7.4傅里叶变换透镜(上)
傅里叶变换
r x2 y2
无吸收、反射能量损耗
P′
透镜将平面波变成球面波
(x,y)
a( x, y ) A2 / A1 1 ~ TL ( x, y ) exp[ i L ( x, y )]
透镜相位 变换函数
t1
L
Q
t2 t
T ( x, y) e
L′ Q′
iL ( x , y )
e
长大的，衍射角大，谱线距0级较远；
同样对于二级光谱而言，也有同样的情况。但可 能造成二级光谱与一级光谱的重叠，而且具有最 大强度的光处于0级（为未分开的白光）！
二. 任意光栅的屏函数及其傅里叶级数展开 严格空间周期性函数的衍射屏 (透射式或反射式) 光栅 一 维 衍 射 屏
周期性 T ( x d ) T ( x)
2 2
远离中心的Q 点相位延迟
结论：在傍轴条件下理想薄透镜的相位变换函数具有 纯二次型的相位因子。
例 设入射平面波振幅为A，并将L平面处相位取作零， 则经透镜后出射光波的复振幅为：
ik ( x y ) ~ ~ EL AT ( x, y) A exp[ ] 2f'
2 2
讨 论 (1) 会聚透镜 f 0 表示中心在光轴上距透镜为 f 处会聚球面波 (2) 发散透镜 f 0 表示中心在光轴上距透镜 f 处的发散球面波
频谱分析:周期性振动具有离散谱。 这种将任一振动分解为简谐振动的 方法称为频谱分析。 非周期函数的频谱分析与付里叶变换
任一非周期函数也都可表示为简谐函数的合成：
F (t ) A( ) costd B( ) sintd
0
F (t )
1 2
透镜的傅立叶变换性质全文
U
(
x,
y)
c
exp
jk
( f d0)(x2 2[q( f d0 )
y2)
f
d0
]
t(x0 , y0 )
exp
jk
f (x0x y0 y) q( f d0 ) fd0
dx0dy0
二次位相 因子
F.T.的核
(1) d0=f, 输入平面位于透镜前焦面:
U (x, y) c
2.无论物体相对于透镜的距离d0是多少，后焦面上 的强度分布不受影响,它仍然是物体的功率谱。
I x f , y f
A
f
2
T
xf
f
, yf
f
2
3.透镜的后焦面通常称为傅立叶变换平面或频谱面。
作业
一个边长为 a 的方孔，放在焦距为 f 的透镜的前焦面上，孔中心位于透镜
的光轴。用波长为 的单色平面波垂
y0
z
yl
yi
d0
di
分析时注意：
确定坐标系. 一个特定平面用一组固定的xy坐标描述, 不要混淆 正确描述入射光波复振幅U (x, y)
(平面波:垂直入射或斜入射; 球面波:会聚或发散) 光波由左向右传播,传播距离标绝对值 遇到孔径: 乘上透过率函数t(x, y), 遇到透镜: 乘上位相变换因子 传播过程: 看成菲涅耳衍射, 采用适当的形式
U0 (x0,y0,0-) x0 U0 (x0,y0,0+) y0 t(x0,y0)
U0 (x0,y0,0+)= U0 (x0,y0,0-) t(x0,y0)
实现位相变换:
Ul '(x',
y')
Ul (x',
傅里叶变换—_光学元件的变换
1 1 1 = − s' f s
30/88
第六章 光学元件的变换特性 序 一 二 三 四 五 六 棱镜与柱面镜的变换特性 透镜的变换特性 相因子与变换 透镜的傅里叶变换特性 高斯光束经透镜的变换 光学计算机
二、透镜的变换特性
k 2 2 t L ( x, y ) = exp [ jkn∆ 0 ] exp − j ( x + y ) 2f
常数位相因子 与坐标位置（ ） 与坐标位置（x,y）无关 研究具体问题可以略去 光波经过透镜后发生位相变换 附加了一个与坐标有关的二次 位相因子
k 2 2 t L ( x, y ) = exp − j ( x + y ) 2f
