二次函数与根的判别式的关系 (2)
二次函数与根的判别式的关系
没有交点
没有实数根
结合前面的问题填表：
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象和x轴的交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
有两个交点 有两个相异的实数根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的 判别式Δ=b2-4ac
b2-4ac &g个相等的实数根 没有实数根
b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
(1)抛物线与x轴有 一 个
交点，它们的横坐标
是2
；
y x 2 4x 4
(2)当x取交点的横坐标 时，函数是 0 ；
(3)所以方程x 2 4x 4 0的根是
x1=x2=2 .
2.已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有交 点，求k的取值范围.
解：由△=（－7）2－4×k×（－7）=49＋28k＞0， 得k＞－ 7 ． 4
观察判断下列图象哪个有可能是函数y x2 2x 3 的图象？
y
y
A.
O
B.
x
O
x
y
C.
O
y
√D.
O
x
x
一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛
起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关
系如图所示，观察并思考下列问题：
h/m
（3）何时小球离地面的高度
是60m？你是如何知道的？
解 : 令h 60 5t2 40t 60 t2 8t 12 0 (t 2)(t 6) 0 t/s t1 2，t2 6
一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛
起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关
系如图所示，观察并思考下列问题：
二次函数与根的判别式的关系 (2)
教材变形
【例】 一个足球被从地面向上踢出,它距地面 的高度h ( m )可以用公式 h = -4.9t2 +19.6t 来表 示．其中t ( s )表示足球被踢出后经过的时间． （1）t=1时,足球的高度是多少? （2）t为何值时,h最大？ （3）球经过多长时间球落地? （4）方程 14.7 = -4.9t2 +19.6t 的根的实际意义是 什么?你能在图上表示吗？
（1）h和t的关系式是什么？
h/m
h 5t 2 40t
（2）小球经过多少秒后落地？
[方法一]看图象 8秒落地
[方法二]解方程 -5t2+40t=0
t/s
活动
观察下列二次函数y = x2 + 2x,y = x2 - 2x + 1,y = x2 - 2x + 2 的图象.
(1) 每个图象与x 轴有几个交点？ (2) 一元二次方程 x2 + 2x = 0,x2 - 2x +1 = 0 有几个根?
与x轴没有交点
方程没有实数根
归纳整理 二次函数 y ax 2 bx c 的图
象与x轴的交点的情况与一元二次 方程ax2+bx+c=0根的个数有什么关
系？
二次函数 y ax2 bx c 一元二次方程ax2+bx+c=0
的图象与x轴的交点有三种 的根有三种情况：
情况：
有两个交点
h/m h 5t 2 40t
解: 令h 60 5t 2 40t 60 t 2 8t 12 0
(t 2)(t 6) 0 t1 2，t2 6
故2s和6s时，小球离地 t/s 面的高度是60m.
北师大版数学九年级下册《二次函数与根的判别式的关系》教案2
北师大版数学九年级下册《二次函数与根的判别式的关系》教案2一. 教材分析《二次函数与根的判别式的关系》这一节的内容，主要让学生了解二次函数的根与判别式之间的关系，掌握判别式的计算方法，并能运用判别式判断二次方程的根的情况。
内容安排合理，由浅入深，既注重了知识的形成过程，又培养了学生的动手操作能力、归纳推理能力、数学语言表达能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的相关知识，对二次函数的图象和性质有一定的了解。
但根与判别式的关系这一概念较为抽象，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，我将以学生已有的知识为基础，引导学生通过观察、操作、归纳等方法，理解并掌握根与判别式之间的关系。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次方程的根与判别式之间的关系，能运用判别式判断二次方程的根的情况。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、归纳等方法，让学生体会数学知识的形成过程，培养学生的动手操作能力和归纳推理能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，增强学生对数学的兴趣和信心。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的根与判别式之间的关系。
2.难点：理解判别式的计算方法和运用判别式判断二次方程的根的情况。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入课题，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现法：引导学生观察、操作、归纳，发现二次函数的根与判别式之间的关系。
3.讲解法：在学生理解的基础上，进行讲解，使学生掌握知识。
