二次函数与abc的关系
二次函数图像与abc符号关系课件
目 录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图像分析 • 二次函数的abc符号变化对图像的影响 • 实际应用举例 • 总结与思考
01
二次函数的基本概念
二次函数的一般形式
总结词
二次函数的一般形式是$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a, b, c$是常数，且$a neq 0$。
于负半轴。
对二次函数图像与abc符号关系的深入思考
a符号与开口大小的关系
虽然a决定了开口方向，但a的绝对值大小也会影响开口的大小。当|a|越大，开口越宽； 当|a|越小，开口越窄。
b符号与对称性的关系
b的符号和大小决定了抛物线的对称性。当b=0时，抛物线关于y轴对称；当b≠0时，抛物 线关于x=−b/2a对称。
详细描述
在二次函数的一般形式$f(x) = ax^2 + bx + c$中，$a, b, c$分别被称为二次项系数、一次项系数和常数项。它 们的符号决定了函数的开口方向、顶点位置等性质。例如，当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$时，函 数图像开口向下。
二次函数的开口方向与abc符号的关系
04
实际应用举例
利用二次函数解决实际问题
总结词
通过理解二次函数的图像和abc符 号关系，可以解决一些实际问题 。
详细描述
二次函数图像的开口方向、顶点 位置和对称轴等特性，可以帮助 我们解决一些实际问题，例如最 值问题、面积问题等。
二次函数在数学建模中的应用
总结词
二次函数是数学建模中常用的函数之 一，可以用来描述一些实际问题中的 数量关系。
05
总结与思考
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的一般形式可表示为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c均为常数，且a不为零。
在本文中，我将总结二次函数与abc的关系，进一步深化对二次函数的理解。
1. 关系一：a的取值范围a是二次函数中的一项系数，它决定了抛物线的开口方向。
具体来说：- 当a大于零时，抛物线开口向上；- 当a小于零时，抛物线开口向下；- 当a等于零时，二次函数不再是二次函数，而变为一次函数。
2. 关系二：a的绝对值与抛物线的形状a的绝对值大小决定了抛物线的狭长程度。
具体来说：- 当|a|大于1时，抛物线较为狭长，即纵向压缩；- 当|a|小于1时，抛物线较为扁平，即纵向拉伸。
3. 关系三：b的取值范围b是二次函数中的另一项系数，它对称轴的位置产生影响。
具体来说：- 当b大于零时，抛物线向左平移；- 当b小于零时，抛物线向右平移；- 当b等于零时，抛物线与y轴平行。
4. 关系四：c的取值范围c是二次函数中的常数项，它影响抛物线与y轴的交点。
具体来说：- 当c大于零时，抛物线与y轴的交点在y轴上方；- 当c小于零时，抛物线与y轴的交点在y轴下方；- 当c等于零时，抛物线与y轴相交于原点。
通过对二次函数与abc的关系总结，我们可以更好地理解和应用二次函数。
了解这些关系将有助于我们准确地绘制二次函数的图像，进一步分析和解决与二次函数相关的问题。
除了以上总结的关系，二次函数还有很多其他方面的性质和应用，比如顶点坐标、对称轴等。
这些内容在二次函数的学习中也十分重要，但本文将重点总结了与abc的关系。
在实际应用中，我们需要综合考虑二次函数的各个方面来解决问题，利用图像、方程等方法进行分析和计算。
总结而言，二次函数与abc之间有着密切的关系。
a决定了抛物线的开口方向和形状狭长程度，b影响抛物线的水平平移，c影响抛物线与y轴的交点。
掌握这些关系，可以更准确地理解和应用二次函数，进一步拓展数学知识的应用领域。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结在数学中，二次函数是一个具有以下形式的函数：$f(x) = ax^2 + bx + c$。
其中，$a$、$b$和$c$是常数。
二次函数在数学分析、物理学、经济学等领域中都有广泛的应用。
本文将总结二次函数与$a$、$b$和$c$之间的关系。
关系一：二次函数的图像开口方向与$a$的正负有关。
当$a>0$时，二次函数的图像开口向上；当$a<0$时，二次函数的图像开口向下。
这是因为当$a>0$时，$f(x) = ax^2 + bx + c$关于$y$轴对称，所以图像开口向上；当$a<0$时，$f(x) = ax^2 + bx + c$关于$y$轴对称，所以图像开口向下。
关系二：二次函数的图像是否与$x$轴相交与$c$的正负有关。
当$c>0$时，二次函数的图像与$x$轴有两个交点；当$c=0$时，二次函数的图像与$x$轴有一个交点（相切）；当$c<0$时，二次函数的图像与$x$轴没有交点。
关系三：二次函数的顶点坐标与$a$和$b$有关。
对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，它的顶点的$x$坐标为$x =\frac{-b}{2a}$，$y$坐标为$y = f(\frac{-b}{2a})$。
根据$a$和$b$的不同取值，顶点可以位于$y$轴的上方或下方，并且根据$a$的正负可以确定顶点的凹凸性质。
当$a>0$时，顶点位于图像的下方（凹）；当$a<0$时，顶点位于图像的上方（凸）。
综上所述，二次函数与$a$、$b$和$c$之间存在着紧密的关系。
通过对$a$、$b$和$c$的取值进行分析，可以推断出二次函数的图像特征、对称性以及与$x$轴的交点情况等。
这种关系在数学中具有重要的意义，对于解题和应用中的问题分析都起到了重要的作用。
了解和掌握这些关系，有助于提高对二次函数性质的理解和应用能力。
在实际应用中，二次函数与$a$、$b$和$c$的关系也有着重要的应用。
二次函数与abc的关系
几种特殊情况：x=1时,y=a + b + c；x= -1时,y=a - b + c．当x = 1时,①若y > 0,则a + b + c >0；②若y < 时0,则a + b + c < 0当x = -1时,①若y > 0,则a - b + c >0；②若y < 0,则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c ;反之,给我们相应的二次函数图象,我们可以得到其系数a,b,c以及它们组合成的一; 判别式b2−4ac ;y=a+b+c……等等的符号些关系结构例如对称轴−b2a4．2017四川省广安市如图所示,抛物线c=2的顶点为B﹣1,3,与x轴的交+y+axbx点A 在点﹣3,0和﹣2,0之间,以下结论：①042=-ac b ；②a +b +c ＞0；③2a ﹣b =0；④c ﹣a =3其中正确的有A ．1B ．2C ．3D ．45．2017四川省眉山市若一次函数y =a +1x +a 的图象过第一、三、四象限,则二次函数2y ax ax =-A ．有最大值4aB ．有最大值﹣4aC ．有最小值4aD ．有最小值﹣4a1. 2017贵州遵义第11题如图,抛物线y =ax 2+bx +c 经过点﹣1,0,对称轴l 如图所示,则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c =0；③2a +c ＜0；④a +b ＜0,其中所有正确的结论是A ．①③B ．②③C ．②④D ．②③④9. 2017黑龙江齐齐哈尔第10题如图,抛物线2y ax bx c =++0a ≠的对称轴为直线2x =-,与x 轴的一个交点在(3,0)-和(4,0)-之间,其部分图象如图所示,则下列结论：①40a b -=；②0c <；③30a c -+>；④242a b at bt ->+t 为实数；⑤点19(,)2y -,25(,)2y -,31(,)2y -是该抛物线上的点,则123y y y <<,正确的个数有 A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个6．2017四川省绵阳市将二次函数2x y =的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到的图象与一次函数y =2x +b 的图象有公共点,则实数b 的取值范围是A ．b ＞8B ．b ＞﹣8C ．b ≥8D ．b ≥﹣82．2017四川省南充市二次函数2y ax bx c =++a 、b 、c 是常数,且a ≠0的图象如图所示,下列结论错误的是A ．4ac ＜b 2B ．abc ＜0C ．b +c ＞3aD ．a ＜b23. 2017浙江金华第6题对于二次函数()212y x =--+是图象与性质,下列说法正确的是A ．对称轴是直线1x =,最小值是2B ．对称轴是直线1x =,最大值是2C . 对称轴是直线1x =-,最小值是2D ．对称轴是直线1x =-,最大值是226. 2017新疆乌鲁木齐第15题如图,抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-,且对称轴为直线1x =,有下列结论：①0abc <；②1030a b c ++>；③抛物线经过点()14,y 与点()23,y -,则12y y >；④无论,,a b c 取何值,抛物线都经过同一个点,0c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；⑤20am bm a ++≥,其中所有正确的结论是 ．15.2017贵州黔东南州第9题如图,抛物线y =ax 2+bx +ca ≠0的对称轴为直线x =﹣1,给出下列结论：①b 2=4ac ；②abc ＞0；③a ＞c ；④4a ﹣2b +c ＞0,其中正确的个数有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16.2017山东烟台第11题二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示,对称轴是直线1=x ,下列结论：①0<ab ；②ac b 42>；③0<++c b a ；④03<+c a .其中正确的是A ．①④ B．②④ C. ①②③ D ．①②③④17.2017四川泸州第8题下列曲线中不能表示y 与x 的函数的是A ．B ．C ．D ． 16. 2017山东日照第12题已知抛物线y =ax 2+bx +ca ≠0的对称轴为直线x =2,与x 轴的一个交点坐标为4,0,其部分图象如图所示,下列结论：①抛物线过原点；②4a +b +c =0；③a ﹣b +c ＜0；④抛物线的顶点坐标为2,b ；⑤当x ＜2时,y 随x 增大而增大．其中结论正确的是A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤12.2017江苏盐城第6题如图,将函数y=12x－22+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A1,m,B4,n平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9图中的阴影部分,则新图象的函数表达式是A．y＝12x222 B．y＝12x22+7 C．y＝12x225 D．y＝12x22+47.2017广西贵港第10题将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度后,得到的抛物线解析式是A．()211y x=-+ B．()211y x=++C.()2211y x=-+ D．()2211y x=++8.2017贵州安顺第10题二次函数y=ax2+bx+c≠0的图象如图,给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③4a+c＜2b；④mam+b+b＜am≠1,其中结论正确的个数是A．1 B．2 C．3 D．44.2017浙江宁波第10题抛物线2222y x x m m是常数的顶点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限1．2016·山东省滨州市·3分抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是A．0 B．1 C．2 D．32．2016·山东省滨州市·3分在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移3个单位长度,然后绕原点选择180°得到抛物线y=x2+5x+6,则原抛物线的解析式是A．y=﹣x﹣2﹣B．y=﹣x+2﹣ C．y=﹣x﹣2﹣D．y=﹣x+2+点评本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．3．2016广西南宁3分二次函数y=ax2+bx+ca≠0和正比例函数y=x的图象如图所示,则方程ax2+b﹣x+c=0a≠0的两根之和A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定4．2016贵州毕节3分一次函数y=ax+ba≠0与二次函数y=ax2+bx+ca≠0在同一平面直角坐标系中的图象可能是A． B． C．D．5.2016·福建龙岩·4分已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则|a﹣b+c|+|2a+b|=A．a+b B．a﹣2b C．a﹣b D．3a 10．2016贵州毕节3分一次函数y=ax+ba≠0与二次函数y=ax2+bx+ca≠0在同一平面直角坐标系中的图象可能是A． B． C．D．11. 2016·浙江省绍兴市·4分抛物线y=x2+bx+c其中b,c是常数过点A2,6,且抛物线的对称轴与线段y=01≤x≤3有交点,则c的值不可能是A．4 B．6 C．8 D．1012. 