位移电流和麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组推导亥姆霍兹方程
麦克斯韦方程组推导亥姆霍兹方程麦克斯韦方程组是电磁学中的基本方程，它描述了电场和磁场的相互作用。
在电磁波方程的推导过程中，亥姆霍兹方程是一个重要的中间步骤。
在本文中，我们将推导麦克斯韦方程组，然后展示如何通过亥姆霍兹方程推导出电磁波方程。
一、麦克斯韦方程组的推导1.高斯定理第一个麦克斯韦方程是高斯定理，它描述了电场和电荷密度的关系。
根据高斯定理，一个封闭曲面上的电通量等于该曲面内的电荷总量的四倍πε0 (其中ε0是真空介电常数)。
∮ E·ds = 4πε0 Q这个方程表明了电场的源是带电粒子。
如果一个闭合曲面内没有电荷，电场通量将为零。
2.法拉第电磁感应定律第二个麦克斯韦方程是法拉第电磁感应定律，它描述了磁场和电场的相互作用。
根据法拉第电磁感应定律，磁通量变化速率与产生感应电动势的电场强度成正比。
ε = -dΦm/dt这个方程表明了磁场的变化会产生电场。
电场和磁场是紧密相连的。
3.安培环路定理和位移电流定律第三个和第四个麦克斯韦方程分别是安培环路定理和位移电流定律。
安培环路定理描述了磁场和电流的相互作用，而位移电流定律描述了电场和时间变化的磁场之间的关系。
根据安培环路定理，通过一个封闭回路的磁通量之和等于该回路内的电流总和。
∮ B·ds = μ0 I其中μ0是真空磁导率。
根据位移电流定律，电场的旋转率等于时间变化的磁场的散度的负值。
rot E = - dB/dt二、亥姆霍兹方程的推导亥姆霍兹方程是电磁波方程的一个重要的中间步骤。
它可以通过麦克斯韦方程和一些向量运算得到。
我们首先从安培环路定律开始:∮ B·ds = μ0 I由斯托克斯定理得：∮ B·ds = ∬(rot B)·ds将rot B替换为-μ0ε0(dE/dt)，得到∮ B·ds = -μ0ε0(d/dt ∫ E·ds)因此，d/dt ∫ E·ds + ∮ B·ds = 0利用高斯定理，∮ (E·ds) = 4πε0 Q则d/dt ∫ E·ds + ∬(rot E)·ds = 0将rot E替换为- dB/dt得到d/dt ∫ E·ds - ∬(dB/dt)·ds = 0简化得到d^2/dt^2 ∫ E·ds - ∬(d^2B/dt^2)·ds = 0然后，我们使用向量恒等式rot(rot A) = grad(div A) - ∇^2 A其中，grad表示梯度，div表示散度，∇^2表示拉普拉斯算子。
14.4-5--麦克斯韦电磁场理论-电磁波
三、麦克斯韦方程组的积分形式
稳恒 情况 的电 磁场 规律
DdS qi
任意电场
Edl 0
BdS 0
变化磁场 产生电场 任意电流
变化电场
H dl Ii 产生磁场
DdS qi EEdldl(EeEiB)tdldS
B dS 0 BdS 0
BdS 0
☆人们赞美
麦克斯韦方程组 象一首美丽的诗 !
1.麦克斯 韦方程组：
D dS qi
(1)
BEHdddSll0IBtDdtSdS
(2) (3) (4)
2.各方程的物理意义：
Id所激发的磁场H(B)与其成右手螺旋关系：
jd
D
H (B)
D
t
0
jd // D
jd
D
H (B)Leabharlann 4、传导电流与位移电流的比较
D t
0
jd D
共同点—— Ic 和Id以共同的形式激发磁场。
不同点—— 1. 传位导移电电流流IIcd和的电实荷质的是宏变观化定电向场运！动D有t 关0,,而jD 0 2. Ic产生焦耳热而Id不产生焦耳热！
dq dt
q S2 极板
dq极板 dt
d dt
s2 DdS
I
S1
S2
2若.定S义2面：不随Id 时 间dIdst1t变D 化s2：DtDtdSdS
d s2
dt 位移电流
有电流 的量纲
位移电流密度：
jd
D
大学物理学-位移电流与麦克斯韦方程组
dE
πr 2
dt
H
r
dE
0
2
dt
B 0 H
章目录
1
dE
0 0
r
2
dt
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大学物理学
章目录
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11.2 位移电流与麦克斯韦方程组
1975年夏，美国加利福尼亚大学和休斯顿大学的一个联合科研小组声称发现了
磁单极的痕迹。
1982年2月14日下午1时53分， Cabrera（卡勃莱拉）他的仪器测到磁通量突然
增高。经过反复研究，卡勃莱拉认为这是磁单极进入铌线圈引起的变化。
