统考版2022届高考数学一轮复习第2章函数第9节函数与方程教师用书教案北师大版.doc

合集下载

(教师用书)高中数学第二章函数教案北师大版必修1

第二章函数§1生活中的变量关系§2对函数的进一步认识2．1 函数概念(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．2．过程与方法(1)通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．(2)了解构成函数的要素．(3)会求一些简单函数的定义域和值域．(4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域．3．情感、态度与价值观使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性．●重点难点重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．难点：符号“y＝f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示．本节的重点的突破方法是通过教材中的实例让学生自己尝试用集合与对应的语言进行描述．对难点来说，学生不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值，其突破方法是可以列举一些对应关系相同但定义域不同的函数，或定义域、值域相同但对应关系不同的函数，让学生在比较、判断中体会．在函数教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免求函数的定义域时出现过于烦琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域的偏题，以便学生有时间重点理解函数的概念及符号“y＝f(x)”的含义．(教师用书独具)●教学建议函数是中学数学中最重要的基本概念之一．在中学，函数的学习大致可分为三个阶段．第一阶段是在义务教育阶段，学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，了解了它们的图像、性质等．本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是函数学习的第二阶段，这是对函数概念的再认识阶段．第三阶段是选修系列的导数及其应用的学习，这是函数学习的进一步深化和提高．在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围．因此，教材采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数的概念．●教学流程复习引入初中学过的函数有哪些，它们分别有哪些变量⇒新课讲解，给出函数的概念及其表示方法⇒完成例1、例2及其变式训练，加深学生对函数概念的理解⇒给出区间的概念，并注意表示过程中区间的开闭⇒质疑答辨，排难解惑，发展思维，完成例3及变式训练，强化对定义域的理解⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正世界是千变万化的，变量与变量之间有的有依赖关系，而具有依赖关系的两个变量并不一定具有函数关系．1．某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系是否具有依赖关系？是函数关系吗？【提示】没有依赖关系．不是函数关系．2．储油罐的储油量Q与油面宽度W的关系是否具有依赖关系？是函数关系吗？【提示】具有依赖关系，但不是函数关系．3．在公路上匀速行驶的汽车，它行驶的里程s与时间t具有依赖关系吗？是函数关系吗？【提示】具有依赖关系，也是函数关系．并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值时，才称它们之间具有函数关系．1．初中我们学习过哪些函数？你能说出函数描述了几个变量之间的关系？它们分别是什么变量？【提示】初中学过正比例函数，一次函数、反比例函数和二次函数；函数描述了两个变量之间的关系，一个是自变量，另一个是因变量．2．因变量y与自变量x之间是怎样的依赖关系？【提示】因变量y随自变量x的变化而变化．给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B或y＝f(x)，x∈A.此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．习惯上我们称y是x的函数．1.区间：设a ，b 是两个实数，而且a <b ，规定如下表：这里实数a ，b 都叫作相应区间的端点． 2．无穷大的概念及无穷区间：下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化．冷却时间与温度计示数的关系；(2)做自由落体运动的物体下落的距离与时间的关系； (3)商品的销售额与广告费之间的关系； (4)家庭的食品支出与电视价格之间的关系；(5)在高速公路上匀速行驶的汽车所走的路程与时间的关系．【思路探究】两个变量中的一个变量发生变化时，根据另一个变量是否发生变化来确定依赖关系；根据另一个变量发生变化且取值唯一来确定函数关系．【自主解答】 (1)温度计示数随冷却时间的变化而变化，所以冷却时间与温度计示数存在着依赖关系．又因为对于冷却时间的每一个取值，都有唯一的温度计示数与之对应，所以，温度计示数是冷却时间的函数；(2)科学家通过实验发现，做自由落体运动的物体下落的距离(h )与时间(t )具有关系h ＝12gt 2，其中g 是常量，很显然，对于时间t 在其变化范围内的每一个取值，都有唯一的下落距离h 与之对应，故这两个变量存在依赖关系，且距离是时间的函数；(3)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系；(4)家庭的食品支出与电视价格之间不存在依赖关系；(5)在高速公路上匀速行驶的汽车所走路程(因变量)随时间(自变量)的变化而变化，所以它们之间存在着依赖关系，且路程是时间的函数．综上可知，(1)(2)(5)中的变量间存在依赖关系，且是函数关系；(3)中变量间存在依赖关系，不是函数关系；(4)中两个变量间不存在依赖关系．1．判断两个变量之间是否存在依赖关系，只需看一个变量发生变化时，另一个变量是否会随之变化．2．判断两个具有依赖关系的变量是否是函数关系，关键是看二者之间的关系是否具有确定性，即验证对于一个变量的每一个值，另一个变量是否都有唯一确定的值与之对应．(1)下列说法不正确的是( ) A ．依赖关系不一定是函数关系 B ．函数关系是依赖关系C ．如果变量m 是变量n 的函数，那么变量n 也是变量m 的函数D ．如果变量m 是变量n 的函数，那么变量n 不一定是变量m 的函数(2)张大明种植了10亩小麦，每亩施肥x 千克，小麦总产量y 千克，则( ) A ．x ，y 之间有依赖关系 B ．x ，y 之间有函数关系 C ．y 是x 的函数 D ．x 是y 的函数【解析】 (1)根据依赖关系与函数关系的区别可知A 、B 正确．若变量m 是变量n 的函数．因为满足函数关系的自变量n 对因变量m 可以是多对一，此时若把m 换成自变量，n 换成因变量，显然对于m 的每一个取值，会有多个n 与之对应，所以变量n 不是变量m 的函数．(2)虽然小麦总产量y 与每亩施肥量x 之间存在依赖关系，但小麦总产量y 还受气候、管理等其他因素的影响，所以x ，y 之间无函数关系．【答案】 (1)C (2)A下列对应关系是否为A 到B 的函数．(1)A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |； (2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2； (3)A ＝R ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x .【思路探究】解答本题可从函数的定义入手，即对于A 中的任何一个元素在确定的对应关系之下，是否有唯一的y 值与之对应．【自主解答】 (1)A 中的元素0在B 中没有对应元素，故不是A 到B 的函数； (2)对于集合A 中的任意一个整数x ，按照对应关系f ：x →y ＝x 2，在集合B 中都有唯一一个确定的整数x 2与其对应，故是集合A 到集合B 的函数；(3)A 中元素负数没有平方根，故在B 中没有对应的元素且x 不一定为整数，故此对应关系不是A 到B 的函数．1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A 、B 必须是非空数集；A 中任何一个元素在B 中必有元素与其对应；A 中任一元素在B 中必有唯一元素与其对应．2．函数的定义中“任一x ”与“有唯一确定的y ”说明函数中两变量x ，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．下列说法正确的是( ) A ．f (x )＝1－x ＋x －2是函数B ．A ＝N ，B ＝Z ，f ：x →y ＝±x ，则f 是从集合A 到集合B 的一个函数C ．A ＝{－1,1,2，－2}，B ＝{1,2,4}，f ：x →y ＝x 2，则f 是从A 到B 的一个函数 D ．y 2＝x 是函数【解析】对于A ，由于⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0x －2≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1x ≥2无解，所以f (x )不是函数．对于B ，对集合A 中的元素4，在B 中有2个元素与之对应，不是函数．对于D ，当x ＝4时，y ＝±2两个值与之对应，不满足函数定义．对于C ，A 中每一个元素在B 中都有唯一元素与之对应，符合函数的概念．【答案】 C求下列函数的定义域：(1)f (x )＝2x ＋3；(2)f (x )＝x －1·4－x ＋2； (3)y ＝1－x 21＋x.【思路探究】对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量取值的集合．【自主解答】 (1)函数f (x )＝2x ＋3的定义域为R.(2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，4－x ≥0，解得1≤x ≤4.所以函数f (x )＝x －1·4－x ＋2的定义域为{x |1≤x ≤4}． (3)要使函数有意义，需满足1＋x ≠0，解得x ≠－1. 所以函数y ＝1－x21＋x 的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．1．求函数的定义域，其实质就是以使函数的解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．其准则一般有：(1)分式中，分母不为零；(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对于y ＝x 0要求x ≠0；(4)由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束．2．如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．求下列函数的定义域 (1)f (x )＝1x －2； (2)f (x )＝3x ＋2； (3)f (x )＝x ＋1＋12－x.【解】 (1)当x －2≠0，即x ≠2时，1x －2有意义， ∴这个函数的定义域是{x |x ≠2}．(2)当3x ＋2≥0，即x ≥－23时，3x ＋2有意义，∴函数f (x )＝3x ＋2的定义域是[－23，＋∞)．(3)由题意⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠2.∴这个函数的定义域是{x |x ≥－1}∩{x |x ≠2}＝[－1,2)∪(2，＋∞).求定义域时盲目化简函数解析式致误求函数f (x )＝ x ＋12x ＋1－1－x 的定义域．【错解】 f (x )＝ x ＋12x ＋1－1－x ＝x ＋1－1－x .要使函数有意义，需满足． 1－x ≥0，即x ≤1.故f (x )的定义域为(－∞，1]．【错因分析】本题错误的原因是化简了函数的解析式而使定义域发生变化．【防范措施】讨论函数问题时要保持定义域优先考虑的原则，求函数的定义域之前，不要化简解析式．【正解】要使函数f (x )有意义，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋1≠0，解得x ≤1且x ≠－1.所以函数的定义域为：(－∞，－1)∪(－1,1]．1．函数符号“y ＝f (x )”是数学中抽象符号之一，“y ＝f (x )”仅为y 是x 的函数的数学表示，不表示y 等于f 与x 的乘积，f (x )也不一定是解析式，还可以是图表或图像．2．函数的三要素包括：定义域、对应法则和值域．因为值域由定义域和对应法则完全确定，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.1．设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{ y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到N 的函数关系的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】由函数的定义，M 中任意一个x ，N 中都有唯一y 对应，故(1)(2)(4)正确．【答案】 C2．下列函数完全相同的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3.【解析】 A 、C 、D 的定义域均不同．【答案】 B3．(2012·四川高考)函数f (x )＝11－2x 的定义域是________．(用区间表示) 【解析】由题意，需1－2x >0，解得x <12.故f (x )的定义域为(－∞，12)．【答案】 (－∞，12)4．已知函数f (x )＝6x －1－x ＋4， (1)求函数f (x )的定义域；(用区间表示) (2)求f (－1)，f (12)的值．【解】 (1)根据题意知x －1≠0且x ＋4≥0， ∴x ≥－4且x ≠1，即函数f (x )的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)． (2)f (－1)＝6－2－－1＋4＝－3－ 3.f (12)＝612－1－12＋4＝611－4＝－3811.一、选择题 1．已知f (x )＝x －1x ＋1，则f (2)＝( ) A ．1 B.12 C.13 D.14【解析】 f (2)＝2－12＋1＝13.【答案】 C2．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1 C ．y ＝x 2和y ＝(x ＋1)2D ．f (x )＝ x 2x 和g (x )＝xx2【解析】 A 中y ＝x －1定义域为R ，而y ＝x 2－1x ＋1定义域为{x |x ≠1}；B 中函数y ＝x 0定义域{x |x ≠0}，而y ＝1定义域为R ； C 中两函数的解析式不同；D 中f (x )与g (x )定义域都为(0，＋∞)，化简后f (x )＝1，g (x )＝1，所以是同一个函数．【答案】 D3．用固定的速度向如图2－2－1所示形状的瓶子中注水，则水面的高度h 和时间t 之间的关系是( )图2－2－1【解析】水面的高度h 随时间t 的增加而增加，而且增加的速度越来越快．【答案】 B 4．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A ．[1,2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞) C ．[1,2] D ．[1，＋∞) 【解析】要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2，所以函数的定义域是{x |x ≥1且x ≠2}．【答案】 A 5．函数f (x )＝1x 2＋1(x ∈R)的值域是( ) A ．(0,1) B ．(0,1] C ．[0,1) D ．[0,1] 【解析】由于x ∈R ，所以x 2＋1≥1,0<1x 2＋1≤1，即0<y ≤1. 【答案】 B 二、填空题6．集合{x |－1≤x <0或1<x ≤2}用区间表示为________．【解析】结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2]．【答案】 [－1,0)∪(1,2]7．函数y ＝31－x －1的定义域为________．【解析】要使函数有意义，自变量x 须满足⎩⎨⎧x －1≥01－x －1≠0解得：x ≥1且x ≠2.∴函数的定义域为[1,2)∪(2，＋∞)．【答案】 [1,2)∪(2，＋∞)8．设函数f (x )＝41－x ，若f (a )＝2，则实数a ＝________.【解析】由f (a )＝2，得41－a＝2，解得a ＝－1. 【答案】－1 三、解答题9．已知函数f (x )＝x ＋1x，求：(1)函数f (x )的定义域； (2)f (4)的值．【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ≠0，得x >0，所以函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．(2)f (4)＝4＋14＝2＋14＝94.10．求下列函数的定义域： (1)y ＝－x 2x 2－3x －2；(2)y ＝34x ＋83x －2.【解】 (1)要使y ＝－x 2x 2－3x －2有意义，则必须⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得x ≤0且x ≠－12，故所求函数的定义域为{x |x ≤0，且x ≠－12}．(2)要使y ＝34x ＋83x －2有意义，则必须3x －2>0，即x >23，故所求函数的定义域为{x |x >23}．11．