24/88
二、透镜的变换特性
讨论 这个结果表明，光振动通过薄透镜后，各点都发 生位相延迟 会聚透镜， 中心点位相延迟最多
kn∆ 0
k 偏离中心，位相延迟逐渐减少 (x2 + y2 ) 2f
25/88
二、透镜的变换特性
发散透镜 透镜中心，位相延迟最小 偏离中心，位相延迟增大
kn∆ 0
k 2 2 − (x + y ) 2f
U 1 ( x, y ) = A1 ( x, y) exp[ jϕ1 ( x, y )]
U 2 ( x, y ) = A2 ( x, y ) exp[ jϕ 2 ( x, y )]
18/88
二、透镜的变换特性
于是透镜的屏函数表现为
U2 A2 t ( x, y ) = = exp[ j (ϕ 2 − ϕ 1 )] U1 A1
光学经典理论傅里叶变换
光学经典理论｜傅里叶光学基础2018-02-24 17:00今天的光学经典理论为大家带来的是傅里叶光学基础，傅里叶光学是现代光学的一个分支，将电信理论中使用的傅里叶分析方法移植到光学领域而形成的新学科。
光学人们可以看看！在电信理论中，要研究线性网络怎样收集和传输电信号，一般采用线性理论和傅里叶频谱分析方法。
在光学领域里，光学系统是一个线性系统，也可采用线性理论和傅里叶变换理论，研究光怎样在光学系统中的传播。
两者的区别在于，电信理论处理的是电信号，是时间的一维函数，频率是时间频率，只涉及时间的一维函数的傅里叶变换；在光学领域，处理的是光信号，它是空间的三维函数，不同方向传播的光用空间频率来表征，需用空间的三维函数的傅里叶变换。
包含内容60年代发明了激光器，使人们获得了新的相干光源后，傅里叶光学无论在理论和应用领域均得到了迅速发展。
傅里叶光学运用傅里叶频谱分析方法和线性系统理论对广泛的光学现象作了新的诠释。
其主要内容包括标量衍射理论、透镜成像规律以及用频谱分析方法分析光学系统性质等。
推导演示一个光学信息系统和一个电学信息系统有许多相同之处，它们都是收集信息和传递信息，它们都有共同的数学工具──线性系统理论和傅里叶分析。
从信息论角度,关心的是信息在系统中传递过程;同样，对一个光学系统来讲，物和像的关系，也可以根据标量衍射理论由系统中光场的传播来确定，因此光学系统可以看成一个通信信道。
这样，通信理论中已经成熟的线性系统理论可以用来描述大部分光学系统。
当物体用非相干光照射时，在系统像平面上强度分布与物体上强度分布成线性（正比）关系。
而用来描述电学系统的脉冲响应h(t，τ)概念，即系统对一窄脉冲δ(t)（狄喇克δ函数）的响应，也可以用来描述光学系统，即用光学系统对点光源δ(x，y)的响应(点光源的像)h(x,y；ξ，η)来描述系统的性质，两者的区别仅仅在于电学系统的脉冲响应是时间一维函数，光学系统的脉冲函数是空间二维函数，另外两者都具有位移不变性，前者分布不随时间位移而变，后者分布不随空间位移而变（即等晕条件）。
透镜傅里叶变换
透镜傅里叶变换透镜傅立叶变换一、定义透镜傅立叶变换（Lens Fourier Transformation），是一种基于蒙特卡罗法（而不是傅立叶变换）的非线性变换，它利用光学镜头将光线聚集在非正弦函数中，从而将其转换为波形，生成新的函数，其中会出现极大的变化，有时被称为“大波形变换”。
二、原理透镜傅立叶变换是一种基于蒙特卡罗法的变换，它利用光学镜头将光线聚焦在一族非正弦函数中，从而转换成波形，看上去它们细微不同。
非正弦函数以一种分布变化的形式，把函数变成一种局部性。
透镜傅立叶变换是一种非线性变换，通过对数据进行非线性变换，可以把数据从某种特定的形式变换为另一种特定的形式。
它可以使数据和信号以新的方式展示出来，使得原本不能描述的特性可观察到，从而创造出新的信息。
