对独特的价值。
矩阵初等变换这一概念的提出，将线性方程组的求解过程转换为利用矩阵的初等变换化简一个增广矩阵的过程，简化了线性方程组的求解。
此外，在矩阵理论不断发展的过程中，新概念的产生以及新问题的形成，为矩阵初等变换在线性代数中的应用创造了更多的可能性，如矩阵的秩的求解、向量组的秩与极大线性无关组的求解以及化二次型为标准形等。
1.矩阵的初等变换矩阵变换是线性代数中矩阵的一种运算形式，在线性代数中，矩阵的初等变换指以下三种变换类型：（1）换位变换交换矩阵的任意两行或者两列。
（2）倍法变换以一个非零数k乘矩阵的某一行（某一列）所有元素。
（3）消法变换把矩阵的某一行（某一列）所有元素乘以一个数k后加到另一行（另一列）对应的元素。
矩阵的初等变换在求矩阵的逆等问题中有着较好的应用效果，分析原因，其理论依据如下：对矩阵Asn进行一次初等行变换，相当于在Asn左边乘上相应的s×s的初等矩阵；对矩阵Asn进行一次初等列变换，相当于在Asn右边乘上相应的n×n的初等矩阵；应用初等变换对矩阵Asn进行化简时，将可产生一个与矩阵Asn有关的等式，该等式与原矩阵的量化关系、性质有着密切关联。
矩阵初等变换及其在线性代数中的应用
矩阵初等变换及其在线性代数中的应用线性代数是一门重要的数学分支，它研究的是线性变换及其代数分析性质。
其中，矩阵是线性代数中非常重要的工具，它可以把线性方程组转化成一个更简单的形式，使得我们可以更容易地进行求解。
而矩阵的初等变换则是在求解线性方程组时必须要用到的一种基本技巧。
本篇文章将深入探讨矩阵初等变换及其在线性代数中的应用。
矩阵初等变换到底是什么？矩阵初等变换是指对于一个矩阵来说，可以通过三种基本变换操作得到新的矩阵。
这三种操作分别是：交换矩阵的任意两行或两列；用一个非零常数 k 乘以矩阵的某一行或某一列；将矩阵的某一行或某一列加上另一行或另一列的 k 倍。
这三种操作称为矩阵的行初等变换或列初等变换。
首先来看一个示例，假设有如下矩阵：$$\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}$$对于这个矩阵，我们可以进行如下初等变换：①交换第一行和第二行$$\begin{bmatrix}3 &4 \\1 &2 \\\end{bmatrix}$$②将第二行乘以2$$\begin{bmatrix}1 &2 \\6 & 8 \\\end{bmatrix}$$③将第二行减去第一行的两倍$$\begin{bmatrix}1 &2 \\4 & 4 \\\end{bmatrix}$$通过这三种基本变换，我们可以将原始矩阵变换成一个新的矩阵。
这个过程通常用矩阵的运算符号表示，比如将第二行减去第一行两倍的操作可以表示为：$$\begin{bmatrix}1 & 0 \\-2 & 1 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 &2 \\1 & 0 \\\end{bmatrix}$$其中，左侧的矩阵就是一个变换矩阵，它表示了对原矩阵的操作。
矩阵的初等变换及其应用
矩阵的初等变换及其应用线性代数第一次讨论课1.导语2.讨论内容目录3.正文4.个人总结导语:矩阵是研究线性代数方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主要研究啊、对象之一。
它的理论和方法在自然科学、工程技术、社会科学等众多领域等都有极其广泛的应用。
矩阵作为一些抽象数学的具体表现，在数学研究中占有极其重要的地位。
本文从矩阵的概念讨论矩阵的运算及性质，进而讨论用途很广的矩阵的初等变换及其应用。
讨论内容目录矩阵的初等变换及其应用1.两个矩阵的等价2.两个矩阵的乘积3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型4.求矩阵的秩5.求可逆矩阵的逆矩阵6.求线性方程组的解7.判断向量组的线性相关性8.求向量组的秩与极大无关组9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值）10.二次型化为标准形正文一、矩阵的等价1.定义：若矩阵A经过一系列初等行变换化为B矩阵,则称A与B行等价；若矩阵A经过一系列初等列变换化为B矩阵,则称A与B列等价；若矩阵A经过一系列初等变换化为B矩阵,则称A与B等价（相抵）。
2.矩阵的等价变换形式主要有如下几种：1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换；2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元；3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去；即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。
3.矩阵等价具有下列性质（1）反身性任一矩阵A与自身等价；（2）对称性若A与B等价，则B与A等价；（3）传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价；注意：矩阵作初等变换是矩阵的一种运算，得到的是一个新矩阵，这个矩阵一般与原矩阵不会相等。
下面举例说明矩阵等价及等价变换：13640824100412204128--?? ?- ? ?-- ?-??13r r +→43213131414331222136413640824100824100412204122041280 412813641364082410082410000300030060000r rr r r r r rr r r r B ++-++-----???? ? ?-- ? ????→???→---- ? ?-------- ? ?→= ? ? ? ?????1231213121310341813601030013001300001000100000000r r r r r r r r r C -------???? ?-- ? ?→→= ?显然，根据矩阵等价的定义，以上变换过程中的每一个矩阵均为等价的，每个步骤都是等价转换。
矩阵初等变换的应用
矩阵初等变换的应用
矩阵初等变换在矩阵运算中有着广泛的应用，其中包括以下几种常见的应用：
1. 线性方程组求解：将系数矩阵经过矩阵初等变换变成一个上三角矩阵或行简化阶梯形矩阵，然后利用高斯-约旦消元法或高斯消元法求解线性方程组。
2. 矩阵求逆：通过利用矩阵初等变换将待求逆的矩阵转换成单位矩阵，然后将初等变换应用到一个单位矩阵上得到该矩阵的逆。
3. 矩阵乘法：矩阵乘法可通过矩阵初等变换实现。
例如，通过在左侧乘一个初等矩阵将矩阵进行行变换、在右侧乘初等矩阵将矩阵进行列变换、以及在左右两侧同时乘同一个初等矩阵进行对称变换等等。
4. 特征值与特征向量求解：通过利用初等变换将待求特征值的矩阵转换成上三角矩阵或者特征分解形式，然后求解特征值与特征向量。
5. 矩阵分解：通过初等变换将一个矩阵分解成一个上三角矩阵和一个正交矩阵的乘积（QR分解）、或者将矩阵分解成一个对称矩阵和一个特殊矩阵的乘积（奇异值分解）等等。
总之，在矩阵运算中，矩阵初等变换是一种非常有用的工具，它可以简化计算过程、提高计算效率、为后续计算提供便利。
矩阵的初等变换及应用的总结
矩阵的初等变换及应用的总结矩阵的初等变换是线性代数中非常重要的一个概念，它可以通过对矩阵的行或列进行一系列的操作，得到新的矩阵。
初等变换主要包括三种：行交换、行倍乘和行倍加。
在实际应用中，初等变换可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆和秩等。
一、行交换：行交换是将矩阵中的两行进行调换。
具体操作是互换两行的顺序，即将矩阵的第i行与第j行进行互换。
这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即单位矩阵中将第i行和第j行进行交换。
应用：在线性方程组的求解中，我们可以通过行交换将系数矩阵的行变换成一个上三角矩阵，从而方便进行后续的计算。
二、行倍乘：行倍乘是将矩阵中的其中一行的所有元素同时乘以一个非零常数k。
具体操作是将矩阵的第i行的每个元素都乘以k。
这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即在单位矩阵的第i行的对角线位置上放置k。
应用：行倍乘在求解线性方程组时，可以用来将一些方程的系数标准化，使得系数矩阵变为一个拥有单位元的对角矩阵，从而简化方程组的求解。
三、行倍加：行倍加是将矩阵中的其中一行的每个元素都乘以一个非零常数k，并加到另一行的对应元素上。
具体操作是将矩阵的第i行的每个元素都乘以k，然后加到矩阵的第j行的对应元素上。
这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即在单位矩阵的第j行的第i列上放置k。
应用：行倍加在线性方程组的求解中，可以用来将一些方程的k倍加到另一个方程上，从而使一些方程的一些变量消失，达到消元的目的。
综上所述，矩阵的初等变换是通过对矩阵的行或列进行一系列的操作，得到新的矩阵。
初等变换主要包括行交换、行倍乘和行倍加。
在实际应用中，初等变换可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆和秩等。
在线性方程组的求解中，通过矩阵的初等变换可以将系数矩阵变为一个上三角矩阵，从而方便后续的计算。
同时，可以通过初等变换将方程组化为最简形式，从而得到方程组的解。
在计算矩阵的逆时，可以通过初等变换将原矩阵左边加上单位矩阵，并经过一系列的操作将原矩阵化为单位矩阵，从而得到矩阵的逆。
毕业论文矩阵初等变换的若干应用
矩阵初等变换的若干应用Some applications of elementary transformation of matrix专业: 数学与应用数学作者:指导老师:学校二O一本文介绍了矩阵初等变换在高等代数中的一些应用，总结了其在求矩阵和向量组的秩、求逆矩阵、化二次型为标准形、求解矩阵方程以及求一元多项式最大公因式中的应用.关键字：初等变换；秩；逆矩阵；标准形；矩阵方程；最大公因式AbstractIn this paper, we in troduce some applicati ons of eleme ntary tran sformatio n of matrix in algebra, and summarizes the applicati ons of eleme ntary tran sformati on of matrix in the rank of a matrix and vector, the inverse matrix, changing quadratic form as the standard form, solvi ng the matrix equati on and the mon adic polyno mial greatest com mon factor.Keywords: elementary transformation; rank; inverse matrix; standard form; matrix equati on; greatest com mon factor0引言 (1)1矩阵的初等变换与初等矩阵的基本概念 ...................... 1 2用初等变换求矩阵和向量组的秩 ......................... 2 3用初等变换法求逆矩阵 ............................. 3 4用初等变换化二次型为标准形 ........................... 4 5用初等变换求解矩阵方程 (5)5.1当A, B 可逆时线性矩阵方程 AX B 的解 ..................... 5 5.2当A, B 不可逆时线性矩阵方程 AX B 的解 ................... 6 6用初等变换讨论一元多项式最大公因式的求法 .. (8)参考文献0引言矩阵理论是代数的主要内容之一，在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵的应用中，矩阵的初等变换起着关键作用.