二次函数与根的判别式的关系 (2)
二次函数与根的判别式的关系
没有交点
没有实数根
结合前面的问题填表：
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象和x轴的交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
有两个交点 有两个相异的实数根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的 判别式Δ=b2-4ac
b2-4ac &g个相等的实数根 没有实数根
b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
(1)抛物线与x轴有 一 个
交点，它们的横坐标
是2
；
y x 2 4x 4
(2)当x取交点的横坐标 时，函数是 0 ；
(3)所以方程x 2 4x 4 0的根是
x1=x2=2 .
2.已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有交 点，求k的取值范围.
解：由△=（－7）2－4×k×（－7）=49＋28k＞0， 得k＞－ 7 ． 4
观察判断下列图象哪个有可能是函数y x2 2x 3 的图象？
y
y
A.
O
B.
x
O
x
y
C.
O
y
√D.
O
x
x
一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛
起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关
系如图所示，观察并思考下列问题：
h/m
（3）何时小球离地面的高度
是60m？你是如何知道的？
解 : 令h 60 5t2 40t 60 t2 8t 12 0 (t 2)(t 6) 0 t/s t1 2，t2 6
一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛
起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关
系如图所示，观察并思考下列问题：
二次函数与根的判别式的关系 (2)
教材变形
【例】 一个足球被从地面向上踢出,它距地面 的高度h ( m )可以用公式 h = -4.9t2 +19.6t 来表 示．其中t ( s )表示足球被踢出后经过的时间． （1）t=1时,足球的高度是多少? （2）t为何值时,h最大？ （3）球经过多长时间球落地? （4）方程 14.7 = -4.9t2 +19.6t 的根的实际意义是 什么?你能在图上表示吗？
（1）h和t的关系式是什么？
h/m
h 5t 2 40t
（2）小球经过多少秒后落地？
[方法一]看图象 8秒落地
[方法二]解方程 -5t2+40t=0
t/s
活动
观察下列二次函数y = x2 + 2x,y = x2 - 2x + 1,y = x2 - 2x + 2 的图象.
(1) 每个图象与x 轴有几个交点？ (2) 一元二次方程 x2 + 2x = 0,x2 - 2x +1 = 0 有几个根?
与x轴没有交点
方程没有实数根
归纳整理 二次函数 y ax 2 bx c 的图
象与x轴的交点的情况与一元二次 方程ax2+bx+c=0根的个数有什么关
系？
二次函数 y ax2 bx c 一元二次方程ax2+bx+c=0
的图象与x轴的交点有三种 的根有三种情况：
情况：
有两个交点
h/m h 5t 2 40t
解: 令h 60 5t 2 40t 60 t 2 8t 12 0
(t 2)(t 6) 0 t1 2，t2 6
故2s和6s时，小球离地 t/s 面的高度是60m.
北师大版数学九年级下册《二次函数与根的判别式的关系》教案2
北师大版数学九年级下册《二次函数与根的判别式的关系》教案2一. 教材分析《二次函数与根的判别式的关系》这一节的内容，主要让学生了解二次函数的根与判别式之间的关系，掌握判别式的计算方法，并能运用判别式判断二次方程的根的情况。
内容安排合理，由浅入深，既注重了知识的形成过程，又培养了学生的动手操作能力、归纳推理能力、数学语言表达能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的相关知识，对二次函数的图象和性质有一定的了解。
但根与判别式的关系这一概念较为抽象，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，我将以学生已有的知识为基础，引导学生通过观察、操作、归纳等方法，理解并掌握根与判别式之间的关系。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次方程的根与判别式之间的关系，能运用判别式判断二次方程的根的情况。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、归纳等方法，让学生体会数学知识的形成过程，培养学生的动手操作能力和归纳推理能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，增强学生对数学的兴趣和信心。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的根与判别式之间的关系。