已知f (x )＝x 21＋x 2，x ∈R ，(1)计算f (a )＋f (1a)的值；(2)计算f (1)＋f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋f (4)＋f (14)的值．【解】 (1)由于f (a )＝a 21＋a 2，f (1a )＝11＋a 2，所以f (a )＋f (1a)＝1.(2)法一因为f (1)＝121＋12＝12，f (2)＝221＋22＝45，f (12)＝ 12 21＋ 122＝15，f (3)＝321＋32＝910，f (13)＝ 13 21＋ 13 2＝110，f (4)＝421＋42＝1617，f (14)＝ 14 21＋ 142＝117，所以f (1)＋f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋f (4)＋f (14)＝12＋45＋15＋910＋110＋1617＋117＝72.法二由(1)知，f (a )＋f (1a )＝1，则f (2)＋f (12)＝f (3)＋f (13)＝f (4)＋f (14)＝1，即[f (2)＋f (12)]＋[f (3)＋f (13)]＋[f (4)＋f (14)]＝3，而f (1)＝12，所以f (1)＋f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋f (4)＋f (14)＝72.(教师用书独具)求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4}； (2)y ＝1－x 2； (3)y ＝1＋1x ＋1(x >0)．【思路探究】求函数的值域就是求函数值的取值集合．【自主解答】 (1)x ＝1时，y ＝3；x ＝2时，y ＝5；x ＝3时，y ＝7；x ＝4时，y ＝9. 所以函数y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4}的值域为{3,5,7,9}． (2)因为1－x 2≤1，所以y ＝1－x 2的值域为(－∞，1]． (3)∵x ＋1>1，∴0<1x ＋1<1， ∴1<1＋1x ＋1<2，∴y ＝1＋1x ＋1的值域为(1,2)．求函数值域的常用方法1．观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． 2．配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．3．分离常数法：分子、分母是一次函数的有理式函数，即形如y ＝ax ＋bcx ＋d(c ≠0)的函数可用分离常数法，即将有理分式转化为“反比例函数”类的形式，便于求值域．4．换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0)型的函数常用换元法．(1)函数y ＝x 2－4x ＋1，x ∈[2,5]的值域是( ) A ．[1,6] B ．[－3,1] C ．[－3,6] D ．[－3，＋∞)【解析】函数y ＝x 2－4x ＋1是二次函数形式，配方得y ＝(x －2)2－3，画出函数y ＝(x －2)2－3，x ∈[2,5]的图像(如图)，由图像可知，函数的值域为{y |－3≤y ≤6}，用区间可表示为[－3,6]．【答案】 C (2)函数y ＝2xx ＋1的值域为________．【解析】 ∵y ＝2x x ＋1＝2 x ＋1 －2x ＋1＝2－2x ＋1，又∵2x ＋1≠0，∴y ≠2. ∴函数y ＝2xx ＋1的值域为{y |y ≠2}．【答案】 {y |y ≠2}知识拓展函数值域的求法函数的值域是函数值的集合，它是由函数的定义域与对应关系确定的．函数的最值是函数值域的端点值，求最值与求值域的思路是基本相同的．求函数值域的常用方法有：(1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出所求函数的值域；如求函数y ＝4－x 2的值域时，由x 2≥0及4－x 2≥0知4－x 2∈[0,2]，故所求的函数值域为[0,2]．(2)数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于图像的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法．如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键．如求函数y ＝1x 2＋2的值域时，若令u ＝x 2＋2，则y ＝1u(u ≥2)，可借助反比例函数的图像，易得0<y ≤12，所以函数y ＝1x 2＋2的值域为(0，12]．(3)配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，这里要特别注意给定区间求二次函数的值域问题．如求函数y ＝x －2x ＋3的值域，因为y ＝x －2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2，故所求的值域为[2，＋∞)．(4)换元法：对于形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d ∈R ，ac ≠0)的函数，往往通过换元，将其转化为二次函数的形式求值域．如求函数y ＝x －2x ＋3的值域，我们可以令x ＝t (t ≥0)，得y ＝t 2－2t ＋3，即y ＝(t －1)2＋2(t ≥0)，结合二次函数的图像可知，所求函数的值域为[2，＋∞)．(5)判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程F (x ，y )＝0，通过方程有实数根，判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域，形如y ＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1a 2x 2＋b 2x ＋c 2(a 1，a 2不同时为零)的函数的值域，常用此方法求解．(6)分离常数法：对于形如y ＝cx ＋d ax ＋b 的函数，可将其变形为y ＝k ＋hax ＋b的形式，结合反比例函数的图像和图像平移的有关知识求出值域．例如：求函数y ＝1－x2x ＋5的值域．由于y ＝1－x 2x ＋5＝－12 2x ＋5 ＋722x ＋5＝－12＋722x ＋5，因为722x ＋5≠0，所以y ≠－12.所以函数y ＝1－x 2x ＋5的值域为{y |y ∈R ，且y ≠－12}．2．2 函数的表示法(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能(1)明确函数的三种表示方法．(2)会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数． (3)通过具体实例，了解简单的分段函数及应用． 2．过程与方法学习函数的表示形式，其目的不仅是为研究函数的性质和应用，而且是为加深理解函数概念的形成过程．3．情感、态度与价值观让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法 ●重点难点重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图像．本节课重点的突破方法是充分利用信息技术，为学生创设丰富的数形结合环境，帮助学生更深刻地理解函数表示法．例如，可以补充部分函数，让学生用计算机或计算器画出它们的图像．对于难点，其突破方法是教学中不必要求学生一次完成认识，可以根据学生的具体情况，采取不同的要求，要遵循循序渐进的原则．(教师用书独具)●教学建议教材从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法、图像法、列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图像的直观作用．在研究图像时，又要注意代数刻画，以求思考和表述的精确性．●教学流程创设情景，揭示课题，通过已学过的函数的概念引出其表示方法⇒研究新知，明确三种表示方法的优缺点⇒完成例1及其变式训练，掌握函数图像的作法⇒通过例2及其变式训练，掌握待定系数法、换元法、配凑法等方法求函数的解析式⇒学习分段函数及其表示，明确分段函数也是一个函数，只是自变量范围不同表达式不一样⇒完成例3及变式训练，注意根据函数值求自变量时所求得的值是否在相应的自变量的取值范围内⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔．每支铅笔的价格为0.5元，共需y元．于是y与x间建立起了一个函数关系．1．函数的定义域是什么？【提示】{1,2,3,4,5}．2．y与x的关系是什么？【提示】y＝0.5x，x∈{1,2,3,4,5}．3．试用表格表示铅笔数x与钱数y之间的关系．【提示】4.【提示】如果笔记本数不超过5本时，每本按5元，如果笔记本数超过5本时，超出的部分按每本4.5元(买的笔记本数不超过10本)．1．该函数能用解析法表示吗？怎样表示？【提示】能．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5x ，x ∈{1，2，3，4，5}，25＋ x －5 ×4.5，x ∈{6，7，8，9，10}.2．上面解析法表示的两段函数能说成是两个函数吗？【提示】不能．在函数的定义域内，如果对于自变量x 的不同取值范围有着不同的对应关系，那么这样的函数通常叫做分段函数.作出下列函数的图像．(1)y ＝1＋x (x ∈Z)； (2)y ＝x 2－2x (x ∈[0,3))； (3)y ＝2x，x ∈[2，＋∞)．【思路探究】用描点法作图，但要注意定义域对图像的影响．【自主解答】 (1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y ＝1＋x 上，如图(1)所示．(1) (2) (3)(2)因为0≤x<3，所以这个函数的图像是抛物线y＝x2－x介于0≤x<3之间的一部分，如图(2)所示．(3)当x＝2时，y＝1，其图像如图(3)所示．1．描点法作函数图像的“三步曲”：一列二描三连线用平滑的曲线将描出的点连接起来，得到函数图像在平面直角坐标系中描出表中相应的点取自变量的若干个值，求出相应函数值，列表2．作函数图像的注意事项：(1)应先确定函数的定义域，在定义域内作图；(2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像；(3)要标出某些关键点．例如，图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等，注意分清这些关键的点是实心点还是空心点．求作y＝|x2＋3x－4|的图像．【解】作出二次函数y＝x2＋3x－4的图像如图(1)，将x轴下方的部分翻折到x轴上方即得所求函数图像如图(2)．(1) (2)(1)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝4x －1，求函数f (x )的解析式．(2)若f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )．【思路探究】 (1)由于f (x )是一次函数，所以可设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，然后用待定系数法恒等求解；(2)可用换元法(或配凑法)求解．【自主解答】 (1)由于f (x )是一次函数，可设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，依题意知，f [f (x )]＝4x －1，所以k (kx ＋b )＋b ＝4x －1，即k 2x ＋kb ＋b ＝4x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，k ＋1 b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1.所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(2)法一 (换元法)设x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1.故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二 (配凑法)f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1，又x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－1，x ≥1.1．已知函数模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等)求函数的解析式，常用待定系数法，其步骤为：(1)根据函数模型设出函数解析式； (2)根据题设求待定系数．2．已知f [g (x )]的解析式，求f (x )的解析式，常用方法如下：(1)换元法：令t ＝g (x )，然后求出f (t )的解析式，最后用x 代替t 即可．(2)配凑法：可通过配凑把f [g (x )]的解析式用g (x )来表示，再将解析式两边的g (x )用x 代替即可．(1)已知f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )的解析式为________． (2)已知2f (x )＋f (1x)＝x ，求f (x )．【解】 (1)令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，由题意得f (t )＝3(t －1)＋2＝3t －1， ∴f (x )＝3x －1. (2)∵2f (x )＋f (1x)＝x ，以1x 代替x 得2f (1x )＋f (x )＝1x，于是可得⎩⎪⎨⎪⎧2f x ＋f 1x＝x ，2f 1x ＋f x ＝1x ，解得f (x )＝23x －13x ，∴f (x )＝23x －13x.【答案】 (1)f (x )＝3x －1 (2)f (x )＝23x －13x已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，π，x ＝0，0，x <0求f (－1)，f (f (－1))，f (f (f (－1)))．【思路探究】由f (x )的解析式令x ＝－1求出f (－1)及f (f (－1))的值，进而求出f (f (f (－1)))的值．【自主解答】 x ＝－1<0，∴f (－1)＝0，f (f －1))＝f (0)＝π， f (f (f (－1)))＝f (π)＝π＋1.1．给定自变量求函数值时，应根据自变量所在的范围，利用相应的解析式直接求值； 2．若给函数值求自变量，则应根据每一段的解析式分别求解，但应注意要检验求得的值是否在相应的自变量取值范围内．(1)(2012·江西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.139(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1 x ≥0 ，－2x x <0 ，若f (x )＝10，则x ＝________.【解析】 (1)f (3)＝23，f (f (3))＝f (23)＝139.(2)当x ≥0时，f (x )＝x 2＋1＝10，解得x ＝3或x ＝－3(舍去)；当x <0时，f (x )＝－2x ＝10，解得x ＝－5.综上得x ＝－5或3.【答案】 (1) (2)－5或3忽略变量的实际意义而致误如图2－2－2所示，在矩形ABCD 中，BA ＝3，CB ＝4，点P 在AD 上移动，CQ ⊥BP ，Q 为垂足．设BP ＝x ，CQ ＝y ，试求y 关于x 的函数表达式，并画出函数的图像．图2－2－2【错解】由题意得△CQB ∽△BAP ，所以CQ BA ＝CB BP ，即y 3＝4x ，所以y ＝12x.故所求的函数表达式为y ＝12x，其图像如图所示．【错因分析】没有考虑x 的实际意义，扩大了x 的取值范围导致出错．【防范措施】从实际问题中得到的函数，求其定义域时，不仅要使函数有意义，而且还要使实际问题有意义．【正解】由题意得△CQB ∽△BAP ，所以CQ BA ＝CB BP ，即y 3＝4x .所以y ＝12x.因为BA ≤BP ≤BD ，而BA ＝3，BD ＝32＋42＝5，所以3≤x ≤5，故所求的函数表达式为y ＝12x(3≤x ≤5)．如图所示，曲线MN 就是所求的图像．1．一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图像，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．2．求函数的解析式的关键是理解对应关系f 的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．3．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集.1．某汽车司机看见前方约50米处有行人穿过马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车过程中，汽车速度v 是关于刹车时间t 的函数，其图像可能是()【解析】刹车过程中，汽车速度呈下降趋势，排除选项C ，D ；由于是紧急刹车，则汽车速度下降非常快，则图像较陡，排除选项B ，故选A.【答案】 A2．若f [g (x )]＝6x ＋3，且g (x )＝2x ＋1，则f (x )等于( ) A ．3 B ．3x C ．3x ＋6 D ．6x ＋3 【解析】由已知，得f [g (x )]＝6x ＋3 ＝3(2x ＋1)＝3g (x )，所以f (x )＝3x . 【答案】 B3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥0，1x，x <0，则f [f (12)]＝________.【解析】 f (12)＝(12)2－1＝－34，故f [f (12)]＝f (－34)＝1－34＝－43.【答案】－434．2013赛季中国足球超级联赛拉开了大幕．某同学购买x (x ∈{1,2,3,4,5})张价格为20元的首场比赛的门票，需要y 元．试用函数的三种表示方法将y 表示成x 的函数．【解】 (1)列表法：。