关于矩阵初等变换的应用，前人已经 得出了很多有价值的结论，本文在前人理论的基础上对矩阵的初等变换在代数中的若 干应用进行了一些讨论•归纳了初等变换在求矩阵和向量组的秩，矩阵的逆，化二次型为标准形，线性矩阵方程的解以及求一元多项式的最大公因式等方面的应用.1矩阵的初等变换与初等矩阵的基本概念我们先来看看有关矩阵初等变换和初等矩阵的相关知识：(1) 对矩阵施以以下三种变换，称为矩阵的初等变换：ABSTRACT. (II)11(i)交换矩阵的两行(列);(ii)以一个非零数k乘矩阵的某行(列)；(iii)矩阵的某行(列)加上另一行(列)的k倍•(2)矩阵的初等变换用如下形式表示：(i)交换矩阵的第i行(列)与第j 行(列)：r i r j或q 5;(ii)非零常数k乘矩阵的第i行(列)：kr i或g ;(iii)矩阵的第i行(列)加上第j行(列)的k倍：r i 或q kC j.(3)初等矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，共3类：(i)P(i, j)――交换E的第i行与第j行(或第i列与第j列)得到的初等矩阵；(ii)P(i(k))(或P(j(k)))――用数域P中的非零数k乘E的第i行(或第j列)得到的初等矩阵；(iii)P(i, j(k))――把E的第j行的k倍加到第i行(或第i列的k倍加到j 列)得到的初等矩阵.2用初等变换求矩阵和向量组的秩由于初等变换不改变矩阵的秩，且任意一个m n 矩阵均可以经过一系列行初等变 换化为m n 梯形矩阵；因此，我们要确定一个矩阵的秩，首先要用行初等变换将其化 为梯形矩阵 ,然后再由梯形矩阵的秩确定原矩阵的秩•31 42 2例1设A1 0 1 1 0 J求矩阵A 的秩.1 2 1 3 41 4 3 3 03 14 2 2 「1 3「20 1 1 1 21 01 10 「3「2111 0 解Ar4r21 2 1 3 40 2 2 2 41 433 0422 0r31 011r 4 4r .r1 r21r3r40 1 1 1 20 0 2 6 8因此矩阵A 的秩为3.如果我们要求向量组的秩，可以把每一向量作为矩阵的一行，从而向量组就转化 为了一个矩阵，使求向量组的秩转化成求矩阵的秩，自然使问题简单化了 •例2求向量组i( 1Q2,4),2(1,3, 1,2), 3 (3,1, 5,4), 4 (1, 1,2,0), 5 (2,1, 5,3)的秩•解以1, 2, 3, 4, 5为列，构造矩阵A,再对A 进行行初等变换，化为梯形矩 阵： 3 1 21 1 15 2 5 431 1 A( 1,2, 3, 4, 5)0 3 2 142r 3 2r 1r4 4r11 1 3 12 1 1 31 2 0 3 1 1 1 rr10 2 3r3r4 6 r30 2 13 40 1 1410 1 1 4 10 6 16 4 110 010201711 3 1 2「2 3「4 5r 30 1 1 410 0 2 13 40 085 37因此，矩阵A 的秩是4, 从而向量组1， 2， 3， 4， 5的秩也是 4.3用初等变换法求逆矩阵如果A 是n 阶可逆矩阵，我们将A 与E 并排放到一起，形成一个n 2n 的矩阵 (A|E),因为A 1(A| E) (E| A 1),所以对矩阵(A|E)作一系列行初等变换，将其左$ 4r 2 r i 5r 2例3设A24 1求A 1.11 115 2 1 0 0r 2 2r-i1 52 1 0 0 解(A|E)2 4 1 0 1 0 r3 r1 0 6 3 2 1 011 1 0 0 14 11 0 1i 1 0 12 2 51 r 1r 3 2 1 「2b 1 0 02 0 1 0 0 00 0 12 2 2 1半部分化为单位矩阵 这时右半部分就是A 16r2313 1 31 1 12 2 2因此，A 1- 1 16 6 21 2 13 3 1同理，如果A是n阶可逆矩阵，我们将A与E并列放到一起，形成一个2n n的矩阵A ,因为A1A ;,所以对矩阵A作一系列列初等变换,将其上半部分化为单位矩阵，这时下半部分就是A1.用初等变换法求逆矩阵是一种通用而较简便的方法.正确地选择和使用它们能更快更好地解决各类求逆矩阵问题.4用初等变换化二次型为标准形对任意二次型f (X i,X2, ,X n) X AX —定存在可逆非退化线性替换X CY将其化为标准形,即为对称矩阵A找一个可逆矩阵C,使得CAC D为对角矩阵，而可逆矩阵可以写成若干个初等矩阵的乘积,所以存在初等矩阵R,P2, ,P s有C RP2 P s，从而有P s P2RARP2 P s D是一个对角矩阵•由上式可得到用初等变换法化二次型为标准形的步骤如下：首先，写出二次型的矩阵，构造2n n矩阵A ,然后对矩阵A每进行一次行初E E等变换后，就对A进行一次同样的列初等变换，当矩阵A化为对角矩阵时，单位矩E阵E将化为可逆矩阵 C ,此时C AC D ,最后得到可逆矩阵C和非退化线性变换X CY ,在这个变换下二次型化为标准形 f Y DY .例4化二次型f (X1.X2.X3) x：2X|4X1X24X1X3 6X2X3为标准形.并写出所用的非退化线性替换2 3 2的步骤可知：1 2 21 0 02 0 3「2 2r 1 C 2 2q 0 4 1 A = 2 3 2r 3 2「1C 3 2q 0 1 2 E 10 01 2 2 0 1 00 1 0 0 0 10 0 1X i1 2 6 y i从而非退化线性替换为 x 20 1 1 y 2 ,原二次型化为f y ： 4y ； 28 y f .X 30 04 y a在运用矩阵初等变换来化二次型为标准形的关键 ：对矩阵A 进行的行初等变换E和列初等变换必须是一致的•5用初等变换求解矩阵方程5.1当A, B 可逆时线性矩阵方程AX B 的解我们知道AX B 的解为X A 1B.实际上就是计算形如 A 1B 的矩阵乘积,因为A 1(代B) (E,A 1B),所以经过行初等变换可使(代B)化为(E,A 1B),也即对n 2n 矩1 2 2解题中二次型的矩阵为 A 2 0 3 由上面的初等变换法化二次型为标准形1 - 4 1一O 07-43-21-4128阵(A,B)作初等行变换,当A处变成单位矩阵E时，B处得到的矩阵就是A 1B.例5求解矩阵方程AX B,其中5.2当A, B 不可逆时线性矩阵方程AX B 的解当A , B 不可逆时我们将要用到新的初等变换法来解这种矩阵方程 .定理5.2.1 如果矩阵方程AX B 有解,且可逆矩阵P 和Q 使PAQ Er 0,那0 0p B么该矩阵方程的通解为X Q ,其中P 为P 的前r 行组成的矩阵，X 1中的元素可Xi以任意取值.（证明见参考文献 ⑸）以上定理可给出求解矩阵方程AX B 的具体方法：（1）把A , B , E 放到一起,组成一个矩阵（代B,E ）,然后对其做初等行变换,使得 经过行变换后得到矩阵（A 1,B 1,P ）,其中A 1是上阶三角矩阵，从而可确定矩阵A 和矩阵 （A,B ）的秩,判断方程是否有解,同时取P 的前面r 行作成P ,它满足PA 几，且P B 为B 1的前r 行.AD（2）如果上述方程有解，则对A 1作初等列变换.经过列变换后变成其中EQ22 3 4 2 解（代B ）1 1 0 1 11 2 1 1 2 r3 r2r3 4r211 0 1 1 「30 1 1 0 30 012 12386因此X A 1B2 96 .21292 34 2 31 0 ，B1 1 0 .2 11 2 33r 1 S 「22r 11 1 0 1 1 00 「30 4 3 2 0 3311 0 3 30 r2 r31 0 0 38 6 3 r 1 「20 1 029 6 , 90 0 12 12 92 A 1 1D Er 0,必有 PAQ D . 0 0(A,B,E),如下:12 0 1 1 23 1 0 0 0 (A,B, E)2 4 1 4 18 11 0 1 0 0J1 2 1 3 0 1 6 8 0 0 1 036 1 5 2 :10 14 0 0 0 1然后对其作一系列初等行变换 ,使得A 为上三角矩阵 ,即12 0 1 1 : 2 31 0 0 0行变换行变换0 1 21 - 4 52 1 0 0(A 启，P )0 0 0 0 0 | 0 0 1 1 1 0 00 00 | 0 011 0 1很明显，矩阵A 和矩阵(A, B)的秩都是 2, 故该方程有解.取P =1 0 01 2 3氏作初等列变换E2 1 0J有P B =1 4 5 ,接卜来对12 0 11 0 0 00 1 20 1 0 00 0 00 0 0 0A0 0 0 列变换0 0 0 0E10 0 01 0 2J11 0 00 0 1 00 0 1 00 1 0 20 0 0 10 0 0 11 02 1经过列变换后我们可得到Q 00 1 0 0 1 0 2(3)从而由定理5.2.1可知，AXB 的通解公式为XP B QX i例6设1 2 0 12 4 1 4A,B1 2 1 336 1 5求矩阵方程AXB 的通解.解根据求解矩阵方程AXB 的步骤12 31 8 11 0 6 8 ，2 10 14首先将A,B,E 放到一起,组成一个矩阵0 0 0 1从而,由定理5.2.1知，该方程的通解为1 02 1 1 2 3P B 0 0 1 0 1 4 5X QX1 0 1 0 2 X2 X30 0 0 1 X4 x5 X61 2 3 2 10 0 0 1 0X11 4 5 0 20 0 0 0 1其中X1是任意的2 3矩阵.矩阵方程XA B的通解公式和解法与上面类似(详见参考文献[2]或⑸)，应用矩阵的初等变换来求解矩阵方程具有很大优点，不但通俗易懂，而且容易掌握•6用初等变换讨论一元多项式最大公因式的求法求一元多项式最大公因式的方法，目前最常用的方法是辗转相除法和因式分解法. 下面给出用矩阵及其初等变换来求一元多项式的最大公因式，而且方便快捷.f l(x) f2(x)定理 6.1 设 f!(x)，f2(x) P[x],令 A(x) 1 0 ,则对 A(x)实施一系列0 1d(x) 0初等列变换后得B(x) u1 (x) * 1,此时 4&)比&) f2(x)u2(x) d(x),且d(x)是U2(X) *2f1(X)与f2(X)的最大公因式.证明若f,x)、f2(x)不全为零，则必有一个次数相对较低的多项式，不妨设为f1(x),对A(x)进行初等列变换,第一列乘以一个适当的多项式加到第二列上,消去f 2(X)的最高项,由于f i (X)、f 2(X)的次数有限,重复上述过程,必然出现矩阵中第一d(x) 0行只有一个非零元,而其它均为零的情形,即B(x)u i (x) *1 . U 2(X) *2以上对A(x)所实施的变换，即存在初等矩阵P(x)Pl(X) P2(X)，使得 P 3(X) P 4(X)设矩阵P(X)的逆矩阵为P i(x)qi(X) q2(X),显然P i(x)也是初等矩阵,由于q 3 (X) q 4 (X)B(x) A(x)P(x).因而 B(x)Pd(x) u i (x) U 2(x) 于是 d(x)q i (x) f i (x) , d(x)q 2(x) f 2(x),从而 d(x)是 f i (x)与 f 2(x)的公因式,从而 可知:d(x)是f i (x)与f 2(x)的最大公因式.例7求f(x), g(x)的最大公因式，其中f (X) X 42x 32X 4x 2, g(x) x 4x 3x 22x 2f(x) g(x)x 4 2x 3 x 2 4x 2 x 4 x 3 x 22x 2解 A(x)i 0iii(X) A(x), 即f i (x) f 2(X)q i (x) q 2(x)*i 0q 3(x) q 4(x)*if l (x) f 2(x) 1 0 01因而f l (x)P i (x) f 2(x) P 3(x)即d(x) 0 P i (x) P 2(x) /、* U i (x) *iP 3(X) P 4(X)d(x), P i (x) U i (x), P 3(x) U 2(x),f i (x)U i (x) f 2(x)U 2(x) d(x).2x 2( x 1)f(x) (x 2)g(x).上述方法可灵活运用，不一定必须用次数最低的多项式去消其它多项式 .也可以用次数较高的多项式去消次数更高的多项式，以达到逐渐消去各多项式最高项，使第 一行只剩下一个非零元素的目的.以上方法只讨论了列的情形，行的情形与列相同， 此时A(x)［以］1 0,行初等变换的结果是第一列只剩下一个非零元素，该元素 f 2(x) 0 1即为多项式的最大公因式(详见参考文献［2］).对于求两个多项式的最大公因式，辗转相除法是一种比较好的方法，但对于求多 个多项式的最大公因式，辗转相除法在理论上可行，在实际操作中却是非常繁琐的. 本文介绍的方法，对求多个多项式的最大公因式是一种行之有效的方法 .致谢本文是在的指导和帮助下完成的,在此对汪教授表示衷心的感谢c1 c2x 3 2x x 22C 2 xqc2 q因为(x 22)|(x 32x),所以 x 22 (f (x), g(x)),且同时还满足参考文献[1]北京大学数学系•高等代数(第3版)[M].北京：高等教育出版社,2003.[2]王文省，姚忠平•初等变换的思想方法在高等代数中的应用[J].聊城师范学报(自然科学版)2003, 13 ( 3 ).[3]樊恽,钱吉林等•代数学词典[M].武汉：华中师范大学出版社，1994.[4]钱吉林.线性代数概论[M].武汉：华中师范大学出版社，2000.⑸林亨成，陈群.矩阵的初等变换在线性代数中的一些应用[J].成都教育学院学报，2006, 91 -92.⑹戴天时，陈殿友.大学数学？线性代数[M].北京：高等教育出版社，2004.[7]赵树嫄.线性代数(3版)[M ].北京：中国人民大学出版社，2005. 061.[8]Bebia no, Newdevelopme ntsb on the Marcus-Oliveira conjecture N. 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矩阵初等变换在数论中的应用