4.练习法：通过适量练习，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数的图象和性质。
2.练习题：准备一些有关二次函数与根的判别式的练习题。
七. 教学过程导入（5分钟）1.利用生活实例引入二次函数的概念，让学生回顾二次函数的图象和性质。
2.提出问题：二次函数的根与判别式之间有什么关系？呈现（10分钟）1.利用课件展示二次函数的图象，引导学生观察二次函数的根与判别式之间的关系。
二次函数的根与判别式
二次函数的根与判别式二次函数是数学中常见的一类函数，其一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
二次函数的根是指函数f(x) = 0的解，即使得f(x)等于零的x值。
而判别式则是用来判断二次函数的根的性质和个数的重要工具。
本文将详细介绍二次函数的根与判别式的概念、计算方法以及相关性质。
一、二次函数的根二次函数的根即是使得f(x) = 0的x值。
为了求解二次函数的根，我们可以使用求根公式。
求根公式有两种形式，分别适用于一般形式和标准形式的二次函数。
1. 一般形式的二次函数对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以使用以下求根公式来求解其根：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，“±”表示两个解，即一个解为加号，另一个解为减号。
求根公式中的判别式b^2 - 4ac在后文中将详细介绍。
2. 标准形式的二次函数对于标准形式的二次函数f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标，我们可以通过移项和开平方的方式求解其根。
具体步骤如下：1) 将二次函数转化为一般形式：展开平方并化简得到f(x) = ax^2 + bx + c的形式；2) 根据一般形式的求根公式求解二次函数的根。
二、二次函数的判别式二次函数的判别式是用来判断二次函数的根的性质和个数的重要工具。
判别式的值可以分为三种情况：1. 判别式大于0（Δ > 0）当判别式大于0时，二次函数有两个不相等的实根。
也就是说，方程f(x) = 0有两个不同的实数解。
2. 判别式等于0（Δ = 0）当判别式等于0时，二次函数有两个相等的实根。
也就是说，方程f(x) = 0有且仅有一个实数解。
3. 判别式小于0（Δ < 0）当判别式小于0时，二次函数没有实根。
也就是说，方程f(x) = 0没有实数解。
三、二次函数根与判别式的关系二次函数的根与判别式之间存在着紧密的关系。
二次函数与根与系数的关系
二次函数与根与系数的关系二次函数是高中数学中的一个重要概念，也是数学中常见的一类函数。
在学习二次函数时，我们需要了解二次函数的根和系数之间的关系。
一、二次函数概述二次函数的标准形式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为实数，且a≠0。
二次函数的图像一般为抛物线，开口方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、二次函数的根与系数的关系1. 零点或根的概念二次函数的零点，也叫作根、解或x的值，表示函数在x轴上的交点。
即，当f(x)=0时，x的值就是二次函数的根。
2. 判别式的概念与性质对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们定义判别式Δ为：Δ = b^2 - 4ac判别式Δ可以用来判断二次函数的根的情况，根据Δ的取值可以分为以下三种情况：- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ=0时，方程有两个相等的实根；- 当Δ<0时，方程没有实根，即无解。
3. 系数与二次函数根的关系（1）二次函数的顶点横坐标二次函数的顶点横坐标可以通过以下公式计算得出：x_v = -b / (2a)（2）二次函数的顶点纵坐标二次函数的顶点纵坐标可以通过将横坐标带入函数表达式中计算得出：y_v = f(x_v) = f(-b / (2a))（3）二次函数的根和系数的关系根据二次函数的判别式Δ的性质，我们可以得到以下结论：- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
此时，根与系数的关系如下：- 两个根x_1和x_2的和等于- b / a（x_1 + x_2 = - b / a）；- 两个根x_1和x_2的积等于c / a（x_1 * x_2 = c / a）。
- 当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
此时，根与系数的关系如下：- 两个相等的根x_1和x_2都等于 - b / (2a)（x_1 = x_2 = - b / (2a)）；- 两个相等的根的和等于 - b / a（x_1 + x_2 = - b / a）；- 两个相等的根的积等于c / a（x_1 * x_2 = c / a）。
分析二次函数的根与判别式
分析二次函数的根与判别式二次函数是代数学中常见的一种函数形式，其一般表达式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
根据二次函数的一般表达式，我们可以推导出二次函数的判别式：Δ = b^2 - 4ac其中，Δ代表判别式。
在讨论二次函数的根的情况时，判别式起到了关键作用。
接下来，我们将分析二次函数的根与判别式之间的关系。
1. 当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根。
在这种情况下，判别式Δ大于0，意味着二次函数的图像与x轴有两个交点，即函数方程f(x) = 0有两个不相等的实根。
这意味着二次函数的抛物线与x轴相交于两个不同的点，图像呈现出凹向上的形状。
