提高题专题复习二次根式练习题及解析
专题01 二次根式(解析版)
专题01 二次根式【题型1】求二次根式的值例题．（2022春·广东惠州·八年级统考期末）下列各式是二次根式的是（）A B C D键．【变式1-1】1．（2022秋·河南开封·）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间a=的值是__________．2．（2022秋·上海·八年级统考期末）当5【题型2】求二次根式中的参数例题．（2023春·全国·n的最小值为（ ）A．2B．3C．4D．5【变式2-1】1．（2022春·广西柳州·n为______．2．（2023春·全国·八年级专题练习）是二次根式，则a的取值范围是______；则正整数a的最小值是______．【题型3】二次根式有意义的条件例题．（2023秋·河北石家庄·x有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【变式3-1】1．（2022春·广东惠州·八年级统考期末）在函数y=中，自变量x的取值范围是（）A ．3x ³-B ．3x ³-且0x ¹C ．0x ¹D ．3x >-2．（2023秋·广东深圳·有意义，则x 的取值范围是____________．【题型4】利用二次根式的性质化简例题．（2023秋·河北邢台· ）A ．B D ．【变式4-1】1．（2023秋·河北石家庄·的结果是（）A B．3C．D．9____________．【题型5】复合二次根式的化简例题．（2023春·0)m>所得结果相同的是（）A．B．C．-D．-故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．【变式5-1】1．（2022春·上海杨浦·九年级校考阶段练习）当0a <=______．2．（2023春·浙江·m n 、，是22m n x +=且mn x ±变成2222()m n mn m n +±=±解：∵3+12=++(2222111+´=+=+1==请你仿照上面的方法，化简下列各式：；一．选择题1．（2023春·全国·八年级专题练习）下列各式中是二次根式的为（ ）A ．a +bB ．s tC ．3x -D )0a ³A ．1x ¹B ．0x ³C ．0x ³且1x ¹D ．01x ££【答案】C【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数；分式有意义：分母不为0直接求解即可．【详解】解：由题意得，0x ³且10x -¹，即0x ³且1x ¹．故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式及分式有意义的条件，二次根式有意义：被开方数为非负数；分式有意义：分母不为0．3．（2023春·全国·八年级专题练习）在下列代数式中，不是二次根式的是（ ）4．（2022·山东聊城·统考中考真题）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式=v a 为子弹的加速度，s 为枪筒的长．如果52510m /s a =´，0.64m s =，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）A ．20.410m /s´B ．20.810m /s ´C ．2410´m /sD ．28s10m /´A2B2C．2D．2A．B．－2C．±2D．故选：A．【点睛】本题考查的是完全平方公式的变形式以及二次根式的化简运算，解题的关键是熟悉完全平方公式与二次根式的化简时注意正负值．7．（2023春·全国·八年级专题练习）若2m=+，则mn-=（）A．425B．254C．254-D．425-8．（2023春·八年级课时练习）x的分式方程3211mx x+=--有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）A．﹣7B．﹣6C．﹣5D．﹣4二、填空题+的值是______. 9．（2023春·八年级课时练习）已知有理数满足52b a，则a b=+-【答案】30x -£<【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：依题意26020x x +³ìí->î①②解不等式①得：3x ³-解不等式②得：0x <∴不等式组的解集为：30x -£<，故答案为：30x -£<【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求一元一次不等式组的解集，掌握以上知识是解题的关键．11．（2023春·八年级课时练习）已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示．化简b ++c +-．14．（2023春·八年级课时练习）若两不等实数a，b满足8b+=a+=，8为_____．15．（2023春·八年级课时练习）已知n n的值为__________．三、解答题16．（2023春·全国·（1）2 （2）2(- （3））2(-（5）2 （6）2-17．（八年级课时练习）计算：(1)-(2))32．19．（2022·湖南长沙·统考中考真题）计算：1201|4|20353-æö-+-+ç÷èø．21．（2023春·全国·八年级专题练习）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题化简∶21x--解∶隐含条件130x -³，解得：13x £∴10x ->∴原式()()1311312x x x x x =---=--+=-【启发应用】（12【类比迁移】（2）实数a ，b ||b a -．（3）已知a ，b ，c 为ABC +22．（2023春·八年级课时练习）当2022a =时，求a 的值．如图是小亮和小芳的解答过程：(1) 的解法是错误的；(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；(3)当3a >a -的值．。
二次根式提高练习题(含答案)解析
一.计算题： 1．(235+-）（235--）；2. 1145-－7114-－732+；3.（a 2mn －m abmn ＋mn nm ）÷a 2b 2mn ；4.（a ＋ba abb +-）÷（bab a +＋aab b -－abb a +）（a ≠b ）．二.求值：1.已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232yx y x y x xy x ++-的值． 2.当x ＝1－2时，求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x ax x +-+-＋221ax +的值．三.解答题： 1．计算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）．2.若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求xy y x ++2－xy y x +-2的值．计算题： 1、【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝(35-)2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215． 2、【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式． 【解】原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．3、【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式．【解】原式＝（a 2m n －mab mn ＋mn nm）·221b a n m＝21b nmm n ⋅－mab 1n m mn ⋅＋22b ma n n m n m ⋅＝21b －ab 1＋221b a ＝2221ba ab a +-． 4、【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．【解】原式＝ba ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+-- ＝ba ba ++÷))((2222b a b a ab ba b ab b ab a a -++----＝ba b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－ba +．【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． 求值： 1．、【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值．【解】∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26，y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴ x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．32234232yx y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝652．【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷． 2、【提示】注意：x 2＋a 2＝222)(a x +，∴ x 2＋a 2－x22ax +＝22ax +（22ax +－x ），x 2－x22ax +＝－x（22ax +－x ）．【解】原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x ax x -++-＋221ax +＝)(()2(22222222222x a x a x x ax x a x x a x x -+++++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x xa x x a x a x x x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x x ax x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++＝x1．当x ＝1－2时，原式＝211-＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x ax x -++-＋221ax +＝)11(2222ax xa x +--+－)11(22x x a x --+＋221ax +＝x1．解答题： 1、【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算．【解】原式＝（25＋1）（1212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--）＝（25＋1）[（12-）＋（23-）＋（34-）＋…＋（99100-）]＝（25＋1）（1100-）＝9（25＋1）．【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法．2、【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗？].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 【解】要使y 有意义，必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21．又∵xy y x ++2－xyy x +-2＝2)(xy y x+－2)(xy y x -＝|xy y x +|－|x yyx -|∵ x ＝41，y ＝21，∴yx ＜xy ．∴ 原式＝xy y x +－yx x y +＝2yx 当x ＝41，y ＝21时，原式＝22141＝2．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值．。
初二数学二次根式提高题与常考题与培优题(含解析)
二次根式提升题与常考题型压轴题(含解读)一．选择题（共13 小题）1．二次根式中x的取值范围是（）A．x＞3B．x≤3 且 x≠ 0 C．x≤3 D．x＜3 且 x≠02．计算：﹣，正确的选项是（）A．4B．C．2D．3．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和 12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2．A．16﹣8B．﹣ 12+8C． 8﹣ 4D． 4﹣ 24．若 1＜x＜ 2，则的值为（）A．2x﹣4 B．﹣ 2 C． 4﹣ 2x D． 25．以下计算正确的选项是（）A．=2B．=C．=x D．=x6．以下各式变形中，正确的选项是（）A．x2?x3=x6 B．=| x|C．（x2﹣）÷ x=x﹣1D．x2﹣ x+1=（x﹣）2+7．以下二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．8．化简+﹣的结果为（）A．0 B．2C．﹣ 2D．29．已知， ab＞0，化简二次根式 a的正确结果是（）A．B．C．﹣D．﹣10． a的小数部分，b的小数部分．的（）A．+ 1 B．+1 C．1D．++111．把中根号外面的因式移到根号内的果是（）A．B．C．D．12．假如=2a 1，那么（）A．a B．a≤C．a D．a≥13．已知： a=，b=，a与b的关系是（）A．ab=1B．a+b=0 C．a b=0 D．a2=b2二．填空（共17 小）14．假如代数式存心，那么x的取范．15．在数上表示数 a 的点如所示，化+| a 2| 的果．16．算：=．17．察以下等式：第 1个等式： a1=，=1第 2个等式： a2=，=第 3个等式： a3=2，=第 4个等式： a4==2，按上述律，回答以下：（1）写出第 n 个等式： a n=；（2） a1+a2+a3+⋯+a n=．18．算 2的果是．19．算（+）（）的果等于．20．化简：（0＜a＜1）=．21．假如最简二次根式与能够归并，那么使存心义的x 的取值范围是．22．已知 a，b 是正整数，且知足是整数，则这样的有序数对（ a，b）共有对．23．对正实数 a，b 作定义 a*b=﹣a，若 2*x=6，则 x=．．已知x+y=， x﹣y=4﹣y4．24，则 x=25．已知=﹣（x，y 为有理数），则 x﹣ y=．26．已知是正整数，则实数 n 的最大值为．27．三角形的三边长分别为3、m、 5，化简﹣=．28．若实数 m 知足=m+1，且 0＜m＜，则m的值为．29．计算以下各式的值：；；；．察看所得结果，总结存在的规律，应用获得的规律可得=．30．察看以下各式：=11+3×1+1，=22+3×2+1，=32+3× 3+1，猜想：=．三．解答题（共10 小题）31．计算（1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2．32．若 1＜ a＜2，求+的值．33．已知 x， y 都是有理数，而且知足，求的值．34．先化简，再求值：，此中x=﹣3﹣（π﹣3）0．35．（ 1）已知 | 2012﹣x|+=x，求 x﹣ 20132的值；（ 2）已知 a＞0，b＞0 且（+）=3（+5）．求的值．36．察看以下各式及其考证过程：（ 1）依据上述两个等式及其考证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行考证；（2）针对上述各式反响的规律，写出用 n（ n 为随意自然数，且 n≥ 2）表示的等式，并说明它建立．37．先化简，再求值：（+）÷，此中a=+1．38．求不等式组的整数解．39．阅读与计算：请阅读以下资料，并达成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《胸怀》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：假如一个三角形的三边长分别为a、 b、c，设p=，则三角形的面积 S=．我国南宋有名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：假如一个三角形的三边长分别为 a、b、c，则三角形的面积 S=．（1）若一个三角形的三边长分别是 5，6，7，则这个三角形的面积等于．（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．40．已知： y=++ ，求﹣的值．二次根式提升题与常考题型压轴题(含解读 )参照答案与试卷解读一．选择题（共13 小题）1．（2017 春?启东市月考）二次根式中x的取值范围是（）A．x＞3B．x≤3 且 x≠ 0 C．x≤3 D．x＜3 且 x≠0【剖析】依据二次根式存心义的条件和分式存心义的条件得出3﹣x≥0 且 x≠ 0，求出即可．【解答】解：要使存心义，一定3﹣x≥0且x≠ 0，解得： x≤3 且 x≠ 0，应选 B．【评论】本题考察了二次根式存心义的条件和分式存心义的条件等知识点，能根据题意得出 3﹣x≥0 且 x≠ 0 是解本题的重点．