高考数学一轮复习第2章基本初等函数、导数及其应用第9讲函数与方程教案理北师大版

2．会用判断函数零点个数的三种方法 (1)直接求零点：令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
第二章基本初等函数、导数及其应用
第9讲函数与方程
1．函数零点的定义对于函数 y＝f(x)(x∈D)，把使_f_(x_)_＝__0__成立的实数 x 叫做函
数 y＝f(x)(x∈D)的零点．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
(2)因为 f(x)为偶函数，所以当 x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，所以 f(－x)＝x2，即 f(x)＝x2. 又 f(x－1)＝f(x＋1)，所以 f(x＋2)＝f(x)，
故 f(x)是以 2 为周期的周期函数，据此在同一坐标系中作出
函数 y＝f(x)与 y＝110x在0，130上的图像如图所示，数形
2.(1)已知函数 f(x)＝21x＋－lo1g，2xx，≤x1＞，1，则函数 f(x)的零点为( D )
A.12，0
B．－2，0
C.12
D．0
(2)(2016·南昌模拟)已知函数 f(x)＝（－x）21，x≤0，函数 log5x，x>0，
3．明确三个等价关系(三者相互转化)
1．(2016·河南省适应性模拟练习)在2kπ ＋π2 ，2kπ ＋π ，

全国统考2022高考数学一轮复习第二章函数2.9函数模型及其应用学案理含解析北师大版20210329

2.9函数模型及其应用必备知识预案自诊知识梳理1.常见的函数模型(1)一次函数模型:f (x )=kx+b (k ,b 为常数,k ≠0);(2)二次函数模型:f (x )=ax 2+bx+c (a ,b ,c 为常数,a ≠0);(3)反比例函数模型:f (x )=k x (k 为常数,k ≠0);(4)指数型函数模型:f (x )=ab x +c (a ,b ,c 为常数,a ≠0,b>0,b ≠1); (5)对数型函数模型:f (x )=m log a x+n (m ,n ,a 为常数,m ≠0,a>0,a ≠1);(6)幂型函数模型:f (x )=ax n +b (a ,b ,n 为常数,a ≠0);(7)分段函数模型:y={ f 1(x),x ∈D 1,f 2(x),x ∈D 2,f 3(x),x ∈D 3;(8)对勾函数模型:y=x+a x (a 为常数,a>0). 2.指数、对数、幂函数模型的性质比较性质函数y=a x (a>1) y=log a x(a>1)y=xα(α>0)在(0,+∞)内的增减性增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x的增大逐渐表现为与平行随x的增大逐渐表现为与平行随α值变化而各有不同值的比较存在一个x0,当x>x0时,有log a x<x α<a x考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)幂函数增长比一次函数增长更快.()(2)在(0,+∞)内,随着x的增大,y=a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度.()(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题.()(4)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,恒有h(x)<f(x)<g(x).()(5)“指数爆炸”是指数型函数y=a·b x+c(a>0,b>1)增长速度越来越快的形象比喻.()2.(2020某某潍坊临朐模拟二,3)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量加油时的累计里(升) 程(千米)2020年5月12 35 0001日2020年5月48 35 60015日注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()A.6升B.8升C.10升D.12升3.(2020平谷二模,9)溶液酸碱度是通过pH计算的,pH的计算公式为pH=-lg [H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升,若人体胃酸中氢离子的浓度为2.5×10-2摩尔/升,则胃酸的pH是()(参考数据:lg 2≈0.301 0)A.1.398B.1.204C.1.602D.2.6024.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x 为8万元时,奖励1万元,销售额x 为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=a log 4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为万元.5.(2020某某期中质检,13)在一个房间使用某种消毒剂后,该消毒剂中的某种药物含量y (单位:mg/m 3)随时间t (单位:h)变化的规律可表示为y={at,0<t <12,1at ,t ≥12,(a>0)如图所示,则a=.实验表明,当房间中该药物含量不超过0.75 mg/m 3时对人体无害,为了不使人体受到该药物的伤害,则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过小时方可进入.关键能力学案突破考点利用函数图像刻画实际问题【例1】(2020东城一模,10)假设存在两个物种,前者有充足的食物和生存空间,而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者,后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以x(t)表示,被捕食者的数量以y(t)表示.如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系,其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是()A.若在t1,t2时刻满足:y(t1)=y(t2),则x(t1)=x(t2)B.如果y(t)数量是先上升后下降的,那么x(t)的数量一定也是先上升后下降C.被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D.被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,捕食者的数量也会达到最大值解题心得用函数图像刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(单调性、最值等)、图像(增加、减少的缓急等)相吻合即可.对点训练1(2020顺义一模,14)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y,观影人数记为x,其函数图像如图1所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图2、图3中的实线分别为调整后y与x的函数图像.给出下列四种说法:①图2对应的方案是:提高票价,并提高成本;②图2对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;③图3对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;④图3对应的方案是:提高票价,并降低成本.其中,正确的说法是.(填写所有正确说法的编号)考点已知函数模型解决实际问题【例2】(1)(2020全国3,理4)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic 模型:I(t)=K1+e-0.23(t-53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为()(参考数据:ln 19≈3)A.60B.63C.66D.69(2)(2020人大附中二模,15)对于某种类型的口服药,口服x小时后,由消化系统进入血液中药物浓度y(单位:单位)与时间x(单位:小时)的关系为y=k(e-at-e-bt),其中k>0,b>a>0为常数,对于某一种药物k=4,a=1,b=2.①口服药物后小时血液中药物浓度最高;②这种药物服药n(n∈N+)小时后血液中药物浓度如下表,n 1 2 3 4 5 6 7 8f(n)0.954 5 0.930 40.693 20.468 00.301 00.189 20.116 30.072一个病人上午8:00第一次服药,要使得病人血液中药物浓度保持在0.5个单位以上,第三次服药时间是.(时间以整点为准)解题心得利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数模型,或可确定其函数模型的图像,求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值,再用求得的函数解析式解决实际问题.对点训练2(1)(2020房山区二模,9)把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1℃,空气的温度是θ0℃,经过t分钟后物体的温度θ℃可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt求得,其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数.现有80 ℃的物体,放在20 ℃的空气中冷却,4分钟以后物体的温度是40 ℃,则k约等于(参考数据:ln 3≈1.099)()A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3(2)对于一个声强为I(单位:W/m2)的声波,其声强级L(单位:dB)可由如下公式计算:L=10lg II0(其中I0是能引起听觉的最弱声强).设声强为I1时的声强级为70 dB,声强为I2时的声强级为60 dB,则I1是I2的倍.考点构建函数模型解决实际问题(多考向探究)考向1二次函数模型【例3】(2020某某省实验中学月考)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元,0.5万元.(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系;(2)若该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?解题心得在现实生活中,很多问题涉及的两个变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型,利用二次函数的图像与单调性解决.对点训练3经市场调查,某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t (单位:天)的函数,且日销售量近似地满足g (t )=-13t+1123(1≤t ≤100,t ∈N ).前40天价格为f (t )=14t+22(1≤t ≤40,t ∈N ),后60天价格为f (t )=-12t+52(41≤t ≤100,t ∈N ),试求该商品的日销售额S (t )的最大值和最小值.考向2分段函数模型【例4】国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30人或30人以下,飞机票每X 收费900元;若每团人数多于30人,则给予优惠:每多1人,机票每X 减少10元,直到达到规定人数75人为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数;(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?解题心得1.在现实生活中,很多问题的两个变量之间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数.如出租车票价与路程之间的关系就是分段函数.2.分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起.要注意各段变量的X围,特别是端点.对点训练4已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万元,每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完,每万部的销售收入为R(x)万元,且R(x)={400-6x,0<x≤40, 7400x-40000x2,x>40.(1)写出年利润W(单位:万元)关于年产量x(单位:万部)的函数解析式;(2)当年产量为多少万部时,该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.考向3指数型、对数型函数模型【例5】某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答以下问题:(1)写出该城市人口总数y(单位:万人)与年份x(单位:年)的函数关系式;(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人.(精确到1年)(参数数据:1.01210≈1.127,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210,log1.0121.2≈15.3)解题心得1.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与参考数据对应求解.2.有关对数型函数的应用题,一般都会给出函数解析式,要求根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据值回答其实际意义.对点训练5(1)(2020东城一模,9)已知某池塘中的荷花每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍,若荷叶20天可以完全长满池塘水面,则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶已生长了()A.10天B.15天C.19天D.2天(2)(2020延庆一模,9)某企业生产A,B两种型号的产品,每年的产量分别为10万支和40万支,为了扩大再生产,决定对两种产品的生产线进行升级改造,预计改造后的A,B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%,那么至少经过多少年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量(取lg 2≈0.301 0)()A.6年B.7年C.8年D.9年1.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;(3)解模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将数学结论还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下:2.实际问题中往往涉及一些最值问题,我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值.1.解应用题的关键是审题,不仅要明白、理解问题讲的是什么,还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”),学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读,导致题目不会做或函数解析式写错.2.解应用题建模后一定要注意定义域.3.解决完数学模型后,注意转化为实际问题写出总结答案.2.9 函数模型及其应用必备知识·预案自诊知识梳理2.递增递增递增 y 轴 x 轴考点自诊1.(1)× (2)√(3)√(4)√(5)√2.B 因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量V=48升.而这段时间内行驶的里程数S=35600-35000=600(千米).所以这段时间内,该车每100千米平均耗油量为48600×100=8(升),故选B . 3.C 依题意pH =-lg(2.5×10-2)=-lg 2.5100=lg 1002.5=lg40=lg(4×10)=lg4+lg10=2lg2+1≈2×0.3010+1=1.602.故选C .4.1 024依题意得{alog 48+b =1,alog 464+b =4,即{32a +b =1,3a +b =4.解得a=2,b=-2.则y=2log 4x-2,当y=8时,即2log 4x-2=8,解得x=1024.5.223由图像可知,当t=12时,y=1,即2a =1,解得a=2.当t ≥12时,y=12t ,令y ≤0.75,得t ≥23.关键能力·学案突破例1C 由图可知,曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等,故选项A 不正确;在曲线上半段中观察到y (t )是先上升后下降,而x (t )是不断变小的,故选项B 不正确;捕食者数量最大时是在图像最右端,最小值是在图像最左端,此时都不是被捕食者的数量的最值处,同样被捕食者的数量最大是在图像最上端,最小是在图像最下端,也不是捕食者数量取最值的时候,所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大值和最小值,故选项C 正确;当捕食者数量最大时在图像最右端,x (t )∈(25,30),y (t )∈(0,50),此时二者总和x (t )+y (t )∈(25,80),由图像可知存在点x (t )=10,y (t )=100,x (t )+y (t )=110,所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,捕食者数量也会达到最大值,故D 错误.对点训练1②③由图1可设盈利额y 与观影人数x 的函数为y=kx+b ,k>0,b<0,即k 为票价,当k=0时,y=b ,则-b 为固定成本,由图2知,直线向上平移,k 不变,即票价不变,b 变大,则-b 变小,成本减小.故①错误,②正确;由图3知,直线与y 轴的交点不变,直线斜率变大,k 变大,即提高票价,b 不变,则-b 不变,成本不变.故③正确,④错误.例2(1)C(2)①ln 2②15:00(1)由K1+e -0.23(t *-53)=0.95K ,得e -0.23(t*-53)=119,两边取以e 为底的对数,得-0.23(t *-53)=-ln19≈-3,所以t *≈66.(2)①将k=4,a=1,b=2代入可得y=4(e -t -e -2t )=-41e 2t−1e t =-41e t−122+1,所以当1e t=12时,即t=ln2时y 取得最大值.②病人上午8:00第一次服药3小时后血液中药物浓度将低于0.5个单位,则第二次服药时间在11:00;第一次服药后7个小时后药物残留为0.1163,第二次服药后4小时的药物残留为0.4680,而0.1163+0.4680=0.5843>0.5.第一次服药后8小时的药物残留为0.072,第二次服药后5小时的药物残留为0.3010,而0.072+0.3010=0.3730<0.5.综上可知,第三次服药时间为第一次服药后的7小时,即为15:00.对点训练2(1)D(2)10(1)由题知,80℃的物体,放在20℃的空气中冷却,4分钟以后物体的温度是40℃,则40=20+(80-20)e -4k ,从而e -4k =13,则-4k=ln 13=-ln3,得k=14ln3≈1.0094≈0.3.故选D .(2)依题意,可知70=10lg I 1I 0,60=10lg I2I 0,所以70-60=10lg I 1I 0-10lg I 2I 0,则1=lg I 1I 2,所以I1I 2=10.例3解(1)设投资额为x (x ≥0),则两类产品的收益与投资的函数关系分别为f (x )=k 1x ,g (x )=k 2√x .由已知得f (1)=18=k 1,g (1)=12=k 2,所以f (x )=18x (x ≥0),g (x )=12√x (x ≥0).(2)设投资股票类产品为x (0≤x ≤20)万元,则投资债券类产品为(20-x )万元.依题意得y=f (20-x )+g (x ) =20-x 8+12√x =-x+4√x+208=-(√x -2)2+248(0≤x ≤20).所以当√x =2,即x=4时,收益最大,y max =3万元.故投资债券类产品16万元,投资股票类产品4万元时获得最大收益,为3万元.对点训练3解由题意知,S (t )=g (t )f (t ).S (t )={(-13t +1123)(14t +22),1≤t ≤40,t ∈N,(-12t +52)(-13t +1123),41≤t ≤100,t ∈N, 当1≤t ≤40,t ∈N 时,S (t )=-112(t-12)2+25003,则S (40)≤S (t )≤S (12),即768≤S (t )≤25003,当41≤t ≤100,t ∈N 时,S (t )=16(t-108)2-83,则S (100)≤S (t )≤S (41),即8≤S (t )≤14912,综上,当t=12时,S (t )取最大值为25003;当t=100时S (t )取最小值为8.例4解(1)设旅行团人数为x 人,由题意得0<x ≤75(x ∈N *),飞机票价为y 元,则y={900,0<x ≤30,900-10(x -30),30<x ≤75,即y={900,0<x ≤30,1200-10x,30<x ≤75.(2)设旅行社获利S 元,则S={900x -15000,0<x ≤30,x(1200-10x)-15000,30<x ≤75,即S={900x -15000,0<x ≤30,-10(x -60)2+21000,30<x ≤75,因为S=900x-15000在区间(0,30]上单调递增,故当x=30时,S 取最大值12000.又因为S=-10(x-60)2+21000的对称轴为x=60,所以当x=60时,S 在区间(30,75]上取最大值21000.故每团人数为60时,旅行社可获得最大利润.对点训练4解(1)当0<x ≤40时,W=xR (x )-(16x+40)=-6x 2+384x-40,当x>40时,W=xR (x )-(16x+40)=-40000x-16x+7360.所以W={-6x 2+384x -40,0<x ≤40,-40000x -16x +7360,x >40.(2)①当0<x ≤40时,W=-6(x-32)2+6104.所以当x=32时,W 取最大值,W max =6104;②当x>40时,W=-40000x-16x+7360,由于40000x+16x ≥2√40000x×16x =1600,当且仅当40000x=16x ,即x=50时,取等号,所以W 取最大值为5760.综合①②,当x=32时,W 取最大值为6104万元.故当年产量为32万部时,该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大,最大利润为6104万元.例5解(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%).2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2.3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)3.……x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x.所以该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式是y=100×(1+1.2%)x(x∈N*).(2)10年后该城市人口总数为100×(1+1.2%)10≈112.7(万).所以10年后该城市人口总数约为112.7万.(3)设x年后该城市人口将达到120万人,即100(1+1.2%)x≥120,1.012x≥120100,所以x≥log1.012120100=log1.0121.2≈15.3≈16(年).即大约16年后该城市人口总数将达到120万人.对点训练5(1)C(2)B(1)设荷叶覆盖水面的初始面积为a,则x天后荷叶覆盖水面的面积y=a·2x(x∈N*),根据题意,令a·2x=12a·220,解得x=19,故选C.(2)设至少经过n年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量,则10×(1+50%)n>40×(1+20%)n,化简得54n>4,取对数可得n>2lg2lg5-2lg2≈2×0.30101-3×0.3010≈7.故至少经过7年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量.。

