河北科技大学线性代数考试题

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10-11-2河北科技师范学院线性代数A卷答案

2010—2011学年度第二学期农机、电气、电子、机制、网络、土木工程、工管、物理、计算机、工管接本、机制接本专业线性代数Ⅰ试卷（A 卷）答案一.选择题（每小题5分，共25分）1．设,A B 均为n 阶矩阵，且AB O =，则有（ C ）A ．A O =或B O =； B ．A B O +=；C ．0A =或0B =；D ．0A B +=。

2．若2317A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，1213B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则AB A B E --+=( B ) A ． 3-； B. 6； C. 9-； D. 12. 3．设矩阵12340113004503A ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，4维列向量1α ，2α ，3α ，4α 线性无关，则向量组1A α ，2A α ，3A α ，4A α 的秩为（ D ）A ．1； B. 2； C ．3； D ．4；4. 设1α ，2α ，3α 是0Ax =的基础解系，则基础解系还可以是（ B ）A ．112233k k k ααα++ ；B ．122331,,αααααα+++； C ．1223,αααα-- ； D ．112332,,αααααα-+-。

5. 若二次型22212312313(,,)2f x x x a x b x a x c x x =+++是正定的，数,,a b c 满足条件( D )A 0,0,0a b c >>>B ,0a c b >>C ,0a c b <>D ,0a c b >> 二．设121314A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，解矩阵方程16AXA A AX -=+。

（13分）答案：方程两边左乘1A -,右乘A ，得6X A X A =+,所以()6X E A A -=,所以16()X A E A -=-，因为122334E A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,()123243E A -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则11226136()633224134X A E A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=-==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 三．求4阶行列式1123234a a a ab b b b Dc c c c dddd +---+=++的值。

