分块矩阵的初等变换及其应用[含论文、综述、开题-可编辑]

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（20 届）分块矩阵的初等变换及其应用

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摘要：本文介绍了矩阵，分块矩阵的一些基本概念，同时也介绍了分块矩阵的初等变换，分块矩阵的初等变换在一些问题中的相关应用，如利用分块矩阵的初等变换计算矩阵的行列式，求矩阵的逆，在秩问题中的应用，在相似问题中的应用以及在其他方面的应用，用22

分块矩阵的初等变换证明实对称矩阵的正定性。并根据各种的应用给出了大量的例题，充分体现了分块矩阵的初等变换在代数学中所具有一定的优越性。

关键词：分块矩阵；初等变换；行列式；矩阵的逆；应用

Elementary block matrix transform and its application

Abstract：This article introduces some basic concepts of the matrix and partitioned matrix，also introduces the elementary transformation of partitioned matrix and the related application in some problems. For example, using the elementary transformation of partitioned matrix to compute matrix's determinant or get the inverse of a matrix. Also it introduces the application of partitioned matrix in some rank problems, similar problems and other problems, using the 22

elementary transformation of partitioned matrix to prove the definiteness of symmetric matrix. According to different kinds of application, it lists a lot of examples, which fully indicate the superiority of partitioned matrix's elementary transformation in algebra.

Key words：partitioned matrices; elementary transformation; determinant; the inverse of a matrix; Application

目录

1 绪论 (1)

1.1问题的背景 (1)

1.2问题的意义 (1)

2 矩阵的介绍 (2)

2.1矩阵的概念 (2)

2.2矩阵的运算 (4)

2.3矩阵的行列式与秩 (6)

2.4矩阵的逆 (8)

2.5初等矩阵 (8)

3 分块矩阵的介绍 (10)

3.1分块矩阵的定义 (10)

3.2分块矩阵的分类 (10)

3.3分块矩阵的运算 (11)

3.4分块矩阵的初等变换和分块初等阵 (12)

3.5分块方阵的行列式 (15)

4 分块矩阵初等变换的相关应用 (18)

4.1利用分块矩阵的初等变换计算行列式 (18)

4.2利用分块矩阵的初等变换求矩阵的逆 (20)

4.3分块矩阵的初等变换在秩问题中的应用 (23)

分块矩阵的初等变换证明实对称矩阵的正定性 (25)

4.4用22

4.5分块矩阵的初等变换在相似问题中的应用 (26)

结论 (27)

致谢 (28)

参考文献 (29)

1 绪论

1.1 问题的背景

在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵概念在生产实践中也有许多应用，比如矩阵图法以及保护个人帐号的矩阵卡系统（有深圳网域提出）等等。“矩阵”的本意也常被应用，比如监控系统中负责对前端视频源与控制线切换控制的模拟设备也叫矩阵。

矩阵理论是经典数学的基础，也是实用性最强的数学分支之一，是处理大量有限维空间形式与数学关系的强有力的工具。矩阵理论在系统科学、优化方法、控制论、图论、稳定性理论等众多领域中都有广泛的应用。计算机的普及进一步促进了矩阵理论的发展。

在数学的矩阵理论中，一个分块矩阵或是分段矩阵就是将矩阵分割出较小的矩形矩阵，这些较小的矩阵就称为区块。换个方式来说，就是以较小的矩阵组合成一个矩阵。分块矩阵的分割原则是以水平线和垂直线进行划分。分块矩阵中，位在同一行（列）的每一个子矩阵，都拥有相同的列数（行数）。

将大的矩阵通过分块的方式划分，并将每个分块看做另一个矩阵的元素，这样之后再参与运算，通常可以让计算变得清晰甚至得以大幅简化。例如，有的大矩阵可以通过分块变为对角矩阵或者是三角矩阵等特殊形式的矩阵。

1.2 问题的意义

矩阵的分块是处理较高阶矩阵时常用的方法，用一些贯穿于矩阵的纵线和横线将矩阵分成若干子块，使得阶数较高的矩阵化为阶数较低的分块矩阵。在运算中，我们有时把这些子块当作元素一样来处理，从而简化了表示，便于计算。分块矩阵初等变换是线性代数中重要而基本的运算，它在研究矩阵行列式、特征值、秩等各种性质及求矩阵的逆、解线性代数方程中有着广泛的应用。因此，如何直接对分块矩阵实行初等变换显得非常重要，本文的目的就是讨论分块矩阵的初等变换及其应用。