2020版高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第9讲学案理解析版

第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第9讲

A 组 基础关

1．(2018·广西南宁模拟)设随机变量X ～N (5，σ2

)，若P (X ＞10－a )＝0.4，则P (X ＞

a )＝( )

A ．0.6

B ．0.4

C ．0.3

D ．0.2

答案 A

解析 因为随机变量X ～N (5，σ2

)，所以P (X ＞5)＝P (X ＜5)．因为P (X ＞10－a )＝0.4，所以P (X ＞a )＝1－P (X ＜a )＝1－0.4＝0.6.故选A.

2．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6

答案 B

解析 由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (Y )＝(－1)2

D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.故选B.

3．(2018·浙江嘉兴适应性训练)随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)＝( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

答案 C

解析 p ＝1－16－13＝12

，

E (X )＝0×1

6＋2×12＋a ×13

＝2⇒a ＝3，

∴D (X )＝(0－2)2×16＋(2－2)2×12＋(3－2)2

×13＝1.

∴D (2X －3)＝22

D (X )＝4.

4．(2018· 潍坊模拟)我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度ξ服从正态分布(100，

σ2)(σ＞0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.7，则他的速度超过120的概率为( )

A ．0.05

B ．0.1

C ．0.15

D ．0.2

答案 C

解析 由题意可得，μ＝100，且P (80＜ξ＜120)＝0.7，

则P (ξ＜80或ξ＞120)＝1－P (80＜ξ＜120)＝1－0.7＝0.3， ∴P (ξ＞120)＝1

2P (ξ＜80或ξ＞120)＝0.15.

则他的速度超过120的概率为0.15.

5．有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用ξ表示取到次品的件数，则E (ξ)等于( )

A.35

B.

815

C.1415

D ．1

答案 A

解析 ξ服从超几何分布P (ξ＝x )＝C x 3C 2－x

7

C 210(x ＝0,1,2)，

则P (ξ＝0)＝C 2

7C 210＝2145＝7

15，

P (ξ＝1)＝C 17C 1

3C 210＝7

15，

P (ξ＝2)＝C 23C 210＝1

15

.

故E (ξ)＝0×715＋1×715＋2×115＝3

5

.故选A.

6．某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A 等级的概率分别为4

5，

35，2

5

，且三门课程的成绩是否取得A 等级相互独立．记ξ为该生取得A 等级的课程数，其分布列如下表所示，则数学期望E (ξ)的值为( )

A.39125

B.9

C.95 D ．1

答案 C

解析 ①学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，有两门取得A 等级有以下

三种情况：政、史；政、地；地、史，∴P (ξ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×35×25＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×25＋45×35×⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－25＝58125

. ②根据分布列的性质可得，P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－

6125

－

58125－24125＝37125

. E (ξ)＝0×

6125＋1×37125＋2×58125＋3×24125＝225125＝9

5

，故选C. 7．已知抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中记随机变量ξ＝“|a －b |的取值”，则ξ的数学期望

E (ξ)为( )

A.8

9 B.3

5 C.25 D.13

答案 A

解析 由于对称轴在y 轴左侧，故－b

2a ＜0，故a ，b 同号，基本事件有3×3×7×2＝

126，ξ的可能取值有0,1,2三种．P (ξ＝0)＝6×7126＝13，P (ξ＝1)＝8×7126＝4

9，P (ξ＝2)＝

4×7126＝29，故期望值为0×13＋1×49＋2×29＝8

9

，故选A. 8．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ，η，其分布列分别为：

________． 答案 乙

解析 甲、乙的均值分别为E (ξ)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，

E (η)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，

所以E (ξ)>E (η)， 故乙的技术较好．

9．设平面上的动点P (1，y )的纵坐标y 等可能地取－22，－3，0，3，22，用

ξ表示点P 到坐标原点的距离，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝________.

答案

115

解析 由题意，随机变量ξ的值分别为3,2,1，则随机变量ξ的分布列为

所以随机变量ξ