ර ⋅ dԦ ＝ න Ԧ0 ⋅ dԦ + න
I传 0
⋅ dԦ
ර ⋅ dԦ ＝ න
位移电流（变化的电场）和传导电流一样，可在其周围空间激发起涡旋磁场，
这一点已在实验中得到了证实。
变化的电场激发涡旋磁场
D
t
D
t
H
右手螺旋法则
大学物理学
变化的磁场激发涡旋电场
ර ⋅ dറ = −
d
电和磁不对称
d m
E
的环流有
，没有磁流
dt
d D
B的环流有
I，但没有
dt
ර ⋅ dറ = 0
没有磁荷，所以没有磁流；
可以存在变化的电场？？
2、位移电流与全电流
L
S1
S2
1）位移电流：
大学物理电磁学公式
大学物理电磁学公式大学物理电磁学是物理学中的一个重要分支，研究电场和磁场以及它们之间的相互作用。
在学习和研究电磁学的过程中，我们经常会接触到一系列重要的公式。
以下是一些常见的大学物理电磁学公式的详细介绍。
1. 库仑定律（Coulomb's Law）：库仑定律描述了两个点电荷之间相互作用力的大小和方向。
它的数学表达式为：F = k * |q1 * q2| / r²其中，F为两个电荷所受的力，k为库仑常数，q1和q2分别为两个电荷的大小，r为两个电荷之间的距离。
2. 电场强度（Electric Field Intensity）：电场强度描述了电荷在某一点周围的电场的强弱。
对于一个点电荷，其电场强度的数学表达式为：E = k * |q| / r²其中，E为电场强度，k为库仑常数，q为电荷的大小，r为点电荷到被测点之间的距离。
3. 电势能（Electric Potential Energy）：电势能描述了电荷由于存在于电场中而具有的能量。
对于一个点电荷，其电势能的数学表达式为：U = k * |q1 * q2| / r其中，U为电势能，k为库仑常数，q1和q2分别为两个电荷的大小，r为两个电荷之间的距离。
4. 电势差（Electric Potential Difference）：电势差描述了电场中两个点之间的电势能的差异。
对于两个点电荷之间的电势差，其数学表达式为：ΔV = V2 - V1 = -∫(E · dl)其中，ΔV为电势差，V1和V2分别为两个点的电势，E为电场强度，dl为路径元素。
5. 电场线（Electric Field Lines）：电场线用于可视化电场的分布情况。
电场线从正电荷流向负电荷，并且密集的电场线表示电场强度较大，稀疏的电场线表示电场强度较小。
6. 电场的高斯定律（Gauss's Law for Electric Fields）：电场的高斯定律描述了电场通过一个闭合曲面的总通量与该闭合曲面内的电荷量之间的关系。
电磁学讲——变化的电场产生磁场电磁场与电磁波
cos (t
x) u
1）电 磁波是横波 E
u
E0 ,H
cos(t
u ;
kx)
E
k 2π
u
2） E 和 H 同相位 ;
H
3） E 和 H 数值成比例 H E ；
4）电磁波传播速度 u 1 , 真空中波速
等于光速 u c 1 00 2.998108 m/s.
例1 有一圆形平行平板电容器, R 3.0cm.现对
其充电,使电路上的传导电流 Ic dQ dt 2.5A,
若略去边缘效应, 求（1）两极板间的位移电流;（2）两
极板间离开轴线的距离为 r 2.0cm 的点 P 处的磁
感强度 .
解 如图作一半径
Q Q
为 r平行于极板的圆形
回路，通过此圆面积的 电位移通量为
B
0r
2π R2
dQ dt
代入数据计算得 Id 1.1A B 1.11105T
二、电磁场 麦克斯韦电磁场方程组
静电场高斯定理
D
ds
dV
q
S
V
静电场环流定理
l E dl 0
磁场高斯定理
SB
ds
0
安培环路定理
H dl
电能
We
Q2 2C
,
磁能 W m
1 2
LI 2 ,
LC回路总能量 1 Q2 1 LI 2 常量 2C 2
Q dQ LI dI 0 I dQ
C dt dt
dt
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组
麦克斯韦电磁场理论的基本思想是：相对时间变化的磁 场会激发感生电场，而相对时间变化的电场会激发磁场.根据 这一思想，如果在空间某一区域内有变化的电场(如电荷做加 速运动)，那么在邻近区域内就会产生变化的磁场.这个变化的 磁场又会在较远处产生变化的感生电场.这样产生出来的电场 也是随着时间变化的，它必然要产生新的磁场.这样，在充满 变化的电场空间，同时也充满变化的磁场，两者相互联系、 相互转化.电场和磁场的统一体称为电磁场.前面讨论的静电场 和稳恒磁场都只不过是电磁场的两种特殊表现形式.
