二次函数与根的判别式的关系 (2)
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验证一下,一元二次方程 x2 - 2x + 2 = 0 有根吗?
(3) 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和x轴交点的坐标与一 元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根有什么关系？
二次函数 y x 2 2x 一元二次方程 x 2 2 x 0
的图象与x轴有几个交点 有几个根？
二次函数 y x 2 2x 2 一元二次方程x 2 2x 2 0
的图象与x轴的交点？ 的根？
解：∵ b 2 4ac (2)2 41 2 4 0
原方程无实数根
与x轴没有交点
方程没有实数根
议一议
二次函数 y ax 2 bx c 的图
h/m h 5t 2 40t
解: 令h 60 5t 2 40t 60 t 2 8t 12 0
(t 2)(t 6) 0 t1 2，t2 6
故2s和6s时，小球离地 t/s 面的高度是60m.
合作探索
二次函数与一元二次方程的联系
二次函数 y ax2 bx c与直线y=m有交点，交点的
（1）h和t的关系式是什么？
h/m
h 5t 2 40t
（2）小球经过多少秒后落地？
[方法一]看图象 8秒落地
[方法二]解方程 -5t2+40t=0
t/s
活动
观察下列二次函数y = x2 + 2x,y = x2 - 2x + 1,y = x2 - 2x + 2 的图象.
(1) 每个图象与x 轴有几个交点？ (2) 一元二次方程 x2 + 2x = 0,x2 - 2x +1 = 0 有几个根?
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程 （第1课时）
【例】竖直上抛物体的高度h(m) 与运动时间t(s)的关系可用公式
h 5t 2 v 0t h0
表示, 其中h0(m) 是抛出时的高 度, v0(m/s)是抛出时的速度.
引例：小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的
关系 h 5t 2 v 0t h0 抛物线如图所示，观察并思 考下列问题：
象与x轴的交点的坐标与一元二次
方程ax2+bx+c=0的根有什么关源自文库？
二次函数 y ax2 bx c 与x轴有交点，
交点的横坐标为x0，那么当x=x0时，函数的值
是0，因此x=x0就是方程 ax2 bx c 0 的根.
想一想
（3）何时小球离地面的高度是
60m？你是如何知道的？
教材变形 【例】 一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度 h(m )可以用公式 h = -4.9t2 +19.6t 来表示．其中t(s) 表示足球被踢出后经过的时间． （1）t=1时,足球的高度是多少? （2）t为何值时,h最大?
解: (1)t=1时,h=14.7
(2)∵ h=-4.9 t22+19.6 ∴当t=2时,h最大
x 1 0，x 2 2
与x轴有两个交点：
（-2,0）、（0,0）
方程的两个根：0、-2
二次函数 y x 2 2x 1 一元二次方程 x 2 2x 1 0 的图象与x轴交点坐标？ 的根？
解：(x 1)2 0 x 1 0
x1 x 2 1
与x轴有一个交点：(1,0) 方程有两个相同的根：1
与x轴没有交点
方程没有实数根
归纳整理 二次函数 y ax 2 bx c 的图
象与x轴的交点的情况与一元二次 方程ax2+bx+c=0根的个数有什么关
系？
二次函数 y ax2 bx c 一元二次方程ax2+bx+c=0
的图象与x轴的交点有三种 的根有三种情况：
情况：
有两个交点
教材变形
【例】 一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度 h（m）可以用公式 h = -4.9t2 +19.6t 来表示．其中t （s）表示足球被踢出后经过的时间．
（3）球经过多长时间球落地？
解（: 3）对于 h = -4.9t2 +19.6t 球落地意味着h=0 即 -4.9t2 + 19.6t = 0 , 解得t1=0（舍去）, t2=4 ．即足球被踢出后经过4s后球落地.
横坐标即为方程ax2+bx+c=m的解.
例如:如果已知二次函数 y = 2x2 - 3x + 1 的y值为-1, 求自变量x值,就是求一元二次方程 2x2 - 3x + 1 = -1
的根
反之.解方程 2x2 - 3x + 1 = -1 ,又可以看做已知 二次函数 y = 2x2 - 3x + 1 的y值为-1,求自变量x值
教材变形
【例】 一个足球被从地面向上踢出,它距地面 的高度h ( m )可以用公式 h = -4.9t2 +19.6t 来表 示．其中t ( s )表示足球被踢出后经过的时间． （1）t=1时,足球的高度是多少? （2）t为何值时,h最大？ （3）球经过多长时间球落地? （4）方程 14.7 = -4.9t2 +19.6t 的根的实际意义是 什么?你能在图上表示吗？
有两个不相等的实数根
有一个交点
有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
理清关系
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和x轴交点的情况与一 元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的个数有什么关系？
二次函数的图象 一元二次方程的 与x轴的交点 根
有两个交点 有一个交点
有两个不相等的 实数根
有两个相等的实 数根
一元二次方程根的 判别式 Δ = b2 - 4ac
b2 - 4ac＞0
b2 - 4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2 - 4ac＜0
二次函数 y x 2 2x 一元二次方程 x 2 2 x 0
的图象与x轴有交点坐标 的根？
解：x (x 2) 0 x 0或x 2 0
与x轴有两个交点
方程有两个根
二次函数 y x 2 2x 1 一元二次方程 x 2 2x 1 0 的图象与x轴有几个交点？ 有几个根？
与x轴有一个交点
方程有两个相同的根
二次函数 y x 2 2x 2 一元二次方程x 2 2x 2 0
的图象与x轴有几个交点？ 有几个根？
(3) 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和x轴交点的坐标与一 元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根有什么关系？
二次函数 y x 2 2x 一元二次方程 x 2 2 x 0
的图象与x轴有几个交点 有几个根？
二次函数 y x 2 2x 2 一元二次方程x 2 2x 2 0
的图象与x轴的交点？ 的根？
解：∵ b 2 4ac (2)2 41 2 4 0
原方程无实数根
与x轴没有交点
方程没有实数根
议一议
二次函数 y ax 2 bx c 的图
h/m h 5t 2 40t
解: 令h 60 5t 2 40t 60 t 2 8t 12 0
(t 2)(t 6) 0 t1 2，t2 6
故2s和6s时，小球离地 t/s 面的高度是60m.