三、应用1. 图像处理：利用透镜傅立叶变换，可以从图像中提取出特征和细节，这在图像压缩、模式识别、图像复原等方面具有重要的作用；2. 声音处理：透镜傅立叶变换可以精确定位和检测声音中的特定频率，从而实现音频处理；3. 量子计算：透镜傅立叶变换可以模拟量子里的特殊事件，从而帮助实现量子计算；4. 高斯投影：透镜傅立叶变换可以将几何图形映射到平行的高精度平面图上，从而实现高斯正变化；5. 光学成像：透镜傅立叶变换可以用来分析和估计光场的分布，以推导出小型微片、大型成像系统的行为。
四、优点1. 精确可控：透镜傅立叶变换对所处理数据的可控性非常强，变换的分布可以实时调节；2. 高效率：比起傅立叶变换，透镜傅立叶变换更加简单高效，一般来说比傅立叶变换快得多；3. 全面直观：透镜傅立叶变换可以更好地揭示数据背后潜在的一致性，能够全面直观地展示所传输的信息。
傅里叶变换光学系统
傅里叶变换光学系统组号 4 09光信 王宏磊（合作人： 刘浩明 杨纯川）一、实验目的和内容1、了解透镜对入射波前的相位调制原理。
2、加深对透镜复振幅、传递函数、透过率等参量的物理意义的认识。
3、观察透镜的傅氏变换（FT ）图像，观察4f 系统的反傅氏变换（IFT ）图像，并进行比较。
4、在4f 系统的变换平面（T ）插入各种空间滤波器，观察各种试件相应的频谱处理图像。
二、实验原理1、透镜的FT 性质及常用函数与图形的关学频谱分析力。
图1 在该点的厚度。
设原复振幅分布为(,)L U x y 其复振幅分布受到透镜的位相调制，附加了一个位相因(,)x y ϕ后变为(,)L U x y '：图1(,)(,)exp[(,)]L L U x y U x y j x y ϕ'= （1） 若对于任意一点（x ，y ）透镜的厚度为(,)D x y ，透镜的中心厚度为0D 。
光线由该点通过透镜时在透镜中的距离为(,)D x y ，空气空的距离为0D －(,)D x y ，透镜折射率为n ，则该点的总的位相差为：00(,)[(,)](,)(1)(,)x y k D D x y knD x y kD k n D x y ϕ=-+=+- （2）（2）中的k ＝2π/λ，为入射光波波数。
用位相延迟因子(,)t x y 来表示即为：0(,)exp()exp[(1)(,)]t x y jkD jk n D x y =- （3）由此可见只要知道透镜的厚度函数(,)D x y 就可得出其相位调制。
在球面镜傍轴区域，用抛物面近似球面，可以得到球面透镜的厚度函数为：22012111(,)()()2D x y D x y R R =-+- （4） 其中1R 、2R 是构成透镜的两个球面的曲率半径。
公式（4）对双凹、双凸、或凹凸透镜都成立。
引入焦距f ，其定义为： 12111(1)()n f R R =-- （5） 代入（3）得： 220(,)exp()exp[()]2k t x y jknD j x y f=-+ （6） 式（6）即是透镜位相调制的表达式，它表明复振幅(,)L U x y 通过透镜时，透镜各点都发生位相延迟。
大学物理 透镜的傅立叶变换性质
对应的细节-透镜的作用是什么 定性讨论
薄透镜的位相变换作用定性研究
R1
R2
薄透镜：厚度与曲率半径相比足够小
透镜作用的定性讨论
平面波同一波阵 面上不同点经过 的光程不同，位 相增量也不同， 因此经过透镜之 后，造成波阵面 弯曲，形成会聚 球面波。 凹透镜的分析类 似
A A‘
B
B’
F’
光学计算机
二维输入输出，并行处理，模拟量超高速运算， 装置简单价廉是其优点
缺点一：只能输入输出光学图像
缺点二：模拟量容易受到噪声干扰，精度问题 缺点三：只能直接进行傅立叶变换，实用范围 窄
本节结束，谢谢
d0 f 如果输入平面位于透镜的前焦面