麦克斯韦方程组
这样，无论选择S1或S2作为以L为边界的曲面来计算H 的环流都得到相同的确定值，不会出现图10-26所示的矛盾 结果了.
对于任何电路，全电流永远是连续的.对图10-26中由S1 和S2组成的封闭曲面S来说，传导电流I流入S1而等量的位移 电流Id流出S2，所以
（10-24） 式（10- 24）就是全电流连续性方程.
激发磁场，位移电流也激发磁场.虽然两种电流的性质不同，但激发磁
场的性质却完全相同.
引入全电流定律，上述非稳恒电路中的矛盾就得到了解决.穿过图
10-26中以L为边界的曲面S1和S2的电流都应为全电流.在S1处位移电流 几乎为零，只剩下传导电流；而在S2处不存在传导电流，只有位移电 =I全=I
麦克斯韦方程组
图10- 27 电容器充、放电电路
麦克斯韦方程组
由此可见，导线中的传导电流I虽然在电容器极 板间中断了，可以替换它，可以等价地替换传导电 流密度j.若将电流的概念扩大，那么就解决了图1026所示电路中电流的连续性问题.
麦克斯韦提出，就电流的磁效应而言，变化的 电场也应该是一种电流.这种电流密度与电位移矢量 相联系，所以称为位移电流.
位移电流与麦克斯韦方程组
电磁屏蔽技术中的应用
电磁屏蔽
位移电流在电磁屏蔽技术中发挥 了重要作用，通过抑制电磁波的 传播，保护电子设备和人身安全。
电磁波吸收
位移电流能够吸收和散射电磁波， 降低电磁辐射对周围环境和人体 的影响。
电磁波防护
位移电流还可以用于电磁波防护， 通过降低电磁波的强度和频率， 减少电磁辐射对电子设备的干扰 和损伤。
VS
详细描述
麦克斯韦第二方程基于安培定律，指出变 化的磁场会产生电场。该方程进一步揭示 了电场和磁场之间的动态关系，是电磁波 传播的基础。
麦克斯韦第三方程的推导
总结词
描述了电场与磁场在时间上的关系， 以及它们在空间中的传播特性。
详细描述
麦克斯韦第三方程表述了电场和磁场 在时间上的变化关系，以及它们在空 间中的传播速度等于光速。这个方程 揭示了光作为电磁波的本质。
位移电流与麦克斯韦方程组
$number {01}
目 录
• 位移电流的概念 • 麦克斯韦方程组的推导 • 位移电流的应用 • 麦克斯韦方程组的物理意义 • 位移电流与现代科技
01
位移电流的概念
位移电流的定义
位移电流是指电场变化时，电介质中 电场产生的电流。
它与传导电流不同，位移电流不是由 电荷的运动产生的，而是由电场的变 化产生的。
电磁波的传播不需要介质，可以在真 空中传播，这是由于电磁波是横波， 其传播依赖于空间的周期性变化，而 不是依赖于介质。
电场与磁场的相互转化
01
麦克斯韦方程组揭示了 电场和磁场之间的相互
转化关系。
02
当电场变化时，会产生 磁场；同样地，当磁场 变化时，也会产生电场
。
03
这种相互转化关系是电 磁波产生和传播的基础 ，也是电场和磁场内在
麦克斯韦方程组五个公式和含义
麦克斯韦方程组五个公式和含义
麦克斯韦方程组是由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组偏微分方程，它描述了电场、磁场与电荷密度、电流密度之间的关系。
以下是五个麦克斯韦方程组的公式和它们的基本含义：
1. 积分形式的麦克斯韦方程组：
（1）全电流定律：磁场强度H沿任意闭合曲线的线积分，等于穿过此曲线限定面积的全电流。
等号右边第一项是传导电流，第二项是位移电流。
（2）法拉第电磁感应定律：电场强度E沿任意闭合曲线的线积分等于穿过由该曲线所限定面积的磁通对时间的变化率的负值。
这里提到的闭合曲线，并不一定要由导体构成，它可以是介质回路，甚至只是任意一个闭合轮廓。
（3）磁通连续性原理：对于任意一个闭合曲面，有多少磁通进入曲面就有同样数量的磁通离开。
即B线是既无始端又无终端的；同时也说明并不存在与电荷相对应的磁荷。
（4）高斯定律：在时变的条件下，从任意一个闭合曲面出来的D的净通量，应等于该闭曲面所包围的体积内全部自由电荷之总和。
2. 微分形式的麦克斯韦方程组：
全电流定律的微分形式说明磁场强度H的旋度等于该点的全电流密度（传导电流密度J与位移电流密度ρ）。
答案第十一章电磁感应和麦克斯韦电磁理论
班级学号 第十一次 电磁感应和麦克斯韦电磁理论 姓名基本内容和主要公式1．法拉第电磁感应定律和楞次定律 法拉第电磁感应定律：d dtεΦ=-， d d N dtdtφεψ=-=-（多匝线圈）楞次定律：感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因。