合作探索
二次函数与一元二次方程的联系
二次函数 y ax2 bx c与直线y=m有交点，交点的
（1）h和t的关系式是什么？
h/m
h 5t 2 40t
（2）小球经过多少秒后落地？
[方法一]看图象 8秒落地
[方法二]解方程 -5t2+40t=0
t/s
活动
观察下列二次函数y = x2 + 2x,y = x2 - 2x + 1,y = x2 - 2x + 2 的图象.
(1) 每个图象与x 轴有几个交点？ (2) 一元二次方程 x2 + 2x = 0,x2 - 2x +1 = 0 有几个根?
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程 （第1课时）
【例】竖直上抛物体的高度h(m) 与运动时间t(s)的关系可用公式
h 5t 2 v 0t h0
表示, 其中h0(m) 是抛出时的高 度, v0(m/s)是抛出时的速度.
引例：小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的
关系 h 5t 2 v 0t h0 抛物线如图所示，观察并思 考下列问题：
象与x轴的交点的坐标与一元二次
方程ax2+bx+c=0的根有什么关源自文库？
二次函数 y ax2 bx c 与x轴有交点，
交点的横坐标为x0，那么当x=x0时，函数的值
是0，因此x=x0就是方程 ax2 bx c 0 的根.
想一想
（3）何时小球离地面的高度是
60m？你是如何知道的？
教材变形 【例】 一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度 h(m )可以用公式 h = -4.9t2 +19.6t 来表示．其中t(s) 表示足球被踢出后经过的时间． （1）t=1时,足球的高度是多少? （2）t为何值时,h最大?
解: (1)t=1时,h=14.7
(2)∵ h=-4.9 t22+19.6 ∴当t=2时,h最大
x 1 0，x 2 2
与x轴有两个交点：
（-2,0）、（0,0）
方程的两个根：0、-2
二次函数 y x 2 2x 1 一元二次方程 x 2 2x 1 0 的图象与x轴交点坐标？ 的根？
解：(x 1)2 0 x 1 0
x1 x 2 1
与x轴有一个交点：(1,0) 方程有两个相同的根：1
与x轴没有交点
方程没有实数根
归纳整理 二次函数 y ax 2 bx c 的图
象与x轴的交点的情况与一元二次 方程ax2+bx+c=0根的个数有什么关
系？
二次函数 y ax2 bx c 一元二次方程ax2+bx+c=0
的图象与x轴的交点有三种 的根有三种情况：
情况：
有两个交点
教材变形
【例】 一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度 h（m）可以用公式 h = -4.9t2 +19.6t 来表示．其中t （s）表示足球被踢出后经过的时间．
（3）球经过多长时间球落地？
解（: 3）对于 h = -4.9t2 +19.6t 球落地意味着h=0 即 -4.9t2 + 19.6t = 0 , 解得t1=0（舍去）, t2=4 ．即足球被踢出后经过4s后球落地.
横坐标即为方程ax2+bx+c=m的解.
例如:如果已知二次函数 y = 2x2 - 3x + 1 的y值为-1, 求自变量x值,就是求一元二次方程 2x2 - 3x + 1 = -1
的根
反之.解方程 2x2 - 3x + 1 = -1 ,又可以看做已知 二次函数 y = 2x2 - 3x + 1 的y值为-1,求自变量x值
教材变形
【例】 一个足球被从地面向上踢出,它距地面 的高度h ( m )可以用公式 h = -4.9t2 +19.6t 来表 示．其中t ( s )表示足球被踢出后经过的时间． （1）t=1时,足球的高度是多少? （2）t为何值时,h最大？ （3）球经过多长时间球落地? （4）方程 14.7 = -4.9t2 +19.6t 的根的实际意义是 什么?你能在图上表示吗？
有两个不相等的实数根
有一个交点
有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
理清关系
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和x轴交点的情况与一 元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的个数有什么关系？
二次函数的图象 一元二次方程的 与x轴的交点 根
有两个交点 有一个交点
有两个不相等的 实数根
有两个相等的实 数根
一元二次方程根的 判别式 Δ = b2 - 4ac
b2 - 4ac＞0
b2 - 4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2 - 4ac＜0
二次函数 y x 2 2x 一元二次方程 x 2 2 x 0
的图象与x轴有交点坐标 的根？
解：x (x 2) 0 x 0或x 2 0
与x轴有两个交点
方程有两个根
二次函数 y x 2 2x 1 一元二次方程 x 2 2x 1 0 的图象与x轴有几个交点？ 有几个根？
与x轴有一个交点
方程有两个相同的根
二次函数 y x 2 2x 2 一元二次方程x 2 2x 2 0
的图象与x轴有几个交点？ 有几个根？