xx0 yy0 x, y c ' t x0 , y0 exp jk dx0 dy0 f
xx0 yy0 U x, y c ' t x0 , y0 exp j 2 dx0 dy0 f
有二次相位因子
频谱可以随q变化（缩放）
物位于透镜后方
分析方法同物体位于透镜前方一致
依然是球面波传播，两次透过和两次菲涅
尔衍射的过程
分析结论：物体无论放在透镜前方还是后
方，在照明光源的共轭面上均可以获得衍
射物体的傅立叶变换，不同的是二次位相 因子的存在
重要结论
物体置于透镜的前焦面，在光源的共轭面
上可以获得衍射物体的复振幅透过率的准确 的傅立叶变换分布。 前焦面 光源的共轭面 准确的傅立叶变换
引申：光学模拟计算机
透镜能够实现傅立叶变换＝光学计算机 特点一：光学计算机无需对输入信号进行 抽样，而是对模拟信号直接处理－模拟输 入 特点二：可以直接处理二维图像（信号）， 并行输入 特点三：光学计算机按照图像－角谱－空 间谱的方式进行运行，速度为光波从输入 到输出面的传播时间，速度极快 特点四：光学计算机就是透镜，价廉，简
傅里叶变换全息介绍
平行光 y
x L1
b
x1
全息 干板
参考光
y1
F
F
图（2）傅里叶全息记录
设:物光(频谱)为：
~ G(fx1 , fy1 )
❖ 参考光为： R~x1, y1 R0expi 4
合光场： A~ fx1 , fy1 G~ fx1 , fy1 R~ x1, y1
光强：Ix1,y1
g4 ( x1, y1 ) RRG
[实验内容与步骤 ］
1、按照图（4）摆好光
激光器
C M1
路，并注意做好以下调
整： （1）保证光程相等。
O
M3
（2）傅里叶变换系统的
调整：保证L0 出射严格 H
的平行光；保证透光资
料g到L1距离为F 。 （3）各光学器件严格共
参考光
L1
gg
L0
BS
L
M2
轴，透光资料片上的光
（2）式是傅里叶变换,（3）式是傅里叶逆变换。 g(x,y) —是某物理量的空间域表示（物函数)；
Gf x , f y —是这个物理量（物函数）的空间频率域的描写，它称为傅里
叶频谱，简称的频谱。
y
fy
x
fx
2、傅里叶变换光学系统
❖ 由阿贝成像原理我们知道，不同方向的平面波经过透镜 后，在后焦面上得到物函数的频谱。与(1)式联系起来 可以看出，对物函数作傅里叶变换就得到傅里叶频谱函 数。这就是说，透镜起傅里叶变换的作用。
~ G fx1 ,fy1
R~x1, y1
G~* fx1 ,fy1
R~*x1, y1
R
2 0
G~G~ * R~ *
x1, y1
G~
fx1 , fy1
《信息光学》第四章章透镜的位相调制和傅里叶变换性质
1、透镜的位相调制作用
下面具体分析一下厚度函数(x,y)和透镜主要结构参数(构成透镜的两个球 面的曲率半径R1和R2)之间的关系。
x, y 1 x, y 2 x, y
将透镜一剖为二
1
x2 y2 R12
1
x2 y2
2R12
1
x,
y
01
R1
R12
x2 y2
d
f
透镜后焦面上的场是透镜前端场U1(x,y)的傅立叶变换(空间频谱)
根据透镜的位相调制功能，透镜后端场U2(x,y)为:
U
2
x,
y
U1
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
从透镜后端到后焦面光的传播属于菲涅耳衍射，利用菲涅耳衍射公式，后焦
面上的场U(x,y)为：U f
xf , yf
1 j f
根据厚度函数的表达式，可得到在旁轴近似下，光波通过透镜时在(x,y)点发生 的位相延迟
tl x, y exp jk0 exp jk n 1 x, y
x, y 0
x2 y2 2
1 R1
1 R2
tl x, y exp jkn0 exp jk n 1
x2 y2 2