2.难点：理解判别式的计算方法和运用判别式判断二次方程的根的情况。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入课题，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现法：引导学生观察、操作、归纳，发现二次函数的根与判别式之间的关系。
3.讲解法：在学生理解的基础上，进行讲解，使学生掌握知识。
4.练习法：通过适量练习，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数的图象和性质。
2.练习题：准备一些有关二次函数与根的判别式的练习题。
七. 教学过程导入（5分钟）1.利用生活实例引入二次函数的概念，让学生回顾二次函数的图象和性质。
2.提出问题：二次函数的根与判别式之间有什么关系？呈现（10分钟）1.利用课件展示二次函数的图象，引导学生观察二次函数的根与判别式之间的关系。
二次函数的根与判别式
二次函数的根与判别式二次函数是数学中常见的一类函数，其一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
二次函数的根是指函数f(x) = 0的解，即使得f(x)等于零的x值。
而判别式则是用来判断二次函数的根的性质和个数的重要工具。
本文将详细介绍二次函数的根与判别式的概念、计算方法以及相关性质。
一、二次函数的根二次函数的根即是使得f(x) = 0的x值。
为了求解二次函数的根，我们可以使用求根公式。
求根公式有两种形式，分别适用于一般形式和标准形式的二次函数。
1. 一般形式的二次函数对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以使用以下求根公式来求解其根：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，“±”表示两个解，即一个解为加号，另一个解为减号。
求根公式中的判别式b^2 - 4ac在后文中将详细介绍。
2. 标准形式的二次函数对于标准形式的二次函数f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标，我们可以通过移项和开平方的方式求解其根。
具体步骤如下：1) 将二次函数转化为一般形式：展开平方并化简得到f(x) = ax^2 + bx + c的形式；2) 根据一般形式的求根公式求解二次函数的根。
二、二次函数的判别式二次函数的判别式是用来判断二次函数的根的性质和个数的重要工具。
判别式的值可以分为三种情况：1. 判别式大于0（Δ > 0）当判别式大于0时，二次函数有两个不相等的实根。
也就是说，方程f(x) = 0有两个不同的实数解。
2. 判别式等于0（Δ = 0）当判别式等于0时，二次函数有两个相等的实根。
也就是说，方程f(x) = 0有且仅有一个实数解。
3. 判别式小于0（Δ < 0）当判别式小于0时，二次函数没有实根。
也就是说，方程f(x) = 0没有实数解。
三、二次函数根与判别式的关系二次函数的根与判别式之间存在着紧密的关系。
二次函数与根与系数的关系
二次函数与根与系数的关系二次函数是高中数学中的一个重要概念，也是数学中常见的一类函数。
在学习二次函数时，我们需要了解二次函数的根和系数之间的关系。
一、二次函数概述二次函数的标准形式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为实数，且a≠0。
二次函数的图像一般为抛物线，开口方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、二次函数的根与系数的关系1. 零点或根的概念二次函数的零点，也叫作根、解或x的值，表示函数在x轴上的交点。
即，当f(x)=0时，x的值就是二次函数的根。
2. 判别式的概念与性质对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们定义判别式Δ为：Δ = b^2 - 4ac判别式Δ可以用来判断二次函数的根的情况，根据Δ的取值可以分为以下三种情况：- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ=0时，方程有两个相等的实根；- 当Δ<0时，方程没有实根，即无解。
3. 系数与二次函数根的关系（1）二次函数的顶点横坐标二次函数的顶点横坐标可以通过以下公式计算得出：x_v = -b / (2a)（2）二次函数的顶点纵坐标二次函数的顶点纵坐标可以通过将横坐标带入函数表达式中计算得出：y_v = f(x_v) = f(-b / (2a))（3）二次函数的根和系数的关系根据二次函数的判别式Δ的性质，我们可以得到以下结论：- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