§2 在数论中的应用2.1矩阵的初等变换在求两个数最大公约数和最小公倍数的应用。
说明：两个数的最大公约数和最小公倍数求解过程中通常比较繁琐，最常用的辗转相除法由于计算步骤繁多也不是特别方便，在此我们寻求一个简便的方法，通过矩阵的初等变换可以同时求得两个数的最大公约数和最小公倍数。
定理：对于数,m n N ∈，构造矩阵0m A n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭当经过一系列初等变换变为上三角矩阵*0k l ⎛⎫ ⎪⎝⎭则k 为两个数的最大公约数，l 为两个数的最小公倍数。
证明：首先任意一个可逆矩阵可以分解为一系列初等变换的乘积，通过这个思路寻求一个矩阵，使得将矩阵A 变为*0k l ⎛⎫ ⎪⎝⎭的形式，从而证明了结论。
现在主要问题是寻求满足上述条件的矩阵。
由,m n N ∈，则存在,f g 使得(,)fm gn m n +=若令,(,)(,)n m x y m n m n =-=则0xm yn +=，而且(,)1(,)(,)(,)fm gn m n fy xg m n m n m n -=+== 记(,)[,]k m n l m n ==则k fm gn =+，(,)mn l m n =所以由上述我们构造出矩阵 f g J xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 而且还有1J =00f g m fm gn gn k gn JA x y n n xm yn yn l +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭例10.求3和6的最大公约数和他们的最小公倍数解：603333333306--⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以3和6的最大公约数是3，最小公倍数是62.2通过矩阵的初等变换求解两个多项式的最大公因式和最小公倍式。
定义：互换多项式矩阵两行的位置；用多项式矩阵某一行的c 倍加到另一行上；多项式矩阵的某一行乘以c ，这三种变换被称为是多项式的初等变换。
说明：两个多项式的最大公因式和最小公倍式最广泛的求法是辗转相除法，然而此方法在计算过程中较为繁琐，所以通过矩阵的初等变换就能够解决这一问题。
矩阵初等变换及其应用毕业论文
矩阵初等变换及其应用毕业论文矩阵初等变换及其应用毕业论文摘 要：初等变换是高等代数和线性代数学习过程中非常重要的，使用非常广泛的一种工具。
本文列举了矩阵初等变换的几种应用，包括求矩阵的秩、判断矩阵是否可逆及求逆矩阵、判断线性方程组解的状况、求解线性方程组的一般解及基础解系、证向量的线性相关性及求向量的极大无关组、求向量空间两个基的过渡矩阵、化二次型为标准形。
并用具体例子说明矩阵初等变换在以上几种应用中是如何运用的。
关键词：矩阵 初等变换 初等矩阵在代数的学习过程中，我发现矩阵的初等变换有许多应用，几乎贯穿着始终。
本文将对矩阵的初等变换进行介绍并以具体例子说明矩阵初等变换的七种应用。
虽然这些计算格式有不少类似之处，但是也指出由于这些计算格式有不同的原理，所以它们的应用也有一些明显的区别。
定义1：矩阵的行（列）初等变换是指对一个矩阵施行的下列变换： （1）交换矩阵的两行（列）(交换第i ，j 两行（列），记作()ij ij r c ）；（2）用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素（用数k 乘以第i 行（列），记作()(())i i r k c k ；（3）用某一个数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素再加到另一行（列）的对应元素上(第i 行（列）k 倍加到第j 行（列），记作()(())ij ij r k c k 。
初等行、列变换统称为初等变换。
定义2：对单位矩阵I 仅施以一次初等变换后得到的矩阵称为相应的初等矩阵，分别记为第1、2、3类行（列）初等矩阵为()ij ij R C ，()(())i i R k C k ，()(())ij ij R k C k ，有ij R =ij C =10111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ()i R k =()i C k =1k1⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()ij R k =()ij C k =11j 11i k⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭行行 初等变换与初等矩阵之间有下列基本性质。
矩阵初等变换的应用
摘要矩阵是线性代数中的重要内容，也是高等数学研究问题的工具。
在线性代数及其许多的领域中都能看到矩阵的身影，它能把抽象的问题用矩阵表示出来，通过对矩阵进行计算得出结果。
本文首先介绍了矩阵的化简和分块矩阵的初等变换以及利用矩阵初等变换求逆矩阵、伴随矩阵、矩阵的秩和特征向量，其次阐述了矩阵初等变换在解线性方程组、解矩阵方程、判断向量组的线性相关性、求极大线性无关组问题中的应用，最后对矩阵在数论中的应用进行了一些说明。
作为矩阵的基础及核心，矩阵的初等变换及应用是非常重要的，它能够把各种复杂的矩阵转化成我们需要的矩阵形式，从而使计算变得更加的简便。
关键词：矩阵，初等变换，逆矩阵，秩The application of elementary transformation of matrixABSTRACT.Matrix is an important content in linear algebra, is a problem of higher mathematics research tools. In linear algebra and matrix can be seen in many areas, it can turn abstract problems expressed in matrix, based on the matrix to calculate the results. This article first introduces the elementary transformation of matrix of reduction and partitioned matrix and the matrix elementary transformation and adjoint matrix inverse matrix, rank of matrix and characteristic vector, then expounds the matrix elementary transformation in solving linear equations, the solution of matrix equation, judge linear correlation, as well as the application of maximum linearly independent group, finally the application of matrix in number theory with some instructions. As the foundation of the matrix and core, the elementary transformation of matrix and its application is very important, it is able to convert all kinds of complex matrix to matrix form, we need to make the calculation more simple.Key words: Matrix, Elementary transformation, inverse matrix, rank目录一.引言 0二.矩阵及其初等变换的概念 0三.矩阵初等变换的应用 (1)（一）在线性代数中的应用 (1)1. 将矩阵化简为阶梯型和等价标准型 (1)2. 矩阵的分块和分块矩阵的初等变换 (2)3. 求伴随矩阵和逆矩阵 (4)4. 求矩阵的秩，向量组的秩 (5)5. 求矩阵的特征值和特征向量 (7)6. 解线性方程组 (8)7. 求解矩阵方程 (11)8. 判断向量组的线性相关性，求极大线性无关组 (12)（二）在数论中的应用 (13)四.总结 (16)五.参考文献 (16)一.引言在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为对这些矩阵的转化过程，除方程组之外，还有很多方面的问题也都涉及矩阵的概念及其应用，这些问题的研究常常转化为对矩阵的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的。
矩阵的初等变换及其应用