数学一轮复习第二章函数2.9函数模型及其应用学案理

2.9函数模型及其应用必备知识预案自诊知识梳理1.常见的函数模型（1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0)；(2)二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c（a，b,c为常数,a≠0）；(3）反比例函数模型:f（x）=kk（k为常数，k≠0)；（4）指数型函数模型：f(x)=ab x+c（a，b,c为常数,a≠0，b〉0，b≠1）；（5)对数型函数模型：f(x）=m log a x+n（m,n，a为常数,m≠0,a〉0,a≠1);（6)幂型函数模型：f(x）=ax n+b(a,b，n为常数,a≠0）；(7）分段函数模型：y={k1(k),k∈k1,k2(k),k∈k2,k3(k),k∈k3;（8）对勾函数模型:y=x+kk（a为常数，a>0）。

2。

指数、对数、幂函数模型的性质比较性质函数y=a x(a>1）y=log a x（a〉1)y=xα（α〉0）在(0，+∞)内的增减性增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x的增大逐渐表现为与平行随x的增大逐渐表现为与平行随α值变化而各有不同值的比较存在一个x0,当x〉x0时，有log a x<xα〈a x考点自诊1。

判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×"。

(1）幂函数增长比一次函数增长更快。

（) (2）在（0，+∞）内,随着x的增大，y=a x（a〉1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α〉0)的增长速度.（）(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题。