此时，根与系数的关系如下：- 两个根x_1和x_2的和等于- b / a（x_1 + x_2 = - b / a）；- 两个根x_1和x_2的积等于c / a（x_1 * x_2 = c / a）。
- 当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
此时，根与系数的关系如下：- 两个相等的根x_1和x_2都等于 - b / (2a)（x_1 = x_2 = - b / (2a)）；- 两个相等的根的和等于 - b / a（x_1 + x_2 = - b / a）；- 两个相等的根的积等于c / a（x_1 * x_2 = c / a）。
分析二次函数的根与判别式
分析二次函数的根与判别式二次函数是代数学中常见的一种函数形式，其一般表达式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
根据二次函数的一般表达式，我们可以推导出二次函数的判别式：Δ = b^2 - 4ac其中，Δ代表判别式。
在讨论二次函数的根的情况时，判别式起到了关键作用。
接下来，我们将分析二次函数的根与判别式之间的关系。
1. 当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根。
在这种情况下，判别式Δ大于0，意味着二次函数的图像与x轴有两个交点，即函数方程f(x) = 0有两个不相等的实根。
这意味着二次函数的抛物线与x轴相交于两个不同的点，图像呈现出凹向上的形状。
2. 当Δ = 0时，二次函数有两个相等的实根。
当判别式Δ等于0时，二次函数的图像与x轴有且仅有一个交点，这意味着函数方程f(x) = 0有两个相等的实根。
此时，二次函数的抛物线在x轴上切于一个点，图像呈现出一种特殊的情况，即对称轴与x轴重合。
3. 当Δ < 0时，二次函数没有实根。
如果判别式Δ小于0，那么二次函数的图像与x轴没有交点，函数方程f(x) = 0没有实根。
这种情况下，二次函数的抛物线完全位于x轴的上方或下方，图像呈现出凹向上或凹向下的形状。
通过分析二次函数的根与判别式，我们可以更好地理解二次函数的图像特征和解析特点。
判别式Δ的正负性决定了二次函数的根的情况，进而影响了函数的图像形状。
在应用中，我们可以利用二次函数的根与判别式来解决实际问题，如求解方程、优化问题等。
总之，判别式Δ在二次函数中的作用是决定了函数的根的情况，从而影响了函数的图像以及解析特征。
通过分析判别式Δ的正负性，我们可以准确地得知二次函数的根的情况，为进一步的数学研究和实际应用提供了便利。
二次函数的根与判别式
二次函数的根与判别式二次函数在数学中占据着重要的地位，在各种实际问题中都有广泛的应用。
而要了解二次函数的性质和解法，首先需要了解二次函数的根以及与之相关的判别式。
本文将详细介绍二次函数的根与判别式的概念、计算方法以及应用。
一、二次函数的根二次函数是一种形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
我们知道，二次函数的图像一般呈现出抛物线的形状，而二次函数的根即为使得函数值等于零的x值。
对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，它的根可以通过求解方程f(x) = 0来得到。
根据一元二次方程的求解公式可知，二次函数的根的计算公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根的取值可能性，√表示开平方根。
根据这个公式，我们可以计算出二次函数的根，进而对二次函数在坐标轴上的位置和特性进行进一步的分析。
二、二次函数的判别式为了更好地了解二次函数的性质，我们引入判别式的概念。
二次函数的判别式是一个用来判断二次函数根的性质的参数，通过判别式的值可以判断二次函数的根的情况。
对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，它的判别式D的计算公式为：D = b² - 4ac根据判别式的值可以得到以下结论：1. 当D > 0时，二次函数有两个不相等的实根；2. 当D = 0时，二次函数有两个相等的实根；3. 当D < 0时，二次函数没有实根，但可能有复数根。
通过判别式，我们可以进一步了解和分析二次函数的根的情况，从而更好地解决实际问题。
三、二次函数根与判别式的应用二次函数的根与判别式在应用中具有重要的作用。
以下是一些相关的应用场景：1. 求解方程：通过计算二次函数的根，可以解决各种与二次函数相关的方程问题。
2. 几何性质：通过分析二次函数的根和判别式，可以得到二次函数在坐标轴上的位置和形态。
二次函数的根与判别式
二次函数的根与判别式二次函数是数学中常见的一类函数形式，可以表示为$y=ax^2+bx+c$，其中 $a$、$b$、$c$ 是常数，且 $a\neq0$。
在解析几何和代数学中，研究二次函数的根和判别式是非常重要的内容。