2016·湖北随州·3分二次函数y=ax2+bx+ca≠0的部分图象如图所示,图象过点﹣1,0,对称轴为直线x=2,下列结论：14a+b=0；29a+c＞3b；38a+7b+2c＞0；4若点A﹣3,y1、点B﹣,y2、点C,y3在该函数图象上,则y1＜y3＜y2；5若方程ax+1x﹣5=﹣3的两根为x1和x2,且x1＜x2,则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有A．2个 B．3个 C．4个 D．5个13.2016·四川南充抛物线y=x2+2x+3的对称轴是A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=﹣2 D．直线x=2 14．2016·四川泸州已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2a≠0的图象的顶点在第四象限,且过点﹣1,0,当a﹣b为整数时,ab的值为A．或1 B．或1 C．或D．或15．2016·四川攀枝花如图,二次函数y=ax2+bx+ca＞0图象的顶点为D,其图象与x 轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3,则下列结论正确的是A．2a﹣b=0B．a+b+c＞0C．3a﹣c=0D．当a=时,△ABD是等腰直角三角形16.2016·黑龙江齐齐哈尔·3分如图,抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为﹣1,0,其部分图象如图所示,下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时,x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时,y随x增大而增大其中结论正确的个数是A．4个 B．3个 C．2个 D．1个17．2016·湖北黄石·3分以x为自变量的二次函数y=x2﹣2b﹣2x+b2﹣1的图象不经过第三象限,则实数b的取值范围是A．b≥B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2D．1≤b≤218．2016·湖北荆门·3分若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3,则关于x的方程x2+mx=7的解为A．x1=0,x2=6 B．x1=1,x2=7 C．x1=1,x2=﹣7 D．x1=﹣1,x2=719.2016·青海西宁·3分如图,在△ABC中,∠B=90°,tan∠C=,AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,在运动过程中,△PBQ的最大面积是A．18cm2 B．12cm2 C．9cm2 D．3cm221. 2016·四川眉山·3分若抛物线y=x2﹣2x+3不动,将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位,再沿铅直方向向上平移三个单位,则原抛物线图象的解析式应变为A．y=x﹣22+3 B．y=x﹣22+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+44．2016·四川南充已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点1,1,双曲线y=经过点a,bc,给出下列结论：①bc＞0；②b+c＞0；③b,c是关于x的一元二次方程x2+a﹣1x+=0的两个实数根；④a﹣b﹣c≥3．其中正确结论是填写序号5．2016·四川泸州若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于Ax1,0、Bx2,0两点,则+的值为7.2016·湖北荆州·3分若函数y=a﹣1x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,则a的值为8. 2016·辽宁丹东·10分某片果园有果树80棵,现准备多种一些果树提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少,单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y千克,增种果树x棵,它们之间的函数关系如图所示．1求y与x之间的函数关系式；2在投入成本最低的情况下,增种果树多少棵时,果园可以收获果实6750千克3当增种果树多少棵时,果园的总产量w千克最大最大产量是多少12．2016·四川内江12分某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米如图14所示,设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．1若苗圃园的面积为72平方米,求x；2若平行于墙的一边长不小于8米,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗如果有,求出最大值和最小值；如果没有,请说明理由；3当这个苗圃园的面积不小于100平方米时,直接写出x的取值范围．16.2016·黑龙江龙东·6分如图,二次函数y=x+22+m的图象与y轴交于点C,点B在抛物线上,且与点C关于抛物线的对称轴对称,已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A﹣1,0及点B．1求二次函数与一次函数的解析式；2根据图象,写出满足x+22+m≥kx+b的x的取值范围．21.2016·内蒙古包头一幅长20cm、宽12cm的图案,如图,其中有一横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm,图案中三条彩条所占面积为ycm2．1求y与x之间的函数关系式；2若图案中三条彩条所占面积是图案面积的,求横、竖彩条的宽度．24. 2016·山东潍坊旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用,假定每辆观光车一天内最多只能出租一次,且每辆车的日租金x元是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时,观光车能全部租出；当x超过100元时,每辆车的日租金每增加5元,租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．1优惠活动期间,为使观光车全部租出且每天的净收入为正,则每辆车的日租金至少应为多少元注：净收入=租车收入﹣管理费2当每辆车的日租金为多少元时,每天的净收入最多。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结二次函数是高中数学中重要的一个概念，它在数学和实际问题中都有广泛应用。
二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
本文将总结二次函数与a、b、c之间的关系。
1. a的影响：a决定了二次函数的开口方向和大小。
当a>0时，二次函数的抛物线开口向上，函数的值随着自变量的增大而增大；当a<0时，二次函数的抛物线开口向下，函数的值随着自变量的增大而减小。
a的绝对值越大，抛物线的开口越大。
2. b的影响：b决定了二次函数抛物线的平移方向和程度。
当b>0时，抛物线向右平移；当b<0时，抛物线向左平移。
b的绝对值越大，抛物线平移的水平距离越大。
3. c的影响：c决定了二次函数抛物线的纵向平移。
当c>0时，抛物线向上平移；当c<0时，抛物线向下平移。
c的绝对值越大，抛物线平移的垂直距离越大。
4. a、b、c之间的综合关系：a、b、c之间的关系可以通过顶点坐标来描述。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
通过顶点坐标可以判断抛物线的开口方向和顶点的位置。
综上所述，二次函数与a、b、c之间存在着密切的关系。
通过a、b、c的取值可以确定二次函数的形状、平移和开口方向。
理解和掌握这些关系对于解决二次函数相关问题具有重要意义。
二次函数在数学中的应用非常广泛，包括几何、物理和经济等领域。
在几何中，二次函数可以描述抛物线的形状和轨迹；在物理中，二次函数可以描述自由落体运动的轨迹；在经济中，二次函数可以描述成本和收益的关系。
因此，理解二次函数与a、b、c之间的关系，不仅对于学习数学理论，也对于实际问题的分析和解决都有着重要的帮助。
总结一下，二次函数与a、b、c之间的关系可以通过a的正负确定开口方向和大小，通过b的正负确定水平平移方向和程度，通过c的正负确定垂直平移方向和程度。
二次函数与a b c的关系
几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c；x= -1时，y=a - b + c．当x = 1时，①若y > 0，则a + b + c >0；②若y < 时0，则a + b + c < 0当x = -1时，①若y > 0，则a - b + c >0；②若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。
反之，给我们相应的二次函数图象，我们可以得到其系数a,b,c以及它们组合成的一些关系结构（例如对称轴−b2a ; 判别式b 2−4ac ; y =a +b +c……等等）的符号 4．（2017四川省广安市）如图所示，抛物线c bx ax y ++=2的顶点为B （﹣1，3），与x 轴的交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①042=-ac b ；②a +b +c ＞0；③2a ﹣b =0；④c ﹣a =3其中正确的有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2017四川省眉山市）若一次函数y =（a +1）x +a 的图象过第一、三、四象限，则二次函数2y ax ax =-（ ）A ．有最大值4aB ．有最大值﹣4aC ．有最小值4aD ．有最小值﹣4a1. （2017贵州遵义第11题）如图，抛物线y =ax 2+bx +c 经过点（﹣1，0），对称轴l 如图所示，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c =0；③2a +c ＜0；④a +b ＜0，其中所有正确的结论是（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．②③④9. （2017黑龙江齐齐哈尔第10题）如图，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴为直线2x =-，与x 轴的一个交点在(3,0)-和(4,0)-之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①40a b -=；②0c <；③30a c -+>；④242a b at bt ->+（t 为实数）；⑤点19(,)2y -，25(,)2y -，31(,)2y -是该抛物线上的点，则123y y y <<，正确的个数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．（2017四川省绵阳市）将二次函数2x y =的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y =2x +b 的图象有公共点，则实数b 的取值范围是（ ）A ．b ＞8B ．b ＞﹣8C ．b ≥8D ．b ≥﹣82．（2017四川省南充市）二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）A ．4ac ＜b 2B ．abc ＜0C ．b +c ＞3aD ．a ＜b23. (2017浙江金华第6题)对于二次函数()212y x =--+是图象与性质，下列说法正确的是（ ）A ．对称轴是直线1x =，最小值是2B ．对称轴是直线1x =，最大值是2C . 对称轴是直线1x =-，最小值是2D ．对称轴是直线1x =-，最大值是226. （2017新疆乌鲁木齐第15题）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，且对称轴为直线1x =，有下列结论：①0abc <；②1030a b c ++>；③抛物线经过点()14,y 与点()23,y -，则12y y >；④无论,,a b c 取何值，抛物线都经过同一个点,0c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；⑤20am bm a ++≥，其中所有正确的结论是 ．15.（2017贵州黔东南州第9题）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =﹣1，给出下列结论：①b 2=4ac ；②abc ＞0；③a ＞c ；④4a ﹣2b +c ＞0，其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 16.（2017山东烟台第11题）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，对称轴是直线1=x ，下列结论：①0<ab ；②ac b 42>；③0<++c b a ；④03<+c a .其中正确的是（ ）A ．①④ B．②④ C. ①②③ D ．①②③④17.（2017四川泸州第8题）下列曲线中不能表示y 与x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ． 