L(x,y)是Q到Q’之间的光程：
L x, y n x, y 0 x, y 0 n 1 x, y
则
tl x, y exp jk0 exp jk n 1 x, y
L(x,y)
上式具有普遍意义，对于任意面形的薄位相物体，一旦知道其厚度函数(x,y)， 就可以根据该式得到其位相调制。
本章主要内容
1 2、透镜的傅里叶变换性质 3、光学频谱分析系统
0、序 言
傅里叶变换光学课件
相因子判断法
• 知道了衍射屏的屏函数，就可以确定衍射场，进 而完全确定接收场。
• 但由于衍射屏的复杂性以及衍射积分求解的困难， 完全确定屏函数几乎是不可能的。
• 采取一定的近似方法获取衍射场的主要特征。 • 了解了屏函数的位相，则能通过研究波的位相改
变来确定波场的变化。这种方法称为相因子判断法。 • 一般都是在傍轴近似下进行判断。
52
除0级外，全开放 53
振动（电场强度）分布 像平面
4F系统
• 物平面O，变换平面T，像平面I：OTI系统
54
空间频率滤波举例 1. 网格实验
频 谱
像
(a)
(b)
(c)
焦平面 谱面
像面
(d)
55
➢若只让焦平面上的亮点透过在象平面上出现清洁 的光栅图形--其它图形滤掉。 ➢若挡住焦平面上的亮点在象平面上出现消除了光栅 线条的图形。
45
空间滤波
• 空间频率与波的衍射角相关， 可以据此做成低通、高通或带通的滤波装置
衍射屏或物的空间频率
低通
高通
带通
46
低通
高通
带通
47
阿贝（1874）—波特（1906）空间滤波实验 • 以黑白光栅为物，单色平行光照射 • 在傅氏面上加一可调狭缝，观察像的变化
48
像平面 可调光阑
傅氏面
黑白光栅
49
(c)
(d)
61
θ调制
0级
x
1级
光缝
花白 底白 叶白
蓝绿红 蓝绿红 蓝绿红
花
叶
底 红 绿蓝
白
底
蓝绿 红
花 叶
62
相衬显微镜
• 很薄的透明样品，例如生物切片，对光的 吸收很小，因而不同的部分反差较小，在 显微镜下观察，不容易分辨细节。这类样 品，不会引起透射光振幅的改变，所以不 是振幅型的；但由于各处折射率并不相同， 因而透射光的相位会有改变，是相位型的。
第四章 透镜的位相调制和傅里叶变换性质
tl x, y exp jk0 exp jk n 1 x, y
x, y 0
x2 y2 2
1 1
R1
R2
tl x, y exp jkn0 exp jk n 1
x2 y2 2
1 R1
1 R2
1 f
n
1
1 R1
1 R2
tl
x,
y
exp
jkn0
exp
x,
y
传播：光波由一个平面向另一个平面传播一段距离，用菲
涅尔衍射处理
U0 x0 , y0 Ul x, y Ul x, y U f x f , y f
Ul x, y
1 k
j d1
exp
j
2d1
x2 y2
F U0
x0 ,
y0
exp
j
k 2d1
x02 y02
xf
d
,
fy
yf
d
透镜后焦面上的复振幅分布正比于物体的傅里叶变换
对应的强度分布为
I f
xf , yf
Af
d 2
2
T
xf
d
,
yf
d
2
知识点回顾
透镜的复振幅透过率
tl (x, y) exp[ j
k 2f
(x2
y2 )]
1 f
n
1
1 R1
1 R2
考虑透镜孔径
tl (x, y)
exp[
(x,
y)
exp
j
2
f
x2 y2
U f
xf , yf
exp
j
jkf f
exp
j
4_透镜的傅里叶变换性质
14
二、透镜的傅里叶变换推导
– 2.1、物在透镜前任意位置的两次菲涅尔衍射推导
第一次菲涅尔衍射
物面（x0,,y0）
透镜（,）
像面（xi,yi）
Uo
do
Ul
Ul’
di
Ui
Ul(,)
1 j d0
exp(jkd0)exp j
k 2d
0
(
2
2) .