㊀㊀㊀㊀㊀㊀矩阵的初等变换及其应用矩阵的初等变换及其应用Һ顾江永㊀（宿迁学院文理学院，江苏㊀宿迁㊀２２３８００）㊀㊀ʌ摘要ɔ矩阵的初等变换在代数学中具有重要的地位，本文给出了运用初等变换求解方程组的基础解系㊁特征值㊁多项式的最大公因式和Ｊｏｒｄａｎ标准形相似变换矩阵等方法，这些方法具有直观㊁简捷㊁有效等特点．ʌ关键词ɔ初等变换；基础解系；最大公因式；相似变换矩阵ʌ基金项目ɔ２０１９江苏省高校教学研究一般项目（２０１９ＳＪＡ１９９７）一㊁引㊀言矩阵的初等变换包括矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换，矩阵的初等行（列）变换有三种形式［１］：（１）交换两行（列）；（２）任一行（列）的ｋ倍（ｋʂ０）；（３）任一行（列）的ｋ倍加到另一行（列）．在代数学中，矩阵的初等变换有着非常重要且广泛的应用，它常被应用于行列式的计算㊁方程组以及矩阵方程的求解㊁向量线性关系的判定㊁求矩阵的秩以及逆㊁λ－矩阵的不变因子和矩阵的Ｊｏｒｄａｎ标准形等．张家宝给出了初等变换求逆的几种方法［２］；石擎天等研究了初等变换求解方程组的特殊方法［３］；于莉琦等介绍了初等变换在行列式㊁矩阵和方程组中的应用［４］．本文给出了矩阵的初等变换求解方程组的基础解系㊁最大公因式和Ｊｏｒｄａｎ标准形的相似变换矩阵等方法及应用．二㊁预备知识引理１［５］㊀设矩阵Ａｍˑｎ的秩为ｒ，且Ａｍˑｎ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑ，其中Ｐｍˑｍ，Ｑｎˑｎ为可逆矩阵，则有Ｐ－１００Ｅｎæèçöø÷ＡＥｎæèçöø÷Ｑ－１＝Ｅｒ０００Ｑ－１æèççöø÷÷．证明㊀因为Ａｍˑｎ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑ，所以Ｅｒ０００æèçöø÷＝Ｐ－１ＡｍˑｎＱ－１，故Ｐ－１００Ｅｎæèçöø÷ＡＥｎæèçöø÷Ｑ－１＝Ｐ－１ＡＥｎæèçöø÷Ｑ－１＝Ｐ－１ＡＱ－１Ｑ－１æèçöø÷＝Ｅｒ０００Ｑ－１æèççöø÷÷，注：引理１给出了化一个矩阵为标准形的求Ｑ－１的方法．引理２㊀设矩阵Ａｍˑｎ的秩为ｒ，则矩阵ＡＥｎæèçöø÷仅经初等列变换可以化为β１，β２， ，βｒ，０， ，０Ｑ－１æèçöø÷，其中β１，β２， ，βｒ线性无关，且ＡＱ＝β１，β２， ，βｒ，０， ，０()．证明㊀因为Ａｍˑｎ的秩为ｒ，所以Ａｍˑｎ的列秩等于ｒ，即矩阵Ａｍˑｎ列向量组的最大线性无关组由ｒ个向量构成，不妨设为β１，β２， ，βｒ，故由初等变换的性质可得ＡＥｎæèçöø÷仅经初等列变换可以化为β１，β２， ，βｒ，０， ，０Ｑ－１æèçöø÷．引理３［６］㊀设Ａ是数域Ｐ上的ｎ阶方阵，将矩阵λＥ－Ａ经初等变换化为上三角形矩阵ｆ１（λ）０ ０∗ｆ２（λ）０︙︙⋱︙∗∗ｆｎ（λ）æèççççöø÷÷÷÷，则ｆｉ（λ）＝０（ｉ＝１，２， ，ｎ）在数域Ｐ上的根即为矩阵Ａ的全部特征根．证明㊀根据初等变换的性质可知，初等变换不改变λＥ－Ａ＝０的根，故ｆ１（λ）０ ０∗ｆ２（λ） ０︙︙⋱︙∗∗ｆｎ（λ）＝ｆ１（λ）ｆ２（λ） ｆｎ（λ）＝０的根即为矩阵Ａ的全部特征根．引理４㊀设ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ）， ，ｆｓ（ｘ）是数域Ｐ上的多项式，且ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ）， ，ｆｓ（ｘ）()Ｔ经初等行变换化为ｄ（ｘ），０， ，０()Ｔ，则ｄ（ｘ）即为ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ）， ，ｆｓ（ｘ）的最大公因式．证明㊀由辗转相除法原理直接可得［１］．三㊁主要结论定理１㊀设齐次线性方程组Ａｍˑｎｘ＝０，其系数矩阵Ａｍˑｎ的秩为ｒ，且Ａｍˑｎ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑ，又设Ｑ－１＝（η１， ，ηｒ，ηｒ＋１， ，ηｎ），则ηｒ＋１，ηｒ＋２， ，ηｎ是线性方程组Ａｍˑｎｘ＝０的基础解系．证明㊀设Ｑｘ＝ｙ１︙ｙｒ︙ｙｎæèçççççöø÷÷÷÷÷＝ＹｒＹｎ－ｒæèçöø÷，由Ａｍˑｎｘ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑｘ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷ＹｒＹｎ－ｒæèçöø÷＝０，可得Ｙｒ＝ｙ１︙ｙｒæèççöø÷÷＝０，所以ｘ＝Ｑ－１ＹｒＹｎ－ｒæèçöø÷＝Ｑ－１０︙０ｙｒ＋１︙ｙｎæèççççççöø÷÷÷÷÷÷．㊀㊀㊀㊀㊀令Ｑ－１＝（η１， ，ηｒ，ηｒ＋１， ，ηｎ），则ｘ＝ｙｒ＋１ηｒ＋１＋ｙｒ＋２ηｒ＋２＋ ＋ｙｎηｎ．因为Ｑ是可逆矩阵，则ηｒ＋１，ηｒ＋２， ，ηｎ线性无关，所以ηｒ＋１，ηｒ＋２， ，ηｎ为方程组的一个基础解系．定理２［７］㊀设Ａ是数域Ｐ上的ｎ阶方阵，矩阵λＥｎ－ＡＥｎæèçöø÷经初等变换化为φ１（λ）０⋱０φｎ（λ）Ｑ（λ）æèççççöø÷÷÷÷（其中初等行变换只能在前ｎ行进行）．设Ｑ（λ）的第ｊ列为ｑｊ（λ），若λ－λ０()ｋ为φｊ（λ）的初等因子，则Ａｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！， ，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！æèçöø÷＝ｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！， ，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！æèçöø÷λ０１００λ００︙︙⋱１００λ０æèççççöø÷÷÷÷．证明㊀由题设知，存在可逆矩阵Ｐ（λ），Ｑ（λ），使得Ｐ（λ）λＥｎ－Ａ()Ｑ（λ）＝φ１（λ）０⋱０φｎ（λ）æèççöø÷÷．因为ｑｊ（λ）是Ｑ（λ）的第ｊ列，所以Ｐ（λ）λＥｎ－Ａ()ｑｊ（λ）＝（０， ，０，φｊ（λ），０， ，０）Ｔ．又设ｑｊ（λ）的幂级数展开式为ｑｊ（λ）＝ｑｊ（λ０）＋ｑᶄｊ（λ０）１！λ－λ０()＋ｑᵡｊ（λ０）２！λ－λ０()２＋ ，代入Ｐ（λ）λＥｎ－Ａ()ｑｊ（λ）＝（０， ，０，φｊ（λ），０， ，０）Ｔ，得λ０Ｅｎ－Ａ()ｑｊ（λ０）＝０，λ０Ｅｎ－Ａ()ｑᶄｊ（λ０）＋ｑｊ（λ）＝０，λ０Ｅｎ－Ａ()ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！＋ｑｋ－２()ｊ（λ０）ｋ－２()！＝０．上面等式两边相加㊁移项并提取矩阵Ａ可得Ａ(ｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！， ，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！)＝(ｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！， ，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！)λ０１００λ０ ０︙︙⋱１００λ０æèççççöø÷÷÷÷．四㊁应用举例例１㊀求多项式ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），ｆ３（ｘ）的最大公因式，其中ｆ１（ｘ）＝ｘ４＋２ｘ３＋４ｘ２＋３ｘ＋２，ｆ２（ｘ）＝ｘ４＋ｘ３＋３ｘ２＋ｘ＋２，ｆ３（ｘ）＝ｘ３＋２ｘ２＋３ｘ＋２．解㊀因为ｆ１（ｘ）ｆ２（ｘ）ｆ３（ｘ）æèççöø÷÷＝ｆ１（ｘ）－ｆ２（ｘ）ｆ２（ｘ）－ｘｆ３（ｘ）ｆ３（ｘ）æèççöø÷÷＝ｘ３＋ｘ２＋２ｘ－ｘ３－ｘ＋２ｘ３＋２ｘ２＋３ｘ＋２æèççöø÷÷＝ｘ３＋ｘ２＋２ｘｘ２＋ｘ＋２ｘ２＋ｘ＋２æèççöø÷÷＝ｘ３＋ｘ２＋２ｘｘ２＋ｘ＋２０æèççöø÷÷＝ｘ２＋ｘ＋２００æèççöø÷÷，所以由引理４知，ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），ｆ３（ｘ）的最大公因式为ｄ（ｘ）＝ｘ２＋ｘ＋２．例２㊀求齐次线性方程组ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＝０，３ｘ１＋２ｘ２＋ｘ３＋ｘ４－３ｘ５＝０，５ｘ１＋４ｘ２＋３ｘ３＋３ｘ４－ｘ５＝０{的基础解系．解㊀对系数矩阵Ａ施行初等行变换如下Ａ＝１１１１１３２１１－３５４３３－１æèççöø÷÷ ｒ２－３ｒ１ｒ３－５ｒ１１１１１１０－１－２－２－６０－１－２－２－６æèççöø÷÷ ｒ１＋ｒ２ｒ２ˑ（－１）ｒ３－ｒ２１０－１－１－５０１２２６０００００æèççöø÷÷．又１０－１－１－５０１２２６１０００００１０００００１０００００１０００００１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ ｃ３＋ｃ１ｃ４＋ｃ１ｃ５＋５ｃ１１０００００１２２６１０１１５０１０００００１０００００１０００００１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ ｃ３－２ｃ２ｃ４－２ｃ２ｃ５－６ｃ２１０００００１０００１０１１５０１－２－２－６００１０００００１０００００１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷则由引理２知，方程组的基础解系为η１＝（１，－２，１，０，０）Ｔ，η２＝（１，－２，０，１，０）Ｔ，η３＝（５，－６，０，０，１）Ｔ．ʌ参考文献ɔ［１］王萼芳，石生明．高等代数（第五版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１９：５．［２］张家宝．浅谈求逆矩阵的几种方法［Ｊ］．数学学习与研究，２０２０（１０）：４－５．［３］石擎天，黄坤阳．线性方程组求解及应用［Ｊ］．教育教学论坛，２０２０（１２）：３２５－３２７．［４］于莉琦，高恒嵩．初等变换概述［Ｊ］．数学学习与研究，２０１９（０６）：１１６．［５］徐仲，陆全，等．高等代数考研教案（第２版）［Ｍ］．西安：西北工业大学出版社，２００９．［６］卢博，田双亮，等．高等代数思想方法及应用［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１７．［７］朱广化．关于‘相似变换矩阵的简单求法“的改进［Ｊ］．数学通报，１９９４（１１）：４４－４６．。
矩阵初等变换的性质及其应用
摘要本文探讨矩阵初等变换的性质及其在代数中的若干应用，主要从矩阵的逆、矩阵的秩、求解线性方程组及矩阵方程、求一元多项式的最大公因式、求解指派问题等若干方面进行阐述。
关键词：矩阵的初等变换；矩阵的秩；可逆矩阵；线性方程组；最大公因式AbstractThis paper is mainly to discuss the application of the elementary transfor mation of matrix in algebra, using matrix elementary transformation to solve th e matrix inverse, matrix rank, solving linear equations and matrix equations, on e yuan polynomial greatest common divisor, solving assignment problem of the se aspects of the application.Keywords:Elementary transformation of matrix;Matrix rank;Invertible matrix;System of linear equations;Greatest common factor目录1 引言 ............................. 错误!未定义书签。
2 矩阵的初等变换及其性质 (1)2.1 矩阵初等变换的定义.......................... 错误!未定义书签。
2.2 矩阵初等变换相关性质 (2)3 矩阵初等变换的若干应用 (2)3.1 利用矩阵初等变换求矩阵的逆 (1)3.2 利用矩阵的初等变换来求矩阵的秩 (5)3.3 利用矩阵初等变换求解线性方程组及矩阵方程 (7)3.4 利用矩阵的初等变换求一元多项式最大公因式 (11)3.5 利用矩阵初等变换解决指派问题 (13)参考文献 (16)矩阵初等变换的性质及其应用矩阵及其理论在众多领域中都发挥着重要的作用,而矩阵的初等变换是矩阵理论的核心和灵魂。
浅谈矩阵的初等行变换在线性代数中的应用