16. (2017山东日照第12题)已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =2，与x 轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a +b +c =0；③a﹣b+c＜0；④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当x＜2时，y随x增大而增大．其中结论正确的是（）A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤12.（2017江苏盐城第6题）如图，将函数y=12（x－2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）A．y＝12(x?2)2?2 B．y＝12(x?2)2+7 C．y＝12(x?2)2?5 D．y＝12(x?2)2+47.（2017广西贵港第10题）将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A．()211y x=-+ B．()211y x=++C.()2211y x=-+ D．()2211y x=++8.（2017贵州安顺第10题）二次函数y=ax2+bx+c（≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③4a+c＜2b；④m（am+b）+b＜a（m≠1），其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44.（2017浙江宁波第10题）抛物线22y x x m(m是常数)的顶点在( )22A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限1．（2016·山东省滨州市·3分）抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．（2016·山东省滨州市·3分）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点选择180°得到抛物线y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（）A．y=﹣（x﹣）2﹣B．y=﹣（x+）2﹣ C．y=﹣（x﹣）2﹣D．y=﹣（x+）2+【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．3．（2016广西南宁3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定4．（2016贵州毕节3分）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C．D．5.（2016·福建龙岩·4分）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则|a﹣b+c|+|2a+b|=（）A．a+b B．a﹣2b C．a﹣b D．3a 10．（2016贵州毕节3分）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C．D．【11. （2016·浙江省绍兴市·4分）抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A （2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．1012. （2016·湖北随州·3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个13.（2016·四川南充）抛物线y=x2+2x+3的对称轴是（）A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=﹣2 D．直线x=2 14．（2016·四川泸州）已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（）A．或1 B．或1 C．或D．或15．（2016·四川攀枝花）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（）A．2a﹣b=0B．a+b+c＞0C．3a﹣c=0D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形16.（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个17．（2016·湖北黄石·3分）以x为自变量的二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（）A．b≥B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2D．1≤b≤218．（2016·湖北荆门·3分）若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（）A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=719.（2016·青海西宁·3分）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）A．18cm2 B．12cm2 C．9cm2 D．3cm221. （2016·四川眉山·3分）若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+44．（2016·四川南充）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y=经过点（a，bc），给出下列结论：①bc＞0；②b+c＞0；③b，c是关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x+=0的两个实数根；④a﹣b﹣c≥3．其中正确结论是（填写序号）5．（2016·四川泸州）若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则+的值为7.（2016·湖北荆州·3分）若函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为8. （2016·辽宁丹东·10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？12．（2016·四川内江）(12分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图14所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x；(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．16.（2016·黑龙江龙东·6分）如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．21.（2016·内蒙古包头）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．24. （2016·山东潍坊）旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？。
二次函数与a,b,c的关系
二次函数2y ax bx c =++图象的位置与abc 的关系归纳：二次函数2y ax bx c =++的对称轴为________,顶点坐标为______________（1）a 的符号由 决定：①开口方向向 ⇔ a 0；②开口方向向 ⇔ a 0.（2）b 的符号由 决定；①对称轴在y 轴的左侧 ⇔b a 、 ；②对称轴在y 轴的右侧 ⇔b a 、 ；③对称轴是y 轴 ⇔b0.④由对称轴公式x =ab2- 可确定2a+b 的符号． （3）c 的符号由 决定：①抛物线与y 轴交于正半轴 ⇔c 0；②抛物线与y 轴交于负半轴⇔c 0；③抛物线过原点 ⇔c 0.（4）ac b 42-的符号由 决定：①抛物线与x 轴有 交点⇔ b 2-4ac 0；②抛物线与x 轴有 交点⇔ b 2-4ac 0；③抛物线与x 轴有 交点⇔ b 2-4ac 0；（5）当x =1时，可确定a+b+c 的符号，当x =-1时，可确定a-b+c 的符号．【典型例题】已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列5个结论中：①abc>0；②b<a+c ；③4a+2b+c>0；④b 2-4ac>0⑤b=2a .正确的是 （填序号）练一练1.根据图象填空，：（1）a 0 ，b 0 ，c 0， abc 0.（2）b 2-4ac 0（3）c b a ++ 0；c b a +- 0；（4）当0>x 时，y 的取值范围是 ；当0>y 时，x 的取值范围是 . 2.若一条抛物线c bx ax y ++=2的顶点在第二象限，交于y 有两个交点，则下列结论正确的是（ ）.A.a﹥0,bc﹥0;B.a﹤0,bc﹤0;C. a﹤0, bc﹥0;D.a﹥0, bc﹤03.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A、ac＜0B、a-b+c＞0C、b=-4aD、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=54、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2-4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、45．已知反比例函数xky=的图象在二、四象限，则二次函数222kxkxy+-=的图象大致为（）6、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A、a＜0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞0B、a＞0，b＜0，c＞0，b2-4ac＜0C、a＜0，b＞0，c＜0，b2-4ac＞0D、a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＞07、如图所示为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，在下列选项中错误的是（）A、ac＜0B、x＞1时，y随x的增大而增大C、a+b+c＞0D、方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3yO xyO xyO xyO x A．C．B．D．8、已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A 、a ＞0B 、b ＜0C 、c ＜0D 、a+b+c ＞09、小明从图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0<c ；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b 2＞4ac ；②abc ＞0；③2a+b=0；④a+b+c ＞0；⑤a -b+c ＜0，则正确的结论是（ ）A 、①②③④B 、②④⑤C 、②③④D 、①④⑤11、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（ 12，1），下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac -b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确结论的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、412、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）A 、ac ＞0B 、方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3C 、2a -b =0D 、当x ＞0时，y 随x 的增大而减小13、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0，②b 2-4ac ＜0，③a -b+c ＞0，④4a -2b+c ＜0，其中正确结论的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、414、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，则下列说法：①c =0；②该抛物线的对称轴是直线x =﹣1；③当x =1时，y=2a ；④am 2+bm+a ＞0（m ≠﹣1）．其中正确的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 415．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a ＜0；②c ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④ab 2-＜0中，正确的结论有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个16、如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2-4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）2a -b ＜0；（4）a+b+c ＜0．你认为其中错误的有（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、1个17.如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x =﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），（2，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＞y 2．其中说法正确的是（ ）A ． ①②B ． ②③C ． ②③④D ． ①②④18、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b 2-4ac ＞0 ②a ＞0 ③b ＞0 ④c ＞0 ⑤9a+3b+c ＜0，则其中结论正确的个数是（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个19、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（ ） A 、ac ＜0 B 、a -b+c ＞0C 、b=—4aD 、关于x 的方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=—1，x 2=520、已知二次函数y=ax²+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：①ac ＞0；②a -b+c ＜0；③当x ＜0时，y ＜0；④方程ax ²+bx+c=0（a ≠0）有两个大于-1的实数根．其中错误的结论有（ ）A 、②③B 、②④C 、①③D 、①④。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结在数学的领域中，二次函数是一个非常重要的概念。
