人教版高中数学高二人教A版选修1-1习题 章末评估验收(一)

章末评估验收(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列语句：①平行四边形不是梯形； ②3是无理数；③方程9x 2－1＝0的解是x ＝±13； ④这是一棵大树．其中是命题的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①②③都是命题；对于④，由于“大树”没有规定标准，不能判断真假，所以④不是命题．答案：C2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：根据特称命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．答案：B3．“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：当φ＝π时，y＝sin(2x＋π)＝－sin 2x，此时曲线过坐标原点，但曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点时，φ＝kπ(k∈Z)，所以“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．答案：A4．若“x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜－1，则x2＞1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：－1＜x＜1的否定是x≥1或x≤－1；x2＜1的否定是x2≥1.则逆否命题为：若x≥1或x≤－1则x2≥1.答案：D5．下列命题中，是真命题的是()A．若向量a，b满足a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若0＜a＜b，则1a＜1bC．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列D．∃x∈R，使得sin x＋cos x＝43成立解析：对于A 中，当a ⊥b 时，a ·b ＝0也成立，此时不一定有a ＝0或b ＝0，显然B 是假命题；对于C ，“b 2＝ac ”是“a ，b ，c 成等比数列”的必要不充分条件；对于D ，因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2， 2 ]，所以该命题正确． 答案：D6．命题“设a ，b ，c ∈R ，若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：原命题为真，则逆否命题也为真；逆命题“设a ，b ，c ∈R ，若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”是假命题，故否命题也为假命题，因此真命题有2个．答案：C7．命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，命题q ：∃θ∈R ，sin 2θ＋cos 2θ＝1.5，则下列命题中真命题是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．(綈p )∨qD ．p ∨(綈q )解析：易知p 为真，q 为假，綈p 为假，綈q 为真．由真值表可知p ∧q 假，(綈p )∧q 假，(綈p )∨q 为假，(綈p )∨q 假，p ∨(綈q )真．答案：D8．下列说法错误的是( )A ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”C ．△ABC 中，“sin A ＞sin B ”是“A ＞B ”的充要条件D ．如果命题“綈p ”与命题“p ∨q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题解析：因为sin θ＝12⇒θ＝k ·360°＋30°或θ＝k ·360°＋150°(k ∈Z)，反之当θ＝30°时，sin θ＝12，所以 “sin θ＝12”是“θ＝30°”的必要不充分条件．答案：A9．设f (x )＝x 2－4x (x ∈R)，则f (x )＞0的一个必要不充分条件是( )A ．x ＜0B ．x ＜0或x ＞4C ．|x －1|＞1D ．|x －2|＞3解析：由x 2－4x ＞0有x ＞4或x ＜0，故C 选项符合．答案：C10．下列命题中为假命题的是( )A ．∀x ＞0且x ≠1，x ＋1x＞2 B ．∀a ∈R ，直线ax ＋y ＝a 恒过定点(1，0)C ．∃m 0∈R ，f (x )＝(m 0－1)·xm 20－4m 0＋3是幂函数D ．∀φ∈R ，函数，f (x )＝sin (2x ＋φ)不是偶函数解析：当x ＞0时，x ＋1x≥2，等号在x ＝1时成立，故A 为真命题；将x ＝1，y ＝0代入直线方程ax ＋y ＝a 中，等式成立，故B 为真命题；令m 0－1＝1，得m 0＝2，此时，f (x )＝x －1是幂函数，故C 为真命题；当φ＝π2时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 为偶函数，故D 为假命题．答案：D11．已知命题p (x )∶x 2＋2x －m ＞0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，8)C ．RD ．[3，8)解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m ＞0，解得m ＜8.故实数m 的取值范围为[3，8)．答案：D12．设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2，3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )A ．m ＞－1，n ＜5B ．m ＜－1，n ＜5C ．m ＞－1，n ＞5D ．m ＜－1，n ＞5解析：(2，3)∈A ∩(∁U B )，则⎩⎨⎧2×2－3＋m ＞0，2＋3－n ＞0.所以 m ＞－1，n ＜5.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．命题“∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ＞sin x ”的否定是__________． 解析：全称命题的否定是特称命题，故该命题的否定为“∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x 0≤sin x 0.” 答案：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x 0≤sin x 0 14．命题p ：y ＝f (x )为偶函数，命题q ：f （－x ）f （x ）＝1，则p 为q 的________条件．解析：当y ＝f (x )为偶函数时，推不出f （－x ）f （x ）＝1，如f (x )＝0，但当f （－x ）f （x ）＝1，则f (－x )＝f (x )，即y ＝f (x )为偶函数，则p 为q 的必要不充分条件．答案：必要不充分15．