2．（2017 春?萧山区校级月考）计算：﹣，正确的选项是（）A．4B．C．2D．【剖析】直接化简二次根式从而归并求出答案．【解答】解：﹣=2﹣=．应选： D．【评论】本题主要考察了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题重点．3．（ 2017 春?嵊州市月考）如图，在长方形 ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和 12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2．A．16﹣8B．﹣ 12+8C． 8﹣ 4D． 4﹣ 2【剖析】依据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再依据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和 12cm2，∴它们的边长分别为=4cm，=2 cm，∴AB=4cm，BC=（ 2 +4） cm，∴空白部分的面积 =（ 2 +4）× 4﹣12﹣ 16，=8 +16﹣ 12﹣16，2=（﹣ 12+8）cm．【评论】本题考察了二次根式的应用，算术平方根的定义，解题的重点在于依据正方形的面积求出两个正方形的边长．4．（2016?呼伦贝尔）若 1＜x＜2，则的值为（）A．2x﹣4 B．﹣ 2 C． 4﹣ 2x D． 2【剖析】已知 1＜x＜2，可判断 x﹣3＜0，x﹣1＞0，依据绝对值，二次根式的性质解答．【解答】解：∵ 1＜x＜2，∴x﹣3＜0，x﹣1＞0，原式 =| x﹣3|+=| x﹣3|+| x﹣1|=3﹣x+x﹣1=2．【评论】解答本题，要弄清以下问题：1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0 时，表示 a 的算术平方根；当 a=0 时， =0；当 a 小于 0 时，非二次根式（若根号下为负数，则无实数根）．2、性质：=| a| ．5．（2016?南充）以下计算正确的选项是（）A．=2B．=C．=x D．=x【剖析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．【解答】解： A、=2，正确；B、=，故此选项错误；C、=﹣x，故此选项错误；D、=| x| ，故此选项错误；应选： A．【评论】本题主要考察了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题重点．6．（2016?杭州）以下各式变形中，正确的选项是（）A．x2?x3=x6 B．=| x|C．（x2﹣）÷ x=x﹣1D．x2﹣ x+1=（x﹣）2+【剖析】直接利用二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算法例和分式的混淆运算法例分别化简求出答案．【解答】解： A、x2?x3=x5，故此选项错误；B、=| x| ，正确；C、（x2﹣）÷ x=x﹣，故此选项错误；D、x2﹣ x+1=（ x﹣）2+，故此选项错误；【评论】本题主要考察了二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算和分式的混淆运算等知识，正确掌握有关运算法例是解题重点．7．（2016?巴中）以下二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【剖析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．【解答】解： A、 =3 ，与不是同类二次根式，故此选项错误；B、 = ，与，是同类二次根式，故此选项正确；C、=2，与不是同类二次根式，故此选项错误；D、==，与不是同类二次根式，故此选项错误；应选： B．【评论】本题主要考察了同类二次根式，正确化简二次根式是解题重点．8．（2016?营口）化简+﹣的结果为（）A．0B．2C．﹣ 2D．2【剖析】依据根式的开方，可化简二次根式，依据二次根式的加减，可得答案．【解答】解：+﹣=3 +﹣2=2，应选： D．【评论】本题考察了二次根式的加减，先化简，再加减运算．9．（2016?安徽校级自主招生）已知， ab＞ 0，化简二次根式a的正确结果是（）A．B．C．﹣D．﹣【剖析】直接利用二次根式的性质从而化简得出答案．【解答】解：∵ ab＞0，∴ a=a×=﹣．【评论】本题主要考察了二次根式的性质与化简，正确应用二次根式的性质是解题重点．10．（2016?邯郸校级自主招生）设 a 为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则﹣的值为（）A．+﹣1B．﹣+1 C．﹣﹣1D．++1【剖析】第一分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b 对应的小数部分，而后辈、化简、运算、求值，即可解决问题．【解答】解：∵﹣=﹣=== ，∴ a 的小数部分 =﹣1；∵﹣===，∴ b 的小数部分 =﹣ 2，∴﹣====．应选 B．【评论】该题主要考察了二次根式的化简与求值问题；解题的重点是灵巧运用二次根式的运算法例来剖析、判断、解答．11．（ 2016?柘城县校级一模）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（）A．B．C．D．【剖析】先依据被开方数大于等于 0 判断出 a 是负数，而后平方后移到根号内约分即可得解．【解答】解：依据被开方数非负数得，﹣＞0，解得 a＜0，﹣ a==．应选 A．【评论】本题考察了二次根式的性质与化简，先依据被开方数大于等于0 求出 a 的取值范围是解题的重点，也是本题最简单犯错的地方．12．（ 2016?杨浦区三模）假如=2a﹣1，那么（）A．a B．a≤C．a D．a≥【剖析】由二次根式的化简公式获得1﹣ 2a 为非正数，即可求出 a 的范围．【解答】解：∵=| 1﹣ 2a| =2a﹣ 1，∴1﹣ 2a≤0，解得： a≥ ．应选 D【评论】本题考察了二次根式的性质与化简，娴熟掌握二次根式的化简公式是解本题的重点．13．（2016?临朐县一模）已知： a=，b=，则a与b的关系是（）A．ab=1B．a+b=0C．a﹣b=0 D．a2=b2【剖析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、 a﹣ b、 a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项．【解答】解： a===2+，b===2﹣，A、ab=（ 2+）×（2﹣）=4﹣3=1，故本选项正确；B、a+b=（2+）+（2﹣）=4，故本选项错误；C、a﹣b=（2+）﹣（2﹣）=2，故本选项错误；D、∵ a2=（ 2+）2=4+4+3=7+4，b2=（2﹣）2=4﹣4+3=7﹣4，∴a2≠b2，故本选项错误；应选 A．【评论】本题考察了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解本题的重点．二．填空题（共17 小题）14．（2017?静安区一模）假如代数式存心义，那么x的取值范围为x＞﹣2．【剖析】依据二次根式存心义的条件、分式存心义的条件列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得， x+2＞0，解得， x＞﹣ 2，故答案为： x＞﹣ 2．【评论】本题考察的是二次根式存心义的条件，掌握二次根式中的被开方数一定是非负数是解题的重点．15．（ 2016?乐山）在数轴上表示实数 a 的点如下图，化简+| a﹣2| 的结果为3．【剖析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．【解答】解：由数轴可得： a﹣5＜0，a﹣2＞ 0，则+| a﹣2|=5﹣a+a﹣2=3．故答案： 3．【点】此主要考了二次根式的性以及的性，正确掌握掌握有关性是解关．16．（ 2016?聊城）算：=12．【剖析】直接利用二次根式乘除运算法化求出答案．【解答】解：=3×÷=3=12．故答案： 12．【点】此主要考了二次根式的乘除运算，正确化二次根式是解关．17．（ 2016?黄石）察以下等式：第 1个等式： a1=，=1第 2个等式： a2==，第 3个等式： a3=2，=第 4个等式： a4==2，按上述律，回答以下：（ 1）写出第 n 个等式： a n=；；=（ 2） a1+a2+a3+⋯+a n1．=【剖析】（1）依据意可知， a12=3==1，a =， a ==2，a4==2，⋯由此得出第 n 个等式： a n==；（ 2）将每一个等式化即可求得答案．【解答】解：（1）∵第 1 个等式： a1==1，第 2个等式： a2==，第 3个等式： a3=2，=第 4个等式： a4==2，∴第 n 个等式： a n==；（ 2） a1+a2+a3+⋯+a n=（1）+（）+（2）+（2）+⋯+（）=1．故答案=；1．【点】此考数字的化律以及分母有理化，要修业生第一剖析意，找到律，并行推得出答案．18．（ 2016?哈）算 2的果是2．【剖析】先将各个二次根式化成最二次根式，再把同二次根式行归并求解即可．【解答】解：原式 =2×3= 3= 2 ，故答案： 2 ．【点】本考了二次根式的加减法，解答本的关在于掌握二次根式的化与同二次根式归并．19．（ 2016?天津）算（+）（）的果等于 2 ．【剖析】先套用平方差公式，再依据二次根式的性算可得．【解答】解：原式 =（）2（）2=5 3=2，故答案为： 2．【评论】本题考察了二次根式的混淆运算的应用，娴熟掌握平方差公式与二次根式的性质是重点．20．（ 2016?博野县校级自主招生）化简：（0＜a＜1）=﹣a．【剖析】联合二次根式的性质进行化简求解即可．【解答】解：==| a﹣| ．∵0＜ a＜1，∴ a2﹣1＜0，∴ a﹣ =＜0，∴原式 =| a﹣| =﹣（ a﹣）=﹣a．故答案为：﹣a．【评论】本题考察了二次根式的性质与化简，解答本题的重点在于娴熟掌握二次根式的性质及二次根式的化简．21．（2016?绵阳校级自主招生）假如最简二次根式与能够归并，那么使存心义的 x 的取值范围是x≤ 10．【剖析】依据二次根式可归并，可得同类二次根式，依据同类二次根式，可得 a 的值，依据被开方数是非负数，可得答案．【解答】解：由最简二次根式与能够归并，得3a﹣8=17﹣2a．解得 a=5．由存心义，得20﹣2x≥0，解得 x≤10，故答案为： x≤ 10．【评论】本题考察了同类二次根式，利用同类二次根式得出对于 a 的方程是解题重点．22．（ 2016?温州校级自主招生）已知a，b 是正整数，且知足是整数，则这样的有序数对（ a， b）共有7对．【剖析】 A， B 只好是 15n2，而后分别议论及的取值，最后可确立有序数对的个数．【解答】解： 15 只好约分红3， 5那么 A，B 只好是 15n2先考虑 A 这边：①，那么 B 能够这边能够是 1 或许，此时有：（15，60），（ 15，15），（60，15），②，只好 B 这边也是，此时有：（60，60），③，那么 B 这边也只好是，∴2×（ + ）=1，此时有：（240， 240）④的话，那么 B 这边只好是，那么 2（ + ） =1，此时有：（135， 540），（540，135）．综上可得共有 7 对．故答案为： 7．【评论】本题考察二次根式的化简求值，难度较大，重点是依据题意分别议论及的取值．23．（ 2016?福州自主招生）对正实数a，b 作定义 a*b=﹣a，若2*x=6，则x= 32．【剖析】依据定义把 2*x=6 化为一般方程，求解即可．【解答】解：∵a*b=﹣a，∴2*x=﹣2，∴方程 2*x=6 可化为﹣2=6，解得x=32，故答案为： 32【评论】本题主要考察二次根式的化简，利用新定义把方程化为一般方程是解题的重点．24（．2016?黄冈校级自主招生）已知 x+y=，x﹣y=，则 x4﹣y4=．【剖析】把所给式子两边平方再相加可先求得x2+y2，再求得 x2﹣y2，可求得答案．【解答】解：∵ x+y=，x﹣y=，∴（ x+y）22+2xy+y2（）2+，（﹣y）2 2﹣2xy+y2=x==x=x=（）2=﹣，∴ x2+y2=，又 x2﹣ y2= （ x+y ）（ x ﹣ y ） = （）（） ==1，∴ x4﹣y4（2+y2）（ x2﹣y2）=，=x故答案为：．【评论】本题主要考察二次根式的化简，利用乘法公式分别求得x2+y2和 x2﹣ y2的值是解题的重点．25．（ 2016?黄冈校级自主招生）已知=﹣（x，y为有理数），x y= 1 ．【剖析】把已知条件两平方，整理可获得 x+y 2，合x、y均有理数，可求得 x、y 的，可求得答案．【解答】解：∵=，∴（）2=（）2，即23= x+ y 2，∴ x+y 2=2= +2，∵ x，y 有理数，∴x+y= + ，xy= ×，由条件可知 x＞y，∴x= ，y= ，∴x y=1，故答案： 1．【点】本主要考二次根式的化，由条件求得 x、 y 的是解的关．26．（ 2016 春?固始期末）已知是正整数，数n 的最大11．【剖析】依据二次根式的意可知 12 n≥0，解得 n≤12，且 12 n 开方后是正整数，切合条件的 12 n 的有 1、4、9⋯，此中 1 最小，此 n 的最大．【解答】解：由意可知 12 n是一个完整平方数，且不 0，最小 1，所以 n 的最大 12 1=11．【点】主要考了二次根式存心的条件，二次根式的被开方数是非数．27．（2016?山西模）三角形的三分3、m、5，化=2m 10 ．【剖析】先利用三角形的三关系求出m 的取范，再化求解即可．【解答】解：∵三角形的三分3、m、5，∴2＜ m＜8，∴﹣=m﹣2﹣（ 8﹣m） =2m﹣10．故答案为： 2m﹣10．【评论】本题主要考察了二次根式的性质与化简及三角形三边关系，解题的重点是熟记三角形的三边关系．28．（ 2016?武侯区模拟）若实数m知足=m+1，且 0＜m＜，则m的值为．【剖析】直接利用二次根式的性质化简从而得出对于m 的等式即可得出答案．【解答】解：∵=m+1，且 0＜ m＜，∴ 2﹣ m=m+1，解得： m=．故答案为：．【评论】本题主要考察了二次根式的性质与化简，正确开平方是解题重点．29．（ 2016?龙岩模拟）计算以下各式的值：；；；．察看所得结果，总结存在的规律，应用获得的规律可得=102016．【剖析】直接利用已知数据计算得出结果的变化规律从而得出答案．【解答】解：=10；=100=102；=1000=103；=10000=104，可得=102016．故答案为： 102016．【评论】本题主要考察了二次根式的性质与化简，正确得出结果变化规律是解题重点．30．（2016?丹东模拟）察看以下各式：=11+3×1+1，=22+3×2+1，=32+3×3+1，猜想：= 20112+3×2011+1．【剖析】依据题意得出数字变换规律从而得出答案．【解答】解：由题意可得：=20112+3× 2011+1．故答案为： 20112+3× 2011+1．【评论】本题主要考察了二次根式的化简，正确得出数字变化规律是解题重点．三．解答题（共10 小题）31．（ 2017 春?临沭县校级月考）计算（1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2．【剖析】（1）先进行二次根式的除法运算，而后化简后归并即可；（2）利用完整平方公式和平方差公式计算．【解答】解：（1）原式 =3 ﹣ 2 +=3 ﹣2 +2=3；（ 2）原式 =1﹣5+1+2+5=2+2．【评论】本题考察了二次根式的混淆运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，而后进行二次根式的乘除运算，再归并即可．32．（ 2017 春?沂源县校级月考）若 1＜ a＜ 2，求+的值．【剖析】依据 a 的范围即可确立a﹣ 2 和 a﹣1 的符号，而后依据算术平根的意义进行化简求值．【解答】解：∵ 1＜a＜2，∴a﹣ 2＜0， a﹣1＞0．则原式=+=+=﹣1+1=0．【评论】本题考察了二次根式的化简求值，正确理解算术平方根的意义，理解=| a| 是重点．33（．2017 春?启东市月考）已知 x，y 都是有理数，而且知足，求的值．【分析】观察式子，需求出x ， y的值，所以，将已知等式变形：，x，y 都是有理数，可得，求解并使原式存心义即可．【解答】解：∵，∴．∵x，y 都是有理数，∴ x2+2y﹣ 17 与 y+4 也是有理数，∴解得∵存心义的条件是x≥y，∴取 x=5，y=﹣4，∴．【评论】此类问题求解，或是变换式子，求出各个未知数的值，而后辈入求解．或是将所求式子转变为已知值的式子，而后整体代入求解．34．（ 2016?锦州）先化简，再求值：，此中x=﹣3﹣（π﹣ 3）0．【剖析】先依据分式混淆运算的法例把原式进行化简，再把化简后 x 的值代入进行计算即可．【解答】解：，=÷，=×，=．x=﹣3﹣（π﹣3）0，=×4 ﹣﹣1，=2 ﹣﹣1，=﹣1．把 x=﹣1代入获得：==．即=．【评论】本题考察的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵巧应用．35．（ 2016?湖北校级自主招生）（ 1）已知 | 2012﹣x|+=x，求 x﹣ 20132的值；（ 2）已知 a＞0，b＞0 且（ + ）=3 （ +5）．求的值．【剖析】（ 1）由二次根式存心义的条件可知 x≥2013，而后化简得=2012，由算术平方根的定义可知：x﹣2013=20122，最后联合平方差公式可求得答案．