它的一般式为y ＝ ax²＋ bx ＋ c（其中 a、b、c 为常数，且a ≠ 0）。
这看似简单的表达式，其中的 a、b、c 却蕴含着丰富的信息，对二次函数的图像和性质起着决定性的作用。
首先来看看 a 的作用。
a 决定了二次函数抛物线的开口方向和开口大小。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下。
a 的绝对值越大，抛物线的开口就越窄；a 的绝对值越小，抛物线的开口就越宽。
比如说，函数 y ＝ 2x²的抛物线开口比 y ＝ 05x²的开口要窄。
接下来聊聊 b 的影响。
b 与 a 共同决定了抛物线的对称轴位置。
对称轴的方程是 x ＝ b ／（2a) 。
当 b ＝ 0 时，对称轴就是 y 轴。
如果 a、b 同号，对称轴在 y 轴左侧；如果 a、b 异号，对称轴在 y 轴右侧。
举个例子，对于函数 y ＝ x² 2x 3，其中 a ＝ 1，b ＝－2，因为 a ＞ 0 且b ＜ 0，所以对称轴在 y 轴右侧。
再说说 c。
c 代表了抛物线与 y 轴的交点纵坐标。
当 x ＝ 0 时，y ＝c，所以抛物线与 y 轴的交点为(0, c)。
比如，函数 y ＝ x²＋ 2x ＋ 1 与y 轴的交点就是(0, 1)。
当我们知道了 a、b、c 的作用，就可以通过它们来分析二次函数的最值。
如果 a ＞ 0，函数有最小值，其值为（4ac b²) ／（4a)；如果 a＜ 0，函数有最大值，同样为（4ac b²) ／（4a) 。
a、b、c 还与二次函数的根有着密切的关系。
二次函数的根可以通过判别式Δ ＝ b² 4ac 来判断。
当Δ ＞ 0 时，函数有两个不同的实数根；当Δ ＝ 0 时，函数有两个相同的实数根（也称为一个重根）；当Δ ＜0 时，函数没有实数根，但有两个共轭复数根。
二次函数图象与系数a、b、c的关系
模块三 函数第五讲 二次函数图象与a 、b 、c 的关系知识梳理 夯实基础二次函数图象的特征与a ，b ，c 的关系字母的符号图象的特征a >0开口向上aa <0开口向下b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号）对称轴在y 轴左侧bab <0（a 与b 异号）对称轴在y 轴右侧c =0经过原点c >0与y 轴正半轴相交cc <0与y 轴负半轴相交b 2–4ac =0与x 轴有唯一交点（顶点）b 2–4ac >0与x 轴有两个交点b 2–4acb 2–4ac <0与x 轴没有交点常用公式及方法：（1）二次函数三种表达式：表达式顶点坐标对称轴一般式c bx ax y ++=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22abx 2-=顶点式()kh x a y +-=2()k h ,hx =交点式()()12y a x x x x =--()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+4,222121x x a x x 221x x x +=（2）韦达定理：若二次函数c bx ax y ++=2图象与x 轴有两个交点且交点坐标为（1x ，0）和（2x ，0），则a b x x -=+21，acx x =⋅21。
（3）赋值法：在二次函数c bx ax y ++=2中，令1=x ，则c b a y ++=；令1-=x ，则c b a y +-=；令2=x ，则c b a y ++=24；令2-=x ，则c b a y +-=24；利用图象上对应点的位置来判断含有a 、b 、c 的关系式的正确性。
直击中考 胜券在握1．（2021·山东日照中考）抛物线()20y ax bx c a =++¹的对称轴是直线1x =-，其图象如图所示．下列结论：①0abc <；②()()2242a c b +<；③若()11,x y 和()22,x y 是抛物线上的两点，则当1211x x +>+时，12y y <；④抛物线的顶点坐标为()1,m -，则关于x 的方程21ax bx c m ++=-无实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与y 轴交点位置判断a ，b ，c 符号．②把2x =±分别代入函数解析式，结合图象可得22(4)(2)a c b +-的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点y 值越大．④由抛物线顶点纵坐标为m 可得2ax bx c m ++…，从而进行判断21ax bx c m ++=-无实数根．【详解】解：①Q 抛物线图象开口向上，0a \>，Q 对称轴在直线y 轴左侧，a \，b 同号，0b >，Q 抛物线与y 轴交点在x 轴下方，0c \<，0abc \<，故①正确．②22(4)(2)(42)(42)a c b a c b a c b +-=+++-，当2x =时242ax bx c a c b ++=++，由图象可得420a c b ++>，当2x =-时，242ax bx c a c b ++=+-，由图象可得420a c b +-<，22(4)(2)0a c b \+-<，即22(4)(2)a c b +<，故②正确．③11|1||(1)|x x +=--，22|1||(1)|x x +=--，12|1||1|x x +>+Q ，\点1(x ，1)y 到对称轴的距离大于点2(x ，2)y 到对称轴的距离，12|y y \>，故③错误．④Q 抛物线的顶点坐标为(1,)m -，y m \…，2ax bx c m \++…，21ax bx c m \++=-无实数根．故④正确，综上所述，①②④正确，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数2(0)y ax bx c a =++¹中a ，b ，c 与函数图象的关系．2．（2021·四川巴中中考）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的自变量x 与函数y 的部分对应值见表格，则下列结论：①c ＝2；②b 2﹣4ac ＞0；③方程ax 2+bx ＝0的两根为x 1＝﹣2，x 2＝0；④7a +c ＜0．其中正确的有（ ）x…﹣3﹣2﹣112…y … 1.8753m 1.8750…A ．①④B ．②③C ．③④D ．②④【答案】B 【分析】由表格可以得到二次函数图象经过点点（-3，1.875）和点（1，1.875），这两点关于对称轴对称，由此得到对称轴直线，设出二次函数顶点式，代入两点，求解出二次函数解析式，得到a ，b ，c 的值，依次代入到①②③④中进行判断即可解决．【详解】解：由表格可以得到，二次函数图象经过点(3,1.875)-和点(1,1.875)，Q 点(3,1.875)-与点(1,1.875)是关于二次函数对称轴对称的，\二次函数的对称轴为直线3112x -+==-，\设二次函数解析式为2(1)y a x h =++，代入点(2,3)-，(2,0)得，390a h a h +=ìí+=î，解得38278a h ì=-ïïíï=ïî，\二次函数的解析式为：2327(1)88y x =-++，Q 233384y x x =--+，3c \=，\①是错误的，2934430168b ac -=+´´>Q ，\②是正确的，方程20ax bx +=为233084x x --=，即为220x x +=，12x \=-，20x =，\③是正确的，3377()3088a c +=´-+=>Q ，\④是错误的，\②③是正确的，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数系数特征和二次函数解析式求法，利用待定系数法求解函数解析式是通法，由表格提炼出对称轴的信息，是解题的突破口，此题，也可以通过二次函数系数特征来解决．3．（2021·牡丹江中考）如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为（1，n ），与x 轴的一个交点B （3，0），与y 轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①ab c>0；②﹣2＜b 53<-；③（a ＋c ）2﹣b 2＝0；④2c ﹣a ＜2n ，则正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的开口向上， ∴a ＞0，∵抛物线线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标为（1，n ），∴对称轴x =12ba-=，∴b =-2a ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间∴-3＜c ＜-2＜0，∴abc>0；故①正确；∵抛物线线x 轴的一个交点B （3，0），∴9a +3b +c =0，抛物线线x 轴的一个交点（-1，0），∵b =-2a ∴c =32b，∴-3＜32b＜-2，∴﹣2＜b 43<-，故②错误；∵抛物线线x 轴的一个交点（-1，0），∴a -b +c =0，∴（a ＋c ）2﹣b 2＝（a +b +c ）（a -b +c ）=0，故③正确；∵a ＞0，∴-a ＜0∵b =-2a ∴3a +2b =-a ＜0∴2c ﹣a ＞2（a +b +c ），∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为（1，n ），∴a +b +c =n ，∴2c ﹣a ＞2n ；故④错误；故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），明确以下几点：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；③常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）．4．（2021·湖北荆门中考）抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数）开口向下且过点(1,0)A ，(,0)B m （21m -<<-），下列结论：①20b c +>；②20a c +<；③ (1)0a m b c +-+>；④若方程()(1)10a x m x ---=有两个不相等的实数根，则244ac b a -<．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A 【分析】根据已知条件可判断0c >，0a b <<，据此逐项分析解题即可．【详解】解：Q 抛物线开口向下a \<把(1,0)A ，(,0)B m 代入2y ax bx c =++得200a b c am bm c ++=ìí++=î2am bm a b\+=+20am bm a b \+--=(1)()0m am a b -++=21m -<<-Q 0am a b \++=,(1)am c a m b\=+=-0c \>110m \-<+<10m +<Q 11022m +\-<<1022b a\-<-<10b a\>>0a b \<<①220b c b a b b a +=--=->，故①正确；②220a c a a b a b +=--=-<，故②正确；③ (1)2230a m b c b c b a b b a +-+=-+=---=-->，故③正确；；④若方程()(1)10a x m x ---=有两个不相等的实数根，即2(1)10ax a m x am -++-=22(1)4(1)a m a am D =+--222(1)44a m a m a=+-+2244a bb a a a--=-⋅+22444b a ab a=+++24()4b a a b a=+++2440b ac a =-+>244ac b a \-<，故④正确，即正确结论的个数是4，故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与系数a 、b 、c 关系，涉及一元二次方程根的判别式，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．