线性代数期末试卷及解析(4套全)2018科大

线性代数期末试卷一一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）（5）设矩阵210120001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，矩阵B 满足*2=+ABA BA E ，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则||=B __________.解：||=B 19.显然||3=A ，在等式*2=+ABA BA E 两端右乘A 得36=+AB B A (36)-=A E B A 上式取行列式03030||3003=-B故 1||9=B . 方法二：因||3=A ，则*31||||9-==A A将**2=+ABA BA E 移项得 *(2)-=A E BA E 两端取行列式得1||91⋅⋅=B ，故1||9=B .二、选择题（本题8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（11）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，再把B 的第2列加到第3列得C ，则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为（A ）010100.101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.解：（D ）正确. 由题意12=AE B ，其中12010100001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E 为第一种类型初等矩阵，23(1)=BE C ，其中23100(1)011001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E 为第三种类型初等矩阵.于是有 1223(1)==AE E C AQ则 1223010100011(1)100011100001001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q E E与所给答案比较，选（D ）.（12）设,A B 为满足=AB 0的任意两个非零矩阵，则必有（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. 解：（A ）正确.设A 为m n ⨯矩阵，B 为n p ⨯矩阵，因为 =AB 0故 ()()r r n +≤A B ，其中(),()r r A B 分别表示矩阵,A B 的秩.又因为,A B 皆是非零矩阵，故()0,()0r r >>A B ，所以()r n <A ，()r n <B .因此A 的列秩数，B 的行秩数小于n ，这说明A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故选（A ）.取101000⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100110⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭B ，则0000⎛⎫= ⎪⎝⎭AB ，由B 的列向量组线性无关知（B ）、（D ）错误.取101010-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100110⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，则0000⎛⎫= ⎪⎝⎭AB ，由A 的行向量组线性无关知（C ）错误.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（20）（本题满分9分）设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2)()0,n nn a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩L L L L L试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.解法1 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有11111111222220000aa a a a n n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B L L L L L L L L L L. 当0a =时，()1r n =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为120n x x x +++=L ，由此得基础解系为T T T121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ηηηL L L L ，于是方程组的通解为1111n n x k k --=++ηηL ，其中11,,n k k -L 为任意常数. 当0a ≠时，对矩阵B 作初等行变换，有(1)1111000221002100.001001n n a a n n +⎛⎫++⎛⎫ ⎪⎪⎪-⎪-→→⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭-⎝⎭B L L L L L L L L LL可知(1)2n n a +=-时，()1r n n =-<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为 1213120,30,0,n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩M由此得基础解系为T(1,2,,)n =ηL ，于是方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. 解法2 方程组的系数行列式为111112222(1)||.2n aa n n a a nnn n a-+++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭+A L L L LL当||0=A ，即0a =或(1)2n n a +=-时，方程组有非零解.当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有1111111122220000,0000n n n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A L L L L L L L L L L 故方程组的同解方程组为120,n x x x +++=L 由此得基础解系为T T T121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ηηηL L L L ，于是方程组的通解为1111n n x k k --=++ηηL ，其中11,,n k k -L 为任意常数.当(1)2n n a +=-时，对系数矩阵A 作初等行变换，有 11111111222220000aa a a an n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫⎪⎪+-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A L L LLL L L L L L . 1111000021002100.00101a n n +⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭L L LL L L L L L L 故方程组的同解方程组为1213120,30,0,n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩M由此得基础解系为T(1,2,,)n =ηL ，于是方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. （21）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化.解：A 的特征多项式为1232201431431515a aλλλλλλλ-----=-------11010(2)143(2)13315115aa λλλλλλ-=--=---------2(2)(8183)a λλλ=--++.若2λ=是特征方程的二重根，则有22161830a -++=，解得2a =-.当2a =-时，A 的特征值为2,2,6，矩阵1232123123-⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪--⎝⎭E A 的秩为1，故2λ=对应的线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化.若2λ=不是特征方程的二重根，则28183a λλ-++为完全平方，从而18316a +=，解得23 a=-.当23a=-时，A的特征值为2,4,4，矩阵32341032113⎛⎫⎪-⎪-= ⎪⎪--⎪⎝⎭E A的秩为2，故4λ=对应的线性我关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化.线性代数期末试卷二一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中的横线上.）（6）同数学（一）一、（5）.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项目前的字母填在题后的括号内.）（13）同数学（一）二、（11）. （14）同数学（一）二、（12）.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（22）（本题满分9分）设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.解法1 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有111111112222200.33333004444400aa a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B 当0a =时，()14r =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为 12340x x x x +++=.由此得基础解系为T T T123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)=-=-=-ηηη，于是所求方程组的通解为112233k k k =++x ηηη，其中123,,k k k 为任意常数. 当0a ≠时，11111000021002100,3010301040014001a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭B 可知10a =-时，()34r =<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为12131420,30,40,x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩由此得基础解系为 T(1,2,3,4)=η，于是所求方程组的通解为 k =x η，其中k 为任意常数. 解法2 方程组的系数行列式311112222||(10)33334444aa a a a a++==+++A .当||0=A ，即0a =或10a =-时，方程组有零解. 当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有11111111222200003333000044450000⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，故方程组的同解方程组为12340.x x x x +++= 其基础解系为T T T123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)=-=-=-ηηη，于是所求方程组的通解为112233k k k =++x ηηη，其中123,,k k k 为任意常数. 当10a =-时，对A 作初等行变换，有911191112822201000337330010*******0010--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪=→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A91110000210021003010301040014001-⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，故方程组的同解方程组为2131412,3,4,x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩其基础解系为T(1,2,3,4)=η，于是所求方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. （23）（本题满分9分）同数学（一）三、（21）.线性代数期末试卷三一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（4）二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++的秩为_________.解：秩为 2 .222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++ 222123121323222222x x x x x x x x x =++++-于是二次型f 的表示矩阵为211121112⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A易求得()2r =A ，故二次型f 的秩为2.二、选择题（本题8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（12）设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（A ）当||(0)a a =≠A 时，||a =B . （B ）当||(0)a a =≠A 时，||a =-B . （C ）当||0≠A 时，||0=B . （D ）当||0=A 时，||0=B . 解：（D ）正确.因为n 阶矩阵A 与B 等价，故存在n 阶可逆矩阵,P Q 使 =PAP B故 ||||||||=B P A Q当||0=A 时，自然有||0=B ，故（D ）正确.当||0≠A 时，由||,||P Q 皆不为零，故||0≠B ，所以（C ）错误.当||0a =≠A 时，||||||a =B P Q ，仅由A 与B 等价，无法推出||||1=±P Q ，故（A ）、（B ）不正确.当,A B 相似时，（A ）才正确.（13）设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*≠A 0，若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组=Ax b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组=Ax 0的基础解系.（A ）不存在. （B ）仅含一个非零解向量. （C ）含有两个线性无关的解向量. （D ）含有三个线性无关的解向量. 解：（B ）正确.因*=A 0，故*A 中至少有一个非零元素. 由于*A 中元素恰为A 的1n -阶代数余子式所组成，故A 至少有一个1n -阶子式非零，这表明()1r n ≥-A .现断言()r n ≠A ，否则A 可逆，则线性方程组=Ax b 有惟一解，这与12,ξξ是非齐次线性方程组=Ax b 不同的解矛盾.由此必有()1r n =-A ，所以齐次线性方程组=Ax 0的解空间维数为(1)1n n --=，即=Ax 0的基础解仅含一个非零解向量. 可见（B ）正确，（A ）错误.尽管从1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组=Ax b 的互不相等的解，可以得出=Ax 0有三个不同的非零解，如121314,,,---ξξξξξξ但是它们是成比例的线性相关解，也就是说=Ax 0不会有两个，更不会有三个线性无关的解向量，即（C ）、（D ）不正确.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（20）（本题分13分）设T T T 123(1,2,0),(1,2,3),(1,2,2)a a b a b ==+-=---+ααα，T(1,3,3)=-β. 试讨论当,a b为何值时，（I ）β不能由123,,ααα线性表示；（II ）β可由123,,ααα惟一地线性表示，并求出表示式；（III ）β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式. 解：设有数123,,k k k ，使得112233k k k ++=αααβ. （*）记123(,,)=A ααα. 对矩阵()Aβ施以初等行变换，有1111()22230323a b a a b -⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭A β111101000a b a b -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭.（I ）当0,a b =为任意常数时，有1111()0010001b -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A β.可知()()r r ≠A A β. 故方程组（*）无解，β不能由123,,ααα线性表示.（II ）当0a ≠，且a b ≠时()()3r r ==A A β，故方程组（*）有惟一解 123111,,0,k k k a a=-== 则β可由123,,ααα惟一地线性表示，其表示式为1211(1)a a=-+βαα.（III ）当0a b =≠时，对()A β施以初等行变换，有110011()011.0000a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A β. 可知()()2r r ==A A β，故方程组（*）有无穷多解，其全部解为123111,(),k k c k c a a=-=+=，其中c 为任意常数.β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，其表示式为12311(1)()c c a a=-+++βααα. （21）（本题满分13分）111b b bb b b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A L L M M M L. （I ）求A 的特征值和特征向量；（II ）求可逆矩阵P ，使得1-P AP 为对角矩阵. 解：（I ）1º当0b ≠时，11||1b b b b bbλλλλ-------=---E A L LM M ML1[1(1)][(1)]n n b b λλ-=-----.故A 的特征值为121(1),1n n b b λλλ=+-===-L .对于11(1)/n b λ=+-，设A 的属于特征值1λ的一个特征向量为1ξ，则1111[1(1)]1b b b b n b b b ⎛⎫⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξξL L M M M L ，解得T1(1,1,,1)=ξL ，所以全部特征向量为T1(1,1,,1)k k =ξL （k 为任意非零常数）.对于21n b λλ===-L ，解齐次线性方程组[(1)]0b --=E A x ，由111000(1)000b b b b b b b b b b ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪--=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭E A L L LL M M M M M M L L，解得基础解系T2(1,1,0,,0)=-ξL ，T3(1,0,1,,0)=-ξL ，… …T(1,0,0,,1)n =-ξL .故全部特征向量为2233n n k k k +++ξξξL （2,,n k k L 是不全为零的常数）. 2º当0b =时，特征值11n λλ===L ，任意非零列向量均为特征向量. （II ）1º当0b ≠时，A 有n 个线性无关的特征向量，令12(,,,)n =P ξξξL ，则 1diag{1(1),1,,1}.n b b b -=+---P AP L 2º当0b =时，=A E ，对任意可逆矩阵P ，均有 1-=P AP E .注：T1(1,1,,1)=ξL 也可由求解齐次线性方程组1()λ-=E A x 0得出.线性代数期末试卷四一、填空题（本题共6小题，每小4分，满分24分. 把答案填在题中横线上.）（4）设1010100,001--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭A B P AP ，其中P 为三阶可逆矩阵，则200422-=B A _________. 解：300030001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 由010100001-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 得2100010001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，故4=A E ，其中E 是3阶单位阵，所以2004=A E .由1-=B P AP 得200412004-==B P A P E于是 20042210020030022010020030001002001-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭BA E A . （5）设33()ij a ⨯=A 是实正交矩阵，且T 111,(1,0,0)a b ==，则线性方程组=Ax b 的解是__________.解：T (1,0,0).在方程=Ax b 两端左乘TAT T =A Ax A b 则 2131T 122232121323331311100a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x A b将 12131a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x 代回=Ax b 有2131122232121323331311100a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由此得22121311a a ++=因A 为实矩阵，故12130a a ==，因此=Ax b 的解为100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（12）同数学（三）二、（12）.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（20）（本题满分13分）设线性方程组1234123412340,220,3(2)(4)41,x x x x x x x x x x x x λμλμ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++++=⎩已知T(1,1,1,1)--是该方程组的一个解. 试求（I ）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；（II ）该方程组满足23x x =的全部解.解：将T (1,11,1)--代入方程组，得λμ=. 对方程组的增广矩阵施以初等变换，得 1102112032441λλλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭A 102101311.002(21)2121λλλλλλ---⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪---⎝⎭（I ）当12λ≠时，有 1001011010.221100122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 因()()34r r ==<A A ，故方程组有无穷多解，全部解为T T 11(0,,,0)(2,1,1,2)22k =-+--ξ，其中k 为任意常数.当12λ=时，有 11101220131100000⎛⎫-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A .因()()24r r ==<A A ，故方程组有无穷多解，全部解为T T T 121(,1,0,0)(1,3,1,0)(1,2,0,2)2k k =-+-+--ξ，其中12,k k 为任意常数.（II ）当12λ≠时，由于23x x =，即 1122k k -+=-. 解得12k =，方程组的解为T T T 111(0,,,0)(2,1,1,2)(1,0,0,1)222=-+--=-ξ. 当12λ=时，由于23x x =，即 121132k k k --=. 解得121142k k =-，故全部解为 T T 2111311(,,,0)(,,,2)444222k =-+---ξ，其中2k 为任意常数.[注]：在题（II ）中，12λ=时，解得21122k k =-时，全部解也可以表示为 T T 1(1,0,0,1)(3,1,1,4)k =-+-ξ，其中1k 为任意常数.（21）（本题满分13分）设三阶实对称矩阵A 的秩为122,6λλ==是A 的二重特征值. 若T T T 123(1,1,0),(2,1,1),(1,2,3)===--ααα都是A 的属于特征值6的特征向量. （I ）求A 的另一特征值和对应的特征向量；（II ）求矩阵A .解：（I ）因为126λλ==是A 的二重特征值，故A 的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个. 由题设可得123,,ααα的一个极大无关组为12,αα，故12,αα为A 的属于特征值6的线性无关的特征向量.由()2r =A 可知，||0=A ，所以A 的另一特征值30λ=. 设30λ=所对应的特征向量为T 123(,,)x x x =α，则有T T120,0==αααα，即 121230,20.x x x x x +=⎧⎨++=⎩ 解得此方程组的基础解系为T (1,1,1)=-α，即A 的属于特征值30λ=的特征向量为T (1,1,1)c c =-α，（c 为不为零的任意常数）.（II ）令矩阵123(,,)=P ααα，则1600060000-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，所以 1600060000-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A P P .又1011112333111333-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭P ，故422242.224⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A。