（楞次定律是能量守恒定律在电磁感应现象中的具体表现）2．动生电动势和感生电动势（1）动生电动势：导体在磁场中作切割磁力线运动所产生的感应电动势称 为动生电动势产生动生电动势的非静电力是洛伦兹力Dv B dl ε+-=⨯⋅⎰ （）（一段导体运动）、 D dl ε=⨯⋅⎰（v B ） （整个回路运动） （2）感生电动势：由变化磁场所产生的感应电动势称为感生电动势 产生感生电动势的非静电力是有旋电场W EWWL SSd dBE dl B dS dS dt dttεΦ∂=⋅=-=-⋅=-⋅∂⎰⎰⎰⎰⎰（式中S 是以L 为边界的任意曲面）3．电场由两部分构成一部分是电荷产生的有源场0E ： 00E dl ⋅=⎰另一部分是变化磁场所激励的有旋场W E ： W L S BE dl dS t ∂⋅=-⋅∂⎰⎰⎰0W E E E =+ 、 L S B E dl dS t ∂⋅=-⋅∂⎰⎰⎰ 、 BE t ∂∇⨯=-∂4．自感现象和互感现象（1）自感现象：由回路中电流变化而在回路自身所产生的电磁感应现象叫做自感现象；所产生的电动势叫做自感电动势L I Φ= 、 L dI Ldtε=- 式中L 叫做自感系数（2）互感现象：由一回路中电流变化而在另一回路中产生的电磁感应现象 叫做互感现象；所产生的电动势叫做互感电动势 12121M I Φ=、21212M I Φ=、M dI M dtε=-、1221M M M ==式中M 叫做互感系数 5．磁场能量磁场能量密度： 12m w B H =⋅ ， 一般情况下可写为 21122m B w BH μ== 磁场能量： 12m m VVW w dV B H dV ==⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰、 212m W L I = 6．位移电流和麦克斯韦方程组（1）位移电流密度：D Dj t∂=∂其实质是变化的电场（2）位移电流： DD D SSSd Dd I j dS dS D dS t dtdtΦ∂=⋅=⋅=⋅=∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰、 0D j j t ∂=+∂称为全电流密度；00SD j dS t∂+⋅=∂⎰⎰（） 此式表明全电流在任何情况下都是连续的（3）麦克斯韦方程组： 0SVD dS dV ρ⋅=⎰⎰⎰⎰⎰、 L S BE dl dS t ∂⋅=-⋅∂⎰⎰⎰0r B H μμ= 、0r D E εε=0SB dS ⋅=⎰⎰ 、 0LS DH dl j dS t∂⋅=+⋅∂⎰⎰⎰（）、 0D ρ∇⋅= 、 B E t ∂∇⨯=-∂ 、 0B ∇⋅= 、0DH j t∂∇⨯=+∂、 0j E σ=练习题一、选择题1. 如图13-1，长为l 的直导线ab 在均匀磁场中以速度v垂直于导线运动。
电磁场方程及其解法
电磁场方程及其解法电磁场是自然界中非常重要的物理现象，它的应用领域非常广泛。
电磁场方程是描述电磁现象的基本方程，了解电磁场方程及其解法，对于深入理解电磁现象具有重要的意义。
一、麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是描述电磁现象的重要基础方程组。
麦克斯韦方程组包括四个方程：高斯定理、法拉第定律、安培环路定理和位移电流定律。
高斯定理描述了电场和电荷之间的关系。
该定理的数学表达式为：$$\nabla·\boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$其中$\boldsymbol{E}$表示电场矢量，$\rho$表示电荷密度，$\varepsilon_0$表示真空电容率。
法拉第定律描述了磁场和电流之间的关系。
该定律的数学表达式为：$$\nabla\times\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}$$其中$\boldsymbol{B}$表示磁场矢量，$t$表示时间。
安培环路定理描述了磁场和电流之间的关系。
该定理的数学表达式为：$$\nabla·\boldsymbol{B}=0$$$$\nabla\times\boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{J}+\mu_0\vare psilon_0\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}$$其中$\boldsymbol{J}$表示电流密度，$\mu_0$表示真空磁导率。
位移电流定律描述了电场和磁场之间的关系。
该定律的数学表达式为：$$\nabla·\boldsymbol{J}=-\frac{\partial\rho}{\partial t}$$$$\nabla\times\boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{J}$$二、电磁场方程的解法由于电磁场方程比较复杂，通常采用数值解法进行求解。
位移电流 麦克斯韦方程组
B
B 0 t
B LEr dl S t dS
B
Er
例1 有一圆形平行平板电容器R 3.0cm .现对其 充电,当电路上的传导电流 I 2.5A 时 ,若略去边缘效 应, 求两极板间离开轴线的距离为 r 2.0cm 的点 P 处 的磁感强度 .