5．（2021·辽宁丹东中考）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>，且13,22a b c a b c ++=--+=-．判断下列结论：①0abc <；②220a b c ++>；③抛物线与x 轴正半轴必有一个交点；④当23x ££时，3y a =最小；⑤该抛物线与直线y x c =-有两个交点，其中正确结论的个数（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D 【分析】由题意易得1,12b c a ==--，则有0c <，进而可判定①②，当x =1时，则12y a b c =++=-，当x =-1时，则有32y a b c =-+=-，然后可判定③，由题意可知抛物线的对称轴为直线104x a =-<，则有当23x ££时，y 随x 的增大而增大，故可得④；联立抛物线及直线解析式即可判断⑤．【详解】解：∵13,22a b c a b c ++=--+=-，∴两式相减得12b =，两式相加得1c a =--，∴0c <，∵0,0,0a b c >><，∴0abc <，故①正确；∴12222102a b c a a a ++=+´--=>，故②正确；∵当x =1时，则12y a b c =++=-，当x =-1时，则有32y a b c =-+=-，∴当0y =时，则方程20ax bx c =++的两个根一个小于-1，一个根大于1，∴抛物线与x 轴正半轴必有一个交点，故③正确；由题意可知抛物线的对称轴为直线1024b x a a=-=-<，∴当23x ££时，y 随x 的增大而增大，∴当2x =时，有最小值，即为424113y a b c a a a =++=+--=，故④正确；联立抛物线2y ax bx c =++及直线y x c =-可得：2x c ax bx c -=++，整理得：22012ax x c -+=，∴1804ac D =->，∴该抛物线与直线y x c =-有两个交点，故⑤正确；∴正确的个数有5个；故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．6．（2021·山东枣庄中考）二次函数()20y ax bx c a =++¹的部分图象如图所示，对称轴为12x =，且经过点()2,0．下列说法：①0abc <；②20b c -+=；③420a b c ++<；④若11,2y ⎛⎫-⎪⎝⎭，25,2y ⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线上的两点，则12y y <；⑤()14b c m am b c +>++（其中12m ¹）．正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【分析】先根据抛物线开口向下、与y 轴的交点位于y 轴正半轴0,0a c <>，再根据对称轴可得0b a =->，由此可判断结论①；将点()2,0代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．【详解】解：Q 抛物线的开口向下，与y 轴的交点位于y 轴正半轴，0,0a c \<>，Q 抛物线的对称轴为122b x a =-=，0b a \=->，0abc \<，则结论①正确；将点()2,0代入二次函数的解析式得：420a b c ++=，则结论③错误；将a b =-代入得：20b c -+=，则结论②正确；Q 抛物线的对称轴为12x =，32x \=和12x =-时的函数值相等，即都为1y ，又Q 当12x ³时，y 随x 的增大而减小，且3522<，12y y \>，则结论④错误；由函数图象可知，当12x =时，y 取得最大值，最大值为1111142424a b c b b c b c ++=-++=+，12m ¹Q ，214b c am bm c +>++\，即1()4b c m am b c +>++，结论⑤正确；综上，正确的结论有①②⑤，共3个，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．7．（2021·四川广安中考）二次函数()20y ax bx c a =++¹的图象如图所示，有下列结论：①0abc >，②420a b c -+<，③()a b x ax b -³+，④30a c +<，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y 轴交点可得a ，b ，c 的符号，从而判断①；再根据二次函数的对称性，与x 轴的交点可得当x =-2时，y ＞0，可判断②；再根据x =-1时，y 取最大值可得a -b +c ≥ax 2+bx +c ，从而判断③；最后根据x =1时，y =a +b +c ，结合b =2a ，可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线x =-1，即12b a-=-，∴b =2a ，则b ＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，∴abc ＞0，故①正确；∵抛物线对称轴为直线x =-1，与x 轴的一个交点横坐标在0和1之间，则与x 轴的另一个交点在-2和-3之间，∴当x =-2时，y =4a -2b +c ＞0，故②错误；∵x =-1时，y =ax 2+bx +c 的最大值是a -b +c ，∴a -b +c ≥ax 2+bx +c ，∴a -b ≥ax 2+bx ，即a -b ≥x （ax +b ），故③正确；∵当x =1时，y =a +b +c ＜0，b =2a ，∴a +2a +c =3a +c ＜0，故④正确；故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）．8．（2021·湖南株洲中考）二次函数()20y ax bx c a =++¹的图像如图所示，点 P 在x 轴的正半轴上，且1OP =，设()M ac a b c =++，则 M 的取值范围为（ ）A ．1M <-B ．10M -<<C ．0M <D ．0M >【答案】D【分析】由图像可得0a <，0c >，当1x =，y a b c =++，并与x 轴交于OP 之间，得0a b c ++<，据悉可得()0M ac a b c =++>，据此求解即可．【详解】解：由图像可知，图像开口向下，并与y 轴相交于正半轴，∴0a <，0c >，当1x =，211y a b c a b c =++=++g g ，∵1OP =，并由图像可得，二次函数2y ax bx c =++与x 轴交于OP 之间，∴0a b c ++<∴()0M ac a b c =++>，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象及性质，熟悉相关性质是解题的关键．9．（2021·齐齐哈尔中考）如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++¹图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为()1,0，对称轴为1x =-，结合图象给出下列结论：①0a b c ++=；②20a b c -+<；③关于x 的一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的两根分别为-3和1；④若点()14,y -，()22,y -，()33,y 均在二次函数图象上，则123y y y <<；⑤()a b m am b -<+（m 为任意实数）．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】根据二次函数的图像及性质逐项分析即可判断．【详解】解：∵二次函数2(0)y ax bx c a =++¹图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为()1,0，∴当x =1时，0a b c ++=，故结论①正确；根据函数图像可知，当10x y =-<，，即0a b c -+<，对称轴为1x =-，即12b a-=-，根据抛物线开口向上，得0a ＞，∴20b a =＞，∴0a b c b -+-<，即20a b c -+<，故结论②正确；根据抛物线与x 轴的一个交点为()1,0，对称轴为1x =-可知：抛物线与x 轴的另一个交点为(-3，0)，∴关于x 的一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的两根分别为-3和1，故结论③正确；根据函数图像可知：213y y y <<，故结论④错误；当x m =时，2()y am bm c m am b c =++=++，∴当1m =-时，()a b c m am b c -+=++，即()a b m am b -=+，故结论⑤错误，综上：①②③正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数图像与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系．10．（2021·湖北鄂州中考）二次函数()20y ax bx c a =++¹的图象的一部分如图所示．已知图象经过点()1,0-，其对称轴为直线1x =．下列结论：①0abc <；②420a b c ++<；③80a c +<；④若抛物线经过点()3,n -，则关于x 的一元二次方程()200ax bx c n a ++-=¹的两根分别为3-，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐项判断即可求解．【详解】解：①由图象可知，a ＜0，b ＞0，c ＞0，∴abc ＜0，故①正确；②∵对称轴为直线x = 2b a-=1，且图象与x 轴交于点（﹣1，0），∴图象与x 轴的另一个交点坐标为（3，0），b=﹣2a ，∴根据图象，当x =2时，y =4a +2b +c ＞0，故②错误；③根据图象，当x =﹣2时，y =4a ﹣2b +c =4a +4a +c =8a +c ＜0，故③正确；④∵抛物线经过点()3,n -，∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点()5,n ，∴抛物线2y ax bx c =++与直线y =n 的交点坐标为（﹣3，n ）和（5，n ），∴一元二次方程()200ax bx c n a ++-=¹的两根分别为3-，5，故④正确，综上，上述结论中正确结论有①③④，故选：C ．本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答的关键．11．（2021·江苏宿迁·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，有下列结论：①0a ＞；②24b ac -＞0；③40a b +=；④不等式21ax b x c +-+（）＜0的解集为1≤x ＜3，正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】根据抛物线的开口方向、于x 轴的交点情况、对称轴的知识可判①②③的正误，再根据函数图象的特征确定出函数的解析式，进而确定不等式，最后求解不等式即可判定④．【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a ＞0，故①正确；∵抛物线与x 轴没有交点∴24b ac -＜0，故②错误∵由抛物线可知图象过（1,1），且过点（3,3）1933a b c a b c ++=ìí++=î∴8a+2b=2∴4a +b =1，故③错误；由抛物线可知顶点坐标为（1,1），且过点（3,3）则抛物线与直线y=x 交于这两点∴()21ax b x c +-+＜0可化为2ax bx c x ++<，根据图象，解得：1＜x ＜3故选A ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的特征以及解不等式的相关知识，灵活运用二次函数图象的特征成为解答本题的关键．12．（2021·四川达州中考）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ¹）经过点()2,0，且对称轴为直线12x =，有下列结论：①0abc >；②0a b +>；③4230a b c ++<；④无论a ，b ，c 取何值，抛物线一定经过,02c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；⑤2440am bm b +-≥．其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】①根据图像开口向上，对称轴位置，与y 轴交点分别判断出a ,b ,c 的正负②根据对称轴公式2b x a =-，12x =判断,a b 的大小关系③根据2x =时，0y =，比较423a b c ++与0的大小；④根据抛物线的对称性，得到2x =与1x =-时的函数值相等结合②的结论判断即可⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论．【详解】①图像开口朝上，故0a > ，根据对称轴“左同右异”可知0b <，图像与y 轴交点位于x 轴下方，可知c <0abc \>故①正确；②122b x a =-=得=-a b 0a b \+=③2y ax bx c =++Q 经过()2,0420a b c \++=又由①得c <04230a b c \++<故③正确；④根据抛物线的对称性，得到2x =与1x =-时的函数值相等\ 当1x =-时0y =，即0a b c -+=a b=-Q 20a c \+=即12c a=- \ 2y ax bx c =++经过,02c a ⎛⎫⎪⎝⎭，即经过(1,0)- 故④正确；⑤当12x =时,1142y a b c =++, 当x m =时,2y am bm c =++0a >Q\ 函数有最小值1142a b c ++\ 21142am bm c a b c ++³++化简得2440am bm b +-≥，故⑤正确．