本文将系统地介绍二次函数的根的概念、求根公式以及判别式的含义和应用。
一、二次函数的根的概念在解析几何中，我们说 $x_0$ 是二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的根，是指当 $x=x_0$ 时，函数的值 $y=ax_0^2+bx_0+c$ 等于零。
换句话说，$x_0$ 是函数图像与 $x$ 轴的交点的横坐标。
二次函数的根可以分为以下三种情况：1. 当判别式 $D=b^2-4ac>0$ 时，方程 $ax^2+bx+c=0$ 有两个不相等的实根；2. 当判别式 $D=b^2-4ac=0$ 时，方程 $ax^2+bx+c=0$ 有两个相等的实根；3. 当判别式 $D=b^2-4ac<0$ 时，方程 $ax^2+bx+c=0$ 没有实根，但有两个虚根。
二、求根公式求解二次函数根的常用方法是利用求根公式。
二次函数的求根公式为：\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]其中，$\pm$ 表示可以选择取正号或者负号，这取决于具体的方程和问题。
三、判别式的含义与应用判别式 $D=b^2-4ac$ 是判断二次函数根的重要指标。
它可以用来确定方程的根的性质，并在实际应用中起到重要的作用。
1. 当判别式 $D>0$ 时，方程有两个不相等的实根。
这意味着二次函数的图像与 $x$ 轴有两个交点，函数在这两个交点处取零值。
在实际中，我们可以利用这两个实根来求解问题，例如求解物体运动的时间、距离等。
2. 当判别式 $D=0$ 时，方程有两个相等的实根。
这意味着二次函数的图像与 $x$ 轴有一个交点，函数在该点处取零值。
在实际中，这种情况常常出现在对称性问题中，例如求解抛物线的对称轴。
二次函数的根与判别式知识点总结详细
二次函数的根与判别式知识点总结详细介绍二次函数是高中数学中的重要概念，了解二次函数的根和判别式是解决与二次函数相关问题的基础。
本文档将详细介绍二次函数的根和判别式的相关知识点。
二次函数的一般形式二次函数的一般形式可以表示为：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$、$c$ 是实数，且 $a \neq 0$。
二次函数的根二次函数的根是函数 $f(x)$ 与 $x$ 轴的交点，即函数取值为0的$x$值。
根据二次函数的一般形式，我们可以通过求解二次方程$ax^2 + bx + c = 0$ 来求得二次函数的根。
二次函数根的判别式二次函数根的判别式可以用来判断二次函数的根的情况。
判别式的计算公式为 $D = b^2 - 4ac$。
判别式 $D$ 的值可以分为三种情况：1. 当 $D > 0$ 时，二次方程有两个不相等的实根；2. 当 $D = 0$ 时，二次方程有两个相等的实根；3. 当 $D < 0$ 时，二次方程没有实根，根为虚根。
根的求解公式根据二次函数根的判别式，可以得到根的求解公式：1. 当 $D > 0$ 时，设 $x_1$、$x_2$ 分别为方程的两个实根，则有：- $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$- $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$2. 当 $D = 0$ 时，方程有相等的实根，即 $x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}$3. 当 $D < 0$ 时，方程没有实根，根为虚根。
总结二次函数的根和判别式是解决与二次函数相关问题的基础。
根据根的判别式的值，我们可以判断二次方程的根的情况，进而使用根的求解公式求得根的具体值。
希望本文档对你了解和掌握二次函数的根和判别式有所帮助！。
北师大版数学九年级下册《二次函数与根的判别式的关系》教学设计2
北师大版数学九年级下册《二次函数与根的判别式的关系》教学设计2一. 教材分析《二次函数与根的判别式的关系》是北师大版数学九年级下册的教学内容。
这部分内容主要让学生了解二次函数的根与判别式之间的关系，掌握求解二次方程的根的方法，并能够应用这些知识解决实际问题。
教材通过对二次函数图象与性质的探讨，引导学生发现根的判别式与二次函数图象的关系，从而达到深化对二次函数的理解，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本性质和图象，对二次函数有一定的认识和了解。
但学生在求解实际问题时，往往不能灵活运用二次函数的性质和判别式。
因此，在教学本节课时，需要帮助学生建立起二次函数与根的判别式之间的联系，提高学生解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生了解二次函数的根与判别式之间的关系，掌握求解二次方程的根的方法。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，让学生发现二次函数图象与性质之间的关系。