(完整word版)线性代数经典试题4套及答案

线性代数经典试题4套及答案试卷1一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

线性代数期末试题

线性代数试题（附答案）一、填空题（每题2分，共20分）1.行列式0005002304324321= 。

2.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+00202kz y kx z ky x z y kx 有非零解，且12≠k ,则k 的值为。

3.若4×4阶矩阵A 的行列式*=A A ,3是A 的伴随矩阵则*A = 。

4.A 为n n ⨯阶矩阵，且ο=+-E A A 232，则1-A 。

5. 321,,ξξξ和321,,ηηη是3R 的两组基，且32133212321122,2,23ξξξηξξξηξξξη++=++=++=，若由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的基变换公式为(321,,ηηη)=(321,,ξξξ)A ，则A= 6.向量其内积为),1,0,2,4(),5,3,0,1(-=--=βa 。

7.设=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(,111012111,321212113AB tr AB B A 之迹则。

8.若的特征值分别为则的特征值分别为阶矩阵1,3,2,133--⨯A A 。

9.二次型x x x x x x f 23222132123),,(--=的正惯性指数为。

10.矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1042024λλA 为正定矩阵，则λ的取值范围是。

二、单项选择（每小题2分，共12分）1.矩阵()==≠≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A i i 则其中。

A 、1B 、2C 、3D 、4 2. 齐次线性方程组⎩⎨⎧=--=++-02023214321x x x x x x x 的基础解系中含有解向量的个数是（）A 、1B 、2C 、3D 、43.已知向量组=====k a a k a a 则线性相关,)1,2,0,0(),1,0,2,2(),1,0,,0(),0,1,1,1(4321 （）A 、-1B 、-2C 、0D 、1 4. A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,22B A B A B A n -=-+（）A 、B=EB 、A=EC 、A=BD 、AB=BA5.已知=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==k A k a T 则的特征向量是矩阵,211121112)1,,1(（） A 、1或2 B 、-1或-2 C 、1或-2 D 、-1或26.下列矩阵中与矩阵合同的是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-5000210002（） A 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---200020001 B 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-500020003 C 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001 D ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020002三、计算题（每小题9分，共63分）1．计算行列式),2,1,0(0000002211210n i a a c a c a c b b b a i nnnΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ=≠其中2．当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=-++=+++=+++ax x x x x x x x x x x x x x x x a 4321432143214321710535105363132,线性方程组取何值时有解？在方程组有解时，用其导出组的基础解系表示方程组的通解。

线性代数(专升本) 期末考试试题及参考答案

线性代数练习与答案一、填空题：1、排列13582467的逆序数为 7 。

2、若排列21i36j87为偶排列，则i=(4),j=(5)3、行列式33215321--中，元素a 12的代数余子式为15. 4、设行列式33333322222211111123332221111a c c b b a a c c b b a a c c b b a D ,c b a c b a c b a D +++++++++==，则D 1与D 2的关系为D 2=2D 1。

5、设方阵A 的行列式2113354411423123355554321|A |=，则A 31+2A 32+3A 33+4A 34+5A 35=(0)。

5、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=200123411C ,112301B ,1210121A则(A+B)C=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--30221046 6、设A=21(B+E)，则当且仅当B 2=(E )时，A 2=A 。

解：A 2=A ⇔41(B 2+2B+E)=21(B+E)⇔B 2+2B+E=2B+2E ⇔B 2=E7、矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--651112105321的秩为 2 。

8、若A 为n 阶可逆矩阵，则R(A)＝ n 。

9、向量组α1=(1,1,1,1),α2=(1,0,2,2),α3=(2,3,1,1)的线性相关性为线性相关.10、向量组α1=(1,2,0,0),α2=(1,2,3,4),α3=(3,6,0,0)的极大线性无关组为α1,α2或α2,α3 11、n 元齐次线性方程组Ax=0，当|A|≠0时，方程组的解的情况为只有零解. 12、设A 为n 阶方阵，若R(A)=n-2，则AX=0的基础解析所含解向量的个数为(2) 解：n-(n-2)=213、非齐次线性方程组AX=b(A 为m ×n 矩阵)有唯一解的充要条件是R(A)=R(B)=n ；有无穷多个解的充要条件是R(A)=R(B)<n 。