浅谈矩阵的初等行变换在线性代数中的应用张亚龙(北京科技大学天津学院基础部㊀３０１８３０)摘㊀要:本文从矩阵的初等行变换出发ꎬ分别提出在矩阵㊁向量组㊁线性方程组㊁矩阵的特征向量㊁二次型中的一些应用ꎬ并呈现对应例题ꎬ加强学生对矩阵的初等行变换的理解与应用.关键词:初等行变换ꎻ矩阵ꎻ向量组ꎻ线性方程组中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２２)２１－００２９－０３收稿日期:２０２２－０４－２５作者简介:张亚龙(１９９２－)ꎬ男ꎬ硕士ꎬ助教ꎬ从事计算数学研究.㊀㊀目前ꎬ«线性代数»这门课程是理工科和经管类必开设的一门课程ꎬ主要内容包括行列式㊁矩阵㊁线性方程组㊁向量组㊁相似矩阵㊁二次型等.矩阵的初等行变换贯穿在整个线性代数的内容中ꎬ为了方便学生学习ꎬ下面归纳总结了关于矩阵初等行变换在线性代数中的应用.１矩阵中的应用１.１求矩阵的逆若矩阵Ａ可逆ꎬ则Ａ－１也可逆ꎬＡ－１可以表示成若干个初等矩阵的乘积ꎬ因此可由矩阵的初等行变换求Ａ－１ꎬ即(ＡꎬＥ)初等行变换ң(ＥꎬＡ－１)ꎬ我们将矩阵Ａ和单位矩阵Ｅ都做初等行变换ꎬ当矩阵Ａ化为单位矩阵Ｅ时ꎬ单位矩阵Ｅ就变成了Ａ－１.例１㊀求矩阵Ａ＝１－２０１２０２２１éëêêêùûúúú的逆.解㊀作一个３ˑ６的矩阵(ＡꎬＥ)ꎬ并对其做矩阵的初等行变换.(ＡꎬＥ)＝１－２０１００１２００１０２２１００１éëêêêùûúúúң１００１２１２００１０－１４１４０００１－１２－３２１éëêêêêêêêùûúúúúúúú＝(ＥꎬＡ－１).因此ꎬＡ－１＝１２１２０－１４１４０－１２－３２１éëêêêêêêêùûúúúúúúú.１.２求矩阵的秩矩阵秩的定义是非零子式的最高阶数ꎬ我们知道初等变换不改变矩阵的秩ꎬ对矩阵Ａ做初等行变换化为行阶梯形矩阵Ｂꎬ由行列式的性质可知ꎬ矩阵Ａ和矩阵Ｂ的非零子式最高阶数相同ꎬ所以矩阵Ａ与矩阵Ｂ的秩相等.例２㊀求矩阵Ａ＝１－１２１０１００１１２－２４２００３００１éëêêêêêùûúúúúú的秩.解㊀对矩阵Ａ做初等行变换化为行阶梯形矩阵.９２Ａ＝１－１２１０１００１１２－２４２００３００１éëêêêêêùûúúúúúң１－１２１００１－２０１００６０－２０００００éëêêêêêùûúúúúú＝Ｂ因为矩阵Ｂ中有三个非零行ꎬ即Ｒ(Ｂ)＝３ꎬ所以Ｒ(Ａ)＝３.２在向量组中应用２.１求向量组的秩由于任何矩阵Ａꎬ它的行秩＝列秩＝Ｒ(Ａ)ꎬ因此我们只需将向量组中的向量均按列构成一个矩阵Ａꎬ向量组的秩就等于矩阵Ａ的秩.例３㊀求向量组α１＝(１ꎬ－２ꎬ２)ꎬα２＝(１ꎬ－４ꎬ０)ꎬα３＝(１ꎬ－２ꎬ２)的秩.解㊀以αＴ１ꎬαＴ２ꎬαＴ３为列向量构成矩阵Ａꎬ并对矩阵Ａ进行初等行变换ꎬ把Ａ化为阶梯形矩阵Ｂ.Ａ＝１１１－２－４－２２０２éëêêêùûúúúң１１１０－２００－２０éëêêêùûúúúң１１１０１００００éëêêêùûúúú＝Ｂꎬ得Ｒ(Ａ)＝Ｒ(Ｂ)＝２ꎬ又因为向量组α１ꎬα２ꎬα３的秩等于矩阵Ａ的秩ꎬ即向量组α１ꎬα２ꎬα３的秩为２.２.２求向量组的极大无关组由于初等行变换不改变矩阵列向量的线性关系ꎬ因此可由初等行变换求解向量组的极大无关组.例４㊀求向量组α１＝(１ꎬ２ꎬ３ꎬ０)ꎬα２＝(－１ꎬ－２ꎬ０ꎬ３)ꎬα３＝(２ꎬ４ꎬ６ꎬ０)ꎬα４＝(１ꎬ－２ꎬ－１ꎬ０)的一个极大线性无关组.解㊀以αＴ１ꎬαＴ２ꎬαＴ３ꎬαＴ４为列向量构成矩阵Ａꎬ并对矩阵Ａ进行初等行变换ꎬ把Ａ化为行最简形矩阵Ｂ.㊀Ａ＝１－１２１２－２４－２３０６－１０３００éëêêêêêùûúúúúúң１０２００１０００００１００００éëêêêêêùûúúúúú＝Ｂ非零行首非零元１所在的列作极大线性无关组ꎬ因此向量组α１ꎬα２ꎬα３ꎬα４的一个极大线性无关组为α１ꎬα２ꎬα４.３在线性方程组中的应用通过一系列的初等行变换ꎬ将系数矩阵或增广矩阵化为行最简形矩阵ꎬ判断方程组是否有解ꎬ有解的情况下ꎬ求出通解.３.１解齐次线性方程组例５㊀求解齐次线性方程组２ｘ１＋ｘ２－ｘ３＋３ｘ４＝０ｘ１＋２ｘ２＋３ｘ３＋ｘ４＝０３ｘ２＋７ｘ３－ｘ４＝０ｘ１－ｘ２－４ｘ３＋２ｘ４＝０ìîíïïïïïï解㊀对系数矩阵Ａ进行初等行变换ꎬ化为行最简形矩阵ꎬＡ＝２１－１３１２３１０３７－１１－１－４２éëêêêêêùûúúúúúң１２３１０１７３－１３００００００００éëêêêêêêùûúúúúúúң１０－５３５３０１７３－１３００００００００éëêêêêêêêùûúúúúúúú得同解方程组为ｘ１＝５３ｘ３－５３ｘ４ｘ２＝－７３ｘ３＋１３ｘ４ìîíïïïï其中ｘ３ꎬｘ４为自由未知量ꎬ令自由未知量ｘ３ｘ４æèççöø÷÷依次取１０æèçöø÷ꎬ０１æèçöø÷ꎬ得基础解系η１＝５３－７３１０æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ꎬη２＝－５３１３０１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ꎬ所以齐次线性方程组的通解为ｃ１η１＋ｃ２η２ꎬ(ｃ１ꎬｃ２为任意常数).３.２解非齐次线性方程组例６㊀求非齐次线性方程组ｘ１＋ｘ２＝５２ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋２ｘ４＝１５ｘ１＋３ｘ２＋２ｘ３＋２ｘ４＝３ìîíïïïï的通解.解㊀对增广矩阵Ｂ进行初等行变换ꎬ化为行最简形矩阵.０３Ｂ＝１１００５２１１２１５３２２３éëêêêùûúúúң１０１２－４０１－１－２９０００－２－４éëêêêùûúúúң１０１０－８０１－１０１３０００１２éëêêêùûúúú可以得出系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩ꎬ并且小于未知量的个数ꎬ因此方程组有无数个解.即它的同解方程组为ｘ１＝－ｘ３－８ｘ２＝ｘ３＋１３ｘ４＝２ìîíïïïïꎬ其中ｘ３为自由未知量ꎬ令自由未知量ｘ３＝０ꎬ得特解α０＝－８１３０２æèççççöø÷÷÷÷.导出组的同解方程组为ｘ１＝－ｘ３ｘ２＝ｘ３ｘ４＝０ìîíïïïïꎬ其中ｘ３为自由未知量ꎬ令ｘ３＝１ꎬ得对应齐次线性方程组的基础解系η＝－１１１０æèççççöø÷÷÷÷ꎬ所以线性方程组的通解为α０＋ｃη＝－８１３０２æèççççöø÷÷÷÷＋ｃ－１１１０æèççççöø÷÷÷÷ꎬ其中ｃ为任意常数.４在矩阵特征向量中的应用上面我们介绍了用初等行变换求解线性方程组ꎬ计算矩阵的特征向量就会涉及到解齐次线性方程组.例７㊀求矩阵Ａ＝２２－２２５－４－２－４５éëêêêùûúúú的特征向量.解㊀由Ａ－λＥ＝２－λ２－２２５－λ－４－２－４５－λ＝－(１－λ)２(λ－１０)＝０ꎬ得矩阵的特征值λ１＝１０ꎬλ２＝λ３＝１.当特征值λ１＝１０时ꎬ解齐次线性方程组(Ａ－１０Ｅ)Ｘ＝０ꎬ即Ａ－１０Ｅ＝－８２－２２－５－４－２－４５éëêêêùûúúúң２０１０１１０００éëêêêùûúúúң１０１２０１１０００éëêêêêêùûúúúúú得基础解系η１＝－１２－１１æèççççöø÷÷÷÷ꎬ故Ａ的对应于特征值λ１＝１０的全部特征向量为ｃ１－１２－１１æèççççöø÷÷÷÷ꎬ其中ｃ１为任意非零常数.当λ２＝λ３＝１时ꎬ解齐次线性方程组(Ａ－Ｅ)Ｘ＝０ꎬ即Ａ－Ｅ＝１２－２２４－４－２－４４éëêêêùûúúúң１２－２００００００éëêêêùûúúúꎬ其基础解系为η２＝－２１０æèçççöø÷÷÷ꎬη３＝２０１æèçççöø÷÷÷ꎬ故Ａ的对应于特征值λ２＝λ３＝１的全部特征向量为ｃ２－２１０æèçççöø÷÷÷＋ｃ３２０１æèçççöø÷÷÷ꎬ其中ｃ２ꎬｃ３是不全为零的任意常数.㊀矩阵的初等行变换贯穿于整个线性代数章节中ꎬ熟练应用初等行变换是学好线性代数的基础ꎬ学生要在平时学习中ꎬ学会归纳总结ꎬ使每个知识点建立联系.参考文献:[１]同济大学数学系.工程数学线性代数[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２０１４.[２]郝秀梅ꎬ姜庆华.线性代数[Ｍ].北京:经济科学出版社ꎬ２０１７.[责任编辑:李㊀璟]１３。
矩阵的初等变换的作用
矩阵的初等变换的作用作者：刘网定来源：《计算机光盘软件与应用》2013年第12期摘要：本文结合线性代数课程的教学经验，介绍了矩阵的初等变换的作用以及使用过程中的注意点，同时，引入了列阶梯形矩阵和列最简形矩阵的概念。
关键词：矩阵的初等变换；行阶梯形矩阵；列阶梯形矩阵中图分类号：O151.21许多同学在利用矩阵的初等变换解决问题时，常常对何时能用初等行变换、何时能用初等列变换不知所措。
从而造成在使用的过程中出现了许多乱用、混用的现象。
在此，通过几道具体的例题，来总结一下矩阵的初等变换的作用，以及在使用过程中的注意点。
作用一：求矩阵的行阶梯形、行最简形矩阵例1：用初等变换把下列矩阵化为行最简形矩阵。
注意点：1.所谓行阶梯形、行最简形矩阵是利用矩阵的初等行变换得到的左下角全为零的一种特殊矩阵。
因此在化简过程中只能运用矩阵的初等行变换。
2.类似于上述运算过程，也可以利用矩阵的初等列变换将矩阵进行化简。
并且，对应于行阶梯形、行最简形矩阵，在此起名为列阶梯形、列最简形矩阵。
比如：将例1中的矩阵利用初等列变换进行化简。
注意点：在利用矩阵的初等行变换将系数矩阵进行化简时，不能涉及到矩阵的初等列变换。
以上是有关矩阵的初等变换的几个直接应用。
除此之外，矩阵的初等变换还可间接应用于其他诸多方面，比如：求向量组的秩、研究向量组的线性表示问题等等，在此不加以叙述。
参考文献：[1]同济大学数学系.工程数学线性代数[M].高等教育出版社，2003.作者简介：刘网定（1981.07-），女，学位：硕士，职称：讲师，研究方向：生存分析。
作者单位：南京陆军指挥学院，南京 210045。
《高等代数》课程中矩阵初等变换方法的应用
阵初等变换将 矩阵 Ａ化 为某一行 （ 列） 仅有 一个元素非零 ，
然后在按 这一行 （ 列） 展 开行列 式 ｌ Ａ１ ， 将高 阶行列式 降 为低阶行列式 ， 从而求 出 ｌ Ａ １ ．
３ 矩 阵 初 等 变 换在 矩 阵 中 的应 用
用 Ａ表示 ｎ ｌ ×ｎ矩阵 ，则经初等行变换 Ａ可化为行 阶
换．
。ｌ １ ）０
Ｃｌ （ ｉ ＋ １ ） ‘ ‘ 。 Ｃｌ ｎ Ｃ冰 Ｉ ） … Ｏ２ ｎ
０ ０
● ●
…
０
１
：
：
…
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
＋ ％ ＋ ； ０ ０ ； Ｏ
０ ０ ０ ０
Ｃ心 １ ） … Ｃｍ
…
０ ０
１ ． 换法变换 ： 交换矩 阵的两行 （ 列） ； ２ ． 倍法变换 ： 用非零 数乘 矩阵 的某一 行（ 列） ； ３ ． 消法变换 ： 矩阵 的某一 行（ 列） 乘
一
０ ０
● ●
０
…
０
：
：
…
占 ＿ ％ ； ０ Ｏ
０ Ｏ Ｏ ０ ； １ Ｏ ；
Ｏ
０
个数加到另一行 （ 列） ．
０ Ｏ
０
…
Ｏ
１ 矩 阵初 等 变 换 在 多项 式 中的 应 用
再 经 若 干 次初 等 列 变 换 可 化 为矩 阵 Ａ 的标 准 形 蜘
１ ． 构 造 矩 阵 Ａ ： ｆ ＼ ｇ 【 ｘ Ｊ ｇ ０ ， ｔ ｘ ） 、 ／ １ ， 对 Ａ 实 施 初 等 行 变 换 化 为
矩 阵 Ｂ ＝ （
ｄ （ ｘ ） ， ｍ （ ｘ ） 分 另 Ｊ ｌ 是 （ ｘ ） 的 最 大 公 因 阵 Ａ的秩． ２ ． 求矩阵的标准形 ： 任意上 ｍ× ｎ矩阵 Ａ都可经初等变 式与最小公倍式［ 】 １ ． 换 化 为 标 准 形 ： （ ： ） 其 中 ｒ 是 矩 阵 的 秩 ． ２ ． 构 造 矩 阵 Ａ ： （ ０ １ ） ， 对 Ａ 实 施 初 等 行 变 换 化 ３． 求可逆矩阵 的逆矩 阵 ： 设 Ａ是 ｎ阶可逆 矩阵 ， 可用 以 下方法 求 Ａ 一 ． （ １ ） 构造矩 阵（ Ａ Ｅ ） ， 则该 矩阵可 经初等行 变 为 矩 阵 Ｂ ＝ （ ） ’ 贝 Ｊ Ｉ ｄ （ ｘ ） 是 ｆ （ ｘ ） ， ｇ （ ｘ ） 的 最 大 公 因 换 化 为 （ Ｅ Ａ ） ． （ ２ ） 构 造 矩 阵 （ 盒 ） ， 则 该 矩 阵 可 经 初 等 列 变 式， 且ｄ （ ｘ ） ＝ ｆ （ ｘ ） ｕ （ ｘ ） ＋ ｇ （ ｘ ） ｖ （ ｘ ） 闭 ． ‘
矩阵初等变换的应用