U 0(x0,y 0)
U0 (x0,y0) Ul
Ul'
Uf (xf,yf)
t(x0,y0)
d0
f
位置
分析方法
物体紧靠透镜 会聚球面波照明下的菲涅尔衍射即是入射场的FT 前后
物体在透镜后 经过透镜后任意距离处照明物面上的光波仍是会聚的球面 一定距离处 波，其会聚点在焦面上
透镜前任意距 将物看做是谱，物面到镜头前的空间传递函数是可以知道
2 y2
2R
2 2
( x,
y)
0
(x2
2
y2)
1 R1
1 R2
ti (x,
y)
exp(
jkn0 ) exp
jk(n 1)
x2
2
y2
1 R1
1 R2
1 f
(n
1)
1 R1
1 R2
(x, y) 1(x, y) 2(x, y)
01 02 R1 1
1
x2 y2 R12
+R2
1
1
傅里叶变换光学系统(1)
傅里叶变换光学系统组号 4 09光信 王宏磊 09327004（合作人： 刘浩明 杨纯川）一、实验目的和内容1、了解透镜对入射波前的相位调制原理。
2、加深对透镜复振幅、传递函数、透过率等参量的物理意义的认识。
3、观察透镜的傅氏变换（FT ）图像，观察4f 系统的反傅氏变换（IFT ）图像，并进行比较。
4、在4f 系统的变换平面（T ）插入各种空间滤波器，观察各种试件相应的频谱处理图像。
二、实验原理1、透镜的FT 性质及常用函数与图形的关学频谱分析力。
图1 在该点的厚度。
设原复振幅分布为(,)L U x y 其复振幅分布受到透镜的位相调制，附加了一个位相因(,)x y ϕ后变为(,)L U x y '：图1(,)(,)exp[(,)]L L U x y U x y j x y ϕ'= （1） 若对于任意一点（x ，y ）透镜的厚度为(,)D x y ，透镜的中心厚度为0D 。
光线由该点通过透镜时在透镜中的距离为(,)D x y ，空气空的距离为0D －(,)D x y ，透镜折射率为n ，则该点的总的位相差为：00(,)[(,)](,)(1)(,)x y k D D x y knD x y kD k n D x y ϕ=-+=+- （2）（2）中的k ＝2π/λ，为入射光波波数。
用位相延迟因子(,)t x y 来表示即为：0(,)exp()exp[(1)(,)]t x y jkD jk n D x y =- （3）由此可见只要知道透镜的厚度函数(,)D x y 就可得出其相位调制。
在球面镜傍轴区域，用抛物面近似球面，可以得到球面透镜的厚度函数为：22012111(,)()()2D x y D x y R R =-+- （4） 其中1R 、2R 是构成透镜的两个球面的曲率半径。
公式（4）对双凹、双凸、或凹凸透镜都成立。
引入焦距f ，其定义为： 12111(1)()n f R R =-- （5） 代入（3）得： 220(,)exp()exp[()]2k t x y jknD j x y f=-+ （6） 式（6）即是透镜位相调制的表达式，它表明复振幅(,)L U x y 通过透镜时，透镜各点都发生位相延迟。
物理光学傅里叶变换
物理光学傅里叶变换
傅里叶变换是信号处理领域中的一种重要技术，它在物理学、工程学、生物医学等多个领域都有广泛的应用。
在物理光学中，傅里叶变换也扮演着重要的角色。
在物理光学中，傅里叶变换被用来分析光波的频谱和相干性。
通过傅里叶变换，可以将光波的时间域信号转换为频域信号，从而揭示光波的频率成分和相干性。
这对于理解光的波动性质、光的干涉和衍射等现象具有重要的意义。
此外，傅里叶变换还可以用于分析光波的偏振状态。
通过傅里叶变换，可以计算光波的偏振度、偏振方向等参数，从而揭示光波的偏振性质。
这对于理解光的偏振现象、光的干涉和衍射等现象具有重要的意义。
透镜的傅里叶变换性质
:透镜将照明光波变换成会聚球面波, 会聚点是照明点光 源的共轭像点.从而在此会聚点处(注意:不是物本身的像 点)得到物的F.T., 但比例尺度改变.