线性代数期末试卷及解析(4套全)2019科大

线性代数期末试卷（一）一、填空题（每小题3分）（4）设12243311t -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，B 为3阶非零矩阵，=AB 0，则t =_________.解：3-.若||0≠A ，则A 可逆，由=AB 0知，=B 0，与B 为非零矩阵矛盾，故有||0=A . 122||0811(8)77117(3)077t t t -==-=-⋅+⋅=+-A 行，所以 3t =-.二、选择题（每小题3分）（4）设111122232333,,a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα，则三条直线1110a x b y c ++=2220a x b y c ++= （其中220,1,2,3i i a b i +≠=）3330a x b y c ++=交于一点的充要条件是（A ）123,,ααα线性相关；（B ）123,,ααα线性无关；（C ）秩123(,,)r =ααα秩12(,)r αα；（D ）123,,ααα线性相关，12,αα线性无关. 解：（D ）正确.11221233(,)a b a b a b ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭A αα，111222123333(,,)a b c a b c a b c -⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ααα 三条直线交于一点的充要条件是方程组3x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A α有唯一解，当且仅当()()r r =A A ，且r n =时成立，即()()2r r ==A A ，这说明12,αα线性无关，123,,-ααα线性相关，也就是123,,ααα线性相关，12,αα线性无关，故选（D ）.仅123,,ααα线性相关，不足以保证()()r r =A A ，可能无解，故（A ）不对. 123,,ααα线性无关，()2()3r r =<=A A ，无解，（B ）不对.当12312(,,)(,)r r =ααααα，说明方程组有解，但无法确保解唯一，故（C ）不对.七、（本题共2小题，第（1）题5分，第（2）题6分，满分11分）（1）设B 是秩为2的54⨯的矩阵，T T12(1,1,2,3),(1,2,4,1),==--αα T 3(5,1,8,9)=--α是齐次线性方程组=Bx 0的解向量，求x =B 0的解空间的一个标准正交基.解：因秩()2r =B ，故解空间的维数为422-=. 又 12,αα线性无关，故12,αα是解空间的基. 取 T11(1,1,2,3)==βα，2122111(,)(,)=-αββαβββT T 1(1,1,4,1)(1,1,2,3)3=---T 4210(,,,2)333=--，故T T 122,3),2,1,5,3)==--εε 即是所求的一个标准正交基.（2）已知111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ是矩阵2125312a b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A 的一个特征向量.（i ）试确定参数,a b 及特征向量ξ所对应的特征值；（ii ）问A 是否相似于对角阵？说明理由. 解：（i ）由2121()5310.121a b --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-=---= ⎪⎪ ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭I A ξλλλλ即 2120,530,120,a b -++=⎧⎪-+-+=⎨⎪---=⎩λλλ解得 3,0,1a b =-==-λ.（ii ）由3212212533,||533(1),102102---⎛⎫⎪=--=-+-=+ ⎪ ⎪--+⎝⎭A I A λλλλλ 知1=-λ是A 的三重特征值.但秩312()5232101r r --⎛⎫⎪--=--= ⎪ ⎪⎝⎭I A ，从而1=-λ对应的线性无关特征向量只有一个，故A 不能相似于对角阵.八、（本题满分5分）设A 是n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B . （1）证明B 可逆；（2）求1-AB .解（1）因||0≠A 及||||0=-≠B A ，故B 可逆.（2）记ij E 是由n 阶单位矩阵的第i 行和第j 行对换后所得到的初等矩阵，则ij =B E A . 因而 11111()ij ij ij ij -----====ABA E A AA E E E .线性代数期末试卷（二）试卷（二）一、填空题（每小题3分）（5）已知向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)t =-==-ααα的秩为2，则t =__________. 解： 3 .13212111211045204522000422t t --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭行ααα121104520030t -⎛⎫ ⎪−−→-- ⎪ ⎪-⎝⎭行由向量组123,,ααα秩为2，知3t =.三、（6）（本题满分5分）已知111011001-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，且2-=A AB I ，其中I 是三阶单位矩阵，求矩阵B .解：由2()-=-=A AB A A B I ，及||10=-≠A ，知1--=A B A ，即 1-=-B A A ，又 1112011001---⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A .从而 111112021011011000001001000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭B .四、（本题满分8分）λ取可值时，方程组12312312321,2,4551x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪=-=-⎩λλ无解，有唯一解或有无究多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解.解法1 原方程组的系数行列式2211154(1)(54),455-∆=-=--=-+-λλλλλλ 故当1≠λ，且45≠-λ时，方程组有唯一解. 当1=λ原方程组为12312312321,2,455 1.x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩对其增广矩阵施行行初等变换：211103331112111245510999---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭111201110000-⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭，因此，当1=λ时，原方程组有无穷多解，其通解为1231,1,().x x k x k k =⎧⎪=-+⎨⎪=⎩为任意实数[或T T T123(,,)(1,1,0)(0,1,1)x x x k =-+（k 为任意实数）].当45=-λ时，原方程组的同解方程组为 12312312310455,45510,4551,x x x x x x x x x --=⎧⎪+-=-⎨⎪+-=-⎩对其增广矩阵施行行初等变换：1045510455455104551045510009----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，由此可知当45=-λ时，原方程组无解.解法2 对原方程组的增广矩阵施行行初等变换：2112111122103455165506--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→+-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭λλλλλλ211210354009-⎛⎫ ⎪+- ⎪ ⎪+⎝⎭λλλλ.于是，当45=-λ时，原方程组无解，当1≠λ且45≠-λ时，原方程组有唯一解，因此，当1=λ时，原方程组有无穷多解，其通解为1231,1,().x x k x k k =⎧⎪=-+⎨⎪=⎩为任意实数[或T T T123(,,)(1,1,0)(0,1,1)x x x k =-+（k 为任意实数）].线性代数期末试卷（三）一、填空题（每小题3分）（4）若二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的，则t 的取值范围是__________.二次型的矩阵为210112012t t ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 1阶顺序主子式为1, 2阶顺序主子式为2110,311=>阶顺序主子式为21021111022201122tt tt =2202t -=>，故220t ->，即t <<二、选择题（每小题3分）（3）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（A ）122331,,++-αααααα （B ）1223123,,2++++ααααααα （C ）1223212,2,3+++αααααα（D ）123123123,2322,355++-++-ααααααααα解：（C ）正确对于（A ）向量组：考虑线性式112223331()()()k k k ++++-=αααααα0即 112233123(,,)k k k ⎛⎫ ⎪++-= ⎪ ⎪⎝⎭αααααα0112323101()110011k k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ααα0因为123,,ααα线性无关，所以123101110011k k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭0.因为101110011-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭不可逆，故上式有非零解，故（A ）向量组线性相关，故（A ）不正确. 因此向量组是否线性无关由对应的矩阵是否可逆而定，对于（B ）有1223123(,,2)++++=ααααααα123101(,,)112011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ααα，因为101112011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭不可逆，故（B ）向量组线性相关. 对于（C ）有122321(2,2,3)+++=αααααα 123101(,,)220033⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ααα，对于（D ）有123123123(,2322,355)++-++-=ααααααααα 123123(,,)1351225⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ααα. 因为（D ）中矩阵1231351225⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎝⎭不可逆，而（C ）中矩阵101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是可逆阵，故（C ）正确. （4）设,A B 为同阶可逆矩阵，则（A ）=AB BA ；（B ）存在可逆矩阵P ，使1-=P AP B ；（C ）存在可逆矩阵C ，使T=C AC B ；（D ）存在可逆矩阵P 和Q ，使=PAQ B . 解：（D ）正确因为,A B 是同阶可逆矩阵，不妨设阶数为n ，于是它们都与n 阶单位阵E 等价，故A 与B 等价. （A ）说的是,A B 可交换；（B ）说的是,A B 相似（C ）说的是,A B 合同显然,A B 同阶且可逆不能保证上述三种结论成立. （D ）说的恰是,A B 等价，故选（D ）.九、（本题满分6分）设A 为n 除非奇异矩阵，α为n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 T *T 0,,||b ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭IA P Q AA ααα 其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵，I 为n 阶单位矩阵。