综上所述：①③④⑤正确．故选D ．【点睛】本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图像的关系，结合图像逐项分析,结已知条件得出结论是解题的关键．13．（2021·湖北随州中考）如图，已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴在y 轴右侧，抛物线与x 轴交于点()2,0A -和点B ，与y 轴的负半轴交于点C ，且2OB OC =，则下列结论：①0a b c ->；②241b ac -=；③14a =；④当10b -<<时，在x 轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M ，N （点M 在点N 左边），使得AN BM ^．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】依据抛物线的图像和性质，根据题意结合二次函数图象与系数的关系，逐条分析结论进行判断即可【详解】①从图像观察，开口朝上，所以0a >，对称轴在y 轴右侧，所以0b <，图像与y 轴交点在x 轴下方，所以0c <0,0a b a b c--><\，所以①不正确；②点()2,0A -和点B ，与y 轴的负半轴交于点(0,)C c ，且2OB OC=设(2,0)B c -代入2y ax bx c =++,得：2420ac bc c -+=0c ¹Q \241b ac -=，所以②正确；③Q ()2,0A -，(2,0)B c -设抛物线解析式为：(2)(2)y a x x c =++过(0,)C c 4c ac \= 14a \=，所以③正确；④如图：设,AN BM 交点为P ，对称轴与x 轴交点为Q ，顶点为D ，根据抛物线的对称性，APB △ 是等腰直角三角形，()2,0A -Q ，(2,0)B c -22AB c \=-，112PQ AB c ==- 又对称轴2(2)12c x c -+-==+ (1,1)P c c \+- 由顶点坐标公式可知24(1,)4ac b D c a-+ 14a =Q 2(1,)D c cb \+- 由题意21c b c -<-，解得1b > 或者1b <-由①知0b <\1b <-，所以④不正确．综上所述：②③正确共2个故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用了数形结合的思想，二次函数2y ax bx c =++（a ≠0），a 的符号由抛物线的开口决定；b 的符号由a 及对称轴的位置确定；c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置确定，此外还有注意利用特殊点1，-1及2对应函数值的正负来解决是解题的关键．14．（2021·天津中考）已知抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ¹）经过点(1,1),(0,1)--，当2x =-时，与其对应的函数值1y >．有下列结论：①0abc >；②关于x 的方程230ax bx c ++-=有两个不等的实数根；③7a b c ++>．其中，正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可【详解】∵抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ¹）经过点(1,1),(0,1)--，当2x =-时，与其对应的函数值1y >．∴c =1＞0，a -b +c = -1,4a -2b +c ＞1，∴a -b = -2,2a -b ＞0，∴2a -a -2＞0，∴a ＞2＞0，∴b =a +2＞0，∴abc ＞0，∵230ax bx c ++-=,∴△=24(3)b a c --=28b a +＞0,∴230ax bx c ++-=有两个不等的实数根；∵b =a +2，a ＞2，c =1，∴a +b +c =a +a +2+1=2a +3，∵a ＞2，∴2a ＞4，∴2a +3＞4+3＞7，故选D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键．15．（2021·四川遂宁中考）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc >；②24b ac <；③23c b <；④2()a b m am b +>+（1m ¹）；⑤若方程2ax bx c ++＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】A【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴方程以及图象与y 轴的交点得到a ，b ，c 的取值，于是可对①进行判断；根据抛物线与x 轴的交点的个数可对②进行判断；根据对称轴可得12b a-=，则12a b =-，根据1x =-可得0a b c -+<，代入变形可对③进行判断；当1x =时，y a b c =++的值最大，即当(1)x m m =¹时，即a b c ++>2am bm c ++，则可对④进行判断；由于方程ax 2+bx +c =1有2个根，方程ax 2+bx +c =-1有2个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断．【详解】解：①∵抛物线开口方向向下，∴a ＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，∵对称轴在y 轴右侧，∴b ＞0，∴abc ＜0，①错误；②∵抛物线与x 轴有两个交点∴24b ac ->0∴24b ac >，故②错误；③∵抛物线的对称轴为直线x =1，∴12b a-=，∴12a b =-由图象得，当1x =-时，0y a b c =-+<，∴102b bc --+<∴23c b <，故③正确；④当1x =时，y a b c =++的值最大，∴当(1)x m m =¹时，a b c ++>2am bm c ++，∴()a b m am b +>+（1m ¹），∵b ＞0，∴2()a b m am b +>+（1m ¹），故④正确；⑤∵方程|ax 2+bx +c |=1有四个根，∴方程ax 2+bx +c =1有2个根，方程ax 2+bx +c =-1有2个根，∴所有根之和为2×（-b a）=2×2a a =4，所以⑤错误．∴正确的结论是③④，故选：A【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置．当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．16．（2013·山东德州中考）函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】分析：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜0；故①错误．当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误．∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0．故③正确．∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．综上所述，正确的结论有③④两个，故选B．。
二次函数判断abc关系题技巧
当我们研究一个二次函数的图像时，通常会判断它的形状，这个形状与函数的系数a、b、c 之间存在一定的关系。
当a>0 时，二次函数的图像为两端开口的上凸形，称为“顶点向上的二次函数”；当a<0 时，二次函数的图像为两端开口的下凹形，称为“顶点向下的二次函数”。
二次函数的顶点坐标为（h，k），其中h=-b/2a，k=f(h)，即顶点的横坐标为二次函数的二次项系数 b 的相反数除以2a 的积，纵坐标为二次函数在h 处的值。
通过判断二次函数的a、b、c 系数的大小关系，我们可以了解二次函数的图像的大致形状。
例如，对于二次函数y=ax^2+bx+c，若a>0，则函数图像呈顶点向上的二次函数；若a<0，则函数图像呈顶点向下的二次函数；若a=0，则函数图像为一条直线。
另外，我们还可以利用函数的基本性质来判断二次函数的形状。
例如，函数在x 轴上的对称性、在原点的单调性等。
这些性质都可以帮助我们判断二次函数的形状。
例如，对于二次函数y=ax^2+bx+c，若它在x 轴上的对称性，则a 系数的正负性决定了函数的形状是否是顶点向上的。
若a>0，则函数在x 轴上的对称性满足顶点向上的函数的性质；若a<0，则函数在x 轴上的对称性满足顶点向下的函数的性质。
此外，二次函数在原点的单调性也可以帮助我们判断它的形状。
若二次函数在原点处单调递增，则它的形状为顶点向上的函数；若二次函数在原点处单调递减，则它的形状为顶点向下的函数。
通过这些方法，我们就可以判断二次函数的形状，并对其进行分析和应用。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结二次函数是一种由二次项、一次项和常数项构成的函数，其一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别代表函数的系数。
二次函数的系数a决定了函数的开口方向和开口的大小。
当a>0时，二次函数的抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
a的绝对值越大，抛物线的开口越大；a的符号决定了抛物线的开口方向。
系数b影响函数图像的位置和形状。
b表示二次函数在x轴方向上的整体平移。
当b>0时，函数图像向左平移；当b<0时，函数图像向右平移。
常数项c对函数图像的位置也有影响。
c决定了抛物线与y轴的相交点，即函数的纵向平移。
当c>0时，函数图像向上平移；当c<0时，函数图像向下平移。
同时，abc三个系数之间还存在一些关系。
首先，二次函数的顶点坐标可以通过系数b和c的值来确定。
对于一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c的二次函数，它的顶点横坐标为x = -b/2a，纵坐标为y = f(-b/2a) = -D/4a，其中D = b^2 - 4ac为函数的判别式。
判别式D可以进一步帮助我们判断二次函数的图像特征。
当D>0时，函数图像与x轴有两个交点，抛物线开口朝上或朝下；当D=0时，函数图像与x轴有一个交点，抛物线开口朝上或朝下，且顶点在该交点上；当D<0时，函数图像与x轴无交点，抛物线开口朝上或朝下，且顶点在上方或下方。
另外，a和c的符号也对函数的图像产生影响。
当a和c同号时，抛物线开口朝上；当a和c异号时，抛物线开口朝下。
在具体问题中，我们可以利用abc的关系来解决二次函数相关的计算和应用问题。
例如，已知二次函数的图像通过某一点，我们可以通过该点的横纵坐标得到一个方程，然后结合另外一个已知点或者函数的顶点坐标，求解出abc的值，进而得到函数的表达式。
总结起来，二次函数与abc的关系可以归纳如下：- 系数a决定了抛物线的开口方向和开口的大小；- 系数b影响函数图像的位置和形状，决定了抛物线在x轴方向上的整体平移；- 常数项c决定了抛物线与y轴的相交点，即函数的纵向平移；- 三个系数之间存在一些具体的数学关系，如顶点的坐标和判别式等。
二次函数与a,b,c的关系
几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ;x= -1 时，y=a - b + c .当x = 1 时，① 若y > 0，贝V a + b + c >0 ；® 若y < 时0,贝V a + b + c < 0 当x = -1 时，①若y > 0，贝V a - b + c >0 :②若y < 0，贝V a - b + c < 0 .等）的符号4. （2017四川省广安市）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B （- 1, 3）,与x轴的交点A 在点（-3, 0）和（-2, 0）之间，以下结论：①b2-4ac =0 :②a+b+c>0 :③2 a- b=0；④c- a=3其中正确的有（）A. 1B. 2C. 3D. 45. （2017四川省眉山市）若一次函数y=（ a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y二ax2 - ax （）A. 有最大值- B .有最大值-- C.有最小值- D.有最小值--4 4 4 41. （2017贵州遵义第11题）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1, 0）,对称轴丨如图所示，则下列结论：①abc> 0；②a- b+c=0:③2a+c v0 :④a+b v 0,其中所有正确的结论是（）A.①③ B .②③ C.②④ D.②③④9. （2017黑龙江齐齐哈尔第10题）如图，抛物线y=ax2・bx（a = 0）的对称轴为直线x = -2 , 与x轴的一个交点在（-3,0）和（-4,0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a-b = 0 •，②c ：：： 0 ;9 5 12③-3a0 :④4a -2b at bt （t为实数）；⑤点（-―，yj ,（-一小）,（-一山）是该抛物线上2 2 2的点，则％：：： y2 ：：：y，正确的个数有（）A. 4个B. 3个C. 2个 D . 