代入数据计算得
0 r
R
2
2
I
0 r B I 2 2 πR
B 1.1110 T
5
2、静电场、稳恒磁场中有： 静电场高斯定理
静电场环流定理
l
S
1 E ds
E dl 0
0
q
磁场高斯定理
l
S
B dS 0
S
安培环路定理
B dl 0 I 0 j ds
dE dt
+ + +
2
- q - S
在任意时刻导线中的传导电流
dq d dE I S S 0 dt dt dt
两极板间的位移电流为：
dE I D S 0 1 dt I dE 位移电流密度 jD 0 S dt
K
在任意电场中
E I D ε0 ds S t
I - D -
+ + + +
全电流
IIBiblioteka I I DE I D ε0 ds S t
S
L
B dl 0 ( I I D ) 0 (
E j dS 0 dS ) S t
——全电流的安培环路定理 1）全电流是连续的；
麦克斯韦方程组四个方程
麦克斯韦方程组（Maxwell's equations）是描述电磁场（包括静电场、静磁场以及电磁波）律动基本规律的四个基本方程。
这四个方程分别是高斯电场定理、高斯磁场定理、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
在积分形式下，麦克斯韦方程组如下：1. 高斯电场定理：∮ E • dA = Q / ε₀表示：电场 E 与穿过某一闭合曲面 A 的总电荷量 Q 的关系，ε₀是真空中的电介质常数。
1. 高斯磁场定理：∮ B • dA = 0 表示：穿过任意闭合曲面 A 的磁通量总和为零，即没有磁单极子的存在。
1. 法拉第电磁感应定律：∮ E • dl = -dΦB/dt 表示：电场 E 沿闭合路径 L 的线积分等于负的磁通量ΦB 的时间变化率。
1. 安培环路定律（含位移电流项）：∮ B • dl = μ₀(I + ε₀\*dΦE/dt) 表示：磁场 B 沿闭合路径 L 的线积分等于真空磁导率μ₀(经过曲面 A 的总电流 I 加上位移电流项)。
在微分形式下，麦克斯韦方程组如下：1. 高斯电场定理：∇ • E = ρ / ε₀表示：电场 E 的散度（divergence）与电荷密度ρ的关系。
1. 高斯磁场定理：∇ • B = 0 表示：磁场 B 的散度总是为零，即不存在磁单极子。
1. 法拉第电磁感应定律：∇ × E = -∂B / ∂t 表示：电场 E 的旋度（curl）与磁场 B 随时间变化的关系。
1. 安培环路定律（含位移电流项）：∇ × B = μ₀ (J + ε₀∂E / ∂t) 表示：磁场 B 的旋度与电流密度 J 及位移电流项的关系。
这四个方程构成了电磁学的基础，几乎包含了所有电磁现象的信息。
位移电流的一种简易推导法
位移电流的一种简易推导法
位移电流是由于电场在介质中传播而导致的电流。
它是电容器中的一种电流，通常用来描述电容器中的耗散功率。
位移电流的推导一般采用麦克斯韦方程组，但这种方法较为复杂。
下面介绍一种简易推导方法：
设电容器的两个导体板上带有等量异号的电荷Q，导体板之间的距离为d，电容器的电容为C。
当电容器接入电源时，电荷开始在导体板之间移动。
移动的电荷会产生电场，电场会传播到介质中，从而产生位移电流。
根据欧姆定律，位移电流与电场强度成正比，与导体板之间的距离成反比。
即：
I = C(dE/dt)
其中，I为位移电流，E为电场强度，t为时间。
假设电场强度随时间呈正弦变化，即：
E = E0sin(ωt)
其中，E0为最大电场强度，ω为角频率。
将上式代入欧姆定律中，得到：
I = CωE0cos(ωt)
这个式子描述了位移电流随时间变化的规律。
以上是位移电流的简易推导方法。
虽然这种方法不够严谨，但可以帮助我们理解位移电流的基本概念和产生机制。
- 1 -。
位移电流在麦克斯韦方程组中的重要作用
位移电流在麦克斯韦方程组中的重要作用麦克斯韦方程组是电磁学中十分重要的一组方程。
它描述了电磁场的传播、变化和相互作用。
其中最为著名的就是麦克斯韦方程的第四式——安培定理。
安培定理中包含了电流和磁场之间的关系，是电动力学中的重要定律。
