风险管理公式汇总

8.两种资产组合的标准差（第34~35页）
1 2 1 22222212
1σWσWσ2ρWWσσp= + +（22）
其中：1 2W,W分别为两种资产在资产组合中的权重，ρ为两种资产之间的相关系数，当−1≤ρ<1，即两种资产之间的收益率变化不完全正相关时，分散投资能够降低非系统性风险
9.导数及泰勒展式（第37~40页）
n{=}=(1−)−,=0, 1, 2,⋅⋅⋅,（9）
期望E(X)=np（10）
方差Var(X)=np(1−p)（11）
（3）正态分布（连续型）
概率密度函数=∞< < +∞（12）
期望E(x)=μ（13）
方差Var(x)=σ2（14）
例如：可用正态分布来描述股票价格（或资产组合）每日对数收益率的分布。
b
a
P(a X b)f(x)dx（3）
则称f(x)为随机变量的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。
（3）期望∫+∞−∞
E(x)=xf(x)dx（4）
其中：f(x)为随机变量x的概率密度函数E(x)反映了随机变量x的平均值
（4）方差∫+∞−∞
Var(x)=[x−E(x)]2f(x)dx（5）
其中：f(x)为随机变量x x p1( )（1）
其中：i p为随机变量取值为i x的概率E(x)反映了随机变量x的平均值
（3）方差Σ==−N
i i Var x x E x p
i 1
( ) [ ( )]2（2）
其中：i p为随机变量取值为i x的概率
Var(x)反映了随机变量x偏离E(x)的程度，即风险
（19）
（3）对数收益率ln( ) ln( ) ln( )
0
0P
r=P−P=P（20）
其中：P为期末的资产价值总额，0P为期初投入的资金总额
（4）资产组合收益率Σ==Nip i i R W R1（21）
其中：p R为资产组合的收益率，i W为各种资产在资产组合中所占的权重
i R为第i种资产的百分比收益率
因为收益率只能取5个值，该随机变量为离散型随机变量。
该离散型随机变量的取值50%、30%、10%、－10％、－30%相对应的概率分别为0.05、0.25、0.40、0.25、0.05，则收益率概率的分布如下：
0.05 30%
0.25 10%
0.40 10%
0.25 30%
0.05 50%
f x
收益率的期望
标准差（波动率）是随机变量方差的平方根。在金融领域中，方差和标准差是用来衡量资产风险的指标，是风险的代名词。通俗地说，方差越大，随机变量取值偏离均值的程度越大，不稳定性也越大，即风险越大。
4.离散型随机变量（第25~26页）
（1）如果随机变量x的所有可能值只有有限多个或可列多个，即为离散型随机变量。离散型随机变量的一切可能值及与其取值相应的概率，称做离散型随机变量的概率分布。
我们可以通过下面这道例题来具体体会上述多个概念。
例题：假定某股票下一年可能出现5种情况，每种情况对应概率和收益率如下表所示：
概率0.05 0.25 0.40 0.25 0.05
收益率50% 30% 10% -10% -30%
该股票的下一年的收益率是一个随机变量，只能取5个数值，50%、30%、
10%、－10％、－30%。
3.随机变量的数字特征（第26~27页）
关于随机变量的数字特征，最常用的概念是期望、方差和标准差。
（1）期望（亦称为期望值、均值）是随机变量的概率加权和，反映了随机变量的平均值。在金融领域中，资产收益率的期望是指投资者持有的资产在下一时期所预期能够获得的平均收益率。
（2）方差反映了随机变量偏离其期望值的程度。
正态分布概率密度函数曲线的性质：
a.正态分布概率密度函数曲线呈现中间高、两边低、左右对称的形态
b.正态随机变量x的观测值落在距均值为1倍标准差范围内的概率约为0.68（68%）
c.正态随机变量x的观测值落在距均值为2倍标准差范围内的概率约为0.95（95%）
d.正态随机变量x的观测值落在距均值为3倍标准差范围内的概率约为0.9973（99.73%）
（1）一阶导数x
f x f x x f x xΔ
+Δ−′=Δ→
( ) Lim ( ) ( ) 0（23）
（2）一阶泰勒展式近似( ) ( ) ( )( ) 0 0 0f x≈f x+f′x x−x（24）
Var(x)反映了随机变量x偏离E(x)的程度，即风险
6.常用统计分布的概率密度函数（概率函数）及其期望、方差（第27~29页）
（1）均匀分布（连续型）
概率密度函数（6）
期望E(x)=(a+b) / 2（7）
方差Var(x)=(b−a)2 /12（8）
（2）二项分布（离散型）
概率函数P X k Ck pk p n k k n
（4）标准正态分布（μ= 0,σ=1的正态分布）
概率密度函数2
期望E(x)=μ=0（16）
方差Var(x)=σ2=1（17）
如果随机变量x服从均值为μ，方差为σ2的正态分布，则变量(x−μ) /σ服从标准正态分布。
7.收益的计量（第30~33页）
（1）绝对收益0R=P−P绝对（18）
（2）百分比收益率
E(x) = 0.05×50%＋0.25×30%＋0.40×10%＋0.25×(-10%)＋0.05×(-30%)
= 10%
收益率的方差
Var(x) = (50%－10%)2×0.05＋(30%－10%)2×0.25＋(10%－10%)2×0.40＋(－
10%－10%)2×0.25＋(－30%－10%)2×0.05 = 0.036
5.连续型随机变量（第26页）
（1）如果随机变量x的所有可能值由一个或若干个(有限或无限)实数轴上的区间组成，则为连续型随机变量。连续型随机变量的可能取值有无限多个。我们也可以这样理解：“如果变量可以取到某一区间内任意值，即变量的取值是连续的，那么这个随机变量就是连续型随机变量。”如果存在一个非负可积函数f(x)，对任意实数a和b（a<b），都有：（2）< < =∫
《风险管理》公式与模型汇总
第一章风险管理基础
1.概率（第24页）
概率是对不确定性事件进行描述的有效的数学工具，是对不确定性事件发生可能性的一种度量。风险是未来结果的不确定性，概率是度量风险的基础。
2.随机事件与随机变量（第25页）
在每次随机试验中可能出现，也可能不出现的结果称为随机事件。随机变量是用数值来表示随机事件的结果。