()（4)f（x)=x2,g(x)=2x,h（x）=log2x,当x∈（4,+∞）时，恒有h(x）〈f(x)〈g(x）。

（）(5)“指数爆炸”是指数型函数y=a·b x+c(a>0，b>1)增长速度越来越快的形象比喻。

(）2。

(2020山东潍坊临朐模拟二,3）某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况。

北师大版版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数函数的奇偶性及周期性教学案理

一、知识梳理１．函数的奇偶性（１）周期函数：对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么就称函数y＝f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期．（２）最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．常用结论１．函数奇偶性的常用结论（１）奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．（２）若奇函数f（x）在x＝0处有定义，则f（0）＝0．（３）如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（|x|）．（４）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．（５）在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．２．函数周期性常用结论对f（x）定义域内任一自变量的值x：（１）若f（x＋a）＝—f（x），则T＝２a（a>0）．（２）若f（x＋a）＝错误!，则T＝２a（a>0）．（３）若f（x＋a）＝—错误!，则T＝２a（a>0）．二、教材衍化１．下列函数中为偶函数的是（）Ａ．y＝x２sin x B．y＝x２cos xＣ．y＝|ln x| Ｄ．y＝２—x解析：选Ｂ．根据偶函数的定义知偶函数满足f（—x）＝f（x）且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为（0，＋∞），不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选Ｂ．２．已知函数f（x）是奇函数，且在（0，＋∞）上是减函数，且在区间[a，b]（a<b<0）上的值域为[—３，４]，则在区间[—b，—a]上的值域为________．解析：法一：根据题意作出y＝f（x）的简图，由图知函数f（x）在[—b，—a]上的值域为[—４，３]．法二：当x∈[—b，—a]时，—x∈[a，b]，由题意得f（b）≤f（—x）≤f（a），即—３≤—f（x）≤４，所以—４≤f（x）≤３，即在区间[—b，—a]上的值域为[—４，３]．答案：[—４，３]３．设f（x）是定义在R上的周期为２的函数，当x∈[—１，１）时，f（x）＝错误!则f错误!＝________．解析：f错误!＝f错误!＝f错误!＝—４×错误!错误!＋２＝１．答案：１一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）若f（x）是定义在R上的奇函数，则f（—x）＋f（x）＝0．（）（２）偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．（）（３）如果函数f（x），g（x）为定义域相同的偶函数，则F（x）＝f（x）＋g（x）是偶函数．（）（４）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．（）（５）若T是函数的一个周期，则nT（n∈Z，n≠0）也是函数的周期．（）（6）函数f（x）在定义域上满足f（x＋a）＝—f（x）（a>0），则f（x）是周期为２a的周期函数．（）答案：（１）√（２）×（３）√（４）√（５）√（6）√二、易错纠偏错误!错误!（１）利用奇偶性求解析式时忽视定义域；（２）忽视奇函数的对称性；（３）忽视定义域的对称性．１．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f（x）＝x２＋４x—３，则函数f（x）的解析式为f（x）＝________．解析：设x<0，则—x>0，所以f（x）＝—f（—x）＝—[（—x）２＋４（—x）—３]＝—x２＋４x ＋３，由奇函数的定义可知f（0）＝0，所以f（x）＝错误!答案：错误!２．设奇函数f（x）的定义域为[—５，５]，若当x∈[0，５]时，f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）<0的解集为________．解析：由题图可知，当0<x<２时，f（x）>0；当２<x≤５时，f（x）<0，又f（x）是奇函数，所以当—２<x<0时，f（x）<0，当—５≤x<—２时，f（x）>0．综上，f（x）<0的解集为（—２，0）∪（２，５]．答案：（—２，0）∪（２，５]３．已知f（x）＝ax２＋bx是定义在[a—１，２a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．解析：因为f（x）＝ax２＋bx是定义在[a—１，２a]上的偶函数，所以a—１＋２a＝0，所以a＝错误!.又f（—x）＝f（x），所以b＝0，所以a＋b＝错误!.答案：错误!函数的奇偶性（多维探究）角度一判断函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性：（１）f（x）＝错误!；（２）f（x）＝错误!＋错误!；（３）f（x）＝错误!；（４）f（x）＝错误!【解】（１）由f（x）＝错误!，可知错误!⇒错误!故函数f（x）的定义域为（—6，0）∪（0，6]，定义域不关于原点对称，故f（x）为非奇非偶函数．（２）由错误!⇒x２＝１⇒x＝±１，故函数f（x）的定义域为{—１，１}，关于原点对称，且f（x）＝0，所以f（—x）＝f（x）＝—f（x），所以函数f（x）既是奇函数又是偶函数．（３）由错误!⇒—１<x<0或0<x<１，定义域关于原点对称．此时f（x）＝错误!＝错误!＝—错误!，故有f（—x）＝—错误!＝错误!＝—f（x），所以函数f（x）为奇函数．（４）法一：图象法画出函数f（x）＝错误!的图象如图所示，图象关于y轴对称，故f（x）为偶函数．法二：定义法易知函数f（x）的定义域为（—∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，当x>0时，f（x）＝x２—x，则当x<0时，—x>0，故f（—x）＝x２＋x＝f（x）；当x<0时，f（x）＝x２＋x，则当x>0时，—x<0，故f（—x）＝x２—x＝f（x），故原函数是偶函数．法三：f（x）还可以写成f（x）＝x２—|x|（x≠0），故f（x）为偶函数．角度二函数奇偶性的应用（１）（２0１9·高考全国卷Ⅱ）已知f（x）是奇函数，且当x<0时，f（x）＝—e ax，若f（ln ２）＝8，则a＝________．（２）函数f（x）在R上为奇函数，且x>0时，f（x）＝x＋１，则当x<0时，f（x）＝________．（３）（２0２0·湖南永州质检）已知函数f（x）＝x３＋sin x＋１（x∈R），若f（a）＝２，则f（—a）＝________．【解析】（１）当x>0时，—x<0，f（—x）＝—e—ax.因为函数f（x）为奇函数，所以当x>0时，f（x）＝—f（—x）＝e—ax，所以f（ln ２）＝e—a ln ２＝错误!错误!＝8，所以a＝—３．（２）因为f（x）为奇函数，当x>0时，f（x）＝x＋１，所以当x<0时，—x>0，f（x）＝—f（—x）＝—（—x＋１），即x<0时，f（x）＝—（—x＋１）＝x—１．（３）设F（x）＝f（x）—１＝x３＋sin x，显然F（x）为奇函数．又F（a）＝f（a）—１＝１，所以F（—a）＝f（—a）—１＝—１，从而f（—a）＝0．【答案】（１）—３（２）x—１（３）0错误!（１）判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：１定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；２判断f（x）与f（—x）是否具有等量关系．（２）已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f（x）±f（—x）＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而得出参数的值．１．设函数f（x）＝错误!，则下列结论错误的是（）Ａ．|f（x）|是偶函数Ｂ．—f（x）是奇函数Ｃ．f（x）|f（x）|是奇函数Ｄ．f（|x|）f（x）是偶函数解析：选Ｄ．因为f（x）＝错误!，则f（—x）＝错误!＝—f（x）．所以f（x）是奇函数．因为f（|—x|）＝f（|x|），所以f（|x|）是偶函数，所以f（|x|）f（x）是奇函数．２．（２0２0·贵阳检测）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝log２（x＋２）—１，则f（—6）＝（）Ａ．２Ｂ．４Ｃ．—２Ｄ．—４解析：选Ｃ．根据题意得f（—6）＝—f（6）＝１—log２（6＋２）＝１—３＝—２．３．已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（—１）＋g（１）＝２，f（１）＋g（—１）＝４，则g（１）等于________．解析：f（—１）＋g（１）＝２，即—f（１）＋g（１）＝２１，f（１）＋g（—１）＝４，即f（１）＋g（１）＝４２，由１２得，２g（１）＝6，即g（１）＝３．答案：３函数的周期性（师生共研）（１）（２0２0·江西临川第一中学期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f（x—２）＝f（x＋２），当x∈（0，２）时，f（x）＝—x２，则f错误!＝（）Ａ．—错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）（２0２0·开封模拟）已知函数f（x）＝错误!如果对任意的n∈N+，定义f n（x）＝，那么f２0１6（２）的值为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３【解析】（１）因为f（x—２）＝f（x＋２），所以f（x）＝f（x＋４），所以f（x）是周期为４的周期函数，所以f错误!＝f错误!＝f错误!，又函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f错误!＝—f错误!＝—错误!＝错误!，所以f错误!＝错误!.故选Ｄ．（２）因为f１（２）＝f（２）＝１，f２（２）＝f（１）＝0，f３（２）＝f（0）＝２，所以f n（２）的值具有周期性，且周期为３，所以f２0１6（２）＝f３×67２（２）＝f３（２）＝２，故选Ｃ．【答案】（１）D （２）C错误!函数周期性的判定与应用（１）判定：判断函数的周期性只需证明f（x＋T）＝f（x）（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T.（２）应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT（k∈Z且k≠0）也是函数的周期．１．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝—f（x＋２），当x∈（0，２]时，f（x）＝２x＋log ２x，则f（２0１9）＝（）Ａ．５Ｂ．错误!Ｃ．２Ｄ．—２解析：选Ｄ．由f（x）＝—f（x＋２），得f（x＋４）＝f（x），所以函数f（x）是周期为４的周期函数，所以f（２0１9）＝f（５0４×４＋３）＝f（３）＝f（１＋２）＝—f（１）＝—（２＋0）＝—２．２．函数f（x）满足f（x＋４）＝f（x）（x∈R）．且在区间（—２，２]上，f（x）＝错误!则f（f（１５））的值为________．解析：由函数f（x）满足f（x＋４）＝f（x）（x∈R），可知函数f（x）的周期是４，所以f（１５）＝f（—１）＝错误!＝错误!，所以f（f（１５））＝f错误!＝cos错误!＝错误!.答案：错误!函数性质的综合问题（多维探究）角度一单调性与奇偶性的综合问题（２0１9·高考全国卷Ⅲ）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，＋∞）单调递减，则（）Ａ．f错误!>f（２—错误!）>f（２—错误!）Ｂ．f错误!>f（２—错误!）>f（２—错误!）Ｃ．f（２—错误!）>f（２—错误!）>f错误!Ｄ．f（２—错误!）>f（２—错误!）>f错误!【解析】根据函数f（x）为偶函数可知，f（log３错误!）＝f（—log３４）＝f（log３４），因为0<２—错误!<２—错误!<２0<log３４，且函数f（x）在（0，＋∞）单调递减，所以f（２—错误!）>f（２—错误!）>f（log３错误!）．【答案】C角度二周期性与奇偶性的综合问题（２0２0·福建龙岩期末）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x＋１）＝—f（x—１），若f（—１）>１，f（５）＝a２—２a—４，则实数a的取值范围是（）Ａ．（—１，３）Ｂ．（—∞，—１）∪（３，＋∞）Ｃ．（—３，１）Ｄ．（—∞，—３）∪（１，＋∞）【解析】由f（x＋１）＝—f（x—１），可得f（x＋２）＝—f（x），则f（x＋４）＝f（x），故函数f（x）的周期为４，则f（５）＝f（１）＝a２—２a—４，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，f（—１）>１，所以f（１）<—１，所以a２—２a—４<—１，解得—１<a<３，故答案为Ａ．【答案】A角度三单调性、奇偶性与周期性的综合问题（１）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋１）＝—f（x），若f（x）在[—１，0]上递减，则f（x）在[１，３]上是（）Ａ．增函数Ｂ．减函数Ｃ．先增后减的函数Ｄ．先减后增的函数（２）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x—４）＝—f（x），且在区间[0，２]上是增函数，则（）Ａ．f（—２５）<f（１１）<f（80）Ｂ．f（80）<f（１１）<f（—２５）Ｃ．f（１１）<f（80）<f（—２５）Ｄ．f（—２５）<f（80）<f（１１）【解析】（１）根据题意，因为f（x＋１）＝—f（x），所以f（x＋２）＝—f（x＋１）＝f（x），所以函数f（x）的周期是２．又因为f（x）在定义域R上是偶函数，在[—１，0]上是减函数，所以函数f（x）在[0，１]上是增函数，所以函数f（x）在[１，２]上是减函数，在[２，３]上是增函数，所以f（x）在[１，３]上是先减后增的函数，故选Ｄ．（２）因为f（x）满足f（x—４）＝—f（x），所以f（x—8）＝f（x），所以函数f（x）是以8为周期的周期函数，则f（—２５）＝f（—１），f （80）＝f（0），f（１１）＝f（３）．由f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x—４）＝—f（x），得f（１１）＝f（３）＝—f（—１）＝f（１）．因为f（x）在区间[0，２]上是增函数，f（x）在R上是奇函数，所以f（x）在区间[—２，２]上是增函数，所以f（—１）<f（0）<f（１），即f（—２５）<f（80）<f（１１）．【答案】（１）D （２）D错误!函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略（１）函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（２）周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．（３）单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．