（ 2）依据单项式乘多项式的法例把（ +）=3（+5）进行整理，得出 a﹣2﹣ 15b=0，再进行因式分解得出（﹣5）（+3）=0，而后依据 a＞0，b＞0，得出﹣5 =0，求出 a=25b，最后辈入要求的式子约分即可得出答案．【解答】解：（1）∵ x﹣2013≥0，∴x≥2013．∴ x﹣2012+=x．∴=2012．∴x﹣2013=20122．∴x=20122+2013．∴x﹣20132=20122﹣20132+2013 =﹣（2012+2013）+2013 =﹣2012．（ 2）∵（+ ）=3（+5 ），∴ a+=3+15b，∴a﹣ 2﹣15b=0，∴（﹣5）（+3）=0，∵a＞ 0，b＞ 0，∴ ﹣5 =0，∴ a=25b，∴原式 ===2．【评论】本题主要考察的是二次根式的混淆运算，用到的知识点是二次根式存心义的条件、绝对值的化简、算术平方根的性质、平方差公式的应用，第（1）题求得 x﹣2013=20122，第（ 2）求出 a=25b 是解题的重点．36．（ 2016?山西模拟）察看以下各式及其考证过程：（ 1）依据上述两个等式及其考证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行考证；（2）针对上述各式反响的规律，写出用 n（ n 为随意自然数，且 n≥ 2）表示的等式，并说明它建立．【剖析】依据察看，可得规律，依据规律，可得答案．【解答】解：（1）5=考证： 5====；（ 2） n=，证明： n====．【评论】本题考察了二次根式的性质与化简，运用n=的规律是解题重点．37．（ 2016?仙游县校级模拟）先化简，再求值：（+）÷，此中a=+1．【剖析】利用通分、平方差公式等将原式化简为，代入 a 的值即可得出结论．【解答】解：原式 =（+）÷，=?，=?，=．当 a= +1 时，原式 ==．【评论】本题考察了分式的化简求值，解题的重点是将原式化简成．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，先将原代数式进行化简，再代入数据求值是重点．38．（ 2016?高邮市一模）求不等式组的整数解．【剖析】第一解不等式组，注意系数化“1时”，这两个不等式的系数为负数，不等号的方向要改变．还要注意题目的要求，按要求解题．【解答】解：整理不等式组，得∴∴∴；∴不等式组的整数解为﹣2，﹣ 1，0．【评论】本题考察了一元一次不等式组的解法．要注意系数化“1时”，系数是正仍是负，正不等号的方向不变，负不等号的方向改变．还要注意审题，依据题意解题．39．（ 2016?太原一模）阅读与计算：请阅读以下资料，并达成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《胸怀》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：假如一个三角形的三边长分别为a、 b、c，设p=，则三角形的面积 S=．我国南宋有名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：假如一个三角形的三边长分别为 a、b、c，则三角形的面积 S=．（ 2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．【剖析】（1）把 a、 b、 c 的长代入求出 S2，再开方计算即可得解；2（ 2）把 a、b、c 的长代入求出 S ，再开方计算即可得解．【解答】解：（1）p===9，S===6．答：这个三角形的面积等于6．（2） S=====．答：这个三角形的面积是．故答案为： 6．【评论】本题考察了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算．40．（ 2016 春?饶平县期末）已知： y=++，求﹣的值．【剖析】第一依据二次根式中的被开方数一定是非负数，求出x 的值是多少，进而求出 y 的值是多少；而后把求出的x、y 的值代入化简后的算式即可．【解答】解：∵+存心义，∴，解得 x=8，∴ y=++=++=0+0+=∴﹣=﹣=﹣=﹣=﹣=【评论】本题主要考察了二次根式存心义的条件，要娴熟掌握，解答本题的重点是要明确：二次根式中的被开方数一定是非负数，不然二次根式无心义．。
专题03：二次根式(简答题专练)(解析版)
专题03：二次根式（简答题专练）一、解答题1．已知：211327m +=，234221m n --⨯=【答案】【分析】将已知的等式变形为同底数的式子，可得m 和n 的值，代入所求式子计算即可． 【解答】解：∵211327m +=， ∴21333m +=﹣， ∴213m +=-，解得：2m =-，∵234221m n --⨯=， 即23421m n -+-=∴2340m n -+-=，∴5n =，==． 【点评】本题考查了负整数指数、零指数幂的定义、幂的性质及二次根式的性质，解题的关键是掌握分数指数幂和负整数指数幂的运算法则．2．探究题：（1a 等于多少？（2）求222222,,,,,的值．对于任意非负实数2等于多少？【答案】（12=3=5=6=7=0=，对于任意实数a a =；（2）24=，29=，225=，236=，249=，20=，对于任意非负实数a ， 2a =．【分析】（1）直接计算各式进而得出一般规律；（2）直接计算各式进而得出一般规律．【解答】（12=，3=，5=，6=，7=，=，对于任意实数a a；（2）24 =，29 =，225=，236=，249=，20 =，对于任意非负实数a，2a =．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出变化规律是解题关键．3．探究题：=_，=，=，=，=，20=，根据计算结果，回答：（1a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来．（2）利用你总结的规律，计算：①若2x<；= ；（3）若,,a b c【答案】3，0.5，6，34，13；（1a ．当0a ≥时，a =；当0a ≤时，a =-．（2）①2x -，②3.14π-；（3）+-+--++-abc b c a b c a【分析】首先计算出探究题答案；（1a =；再根据绝对值的性质去掉绝对值符号可得当0a ≥时，a =；当0a ≤时， a =-；（2）①因为2x <，所以20x -<2x =-，再根据规律进行计算即可；②因为 3.14π<可得3.140π-< 3.14=-π，再根据规律进行计算即可； （3）根据三角形的三边关系定理可得000a b c b c a b c a +---+-＞，＜，＞，因此a b c b c a b c a =+-+--++-， 再根据绝对值的性质去掉绝对值符号合并同类项即可．3=，0.5=，6=，34=，13=， 200=； 故答案为：3，0.5，6，34，13；（1a ．当0a ≥时， a =；当0a ≤时， a =-；（2）①因为2x <，2x =-；②因为 3.14π<，即3.140π-<，3.14=π-；（3）根据三角形的三边关系定理可得000a b c b c a b c a +---+-＞，＜，＞，()a b c c a b b c a =+-++-++-a b c =++． 【点评】a =．4．交警通常根据刹车后轮滑行的距离来测算车辆行驶的速度，所用的经验公式是v= 16 ，其中v 表示车速（单位：km/h ），d 表示刹车距离（单位：m ），f 表示摩擦系数，在一次交通事故中，测得d=20m ，f=1.44，而发生交通事故的路段限速为80km/h ，肇事汽车是否违规超速行驶？说明理由.，）【答案】超速行驶；理由见解析【分析】先把d=20m ，f=1.44，分别代入80km/h 比较即可解答．【解答】肇事汽车超速行驶．理由如下： 把d=20，f=1.44代入＞80km/h ， 所以肇事汽车超速行驶．考点：二次根式的应用．5．先化简，再求值：，其中a=17﹣，.【分析】先将所求式子化简，再分别将a 、b 的值整理代入求解即可.【解答】原式==）=）∵a =17﹣=32﹣2×3×（）2=（3﹣）2，b =12+2×+）2=（）2，∴原式【点评】本题主要考查二次根式的性质与运算法则、分式的运算法则以及平方差公式的应用.6．求值（1）已知1124x y ，==-的值；（2）已知x y ==，22343x xy y ++求的值．【答案】（1）2；（3）22.【解析】试题分析：（1）根据二次根式的分母有理化，先化简代数式，再代入求值即可；（2）先根据分母有理化化简x 、y ，然后利用配方法化简代数式，再代入求值即可.试题解析：（1）当1124x y ==，时，=()()()()()()y x y y x y x y x y x y x y +---+-+ =2y x y - =2（2）∵2121x y ==+-，， ∴x=21-，y=21+∴22343x xy y ++=22363x xy y ++-2xy=3（x+y ）2-2xy=3（21-+21+）2-2（21-）（21+）=3×（22）2-2=3×8-2=227．实数a b 、在数轴上的位置如图所示：化简()222a b a b +--【答案】0【分析】根据数轴确定a 、b 的符号以及绝对值的大小，根据二次根式的性质化简计算即可．【解答】如图所示： 000a b a b -＞，＜，＞()222a b a b +-()a b a b =---0=．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简以及数轴的知识，掌握二次根式的性质、正确得出各项符号是解题的关键．8．阅读材料，解答下列问题：例：当0a >时，如5a =，则55a ==，故此时a 的绝对值是它本身；当0a =时，0a =，故此时a 的绝对值是0；当0a <时，如5a =-，则()555a =-=--=，故此时a 的绝对值是它的相反数．综上所述，一个数的绝对值要分三种情况，即：()()(),00,0,0a a a a a a ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，这种分析方法渗透了数学中的分类讨论思想．（1）请仿照例中的分类讨论，分析2a 的各种化简后的情况；（2）猜想2a 与a 的大小关系；（3）已知实数a b c 、、，在数轴上的位置如图所示，试化简：()22a a b c a b c --+-+-【答案】（1()()()20000a a a a a a ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩；（22a a ；（3）22-+-b c a【分析】（1）根据二次根式的性质，可得答案；（2）根据二次函数的根式与绝对值的性质，可得答案；（3）根据二次根式的性质与绝对值的性质，可化简式子，根据整式的加减，可得答案． 【解答】（1）当0a >时，如5a =2255a ==2a a =；当0a =时，如 200a ==20a =；当0a <时，如5a =-， ()2255a =-=25a =，()()()20000a a a a a a ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩；（22a a ；（3）由数轴上点的位置，得：0a b c <<<，0a b -<，0c a ->，0b c -<，()22a a b c a b c -+--()(()a b a c a c b =---+-+-）a b a c a c b =--++-+-22b c a =-+-．【点评】本题考查了二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质、绝对值的性质是解题关键．9．若,x y 是实数，且41143y x x =-+-+，求()3294253x x x x xy ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭. 【答案】1382- 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得x =14，将其代入已知等式即可求得y 的值，原二次根式化简后，将x 、y 的值代入求值即可． 【解答】解：依题意得：410140x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得：x =14，∴y =13 原式=225x x xy x x xy +--=3x x xy -=111134443-⨯=138-． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．10．化简（1)2490,064a a b b>> （20.01810.25144⨯⨯ 【答案】（1）78a b ；（2）320． 【分析】（1）根据a b 、的符号以及二次根式的性质，可得答案；（2）根据二次根式的性质，可得答案．【解答】（1）∵0a >，0b >，==；（2=0.190.512⨯=⨯ 320=． 【点评】本题考查了利用二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．11．已知：y ，求的值．【答案】【分析】根据二次根式的定义得出x ﹣8≥0，8﹣x≥0，求出x ，代入求出y ，把所求代数式化简后代入求出即可．【解答】解：要使y 有意义，必须x ﹣8≥0，且8﹣x≥0，解得：x ＝8，把x ＝8代入得：y ＝0+0+9＝9，∴13 【点评】本题考查了对二次根式有意义的条件，二次根式的化简，分母有理化等知识点的应用，解此题的关键是求出x 、y 的值，通过做此题培养了学生灵活运用性质进行求值的能力，题目比较典型．12．有这样一类题目：如果你能找到两个数m，n，使m2+n2=a，且，则a±，变成m2+n2+2mn=（m±n）2因为3±=1+2±=12+）2=（）2，2|=±1．仿照上例化简下列各式：（1（2【答案】(1) +1;(2)【解析】试题分析:根据题目中的例题中的研究方法即可求解.试题解析:（1）原式=1,（2）原式=13．计算下列各题：)－)；(2) (2；(3) 2；(4)(22017(2)2018－|－|－()0.【答案】＋5；(3) 15＋；(4)1.【解析】试题分析：这是一组二次根式的混合运算题，按照二次根式的相关运算法则计算即可.试题解析：（1）原式==（2）原式=55=；（3）原式=48315-+=+；（4）原式=2017[(2(21211+⨯+==.14．已知32x -≤≤，化简：． 【答案】34+x【分析】首先根据x 的范围确定3x +与2x -的符号，然后利用二次根式的性质，以及绝对值的性质即可化简．【解答】解：∵ 32x -≤≤， ∴3020x x +≥-≤，，∴=()()232x x =++-262x x =++-34x =+．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式的性质是关键．15．若实数a ，b ，c 满足． （1）求a ，b ，c ；（2）若满足上式的a ，c 为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．【答案】（1），b=2， c=3；（26.【分析】（1）利用二次根式的性质进而得出c 的值，再利用绝对值以及二次根式的性质得出a ，b 的值； （2）利用等腰三角形的性质分析得出答案． 【解答】解：（1）由题意可得：c-3≥0，3-c≥0， 解得：c=3，∴，则，b=2；（2）当a 是腰长，c＜3，不能构成三角形，舍去； 当c 是腰长，a 是底边时，任意两边之和大于第三边，能构成三角形，+6，+6．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及等腰三角形的性质，正确得出c 的值是解题关键． 16．（1）已知xy2x 2－5xy ＋2y 2的值．（2）先化简，再求值：222222x y x yx xy y x xy x y ⎛⎫--÷⎪-+--⎝⎭，其中x＝1，y＝2-【答案】（1）42，（2）13+-【解析】分析：（1）由已知得，再把2x 2－5xy ＋2y 2化简，再代入即可. （2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再计算x 和y 的值并代入进行计算即可 详解：（1）xy∴∴22252x xy y -+＝()2222x xy yxy -+-＝()22x y xy --＝(222+＝402+ ＝42（2）原式＝()()222x y xx y x x y y x y ⎡⎤---⋅⎢⎥--⎢⎥⎣⎦＝1122x yx y x y y ⎛⎫--⋅⎪--⎝⎭＝[()()()()22x y x y x y x y -----]·2x yy -＝()()()2112y x y x y x y yx y y x --⋅==-----·当x ＝1，y ＝2时，原式＝ 点睛: 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17=，且x 为奇数，求（1+x ）的值．【答案】【分析】由二次根式的非负性可确定x 的取值范围，再根据x 为奇数可确定x 的值，然后对原式先化简再代入求值.=， ∴6090x x ＞-≥⎧⎨-⎩解得，6≤x ＜9， ∵x 为奇数， ∴x=7，∴（1+x ）=（1+x ）=（1+x ）．【点评】本题考查了二次函数的非负性及二次根式的化简求值.18．（1）设n 1；（2...