然而，电流又可以分为多种类型。
其中，位移电流是麦克斯韦方程组中的一个重要概念。
在本文中，我们将探讨位移电流在麦克斯韦方程组中的重要作用。
什么是位移电流？位移电流，指的是在介质中发生的电流。
在介质中，电场的变化会导致电荷的聚集和分离，形成电流。
介质中的电荷运动受到介质的阻碍，这种电流不同于导体中的电流，也不遵循欧姆定律。
因此，将这种电流称为“位移电流”。
在真空中，电场和磁场之间有一种特殊的关系，即麦克斯韦方程中的“安培定理”。
这个定理说明电流和磁场之间存在一种密切的关系。
但是，在介质中，电荷不能自由移动，因此介质中的电流不能被直接描述为安培定理中的电流。
相反，介质中的电流可以被表示为位移电流和真实电流的组合。
位移电流在麦克斯韦方程组中的作用位移电流在麦克斯韦方程组中扮演着重要的角色。
它不仅在理论上有重要意义，而且在实际应用中也有广泛的应用。
在麦克斯韦方程组中，位移电流和真实电流一同参与计算磁场。
位移电流和真实电流都会产生磁场，它们的产生方式和规律也不尽相同。
我们可以将麦克斯韦方程组中的磁场表示为真实电流产生的磁场和位移电流产生的磁场的和。
这就意味着，在介质中，磁场的产生不仅与真实电流有关，还与位移电流有关。
因此，在介质中进行电磁学的计算和分析时，必须充分考虑位移电流的贡献。
位移电流在实际应用中的作用介质是电磁学中的一个重要概念。
许多电器和电子设备都使用了介质材料。
电容器、电缆、电子元件等都是典型的使用介质材料的电器和电子设备。
位移电流在这些电器设备中的作用变得尤为重要。
以电容器为例。
在电容器中，当外加电压变化时，介质中就会产生位移电流。
由于介质对电荷的移动有一定的阻碍作用，这种电流会导致电容器内部电场的变化。
位移电流麦克斯韦方程组
LH
dl
S1
j
ds
I
L
H dl j ds 0
L
S2
-
dD dt
+ +
I
-
jc -
-
B
D
+
+ jc
+
A
I
Ic
dq dt
d(S
dt
)
S
d
dt
jc
d
dt
D
dD d
dt dt
Ψ SD
Ic
S
dD dt
dΨ dt
麦克斯韦假设 电场中某一点位移电流密度等于该点电位移矢量对时 间的变化率.
Is
D
Ic
dΨ dt
H dl L
(
s
jc
) ds t
1）全电流是连续的； 2）位移电流和传导电流一样激发磁场； 3）传导电流产生焦耳热，位移电流不产生焦耳热.
例1 有一圆形平行平板电容器,
.现对其充电,使电路上的传导电
R 3.0cm 流
,若略去边缘效应, 求（1）两极板间的位移电流;（2）两极板间
dΨ dt
r2 R2
dQ dt
H
l
dl
Ic
Id
Id
H (2π
r)
r2 R2
dQ dt
计算得
H
r 2π R2
dQ dt
B 0r dQ
2π R2 dt
代入数据计算得
Id 1.1A B 1.11105T
二 电磁场 麦克斯韦电磁场方程的积分形式
静电场高斯定理
SD ds
V
dV
q
位移电流密度公式
位移电流密度公式位移电流密度公式是电磁学中的一个重要概念。
在咱们的日常生活中，电和磁的现象无处不在。
就像你打开手机、使用微波炉，甚至是听广播的时候，其实都离不开电和磁的作用。
先来说说位移电流密度公式本身。
它的表达式是：Jd = ε₀ ×dΦE/dt 。
这里面的符号都有各自的含义，ε₀是真空介电常数，dΦE/dt 表示电场的变化率。
想象一下这样一个场景，在一个阳光明媚的下午，我正在教室里给学生们讲解位移电流密度公式。
我在黑板上写下这个公式，然后转身问同学们：“大家看这个公式，能想到什么？”同学们一脸茫然，我就知道他们还没理解。
于是我开始举例，“就好比我们的手机充电，电流在电线里流动，这是大家熟悉的传导电流。
但是，当我们的手机在接收信号的时候，电场在不断变化，这时候就产生了位移电流。
”有个同学举起手说：“老师，那是不是说，位移电流就是看不见的电流？”我笑着回答：“可以这么理解，它不像我们平常看到的电线里的电流那么直观，但它确实存在并且起着重要的作用。
”为了让同学们更清楚地理解，我拿出了一个实验装置。