１．已知定义域为R的偶函数f（x）在（—∞，0]上是减函数，且f（１）＝２，则不等式f（log２x）>２的解集为（）Ａ．（２，＋∞）Ｂ．错误!∪（２，＋∞）Ｃ．错误!∪（错误!，＋∞）Ｄ．（错误!，＋∞）解析：选Ｂ．f（x）是R上的偶函数，且在（—∞，0]上是减函数，所以f（x）在（0，＋∞）上是增函数，因为f（１）＝２，所以f（—１）＝２，所以f（log２x）>２⇔f（|log２x|）>f（１）⇔|log２x|>１⇔log２x>１或log２x<—１⇔x>２或0<x<错误!.故选Ｂ．２．已知f（x）是定义域为（—∞，＋∞）的奇函数，满足f（１—x）＝f（１＋x）．若f（１）＝２，则f（１）＋f（２）＋f（３）＋…＋f（５0）＝________．解析：法一：因为f（１—x）＝f（１＋x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝１对称．因为f（x）是奇函数，所以函数f（x）的图象关于坐标原点（0，0）中心对称．数形结合可知函数f（x）是以４为周期的周期函数．因为f（x）是（—∞，＋∞）上的奇函数，所以f（0）＝0．因为f（１—x）＝f（１＋x），所以当x＝１时，f（２）＝f（0）＝0；当x＝２时，f（３）＝f（—１）＝—f（１）＝—２；当x＝３时，f（４）＝f（—２）＝—f（２）＝0．综上，可得f（１）＋f（２）＋f（３）＋…＋f（５0）＝１２×[f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）]＋f（１）＋f（２）＝１２×[２＋0＋（—２）＋0]＋２＋0＝２．法二：取一个符合题意的函数f（x）＝２sin 错误!，则结合该函数的图象易知数列{f（n）}（n∈N*）是以４为周期的周期数列．故f（１）＋f（２）＋f（３）＋…＋f（５0）＝１２×[f（１）＋f（２）＋f （３）＋f（４）]＋f（１）＋f（２）＝１２×[２＋0＋（—２）＋0]＋２＋0＝２．答案：２奇偶函数的二次结论及应用结论一：若函数f（x）是奇函数，且g（x）＝f（x）＋c，则必有g（—x）＋g（x）＝２c.[结论简证]由于函数f（x）是奇函数，所以f（—x）＝—f（x），所以g（—x）＋g（x）＝f（—x）＋c＋f（x）＋c＝２c.对于函数f（x）＝a sin x＋bx＋c（其中a，b∈R，c∈Z），选取a，b，c的一组值计算f（１）和f（—１），所得出的正确结果一定不可能是（）Ａ．４和6 Ｂ．３和１Ｃ．２和４Ｄ．１和２【解析】设g（x）＝a sin x＋bx，则f（x）＝g（x）＋c，且函数g（x）为奇函数．注意到c∈Z，所以f（１）＋f（—１）＝２c为偶数．故选D.【答案】D错误!由上述例题可知，这类问题的求解关键在于观察函数的结构，构造出一个奇函数．有些问题是直观型的，直接应用即可，但有些问题是复杂型的，需要变形才能成功．结论二：若函数f（x）是奇函数，则函数g（x）＝f（x—a）＋h的图象关于点（a，h）对称．[结论简证]函数g（x）＝f（x—a）＋h的图象可由f（x）的图象平移得到，不难知结论成立．函数f（x）＝错误!＋错误!＋错误!的图象的对称中心为（）Ａ．（—４，6）Ｂ．（—２，３）Ｃ．（—４，３）Ｄ．（—２，6）【解析】设g（x）＝—错误!—错误!—错误!，则g（—x）＝—错误!—错误!—错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝—g（x），故g（x）为奇函数．易知f（x）＝３—错误!＝g（x＋２）＋３，所以函数f （x）的图象的对称中心为（—２，３）．故选Ｂ．【答案】B错误!此类问题求解的关键是从所给函数式中分离（或变形）出奇函数，进而得出图象的对称中心，然后利用图象的对称性实现问题的求解．结论三：若函数f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）．[结论简证]当x≥0时，|x|＝x，所以f（|x|）＝f（x）；当x<0时，f（|x|）＝f（—x），由于函数f（x）为偶函数，所以f（—x）＝f（x），故f（|x|）＝f（x）．综上，若函数f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）．（１）设函数f（x）＝ln（１＋|x|）—错误!，则使得f（x）>f（２x—１）成立的x的取值范围是________；（２）若偶函数f（x）满足f（x）＝x３—8（x≥0），则f（x—２）>0的条件为________．【解析】（１）易知函数f（x）的定义域为R，且f（x）为偶函数．当x≥0时，f（x）＝ln（１＋x）—错误!，易知此时f（x）是增加的．所以f（x）>f（２x—１）⇒f（|x|）>f（|２x—１|），所以|x|>|２x—１|，解得错误!<x<１．（２）由f（x）＝x３—8（x≥0），知f（x）在[0，＋∞）上是增加的，且f（２）＝0．所以，由已知条件可知f（x—２）>0⇒f（|x—２|）>f（２）．所以|x—２|>２，解得x<0或x>４．【答案】（１）错误!（２）{x|x<0或x>４}[基础题组练]１．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，＋∞）上递增的是（）Ａ．y＝错误!Ｂ．y＝|x|—１Ｃ．y＝lg xＤ．y＝错误!错误!解析：选Ｂ．y＝错误!为奇函数；y＝lg x的定义域为（0，＋∞），不具备奇偶性；y＝错误!错误!在（0，＋∞）上为减函数；y＝|x|—１在（0，＋∞）上为增函数，且在定义域上为偶函数．２．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝３x—7x＋２b（b为常数），则f（—２）＝（）Ａ．6 Ｂ．—6Ｃ．４Ｄ．—４解析：选Ａ．因为f（x）为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝３x—7x＋２b，所以f（0）＝１＋２b＝0，所以b＝—错误!.所以f（x）＝３x—7x—１，所以f（—２）＝—f（２）＝—（３２—7×２—１）＝6．选Ａ．３．已知函数y＝f（x），满足y＝f（—x）和y＝f（x＋２）是偶函数，且f（１）＝错误!，设F（x）＝f（x）＋f（—x），则F（３）＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．πＤ．错误!解析：选Ｂ．由y＝f（—x）和y＝f（x＋２）是偶函数知，f（—x）＝f（x），f（x＋２）＝f（—x ＋２）＝f（x—２），故f（x）＝f（x＋４），则F（３）＝f（３）＋f（—３）＝２f（３）＝２f（—１）＝２f（１）＝错误!，故选Ｂ．４．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x＋３）＝f（x）．若f（２）>１，f（7）＝a，则实数a的取值范围为（）Ａ．（—∞，—３）Ｂ．（３，＋∞）C．（—∞，—１）Ｄ．（１，＋∞）解析：选Ｄ．因为f（x＋３）＝f（x），所以f（x）是定义在R上的以３为周期的周期函数，所以f （7）＝f（7—9）＝f（—２）．又因为函数f（x）是偶函数，所以f（—２）＝f（２），所以f（7）＝f（２）>１，所以a>１，即a∈（１，＋∞）．故选D.５．（２0２0·湖南郴州质量检测）已知f（x）是定义在[２b，１—b]上的偶函数，且在[２b，0]上为增函数，则f（x—１）≤f（２x）的解集为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．[—１，１] Ｄ．错误!解析：选Ｂ．因为f（x）是定义在[２b，１—b]上的偶函数，所以２b＋１—b＝0，所以b＝—１，因为f（x）在[２b，0]上为增函数，即函数f（x）在[—２，0]上为增函数，故函数f（x）在（0，２]上为减函数，则由f（x—１）≤f（２x），可得|x—１|≥|２x|，即（x—１）２≥４x２，解得—１≤x≤错误!.又因为定义域为[—２，２]，所以错误!解得错误!综上，所求不等式的解集为错误!.故选Ｂ．6．若函数f（x）＝x ln（x＋错误!）为偶函数，则a＝________．解析：因为f（x）为偶函数，所以f（—x）—f（x）＝0恒成立，所以—x ln（—x＋错误!）—x ln （x＋错误!）＝0恒成立，所以x ln a＝0恒成立，所以ln a＝0，即a＝１．答案：１7．（２0２0·四川乐山模拟）已知函数f（x）满足：f（—x）＋f（x）＝0，且当x≥0时，f（x）＝错误!—１，则f（—１）＝____________．解析：因为f（—x）＋f（x）＝0，所以f（x）为奇函数，又当x≥0时，f（x）＝错误!—１，则f（0）＝错误!—１＝0，所以m＝—１．所以当x≥0时，f（x）＝错误!—１，所以f（—１）＝—f（１）＝—错误!＝错误!.答案：错误!8．定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（２—x）及f（x）＝—f（—x），且在[0，１]上有f（x）＝x２，则f错误!＝________．解析：函数f（x）的定义域是R，f（x）＝—f（—x），所以函数f（x）是奇函数. 又f（x）＝f（２—x），所以f（—x）＝f（２＋x）＝—f（x），所以f（４＋x）＝—f（２＋x）＝f（x），故函数f（x）是以４为周期的奇函数，所以f错误!＝f错误!＝f错误!＝—f错误!.因为在[0，１]上有f（x）＝x２，所以f错误!＝错误!错误!＝错误!，故f错误!＝—错误!.答案：—错误!9．已知函数f（x）＝错误!是奇函数．（１）求实数m的值；（２）若函数f（x）在区间[—１，a—２]上递增，求实数a的取值范围．解：（１）设x＜0，则—x＞0，所以f（—x）＝—（—x）２＋２（—x）＝—x２—２x.又f（x）为奇函数，所以f（—x）＝—f（x），于是x＜0时，f（x）＝x２＋２x＝x２＋mx，所以m＝２．（２）由（１）可画出f（x）的图象，知f（x）在[—１，１]上是增函数，要使f（x）在[—１，a—２]上递增．结合f（x）的图象知错误!所以１＜a≤３，故实数a的取值范围是（１，３]．１0．设f（x）是（—∞，＋∞）上的奇函数，f（x＋２）＝—f（x），当0≤x≤１时，f（x）＝x.（１）求f（π）的值；（２）当—４≤x≤４时，求f（x）的图象与x轴所围成的图形的面积．解：（１）由f（x＋２）＝—f（x），得f（x＋４）＝f[（x＋２）＋２]＝—f（x＋２）＝f（x），所以f（x）是以４为周期的周期函数．所以f（π）＝f（—１×４＋π）＝f（π—４）＝—f（４—π）＝—（４—π）＝π—４．（２）由f（x）是奇函数与f（x＋２）＝—f（x），得f[（x—１）＋２]＝—f（x—１）＝f[—（x—１）]，即f（１＋x）＝f（１—x）．从而可知函数y＝f（x）的图象关于直线x＝１对称．又当0≤x≤１时，f（x）＝x，且f（x）的图象关于原点成中心对称，则f（x）的图象如图所示．设当—４≤x≤４时，f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝４S△OAB＝４×错误!＝４．[综合题组练]１．（２0２0·广东湛江一模）已知函数g（x）＝f（２x）—x２为奇函数，且f（２）＝１，则f（—２）＝（）Ａ．—２Ｂ．—１Ｃ．１Ｄ．２解析：选Ｃ．因为g（x）为奇函数，且f（２）＝１，所以g（—１）＝—g（１），所以f（—２）—１＝—f（２）＋１＝—１＋１＝0，所以f（—２）＝１．故选Ｃ．２．函数y＝f（x）在[0，２]上是增加的，且函数f（x＋２）是偶函数，则下列结论成立的是（）Ａ．f（１）<f错误!<f错误!Ｂ．f错误!<f（１）<f错误!Ｃ．f错误!<f错误!<f（１）Ｄ．f错误!<f（１）<f错误!解析：选Ｂ．因为函数f（x＋２）是偶函数，所以f（x＋２）＝f（—x＋２），所以函数f（x）的图象关于x＝２对称，所以f错误!＝f错误!，f错误!＝f错误!.因为y＝f（x）在[0，２]上是增加的，且错误!<１<错误!，所以f错误!<f（１）<f错误!，即f错误!<f（１）<f错误!.３．（２0１9·高考全国卷Ⅱ）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x＋１）＝２f（x），且当x∈（0，１]时，f（x）＝x（x—１）．若对任意x∈（—∞，m]，都有f（x）≥—错误!，则m的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．当—１<x≤0时，0<x＋１≤１，则f（x）＝错误!f（x＋１）＝错误!（x＋１）x；当１<x≤２时，0<x—１≤１，则f（x）＝２f（x—１）＝２（x—１）（x—２）；当２<x≤３时，0<x—２≤１，则f（x）＝２f（x—１）＝２２f（x—２）＝２２（x—２）（x—３），…由此可得f（x）＝错误!由此作出函数f（x）的图象，如图所示．由图可知当２<x≤３时，令２２（x—２）·（x—３）＝—错误!，整理，得（３x—7）（３x—8）＝0，解得x＝错误!或x＝错误!，将这两个值标注在图中．要使对任意x∈（—∞，m]都有f（x）≥—错误!，必有m≤错误!，即实数m的取值范围是错误!，故选Ｂ．１f（x）是周期函数；２f（x）的图象关于x＝１对称；３f（x）在[１，２]上是减函数；４f（２）＝f（0），其中正确命题的序号是________．（请把正确命题的序号全部写出来）解析：因为f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意x，y∈R恒成立．令x＝y＝0，所以f（0）＝0．令x＋y＝0，所以y＝—x，所以f（0）＝f（x）＋f（—x）．所以f（—x）＝—f（x），所以f（x）为奇函数．因为f（x）在x∈[—１，0]上为增函数，又f（x）为奇函数，所以f（x）在[0，１]上为增函数．由f（x＋２）＝—f（x）⇒f（x＋４）＝—f（x＋２）⇒f（x＋４）＝f（x），所以周期T＝４，即f（x）为周期函数．f（x＋２）＝—f（x）⇒f（—x＋２）＝—f（—x）．又因为f（x）为奇函数，所以f（２—x）＝f（x），所以函数关于x＝１对称．由f（x）在[0，１]上为增函数，又关于x＝１对称，所以f（x）在[１，２]上为减函数．由f（x＋２）＝—f（x），令x＝0得f（２）＝—f（0）＝f（0）．答案：１２３４５．已知函数y＝f（x）在定义域[—１，１]上既是奇函数又是减函数．（１）求证：对任意x１，x２∈[—１，１]，有[f（x１）＋f（x２）]·（x１＋x２）≤0；（２）若f（１—a）＋f（１—a２）＜0，求实数a的取值范围．解：（１）证明：若x１＋x２＝0，显然不等式成立．若x１＋x２＜0，则—１≤x１＜—x２≤１，因为f（x）在[—１，１]上是减函数且为奇函数，所以f（x１）＞f（—x２）＝—f（x２），所以f（x１）＋f（x２）＞0．所以[f（x１）＋f（x２）]（x１＋x２）＜0成立．若x１＋x２＞0，则１≥x１＞—x２≥—１，同理可证f（x１）＋f（x２）＜0．所以[f（x１）＋f（x２）]（x１＋x２）＜0成立．综上得证，对任意x１，x２∈[—１，１]，有[f（x１）＋f（x２）]·（x１＋x２）≤0恒成立．（２）因为f（１—a）＋f（１—a２）＜0⇔f（１—a２）＜—f（１—a）＝f（a—１），所以由f（x）在定义域[—１，１]上是减函数，得错误!即错误!解得0≤a＜１．故所求实数a的取值范围是[0，１）．6．已知函数f（x）对任意x∈R满足f（x）＋f（—x）＝0，f（x—１）＝f（x＋１），若当x∈[0，１）时，f（x）＝a x＋b（a＞0且a≠１），且f错误!＝错误!.（１）求实数a，b的值；（２）求函数g（x）＝f２（x）＋f（x）的值域．解：（１）因为f（x）＋f（—x）＝0，所以f（—x）＝—f（x），即f（x）是奇函数．因为f（x—１）＝f（x＋１），所以f（x＋２）＝f（x），即函数f（x）是周期为２的周期函数，所以f（0）＝0，即b＝—１．又f错误!＝f错误!＝—f错误!＝１—错误!＝错误!，解得a＝错误!.（２）当x∈[0，１）时，f（x）＝a x＋b＝错误!错误!—１∈错误!，由f（x）为奇函数知，当x∈（—１，0）时，f（x）∈错误!，又因为f（x）是周期为２的周期函数，所以当x∈R时，f（x）∈错误!，设t＝f（x）∈错误!，所以g（x）＝f２（x）＋f（x）＝t２＋t＝错误!错误!—错误!，即y＝错误!错误!—错误!∈错误!.故函数g（x）＝f２（x）＋f（x）的值域为错误!.。