+ 【答案】（1）111n n -+；（2）9910【分析】（1）根据完全平方公式，可得()22211111111n n n n ⎡⎤⎛⎫++=+- ⎪⎢⎥+⎝⎭+⎣⎦，根据开方运算，可得1111n n =+-+；（21111n n =+-+，可化简二次根式，根据分式的加减运算，可得答案． 【解答】（1）∵()()22211111112111n n n n n n ⎛⎫++=+-+ ⎪++⎝⎭+ 2111112()()11n n n n =+-+-++21111n n ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦，111111111n n n n =+--=-++；（21111n n =+-+，...+11111111111...122334910=+-++-++-++-11010=-9910=．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，利用完全平方公式得出()22221111111n n n n ⎡⎤⎛⎫++=+- ⎪⎢⎥+⎝⎭+⎣⎦是解题关键．19．定义()f x =(1)f +(3)f …+(21)f k -+…+(999)f 的值.【答案】5.【解析】【分析】将()f x进行分母有理化，分子分母同时乘以可得()f x =2=，进而求得()12f =，()32f =，()5f =()()()()1321999f f f k f ++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+5== 【解答】()f x ==2=，()12f ∴=，()32f =，()5f =，…，()999f = ()()()()132199952f f f kf ∴++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+==． 【点评】本题以新定义型题形式考查了二次根式的运算，解本题的关键是通过分母有理化将()f x 简化，再代值得到()212f k -=，即可解题.20．阅读与计算:请阅读以下材料，并完成相应的任务.斐波那契(约1170—1250)是意大利数学家，他研究了一列数,这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果.在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列中的第nn n⎡⎤-⎢⎥⎣⎦表示(其中n≥1)，这是用无理数表示有理数的一个范例.任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数. 【答案】第1个数为1;第2个数为1.【分析】分别把1、2代入式子化简求得答案即可．【解答】当n＝1n n ⎡⎤⎥-⎥⎝⎭⎝⎭⎦⎡⎤-⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎦＝1当n＝2122n n⎡⎤⎛⎛-⎥-⎥⎝⎭⎝⎭⎦22⎡⎤⎥-⎥⎝⎭⎝⎭⎦11112222⎛⎫⎛-+-⎪⎪⎭⎝⎭＝1。
二次根式50题上 参考答案与试题解析
二次根式50题上参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．【解答】解：（1）原式＝2+2×2＝+4＝5；（2）原式＝+6﹣＝2+6﹣4＝2+2．2．【解答】解：（1）原式＝3×5÷＝15＝15；（2）原式＝5﹣3＝2；（3）原式＝2﹣﹣﹣＝﹣；（4）原式＝3×1﹣（﹣）﹣1＝3﹣2+﹣1＝．3．【解答】解：（1）原式＝7﹣25＝﹣18；（2）原式＝＝．4．【解答】解：（1）原式＝4+3﹣2＝5；（2）原式＝[（﹣2）（+2）]2019•（+2）﹣2（1﹣）﹣1＝﹣（+2）﹣2（1﹣）﹣1＝﹣﹣2﹣2+﹣1＝﹣5．5．【解答】解：（I）（+）+（﹣）＝2+2+﹣＝3+；（II）2×÷5＝4×÷5＝3×＝．6．【解答】解：（1）原式＝4÷﹣3÷＝4﹣3；（2）原式＝×2﹣×＝2﹣＝4﹣5＝﹣1．7．【解答】解：（1）原式＝3﹣8+3＝﹣2；（2）原式＝﹣2＝﹣2＝﹣．8．【解答】解：（1）﹣﹣+原式＝2﹣4﹣2+5＝3﹣2；（2）÷（3﹣2）＝2÷（﹣）＝﹣2．9．【解答】解：（1）原式＝﹣|2﹣|＝+2﹣＝2；（2）原式＝2（1+）（1﹣）＝2×（1﹣3）＝﹣4．10．【解答】解：（1）原式＝+﹣4＝2+3﹣4＝1；（2）原式＝+4﹣4+3＝3+4﹣4+3＝7﹣．11．【解答】解：原式＝2+1﹣+8＝+9．12．【解答】解：原式＝+4＝3+4＝7．13．【解答】解：（1）﹣+＝2﹣3+5＝4；（2）（）﹣2﹣（π﹣3）0+|﹣2|+6×＝4﹣1+2﹣+3＝5+2．14．【解答】解：（1）原式＝（2+7﹣）•＝27﹣．（2）原式＝（5﹣3）﹣（2+2+6）＝2﹣（8+4）＝2﹣8﹣4＝﹣6﹣4．（3）原式＝÷＝＝．15．【解答】解：原式＝2﹣+（3+9﹣6）÷＝+（12﹣6）÷＝+4﹣6＝5﹣6．16．【解答】解：（1）原式＝×4﹣1+4++1＝2﹣1+4++1＝7；（2）原式＝（6﹣+4）÷2＝÷2＝．17．【解答】解：原式＝（6﹣）÷2＝×＝．18．【解答】解：（1）原式＝（3）2﹣62＝18﹣36＝﹣18；（2）原式＝3+﹣1+1＝4．19．【解答】解：（1）原式＝[x2﹣4xy+4y2﹣（4y2﹣x2）]÷2x ＝[x2﹣4xy+4y2﹣4y2+x2]÷2x＝（2x2﹣4xy）÷2x＝x﹣2y；（2）原式＝1+﹣1+3﹣＝3．20．【解答】解：原式＝1﹣3﹣+﹣2＝﹣4．21．【解答】解：（1）原式＝﹣3＝2﹣3＝﹣；（2）原式＝（）2﹣（）2＝8﹣＝．22．【解答】解：×﹣（）﹣1﹣|2﹣|＝﹣﹣|2﹣3|＝﹣﹣1＝﹣﹣．23．【解答】解：（3﹣）2+＝18﹣6+6+4＝18﹣12+6+4＝24﹣8．24．【解答】解：原式＝4+﹣2+﹣1＝4+﹣2+﹣1＝3．25．【解答】解：（1）原式＝2+1+2﹣2+4＝7；（2）原式＝4÷（8﹣﹣3）＝1．26．【解答】解：（1）原式＝3﹣2﹣3﹣1＝﹣2﹣1；（2）原式＝3+4﹣4﹣6＝1﹣4．27．【解答】解：（1）（3﹣）2++4＝9﹣6+2+4+2＝11；（2）|﹣1|﹣•+（+1）2﹣（）2＝﹣1﹣2+3+2+1﹣3＝；（3）÷+（﹣1）0﹣1＝×+1﹣1＝5+1﹣1＝5；（4）+×﹣＝3+﹣＝3；（5）（）2（5+2）+5＝（3﹣2+2）×（5+2）+5＝（5﹣2）×（5+2）+5＝25﹣24+5＝6；（6）÷﹣|2﹣3|+（﹣）﹣1＝﹣（3﹣2）+（﹣2）＝﹣3+2+（﹣2）＝﹣5+．28．【解答】解：（1）原式＝+3﹣4＝0；（2）原式＝2××＝；（3）原式＝12﹣6＝6．29．【解答】解：（1）原式＝4+3﹣2+4＝7+2；（2）原式＝3﹣4+4+2+2＝7．30．【解答】解：（1）原式＝2+3﹣2﹣6＝﹣4+；（2）原式＝+﹣﹣＝﹣＝．31．【解答】解：（1）原式＝﹣2+4＝4﹣4+4＝4；（2）原式＝4﹣3+＝+3．32．【解答】解：原式＝﹣2+4×＝3﹣6+＝3﹣5．33．【解答】解：（1）原式＝4×÷＝3÷＝；（2）原式＝3﹣﹣（8﹣4+1）＝3﹣﹣（9﹣4）＝3﹣﹣9+4＝7﹣﹣9．34．【解答】解：（1）原式＝（×3+2×﹣2）×2＝（+﹣2）×2＝（﹣）×2＝6﹣8；（2）原式＝3﹣4+12﹣4+1＝12﹣4．35．【解答】解：（1）﹣4÷+3＝2﹣4+＝﹣．（2）（﹣2）（+2）﹣（﹣）+|1﹣|＝3﹣4+2+﹣1＝﹣2+3．36．【解答】解：（1）＝3﹣2+（3﹣1）＝3﹣2+2＝+2；（2）（﹣）×（﹣）+|﹣1|+（5﹣2π）0＝3+﹣1+1＝4．37．【解答】解：（1）＝+1+3﹣3+2＝4；（2）＝2b•（﹣a）•＝﹣9a2b．38．【解答】解：（1）﹣＝2﹣＝；（2）﹣×＝2﹣＝；（3）（+﹣×）÷＝（5+4﹣3）÷2＝6÷2＝3．39．【解答】解：原式＝﹣（×2﹣×2）+（）2﹣（）2＝﹣+3+2﹣3＝3﹣1．40．【解答】解：原式＝4﹣3+﹣1+﹣2＝6﹣6．41．【解答】解：原式＝（2）2﹣12＝12﹣1＝11．42．【解答】解：（1）原式＝3﹣2+3＝+3；（2）原式＝（4﹣2+6）÷＝8÷＝8．43．【解答】解：（1）（+）﹣（﹣）＝2+﹣+＝3+；（2）（）2﹣（）＝5+2+2﹣﹣＝7+2﹣﹣．44．【解答】解：（﹣2）2++6﹣|1﹣|＝3﹣4+4+2+2﹣（﹣1）＝3﹣4+4+2+2﹣+1＝8﹣．45．【解答】解：（1）＝2﹣﹣+＝；（2）＝+1﹣1＝3+1﹣1＝3．46．【解答】解：＝3﹣﹣3＝3﹣2﹣3＝﹣3．47．【解答】解：原式＝2+1﹣﹣2﹣＝﹣1．48．【解答】解：原式＝+2﹣＝2+2﹣＝3．49．【解答】解：（1）原式＝2×2÷4＝8÷4＝2；（2）原式＝2+3﹣2＝3．50．【解答】解：（1）原式＝•＝；（2）原式＝4×﹣（5﹣1）＝12﹣4＝8．。
专题02 二次根式综合(压轴33题10个考点)(解析版)
专题02二次根式综合（压轴33题10个考点）一．二次根式的定义（共1小题）1．若是整数，则正整数n的最小值是51．【答案】51．【解答】解：∵204＝4×51，∴，∴，∵是整数，且n是整数，∴n的最小值为：51．故答案为：51．二．二次根式有意义的条件（共3小题）2．使式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥﹣1B．﹣1≤x≤2C．x≤2D．﹣1＜x＜2【答案】B【解答】解：根据题意，得，解得，﹣1≤x≤2；故选：B．3．已知|2004﹣a|+＝a，则a﹣20042＝2005．【答案】2005．【解答】解：∵有意义，∴a﹣2005≥0，解得：a≥2005，∴|2004﹣a|+＝a﹣2004+＝a，故＝2004，∴a﹣2005＝20042，∴a﹣20042＝a﹣（a﹣2005）＝a﹣a+2005＝2005．故答案为：2005．4．已知，则x2022y2023＝﹣．【答案】．【解答】解：∵，即，解得：，∴x＝2，∴，∵x2022y2023＝（xy）2022•y，将x＝2，代入，∴x2022y2023＝（xy）2022•y＝[2×（﹣）]2022×（﹣）＝（﹣1）2022×（﹣）＝﹣．故答案为：．三．二次根式的性质与化简（共8小题）5．已知x＜1，则化简的结果是（）A．x﹣1B．x+1C．﹣x﹣1D．1﹣x【答案】D【解答】解：＝＝|x﹣1|∵x＜1，∴原式＝﹣（x﹣1）＝1﹣x，故选：D．6．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将化简的结果是（）A．4B．2a C．2b D．2a﹣2b【答案】A【解答】解：由数轴知：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，a＜b，∴a+2＞0，b﹣2＜0，a﹣b＜0．∴＝|a+2|+|b﹣2|+|a﹣b|＝a+2+2﹣b+b﹣a＝4．故选：A．7．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由图中规律知，前（n﹣1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n﹣1）＝n（n ﹣1），所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣3＝n2﹣3，所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是．故选：C．8．已知T1＝＝＝，T2＝＝＝，T3＝＝＝，…T n＝，其中n为正整数．设S n＝T1+T2+T3+…+T n，则S2021值是（）A．2021B．2022C．2021D．2022【答案】A【解答】解：由T1、T2、T3…的规律可得，T1＝＝1+（1﹣），T2＝＝1+（﹣），T3＝＝1+（﹣），……T2021＝＝1+（﹣），所以S2021＝T1+T2+T3+…+T2021＝1+（1﹣）+1+（﹣）+1+（﹣）+…+1+（﹣）＝（1+1+1+…+1）+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝2021+（1﹣）＝2021+＝2021，故选：A．9．已知a≠0，b≠0且a＜b，化简的结果是﹣a．【答案】﹣a．【解答】解：由题意：﹣a3b≥0，即ab≤0，∵a＜b，∴a＜0＜b，所以原式＝|a|＝﹣a，故答案为：﹣a．10．已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣﹣，则x+y的最小值为﹣3．【答案】﹣3．【解答】解：∵|x+2|+|1﹣x|＝9﹣﹣，∴|x+2|+|x﹣1|+|y+1|+|y﹣5|＝9，∵|x+2|+|x﹣1|可理解为在数轴上，数x的对应的点到﹣2和1两点的距离之和；|y+1|+|y ﹣5|可理解为在数轴上，数y的对应的点到﹣1和5两点的距离之和，∴当﹣2≤x≤1，|x+2|+|x﹣1|的最小值为3；当﹣1≤y≤5时，|y+1|+|y﹣5|的最小值为6，∴x的范围为﹣2≤x≤1，y的范围为﹣1≤y≤5，当x＝﹣2，y＝﹣1时，x+y的值最小，最小值为﹣3．故答案为﹣3．11．若，则m的取值范围是m≤4．【答案】见试题解答内容【解答】解：，得4﹣m≥0，解得m≤4，故答案为：m≤4．12．若x＜2，化简|﹣x|的正确结果是2x+2或﹣4x+2．【答案】2x+2或﹣4x+2．【解答】解：当0≤x＜2时，原式＝|x﹣2|+3x＝2﹣x+3x＝2x+2；当x＜0时，原式＝|x﹣2|﹣3x＝2﹣x﹣3x＝﹣4x+2．故答案为：2x+2或﹣4x+2．四．二次根式的乘除法（共4小题）13．使式子成立的条件是（）A．a≥5B．a＞5C．0≤a≤5D．0≤a＜5【答案】B【解答】解：由题意得：，解得：a＞5．故选：B．14．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+ 4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（）A．5+3B．5+C．5﹣D．5﹣3【答案】D【解答】解：设x＝﹣，且＞，∴x＜0，∴x2＝6﹣3﹣2+6+3，∴x2＝12﹣2×3＝6，∴x＝，∵＝5﹣2，∴原式＝5﹣2﹣＝5﹣3，故选：D．15．若a，b为有理数且满足，则a+b＝4．【答案】1．【解答】解：∵，∴＝．∴a＝3，b＝1．∴a+b＝3+1＝4．故答案为：4．16．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题化简：．解：隐含条件1﹣3x≥0，解得：．∴1﹣x＞0．∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简．【类比迁移】（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．（3）已知a，b，c为A B C的三边长．化简：．【答案】（1）1；（2）﹣a﹣2b；（3）2a+2b+2c．【解答】解：（1）隐含条件2﹣x≥0，解得：x≤2，∴x﹣3＜0，∴原式＝（3﹣x）﹣（2﹣x）＝3﹣x﹣2+x＝1；（2）观察数轴得隐含条件：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，b﹣a＞0，∴原式＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a＝﹣a﹣2b；（3）由三角形的三边关系可得隐含条件：a+b+c＞0，a﹣b＜c，b﹣a＜c，c﹣b＜a，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，∴原式＝（a+b+c）+（﹣a+b+c）+（﹣b+a+c）+（﹣c+b+a）＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a＝2a+2b+2c．五．分母有理化（共1小题）17．阅读材料：我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式：例如：．下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．问题提出：该如何化简？建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样＝m，，那么便有：（a＞b），问题解决：化简：，解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即＝7，∴．模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1）；（2）；模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（结果化成最简）．【答案】（1）1+；（2）2﹣；（3）2﹣2．【解答】解：（1）这里m＝6，n＝5，由于1+5＝6，1×5＝5，即12+（）2＝6，1×＝，所以：＝＝＝1+；（2）首先把化为，这里m＝13，n＝40，由于5+8＝13，5×8＝40，即（）2+（）2＝13，×＝，所以＝＝＝＝﹣＝2﹣；（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，所以，所以，．六．同类二次根式（共1小题）18．已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（）A．16B．0C．2D．不确定【答案】B【解答】解：∵＝3，而最简二次根式与是同类二次根式，∴a+2＝2，解得a＝0．