3.情感态度与价值观目标：培养学生积极参与数学学习的兴趣，提高学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的根与判别式之间的关系。
2.难点：如何应用二次函数的根与判别式的关系解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：教师通过提问、引导，让学生发现二次函数的根与判别式之间的关系。
2.案例分析法：教师通过举例，让学生了解如何应用二次函数的根与判别式解决实际问题。
3.小组合作学习：学生分组讨论，共同完成任务，培养学生的合作能力。
六. 教学准备1.教师准备：教材、课件、例题、习题。
2.学生准备：预习教材，了解二次函数的基本性质和图象。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾二次函数的基本性质和图象，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师利用课件展示二次函数的图象，引导学生观察并分析二次函数的根与判别式之间的关系。
3.操练（10分钟）教师给出几个例子，让学生运用二次函数的根与判别式的关系求解二次方程的根，并解释解题过程。
高中数学二次函数的零点情况及根的性质分析
高中数学二次函数的零点情况及根的性质分析二次函数是高中数学中的重要内容，它的零点情况和根的性质对于理解和应用二次函数都具有重要意义。
在本文中，我将详细探讨二次函数的零点情况以及根的性质，并通过具体的题目举例，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、二次函数的零点情况首先，我们来分析二次函数的零点情况。
对于一般的二次函数f(x)=ax^2+bx+c （其中a≠0），它的零点就是使得f(x)=0的x值。
根据二次函数的性质，它的零点可能有三种情况：1. 有两个不相等的实数根：当二次函数的判别式D=b^2-4ac大于0时，方程ax^2+bx+c=0有两个不相等的实数根。
例如，考虑函数f(x)=x^2-5x+6，它的判别式D=(-5)^2-4×1×6=1，大于0。
因此，方程x^2-5x+6=0有两个不相等的实数根x=2和x=3。
这种情况下，二次函数的图像与x轴交于两个点。
2. 有两个相等的实数根：当二次函数的判别式D=b^2-4ac等于0时，方程ax^2+bx+c=0有两个相等的实数根。
例如，考虑函数f(x)=x^2-4x+4，它的判别式D=(-4)^2-4×1×4=0，等于0。
因此，方程x^2-4x+4=0有两个相等的实数根x=2。
这种情况下，二次函数的图像与x轴相切于一个点。
3. 没有实数根：当二次函数的判别式D=b^2-4ac小于0时，方程ax^2+bx+c=0没有实数根。
例如，考虑函数f(x)=x^2+1，它的判别式D=0^2-4×1×1=-4，小于0。
因此，方程x^2+1=0没有实数根。
这种情况下，二次函数的图像与x轴没有交点。
通过上述例子，我们可以看出二次函数的零点情况与判别式的大小有关。
当判别式大于0时，函数有两个不相等的实数根；当判别式等于0时，函数有两个相等的实数根；当判别式小于0时，函数没有实数根。
二、二次函数根的性质除了零点情况，二次函数的根还具有一些重要的性质。
二次函数的判别式与根的关系
二次函数的判别式与根的关系在学习二次函数时，我们经常会遇到判别式以及它与根之间的关系。
本文将详细探讨二次函数的判别式以及判别式与根之间的关系，帮助读者更好地理解和应用二次函数。
一、二次函数的判别式二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
在这个一般形式的二次函数中，判别式D的计算公式为D = b^2 - 4ac。
判别式D的值决定了二次函数的性质，它可以分为三种情况：1. 当D > 0时，二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，即有两个实根。
此时，二次函数的图像向上开口或向下开口，具体取决于a的正负。
2. 当D = 0时，二次函数的图像与x轴有一个重合的交点，即有一个实根。
此时，二次函数的图像与x轴相切。
3. 当D < 0时，二次函数的图像与x轴没有交点，即没有实根。
此时，二次函数的图像位于x轴上方或下方，具体取决于a的正负。
二、判别式与根的关系判别式D与二次函数的根之间有着密切的关系。
根据判别式D的值，我们可以得出以下结论：1. 当D > 0时，二次函数的图像与x轴有两个不同的交点。
这时，二次函数必然有两个实根。
根的个数与D的正负没有关系，只与D的值的大小有关。
2. 当D = 0时，判别式为零，二次函数的图像与x轴有一个重合的交点。
这时，二次函数有一个实根。
3. 当D < 0时，判别式为负数，二次函数的图像与x轴没有交点。
这时，二次函数没有实根。
需要注意的是，判别式D的值仅决定了二次函数是否有实根，而不能确定其根的具体值。
要求出二次函数的根，还需要根据具体的函数形式进行求解。
举例说明：考虑二次函数f(x) = x^2 + 4x + 4。