2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章指数与指数函数

3
<
3 4
3
，故D正确.
(2)设m，n∈R，则“m<n”是“
1 2
m－n>1”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
√C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 12m－n>1，即12m－n>120， ∴m－n<0，∴m<n. 故“m<n”是“12m－n>1”的充要条件.
(3)函数f(x)＝
[高考改编题] 若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是
A.a＋b≤0
B.a－b≥0
C.a－b≤0
√D.a＋b≥0
解析 ∵ea＋πb≥e－b＋π－a，
∴ea－π－a≥e－b－πb，
①
令f(x)＝ex－π－x，则f(x)是R上的增函数，
①式即为f(a)≥f(－b)，
∴a≥－b，即a＋b≥0.
解析原不等式可化为a>－4x＋2x＋1对x∈R恒成立，令t＝2x，则t>0，∴y＝－4x＋2x＋1＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1≤1，当t＝1时，ymax＝1，∴a>1.
思维升华
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量. (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
4.指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. (2)指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域值域

统考版2022届高考数学一轮复习第2章函数第9节函数与方程教师用书教案北师大版20210303132

函数与方程[考试要求]结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)定义：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．(4)二分法：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与x轴的交点(x1,0)，(x2,0) (x1,0)无交点零点个数210有关函数零点的三个结论(1)若y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像连续不断，且有f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)一定有零点．(2)f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．(3)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，且f(x)的图像连续不断，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a，b]上只有一个零点．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图像与x 轴的交点．( )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图像连续不断)，则f (a )·f (b )＜0.( ) (3)若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )＜0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在b 2－4ac ＜0时没有零点．( ) (5)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× 二、教材习题衍生1．已知函数y ＝f (x )的图像是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x 1 2 3 4 5 6 y33－74则函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个B [∵f (2)·f (3)＜0，f (3)·f (4)＜0，f (4)·f (5)＜0，故函数f (x )在区间[1,6]内至少有3个零点．] 2．函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)C [由题意得f (1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0， f (2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0， f (3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0， f (4)＝ln 4＋8－6＝ln 4＋2＞0， ∴f (x )的零点所在的区间为(2,3)．]3．函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是________．1 [∵函数f (x )＝e x ＋3x 在R 上是增函数，且f (－1)＝1e －3＜0，f (0)＝1＞0，∴f (－1)·f (0)＜0，因此函数f (x )有唯一零点．]4．若函数f (x )＝x 2－4x ＋a 存在两个不同的零点，则实数a 的取值X 围是________． (－∞，4) [由题意知Δ＝16－4a ＞0，解得a ＜4.]考点一判定函数零点所在区间判断函数零点所在区间的方法1．设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)上均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)上均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1上有零点，在区间(1，e)上无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1上无零点，在区间(1，e)上有零点D [当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，e 时，函数图像是连续的，且f ′(x )＝13－1x ＝x －33x ＜0，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1e ，e 上单调递减，又f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13e ＋1＞0，f (1)＝13＞0，f (e)＝e3－1＜0，所以函数f (x )在区间(1，e)上有唯一零点，故选D.]2．若x 0是方程⎝⎛⎭⎫12x＝x 的解，则x 0属于区间( ) A.⎝⎛⎭⎫23，1 B.⎝⎛⎭⎫12，23 C.⎝⎛⎭⎫13，12 D.⎝⎛⎭⎫0，13 C [令f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －x ，则x 0是函数f (x )的零点，函数f (x )在R 上图像是连续的，且f (0)＝1＞0，f ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫12－⎝⎛⎭⎫13＞0， f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12－⎝⎛⎭⎫12＜0，∴f ⎝⎛⎭⎫13·f ⎝⎛⎭⎫12＜0，因此x 0∈⎝⎛⎭⎫13，12，故选C.]3．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内A [∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a ，b )(b ，c )内分别存在一个零点；又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点，因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内，故选A.]4．(2020·某某模拟)设函数f (x )＝e x －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x ，若f (x 1)＝g (x 2)＝0，则( )A ．0＜g (x 1)＜f (x 2)B ．g (x 1)＜0＜f (x 2)C ．f (x 2)＜0＜g (x 1)D ．f (x 2)＜g (x 1)＜0B [函数f (x )是R 上的增函数，g (x )是(0，＋∞)上的增函数，∵f (0)＝e －1－4＜0，f (1)＝5－4＝1＞0，又f (x 1)＝0，∴0＜x 1＜1，∵g (1)＝－1＜0，g (2)＝ln 2－12＞0，又g (x 2)＝0，∴1＜x 2＜2，∴f (x 2)＞f (1)＞0，g (x 1)＜g (1)＜0， ∴g (x 1)＜0＜f (x 2)，故选B.]点评：由f (a )·f (b )＞0，并不能说明函数f (x )在区间(a ，b )上没有零点，若f (x )在(a ，b )上是单调函数，则f (x )在(a ，b )上无零点．考点二确定函数零点的个数确定函数零点个数的方法[典例1] (1)(2019·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝2sin x －sin 2x 在[0,2π]的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0，2x ＋1，x ≤0的零点个数为()A ．0B ．1C ．2D ．3(3)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝e x ＋x －3，则f (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(1)B (2)D (3)C [(1)由f (x )＝2sin x －sin 2x ＝2sin x －2sin x cos x ＝2sin x ·(1－cos x )＝0得sin x ＝0或cos x ＝1，∴x ＝k π，k ∈Z ，又∵x ∈[0,2π]，∴x ＝0，π，2π，即零点有3个，故选B.(2)依题意，在考虑x ＞0时可以画出函数y ＝ln x 与y ＝x 2－2x 的图像(如图)，可知两个函数的图像有两个交点，当x ≤0时，函数f (x )＝2x ＋1与x 轴只有一个交点，综上，函数f (x )有3个零点．故选D.(3)因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，即x ＝0是函数f (x )的1个零点．当x ＞0时，令f (x )＝e x ＋x －3＝0，则e x ＝－x ＋3，分别画出函数y ＝e x 和y ＝－x ＋3的图像，如图所示，两函数图像有1个交点，所以函数f (x )有1个零点．根据对称性知，当x ＜0时，函数f (x )也有1个零点．综上所述，f (x )的零点个数为3.] 点评：数形结合法确定函数零点个数的关键是正确画出函数的图像．在画函数的图像时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．[跟进训练]1．函数f (x )＝2x |log x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4B [令f (x )＝2x |log x |－1＝0，可得|log x |＝⎝⎛⎭⎫12x.设g (x )＝|log x |，h (x )＝⎝⎛⎭⎫12x .在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．故选B.]2．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点的个数是( )A ．0B ．2C ．4D ．6 C [画出函数y ＝f (x )和y ＝log 3|x |的部分图像如图所示．由图知，函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点的个数为4.]考点三求与零点有关的参数问题已知函数有零点(方程有根)，求参数的值或取值X 围的方法根据函数零点的个数求参数的取值X 围[典例2－1](2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值X 围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)C [函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图像与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图像，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1，故选C.]点评：已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图像的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．根据函数有零点求参数的取值X 围[典例2－2] (1)函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值X 围是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫2，52D.⎣⎡⎭⎫2，103 (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，x －1，x ＞1，则函数F (x )＝f (x )－a 2＋a ＋1(a ∈R )总有零点时，实数a 的取值X 围是( )A ．(－∞，0)∪(1，＋∞)B ．[－1,2)C ．[－1,0)∪(1,2]D ．[0,1](1)D (2)A [(1)由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝⎛⎭⎫12，3上有解，即a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x，x ∈⎝⎛⎭⎫12，3，则t 的取值X 围是⎣⎡⎭⎫2，103，所以实数a 的取值X 围是⎣⎡⎭⎫2，103. (2)由F (x )＝0，得f (x )＝a 2－a －1.∵函数f (x )的值域为(－1，＋∞)， ∴a 2－a －1＞－1，解得a ＜0或a ＞1.故选A.]点评：函数f (x )有零点⇔f (x )＝0有解，此时可分离参数，化为a ＝g (x )的形式，则a 的取值X 围就是g (x )的值域．[跟进训练]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤02x －1，x ＞0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值X围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，1]C ．[－1,0)D ．(0,1]D [当x ＞0时，由2x －1＝0得x ＝12，即x ＝12是函数f (x )的一个零点，故方程2x －a ＝0在(－∞，0]上有一个解．即a ＝2x 在(－∞，0]上有一个解，又当x ∈(－∞，0]时0＜2x ≤1，则0＜a ≤1，故选D.]2．若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值X 围是________．⎣⎡⎦⎤－14，2 [∵函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，∴方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解，即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解．令y ＝4x －2x ＝⎝⎛⎭⎫2x －122－14. ∵x ∈[－1,1]，∴2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ∴⎝⎛⎭⎫2x －122－14∈⎣⎡⎦⎤－14，2. ∴实数a 的取值X 围是⎣⎡⎦⎤－14，2.]函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图像、性质求解.嵌套函数零点个数的判断[素养案例1] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋22，x ≤1，|log 2(x －1)|，x ＞1，则函数F (x )＝f (f (x ))－2f (x )－32的零点个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7A [令f (x )＝t ，则函数F (x )可化为y ＝f (t )－2t －32，则函数F (x )的零点问题可转化为方程f (t )－2t －32＝0的根的问题．令y ＝f (t )－2t －32＝0，则f (t )＝2t ＋32.分别作出y ＝f (t )和y ＝2t ＋32的图像，如图1，由图像可得有两个交点，横坐标设为t 1，t 2(不妨设t 1＜t 2)，则t 1＝0,1＜t 2＜2；由图2，结合图像，当f (x )＝0时，有一解，即x ＝2；当f (x )＝t 2时，结合图像，有3个解．所以y ＝f [f (x )]－2f (x )－32共有4个零点．]图1 图2[评析]1.判断嵌套函数零点个数的主要步骤 (1)换元解套，转化为t ＝g (x )与y ＝f (t )的零点．(2)依次解方程，令f (t )＝0，求t ，代入t ＝g (x )求出x 的值或判断图像交点个数．2．抓住两点：(1)转化换元．(2)充分利用函数的图像与性质． [素养培优]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x ＞0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是_____．5 [由2[f (x )]2－3f (x )＋1＝0，得f (x )＝12或f (x )＝1，作出函数y ＝f (x )的图像如图所示．由图像知y ＝12与y ＝f (x )的图像有2个交点，y ＝1与y ＝f (x )的图像有3个交点．因此函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点有5个．]已知嵌套函数的零点个数求参数[素养案例2] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (－x －1)，x ＜－1，2x ＋1，x ≥－1，若函数g (x )＝f (f (x ))－a 有三个不同的零点，则实数a 的取值X 围是________．[－1，＋∞) [设t ＝f (x )，令f (f (x ))－a ＝0，则a ＝f (t )．在同一坐标系内作y ＝a ，y ＝f (t )的图像(如图)．当a ≥－1时，y ＝a 与y ＝f (t )的图像有两个交点．设交点的横坐标为t 1，t 2(不妨设t 2＞t 1)，则t 1＜－1，t 2≥－1.当t 1＜－1时，t 1＝f (x )有一解；当t 2≥－1时，t 2＝f (x )有两解．综上，当a ≥－1时，函数g (x )＝f (f (x ))－a 有三个不同的零点．][评析](1)求解本题抓住分段函数的图像性质，由y ＝a 与y ＝f (t )的图像，确定t 1，t 2的取值X 围，进而由t ＝f (x )的图像确定零点的个数．(2)含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合． [素养培优]设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若关于x 的方程2f 2(x )＋2bf (x )＋1＝0有8个不同的实数根，则b 的取值X 围是________．word - 11 - / 11 (－1.5，－2) [根据题意作出f (x )的简图：由图像可得当f (x )∈(0,1)时，有四个不同的x 与f (x )对应．再结合题中“方程2f 2(x )＋2bf (x )＋1＝0有8个不同实数解”，可以分解为形如关于K 的方程2K 2＋2bK ＋1＝0有两个不同的实数根K 1，K 2，且K 1和K 2均为大于0且小于1的实数．列式如下：⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4b 2－8＞0，0＜K 1＋K 2＜2，K 1·K 2＞0，(K 1－1)(K 2－1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2＞2，0＜－b ＜2，b ＞－32，可得－1.5＜b ＜－ 2.]。