故选：B．七．二次根式的加减法（共1小题）19．若，则x﹣x2的值为﹣6．【答案】﹣6．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0．∴x≥2．∴1﹣x＜0．∴．∴x﹣1+＝x．∴．∴x＝3．∴x﹣x2＝3﹣9＝﹣6．故答案为：﹣6．八．二次根式的混合运算（共4小题）20．已知，，则2y﹣3x的平方根为±4．【答案】±4．【解答】解：∵，∴96﹣x≥0，∴x≤96，∴100﹣x+96﹣x＝200，解得x＝﹣2，∵，∴m+23≥0，m﹣2≥0，2﹣m≥0，解得m＝2，∴y＝5，∴±＝±＝±4，故答案为：±4．21．计算的结果是+．【答案】+．【解答】解：原式＝[（﹣）（+）]2022×（+）＝（2﹣3）2022×（+）＝+．故答案为：+．22．已知a＝，b＝．（1）求a+b的值；（2）设m是a小数部分，n是b整数部分，求代数式4m2+4mn+n2的值．【答案】（1）2；（2）20．【解答】解：（1）a＝＝＝﹣2，b＝＝＝+2．a+b＝﹣2++2＝2，（2）∵2＜＜3，∴0＜﹣2＜1，4＜+2＜5，∴m＝﹣2，n＝4，∴4m2+4mn+n2＝（2m+n）2＝（2﹣4+4）2＝20．23．先阅读下面的材料，再解答下列问题．∵，∴．特别地，，∴．这种变形叫做将分母有理化．利用上述思路方法计算下列各式：（1）；（2）．【答案】（1）2020；（2）1．【解答】解：（1）＝＝＝2021﹣1＝2020；（2）＝＝＝＝1．九．二次根式的化简求值（共8小题）24．已知，则代数式x2﹣2x﹣6的值是（）A．B．﹣10C．﹣2D．【答案】C【解答】解：∵，∴x﹣1＝，∴x2﹣2x﹣6＝（x﹣1）2﹣7＝（）2﹣7＝5﹣7＝﹣2，故选：C．25．已知，，则a与b的关系是（）A．a＝b B．ab＝1C．ab＝﹣1D．a+b＝0【答案】D【解答】解：a＝＝＝3﹣＝﹣（﹣3），A．a＝﹣b，故本选项不符合题意；B．ab＝（3﹣）×（﹣3）＝﹣（﹣3）2＝﹣（5﹣6+3）＝﹣5+6﹣3＝﹣8+6，故本选项不符合题意；C．ab＝﹣8+6，故本选项不符合题意；D．a+b＝3﹣+﹣3＝0，故本选项符合题意．故选：D．26．若x2+y2＝1，则++的值为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解答】解：∵x2+y2＝1，∴﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，∵＝＝，x+1≥0，y﹣2＜0，（x+1）（y﹣2）≥0，∴x+1＝0，∴x＝﹣1，∴y＝0，∴++＝2+1+0＝3．故选：D．27．若a＝2+，b＝2﹣，则＝8．【答案】8．【解答】解：∵a＝2+，b＝2﹣，∴a2＝（2+√5）2＝4+4+5＝9+4，b2＝（2﹣）2＝4﹣4+5＝9﹣4，ab＝（2+）（2﹣）＝4﹣5＝﹣1．﹣＝＝＝8．故答案为：8．28．若m＝，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝4030．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵m＝＝＝＝，∴原式＝m2（m﹣1）﹣2017m+2015＝（+1）2×﹣2017（+1）+2015＝（2017+2）﹣2017﹣2017+2015＝2017+2×2016﹣2017﹣2017+2015＝4032﹣2＝403029．已知a＝2+，b＝，则a2﹣3ab+b2的值为11．【答案】11．【解答】解：当a＝2+，b＝时，a2﹣3ab+b2，＝﹣+，＝，＝，＝11．30．某同学在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与求解的：先将a进行分母有理化，过程如下，，∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据上述分析过程，解决如下问题：（1）若，请将a进行分母有理化；（2）在（1）的条件下，求a2﹣2a的值；（3）在（1）的条件下，求2a3﹣4a2﹣1的值．【答案】（1）；（2）1；（3）．【解答】解：（1）a＝＝＝；（2）∵，∴（a﹣1）2＝2，（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，∴a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1；（3）根据（2）可知，a2﹣2a＝1，∴2a3﹣4a2﹣1＝2a（a2﹣2a）﹣1＝2a﹣1，当a＝时，原式＝2（）﹣1＝2．31．小芳在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：a＝＝2﹣，∴a＝2﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：（1）计算：．（2）若a＝．①化简a，求4a2﹣8a﹣1的值；②求a3﹣3a2+a+1的值．【答案】（1）9；（2）①a＝+1，4a2﹣8a﹣1的值是3；②0．【解答】解：（1）＝﹣1+++…+＝﹣1+＝﹣1+10＝9；（2）①a＝＝＝＝+1，∴a＝+1，∴（a﹣1）2＝（）2＝2，∴a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴4a2﹣8a﹣1＝4（a2﹣2a）﹣1＝4×1﹣1＝4﹣1＝3；②由①知a2﹣2a＝1，∴a3﹣3a2+a+1＝a（a2﹣2a）﹣（a2﹣2a）﹣a+1＝a×1﹣1﹣a+1＝a﹣1﹣a+1＝0．十．二次根式的应用（共2小题）32．俊俊和霞霞共同合作将一张长为，宽为1的矩形纸片进行裁剪（共裁剪三次），裁剪出来的图形刚好是4个等腰三角形（无纸张剩余）．霞霞说：“有一个等腰三角形的腰长是1”；俊俊说：“有一个等腰三角形的腰长是﹣1”；那么另外两个等腰三角形的腰长可能是1或或2﹣．【答案】1或或2﹣．【解答】解：如图1方式裁剪，另两个等腰三角形腰长是或；如图2方式裁剪，另两个等腰三角形腰长都是1．故答案为：1或或2﹣．33．古希腊几何学家海伦通过证明发现：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c．记，那么三角形的面积为，俗称海伦公式，若在△ABC中，AB＝3，BC＝6，AC＝7，则用海伦公式求得△ABC的面积为．【答案】【解答】解：由题意可得：a＝6，b＝7，c＝3，∴，∴＝＝＝，故答案为：．。
数学二次根式复习题及解析
一、选择题1．若a 是最简二次根式，则a 的值可能是（ ） A ．2-B ．2C ．32D ．82．下列计算正确的是（ ） A ．325+= B ．1233-=C ．326D ．1234÷= 3．式子2x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．0x <B ．0xC ．2xD ．2x4．已知m 、n 是正整数，若2m +5n是整数，则满足条件的有序数对（m ，n ）为（ ） A ．（2，5）B ．（8，20）C ．（2，5），（8，20）D ．以上都不是5．如果关于x 的不等式组0,2223x m x x -⎧>⎪⎪⎨-⎪-<-⎪⎩的解集为2x >，且式子3m -的值是整数，则符合条件的所有整数m 的个数是（ ）． A ．5B ．4C ．3D ．26．实数a ，b ，c ，满足|a |+a =0，|ab |=ab ，|c |-c =0，那么化简代数式2b -|a +b |+|a -c |-222c bc b -+的结果为（ ）A ．2c -bB ．2c -2aC ．-bD ．b7．若a 、b 、c 为有理数，且等式成立，则2a ＋999b ＋1001c 的值是（ ）A ．1999B ．2000C ．2001D ．不能确定 8．已知0xy <，化简二次根式2yx - ） A y B y -C ．y -D ．y --9．下列运算中正确的是（ ） A ．27?3767=B ()24423233333=== C 3313939===D 155315151==10．下列各组二次根式中，能合并的一组是（ ）A B 和C D 二、填空题11．已知x =()21142221x x x x -⎛⎫+⋅= ⎪-+-⎝⎭_________12．甲容器中装有浓度为a ，乙容器中装有浓度为b ，两个容器都倒出m kg ，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m 的值为_________．13．把根号外的因式移入根号内，得________14．，则x+y=_______．15．，3，，，则第100个数是_______．16_____．17．已知x ，y ，则x 2＋xy ＋y 2的值为______．18．化简(3+-的结果为_________.19．观察分析下列数据：0，，-3，的规律得到第10个数据应是__________．20． (a ≥0)的结果是_________.三、解答题21．阅读下面问题： 阅读理解：==1；==2==-．应用计算：（1（21（n 为正整数）的值．归纳拓展：（398++【答案】应用计算：（12 归纳拓展：（3）9． 【分析】由阅读部分分析发现式子的分子、分母都乘以分母的有理化因式，为此（1分母利用平方差公式计算即可，（2（3）根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用公式计算化去分母，分子合并同类项二次根式即可． 【详解】（1（2（3+98+，(+98+，++99-， =10-1， =9． 【点睛】本题考查二次根式化简求值问题，关键找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．22．先化简，再求值：24211326x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中1x =.. 【分析】根据分式的运算法则进行化简，再代入求解. 【详解】原式=221(1)12(3)232(3)3(1)1x x x x x x x x x ---+⎛⎫⎛⎫÷=⋅= ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭.将1x ==【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.23．计算： 21)3)(3--【答案】. 【解析】 【分析】先运用完全平方公式、平方差公式进行化简，然后进行计算. 【详解】解：原式22]-322]-4【点睛】本题主要考查了二次根式的化简；特别是灵活运用全平方公式、平方差公式是解答本题的关键.24．在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.比如：2224312111-=-=-+=).善于动脑的小明继续探究：当a b m n 、、、为正整数时，若2a n +=+)，则有22(2a m n =+，所以222a m n =+，2b mn =.请模仿小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a b m n 、、、为正整数时，若2a n =+)，请用含有mn 、的式子分别表示a b 、，得：a = ，b = ；（2）填空：13-( - 2；（3）若2a m +=()，且a m n 、、为正整数，求a 的值.【答案】（1）223a m n =+，2b mn =；（2）213--；（3）14a =或46. 【解析】 试题分析：（1）把等式)2a n +=+右边展开，参考范例中的方法即可求得本题答案；（2）由（1）中结论可得：2231324a m nb mn ⎧=+=⎨==⎩ ，结合a b m n 、、、都为正整数可得：m=2，n=1，这样就可得到：213(1-=-；（3）将()2a m +=+右边展开，整理可得：225a m n =+，62mn =结合a m n 、、为正整数，即可先求得m n 、的值，再求a 的值即可.试题解析：（1）∵2a n =+)，∴223a m n +=++， ∴2232a m n b mn =+=，；（2）由（1）中结论可得：2231324a m nb mn ⎧=+=⎨==⎩ ，∵a b m n 、、、都为正整数， ∴12m n =⎧⎨=⎩或21m n =⎧⎨=⎩ ，∵当m=1，n=2时，223713a m n =+=≠，而当m=2，n=1时，22313a m n =+=， ∴m=2，n=1，∴(2131--；（3）∵222()52a m m n +=+=++ ∴225a m n =+，62mn = ， 又∵a m n 、、为正整数， ∴=1=3m n ，， 或者=3=1m n ，，∴当=1=3m n ，时，46a =；当=3=1m n ，，14a =， 即a 的值为：46或14.25．计算：（1)11（233÷【答案】（12+；（2）【分析】（1）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同；（2）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同．【详解】11解：)-＝312÷33＝＝【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号时要先算括号里的或先去括号．26．计算（1-（2）(()21；（2）24+【答案】（1）2【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再进行合并即可得到答案；（2）原式运用平方差公式和完全平方公式把括号展开后，再合并同类二次根式即可得到答案．【详解】解：（1=+2=(-+2=-（2）(()21---=22(181)=452181--+=24+． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键．27．（1）计算：21)-（2）已知a ，b 是正数，4a b +=，8ab =【答案】（1）5-2 【分析】（1）根据完全平方公式、平方差公式可以解答本题；（2）先将所求式子化简，然后将a+b=4，ab=8代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（1）原式21)=-(31)(23)=---5=-；（2）原式=== a ，b 为正数， ∴原式=把4a b +=，8ab =代入，则原式== 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．28．02020((1)π-．【答案】 【分析】本题根据零次幂，最简二次根式，整数次幂的运算规则求解即可． 【详解】原式11=-=【点睛】本题考查幂的运算与二次根式的综合，需牢记非零常数的零次幂为1，二次根式运算时需化为最简二次根式，其次注意计算仔细．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．【详解】∴a≥0，且a故选项中-2，32，8都不合题意，∴a的值可能是2．故选：B．【点睛】此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．2．B解析：B【解析】解：A；B==；C=；D2===．故选项错误．故选B．3．D解析：D【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数≥0），列出不等式求解即可得到答案；【详解】即：20x -≥ ， 解得：2x ， 故选：D ； 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义即被开方数≥0是解题的关键.4．C解析：C 【分析】根据二次根式的性质分析即可得出答案． 【详解】解：∵m 、n 是正整数， ∴m=2，n=5或m=8，n=20， 当m=2，n=5时，原式=2是整数； 当m=8，n=20时，原式=1是整数；即满足条件的有序数对（m ，n ）为（2，5）或（8，20）， 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度．5．C解析：C 【分析】先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为2x >可得出m ≤2的值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m ≤2，得m=-3，-2或2． 【详解】 解：解不等式02x m->得x ＞m ， 解不等式223x x --<-得x ＞2， ∵不等式组解集为x ＞2， ∴m ≤2，则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2， 由m ≤2得，m=-3，-2或2．即符合条件的所有整数m 的个数是3个． 故选：C ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．6．D解析：D 【解析】 解：∵|a |+a =0，∴|a |=﹣a ，∴﹣a ≥0，∴a ≤0，∵|ab |=ab ，∴ab ≥0，∴b ≤0，∵|c |﹣c =0，∴|c |=c ，∴c ≥0，∴原式=﹣b +（a +b ）﹣（a ﹣c ）﹣（c ﹣b ）=b ．故选D ．7．B解析：B 【解析】因=，所以a =0，b =1，c =1，即可得2a ＋999b ＋1001c =999+1001=2000，故选B.