线性代数期末试卷及解析(4套全)2016科大

·207·线性代数期末试卷一一、填空题（每小题3分）（4）已知实二次型222123123121323(,,)()444f x x x a x x x x x x x x x =+++++经正交变换=x Py 可化成标准形216f y =，则a =__________. 解：a = 2 .二次型f 的矩阵为222222a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A222||22(4)(2)22a E A a a a a----=---=---+---λλλλλλ 故A 的特征值为4a =+λ及2a =-λ的二重根经正交变换22221122331,6f y y y y ==++=x Py λλλ 所以有12360===λλλ，由此 4620a a +=⎧⎨-=⎩推出 2a =二、选择题（每小题3分）（4）设有三张不同平面的方程123,1,2,3i i i i a x a y a z b i ++==，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的位置关系为（A ）（B ）（C ）（D ）解：（B ）正确.由于线性方程组123,1,2,3i i i i a x a y a z b i ++==， ()()23r A r A ==<，所以方程组有解，并且无穷多解.（A ）表示三个平面有唯一的交点，说明线性方程组有唯一解，此时()()3r A r A ==，故（A ）不对.·208· （C ）表示三个平面两两相交，但三个平面无公共点，说明线方程组无解，此时()2()3r A r A =<=，故（C ）不对.（D ）表示三个平面中有两个平行平面，与第三个平面相交，但三个平面无公共点，说明线性方程组无解，此时()2()3r A r A =<=，故（D ）不对. （B ）中三个平面相交于同一直线，说明方程组有解，且无穷多解，因此必有()()3r A r A =≠，又三平面既不是重合平面，又不是平行平面，故()2r =A ，即（B ）正确.九、（本题满分6分）已知4阶方阵12341234(,,,),,,,=A αααααααα均为4维列向量，其中234,,ααα线性无关，1232=-ααα，如果1234=+++βαααα，求线性方程组=Ax β的通解.解法1 令1234x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭x ，则由12123434(,,,)x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Ax ααααβ得112233441234x x x x +++=+++αααααααα，将1232=-ααα代入上式，整理后得12213344(23)()(1)x x x x x +-+-++-=ααα0. 由234,,ααα线性无关，知12134230,0,10.x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩解此方程组得01320110k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ，其中k 为任意常数.解法2 由234,,ααα线性无关和123420=-+αααα，故A 的秩为3，因此=Ax 0的基础解系中只包含一个向量.由 12342-++=αααα0·209·知1210⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为齐次线性方程组=Ax 0的一个解，所以其通解为12,10k k ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭x 为任意常数.再由 123412341111(,,,)1111⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭βααααααααA知1111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为非齐次线性方程组=Ax β的一个特解，于是=Ax β的通解为11121110x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数.十、（本题满分8分）设,A B 为同阶方阵，（1）如果,A B 相似，试证,A B 的特征多项式相等（2）举一个二阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立. （3）当,A B 均为实对称矩阵时，试证（1）的逆命题成立. 证：（1）若,A B 相似，那么存在可逆矩阵P ，使1-=P AP B ，故 111|||||λλλ----=-=-=E B E P AP P EP P AP B ，故11|()|||||||λλ--=-=-P E A P P E A P 1||||||||.λλ-=-=-P P E A E A（2）令0100,0000⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，那么2||||λλλ-==-E A E B ，但,A B 不相似. 否则，存在可逆矩阵P ，使 1-==P AP B 0，·210· 从而1-==A PBP 0，矛盾.（3）由,A B 均为实对称矩阵知，,A B 均相似于对角阵.若,A B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为1,,n λλL ，则有A 相似于1n λλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭O ， B 也相似于1n λλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭O ，即存在可逆矩阵,P Q 使111n λλ--⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P AP Q BQ O. 于是111()()---=PQ A PQ B .由1-PQ 为可逆矩阵知，A 与B 相似.·211·线性代数期末试卷二一、填空题（每小题3分）（5）矩阵022222222--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭的非零特征值是__________.解： 4 .设 022222222--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A232222||2220222222r r +-=--===--λλλI A λλλλλ3222000(4)224c c -====--λλλλλ故非零特征值为4.二、选择题（每小题3分）（5）设向量组123,,ααα线性无关，1β可由123,,ααα线性表示，而向量2β不能由123,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（A ）12312,,,k +αααββ线性无关（B ）12312,,,k +αααββ线性相关（C ）12312,,,k +αααββ线性无关（D ）12312,,,k +αααββ线性无关解：（A ）正确因为123,,ααα线性无关，1β可由123,,ααα线性表示，所以1231,,,αααβ线性相关；2β不能由123,,ααα线性表示，所以1232,,,αααβ线性无关.取0k =，说明（B ）、（C ）不对，而仅当0k =时，（D ）才成立，故（D ）不对，现证（A ）正确.易见12k +ββ不能表成123,,ααα的线性组合，如若不然，存在常数123,,l l l 使 12112233k l l l ++++ββααα则 21122331l l l k =++-βαααβ （1）而1β可由123,,ααα线性表示，即存在常数123,,k k k ，使1112233k k k =++βααα （2）（2）代入（1）2111222333()()()l kk l kk l kk =-+-+-βααα·212· 这与2β不能由123,,ααα线性表示矛盾. 可见12312,,,k +αααββ线性无关，当然也可以用线性无关的定义来证明该结论.十一、（本题满分6分）已知,A B 为3阶矩阵，且满足124-=-A B B E ，其中E 是3阶单位矩阵. （1）证明：矩阵2-A E 可逆；（2）若120120002-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，求矩阵A .解（1）由124-=-A B B E 知24--=AB B A 0，从而 (2)(4)8--=A E B E E ，或 1(2)(4)8-⋅-=A E B E E .故2-A E 可逆，且11(2)(4)8--=-A E B E .（2）由（1）知128(4)-=+-A E B E ，而 111104432013(4)1200,880021002--⎛⎫- ⎪--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭B E 故 020110002⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A .十二、（本题满分6分）同试卷（一）九.·213·线性代数期末试卷三一、填空题（每小题3分）（3）设三阶矩阵122212304-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，三维列向量T (,1,1)a =α，已知A α与α线性相关，则a =__________.解：1a =-.122212123304134a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭A α由A α与α线性相关，故k =A αα，即2334a ka a k a k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭故1a =-二、选择题（每小题3分）（3）设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则线性方程组()=AB x 0 （A ）当n m >时仅有零解. （B ）当n m >时必有非零解. （C ）当m n >时仅有零解. （D ）当m n >时必有非零解. 解：（D ）正确因为A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，所以AB 是m m ⨯方阵，故x 为1m ⨯列向量线性方程组()=AB x 0可写成()=A B x 0，这说明=Bx 0的解一定是()=AB x 0的解.当m n >时，=Bx 0必有非零解，所以()=AB x 0必有非零解，故（D ）正确，而（C ）错误.当n m >时，取B 为零阵时，x 为任意m 维向量=Bx 0，()=AB x 0故（A ）不正确.当n m >时，取10100,0101011⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭A B 时，2,()==AB E AB x 0仅有零解，故（B ）错误.事实上只要选择,A B 使AB 满秩阵即知（B ）不对. （4）设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵，已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵1T ()-P AP 属于特征值λ的特征向量是·214· （A ）1-P α. （B ）T P α. （C ）P α. （D ）1T ()-P α. 解：（B ）正确.由已知条件=A αλα因A 是对称阵，故1T T T 1T T T 1()()()---==P AP P A P P A P . 