矩阵初等变换的应用摘 要 矩阵的初等变换是线性代数中很重要的一部分，本文从矩阵初等变换的概念开始，应用具体实例，介绍了矩阵的初等变换在高等代数中的一些应用.运用矩阵的初等变换可以求出逆矩阵、矩阵的秩、求解矩阵方程和线性方程组、以及矩阵的特征值和特征向量等等.关键词 初等变换、逆矩阵、矩阵方程、线性方程组0 引言矩阵理论是线性代数的重要内容之一，它是研究线性方程组、二次型及线性变换等问题的一个常用工具.而矩阵的初等变换则是贯穿于线性代数的一种十分重要的方法，它包括线性方程组的初等变换、行列式的初等变换和矩阵的初等变换，许多线性代数问题都可用它来解决，在解决代数问题时，运用矩阵的初等变换可以使问题简单化.本文从初等变换的概念开始，利用实例逐步介绍了初等变换在解题过程中的应用，通过这些实例更体现了矩阵的初等变换在数学中的重要地位.1 矩阵、矩阵的初等变换及初等矩阵的基本概念 定义1 由n m ⨯个数排成m 行n 列的数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a aa aa a a a a mn m m n n212222111211称为m 行n 列的矩阵，或称为n m ⨯矩阵.定义2 对某一矩阵施行的初等变换是指对该矩阵的行或列进行的如下三种变换的统称：（1）倍法变换：将矩阵A 第i 行（列）的各元素分别乘以k ，其余行（列）不动，得到矩阵B ，称对A 施行了一次倍法变换.（2）消法变换：将矩阵A 的第j 行（列）乘以μ加于第i 行（列），其余行（列）不动，得到矩阵B ，称对A 施行了一次消法变换.（3）换法变换：将矩阵A 第i 行（列）与第j 行（列）对调位置，其余行（列）不动，得到矩阵B ，称对A 施行了一次消法变换.定义3 对矩阵的行（列）进行的倍法交换、消法变换和换法变换统称为初等行（列）变换.矩阵初等变换的表现形式：（1）倍法变换：非零常数k 乘矩阵的第i 行（列）：i kr 或i kc ；（2）消法变换：矩阵的第i 行（列）加上第j 行（列）的倍：j i kr r +或j i kc c +； （3）换法变换：交换矩阵的第i 行（列）与第j 行（列）：j i r r ↔或j i c c ↔； 定义4 对单位矩阵I 施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等变换对应以下三种初等矩阵：（1）初等倍法矩阵：以数k 乘单位矩阵的第i 行（列），得初等矩阵))((k i P ，称之为初等倍法矩阵；（2）初等消法矩阵：以数k 乘单位矩阵的第j 行（列）加到第i 行（或用数k 乘单位矩阵的第i 列加到第j 列），得初等矩阵))(,(k j i P ，称之为初等消法矩阵；（3）初等换法矩阵：把单位矩阵的两行（列）对调，得到初等矩阵),(j i P ，称之为初等换法矩阵.通常将以上三种矩阵依次简称为倍法矩阵、消法矩阵、换法矩阵.2 用初等变换求矩阵和向量组的秩 定理1 初等变换不改变矩阵的行秩与列秩.定理 1 表明：初等变换虽然改变了矩阵，但不改变矩阵的秩，所以称矩阵的秩是矩阵初等变换下的不变量，且任意一个n m ⨯矩阵均可以经过一系列行初等变换化为n m ⨯梯形矩阵; 因此, 确定一个矩阵的秩, 首先要利用初等变换把其变为梯形矩阵, 然后再由梯形矩阵的秩来确定原来矩阵的秩.例1 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=10111522116131221101A 的秩. 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=10111522116131221101A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−→−-↔++1200030300211102110130300120002111021101434232r r r r r r 阶梯矩阵中非零行的行数为4，所以该矩阵的秩为4，即()4A r =.除了求矩阵的秩，在学习过程中可能还要求求向量组的秩，我们可以把每一个向量作为矩阵的一行，把向量组就转变成为一个矩阵，即向量组的秩就转化成了矩阵的秩，问题就变简单了.例2求下列向量组的秩)1,3,1,2(1-=α，)0,2,1,3(2-=α，)2,4,3,1(3-=α，)1,1,3,4(4-=α解：以4321,,,αααα''''为列, 构造矩阵A , 再对A 进行行初等变换, 化为梯形矩阵:()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=''''=1201142333114132,,,4321ααααA ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------−−−→−+21101055033111055032242321__r r r r r r −−→−r r 312121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------2110211033112110⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−−→−211000003311211013_r r −−→−+r r 14⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000000033112110 −−→−↔r r 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000000021103311因此，阶梯矩阵中非零行的行数为2，所以矩阵的秩为2，从而向量组4321αααα'''',,,的秩也是2.3 用初等变换求逆矩阵命题 1 如果A 是n 阶可逆矩阵,则经过若干次初等变换后可化为I ,我们将A 与I 并排放到一起, 形成一个n 2n ⨯的分块矩阵)|(I A , 然后对此矩阵施以仅限于行的初等变换，使子块A 化为I ,同时子块I 即化成1A -了,即)|(I A −−−→−初等行变换)|(1A I -将其左半部分化为单位矩阵, 右半部分就是1A -.例3 求矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3100520000110012的逆矩阵. 解：作84⨯矩阵)|(4I A)|(4I A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10003100010052000010001100010012−−→−↔↔r r r r 4321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01005200100031000001001200100011−−−→−r 2r r 2r 3412__⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----210100010003100002101000100011−−−→−--++r 1r 3r r 1r r 443221⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----21001000530001000021001000110001于是得到⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-21005300002100111A 上面所说用初等变换求逆矩阵的方法，仅限于对矩阵的行作初等变换，不能进行列变换. 同样的道理，也可对矩阵作仅限于列的初等列变换来求逆矩阵.我们将A 与I 并列放到一起, 形成一个n n 2⨯ 的矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛I A , 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11A I I A A , 所以对矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛I A 作一系列列初等变换, 将其上半部分化为单位矩阵, 这时下半部分就是1A -.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1A I I A 初等列变换4 用初等变换求解矩阵方程我们都知道矩阵方程经过恒等变换后有三种可能形式： B AX = , B XA = , B AXC =,如果矩阵A,C 可逆，有1111BC A ,X BA B,X A X ----===,计算得到X .例4 求解矩阵方程B AX =,其中=A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛202030102,=B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200021021解：()=B A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200202021030021102−−−→−-+r r 13⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--221100021030021102−−−→−-+r r r 23131⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---22110003231010242002−→−r 121⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---22110003231010121001因此 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-221031311211B A X5 用初等变换求线性方程组的基础解系考虑一般的线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111的求解问题.记 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x x 21， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m b b b b 21 则方程组的矩阵形式为b Ax = 其中A 称为方程组的系数矩阵，b 为常数项矩阵，x 称为n 元未知量矩阵.我们把方程组的系数矩阵A 与常数项矩阵b 放在一起构成的矩阵()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m mnm m nn b a a a b a a a b a a a b A21222221111211称为线性方程组的增广矩阵. 5.1 求齐次线性方程组的解（当0=b 时，0=Ax 称为齐次线性方程组）例5 解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=++-=+-+=-+0793083032054321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x -解：对增广矩阵()0A 作行初等变换()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=079310181303211015110A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----−−→−--08144004720047200151131413r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−−−→−--00000000002271001230100000000000472001230122242321-r r r r r即原方程组与下面的方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=--=43243122723x x x x x x 同解，其中3x ，4x 为自由未知量.