点睛：本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式根据完全平方公式化简并比较系数是解题的关键．8．B解析：B 【分析】先根据xy ＜0，考虑有两种情况，再根据所给二次根式可确定x 、y 的取值，最后再化简即可． 【详解】 解：0xy <，0x ∴>，0y <或0x <，0y >，又2yx x -有意义， 0y ∴<，0x ∴>，0y <，当0x >，0y <时，2yx y x -- 故选B ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简．解题的关键是能根据已知条件以及所跟二次根式来确定x 、y 的取值．9．B解析：B 【分析】根据二次根式的乘除法则求出每个式子的值，再判断即可． 【详解】=⨯=＝42，故本选项不符合题意；解: A. 67===，故本选项，符合题意；===，故本选项不符合题意；D. ==3，故本选项不符合题意；故选B．【点睛】本题考查二次根式的性质和二次根式的乘除法则，能灵活运用二次根式的乘除法则进行计算是解题关键．10．B解析：B【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可．【详解】解：A、是最简二次根式，被开方数不同，不是同类二次根式;BCD故选B．【点睛】本题考查的知识点是同类二次根式的定义，解题关键是熟记同类二次根式的定义．二、填空题11．【分析】利用完全平方公式化简，得到；化简分式，最后将代入化简后的分式，计算即可.【详解】将代入得：故答案为：【点睛】本题考查二次根式的化简以及分式的化简求值，难度较大，难点在解析：1-【分析】利用完全平方公式化简x =1x =；化简分式，最后将1x =代入化简后的分式，计算即可.【详解】1x =====()211422(2)(2)2221(2)(2)2(1)x x x x x x x x x x x -++-+-⎛⎫+⋅= ⎪-+--+-⎝⎭1x x =-将1x =1=-故答案为：1-【点睛】本题考查二次根式的化简以及分式的化简求值，难度较大，难点在于化简x =熟练掌握相关知识点是解题关键. 12．【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg 溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后果汁的浓度相等列出关系式，求出m 即可． 【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为akg ，乙容器【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg 溶液中纯果汁的含量，最后利=，求出m 即可．【详解】， 甲容器倒出mkg 果汁中含有纯果汁makg ，乙容器倒出mkg 果汁中含有纯果汁mbkg ，，=，整理得，-6b =5ma -5mb ，∴（a -b ）=5m （a -b ），∴m =5．故答案为：5 【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．13．【分析】根据被开方数大于等于零，可得出，再根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质解析：a【分析】根据被开方数大于等于零，可得出0a <，再根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】 解：∵310a-≥， ∴0a <，∴===故答案为：a ． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解此题的关键． 14．8+2【解析】根据配方法，由完全平方公式可知x+y==（）2-2，然后把+=+，=-整体代入可得原式=（+）2-2（-）=5+3+2-2+2=8+2.故答案为：8+2.解析：【解析】根据配方法，由完全平方公式可知+=+-）2x+y=2222整体代入可得原式=2-2）故答案为：15．【分析】原来的一列数即为，，，，，，于是可得第n个数是，进而可得答案．【详解】解：原来的一列数即为：，，，，，，∴第100个数是．故答案为：．【点睛】本题考查了数的规律探求，属于常考解析：【分析】，，于是可得第n进而可得答案．【详解】，∴第100=．故答案为：【点睛】本题考查了数的规律探求，属于常考题型，熟练掌握二次根式的性质、找到规律是解题的关键．16．6【分析】利用二次根式乘除法法则进行计算即可．【详解】＝＝＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．解析：6【分析】==进行计算即可． 【详解】＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键． 17．4【详解】根据完全平方公式可得：原式=－xy==5－1=4．解析：4【详解】根据完全平方公式可得：原式=2()x y +－xy=251515151)222=5－1=4． 18．1【分析】根据平方差公式进行计算即可.【详解】原式=.故答案为：1.【点睛】本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键.解析：1【分析】根据平方差公式进行计算即可.【详解】原式=(223981-=-=.故答案为：1.【点睛】本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键. 19．6【分析】通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：，，…，可以得到第13个的答案．【详解】解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，，…，∴第13个答案为：．故答案为6．解析：6【分析】 通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：11(1)30，21(1)31，31(1)32…1(1)3(1)n n ，可以得到第13个的答案．【详解】 解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：11(1)30，21(1)31，31(1)32…1(1)3(1)n n ，∴第13个答案为：131(1)3(131)6． 故答案为6．【点睛】此题主要考查了二次根式的运算以及学生的分析、总结、归纳的能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律． 20．4a【解析】【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可得.【详解】===4a ，故答案为4a.【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式乘法法则是解题的关键.解析：4a【解析】【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可得.)0a≥===4a，故答案为4a.【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式乘法法则是解题的关键.三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
二次根式计算专题-30题(教师版含答案解析)
完美WORD格式二次根式计算专题1．计算：⑴ 3 6 4 2 3 6 4 2 ⑵ 2 0( 3) ( 3) 27 3 2 【答案】(1)22; (2) 6 4 3【解析】试题分析：(1) 根据平方差公式，把括号展开进行计算即可求出答案.(2) 分别根据平方、非零数的零次幂、二次根式、绝对值的意义进行计算即可得出答案. 试题解析：(1) 3 6 4 2 3 6 4 22 2(3 6) (4 2)=54－32=22.（2） 2 0( 3) ( 3) 27 3 23 1 3 3 2 36 4 3考点: 实数的混合运算.2．计算（1）﹣×（2）（6 ﹣2x ）÷ 3 ．【答案】（1）1；（2）【解析】1 3试题分析：先把二次根式化简后，再进行加减乘除运算，即可得出答案. 试题解析：(1)20 5 15 3122 5 5 35 32 33 21；（2）(6 2 1 ) 3xx x 4x6 x 2x x( ) 32 xx(3 x 2 x) 3 xx 3 x专业知识分享13.考点: 二次根式的混合运算.3．计算：13 12 2 48 2 33．【答案】【解析】14 3．试题分析：先将二次根式化成最简二次根式, 再算括号里面的, 最后算除法．试题解析：13 12 2 48 2 332=(6 3 3 4 3) 2 332833 2 3143．考点：二次根式运算．64．计算： 3 6 2 32【答案】 2 2 .【解析】试题分析：先算乘除、去绝对值符号, 再算加减.试题解析：原式=3 2 3 3 2= 2 2考点：二次根式运算.5．计算： 2 18 3( 3 2)【答案】 3 3．【解析】试题分析：先将二次根式化成最简二次根式, 再化简．试题解析： 2 18 3( 3 2)= 2 3 2 3 3 6 3 3．考点：二次根式化简．6．计算：1 4 323 ．22 2【答案】．2【解析】试题分析：根据二次根式的运算法则计算即可.试题解析：1 4 32 2 3234 2 2 22 2 2 2．考点：二次根式的计算.试卷第 2 页，总10 页完美WORD格式7．计算：1262(31)(31)．【答案】32．【解析】试题分析：先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的，特别的能利用公式的应用公式简化计算过程．试题解析：1262(31)(31)=23331=32．考点：二次根式的化简．8．计算：12236322【答案】0.【解析】试题分析：根据二次根式运算法则计算即可.试题解析：36331 12226660.2222考点：二次根式计算.9．计算：0+1123.【答案】13．【解析】试题分析：任何非零数的零次方都为1，负数的绝对值等于它的相反数，再对二次根式进行化简即可．试题解析：0+1123123313．考点：二次根式的化简．10．计算：83130.53433【答案】3222【解析】．试题分析：先化成最简二次根式,再进行运算．试题解析：原式=2333223=232222．考点：二次根式的化简．11．计算：（1）2712451 3（2）020141182014223专业知识分享【答案】（1）1 15; （2） 3 2 .【解析】试题分析：（1）根据二次根式的运算法则计算即可;（2）针对有理数的乘方，零指数幂，二次根式化简，. 绝对值 4 个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.试题解析：（ 1 ）1 1 127 12 45 3 3 2 3 3 5 3 3 3 5 3 1 153 3 3.（2）020141 18 20142 23 1 3 2 1 2 2 3 3 2 .考点：1. 实数的运算;2. 有理数的乘方;3. 零指数幂;4. 二次根式化简;5. 绝对值.12．计算：( 3 2)( 3 2) (1 03) 2 1 2【答案】 2 .【解析】试题分析：本题主要考查了二次根式的混合运算．熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．本题中先根据平方差公式计算乘法以及零指数幂的意义，去掉括号后，计算加减法．试题解析：解：原式= 3 2 1 2= 2考点：二次根式的混合运算．13．计算：327 ( 2013) | 2 3 |3．【答案】4 3 1. 【解析】试题分析：解：327 ( 2013) | 2 3 |33 3 3 1 2 34 3 1.考点：二次根式化简.214．计算(3 24 8) 123【答案】2 6- + .2 3试卷第 4 页，总10 页完美WORD格式【解析】试题分析：先化简二次根式，再合并同类二次根式，最后算除法即可求出答案.试题解析：2(3 - 24 + 8) ? 12 ( 6 - 2 6 +22) ? 2 3 (2 2 - 6) ? 2 332 6= - +2 3考点: 二次根式的混合运算.15．计算：12 1 2 1- -2 3【答案】4 3 2- .3 2【解析】试题分析：把二次根式化简，再合并同类二次根式即可求出答案.试题解析：1 12 234 3 2 12 - - 2 = 2 3 - - = -2 3 2 3 3 2考点: 二次根式的运算.50 32 16．化简：（1）8（2）( 6 2 15) 3 6 1 2【答案】（1）【解析】92；（2） 6 5 ．试题分析：（1）先去分母，再把各二次根式化为最简二次根式，进行计算；（2）直接利用分配律去括号，再根据二次根式乘法法则计算即可．试题解析：（1）原式= 5 2 4 2 922 2；（2）原式= 6 3 2 15 3 3 2 3 2 6 5 3 2 6 5 ．考点：二次根式的混合运算；17．计算（1）27 3 3 22 12 3（2）【答案】（1）3 3 ; （2）3.【解析】试题分析：（1）根据运算顺序计算即可;专业知识分享（2）将括号内化为最简二次根式后合并再平方运算即可.试题解析：（1）27 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 .（2）2 2 212 3 2 3 3 3 3 .考点：二次根式化简.18．计算：18(3 2 1)(1 3 2)2 4【答案】17. 【解析】试题分析：先化简12和84，运用平方差公式计算(3 2 1)(1 3 2) ，再进行计算求解 .试题解析：原式＝＝172 218 12 2考点: 实数的运算.119．计算：( 3) 27 |1 2 |32【答案】 2 3 ．【解析】试题分析：本题涉及零指数幂、二次根式的化简、分母有理化、绝对值化简 4 个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．试题解析：原式=1 3 3 2 1 3 2 2 3考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．分母有理化．20．计算：1 2 0②16 3 2 48 123①8 2③2 a 1 2a3a 32 2 3【答案】① 2 1；②【解析】143；③a3.试题分析：①针对算术平方根，绝对值，零指数 3 个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；②根据二次根式运算法则计算即可；③根据二次根式运算法则计算即可.试题解析：①18 2 =2 2 2 1 2 1.2试卷第 6 页，总10 页完美WORD格式②1 2 28 14 6 3 2 48 12 6 3 3 4 3 2 3 3 2 33 3 3 3.③ 2 a 1 2a 1 2 2 2a 1 2 1 a3a 3 = 3a = 4a 2a2 23 6 a 3 6 6 3. 考点：1. 二次根式计算； 2. 绝对值； 3.0 指数幂.21．计算：（1）2012 1 1 3 0( 1) 5 ( ) 27 ( 2 1)2（2）1 13 12 3 48 273 2【答案】（1）0；（2）43．【解析】试题分析：（1）原式=1 5 2 3 1 0；（2）原式=6 3 3 2 3 3 3 4 3 ．考点：1．实数的运算；2．二次根式的加减法．22．计算与化简（1）327 33（2） 2(3 5) (4 7)(4 7)【答案】（1）2 3 1；（2）6 5 5 .【解析】试题分析：（1）将前两项化为最简二次根式，第三项根据0 指数幂定义计算，再合并同类二次根式即可；（2）应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类二次根式即可.试题解析：（1）3 027 3 3 3- 3 1 2 3 1.3（2）23 54 7 4 7 9 65 5 167 6 5 5 .考点：1. 二次根式化简； 2.0 指数幂； 3. 完全平方公式和平方差公式. 23．（1） 2 8 2 18（2）1212713（3）212 33(1 03)（4）(2 3 3 2 )(2 3 3 2)【答案】（1） 3 2 ；(2) 16 39【解析】；（3）6；（4） 6试题分析：本题主要考查根式的根式的混合运算和0 次幂运算. 根据运算法则先算乘除专业知识分享法，是分式应该先将分式转化为整式，再按运算法则计算。
二次根式计算专题——30题(教师版含答案)
二次根式计算专题——30题(教师版含答案)二次根式计算专题——30题(教师版含答案)在代数学中，二次根式是指形如√a的数，其中a是非负实数。
二次根式的计算是代数学的重要组成部分，对于学生来说也是一项基本技能。
本文将介绍30道关于二次根式的计算题，并附上教师版含答案，供教师参考。
题目1: 计算√9的值。
解答: 由于9是一个完全平方数，所以√9=3。
题目2: 计算√25的值。
解答: 由于25是一个完全平方数，所以√25=5。
题目3: 计算√2的值。
解答: √2是一个无理数，无法精确计算，可以使用近似值1.414进行计算。
题目4: 计算√32的值。
解答: 首先将32分解为16×2，再将16分解为4×4，可以得到√32=√(4×4×2)=4√2。
题目5: 计算√(3×5)的值。
解答: √(3×5)=√15。
题目6: 计算√(8×12)的值。