2. 当Δ = 0时，二次函数有两个相等的实根。
当判别式Δ等于0时，二次函数的图像与x轴有且仅有一个交点，这意味着函数方程f(x) = 0有两个相等的实根。
此时，二次函数的抛物线在x轴上切于一个点，图像呈现出一种特殊的情况，即对称轴与x轴重合。
3. 当Δ < 0时，二次函数没有实根。
如果判别式Δ小于0，那么二次函数的图像与x轴没有交点，函数方程f(x) = 0没有实根。
这种情况下，二次函数的抛物线完全位于x轴的上方或下方，图像呈现出凹向上或凹向下的形状。
通过分析二次函数的根与判别式，我们可以更好地理解二次函数的图像特征和解析特点。
判别式Δ的正负性决定了二次函数的根的情况，进而影响了函数的图像形状。
在应用中，我们可以利用二次函数的根与判别式来解决实际问题，如求解方程、优化问题等。
总之，判别式Δ在二次函数中的作用是决定了函数的根的情况，从而影响了函数的图像以及解析特征。
通过分析判别式Δ的正负性，我们可以准确地得知二次函数的根的情况，为进一步的数学研究和实际应用提供了便利。
二次函数的根与判别式
二次函数的根与判别式二次函数在数学中占据着重要的地位，在各种实际问题中都有广泛的应用。
而要了解二次函数的性质和解法，首先需要了解二次函数的根以及与之相关的判别式。
本文将详细介绍二次函数的根与判别式的概念、计算方法以及应用。
一、二次函数的根二次函数是一种形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
我们知道，二次函数的图像一般呈现出抛物线的形状，而二次函数的根即为使得函数值等于零的x值。
对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，它的根可以通过求解方程f(x) = 0来得到。
根据一元二次方程的求解公式可知，二次函数的根的计算公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根的取值可能性，√表示开平方根。
根据这个公式，我们可以计算出二次函数的根，进而对二次函数在坐标轴上的位置和特性进行进一步的分析。
二、二次函数的判别式为了更好地了解二次函数的性质，我们引入判别式的概念。
二次函数的判别式是一个用来判断二次函数根的性质的参数，通过判别式的值可以判断二次函数的根的情况。
对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，它的判别式D的计算公式为：D = b² - 4ac根据判别式的值可以得到以下结论：1. 当D > 0时，二次函数有两个不相等的实根；2. 当D = 0时，二次函数有两个相等的实根；3. 当D < 0时，二次函数没有实根，但可能有复数根。
通过判别式，我们可以进一步了解和分析二次函数的根的情况，从而更好地解决实际问题。
三、二次函数根与判别式的应用二次函数的根与判别式在应用中具有重要的作用。
以下是一些相关的应用场景：1. 求解方程：通过计算二次函数的根，可以解决各种与二次函数相关的方程问题。
2. 几何性质：通过分析二次函数的根和判别式，可以得到二次函数在坐标轴上的位置和形态。
二次函数的根与判别式
二次函数的根与判别式二次函数是数学中常见的一类函数形式，可以表示为$y=ax^2+bx+c$，其中 $a$、$b$、$c$ 是常数，且 $a\neq0$。
在解析几何和代数学中，研究二次函数的根和判别式是非常重要的内容。
本文将系统地介绍二次函数的根的概念、求根公式以及判别式的含义和应用。
一、二次函数的根的概念在解析几何中，我们说 $x_0$ 是二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的根，是指当 $x=x_0$ 时，函数的值 $y=ax_0^2+bx_0+c$ 等于零。
换句话说，$x_0$ 是函数图像与 $x$ 轴的交点的横坐标。
二次函数的根可以分为以下三种情况：1. 当判别式 $D=b^2-4ac>0$ 时，方程 $ax^2+bx+c=0$ 有两个不相等的实根；2. 当判别式 $D=b^2-4ac=0$ 时，方程 $ax^2+bx+c=0$ 有两个相等的实根；3. 当判别式 $D=b^2-4ac<0$ 时，方程 $ax^2+bx+c=0$ 没有实根，但有两个虚根。
二、求根公式求解二次函数根的常用方法是利用求根公式。
二次函数的求根公式为：\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]其中，$\pm$ 表示可以选择取正号或者负号，这取决于具体的方程和问题。
三、判别式的含义与应用判别式 $D=b^2-4ac$ 是判断二次函数根的重要指标。
它可以用来确定方程的根的性质，并在实际应用中起到重要的作用。
1. 当判别式 $D>0$ 时，方程有两个不相等的实根。
这意味着二次函数的图像与 $x$ 轴有两个交点，函数在这两个交点处取零值。
在实际中，我们可以利用这两个实根来求解问题，例如求解物体运动的时间、距离等。
2. 当判别式 $D=0$ 时，方程有两个相等的实根。
这意味着二次函数的图像与 $x$ 轴有一个交点，函数在该点处取零值。
在实际中，这种情况常常出现在对称性问题中，例如求解抛物线的对称轴。
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与x轴有两个交点：
（-2,0）、（0,0）
方程的两个根：0、-2
二次函数 y x 2 2x 1 一元二次方程 x 2 2x 1 0 的图象与x轴交点坐标？ 的根？
解：(x 1)2 0 x 1 0
x1 x 2 1
与x轴有一个交点：(1,0) 方程有两个相同的根：1
h/m h 5t 2 40t
解: 令h 60 5t 2 40t 60 t 2 8t 12 0
(t 2)(t 6) 0 t1 2，t2 6
故2s和6s时，小球离地 t/s 面的高度是60m.