因此求得两个解方程组的基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0127234321x xx x ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10214321-x x x x5.2 非齐次线性方程组的解（b Ax =，其中0≠b ）例6 求解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-=-++=+-+-=-+-2397483023254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：对增广矩阵()0A 作行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---441480227402274021511323971418130123121511141312-------------r r r r r r⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−→−--000000000011272010231122242321--r r r r r原方程组同解于⎪⎩⎪⎨⎧=+--=++1272123432321x x x x x x 即 ⎪⎩⎪⎨⎧--=---=3243212721231x x x x x x 令32,x x 为自由变元，得它的通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--===---=21423122112721231t t x t x t x t t x6 用初等变换求n 阶数字矩阵的特征值与特征向量 方法：(1)解A 的特征方程0=-A I λ,求出A 的n 个特征值1λ，2λ，…，n λ. (2)对每一特征值i λ，求解齐次线性方程组()0=-x A I i λ，得此方程组的基础解系1α，2α，…，s α，则A 对应于i λ的全部特征值向量为s s c c c ααα+++ 2211， （s c c c ,,21为不全为零的任意常数）例7 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=201034011A 的特征值和特征向量.解：矩阵A 的特征方程为020103411=----+=-λλλλA I 化简得()()0122=--λλ，所以21=λ，132==λλ是矩阵A 的特征值，“1”是矩阵A 的二重特征值.当21=λ时，解齐次线性方程组()02=-x A I ：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-0000100010100100010010140132A I得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1101α，则矩阵A 对应于21=λ的全部特征值向量是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100111c c α（1c 为任意非零常数）当132==λλ时，解齐次线性方程组()02=-x A I ：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-000210101210420101101024012A I可得它的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1212-α，则矩阵A 对应于132==λλ的全部特征值向量是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121122-c c α（1c 为任意非零常数）7 用初等变换求矩阵的满秩分解 方法：存在非奇异矩阵P 、Q 化矩阵为A 成为简单形，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000rI PAQ 或 11000--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Q I P A r()BC Q I I P r r =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--1100其中 ()110,0--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q I C I P B rr例8 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=311131720021A 的满秩分解.解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10000100001000011003111010317200100210I I A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−−−→−-++100001000010000110131300123130001002123121r r r r - ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−−−→−++10000100001000211130000012313000100132r r C 2C -21⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−−→−+100000100100020111300000123310010132C C⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−−−→−-++10033100100020111300000120010001001334232C C C C通过以上可知矩阵A 的秩为2.行变换矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1130120011P ,列变换矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=10003310010002012P 他们相对应的逆矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-11101200111P ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-10000103130002112P 将11-P 的前两列与12-P 的前两行组合得A 的满秩分解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=31300021111201A8 用初等变换化二次型为标准型利用初等变换化二次型的方法可以说是在合同变换法上的改革与优化. 方法： 令=A 为n 阶实对称矩阵，C '为若干第三种初等矩阵ij C 的乘积，且有A C '⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01A 0αλ其中1λ,α,0A 为1n -阶矩阵，那么AP C '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01A 00λ 这个方法给我们了解题思路，只要对矩阵初等变换ij C ，当把化成上三角形矩阵时，I 就化成了C '.例9 求一非退化线性变换，化二次型()323121321x x 4x x 2x x 2x x x f -+=,, 为标准形.解：先写出该二次型对应的矩阵=A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--02120111⎪⎪⎭⎫⎝⎛I A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100010001021201110−−→−+c c 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100011001021201111−−→−+r r 21−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----++c c c c 13122121100011001021201112 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------10021211212112123123211002−−−→−⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-+r r r r 13122121⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----10021211212112123023210002()−−−−→−-+c c 323⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----1001211221142300210002()−−−−→−-+r r 323 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---100121122114000210002 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4000210002D ,C ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=10012112211,01≠=C 从而非退化线性替换为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213214000210002y y y x x x ，代入原二次型可得标准形()2322213214212,,z z z x x x f +-=9 用初等变换来求一元多项式最大公因式在高等代数中，求两个多项式的最大公因式最常用的是辗转相除法和因式分解法.当多项式次数较高时，辗转相除法计算比较繁琐.多项式辗转相除法主要表现为系数间的运算，所以通常用分离系数法使之变得简便.同样的，为了简化求最大公因式的运算，我们把要求最大公因式的那两个多项式的系数与矩阵表示对应起来.定理6 若阶矩阵A 的第行第列元素是零，替换即表示将矩阵A 的第行元素逐个向右退一位变换，如⎪⎪⎭⎫⎝⎛−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----011011012101102b b b a a a a b b b ba a a a n n nS n n n n我们现在可以通过上面所讲的矩阵进行初等变换，以及替换S ，使其中都是零或只有一个非零数，然后很快求出它的最大公因式.例10 设623)(23+--=x x x x f22)(23--+=x x x x g 求他们两的最大公因式. 解: 对⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=22116231A 实施行的初等变换−−→−-r A 12r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--80406231−−→−r 241⎪⎪⎭⎫⎝⎛---20106231 −−→−+r r 321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--20100201−→−S 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--20102010−−→−-r r 12⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00002010故得最大公因式 ()()()()20,2,22-=-=x x x g x f上面讲的方法可灵活运用,对于求两个多项式的最大公因式, 辗转相除法是一种比较好的方法, 但对于求多个多项式的最大公因式, 辗转相除法在理论上可行, 在实际操作中却是非常繁琐的. 本文介绍的方法, 对求多个多项式的最大公因式是一种简便的方法.致谢 本文是在常建老师的指导和帮助下完成的, 在此对常老师表示衷心的感谢!参考文献：[1] 赵树嫄. 线性代数第四版[M]. 中国人民大学出版，2013.1 [2] 曹重光，张显. 高等代数方法选讲[M]. 科学出版社，2013.8.[3] 樊恽，刘宏伟. 线性代数与解析几何教程（上册）[M]. 科学出版社，2009.8 [4] 张宇. 线性代数九讲[M].北京：北京理工大学出版社，2014,2. [5] 张禾瑞,郝炳新,高等代数[M]. 北京：高等教育出版社,2007,6.Applications of Elementary Transformation of MatricesLiuXin 20121104646College of Mathematics Science, Information and Computing Science, Class(1)2012Advisor ChangJianAbstract: the elementary transformation matrix is a very important part in higher algebra, this paper expounds the concept and application of it.Keywords: elementary matrix, elementary transformation, inverse matrix, matrix equation, the greatest common factor。