全国统考2022高考数学一轮复习第二章函数2.8函数与方程学案理含解析北师大版20210329116

2.8函数与方程必备知识预案自诊知识梳理1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x)(x∈D),把使成立的实数x叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点.(2)与函数零点有关的等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与有交点⇔函数y=f(x)有.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系函数y=ax2+bx+c(a>0)Δ>0 Δ=0 Δ<0图像与x轴无交点的交点零点个数3.二分法函数y=f(x)的图像在区间[a,b]上连续不断,且,通过不断地把它的零点所在区间,使所得区间的两个端点逐步逼近,进而得到零点近似值的方法叫作二分法.1.若y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像连续不断,且有f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点.2.f(a)f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.3.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,且f(x)的图像连续不断,则f(a)f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a,b]上有且只有一个零点.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0).()(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.()(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.()(4)已知函数f(x)在(a,b)内图像连续且单调,若f(a)f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.()(5)函数y=2sin x-1的零点有无数多个.()2.(2020某某某某一中二模)函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)3.(2020某某某某二模,2)函数f(x)=x3+x-4的零点所在的区间为()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)4.若函数f(x)=2x-a2-a在(-∞,1]上存在零点,则正实数a的取值X围是()A.(0,1)B.(0,1]C.(0,2)D.(0,2]5.(2020某某和平区一模)已知[x]表示不超过实数x的最大整数,g(x)=[x]为取整函数,x0是函数f(x)=ln x+x-4的零点,则g(x0)=.关键能力学案突破考点判断函数零点所在的区间【例1】(1)(2020某某某某中学八模,理4)根据表格中的数据,可以判定方程e x-x-2=0的一个根所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为()x-1 0 1 2 3e x0.37 12.72 7.3920.09x+1 2 3 4 52A.-1B.0C.1D.2(2)设定义域为(0,+∞)内的单调函数f(x),对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-ln x]=e+1,若x0是方程f(x)-f'(x)=e的一个解,则x0可能存在的区间是()A.(0,1)B.(e-1,1)C.(0,e-1)D.(1,e)解题心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点的方法(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根落在给定区间上.(2)利用函数零点存在定理进行判断:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是否连续,然后看是否有f(a)f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点,若没有,则不一定有零点.(3)通过画函数图像,观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断.的一个零点所在的区对点训练1(1)(2020某某某某二中五模,文6)函数f(x)=ln(x+1)-2x间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)(2)如图是二次函数f (x )=x 2-bx+a 的部分图像,则g (x )=e x +f'(x )的零点所在的大致区间是()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)考点判断函数零点的个数【例2】(1)函数f (x )=2x |log 0.5x|-1的零点个数为 ()A.1B.2C.3D.4(2)(2020某某某某二模,理11)已知函数f (x )为定义域为R 的偶函数,且满足f (1+x )=f (1-x ),当x ∈[-1,0]时,f (x )=-x ,则函数F (x )=f (x )+x+41-2x 在区间[-9,10]上零点的个数为()A.10B.12C.18D.20解题心得判断函数零点个数的方法(1)解方程法:若对应方程f(x)=0可解时,通过解方程,有几个解就有几个零点.(2)零点存在定理法:利用定理不仅要判断函数的图像在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合法:转化为两个函数的图像的交点个数问题.先画出两个函数的图像,再看其交点的个数,其中交点的个数就是函数零点的个数.对点训练2(1)(2020某某某某二模,8)已知图像连续不断的函数f(x)的定义域为R,且f(x)是周期为2的奇函数,y=|f(x)|在区间[-1,1]上恰有5个零点,则f(x)在区间[0,2 020]上的零点个数为()A.5 050B.4 041C.4 040D.2 020(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈[0,+∞),满足f(x+2)=f(x),若当x ∈[0,2)时,f(x)=|x2-x-1|,则函数y=f(x)-1在区间[-2,4]上的零点个数为.考点函数零点的应用 (多考向探究)考向1已知函数零点所在区间求参数-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a 【例3】(1)(2020某某某某模拟,6)函数f(x)=2x-2x的取值X围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)若在区间[-1,1]上(2)(2020某某某某三模,理16)已知函数f(x)={2x(x2+m),0≤x≤1,2x+1-x2-m,-1≤x<0,方程f(x)=1只有一个解,则实数m的取值X围为.解题心得对于已知函数零点所在区间求参数的问题:若已知函数在所给区间上连续且单调,则由零点存在定理列出含参数的不等式,求出参数的X围;若已知函数在所给区间上不单调,则要作出函数的图像利用数形结合法求参数的X围.对点训练3(1)已知函数f(x)=2ax-a+3,若存在x∈(-1,1),f(x)=0,则实数a的取值X围是()A.(-∞,-3)∪(1,+∞)B.(-∞,-3)C.(-3,1)D.(1,+∞)(2)若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,则实数a的取值X围是.考向2已知函数零点个数求参数问题若关于x的【例4】(1)(2020东北三省四市模拟,理11)已知函数f(x)={2x+1+2,x≤0,|log2x|,x>0,方程[f(x)]2-2af(x)+3a=0有6个不相等的实数根,则实数a的取值X围为()A.3,165B.3,165C.(3,4)D.(3,4](2)(2020某某某某七中三模,文16)若指数函数y=a x(a>0,且a≠1)与一次函数y=x的图像恰好有两个不同的交点,则实数a的取值X围是.解题心得已知函数有零点(方程有根),求参数的取值X围常用的方法:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数X围.(2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图像,再数形结合求解.对点训练4(1)(2020某某某某区一模,9)已知函数f(x)={x3-2x,x≤0,若函数-lnx,x>0,g(x)=f(x)-x-a有3个零点,则实数a的取值X围是()A.[0,2)B.[0,1)C.(-∞,2]D.(-∞,1](2)(2020某某某某5月模拟,16)设f(x)是定义在R上的偶函数,任意x∈R都有f(2-x)=f(2+x),且当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2.若函数g(x)=f(x)-log a(x+1)(a>0,a≠1)在区间(-1,9]内恰有三个不同零点,则实数a的取值X围是.1.函数零点的常用判定方法:(1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程f(x)=0.2.研究方程f(x)=g(x)的解,实质就是研究G(x)=f(x)-g(x)的零点.3.转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图像交点的个数问题;已知方程有解求参数X围问题可转化为函数值域问题.1.函数f(x)的零点是一个实数,是方程f(x)=0的根,也是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标.2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件;判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图像等综合考虑.2.8函数与方程必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)f(x)=0(2)x轴零点(3)连续不断的f(a)·f(b)<0f(x0)=02.(x1,0),(x2,0)(x1,0)2103.f(a)f(b)<0一分为二零点考点自诊1.(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2.B易知f(x)=2x+3x在R上递增,且f(-2)=2-2-6<0,f(-1)=2-1-3<0,f(0)=1>0,所以由函数零点存在定理得,零点所在的区间是(-1,0).故选B.3.C易知函数f(x)=x3+x-4在R上递增,因f(0)=-4<0,f(1)=-2<0,f(2)=6>0,故函数在(1,2)上有唯一零点.故选C.4.B由f(x)=2x-a2-a=0,得2x=a2+a,由x∈(-∞,1],得2x∈(0,2],可得0<a2+a≤2,解得0<a≤1,故选B.5.2∵函数f(x)=ln x+x-4在定义域(0,+∞)上单调递增,且其图像是连续不断的,f(e)=1+e-4<0,f(3)=ln3-1>0,∴函数的零点所在的区间为(e,3),g(x0)=[x0]=2.关键能力·学案突破例1(1)C(2)D(1)令f(x)=e x-x-2,由表格知f(1)<0,f(2)>0,所以方程e x-x-2=0的一个零点所在的区间是(1,2),所以k=1,故选C.(2)令f(x)-ln x=k,则f(x)=ln x+k.由f[f(x)-ln x]=e+1,得f(k)=e+1.又f(k)=ln k+k=e+1,可知k=e.故f(x)=ln x+e,所以f'(x)=1x,x>0.所以f(x)-f'(x)=ln x-1x +e.令g(x)=ln x-1x+e-e=ln x-1x,x∈(0,+∞).因为g(x)=ln x-1x 在(0,+∞)内的图像是连续的,且g(1)=-1<0,g(e)=1-1e>0,所以存在x0∈(1,e),使g(x0)=0.故选D.对点训练1(1)B(2)B(1)∵f(1)=ln2-2<0,f(2)=ln3-1>lne-1=0,即f(1)f(2)<0,∴函数f(x)的零点在区间(1,2)上.故选B.(2)由图像知12<b2<1,得1<b<2,f'(x)=2x-b,所以g(x)=e x+f'(x)=e x+2x-b,由g(0)=1-b<0,g(1)=e+2-b>0,所以g(0)g(1)<0,则g(x)的零点在区间(0,1)上,故选B.例2(1)B(2)A(1)函数f (x )=2x |log 0.5x|-1的零点也就是方程2x |log 0.5x|-1=0的根,即2x |log0.5x|=1,整理得|log 0.5x|=(12)x .令g (x )=|log 0.5x|,h (x )=(12)x,画出g (x ),h (x )的图像如图所示.因为两个函数的图像有两个交点,所以f (x )有两个零点. (2)求F (x )在[-9,10]上零点的个数,等价于f (x )与g (x )=-x+41-2x的图像在[-9,10]上交点的个数,∵f (x )为偶函数,且当x ∈[-1,0]时,f (x )=-x ,∴当x ∈[0,1]时,f (x )=x ,又f (1+x )=f (1-x ),∴f (x+2)=f [(x+1)+1]=f (1-1-x )=f (-x )=f (x ),即f (x )的周期为2,g (x )=-x+41-2x =x+42x -1=12+94(x -12),∴g (x )的图像关于点12,12对称,作出f (x )与g (x )在12,10上的函数图像如图所示,由图像可知f (x )与g (x )在12,10上有5个交点,根据对称性可知在-9,12上也有5个交点,故选A .对点训练2(1)B(2)7(1)由f (x )是定义域为R 的奇函数,得f (0)=0,由f (x )的周期为2,得f (0)=f (2)=…=f (2020)=0,由y=|f (x )|是偶函数,得其图像关于y 轴对称,由y=|f (x )|在[-1,1]上恰有5个零点,则y=|f (x )|在[-1,0)和(0,1]上各有两个零点,因f (x )的周期为2,所以y=|f (x )|的周期为1,所以y=|f (x )|在(1,2]上也有两个零点,同理在(2,3],…,(2019,2020]上各有两个零点.因为函数|f (x )|的图像是由f (x )的图像关于x 轴对称到x 轴上面,故两个函数的零点个数相等,则f (x )在区间[0,2020]上的零点个数为1+2020×2=4041.(2)由题意作出y=f (x )在区间[-2,4]上的图像,如图所示,可知与直线y=1的交点共有7个,故函数y=f (x )-1在区间[-2,4]上的零点个数为7.例3(1)C(2)m |-1≤m <-12,或m=1(1)函数f (x )=2x -2x -a 在区间(1,2)内连续,因为f (x )的一个零点在区间(1,2)内,所以f (1)f (2)<0,即(2-2-a )(4-1-a )<0,解得0<a<3,故选C .(2)当0≤x ≤1时,由f (x )=1,得2x (x 2+m )=1,即12x=x 2+m ; 当-1≤x ≤0时,由f (x )=1,得2x+1-x 2-m=1,即2x+1-1=x 2+m. 设g (x )={(12) x ,0≤x ≤1,2x+1-1,-1≤x <0,h (x )=x 2+m ,则问题转化为g (x )与h (x )=x 2+m 的图像在[-1,1]上只有一个交点.画出g (x )与h (x )在[-1,1]上的图像如图所示,结合图像可知,当h (0)=1,即m=1时,两个函数的图像只有一个交点;当{ℎ(1)<g(1),ℎ(-1)≥g(-1),解得-1≤m<-12时,两个函数的图像只有一个交点,故所某某数m 的取值X 围是m -1≤m<-12,或m=1.对点训练3(1)A(2)-14,2(1)由f (x )=2ax-a+3,若存在x ∈(-1,1),f (x )=0,可得f (-1)f (1)<0,即(-3a+3)(a+3)<0,可得a ∈(-∞,-3)∪(1,+∞).(2)因为函数f (x )=4x -2x -a ,x ∈[-1,1]有零点,所以方程4x -2x -a=0在[-1,1]上有解,即方程a=4x -2x 在[-1,1]上有解.方程a=4x -2x 可变形为a=2x -122-14,因为x ∈[-1,1],所以2x ∈12,2,所以2x -122-14∈-14,2.所以实数a 的取值X 围是-14,2.例4(1)B(2)1,e 1e (1)令f (x )=t ,则t 2-2at+3a=0,作出函数f (x )和直线y=t 的图像如图所示,由图像可知y=t 与y=f (x )最多有3个不同交点,又当x ≤0时,2x+1+2>2,要使关于x的方程[f(x)]2-2af(x)+3a=0有6个不相等的实数根,则t2-2at+3a=0有两个不同的根t1,t2∈(2,4],设g(t)=t2-2at+3a由根的分布可知,{Δ=4a2-12a>0,2<a<4,g(2)>0,g(4)≥0,解得3<a≤165.故选B.(2)由题意,a x=x,两边取对数得,x ln a=ln x,所以ln a=lnxx ,设y=lnxx,则y'=1-lnxx2,故y=lnxx在(0,e)上递增,在(e,+∞)上递减,所以当x=e时,得y max=1e,所以当0<ln a<1e ,方程ln a=lnxx有两个实数根,所以a∈1,e1e.对点训练4(1)A(2)19,15∪(√3,√7)(1)函数g(x)=f(x)-x-a有3个零点,等价于方程f(x)-x-a=0有3个实数根,即方程a=f(x)-x有3个实数根,设h(x)=f(x)-x,当x≤0时,h(x)=x3-3x,h'(x)=3x2-3,由h'(x)>0得x<-1或x>1(舍去),此时h(x)递增.由h'(x)<0得-1<x<1,∵x≤0,∴-1<x<0,此时h(x)递减,即当x=-1时,函数取得极大值为h(-1)=-1+3=2.当x>0时,h(x)=f(x)-x=-ln x-x递减,作出函数h(x)的图像如图所示,要使a=h(x)有3个根,则0≤a<2,即实数a的取值X围为[0,2),故选A.(2)∵f(x)是定义在R上的偶函数,且f(2-x)=f(2+x),∴f(x-2)=f(2+x),令x-2=t,则f(t)=f(4+t),∴f(x)的周期为4.由g(x)=f(x)-log a(x+1)=0得f(x)=log a(x+1)(a>0,且a≠1).函数y=f (x )和y=log a (x+1)的图像在区间(-1,9]内有3个不同的公共点.作函数f (x )与y=log a (x+1)在(-1,9]上的图像如下,当a>1时,{log a (2+1)<2,log a (6+1)>2,解得√3<a<√7.当0<a<1时,{log a (4+1)>-1,log a (8+1)<-1,解得19<a<15.故实数a 的取值X 围为19,15∪(√3,√7).。

2022届高考数学一轮复习第二章函数及其应用2.1函数及其表示课件理北师大版

A.只有①② C.只有①③④
B.只有①④ D.只有③④
【解析】选B.对于给出的四个对应,其中①④满足左边的集合中所有元素,在给出的对应关系的作用下在右边集合中都有唯一确定的元素相对应,而②中左边集合中的2在右边集合中无对应.③中左边集合中的元素在右边集合中对应的元素不唯一,所以能够构成映射的有①④.
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1) 函数y=1与y=x0是同一个函数. ( )
(2)对于函数f:A→B,其值域就是集合B. ( )
(3)f(x)= x3 2x是一个函数 .
()
(4)若两个函数的定义域与值域相等,则这两个函数相等. ( )
(5)函数y=f(x)的图像可以是一条封闭的曲线. ( )
为
.
【解析】依题意得:3(a+3)2-5(a+3)+2>3a2-5a+2,即18a+12>0,所以a>- 2 .
3
答案:a>- 2
3
谢谢观看！
本课结束
第二章函数及其应用第一节函数及其表示
内容索引
必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养测评
【教材·知识梳理】 1.函数与映射的概念
2.映射中像与原像、一一映射
A中的元素x
B中的对应元素y
唯一也不同
原像
x➝y
3.函数的三种常用表示法:_解__析__法__、_图__像__法__、_列__表__法__. 4.分段函数三个关注点 (1)两个不同:在_定__义__域__的不同子集上,函数的_对__应__关__系__不同. (2)本质:分段函数表示的是一个函数. (3)定义域、值域:是各段上的定义域、值域的_并__集__. 5.相等函数的两个条件 (1)_定__义__域__完全相同. (2)_对__应__关__系__完全一致.

2022届高考数学一轮复习第二章函数及其应用2.8函数与方程课件理北师大版

() (4)若f(x)在区间[a,b]上连续不断,且f(a)·f(b)>0,则f(x)在(a,b)内没有零点.
()
提示:(1)×.函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标. (2)√.当b2-4ac<0时,抛物线与x轴无交点,故没有零点. (3)×.函数图像若没有穿过x轴,则f(a)·f(b)>0. (4)×.若在区间[a,b]内有多个零点,f(a)·f(－1)
f
(0)
0，
f (1) f ( 2 ) 0，
答案: ( 1 ，1 )
42
【迁移应用】
一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是
()
A.a<0
B.a>0
C.a<-1
D.a>1
【解析】选C.依题意,充要条件为x1x2= 1 <0,所以a<0,故选项C为充分不必要
a
条件.
谢谢观看！
本课结束
【易错点索引】
【教材·基础自测】 1.(必修1P116练习T2改编)方程4x2+x-15=0,在[-2,2]内的根的个数为 ( )
【解析】选B.Δ=12-4×4×(-15)>0,又设f(x)=4x2+x-15,则f(-2)<0,f(2)>0,所以方程在[-2,2]内有1个实根.
2.(必修1P119B组T1改编)函数f(x)=ln x- 2 的零点所在的大致范围是( )
(1,2)内,则m的取值范围是
. 世纪金榜导学号
【解析】依题意,结合函数f(x)的图像(图略)分析可知,m需满足
m2，
即 (m － 2－ m ＋ 2m ＋ 1)(2m ＋ 1)0，