1个6 . （2017四川省绵阳市）将二次函数y =x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（）A. b>8 B . b>- 8 C. b>8 D . b>- 8223. （2017浙江金华第6题）对于二次函数y=-[x-1 • 2是图象与性质，下列说法正确的是（）A.对称轴是直线x =1，最小值是2 B .对称轴是直线x = 1，最大值是2C对称轴是直线x = T，最小值是2 D .对称轴是直线x = -1，最大值是22. （2017四川省南充市）二次函数y=ax2，bx < （a、b、c是常数，且a工0）的图象如图所示，下列结论错误的是（）2A . 4ac v b B. abc v 0 C. b+c >3a D . a v b26. （2017新疆乌鲁木齐第15题）如图，抛物线y=ax 2・bx ・c 过点-1,0，且对称轴为直线x = 1 , 有下列结论：①abc ：：： 0 :②10a 3b c 0 :③抛物线经过点 4, y 1与点_3,y 2，则y i • y 2;④无论a,b,c 取何 值，抛物线都经过同一个点—£,0 :⑤am 2 bm 0，其中所有正确的结论是 ______________________ .I a 丿15. （2017贵州黔东南州第9题）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a 工0）的对称轴为直线 x =- 1，给出下 列结论：①b 2=4ac ；②abc > 0；③a >c ；④4a - 2b +c >0,其中正确的个数有（ ）A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个16. （2017山东烟台第11题）二次函数y 二ax 2 • bx • c （a = 0）的图象如图所示，对称轴是直线x = 1 ,① ab ：0 :② b 2 . 4ac :③ a b c ：： 0 :④ 3ac ：： 0 •其中正确的是（ ）A.①④B •②④ C. ①②③ D•①②③④个交点坐标为（4, 0）,其部分图象如图所示，下列结论: ① 抛物线过原点； ② 4a+b+c=0； ③ a - b+c v 0；④ 抛物线的顶点坐标为（2, b ）； ⑤ 当x v 2时，y 随x 增大而增大. 其中结论正确的是（）12题）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ^0）的对称轴为直线x=2,与x 轴的一 y 与x 的函数的是（17. （ 2017四川泸州第8题）F 列曲线中不能表示16. （2017山东日照第A.①②③B.③④⑤C.①②④D.①④⑤112. （ 2017江苏盐城第6题）如图，将函数y =（x — 2） 2+1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数2的图象，其中点 A （1 , m , B （ 4, n ）平移后的对应点分别为点 A 、B •若曲线段AB 扫过的面积为 9 （图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（A. 1B. 2C. 3D. 44. （2017浙江宁波第10题）抛物线y =x 2- 2x + m 2+2（ m 是常数）的顶点在（）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3分）抛物线y=2x 2- 2 ~x+1与坐标轴的交点个数是点选择180。
二次函数图象与系数a、b、c的关系
模块三 函数第五讲 二次函数图象与a 、b 、c 的关系知识梳理 夯实基础二次函数图象的特征与a ，b ，c 的关系字母的符号图象的特征a >0开口向上aa <0开口向下b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号）对称轴在y 轴左侧bab <0（a 与b 异号）对称轴在y 轴右侧c =0经过原点c >0与y 轴正半轴相交cc <0与y 轴负半轴相交b 2–4ac =0与x 轴有唯一交点（顶点）b 2–4ac >0与x 轴有两个交点b 2–4acb 2–4ac <0与x 轴没有交点常用公式及方法：（1）二次函数三种表达式：表达式顶点坐标对称轴一般式c bx ax y ++=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22abx 2-=顶点式()kh x a y +-=2()k h ,hx =交点式()()12y a x x x x =--()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+4,222121x x a x x 221x x x +=（2）韦达定理：若二次函数c bx ax y ++=2图象与x 轴有两个交点且交点坐标为（1x ，0）和（2x ，0），则a b x x -=+21，acx x =⋅21。
（3）赋值法：在二次函数c bx ax y ++=2中，令1=x ，则c b a y ++=；令1-=x ，则c b a y +-=；令2=x ，则c b a y ++=24；令2-=x ，则c b a y +-=24；利用图象上对应点的位置来判断含有a 、b 、c 的关系式的正确性。
直击中考 胜券在握1．（2021·山东日照中考）抛物线()20y ax bx c a =++¹的对称轴是直线1x =-，其图象如图所示．下列结论：①0abc <；②()()2242a c b +<；③若()11,x y 和()22,x y 是抛物线上的两点，则当1211x x +>+时，12y y <；④抛物线的顶点坐标为()1,m -，则关于x 的方程21ax bx c m ++=-无实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．（2021·四川巴中中考）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的自变量x 与函数y 的部分对应值见表格，则下列结论：①c ＝2；②b 2﹣4ac ＞0；③方程ax 2+bx ＝0的两根为x 1＝﹣2，x 2＝0；④7a +c ＜0．其中正确的有（ ）x …﹣3﹣2﹣112…y…1.8753m1.875…A ．①④B ．②③C ．③④D ．②④3．（2021·牡丹江中考）如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为（1，n ），与x 轴的一个交点B （3，0），与y 轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①ab c>0；②﹣2＜b 53<-；③（a ＋c ）2﹣b 2＝0；④2c ﹣a ＜2n ，则正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2021·湖北荆门中考）抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数）开口向下且过点(1,0)A ，(,0)B m （21m -<<-），下列结论：①20b c +>；②20a c +<；③ (1)0a m b c +-+>；④若方程()(1)10a x m x ---=有两个不相等的实数根，则244ac b a -<．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15．（2021·辽宁丹东中考）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>，且13,22a b c a b c ++=--+=-．判断下列结论：①0abc <；②220a b c ++>；③抛物线与x 轴正半轴必有一个交点；④当23x ££时，3y a =最小；⑤该抛物线与直线y x c =-有两个交点，其中正确结论的个数（）A ．2B ．3C ．4D ．56．（2021·山东枣庄中考）二次函数()20y ax bx c a =++¹的部分图象如图所示，对称轴为12x =，且经过点()2,0．下列说法：①0abc <；②20b c -+=；③420a b c ++<；④若11,2y ⎛⎫-⎪⎝⎭，25,2y ⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线上的两点，则12y y <；⑤()14b c m am b c +>++（其中12m ¹）．正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7．（2021·四川广安中考）二次函数()20y ax bx c a =++¹的图象如图所示，有下列结论：①0abc >，②420a b c -+<，③()a b x ax b -³+，④30a c +<，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（2021·湖南株洲中考）二次函数()20y ax bx c a =++¹的图像如图所示，点 P 在x 轴的正半轴上，且1OP =，设()M ac a b c =++，则 M 的取值范围为（ ）A ．1M <-B ．10M -<<C ．0M <D ．0M >9．（2021·齐齐哈尔中考）如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++¹图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为()1,0，对称轴为1x =-，结合图象给出下列结论：①0a b c ++=；②20a b c -+<；③关于x 的一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的两根分别为-3和1；④若点()14,y -，()22,y -，()33,y 均在二次函数图象上，则123y y y <<；⑤()a b m am b -<+（m 为任意实数）．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．（2021·湖北鄂州中考）二次函数()20y ax bx c a =++¹的图象的一部分如图所示．已知图象经过点()1,0-，其对称轴为直线1x =．下列结论：①0abc <；②420a b c ++<；③80a c +<；④若抛物线经过点()3,n -，则关于x 的一元二次方程()200ax bx c n a ++-=¹的两根分别为3-，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．（2021·江苏宿迁·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，有下列结论：①0a ＞；②24b ac -＞0；③40a b +=；④不等式21ax b x c +-+（）＜0的解集为1≤x ＜3，正确的结论个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．412．（2021·四川达州中考）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ¹）经过点()2,0，且对称轴为直线12x =，有下列结论：①0abc >；②0a b +>；③4230a b c ++<；④无论a ，b ，c 取何值，抛物线一定经过,02c a ⎛⎫⎪⎝⎭；⑤2440am bm b +-≥．其中正确结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．（2021·湖北随州中考）如图，已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴在y 轴右侧，抛物线与x 轴交于点()2,0A -和点B ，与y 轴的负半轴交于点C ，且2OB OC =，则下列结论：①0a bc->；②241b ac -=；③14a =；④当10b -<<时，在x 轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M ，N （点M 在点N 左边），使得AN BM ^．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．（2021·天津中考）已知抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ¹）经过点(1,1),(0,1)--，当2x =-时，与其对应的函数值1y >．有下列结论：①0abc >；②关于x 的方程230ax bx c ++-=有两个不等的实数根；③7a b c ++>．其中，正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．315．（2021·四川遂宁中考）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc >；②24b ac <；③23c b <；④2()a b m am b +>+（1m ¹）；⑤若方程2ax bx c ++＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个16．（2013·山东德州中考）函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4。
二次函数图像与abc的关系ppt课件
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
如上图所示，那么下列判断
y
正确的有（填序号）
.③ ⑦ ①、abc>0,
●
x
-2 -1 o 1 2
②、b2-4ac<0,
③、2a+b>0,
④、a+b+c<0,
⑤、a-b+c>0,
⑥、4a+2b+c<0,
⑦、4a-2b+c<0.
