年高考第一轮复习数学数学归纳法
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年高考第一轮复习数学
数学归纳法
Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
※第十三章极限
●网络体系总览
●考点目标定位
1.数学归纳法、极限
要求:(1)理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
(2)了解数列极限和函数极限的概念.
(3)掌握极限的四则运算法则,会求某些数列与函数的极限.
(4)了解函数连续的意义,理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.
●复习方略指南
极限的概念和方法是近代数学的核心内容,微积分学的基本概念、基本方法在现代实践中越来越多的被应用,并在现代数学及相关学科的研究中不断得到进一步的发展.本章的主要内容由两部分组成,一是数学归纳法,二是极限.学习极限时要注意数列极限和函数极限的联系和区别、函数的极限与函数连续性的渐进性.
数学归纳法
●知识梳理
1.数学归纳法的定义:由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的
证明方法:(1)先证明当n =n 0(n 0是使命题成立的最小自然数)时命题成立;(2)假设当n =k (k ∈N *, k ≥n 0)时命题成立,再证明当n =k +1时命题也成立,那么就证明这个命题成立,这种证明方法叫数学归纳法.
2.数学归纳法的应用:①证恒等式;②整除性的证明;③探求平面几何中的问题;④探求数列的通项;⑤不等式的证明.
特别提示
(1)用数学归纳法证题时,两步缺一不可;
(2)证题时要注意两凑:一凑归纳假设;二凑目标.
●点击双基 1.设f (n )=11+n +21+n +31+n +…+n
21(n ∈N *),那么f (n +1)-f (n )等
于
A.1
21
+n B.2
21
+n C.
121+n +2
21+n
D.
1
21
+n -221+n 解析:f (n +1)-f (n )=
21+n +31+n +…+n 21 +1
21
+n +221+n -
(11+n +21+n +…+n 21)=121+n +2
21+n -11+n =121+n -221+n . 答案:D
2.(2004年太原模拟题)若把正整数按下图所示的规律排序,则从2002到
2004年的箭头方向依次为
解析:2002=4×500+2,而a n =4n 是每一个下边不封闭的正方形左、上顶点的数.
答案:D
3.凸n 边形有f (n )条对角线,则凸n +1边形有对角线条数f (n +1)为 (n )+n +1 (n )+n (n )+n -1 (n )+n -2 解析:由n 边形到n +1边形,增加的对角线是增加的一个顶点与原n -2个顶点连成的 n -2条对角线,及原先的一条边成了对角线.
答案:C
4.用数学归纳法证明“(n +1)(n +2)·…·(n +n )=2n ·1·3·…·(2n -1)”,从“k 到k +1”左端需增乘的代数式为
+1 (2k +1) C.
1
1
2++k k D.132++k k
解析:当n =1时,显然成立.
当n =k 时,左边=(k +1)(k +2)·…·(k +k ),
当n =k +1时,左边=(k +1+1)(k +1+2)·…·(k +1+k )(k +1+k +1) =(k +2)(k +3)·…·(k +k )(k +1+k )(k +1+k +1)
=(k +1)(k +2)·…·(k+k )1
)
22)(12(+++k k k =(k +1)(k +2)·…·(k +k )
2(2k +1).
答案:B
5.(2004年春季上海,8)根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n 个图形中有_________个点.
解析:观察图形点分布的变化规律,发现第一个图形只有一个中心点;第二个图形中除中心外还有两边,每边一个点;第三个图形中除中心点外还有三个边,每边两个点;…;依次类推,第n 个图形中除中心外有n 条边,每边n -1个点,故第
n 个图形中点的个数为n (n -1)+1.
答案:n 2-n +1 ●典例剖析
【例1】 比较2n 与n 2的大小(n ∈N *).
剖析:比较两数(或式)大小的常用方法本题不适用,故考虑用归纳法推测大小关系,再用数学归纳法证明.
解:当n =1时,21>12,
当n =2时,22=22,当n =3时,23<32, 当n =4时,24=42,当n =5时,25>52,
猜想:当n≥5时,2n>n2.
下面用数学归纳法证明:
(1)当n=5时,25>52成立.
(2)假设n=k(k∈N *,k≥5)时2k>k2,
那么2k+1=2·2k=2k+2k>k2+(1+1)k>k2+C0
k +C1
k
+C1-k
k
=k2+2k+1=(k+1) 2.
∴当n=k+1时,2n>n2.
由(1)(2)可知,对n≥5的一切自然数2n>n2都成立.
综上,得当n=1或n≥5时,2n>n2;当n=2,4时,2n=n2;当n=3时,2n<n2.
评述:用数学归纳法证不等式时,要恰当地凑出目标和凑出归纳假设,凑目标时可适当放缩.
深化拓展
当n≥5时,要证2n>n2,也可直接用二项式定理证:2n=(1+1)
n=C0
n +C1
n
+C2
n
+…+C2-n
n
+C1-n
n
+C n
n
>1+n+
2
)1
(-
n
n+
2
)1
(-
n
n=1+n+n2-n>n2.
【例2】是否存在常数a、b、c使等式1·(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2
-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n成立证明你的结论.
剖析:先取n=1,2,3探求a、b、c的值,然后用数学归纳法证明对一切n∈N*,a、b、c所确定的等式都成立.