这是一个简单的电容器实验，通过改变电容器两极板之间的电压，观察电流的变化。
同学们围了过来，眼睛紧紧盯着实验仪器，我一边操作一边解释：“当我们改变电压的时候，电场在变化，这时候就会产生位移电流。
大家看，电流表的指针动了！”在讲解位移电流密度公式的时候，还得提到麦克斯韦方程组。
麦克斯韦方程组就像是电磁学世界的宪法，而位移电流密度公式就是其中的重要条款。
它的出现，让我们对电磁现象的理解更加完整和深入。
回到我们的日常生活中，位移电流的概念在无线通信中有着广泛的应用。
比如，我们的手机能够接收到千里之外的信号，就是因为电磁波的传播，而电磁波的产生就与位移电流密切相关。
再比如说，雷达的工作原理也离不开位移电流的概念。
雷达通过发射电磁波，然后接收反射回来的电磁波来探测目标。
在这个过程中，电磁波的传播和变化都涉及到位移电流。
位移电流密度公式的一种导出方法
位移电流密度公式的一种导出方法首先，麦克斯韦方程组包括四个方程，分别是麦克斯韦-安培定律、麦克斯韦-法拉第定律、高斯定理和法拉第定律。
这里我们主要使用麦克斯韦-安培定律和麦克斯韦-法拉第定律。
麦克斯韦-安培定律表示自由电流的旋度与电场强度之间的关系：∇×B=μ₀Jf+ε₀μ₀∂E/∂t（1）其中，B是磁感应强度，Jf是自由电流密度，E是电场强度，μ₀是真空磁导率，ε₀是真空介电常数。
另外，麦克斯韦-法拉第定律表示磁场变化引起的感应电场与电场强度之间的关系：∇×E=-∂B/∂t（2）1.取麦克斯韦-麦克斯韦-安培定律的旋度：∇×∇×B=μ₀∇×Jf+μ₀ε₀∂/∂t(∇×E)（3）由矢量恒等式∇×∇×A=∇(∇·A)-∇²A，将上式中的第一项进行替换，得到：∇(∇·B)-∇²B=μ₀∇×Jf+μ₀ε₀∂/∂t(∇×E)（4）由于磁感应强度的散度∇·B等于零（无磁荷情况下），可以简化为：-∇²B=μ₀∇×Jf+μ₀ε₀∂/∂t(∇×E)（5）2.利用矢量恒等式∇×(∇×A)=∇(∇·A)-∇²A，将上式中的第二项进行替换，得到：-∇²B=μ₀Jf+μ₀ε₀∂²E/∂t²（6）3.将麦克斯韦-法拉第定律中的∇×E代入，得到：-∇²B=μ₀Jf-μ₀ε₀∂²(∇×B)/∂t²（7）4.利用矢量恒等式∇×(∇×B)=∇(∇·B)-∇²B，将上式中的旋度进行替换，得到：-∇²B=μ₀Jf-μ₀ε₀∂²(μ₀Jf+ε₀μ₀∂E/∂t)/∂t²（8）5.整理上式，得到：∇²B=μ₀Jf-μ₀ε₀μ₀∂²E/∂t²（9）6.根据波动方程的形式，可以发现上式实际上就是波动方程的形式，即：∇²B-ε₀μ₀∂²E/∂t²=-μ₀Jf（10）麦克斯韦方程组中的高斯定理和法拉第定律可以得到类似的结果。
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经过S1面,有:
Hdl i
S2
若考虑同一路径C所包围的包含c电容器极板的另一
个开曲面S2 经过S2面，有:
Hdl 0
c
c
s1
i
显然，上两式相矛盾，电容器中必然有电流存 在。麦克斯韦提出位移电流假说：在电容器两极板
之间存在另一种电流，其值与传导电流i相等。
S1和S2构成的闭合曲面:S=S1+S2，应用电流连续原 理，有：
安培定律的修正形式为:
c H dl S
J
D t
dS
——安培环路定律 的积分形式
由斯托克斯定理:
Hdl
H dS
c
S
安培环路定律的 微分形式为:
H J D t
上式表明：时变场中的磁场是由传导电流和位移电流共 同产生的，位移电流能产生磁效应代表了变化的电场能 够产生磁场。
问题３、位移电流与传导电流有什么相同和不同？
（由1个学生回答,其它同学补充）
1、相同点：传导电流和位移电流都能产生磁场；正因 如此,麦克斯韦预言电磁波的存在，数年 后（1880年）赫兹用实验证实了电磁波的 存在。
2、不同点：1）位移电流不能直接检测出来； 2）位移电流没有热效应，而传导电流有 热效应。
则：
E总 Ein Ec
因此，电场沿闭合路径积分为：
引起回路中变化：
d
c
Edl
dt
s
B dS
１）变化的磁场穿过静止的线圈
２）线圈在均匀磁场中连续改变位置或形状（或两种情况综合）