§3.2 透镜的傅里叶变换性质：小结
我们特别关注物在透镜前, q=f, d0=f 的特殊情形。此时
U (x, y) c
t(x0 , y0 ) exp
透镜的复振幅 透过率：
t(x,透y)镜 e的xpF[.T.j性k质(x2 y 2 )]
2f
物体放在焦距为 f 的透镜的前焦面， 用波长为 的单色平面波垂直入射照明，
物函数t(x0,y0)的准确
的傅里叶变换
在透镜后焦面上得到：
变换的空频坐标与后焦面空 间坐标 xf, yf 的关系：
fx
xf
f,Βιβλιοθήκη fyyf关系。
利用菲涅耳公式，透镜前表面:
dUl
( x0
',
y0
';
x,
y)
exp( jkd0 )
jd0
(
x0
x0
,
y0
y0
)
exp
jk
(x
x0
)2 ( 2d0
y
y0
)2
dx0dy0
可写成:
exp[ jkd0
jd 0
]
exp
jk
(x
x0
)2 (y 2d 0
y0
)2
dUl (x0 , y0; x, y)
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
透镜的后焦面是输入物体的频谱面
透镜后焦面上不同位置的点,对应物体衍射光场的不同空间频 率分量
x0 fx2
xf
fx2> fx1
光学透镜的傅立叶变换
位 相 滤 波 器
例1:
例2:
原彩色像
恢复的彩色像
(4)图像识别
联合傅里叶变换(joint Fourier transform)是重要 的相关处理器，大量应用于图象、特征识别，在指 纹识别、字符识别、空中目标和地面遥感图识别等 领域已逐步进入实用化阶段
原理: 将一对待识别的图象通过马赫—曾特干涉仪并
排写入光寻址空间光调制器LCLV，将联合傅里叶 变换的复振幅谱转化为功率谱，用激光读出，再次 通过傅里叶变换由CCD探测后，经过数字图象处理 系统进行后处理，判别图象相关性。
联合变换相关图象识别系统
ST LA
CCD
BS1 SP
L2
L1
A
M1
DP2
DP1 PBS
LCL P
O1
V
FTL2
FTL BS3 计算机⎯1 数字图
例1:
例2:
装备在导弹头部的图像识别系统
总结Байду номын сангаас
从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一 个函数转换为一系列周期函数来处理的。从 物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域 转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域 转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物 理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像 的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的 频率分布函数变换为灰度分布函数。
象处理系统
O2
CRT
M3
BS2 DP3 M2
LA，激光器；ST, 光束升降器；SP，空间（针孔）滤波器； BS1~BS3, 分光镜; O1~O2,待识别物体; L1~ L2，准直镜； FTL1~FTL2，傅里叶变换透镜；DP1~DP2，可变光栏； P,偏振片；LCLV,液晶光阀；PBS, 偏振分光镜; A,可变减光板
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f
f‘
准确傅里叶变换 截止频率
2.空间带宽乘积：
SW
2D1
2D1 sin u
(
D
/
2)
( f
D1
/
2)
2
D1
D D1 f
D1
4. 傅里叶变换透镜
a.傅里叶变换透镜的截止频率、空间带宽乘积和视场
(xo,yo)
D1=2h
vu
(ξ, η)
u‘ D
f
f‘
非准确傅里叶变换 截止频率
2.空间带宽乘积： SW
解： 2）非准确傅里叶变换的截止频率和SW
D D1 2 f
1 200 35 3 2 200 6104
432.6
SW 2D1 2 432.6 35 30282