下列四种说法：①命题“∃x ∈R ，x 2－x ＞0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”； ②“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件； ③“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为真；④若实数x ，y ∈[0，1]，则满足x 2＋y 2＞1的概率为π4. 其中正确的是________(填序号)．解析：易知①正确；当p ∧q 为真时，有p ，q 都真，所以p ∨q 为真，但当p ∨q 为真时，p ，q 可一真一假，则p ∧q 为假，所以②正确；③中的逆命题为“若a ＜b ，则am 2＜bm 2”，当m ＝0时，不成立，所以③错误；由几何概型知其概率应为P ＝1－π41＝1－π4，所以④错误．答案：①②16．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋m ＜0；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0.若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是___________．解析：若p ∧q 为真，则p 真q 真．p 真的充要条件是x 2＜－m 有解，即m ＜0；而q 真的充要条件是Δ＝m 2－4＜0，即－2＜m ＜2，所以－2＜m ＜0.答案：(－2，0)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题、并判断所写出的命题的真假．(1)全等三角形一定相似；(2)末位数字是0的自然数能被5整除．解：(1)逆命题：若两个三角形相似，则它们一定全等，假命题． 否命题：若两个三角形不全等，则它们一定不相似，假命题． 逆否命题：若两个三角形不相似，则它们一定不全等，真命题．(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则它的末位数字是0，假命题．否命题：若一个自然数的末位数字不是0，则它不能被5整除，假命题．逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则它的末位数字不是0，真命题．18．(本小题满分12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(3)∀x∈{x|x＞0}，x＋1x＞2；(4)∃x0∈Z，log2x0≥2.解：(1)本题隐含了全称量词“所有的”，可表述为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题．(3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，假命题．(4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，真命题．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)是R上的增函数，a，b∈R，命题p：若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．写出命题p的逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解：逆否命题：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a ＋b ＜0，为真命题．证明如下：转化为证明原命题为真．当a ＋b ≥0时，有a ≥－b ，b ≥－a .又f (x )在R 上是增函数， 所以 f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，所以 f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，所以 原命题为真命题，即命题p 的逆否命题为真．20．(本小题满分12分)是否存在实数p ，使“4x ＋p ＜0”是“x 2－x －2＞0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；如果不存在，请说明理由．是否存在实数p ，使“4x ＋p ＜0”是“x 2－x －2＞0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解：由x 2－x －2＞0⇒x ＞2或x ＜－1；4x ＋p ＜0⇒x ＜－p 4，当－p 4≤－1， 即p ≥4时，由x ＜－p 4≤－1⇒x ＜－1⇒x 2－x －2＞0， 故当p ≥4时，“4x ＋p ＜0”是“x 2－x －2＞0”的充分条件． 由于x 2－x －2＞0 4x ＋p ＜0，所以不存在实数p ，使“4x ＋p ＜0”是“x 2－x －2＞0”的必要条件．21．(本小题满分12分)已知ab ≠0，求证a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.证明：必要性；因为a ＋b ＝1，即a ＋b －1＝0，所以 a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2＋b 2－ab )＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.充分性：因为a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，所以 (a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0，又因为ab ≠0，所以 a ≠0且b ≠0，所以 a 2＋b 2－ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2＞0， 所以 a ＋b －1＝0.所以 a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.22．(本小题满分12分)已知c ＞0，设命题p ：y ＝c x 为减函数，命题q ：函数f (x )＝x ＋1x ＞1c 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恒成立．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求c 的取值范围．解：由p ∨q 为真，p ∧q 为假，知p 与q 为一真一假，对p ，q 进行分类讨论即可．若p 真，由y ＝c x为减函数，得0＜c ＜1，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，由不高中数学-打印版精心校对 等式x ＋ 1x ≥2(x ＝1时取等号)知，f (x )＝x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最小值为2.若q 真，则有1c ＜2，即c ＞12. 若p 真q 假，则0＜c ＜1，c ≤12，所以0＜c ≤12； 若p 假q 真，则c ≥1，c ＞12，所以c ≥1. 综上可得，c ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)．。