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
判断b的符号
(2)因为对称轴在y轴右侧，所以
b 2a
0பைடு நூலகம்
，而a＜0，故b＞0；
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
判断c的符号
(3)因为x＝0时，y＝c，即图象与y轴交点 的坐标是(0，c)，而图中这一点在y轴正 半轴，即c＞0；
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
判断b2－4ac的符号
(4)因为顶点在第一象限，其纵坐标
4ac b2 0 ，且a＜0，所以4acb2 0，故
4a
b2 4ac0 。
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
分析：已知的是几何关系(图形的位置、 形状)，需要求出的是数量关系，所以应 发挥数形结合的作用．
二次函数图像与abc的关系课件
c=0时的情况
总结词：水平线段
详细描述：当c的值为0时，二次函数退化为线性函数，图像成为一条水平线段。 这是因为当c=0时，二次函数变为一次函数，其图像是一条直线。
05 综合分析abc对图像的 影响
a，b同号时的情况
总结词
开口向上，对称轴为y轴
详细描述
当a和b同号时，二次函数的图像开口向上或向下，对称轴为y轴。此时，如果a和b都大 于0，则图像开口向上；如果a和b都小于0，则图像开口向下。
二次函数图像与abc的关 系课件
目 录
01 二次函数的基本概念
二次函数的一般形式
总结词
二次函数的一般形式是 $f(x) = ax^2 + bx + c$ ，其中 $a$ 、 $b$、$c$是常数，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是描述函数 图像的基础，其中$a$决定了抛物 线的开口大小和方向，$b$和$c$ 决定了抛物线的位置。
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向由系数$a$决定。 当$a > 0$时，抛物线开口向上；当 $a < 0$时，抛物线开口向下。
详细描述
系数$a$的正负决定了抛物线的开口方 向，这是理解二次函数性质的重要一环。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为$(-frac{b}{2a}, f(-frac{b}{2a}))$。
a，b异号时的情况
总结词
开口向下，对称轴为y轴
VS
详细描述
当a和b异号时，二次函数的图像开口向 上或向下，对称轴为y轴。此时，如果a和 b的绝对值大小不同，则图像开口向下； 如果a和b的绝对值大小相同，则图像开 口向上。
二次函数系数abc的关系
因此，系数b影响了二次函数 的增减性，特别是在对称轴 两侧的单调性。
04
系数c对二次函数影响
c决定与y轴交点位置
01 当c > 0时，二次函数的图像与y轴的交点在y轴的 正半轴上。
02
当c = 0时，二次函数的图像经过原点。
03 当c < 0时，二次函数的图像与y轴的交点在y轴的 负半轴上。
c与函数最值关系
不足之处与改进方
向
在解题过程中，我有时会对某些 细节处理不够严谨，导致答案出 现偏差。未来我将更加注重细节 ，提高解题的准确性。
下一步学习计划和目标
深入学习二次函数的性质和应用
我计划在下一步学习中，更加深入地探讨二次函数的性质和应用，如最值问题、不等式 问题等。
拓展相关数学知识
为了更好地理解和应用二次函数，我计划学习与之相关的数学知识，如一元二次不等式 、二次方程根与系数的关系等。
系数a、b、c意义
$a$决定抛物线的开口方向和宽度
当$a > 0$时，抛物线开口向上；当$a < 0$时，抛物线开口向下。同时，$|a|$的大小决 定了抛物线的宽度。
$b$和$a$共同决定抛物线的对称轴
对称轴的方程为$x = -frac{b}{2a}$。
$c$决定抛物线与y轴的交点
当$x = 0$时，$y = c$，即抛物线与y轴的交点为$(0, c)$。
对于开口向上的二次函数（a > 0），c决定了函数的 最小值。当x = -b/2a时，函数取得最小值f(-b/2a) = c - b^2/4a。
对于开口向下的二次函数（a < 0），c决定了函数的 最大值。当x = -b/2a时，函数取得最大值f(-b/2a) = c - b^2/4a。
二次函数的图像与字母abc的关系
课次教学计划一、知识要点二次函数y=ａx２+bx+c系数符号得确定:ﻫ(１)ａ由抛物线开口方向确定:开口方向向上,则a>０;否则ａ<0。
ﻫ(２)ｂ由对称轴与a得符号确定:由对称轴公式x＝判断符号、ﻫ(３)c由抛物线与y轴得交点确定:交点在y轴正半轴,则c〉0;否则ｃ＜０、ﻫ(4)b2－４ac得符号由抛物线与ｘ轴交点得个数确定:2个交点,b2—４ac>0;1个交点,b ２—4ａｃ=0;没有交点,b２—4ac<0。
ﻫ(5)当ｘ＝1时,可确定a+b+c得符号,当x=-1时,可确定ａ-ｂ+c得符号。
ﻫ(6)由对称轴公式x=,可确定2a+b得符号.二、基础练习１、已知抛物线y＝ax２+bｘ+c(a≠0)在平面直角坐标系中得位置如图所示,则下列结论中,正确得就是( D )A、ａ>0B、b〈0Ｃ、c〈0 Ｄ、ａ+ｂ+ｃ〉02、已知二次函数ｙ=ax2+bｘ+ｃ得图象如图,其对称轴ｘ=-1,给出下列结果①b2>4ac;②ａｂc〉0;③2a+b=0; ④a+b+c〉0;⑤a—b+c＜０,则正确得结论就是( D)A、①②③④Ｂ、②④⑤Ｃ、②③④D、①④⑤３、如图,二次函数ｙ＝ax2+bx+c得图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为( ,1),下列结论:①ac〈０;②a＋b=0;③4ａc—b2=４a;④a+b+ｃ<0。
其中正确结论得个数就是( C )1\2\3A、1B、2Ｃ、3Ｄ、4４、已知二次函数ｙ=ax2＋bｘ+c得图象如图所示,对称轴为直线x=1,则下列结论正确得就是(B)Ａ、ac＞0 B、方程ａｘ２+ｂx＋ｃ=0得两根就是x1＝-1,x2=3C、２ａ-ｂ=0D、当ｘ＞0时,y随ｘ得增大而减小5、已知二次函数y=ax２+bx+c(a,b,c为常数,ａ≠0)得图象如图所示,有下列结论:①abc>0,②-4ac＜0,③a—b+c〉0,④4ａ－2b+c〈０,其中正确结论得个数就是(Ａ4)A、1B、2C、3 Ｄ、４6、(如图所示得二次函数y=ax2+bx+c得图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息:(1)b2—4ａc>0;(2)c＞１;(3)2a—b<0;(4)a+b＋c＜０。
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1
-2 -1
x
B
y 4 1
1x
C
y 2x2 4x 1的图像是哪一
y
4 2
-2 -1
x
A
y
4
1 1
-2 -1
x
B
y 4 1
1x
C
y x2 2x 1的图像是哪一
y
4 2
-2 -1
x
A
y
4
1 1
-2 -1
x
B
y 4 1
1x
C
y
779x2
995
8999x 10066， 6
此抛物线的对
称轴在哪里？
二次函数的 二二次形函次状数函与y数=aa、yx=2ba+、xb2xc++的bcx图关+c象系图的象位的置、 图象和性质 位置、形状与a、b、c的关系
徐鑫
1.一次函数的y3x5大致图像是（ ）
二次函数的顶点式是
ya(xh)2k
2.y1(x1)2 4它的图像是（ ） 2
y
4 2
-2 -1
x
A
y 4
c＜０时抛物线交于y轴的负半轴
△决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有两个交点
△
△＝０时抛物线与x轴有一个交点
△＜０时抛物线于x轴没有交点
y
4 2
-2 -1
x
A
y
4
1 1
-2 -1
x
B
y 4 2
-1
1x
C
c的大小决定抛物线与y轴的交 点位置：
c=0,抛物线过原点； c>0,抛物线与 y轴交于正半轴； c<0,抛物线与 y轴交于负半轴。
练习：１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
如图所示，则a、b、c的符号为（ B ） y
y=a+b+c y=a-b+c y=4a+2b+c y=4a-2b+c
练习:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图
象
如上图所示，那么下列判断正确的有
（填序号）
.
①abc>0 ② 2a+b>0 ③a+b+c<0
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在
同一坐标系内的大致图象是（
限．
三
7.已知二次函数 yax2bxc 中，
a0,b0,c0则此函数的图象不经过
第 二象限
8.已知二次函数 yax2bxc 中，
a0,b0,c0则此函数的图象不经过 第 三 象限
9.已知二次函数 yax2bxc中，
a0,b0,c0 则此函数的图象只经过
第 二三四 象限
在同一直角坐标系中，函数 y ax2 b
A、a>0,b=0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a>0,b=0,c<0 D、a<0,b=0,c<0
y
ox
y
o
x
当x＝1时，函数y＝a＋b＋c 当x＝－1时，函数y＝a－b＋c
抛 物 线 与 直 线 x 1 交 点 y X=1
yabc0
yabc0
o
x
yabc0
抛 物 线 与 直 线 x 1 的 交 点
y
yabc0
yabc0
o
x
yabc0
X=-1
练 习 ： 二 次 函 数 yax2bxc的 图 象 如 图 ， 用 (<,>,=)填 空 : a 0， b 0， c 0， a+b+c 0， a-b+c 0，
y
-1 o 1 x
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例：
1、当x= 1时， 2、当x=-1时， 3、当x= 2时， 4、当x=-2时，
与 ya xb(a b0) 的图象大
致如图 （ D）
y
O x
A
y
O
x
B
y
O x
C
y O
x
D
例1：二次函数y=ax2+bx+c的图象 如图所示，则下列关于 a,b,c间的 关系判断正确的是（ D ）
A.b>2a C.abc>0
B.a-b+c>0 +b+c<0
y
-1
Ox
变式：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 给出以下结论
A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0
C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0 o
x
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
如图所示，则a、b、c的符号为（ A ）
A、a>0,b>0,c=0 B、 a<0,b>0,c=0
a3如>C、、图0二,ba所<<次示00函,,，bc数=<则0y0a=,c、a=xb02、+cbD的x、+符c号(a为≠0（)的C图）象
）[1999、2001中考]
y
y
y
y
x
o
x
o
x
o
o
x
(A)
(B)
(C)
(D)
4.抛物线 yax2bxc过第二、三、四象
限，则a <0，b <0，c <= 0．
5. 抛物线 yax2bxc过第一、二、四象
限，则a >0，b< 0，c >= 0．
6.已知抛物线 ya2x2xc与X轴的交
点都在原点的右侧，则点M（a,c）在第 一象
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a，b，
c，△与抛物线的关系
a决定开口方向：a＞０时开口向上， a
a＜０时开口向下
a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧
a,b
a、b异号时对称轴在y轴右侧
b＝０时对称轴是y轴
c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴
c
c＝０时抛物线过原点
1、开口方向：a>0，开口向上； a<0，开口向下。
2、开口大小：|a |越大，开口越小； |a |越小，开口越大。
3、c的大小决定抛物线与y轴的交点位置： c=0,抛物线过原点； c>0,抛物线与 y轴交于正半轴； c<0,抛物线与 y轴交于负半轴。
4、 ab的符号决定抛物线的对称轴的位置： 当b＝0时，对称轴为y轴； 当ab>0时，对称轴在y轴左侧； 当ab<0时，对称轴在y轴右侧。
A 、y轴左边
B、就是y轴
C、y轴右边
ab的符号决定抛物线的对称轴的位置： 当ab>0时，对称轴在y轴左侧； 当ab<0时，对称轴在y轴右侧。 当b＝0时，对称轴为y轴；
y x2 2x 1的图像是哪一
y
4 2
-2 -1
x
A
y
4
1 1
-2 -1
x
B
y 4 1
1x
C
y 2 x 2 4 x 1 的 图 像 是 哪 一 个 ？
（1） a+b+c<0；（2）a-b+c<0;
(3) b+2a<0;
(4)abc>0y
正确的是（ B ）
A.(3)(4) B.(2)(3) －1 O
1
x
C.(1)(4) D.(1)(2)(3)
练习：如图所示，满足a<0,b>0的函 数y=ax2+bx的图像是( B )
y
y
A
B
Ox
Ox
y
y
C
O
x
D
Ox