因此有T T 1T T T T ()()()-⋅===P A P P αP AαP λαλP α这说明T P α是1T ()-P AP 属于特征值λ的特征向量，故（B ）正确. 本题的关键是与向量α左乘的矩阵是T P 才能与T 1()-P 消掉，（A ）、（C ）、（D ）不具备此形式. 九、（本题满分8分）设齐次线性方程组1231231230,0,0.n nn ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx bx ax ++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩L L L L L L其中0,0,2a b n ≠≠≥. 试讨论,a b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解. 解：方程组的系数行列式1||[(1)]()n a b b bb a b ba nb a b b b a b b b b a-==+--A L LLM M M M L. （1）当a b ≠且(1)a n b ≠-时，方程组仅有零解. （2）当a b =时，对系数矩阵A 作行初等变换，有111100000000a a a a aa a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A L K L L M M M M M M M M LL. 原方程组的同解方程组为120,n x x x +++=L其基础解系为T T T 121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-αααL L L L . 方程组的全部解是·215·112211n n c c c --=+++x αααL （121,,,n c c c -L 为任意常数）.（3）当(1)a n b =-时，对系数矩阵A 作行初等变换，有(1)(1)(1)(1)n bb b b b b n b b b b b b n b b b b b b b n b -⎛⎫ ⎪- ⎪⎪=→- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭A L L L M M M M M L100011111101001111110010111111000111111100000nn n n -⎛⎫-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭L L L L L L M M MM M M M M M M L L L 原方程组的同解方程组为121,,.n nn n x x x x x x -=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩L L 其基础解系为T (1,1,,1)=βL . 方程组的全部解是c =x β(c 为任意常数).十、（本题满分8分）设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件22+=A A 0，已知A 的秩()2r =A . （1）求A 的全部特征值；（2）当k 为何值时，矩阵k +A E 为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵. 解法1 （1）设λ为A 的一个特征值，对应的特征向量为α，则 ()λ=≠A ααα0 22λ=A αα. 于是22(2)(2)λλ+=+A A αα. 由条件2(2)+=A A α0推知 2(2)λλ+=α0. 又由于≠α0，故有·216· 220λλ+=，解得2,0λλ=-=.因为实对称矩阵A 必可对角化，且()2r =A ，所以2~20-⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭A Λ. 因此，矩阵A 的全部特征值为1232,0λλλ==-=.（2）矩阵k +A E 仍为实对称矩阵. 由（1）知，k +A E 的全部特征值为 2,2,k k k -+-+.于是，当2k >时矩阵k +A E 的全部特征值大于零. 因此，矩阵k +A E 为正定矩阵.解法2 （1）同解法1.（2）实对称矩阵必可对角化，故存在可逆矩阵P ，使得 1-=P AP Λ， 1-=A P ΛP . 于是11k k --+=+A E P ΛP PP 1()k -=+P ΛE P ，所以~k k ++A E ΛE . 而22k k k k -⎛⎫ ⎪+=- ⎪ ⎪⎝⎭ΛE .k +ΛE 为正定矩阵，只需其顺序主式式均大于0，即k 需满足 2220,(2)0,(2)0k k k k ->->->. 因此，当2k >时，矩阵k +A E 为正定矩阵.·217·线性代数期末试卷四一、填空题（每小题3分）（3）设矩阵211,3223-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭A B A A E ，则1-=B __________解：1-=B 10211⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭. (2)()=--B A E A E110121212220-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以||2=B*110101222||211-⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭--⎝⎭B B B . （4）设向量组123(,0,),(,,0),(0,,)a c b c a b ===ααα线性无关，则,,a b c 必满足关系式__________.解：0abc ≠因为123,,ααα线性无关，故123|,,|0≠ααα00200a cb c abc a b=≠. 即0abc ≠.二、选择题（每小题3分）（3）设,A B 为n 阶矩阵，**,A B 分别为,A B 对应的伴随矩阵，分块矩阵⎛⎫= ⎪⎝⎭A CB 00，则C 的伴随矩阵*=C （A ）**||||⎛⎫ ⎪⎝⎭A A B B 00. （B ）**||||⎛⎫ ⎪⎝⎭B B A A 00. （C ）**||||⎛⎫ ⎪⎝⎭A B B A 00. （D ）**||||⎛⎫ ⎪⎝⎭B A A B 00. 解：（D ）正确*||=AA A I·218· *||=BB B I||||||⎛⎫== ⎪⎝⎭A C A B B 00，设*,⎛⎫= ⎪⎝⎭G C G H 00、H 是n 阶方阵 *⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A G AG CCB H BH 000000 2|||||||||||n n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭A B I A B I A B I 00 因此有 ||||||||n n =⎧⎨=⎩AG A B I BH A B I 所以应有*||=G B A*||=H A B于是***||||⎛⎫= ⎪⎝⎭B AC A B 00，恰为（D ）故（D ）正确当然此题通过直接计算选择正确答案也是一种行之有效的作法.九、（本题满分8分）设四元齐次线性方程组（I ）为123123230,20.x x x x x x +-=⎧⎨++=⎩ 由已知另一四元齐次线性方程组（II ）的一个基础解系为 T T 12(2,1,2,1),(1,2,4,8)a a =-+=-+αα.（1）求方程组（I ）的一个基础解系；（2）当a 为何值时，方程组（I ）与（II ）有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解.解法1 （1）对方程组（I ）的系数矩阵作行初等变换，有2310105312110132--⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A . 得方程组（I ）的同解方程组13423453,32.x x x x x x =-⎧⎨=-+⎩ 由此可得方程组（I ）的一个基础解系为T T 12(5,3,1,0),(3,2,0,1).=-=-ββ·219·（2）由题设条件，方程组（II ）的全部解为112212112231212422(2)4(8)x k k x k k k k x a k k k a k x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭αα ① （12,k k 为任意常数）.将上式代入方程组（I ），得112(1)0,(1)(1)0.a k a k a k +=⎧⎨+-+=⎩ ② 要使方程组（I ）与（II ）有非零公共解，只需关于12,k k 的方程组②有非零解. 因为210(1)1(1)a a a a +=-++-+，所以，当1a ≠-时，方程组（I ）与（II ）无非零公共解. 当1a =-时，方程组②有非零解，且12,k k 为不全为零的任意常数. 此时，由①可得方程组（I ）与（II ）的全部非零公共解为12123421121417x x k k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（12,k k 为不全为零的任意常数）.解法2 （1）对方程组（I ）的系数矩阵作行初等变换，有23102310.12113501---⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A 得方程组（I ）的同解方程组31241223,35.x x x x x x =+⎧⎨=+⎩ 由此可得方程组（I ）的一个基础解系为T T 12(1,0,2,3),(0,1,3,5)==ββ.（2）设方程组（I ）与（II ）的公共解为η，则有数1234,,,k k k k ，使得 11223142k k k k =+=+ηββαα.由此得线性方程组·220· （III ）1342341234123420,20,23(2)40,35(8)0.k k k k k k k k a k k k k k a k -+==⎧⎪--+=⎪⎨--+++=⎪⎪--+++=⎩ 对方程组（III ）的系数矩阵作行初等变换，有10211021011201122324001035180001a a a a ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭由此可知，当1a ≠-时，方程组（III ）仅有零解，故方程组（I ）与（II ）无非零公共解.当1a =-时，方程组（III ）的同解方程组为1342342,2,k k k k k k =-⎧⎨=-+⎩ 令3142,k c k c ==，得方程组（I ）与（II ）的非零公共解为1221121417c c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭η （12,c c 为不全为零的任意常数）.十、（本题满分8分）设实对称矩阵 111111a a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角形矩阵，并计算行列式||-A E 的值. 解：矩阵A 的特征多项式211||11(1)(2)11aa a a aλλλλλλ----=--=---+--E A . 由此得矩阵A 的特征值1231,2a a λλλ==+=-. 对于特征值121a λλ==+，可得对应的两个线性无关的特征向量 T T 12(1,1,0),(1,0,1)==αα.·221· 对于特征值32a λ=-，可得对应的特征向量 T 1(1,1,1)=-α.令矩阵1231111(,,)101,10112a a a -+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭P αααΛ，则1112a a a -+⎛⎫⎪==+ ⎪ ⎪-⎝⎭P AP Λ.11||||---=-A E P ΛP PP 1||||||-=⋅-⋅P ΛE P0000003a a a =-2(3).a a =-。