首先，计算判别式D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(4) = 0。
由于D = 0，可以得出结论二次函数有一个实根。
进一步求解该实根，可以使用求根公式x = (-b ± √D) / (2a)。
二次函数与根的关系掌握二次函数与根的关系解决相关问题
二次函数与根的关系掌握二次函数与根的关系解决相关问题二次函数是高中数学学习中的重要内容之一，它与根（解）的关系密切相关。
在解决相关问题时，我们需要正确理解和掌握二次函数与根之间的关系，才能应用正确的方法解答问题。
本文将从二次函数与根的定义、计算和应用等方面进行详细讨论，帮助读者全面掌握二次函数与根的关系并解决相关问题。
1. 二次函数与根的定义二次函数是形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。
该函数的图像在坐标平面上呈现出抛物线的形状。
根（解）是指二次函数的值等于零的输入变量值，即 f(x) = 0 的解。
二次函数的根可以是一个实数或复数，取决于 b^2 - 4ac 的值。
2. 二次函数的根的计算为了计算二次函数的根，我们可以使用求根公式或配方法。
求根公式是二次方程 ax^2 + bx + c = 0 解的通用公式，即：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中±表示两个解，分别对应加号和减号。
通过代入 a、b、c 的值即可计算出二次函数的根。
配方法是利用二次函数的性质，将其转化为完全平方的形式来求解。
具体步骤为：1) 将二次函数写作 a(x + m)^2 + n，其中 m 和 n 是待定值。
2) 展开得到 a(x^2 + 2mx + m^2) + n。
3) 将展开后的式子与原式进行比较，得到 2am = b 和 am^2 + n = c 两个方程。
4) 解方程组，求出 m 和 n 的值。
5) 将 m 和 n 的值代入 a(x + m)^2 + n，得到二次函数的标准形式。
6) 根据标准形式求根。
3. 二次函数与根的关系二次函数与根之间存在着紧密的联系。
当二次函数的根为实数时，我们可以通过判别式 b^2 - 4ac 的正负性来判断二次函数的图像与 x 轴的交点情况。
1) 当判别式大于零时，即 b^2 - 4ac > 0，二次函数有两个不相等的实数根。
二次函数的根与判别式
二次函数的根与判别式二次函数是一种常见的数学函数形式，具有一般形式为y = ax² + bx + c的特点。
其中，a、b、c是常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像通常为一个开口朝上或朝下的抛物线。
在二次函数中，根是指使函数等于0的x值。
判别式是用来确定二次函数的根的性质的一种方法。
1. 根的定义和计算根是指使二次函数等于0的x值，也是函数图像与x轴的交点。
为了计算二次函数的根，可以使用求根公式：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)其中，b² - 4ac被称为判别式。
2. 判别式的性质判别式的值可以判断二次函数的根的情况：- 当判别式大于0时，即b² - 4ac > 0，二次函数有两个不相等的实根。
- 当判别式等于0时，即b²- 4ac = 0，二次函数有两个相等的实根。
- 当判别式小于0时，即b² - 4ac < 0，二次函数没有实根，但可能有复数根。
3. 根的解释和图像解释根表示二次函数与x轴的交点，因此根的数量和位置对应着二次函数的图像形状。
- 当二次函数有两个不相等的实根时，抛物线与x轴有两个交点，图像开口朝上或朝下。
- 当二次函数有两个相等的实根时，抛物线与x轴有一个交点，图像开口朝上或朝下，且顶点在x轴上。
- 当二次函数没有实根但有复数根时，抛物线与x轴没有交点，图像完全位于x轴的上方或下方。
4. 根与二次函数参数的关系二次函数的参数a、b、c对于根的性质有着重要的影响。
- 当a > 0时，二次函数开口朝上，根的情况由判别式决定。
- 当a < 0时，二次函数开口朝下，根的情况由判别式决定。
- 当判别式为零时，二次函数有两个相等的实根，顶点在x轴上。
5. 案例分析假设有一个二次函数y = x² - 4x + 4，我们可以分析其根和判别式。
- 将a、b、c的值代入判别式公式中：b² - 4ac = (-4)² - 4(1)(4) = 0 - 根据判别式等于0，可以推断二次函数有两个相等的实根。
二次函数的根与判别式
二次函数的根与判别式二次函数是一种重要的代数函数形式，可表示为y = ax^2 + bx + c的形式，其中a、b、c为实数且a不等于零。
在解析几何和数学建模中，二次函数经常被用来描述抛物线、物体的运动轨迹、经济增长模型等等。
对于二次函数而言，其根和判别式是非常重要的概念。
一、二次函数的根一元二次方程的解，又被称为方程的根。
对于二次函数y = ax^2 +bx + c来说，我们可以通过求解方程ax^2 + bx + c = 0来确定其根。