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4. 傅里叶变换透镜
a.傅里叶变换透镜的截止频率、空间带宽乘积和视场
SWmax
f 4
( D)2 f
200 4 6 104
(1)2 3
9259
SWmax 2 D1
SWmax D
9259 1 200
138.9
3
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4. 傅里叶变换透镜
a.傅里叶变换透镜的截止频率、空间带宽乘积和视场
3.视场：
SW与拉赫不变量的内在联系
Optical Information Processing
光学信息处理
第七章
Spatial Filtering
空间滤波
4. 傅里叶变换透镜
a.傅里叶变换透镜的截止频率、空间带宽乘积和视场
(ξ,η)
(xo,yo)
D1=2
u
h
u‘ D
f
f‘
1.截止频率
sin u
(D / 2) (D1 / 2) D D1
解： 1）准确傅里叶变换的截止频率和SW
D D1 2 f
1 200 35 3 2 200 6104
132
SW 2D1 2132 35 9236
4. 傅里叶变换透镜
a.傅里叶变换透镜的截止频率、空间带宽乘积和视场
例题：一傅里叶透镜相对孔径为1/3,焦距为200mm 光波长为600nm，1）当图片幅宽为35mm时的准确傅里叶变换截止频率为多少？空 间带宽乘积是多少？2）此时非准确傅里叶变换截止频率又为多少？其空间带宽 乘积又是多少？ 3）该傅里叶变换系统的最大截止频率为多少？最大空间带宽乘 积是多少？
SWmax
2
h( D / 2) f
J nhu
1.SW大，则拉赫不变量J大
2.SW（J)大，则视场大
3.SW（J)大，则设计难度大，加工难度大，制造成本高
D1=2h
u
u‘ D
D1
D 2
f
f‘
SWmax
f 4
( D)2 f
视场不宜过大，也不宜过小，取透镜的一半是为最佳！
D1
D 2
2h
SWmax
2
h( D / 2) f
4. 傅里叶变换透镜
a.傅里叶变换透镜的截止频率、空间带宽乘积和视场
例题：一傅里叶透镜相对孔径为1/3,焦距为200mm 光波长为600nm，1）当图片幅宽为35mm时的准确傅里叶变换截止频率为多少？空 间带宽乘积是多少？2）此时非准确傅里叶变换截止频率又为多少？其空间带宽乘 积又是多少？ 3）该傅里叶变换系统的最大截止频率为多少？最大空间带宽乘积 是多少？
fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 f
准确傅里叶变换 截止频率
4. 傅里叶变换透镜
a.傅里叶变换透镜的截止频率、空间带宽乘积和视场
(xo,yo)
D1=2h
vu
(ξ, η)
u‘ D
1.截止频率
f
f‘
sin v (D / 2) (D1 / 2) D D1 非准确傅里叶变换
f
2 f
截止频率
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例题：一傅里叶透镜相对孔径为1/3,焦距为200mm 光波长为600nm，1）当图片幅宽为35mm时的准确傅里叶变换截止频率为多少？空 间带宽乘积是多少？2）此时非准确傅里叶变换截止频率又为多少？其空间带宽 乘积又是多少？ 3）该傅里叶变换系统最大空间带宽乘积是多少？此时最大截止 频率为多少？
解：3）最大空间带宽乘积和带宽
4. 傅里叶变换透镜
a.傅里叶变换透镜的截止频率、空间带宽乘积和视场
(xo,yo)
D1=2h
vu
(ξ, η)
u‘ D
f
f‘
平衡截止频率的方法： D D1 D D1
2 f
2 f
增大D
4. 傅里叶变换透镜
a.傅里叶变换透镜的截止频率、空间带宽乘积和视场
(xo,yo)
D1=2h
vu
(ξ, η)
u‘ D
2D1
2D1 sin v
(D / 2) (D1 f
/ 2)
2D1
D D1 f
D1
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4. 傅里叶变换透镜
a.傅里叶变换透镜的截止频率、空间带宽乘积和视场
(ξ,η)
3.视场： SW
D D1 f
D1
SW D1
D 2D1 f
0
(xo,yo)