线圈静止：
Edl
c
s
B t
dS
其微分式为： E B 0 t
（而静电场：▽×E =0）
４）在无源区域（即：无电荷，也无电流）时变电场和时变磁 场都是有旋无散，电力线与磁力线自行闭合，相互交链；
三、法拉第电磁感应定律（由学生回答）
１、法拉第电磁感应定律：当穿过线圈所包围面积对磁通 发生变化时，线圈中就产生感应电动势
in
d dt
c
B dS
in为感应电动势，它是电导线体内的感应电场Ein来维持的。
in
c
Ein
dl
d dt
如果空中同时存在由静电荷产生的保守场 Ec
解：设电场随时间作正弦变化，表示为：
E exEm cost
则，位移电流密度为：
Jd
D t
ex0 r Em sin t
其幅值为： Jdm 0r Em 4.5103 Em
传导电流的幅值为： Jcm Em 4Em
故
Jdm 1.125 103
J cm
问题4：麦克斯韦方程组的积分形式是怎样的？
三、麦克斯方程： （由1个学生上台填写）
麦克斯韦方程是经典电磁理论的核心，积分形式为：
安培定律 法拉第定律
c
Hdl
s (J
D) dS t
Edl
c
s
B dS t
磁场连续性方程
s B dS 0
高斯定理
s D dS q
B t
dS
从斯托克斯定理： 所以：
Edl
c
E dS
s
E B t
３）磁场连续性方程： s B dS 0
据散度定理,有:
４） 高斯定理： 据散度定理,有:
B d B dS s
B0
s D dS q d
3、位移电流的微观实质：
因为 D E p
将上式对时间求偏导:
极化电流
P t
:表示介质分子
的电极化强度随时间的变化
位移电流密度
Jd
D t
0
E t
P t
表示电场随时间的变化
例 6.2.1 海水的电导率为4S/m，相对介电常数 为81，求频率为1MHz时，位移电流与传导电流的比值。
上式为麦克斯韦方程式的非限定形式,适用于任意媒质。
２、微分形式： （由2个学生推导）
1 ) 安培定律积分式：
Hdl
c
(J
s
D) dS t来自从斯托克斯定理： 所以
２）法拉第定律积分式：
H dl s H dS
H J D t
Edl
c
s
上式表明：时变场中，电场不再是无旋场，变化的磁场激发电场是感应电动
势和变压器的工作原理．
6.2 位移电流
问题２：麦克斯韦位移电流的假说怎样提出的？ 其物理意义是什么？（2个学生上台讲解）
变化的磁场可以产生电场，变化电场能不能产生磁场呢？ 麦克斯韦将安培环路定律应用于时变场时就产生了矛盾：
选择一个闭合回路 C所包围的电容器外的开曲面S1 ， 根据安培环路定律,
前言
一、静电场是由电量不随时间变化的静止电荷产生的; 恒定磁场是由恒定的电流产生的，两种场都不随时间变化, 称为:静态场。 其特点是：电场、磁场各自独立存在。
二、时变电磁场 当电荷或电流随时间变化时，它们所产生的电场和磁场也 随时间变化。
时变电场
时变磁场
预习提纲：（同学们根据提纲自学20-30分钟）
D d Dd
s
D
麦克斯韦方程式的物理意义：(教师、学生共同总结)
１）时变电场是有旋有散的，电力线可闭合也可不闭合；
２）时变磁场是有旋无散的，磁力线总是闭合的；
３）不闭合的电力线从正电荷到负电荷； 闭合的电力线与磁力线相交链； 闭合的磁力线要么与电力线交链，要么与电流相交链。
J dS dq （1）
s
dt
结合用高斯定律:
D dS q （２）
s
由(2)代入(1)有:位移电流密度为:
s
J dS
dq dt
s
D dS t
s
Jd
dS
令位移电流密度矢量：
Jd
D t
单位:A/m２
安培定律的修正(全电流定律)
一般情况下，空间同时存在传导电流和位移电流， 两者之和，称为全电流。
1、法拉第电磁感应定律是怎样表示的，其物理意义何在,产生 感应电动势有哪几种形式?
２、麦克斯韦位移电流的假说怎样提出的？其物理意义是什么？ ３、位移电流与传导电流有什么相同和不同？
４、麦克斯韦方程组的积分形式是怎样的？
５、麦克斯韦方程组的微分形式是怎样的？其物理意义怎样？
问题1：法拉第电磁感应定律是怎样表示的，其物理 意义何在，产生感应电动势有哪几种形式？