解答: 首先将8和12分别分解为2×2×2和2×2×3，可以得到√(8×12)=√(2×2×2×2×2×3)=4√6。
题目7: 计算√(a^2×b^2)的值。
解答: √(a^2×b^2)=√(a^2)×√(b^2)=|a|×|b|。
题目8: 计算√(16÷4)的值。
解答: 首先计算16÷4=4，然后√4=2，所以√(16÷4)=2。
题目9: 计算√(x^2÷y^2)的值。
解答: √(x^2÷y^2)=√(x^2)÷√(y^2)=|x|÷|y|。
题目10: 计算√(4^2÷2^2)的值。
解答: 首先计算4^2=16和2^2=4，然后16÷4=4，所以√(4^2÷2^2)=√4=2。
专题02 二次根式的运算(专题强化-提高)解析版
专题02 二次根式的运算（专题强化-提高）一、单选题(共40分)1．(本题4分)（2020·南通市八一中学八年级月考）下列计算正确的是（ ）A 2=-B ．257a a a +=C ．()5210a a =D ．=【答案】C 【分析】直接利用二次根式的性质化简以及结合合并同类项法则和幂的乘方运算法则化简求出答案； 【详解】A 2= ，故此选项错误；B 、2525a a a a +=+，故此选项错误；C 、()5210aa =，故此选项正确；D 、5=60⨯，故此选项错误； 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质以及结合合并同类项法则和幂的乘方运算法则，正确化简各式是解题的关键；2．(本题4分)（2020·四川成都市·北大附中成都为明学校八年级期中）估计 ） A ．在2～3之间 B ．在3～4之间 C ．在4～5之间 D ．在5～6之间【答案】C 【分析】先根据二次根式的乘法法则可知再由16＜24＜25，利用算术平方根的性质可得45，可得结果． 【详解】解：∵16＜24＜25，∴4＜5，即4＜5，故选：C ． 【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的性质及二次根式的乘法法则是解答此题的关键． 3．(本题4分)（2020·黑龙江齐齐哈尔市·八年级期末）下列计算正确的是（ ）A =B =C 6=-D 1=【答案】B 【分析】根据二次根式加减运算和二次根式的性质逐项排除即可． 【详解】A 选项错误；===B 选项正确；321=-=，所以C 选项错误；D 选项错误;故选答案为B ． 【点睛】本题考查了二次根式加减运算和二次根式的性质，掌握同类二次根式的定义和二次根式的性质是解答本题的关键．4．(本题4分)（2020·江苏镇江市·八年级期末）下列运算正确的是（ ）A =B ．(28-= C 12= D 1=【答案】B 【分析】根据二次根式的性质及运算法则依次计算各项后即可解答． 【详解】选项A +A 错误；选项B ，(2428-=⨯=，选项B 正确；选项C124==，选项C错误；选项D1=，选项D错误．综上，符合题意的只有选项B．故选B．【点睛】本题考查了二次根式的性质及运算法则，熟练运用二次根式的性质及运算法则是解决问题的关键．5．(本题4分)（2020·上海浦东新区·八年级月考）下列各式中，计算正确的是（）A=B=C=D xy=【答案】C【分析】根据二次根式的运算法则逐一计算即可完成求解．【详解】不是同类二次根式，不能计算，故该选项计算错误，不符合题意，不是同类二次根式，不能计算，故该选项计算错误，不符合题意，===故选：C．【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．6．(本题4分)（2020·全国八年级课时练习）已知，的值为（）A．B．C．4 D．±【答案】B【解析】把x= +1，y= 1==.7．(本题4分)（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）下列根式是最简二次根式的是（ ）A B C D 【答案】B 【分析】利用最简二次根式定义判断即可． 【详解】A =BC 2=，不是最简二次根式，该选项不符合题意；D =，不是最简二次根式，该选项不符合题意； 故选：B ． 【点睛】本题考查了最简二次根式．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．8．(本题4分)（2020·贵州毕节市·a 的值是（ ） A ．52-B ．-1C ．1D ．2【答案】D 【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程组求解． 【详解】解：= 根据题意，得：723a -=， 解得：2a =；【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．9．(本题4分)（2020·的结果估计在（）A．6至7之间B．7至8之间C．8至9之间D．9至10之间【答案】B【分析】首先把二次根式的化简计算，然后估算无理数的大小即可解决问题．【详解】＝∵2 2.5<<，∴45<<，∴738<+<，的结果在7至8之间，故选：B．【点睛】本题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则进行计算．10．(本题4分)（2020·山东济南市·八年级月考）已知a=，b=，c=，则下列大小关系正确的是( )A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b【答案】A【分析】将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可．解:∵a ==，b ==，c ==，>>，∴a b c >>． 故选：A. 【点睛】此题考查了二次根式的大小比较，将根式进行适当的变形是解本题的关键．二、填空题(共20分)11．(本题5分)（2020·四川雅安市·雅安中学八年级期中）,><或=填空） 【答案】< 【分析】先把两个式子分母有理化，再比较化简后的结果的大小，从而得到原式的大小关系． 【详解】65===-76===->>>．故答案是：<． 【点睛】本题考查二次根式的化简和大小比较，解题的关键是掌握二次根式的化简方法和比较大小的方法．12．(本题5分)（2020·运城市景胜中学八年级期中）已知==a b ，则二次根式________．【答案】11 【分析】先把a ，b 的值通过分母有理化化简，在根号下的立方和展开代入计算； 【详解】∵842-===a 4==b∴()()3322367367+-=+-+-a b a b a ab b，(((((22444444367⎡⎤=-++--+-++-⎢⎥⎣⎦，()8161516151615367⎡=⨯+---+++-⎣，()8621367488367121=⨯--=-=，11=． 故答案是11． 【点睛】本题主要考查了分母有理化和二次根式的性质与化简，准确计算是解题的关键．13．(本题5分)（2020·南通市八一中学八年级月考）已知a 、b 为有理数，m 、n 分别表示5-分和小数部分，且21amn bn +=，则3a b +=_________． 【答案】4 【分析】只需先对5-a ，其小数部分用5a -表示，再分别代入21amn bn +=进行计算；【详解】∵2＜3，∴2＜5-3，∴ m=2，n=52-=3-，把m=2，n=37-代入21amn bn += ∴ ()()2237371a b -+-=，化简得：()()6167261a b a b +-+= ， ∴ 6161a b +=且260a b +=， 解得： 1.5a =，0.5b =- ∴33 1.50.54a b +=⨯-=，故答案为：4． 【点睛】本题考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算，能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键；14．(本题5分)（2020·浙江金华市·八年级期末）对于实数a 、b 作新定义：@a b ab =，b a b a =※，在此定义下，计算：431232753)2=※________． 【答案】132-【分析】先将新定义的运算化为一般运算，再计算二次根式的混合运算即可． 【详解】 解：43)@127543)232※ =243()12753)32 =243(1212)(53)323- 21)1863 =4332- =132-故答案为：132-【点睛】本题考查新定义的实数运算，二次根式的混合运算．能根据题意将新定义运算化为一般运算是解题关键．三、解答题(共90分)15．(本题8分)（2020·【答案】2 【分析】先利用分母有理化、二次根式乘法以及二次根式的性质化简，然后利用二次根式的加减运算法则计算即可． 【详解】++13--+=2． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，灵活运用分母有理化、二次根式乘法以及二次根式的性质成为解答本题的关键．16．(本题8分)（2020·陕西咸阳市·八年级期末）计算：21-．【答案】1. 【分析】按照二次根式性质，立方根的定义，绝对值的意义，化简即可. 【详解】解：原式12412=-⨯=1. 【点睛】本题考查了二次根式的性质，立方根的定义，绝对值的化简，熟记性质是解题的关键.17．(本题8分)（2020·陕西咸阳市·八年级期末）已知；a =，b = （1）ab ；（2）223a ab b -+； 【答案】（1）2；（2）10． 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则求出ab 即可；（2）根据二次根式的减法法则求出-a b ，根据二次根式的乘法法则求出ab ，把原式化简，把a b ab -、代入计算即可． 【详解】解：5a =+b =532ab ∴==-=，a b -==∴ （1）ab =2（2）()(22223210a ab b a b ab -+=--=-=．【点睛】本题是一道求代数式值的问题，考查了的是二次根式的减法和乘法和整式的完全平方公式，掌握二次根式的减法法则、乘法法则是解题的关键．18．(本题8分)（2020·福建省泉州实验中学八年级月考）已知1x =，x 的整数部分为a ，小数部分为b ，求ab的值．【分析】由2＜31+的整数部分与小数部分，即,a b 的值，再代入ab进行分母有理化，从而可得答案． 【详解】解：2＜3，3∴＜4，x 的整数部分为a ，小数部分为b ，3a ∴=，132b =-=，)32322.74ab∴====-【点睛】本题考查的是无理数的估算，整数部分与小数部分的含义，二次根式的除法运算，平方差公式的应用，掌握分母有理化是解题的关键．19．(本题10分)（2020·山东济南市·八年级期中）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的．．＝．[理解应用]（1（2）若a3a；（3．【答案】（1（2）+3；（3【分析】（1（2）表示出a的值，再代入计算即可；（3）将每一个式子都进行分母有理化，再根据规律得出答案．【详解】（1＝22⨯；（2）∵a的小数部分，∴a ﹣1，∴3a ＝+3； （3＝122+＝120192-+-【点睛】本题考查二次根式的化简，无理数的估算，以及数字的变化规律等知识，掌握分母有理化的方法是解决问题的关键．20．(本题10分)（2020·江苏南通市·南通第一初中八年级月考）（1）先化简，再求值：22121124m m m m ++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭．其中22m -≤≤且m 为整数，请你从中选取一个喜欢的数代入求值．（2）已知1x =，1y =，求下列各式的值：①22x xy y -+ ②2y x x y ++ 【答案】（1）21m m -+，将1m =代入，原式12=-；（2）①6；②6． 【分析】 （1）根据分式混合运算法则先化简，然后选择m 的值时要注意使分式或运算有意义；（2）利用二次根式乘法和二次根式加减法计算xy 、x+y 、x-y 的值，再利用完全平方公式变形求解即可．【详解】（1）原式=()()()222121m m m m m +-+⨯++=21m m -+， ∵其中22m -≤≤且m 为整数，∴不能选择21,±-，则在0，1中选择即可，将1m =代入原式得：121112-=-+， ∴当1m =时，原式12=-；（2）由题意可得：)11312xy ==-=，x y +=2x y -=-，①()()222222426x y x x y y y x =-+=-+=++=-；②()(22222262x y y x x y xy x y xy xy +++++====．【点睛】本题考查分式的化简求值，二次根式的运算以及完全平方公式的变形求解，注意在分式代入求值时要使得分式有意义，灵活对完全平方公式变形是解题关键．21．(本题12分)（2020·成都西川中学八年级月考）计算：（1（2）求3y =的最大值．【答案】（1<-（23【分析】（1的大小即可．（21，当1x =，故y 的3．【详解】（1）15141514-=+， 14131413-=+， 而1513>，15141413∴+>+，15141413∴-<-．（2）10x +≥，10x -≥，1x ∴≥，113y x x =+--+311x x =+++-， 当1x =时，分母11x x ++-有最小值2，311y x x ∴=+++-有最大值是23+． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件以及分子有理化在二次根式中的应用，此类问题掌握分子、分母有理化的方法是解题关键．22．(本题12分)（2020·长沙市中雅培粹学校八年级月考）人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为a 、b 、c ，记2a b c p ++=，那么这个三角形的面积为()()()S p p a p b p c =--- ，如图，在ABC ∆中，8a =，4b =，6c =．（1）求ABC ∆的面积；（2）设AB 边上的高为1h ，AC 边上的高为2h ，BC 边上的高为3h ，求123h h h ++的值．【答案】(1) ；(2)． 【分析】 (1)直接将三角形的三边代入计算，再根据根式的性质进行化简计算；(2)通过三角形面积公式以及第一问求出来的结果进行计算，可分别得出三角形三边的高，最后求和即可得出最终结果．【详解】解：(1) S =2a b c p ++=，在ABC ∆中，8a =，4b =，6c =， 代入可得84692p ++==，S ∴===；(2) 设AB 边上的高为1h ，AC 边上的高为2h ，BC 边上的高为3h ，则123111222ABC S ch bh ah ====，可得到11162h h ⨯==221422h h ⨯==，331824h h ⨯==，1234h h h ∴++=． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算，需要有较强的运算求解能力，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．23．(本题14分)（2020·三明市第四中学八年级月考）细心观察图形，认真分析各式，然后回答问题：（1）推算出OA 10的长和S 10的值．（2）直接用含n （为正整数）的式子表示OA n 的长和S n 的值． （3）求222212310S S S S +++⋯+的值．【答案】（1）OA 1010；S 1010；（2）OA n n ；S n n ；（3）554【分析】（1）根据表格中式子规律即可求出结论；（2）根据表格中式子规律即可求出结论；（3）根据（2）的公式代入求值即可．【详解】解：由题意可得：OA 102=21011-+=10，S 10=102∴OA 1010；（2）由题意可得：OA n 2=(211n -+=n ，S n n∴OA n n ；（3）222212310S S S S +++⋯+ =222212310⎛++++ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=123104444++++=()1123104++++=554【点睛】此题考查的是探索规律题，根据已知等式，找出运算规律是解题关键．。
二次根式计算专题30题(教师版含答案解析)
试题解析：
0
+1123123313．
考点：二次根式的化简．
10．计算：
83
1
3
0.5
3
4
33
【答案】3
2
22
【解析】
．
试题分析：先化成最简二次根式,再进行运算．
试题解析：原式=
2333
223=23
2222
．
考点：二次根式的化简．
11．计算：
（1）
271245
1
3
（2）
0
2014
1182014223
3
28
3
323
14
3
．
考点：二次根式运算．
6
4．计算：3623
2
【答案】22.
【解析】
试题分析：先算乘除、去绝对值符号,再算加减.
试题解析：原式=32332
=22
考点：二次根式运算.
5．计算：2183(32)
【答案】33．
【解析】
试题分析：先将二次根式化成最简二次根式,再化简．
试题解析：2183(32)=23233633．
考点：二次根式化简.
2
14．计算(3248)12
3
【答案】
26
-+.
23
试卷第4页，总10页
完美WORD格式
【解析】
试题分析：先化简二次根式，再合并同类二次根式，最后算除法即可求出答案.
试题解析：
2
(3-24 +8)?12(6-26+22) ?23(22-6) ?23
3
26
=-+
23
考点:二次根式的混合运算.