论文用矩阵列初等变换法求解非齐次线性方程组
用矩阵列初等变换法求解非齐次线性方程组摘要:利用矩阵的初等列变换解非齐次线性方程组,这种方法在许多情况下应用起来比较方便.本文给出了一个命题，对于任意的矩阵C，对其做初等列变换，变成一个两部分的分块矩阵，左边是列满秩的子块，右边是零矩阵，对于一个单位矩阵做同样的初等列变换，右边将是其次线性方程组CX=0的基础解系.在此命题的基础上，可以用初等列变换来求解线性代数的许多计算题，也可以证明一些线性代数的定理.本文还将揭示，在求解非齐次线性方程组的时候，矩阵的列变换方法更加容易学习，更容易理解.关键词: 矩阵; 初等列变换; 线性方程组To solve linear equation using matrix elementary columu vary Abstract :To solve linear equation using mat rix elementary column vary, this method is very convenient under different circumstances. This paper gives and proofs a theorem,for any matrix C, do elementary column operations, chang it to a matrix which is partitioned to two submatrices which left one is column full rank and right one is zero matrix. Then do same elementary column operations to a unit matrix with same column number as C, and do some partition to the result, then right submatrix of it, is just basic solution set of homogeneous linear equation CX=0. On the basic of the theorem, lots of problems of linear algebra can be resolved and lots of theorems can be proofed by elementary column operations. The paper will reveal that them will not easy to learn and to program and to proof something as techniques giving by the paper.Key words : mat rix ; elementary column vary ;linear equation.0 引言非齐次线性方程组的求解是线性代数这门学科中不容忽视的内容，但教材中给出的方法多是用矩阵的初等行变换法求解，这种方法在很多时候显得费力.有没有想过在求解非齐次线性方程组的时候对增广矩阵（A ，b ）做一系列的初等列变换来得到方程组的解.本文将完全用初等列变换求解线性代数中许多计算问题，从理论上看，我们可以在完全不用行变换技术的前提下求解，这种方法是可行的，而且效果更好.1 用矩阵的列变换求解非齐次线性方程组的理论基础定义1 对于一个矩阵A ，我们在它的行和列之间加上一些线，把这个矩阵分成若干小块，用这种方法分成若干小块的矩阵A 叫做一个分块矩阵. 定义2 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩.定义3 设A 是n 阶方阵，如果存在n 阶方阵B 使得AB =n I 成立，那么A 称为B 的可逆矩阵.定义4 把n 阶单位矩阵进行初等行（列）变换后得到的矩阵称为初等方阵. 定义5 设1a ，2a ，…，r a 是F 上向量空间V 的r 个向量，只有当1k =2k =……=r k =0时，1k 1a +2k 2a +……+r k r a =0成立，那么就称向量1a ，2a ，……，r a 线性无关. 定理：设给出了一个一般非齐次线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (1) 为了方便,将(1) 式写成矩阵的形式:11m n mn B XA = (2)设分块矩阵C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+11n m mn E B A ，若系数矩阵mn A 的秩R(A) = r ,则分块矩阵C 经过列的初等变换,要求把系数矩阵mn A 右边的元素尽可能多的化为零，那么矩阵C 等价于如下形式的分块矩阵:C =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10001121121 r n r n nr m r n mr O H a a a W F O O O D (3) 其中r 为系数矩阵mn A 的秩，1+n E 为n + 1 阶单位矩阵,i O (i = 1 ,2, ……,n - r) 均为零向量,i a (i = 1 ,2 , ……,n - r) 为n 维列向量,并且存在n + 1 阶可逆矩阵1+n P ,使得以下两式成立:)()(11111m r n mr n m mn F O O O D P B A -+= (4)=++11)(n n P I ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10001121 r n r n nr O H a a a W (5)证明：事实上, 由于对矩阵C 做一次初等列变换,相当于对矩阵)(1m mn B A 及1+n I 右乘同一个初等方阵,经过有限次的对矩阵C 做列的初等变换,相当于对矩阵C 右乘一系列初等方阵,矩阵1+n P 就是这些初等方阵的乘积,所以(3) 、(4) 、(5) 式成立是必然的,证毕. 由定理易推出:结论一:线性方程组(1) 有解的充要条件是(4) 式中的1m F 为零矩阵. 证明：这和非齐次线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即R(A) = R(A :b) 是一致的.结论二:若(1) 有解,则(3) 式中的1n H 就是(1) 的一个特解,而1a ,2a , ⋯⋯r n a -就是(1) 对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明：将(5) 式代入(4) 式得:)(1m mn B A *⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10001121 r n r n nr O H a a a W =)(111m r n mr O O O O D - (6)(6) 式两端对照得:i mn a A = i O (i = 1 ,2 ,……n - r) (7)由(7) 式可以看出r n a a a - ,,21均为(1) 对应的齐次线性方程组的解向量,由(5) 式又知r n a a a - 21是线性无关,所以r n a a a - 21是(1) 对应的齐次线性方程组的一个基础解系.由(6) 式又得:)(1m mn B A 111m n O H =⎪⎪⎭⎫⎝⎛- (8)由(8) 式进一步得:111m m n mn O B H A =-,即11m n mn B H A = (9) 所以1n H 为(1) 的一个特解. 从而线性方程组(1) 的通解为:(12211n r n r n H a k a k a k ++++-- ，i k 为任意给定的常数,i = 1 ,2 , ……,n- r).2 具体求解步骤利用此方法求解非齐次线性方程组的通解可以分三步进行:第一步:设出矩阵C =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+11n m mn E B A 第二步:将矩阵C 通过列的初等变换化为(3) 式的形式,并且判断是否有解,若1m F 为零矩阵时(1) 有解,否则无解.第三步:若线性方程组(1) 有解,则(3) 式中的r n a a a - 21就是(1) 对应的齐次线性方程组的一个基础解系,1n H 就是(1) 的一个特解,则(1) 的通解为:12211n r n r n H a k a k a k ++++-- ,其中i k (i = 1 ,2 ,……,n - r) 为任意常数.3 一些计算例子例1 :求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=+-=+-1521212321321321x x x x x x x x x解:第一步:设矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1000010000100001152********1 第二步：对矩阵作列初等变换C −→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1000010000101211031113120001−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10010*********001110120001−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100010003101111001110120001此矩阵已是(3)的形式，但矩阵31F =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000所以，此方程组无解.例2 :求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=-+2875342622321321321x x x x x x x x x解:第一步:设矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10010*********2817534216122第二步：对矩阵作列初等变换C −→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10000200001001112872539316002−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100200001031111372509310002−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----102200331012110132500310002 此矩阵已是(3)的形式,因为31F 为零矩阵，所以根据结论二知上述方程组有解。