根的个数与二次方程的判别式有关，判别式的计算公式为Δ = b^2 -4ac。
根据判别式的三种情况可以推导出二次函数的根的情况：1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。
此时，抛物线与x轴相交于两点，分别称为根。
2. 当Δ = 0时，方程有且仅有一个实根。
此时，抛物线与x轴相切于一个点，即有一个重根。
3. 当Δ < 0时，方程无实根。
此时，抛物线与x轴没有交点。
在求解根的过程中，可以应用二次方程的求根公式。
根据求根公式，当Δ > 0时，方程的两个根分别为x1 = (-b + √Δ)/(2a)和x2 = (-b -√Δ)/(2a)；当Δ = 0时，方程的根为x = -b/(2a)；当Δ < 0时，方程无实根。
二、二次函数判别式的意义判别式Δ在解析几何和数学建模中有重要的实际意义。
首先，根的个数与判别式的正负有关，因此可以通过判别式的值来判断方程的解的情况。
其次，在几何意义上，判别式Δ反映了二次函数与x轴的交点情况。
具体而言：1. 当Δ > 0时，判别式大于零，方程有两个不相等的实根。
此时，抛物线与x轴相交于两点。
2. 当Δ = 0时，判别式等于零，方程有一个实根。
此时，抛物线与x轴相切于一个点。
3. 当Δ < 0时，判别式小于零，方程无实根。
此时，抛物线与x轴没有交点。
通过判别式的值，我们可以快速了解二次函数的性质，比如抛物线开口的方向、与x轴的交点情况等。
二次函数的根与判定
二次函数的根与判定二次函数是高中数学中非常重要的一部分内容。
在学习二次函数时，我们需要了解二次函数的根以及如何判定二次函数的性质。
本文将详细介绍二次函数的根与判定方法。
首先，让我们来了解一下什么是二次函数的根。
二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数的根就是使得函数值等于零的x的值，也就是y=0所对应的x值。
即求解二次方程ax^2 + bx + c = 0的解。
根据二次方程求根公式，对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a≠0，它的根可以通过以下公式求解：x = (-b ± √(b^2-4ac)) / 2a根的个数与判定二次函数的性质相关。
对于二次方程ax^2 + bx + c= 0来说，可以根据判别式来判定根的情况。
判别式D = b^2 - 4ac有以下三种情况：1. 当D > 0时，方程有两个不相等的实数根。
2. 当D = 0时，方程有两个相等的实数根。
3. 当D < 0时，方程没有实数根，但仍有两个虚数根。
根据上述判定方法，我们可以通过计算判别式来判断二次函数的根的情况。
下面通过几个例子来更加详细地说明。
例子1：确定二次函数 y = 2x^2 + 3x - 2 的根及性质。
首先，我们计算判别式D的值：D = 3^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25因为D > 0，所以该二次函数有两个不相等的实数根。
接下来，我们可以使用求根公式来计算根的值：x = (-3 ± √25) / 4化简得到x = (-3 ± 5) / 4，即x1 = 1和x2 = -2/4 = -1/2。
所以，二次函数 y = 2x^2 + 3x - 2 的根为x1 = 1和x2 = -1/2。
例子2：确定二次函数 y = x^2 + 4x + 4 的根及性质。
同样，我们计算判别式D的值：D = 4^2 - 4*1*4 = 16 - 16 = 0因为D = 0，所以该二次函数有两个相等的实数根。
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与x轴有两个交点：
（-2,0）、（0,0）
方程的两个根：0、-2
二次函数 y x 2 2x 1 一元二次方程 x 2 2x 1 0 的图象与x轴交点坐标？ 的根？
解：(x 1)2 0 x 1 0
x1 x 2 1
与x轴有一个交点：(1,0) 方程有两个相同的根：1
h/m h 5t 2 40t
解: 令h 60 5t 2 40t 60 t 2 8t 12 0
(t 2)(t 6) 0 t1 2，t2 6
故2s和6s时，小球离地 t/s 面的高度是60m.
合作探索
二次函数与一元二次方程的联系
二次函数 y ax2 bx c与直线y=m有交点，交点的
与x轴有两个交点
方程有两个根
二次函数 y x 2 2x 1 一元二次方程 x 2 2x 1 0 的图象与x轴有几个交点？ 有几个根？
与x轴有一个交点
方程有两个相同的根
二次函数 y x 2 2x 2 一元二次方程x 2 2x 2 0
的图象与x轴有几个交点？ 有几个根？
教材变形 【例】 一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度 h(m )可以用公式 h = -4.9t2 +19.6t 来表示．其中t(s) 表示足球被踢出后经过的时间． （1）t=1时,足球的高度是多少? （2）t为何值时,h最大?