合作探索
二次函数与一元二次方程的联系
二次函数 y ax2 bx c与直线y=m有交点，交点的
与x轴有两个交点
方程有两个根
二次函数 y x 2 2x 1 一元二次方程 x 2 2x 1 0 的图象与x轴有几个交点？ 有几个根？
与x轴有一个交点
方程有两个相同的根
二次函数 y x 2 2x 2 一元二次方程x 2 2x 2 0
的图象与x轴有几个交点？ 有几个根？
教材变形 【例】 一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度 h(m )可以用公式 h = -4.9t2 +19.6t 来表示．其中t(s) 表示足球被踢出后经过的时间． （1）t=1时,足球的高度是多少? （2）t为何值时,h最大?
解: (1)t=1时,h=14.7
(2)∵ h=-4.9 t22+19.6 ∴当t=2时,h最大
教材变形
【例】 一个足球被从地面向上踢出,它距地面 的高度h ( m )可以用公式 h = -4.9t2 +19.6t 来表 示．其中t ( s )表示足球被踢出后经过的时间． （1）t=1时,足球的高度是多少? （2）t为何值时,h最大？ （3）球经过多长时间球落地? （4）方程 14.7 = -4.9t2 +19.6t 的根的实际意义是 什么?你能在图上表示吗？
与x轴没有交点
方程没有实数根
归纳整理 二次函数 y ax 2 bx c 的图
象与x轴的交点的情况与一元二次 方程ax2+bx+c=0根的个数有什么关
系？
二次函数 y ax2 bx c 一元二次方程ax2+bx+c=0
的图象与x轴的交点有三种 的根有三种情况：
情况：
有两个交点
（1）h和t的关系式是什么？
h/m
h 5t 2 40t
（2）小球经过多少秒后落地？
[方法一]看图象 8秒落地
[方法二]解方程 -5t2+40t=0
t/s
活动
观察下列二次函数y = x2 + 2x,y = x2 - 2x + 1,y = x2 - 2x + 2 的图象.
(1) 每个图象与x 轴有几个交点？ (2) 一元二次方程 x2 + 2x = 0,x2 - 2x +1 = 0 有几个根?
有两个相等的实 数根
一元二次方程根的 判别式 Δ = b2 - 4ac
b2 - 4ac＞0
b2 - 4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2 - 4ac＜0
二次函数 y x 2 2x 一元二次方程 x 2 2 x 0
的图象与x轴有交点坐标 的根？
解：x (x 2) 0 x 0或x 2 0
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程 （第1课时）
【例】竖直上抛物体的高度h(m) 与运动时间t(s)的关系可用公式
h 5t 2 v 0t h0
表示, 其中h0(m) 是抛出时的高 度, v0(m/s)是抛出时的速度.
引例：小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的
关系 h 5t 2 v 0t h0 抛物线如图所示，观察并思 考下列问题：
二次函数 y x 2 2x 2 一元二次方程x 2 2x 2 0
的图象与x轴的交点？ 的根？
解：∵ b 2 4ac (2)2 41 2 4 0
原方程无实数根
与x轴没有交点
方程没有实数根
议一议
பைடு நூலகம்
二次函数 y ax 2 bx c 的图
有两个不相等的实数根
有一个交点
有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
理清关系
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和x轴交点的情况与一 元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的个数有什么关系？
二次函数的图象 一元二次方程的 与x轴的交点 根
有两个交点 有一个交点
有两个不相等的 实数根
象与x轴的交点的坐标与一元二次
方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？
二次函数 y ax2 bx c 与x轴有交点，
交点的横坐标为x0，那么当x=x0时，函数的值
是0，因此x=x0就是方程 ax2 bx c 0 的根.
想一想
（3）何时小球离地面的高度是
60m？你是如何知道的？
教材变形
【例】 一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度 h（m）可以用公式 h = -4.9t2 +19.6t 来表示．其中t （s）表示足球被踢出后经过的时间．
（3）球经过多长时间球落地？
解（: 3）对于 h = -4.9t2 +19.6t 球落地意味着h=0 即 -4.9t2 + 19.6t = 0 , 解得t1=0（舍去）, t2=4 ．即足球被踢出后经过4s后球落地.
验证一下,一元二次方程 x2 - 2x + 2 = 0 有根吗?
(3) 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和x轴交点的坐标与一 元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根有什么关系？
二次函数 y x 2 2x 一元二次方程 x 2 2 x 0
的图象与x轴有几个交点 有几个根？
横坐标即为方程ax2+bx+c=m的解.
例如:如果已知二次函数 y = 2x2 - 3x + 1 的y值为-1, 求自变量x值,就是求一元二次方程 2x2 - 3x + 1 = -1
的根
反之.解方程 2x2 - 3x + 1 = -1 ,又可以看做已知 二次函数 y = 2x2 - 3x + 1 的y值为-1,求自变量x值