专题30 极坐标与参数方程的应用(解析版)

所以 OA 中点所在的曲线的极坐标方程为 2 cos ．
【例 3】已知圆 C 经过点 P (2, ) ，圆心 C 为直线ρsin ( ) ＝－ 3与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方
3
3
程．
【解析】解法 1 在直线的极坐标方程ρsin ( ) ＝－ 3中，令θ＝0，得ρ＝2，所以 C(2，0)． 3
（2）若 P 点在线段 OQ 上，且 OP : PQ 2 : 3 ，求动点 P 轨迹的极坐标方程．
【解析】（1）由已知得，圆心 C(6, ) 的直角坐标为 C(3, 3
3) ， r 3，
3
所以 C 的直角坐标方程为 (x 3)2 ( y 3 3)2 9 ，
所以圆
C
的参数方程为
x y
【解析】（1）因为 M
, 3 4 sin 3 2 3 0 0 在C上，当 0
时， 0
．[来源:Z|xx|k.Com]
由已知得 | OP || OA | cos 2 ． 3
设 Q(, )
为l上除P的任意一点．在
Rt△OPQ
中，
cos(
)
|
OP
|
2
，[来源:学科网ZXXK]
3
经检验，点
(3)当圆心位于 M (a, π ) ，半径为 a：ρ＝2asinθ. 2
2．直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0 和θ＝π－θ0； (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；
因为△POC 是边长为 2 的正三角形，所以圆 C 的半径 r＝2. 因为圆 C 经过极点 O，所以圆 C 极坐标方程为ρ＝4cosθ.
解法 2 以极点为坐标原点，极轴为 x 轴建立平面直角坐标系，则直线方程为 y＝ 3x－2 3，P 的直角坐标 为(1， 3)，令 y＝0，得 x＝2，所以 C(2，0)， 所以圆 C 的半径 PC＝ （2－1）2＋（0－ 3）2＝2， 所以圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－0)2＝4，即 x2＋y2－4x＝0， 所以圆 C 的极坐标方程为ρ＝4cosθ.
[ ,
] ．[来源:学*科*网]
42
【练习 2】在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P (2 2, ) ，圆心为直线ρsin(θ－π)＝－ 3与极轴的交点，求
4
3
圆 C 的极坐标方程．
【解析】在直线方程ρsin(θ－π)＝－ 3中，令θ＝0，得ρ＝2，所以圆心为 C(2，0)． 3
在△POC 中，由余弦定理，得圆 C 的半径 r＝CP＝2.
25 2
120
sin(
)
6
108
0
，
即动点
p
轨迹的极坐标方程为
25
2来自百度文库
120
sin(
)
108
0
．
6
【例
2】在平面直角坐标系
xOy
中，圆
C
的参数方程为
x y
2 2
2 cos sin
,
（
为参数），以点
O
为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆 C 的极坐标方程；
（2）过 极点 O 作直线与圆 C 交于点 A ，求 OA 的中点所在曲线的极坐标方程.
2.巩固提升综合练习
【练习 1】 （2019 年高考全国Ⅱ卷理数）在极坐标系中，O 为极点，点 M (0,0 )(0 0) 在曲线
C : 4 sin 上，直线 l 过点 A(4, 0) 且与 OM 垂直，垂足为 P．
（1）当
0
=
3
时，求
0
及
l
的极坐标方程；
（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程．
【解析】（1）圆
C
的参数方程为
x
y
2 2 cos, 2sin
（
为参数），
转换为直角坐标方程为： x 22 y2 4 ，
转换为极坐标方程为： 4 cos .
（2）过极点 O 作直线与圆 C 交于点 A，
设 OA 的中点坐标为 0 ,0 ，所以 A2ρ0,θ0 ，
所以 2 ρ0 4 cos θ0 ，即 ρ0 2 cos θ0 ，
P(2,
)
在曲线
cos(
)
2
上．
3
3
所以，l的极坐标方程为
cos(
)
2
．
3
（2）设 P(, ) ，在 Rt△OAP 中， | OP || OA | cos 4 cos , 即 4 cos ．
因为P在线段OM上，且
AP
OM
，故
的取值范围是 [
,
]
．
42
所以P点轨迹的极坐标方程为
4 cos ,
3 3cos 3 3 3sin
（
为参数）．
（2）由（1）得，圆 C 的极坐标方程为 2 6 (cos 3 sin ) 27 0 ，
即
2
12
sin(
) 6
27
，设
P ,
， Q 1,
，
根据 OP : PQ 2 : 3，可得 : 1 2 : 5 ，
将
1
5 2
代入
C
的极坐标方程，得
（1）分别写出 M1 ， M 2 ， M 3 的极坐标方程；
（2）曲线 M 由 M1 ， M 2 ， M 3 构成，若点 P 在 M 上，且 | OP | 3 ，求 P 的极坐标．
方法技巧专题 30 极坐标与参数方程的应用
一、极坐标与参数方程的应用知识框架
二、极坐标与参数方程的应用题型分析
【一】轨迹方程的问题 一、极坐标方程 1．圆的极坐标方程 若圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r； (2)当圆心位于 M(a,0)，半径为 a：ρ＝2acosθ；
圆 C 经过极点，其极坐标方程为ρ＝4cosθ.
【练习 3】 （2019 年高考全国Ⅲ卷理数）如图，在极坐标系 Ox 中， A(2, 0) ， B(
2, ) ，C(
2, )，
4
4
D(2,
)
，弧
AB
，
BC
，CD
所在圆的圆心分别是
(1,
0)
，(1,
2
)
，(1,
)
，曲线
M
1
是弧
AB
，曲线
M
2
是弧 BC ，曲线 M 3 是弧 CD ．
(3)直线过 M (b, π ) 且平行于极轴：ρsin θ＝b. 2
二、参数方程 直线、圆、椭圆的参数方程
1.例题 【例 1】在极坐标系中，已知圆的圆心 C(6, ) ，半径 r 3，Q 点在圆 C 上运动．以极点为直角坐标系原
3 点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系．
（1）求圆 C 的参数方程；