解: (1)t=1时,h=14.7
(2)∵ h=-4.9 t22+19.6 ∴当t=2时,h最大
教材变形
【例】 一个足球被从地面向上踢出,它距地面 的高度h ( m )可以用公式 h = -4.9t2 +19.6t 来表 示．其中t ( s )表示足球被踢出后经过的时间． （1）t=1时,足球的高度是多少? （2）t为何值时,h最大？ （3）球经过多长时间球落地? （4）方程 14.7 = -4.9t2 +19.6t 的根的实际意义是 什么?你能在图上表示吗？
与x轴没有交点
方程没有实数根
归纳整理 二次函数 y ax 2 bx c 的图
象与x轴的交点的情况与一元二次 方程ax2+bx+c=0根的个数有什么关
系？
二次函数 y ax2 bx c 一元二次方程ax2+bx+c=0
的图象与x轴的交点有三种 的根有三种情况：
情况：
有两个交点
（1）h和t的关系式是什么？
h/m
h 5t 2 40t
（2）小球经过多少秒后落地？
[方法一]看图象 8秒落地
[方法二]解方程 -5t2+40t=0
t/s
活动
观察下列二次函数y = x2 + 2x,y = x2 - 2x + 1,y = x2 - 2x + 2 的图象.
(1) 每个图象与x 轴有几个交点？ (2) 一元二次方程 x2 + 2x = 0,x2 - 2x +1 = 0 有几个根?
有两个相等的实 数根
一元二次方程根的 判别式 Δ = b2 - 4ac
b2 - 4ac＞0
b2 - 4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2 - 4ac＜0
二次函数 y x 2 2x 一元二次方程 x 2 2 x 0
的图象与x轴有交点坐标 的根？
解：x (x 2) 0 x 0或x 2 0
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程 （第1课时）
【例】竖直上抛物体的高度h(m) 与运动时间t(s)的关系可用公式
h 5t 2 v 0t h0
表示, 其中h0(m) 是抛出时的高 度, v0(m/s)是抛出时的速度.
引例：小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的
关系 h 5t 2 v 0t h0 抛物线如图所示，观察并思 考下列问题：
二次函数 y x 2 2x 2 一元二次方程x 2 2x 2 0
的图象与x轴的交点？ 的根？
解：∵ b 2 4ac (2)2 41 2 4 0
原方程无实数根
与x轴没有交点
方程没有实数根
议一议
பைடு நூலகம்
二次函数 y ax 2 bx c 的图
有两个不相等的实数根
有一个交点
有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
理清关系
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和x轴交点的情况与一 元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的个数有什么关系？
二次函数的图象 一元二次方程的 与x轴的交点 根
有两个交点 有一个交点
有两个不相等的 实数根
象与x轴的交点的坐标与一元二次
方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？
二次函数 y ax2 bx c 与x轴有交点，
交点的横坐标为x0，那么当x=x0时，函数的值
是0，因此x=x0就是方程 ax2 bx c 0 的根.
想一想
（3）何时小球离地面的高度是
60m？你是如何知道的？
教材变形
【例】 一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度 h（m）可以用公式 h = -4.9t2 +19.6t 来表示．其中t （s）表示足球被踢出后经过的时间．
（3）球经过多长时间球落地？
解（: 3）对于 h = -4.9t2 +19.6t 球落地意味着h=0 即 -4.9t2 + 19.6t = 0 , 解得t1=0（舍去）, t2=4 ．即足球被踢出后经过4s后球落地.
验证一下,一元二次方程 x2 - 2x + 2 = 0 有根吗?
(3) 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和x轴交点的坐标与一 元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根有什么关系？
二次函数 y x 2 2x 一元二次方程 x 2 2 x 0
的图象与x轴有几个交点 有几个根？
横坐标即为方程ax2+bx+c=m的解.
例如:如果已知二次函数 y = 2x2 - 3x + 1 的y值为-1, 求自变量x值,就是求一元二次方程 2x2 - 3x + 1 = -1
的根
反之.解方程 2x2 - 3x + 1 = -1 ,又可以看做已知 二次函数 y = 2x2 - 3x + 1 的y值为-1,求自变量x值