线性代数试卷1(完整版带答案,可直接作为考试卷)

，此方程组无解；。。。。。。。。。。8分
（3）当时，增广矩阵为
～
，此方程组有无穷多解。。。。。。。。。。12分
4、解：）= ～ …….6分
所以是最大无关组(8分)，且， ……..12分
5.解因 ,故对应的齐次方程组Ax=0的基础解系由
1个非零解构成，且都是Ax=0的解，即是Ax=0的基础解系，
所以Ax=b的通解为（共12分，酌情给分）
1、，
2、
3、1，—34、 5、-32,0
二、选择题：（每小题4分，共20分）
1、 2、 3、A4、A5、B
三.计算题（每题12分，共60分）
1解
以上步骤每步3分，共12分。
2.
以上步骤每步4分，共12分。
3、解：因，方程组有唯一解；。。。。。。。。。4分
（2）当时，方程组的增广矩阵为
1.齐次线性方程组只有零解，则应满足条件______。
（A） (B) (C) (D)
2．设A是4阶矩阵，且，则。
（A）16 (B)32 (C)8 (D) 0
3.已知非齐次线性方程组无解，则a=______。
（A）-1 (B)0 (C)2 (D) 3
4.已知方阵A的列向量组线性无关，下列结论中正确的是_______。
（A）向量组的任一部分向量组都线性无关；
（B）向量组中存在两个向量分量对应成比例；
（C）齐次方程组有非零解；
（D）向量组中有一个是零向量
5.设是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值为_______。
（A）1 (B) (C)2 (D) 3
三．计算题（每题12分，共60分）
1．计算n阶行列式。
2.解矩阵方程

线性代数考试练习题带答案大全(二)

线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关，（B ）列向量组线性相关，（C ）行向量组线性无关，（D ）行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。

(A ) α必可由,,βγδ线性表出，（B ）β必不可由,,αγδ线性表出，（C ）δ必可由,,αβγ线性表出，（D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-；（B ）0λ>；（C ）1λ>；（D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ）所对应的行列式的值都等于1；（C ）相乘仍为初等矩阵；（D ）相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。

二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为。

9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。

线性代数期末考试考核试卷

（答题括号：________）
4.以下哪个向量组构成一个基？
A. (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 0)
B. (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)
C. (1, 2, 3), (2, 4, 6), (1, 1, 1)
D. (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)
...
20.（根据实际题目内容填写答案）
二、多选题
1. BCD
2. ABCD
3. ABC
4. AB
5. ABC
...
20.（根据实际题目内容填写答案）
三、填题
1. 1
2.线性无关
3.主
...
10.（根据实际题目内容填写答案）
四、判断题
1. √
2. √
3. √
...
10. ×
五、主观题（参考）
1.向量组线性无关，可以通过计算行列式不为零来证明。一个可以由给定向量组线性表示的向量可以是它们的线性组合，例如\(a\vec{v}_1 + b\vec{v}_2 + c\vec{v}_3\)，其中\(a, b, c\)是适当的系数。
D. (1, 1), (1, -1)
（答题括号：________）
5.在求解线性方程组时，以下哪些情况下可以使用高斯消元法？
A.系数矩阵是方阵
B.系数矩阵是非奇异的
C.方程组中方程的个数等于未知数的个数
D.方程组可能有无穷多解
（答题括号：________）
（以下题目类似，省略以节约空间）
6. ...
A.若A为m×n矩阵，则A的转置为n×m矩阵
B.若A为m×n矩阵，则A的转置为m×n矩阵

(完整版)线性代数试题套卷及答案

（线性代数）（ A 卷）专业年级：学号：姓名：一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设n m A ⨯为实矩阵,则线性方程组0=Ax 只有零解是矩阵)(A A T为正定矩阵的(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 无关条件。

2．已知32121,,,,αααββ为四维列向量组，且行列式 4,,,1321-==βαααA ，1,,,2321-==βαααB ，则行列式 =+B A(A) 40； (B) 16-； (C) 3-； (D) 40-。

3．设向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，， 21线性表示，则以下结论中不能成立的是(A) 向量组s βββ，，，21线性无关； (B) 对任一个j α，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C) 存在一个j α，向量组s j ββα，，，2线性无关； (D) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价。

4．对于n 元齐次线性方程组0=Ax ，以下命题中，正确的是(A) 若A 的列向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (B) 若A 的行向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (C) 若A 的列向量组线性相关，则0=Ax 有非零解； (D) 若A 的行向量组线性相关，则0=Ax 有非零解。

5．设A 为n 阶非奇异矩阵)2(>n ，*A 为A 的伴随矩阵，则√√(A) A A A 11||)(-*-=； (B) A A A ||)(1=*-；(C) 111||)(--*-=A A A ； (D) 11||)(-*-=A A A 。

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6．列向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111α 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量. 则λ＝，a ＝，b ＝。

线性代数考试题库及答案(一)

线性代数考试题库及答案(一)1.下面是线性代数考试题库及答案的第一部分专项同步练第一章行列式的格式正确版本：一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。

3.n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有(D) (n-1)。

项。

4.1/1 = (D) 2.5.1/(-1) = (B) -1.6.在函数f(x) = (2x-1)/(2-x^3)中x^3项的系数是(A) 0.7.若D = |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |1 a32 a33|，则D1 =2a11a33 - 4a13a31 - 2a12a32.8.若 |a11 a12| |a21 a22| = a，则 |a12 a11| |ka22 ka21| = (-k^2)a。

9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4.0.1.3，第3行元的余子式依次为-2.5.1.x，则x = 3.10.若D = |4 3 1 5| |-1 3 4 1| |2 -1 6 3| |-2 1 3 4|，则D中第一行元的代数余子式的和为(B) -2.11.若D = |-1 5| |3 -2|，则D = (A) -1.12.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 + kx2 + x3 = 0，kx1 + x2 + x3 = 0，x2 + x3 = 0有非零解。

(B) -2.二、填空题1.2n阶排列24…(2n)13…(2n-1)的逆序数是n(2n-1)。

2.在六阶行列式中项a32a41a25a13a56a64的符号为-。

改写后的文章：线性代数考试题库及答案第一部分专项同步练第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。

线性代数试题及答案

线性代数试题及答案1. 题目：矩阵运算题目描述：给定两个矩阵A和B，计算它们的乘积AB。

答案解析：矩阵A的维度为m x n，矩阵B的维度为n x p，则矩阵AB的维度为m x p。

矩阵AB中的每个元素都可以通过矩阵A的第i行与矩阵B的第j列的内积来计算，即AB(i,j) =∑_{k=1}^{n}A(i,k)B(k,j)。

2. 题目：矩阵转置题目描述：给定一个矩阵A，求其转置矩阵AT。

答案解析：如果矩阵A的维度为m x n，则转置矩阵AT的维度为n x m。

转置矩阵AT中的每个元素都可以通过矩阵A的第i行第j列的元素来计算，即AT(j,i) = A(i,j)。

3. 题目：线性方程组求解题目描述：给定一个线性方程组Ax = b，其中A是一个m x n的矩阵，x和b是n维向量，求解x的取值。

答案解析：假设矩阵A的秩为r，则根据线性代数的理论，线性方程组有解的条件是r = rank(A) = rank([A | b])。

若方程组有解，则可以通过高斯消元法、LU分解等方法求解。

4. 题目：特征值与特征向量题目描述：给定一个矩阵A，求其特征值和对应的特征向量。

答案解析：设λ为矩阵A的特征值，若存在非零向量x，满足Ax = λx，则x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。

特征值可以通过解特征方程det(A - λI) = 0求得，其中I为单位矩阵。

5. 题目：行列式计算题目描述：给定一个方阵A，求其行列式det(A)的值。

答案解析：行列式是一个方阵的一个标量值。

行列式的计算可以通过Laplace展开、初等行变换等方法来进行。

其中，Laplace展开是将行列式按矩阵的某一行或某一列展开成若干个代数余子式的和。

6. 题目：向量空间与子空间题目描述：给定一个向量空间V和它的子集U，判断U是否为V的子空间。

答案解析：子空间U必须满足三个条件：（1）零向量属于U；（2）对于U中任意两个向量u和v，它们的线性组合u+v仍然属于U；（3）对于U中的任意向量u和标量c，它们的数乘cu仍然属于U。

线性代数考试练习题带答案大全(二)

张蓓07-08线代A试卷

河北科技大学2007——2008 学年第一学期《线性代数》试卷（A ）学院班级姓名学号一．单项选择题（每小题3分，共18分）1．设A 是4阶矩阵，则|-A |=【】A ． -4|A |B ． -|A |C ． |A |D ． 4|A |2．设,a b 为实数，000101a b b a -=--，则【】A ．0,1a b ==-B ．0,0a b ==C ．1,0a b ==D ．1,1a b ==-3．设,,A B C 为可逆方阵，则1()ACB T -= 【】A ．1111()B AC ---- B ． 111B C A --- C ．111()T A C B --- D ． 111()T B C A ---4．设A ，B 均为3阶矩阵，若A 可逆，2)(=B R ，那么=)(AB R 【】A ．0B ．1C ．2D ．35．设向量组m ααα,,,21 的秩为r ，则下面结论正确的是【】A ．必有r m <；B ．向量组中任意少于r 个向量的部分向量组都线性无关；C ．向量组中任意含有r 个向量的部分向量组也都线性无关；D ．向量组中任意1r +个向量都线性相关.6．若0=λ是方阵10102010A a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值，则a = 【】 A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2二．填空题（每小题3分，共18分）1．如果3101121a b c =，则333524111a b c ---=__________．2．设2阶方阵A 可逆，且1A -=3712-⎛⎫⎪-⎝⎭，则A = ．3．设向量组)2,3,1(),0,0,1(),,3,1(321-==-=αααa 线性相关, 则a =_______． 4．若3元齐次线性方程组0Ax =的基础解系含2个解向量，则()R A =______． 5．设s ηηη,,,21 是非齐次线性方程组Ax b =的解，又已知s s k k k ηηη+++ 2211也是Ax b =的解，则=+++s k k k 21_____．6．设A 为n 阶方阵，已知矩阵A E -不可逆，那么矩阵A 必有一个特征值为______．三．计算题（每小题10分，共30分）1．计算行列式1002012003403004D =的值．2．设矩阵500012037A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11202010B ，求矩阵方程AX=B 的解X.3．设向量组T :1102β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 2320β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 3211β-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭, 4235β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求向量组T 的秩及其一个最大无关组．四．证明题（10分）若向量组321,,ααα可用向量组21,ββ线性表出，证明向量组321,,ααα线性相关．五．计算题（本题12分）求非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--=--+=+--2132130432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解（用它的一个特解和对应的齐次线性方程组的基础解系表示）．六．计算题（本题12分）设矩阵1414A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭,（1）求矩阵A 的特征值和特征向量；（2）问A 能否对角化？若能，求可逆矩阵P 及对角矩阵Λ，使Λ=-AP P 1．河北科技大学2007——2008 学年第一学期《线性代数》试卷（A ）答案及评分标准学院电气班级电气061—3,测控061一．单项选择题：（每题3分，共18分）1．C 2．B 3．D 4．C 5．D 6．C二．填空题（每题3分，共18分）1．1 2．⎪⎪⎭⎫⎝⎛3172 3．2 4．1 5．1 6．1三．计算题（每题10分，共30分） 1．解一按第一行展开，原式1200123402034004300=- ······································································ 5分4= ······································································································· 5分解二原式100001200340302=- ················································································· 3分 120340002=- ······················································································ 4分4= ····································································································· 3分2．解一因为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-13027000511A ··········································································· 4分所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==-1120201013027000511B A X ······································································· 2分 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=5112242································································································· 4分解二因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5110012201042001~11730202102010005 ·········································· 6分所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-51122421B A X ······················································································ 4分3．构造矩阵[]4321ββββ=A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=510231202231 ··········································· 2分求得2)(=A R ，即2)(=A R ··················································································· 3分矩阵A 中位于1,2行1,2列的二阶子式022031≠= ············································· 3分故21,ββ是T 的一个最大无关组． ··········································································· 2分注：（用行初等变换求出最大无关组可相应给分）。