二次根式经典测试题(附答案解析)
二次根式经典测试题(附答案解析)1. 问题：求下列二次根式的值并化简：$$\sqrt{9}$$解析：根据定义，$\sqrt{9}$表示求一个数的平方根，而9的平方根等于3，因此$\sqrt{9}=3$。
2. 问题：计算下列二次根式的值：$$\sqrt{16}+\sqrt{25}$$解析：根据定义，$\sqrt{16}$表示求一个数的平方根，而16的平方根等于4；同样，$\sqrt{25}$表示求一个数的平方根，而25的平方根等于5。
将两个平方根相加得到$$\sqrt{16}+\sqrt{25}=4+5=9$$3. 问题：化简下列二次根式：$$\sqrt{18}$$解析：18可以分解为$2\times9$，而$\sqrt{16}=\sqrt{2\times9}=\sqrt{2}\times\sqrt{9}=\sqrt{2}\times3=\sq rt{18}=3\sqrt{2}$4. 问题：将下列二次根式化为最简形式：$$\sqrt{48}$$解析：48可以分解为$16\times3$，而$\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=\sqrt{16}\times\sqrt{3}=4\sqrt{3}$5. 问题：计算下列二次根式的值：$$\sqrt{64}+\sqrt{81}-2\sqrt{36}$$解析：根据定义，$\sqrt{64}=8$，$\sqrt{81}=9$，$\sqrt{36}=6$。
将这三个值代入原式得到 $$\sqrt{64}+\sqrt{81}-2\sqrt{36}=8+9-2\times6=8+9-12=5$$6. 问题：对于一个正实数x，求下列表达式的值：$$(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)$$解析：根据乘法公式$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$，将表达式$(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)$代入公式得到 $$(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)=\sqrt{x}^2-(2)^2=x-4$$7. 问题：求下列方程的解集：$$\sqrt{x^2+6x+9}=3$$解析：根据定义，$\sqrt{a}=b$可以转化为$a=b^2$，将方程$\sqrt{x^2+6x+9}=3$转化为$x^2+6x+9=(3)^2=9$。
数学中考试题二次根式200题(含解析)
－（cos30°）0115．已知x= +1，求x2－2x－3的值．
116. 先化简，再求值 ，其中a=，b=．
117.计算： ．
118.计算： ．
119. 计算：
120.计算： ．
121. 计算：．
122．计算：（2－）（2+）+（－1）2010 ．
25.已知实数x、y、a满足： ，
试问长度分别为x、y、a的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果丌能，请说明理由．
26. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：
…①（其中 a、b、c 为三角形的三边长，s
163．计算：－（－3）=；如图所示，化简 =．
164．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a－2|+ 的结果为．
165．已知a＜2，则 =．
166．当x＞2时，化简=．
167．计算： +| －2|+（2－π）0
168．计算： ．
169．计算：－（－2009）0+（ ）－1+|－1|．
170．计算：
154．计算：（－1）（+1）－（sin35°－ ）0+（－1）2008－（－2）－2
155．计算：（ +3）（3－ ）
156.阅读下列材料，然后回答问题．
在迚行二次根式的化简不运算时，我们有时会碰上如 一样的式子， 其实我们还可以将其迚一步化简：
=
=
= （三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：
《二次根式》专题练习(含问题详解)
初二数学专题练习《二次根式》一．选择题1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥12．若1＜x＜2，则的值为（） A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 3．下列计算正确的是（）A．=2B．=C．=x D．=x4．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b5．化简+﹣的结果为（） A．0 B．2 C．﹣2 D．26．已知x＜1，则化简的结果是（） A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x 7．下列式子运算正确的是（）A． B．C． D．8．若，则x3﹣3x2+3x的值等于（）A． B． C． D．二．填空题9．要使代数式有意义，则x的取值范围是．10．在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为．11．计算：= ．12．化简：= ．13．计算：（+）= ．14．观察下列等式：第1个等式：a1==﹣1，第2个等式：a2==﹣，第3个等式：a3==2﹣，第4个等式：a4==﹣2，按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第n个等式：an= ；（2）a1+a2+a3+…+an= ．15．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= ．16．已知：a＜0，化简= ．17．设，，，…，．设，则S= （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．三．解答题18．计算或化简：﹣（3+）；19．计算：（3﹣）（3+）+（2﹣）20．先化简，再求值：，其中x=﹣3﹣（π﹣3）0．21．计算：（+）×．22．计算：×（﹣）+|﹣2|+（）﹣3．23．计算：（+1）（﹣1）+﹣（）0．24．如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：．25．阅读材料，解答下列问题．例：当a＞0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身；当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零；当a＜0时，如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣（﹣6），故此时a的绝对值是它的相反数．∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；（2）猜想与|a|的大小关系．26．已知：a=，b=．求代数式的值．27．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）==（二）===﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：====﹣1（四）（1）请用不同的方法化简．（2） 参照（三）式得= ；参照（四）式得= ．（3）化简：+++…+．28．化简求值：，其中．参考答案与解析一．选择题1．（2016•贵港）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1【分析】被开方数是非负数，且分母不为零，由此得到：x﹣1＞0，据此求得x的取值范围．【解答】解：依题意得：x﹣1＞0，解得x＞1．故选：C．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．注意：本题中的分母不能等于零．2．（2016•呼伦贝尔）若1＜x＜2，则的值为（）A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2【分析】已知1＜x＜2，可判断x﹣3＜0，x﹣1＞0，根据绝对值，二次根式的性质解答．【解答】解：∵1＜x＜2，∴x﹣3＜0，x﹣1＞0，原式=|x﹣3|+=|x﹣3|+|x﹣1|=3﹣x+x﹣1=2．故选D．【点评】解答此题，要弄清以下问题：1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根；当a=0时，=0；当a小于0时，非二次根式（若根号下为负数，则无实数根）．2、性质：=|a|．3．（2016•南充）下列计算正确的是（）A．=2B．=C．=x D．=x【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．【解答】解：A、=2，正确；B、=，故此选项错误；C、=﹣x，故此选项错误；D、=|x|，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．4．（2016•潍坊）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0，则|a|+=﹣a﹣（a﹣b）=﹣2a+b．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．5．（2016•营口）化简+﹣的结果为（）A．0 B．2 C．﹣2D．2【分析】根据根式的开方，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案．【解答】解：+﹣=3+﹣2=2，故选：D．【点评】本题考查了二次根式的加减，先化简，再加减运算．6．已知x＜1，则化简的结果是（）A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x【分析】先进行因式分解，x2﹣2x+1=（x﹣1）2，再根据二次根式的性质来解题即可．【解答】解：==|x﹣1|∵x＜1，∴原式=﹣（x﹣1）=1﹣x，故选D．【点评】根据完全平方公式、绝对值的运算解答此题．7．下列式子运算正确的是（）A．B．C． D．【分析】根据二次根式的性质化简二次根式：=|a|；根据二次根式分母有理化的方法“同乘分母的有理化因式”，进行分母有理化；二次根式的加减实质是合并同类二次根式．【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能计算，故A错误；B、=2，故B错误；C、=，故C错误；D、=2﹣+2+=4，故D正确．故选：D．【点评】此题考查了根据二次根式的性质进行化简以及二次根式的加减乘除运算，能够熟练进行二次根式的分母有理化．8．若，则x3﹣3x2+3x的值等于（）A．B．C．D．【分析】把x的值代入所求代数式求值即可．也可以由已知得（x﹣1）2=3，即x2﹣2x﹣2=0，则x3﹣3x2+3x=x（x2﹣2x﹣2）﹣（x2﹣2x﹣2）+3x﹣2=3x﹣2，代值即可．【解答】解：∵x3﹣3x2+3x=x（x2﹣3x+3），∴当时，原式=（）[﹣3（）+3]=3+1．故选C．【点评】代数式的三次方不好求，就先提取公因式，把它变成二次方后再代入化简合并求值．二．填空题9．（2016•贺州）要使代数式有意义，则x的取值范围是x≥﹣1且x≠0 ．【分析】根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．【解答】解：根据题意，得，解得x≥﹣1且x≠0．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．本题应注意在求得取值范围后，应排除不在取值范围内的值．10．（2016•乐山）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为 3 ．【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．【解答】解：由数轴可得：a﹣5＜0，a﹣2＞0，则+|a﹣2|=5﹣a+a﹣2=3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确掌握掌握相关性质是解题关键．11．（2016•聊城）计算：= 12 ．【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：=3×÷=3=12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．12．（2016•威海）化简：=．【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可． 【解答】解：原式=3﹣2=．故答案为：．【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．13．（2016•潍坊）计算：（+）= 12 ．【分析】先把化简，再本括号内合并，然后进行二次根式的乘法运算．【解答】解：原式=•（+3）=×4=12．故答案为12．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．14．（2016•黄石）观察下列等式： 第1个等式：a 1==﹣1， 第2个等式：a 2==﹣，第3个等式：a 3==2﹣，第4个等式：a 4==﹣2，按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第n 个等式：a n = =﹣； ；（2）a 1+a 2+a 3+…+a n =﹣1 ．【分析】（1）根据题意可知，a 1==﹣1，a 2==﹣，a 3==2﹣，a 4==﹣2，…由此得出第n个等式：an==﹣；（2）将每一个等式化简即可求得答案．【解答】解：（1）∵第1个等式：a1==﹣1，第2个等式：a2==﹣，第3个等式：a3==2﹣，第4个等式：a4==﹣2，∴第n个等式：an==﹣；（2）a1+a2+a3+…+an=（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+（﹣2）+…+（﹣）=﹣1．故答案为=﹣；﹣1．【点评】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．15．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= 2.5 ．【分析】只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分a，其小数部分用﹣a表示．再分别代入amn+bn2=1进行计算．【解答】解：因为2＜＜3，所以2＜5﹣＜3，故m=2，n=5﹣﹣2=3﹣．把m=2，n=3﹣代入amn+bn2=1得，2（3﹣）a+（3﹣）2b=1化简得（6a+16b）﹣（2a+6b）=1，等式两边相对照，因为结果不含，所以6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=﹣0.5．所以2a+b=3﹣0.5=2.5．故答案为：2.5．【点评】本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．16．已知：a＜0，化简= ﹣2 ．【分析】根据二次根式的性质化简．【解答】解：∵原式=﹣=﹣又∵二次根式内的数为非负数∴a﹣=0∴a=1或﹣1∵a＜0∴a=﹣1∴原式=0﹣2=﹣2．【点评】解决本题的关键是根据二次根式内的数为非负数得到a的值．17．设，，，…，．设，则S= （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．【分析】由S=1++===，求n，得出一般规律．=1++===，【解答】解：∵Sn∴==1+=1+﹣，∴S=1+1﹣+1+﹣+…+1+﹣=n+1﹣==．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的化简求值．关键是由S变形，得出一般规律，寻找抵消规律．n三．解答题（共11小题）18．（2016•泰州）计算或化简：﹣（3+）；【分析】先化成最简二次根式，再去括号、合并同类二次根式即可；【解答】解：（1）﹣（3+）=﹣（+）=﹣﹣=﹣；【点评】本题考查了二次根式的加减法以及分式的混合运算，正确化简是解题的关键．19．（2016•盐城）计算：（3﹣）（3+）+（2﹣）【分析】利用平方差公式和二次根式的乘法法则运算．【解答】解：原式=9﹣7+2﹣2=2．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20．（2016•锦州）先化简，再求值：，其中x=﹣3﹣（π﹣3）0．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把化简后x的值代入进行计算即可．【解答】解：，=÷，=×，=．x=﹣3﹣（π﹣3）0，=×4﹣﹣1，=2﹣﹣1，=﹣1．把x=﹣1代入得到：==．即=．【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．21．计算：（+）×．【分析】首先应用乘法分配律，可得（+）×=×+×；然后根据二次根式的混合运算顺序，先计算乘法，再计算加法，求出算式（+）×的值是多少即可．【解答】解：（+）×=×+×=1+9=10【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．22．计算：×（﹣）+|﹣2|+（）﹣3．【分析】根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式=﹣+2+8，然后化简后合并即可．【解答】解：原式=﹣+2+8=﹣3+2+8=8﹣．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂、23．计算：（+1）（﹣1）+﹣（）0．【分析】先根据平方差公式和零指数幂的意义得到原式=3﹣1+2﹣1，然后进行加减运算．【解答】解：原式=3﹣1+2﹣1=1+2．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．24．如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：．【分析】本题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉算术平方根的定义．【解答】解：由数轴知，a＜0，且b＞0，∴a﹣b＜0，∴，=|a|﹣|b|﹣[﹣（a﹣b）]，=（﹣a）﹣b+a﹣b，=﹣2b．【点评】本小题主要考查利用数轴表示实数取值范围、二次根式的化简、代数式的恒等变形等基础知识，考查基本的代数运算能力．观察数轴确定a、b及a﹣b的符号是解答本题的关键，本题巧用数轴给出了每个数的符号，渗透了数形结合的思想，这也是中考时常考的知识点．本题考查算术平方根的化简，应先确定a、b及a﹣b的符号，再分别化简，最后计算．25．阅读材料，解答下列问题．例：当a＞0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身；当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零；当a＜0时，如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣（﹣6），故此时a的绝对值是它的相反数．∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；（2）猜想与|a|的大小关系．【分析】应用二次根式的化简，首先应注意被开方数的范围，再进行化简．【解答】解：（1）由题意可得=；（2）由（1）可得：=|a|．【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：①当a＞0时，=a；②当a＜0时，=﹣a；③当a=0时，=0．26．已知：a=，b=．求代数式的值．【分析】先求得a+b=10，ab=1，再把求值的式子化为a与b的和与积的形式，将整体代入求值即可．【解答】解：由已知，得a+b=10，ab=1，∴===．【点评】本题关键是先求出a+b、ab的值，再将被开方数变形，整体代值．27．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）==（二）===﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：====﹣1（四）（1）请用不同的方法化简．（2） 参照（三）式得= ；参照（四）式得= ．（3）化简：+++…+．【分析】（1）中，通过观察，发现：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的；（2）中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．【解答】解：（1）=，=；（2）原式=+…+=++…+=．【点评】学会分母有理化的两种方法．28．化简求值：，其中．【分析】由a=2+，b=2﹣，得到a+b=4，ab=1，且a＞0，b＞0，再把代数式利用因式分解的方法得到原式=+，约分后得+，接着分母有理化和通分得到原式=，然后根据整体思想进行计算．【解答】解：∵a=2+＞0，b=2﹣＞0，∴a+b=4，ab=1，∴原式=+=+=+=，当a+b=4，ab=1，原式=×=4．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，然后把字母的值代入（或整体代入）进行计算．。
数学二次根式复习题附解析
一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A 2=±B 3=-C ．(25=D ．(23=-2．下列各式计算正确的是（ ）AB ．C =3D ．3．当0x =的值是（ ）A ．4B ．2CD ．04．下列运算正确的是（ ）A ．32-=﹣6B 12-C =±2D ．=5．下列计算正确的是（ ）A 6=±B ．=C ．6=D =（a≥0，b≥0） 6．下列各式计算正确的是（ ）A +=B ．26=（C 4=D =7．已知m ＝1n ＝1 （ ） A ．±3B ．3C ．5D ．9 8．下列计算正确的是（ ）A =B =C ．1=D ．3+= 9．下列属于最简二次根式的是( )A B C D 10．下列运算错误的是（ ）A B2 C ．D 1=二、填空题11．已知x =()21142221x x x x -⎛⎫+⋅= ⎪-+-⎝⎭_________12．3=，且01x <<=______．13．)30m -≤，若整数a 满足m a +=a =__________．14．已知x =，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，则a-b=_______15．已知：可用含x =_____．16．已知1＜x ＜2，171x x +=-_____．17．如果2y ，那么y x =_______________________．18_____．19．mn ＝________．20．x 的取值范围是_____三、解答题21．解：设x222x =++2334x =+，x 2=10∴x =10．0．【分析】根据题意给出的解法即可求出答案即可．【详解】设x两边平方得：x 2=2+2+即x 2=4+4+6，x 2=14∴x =．0，∴x ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型．22．像2)＝1＝a (a ≥0)、﹣1)＝b ﹣1(b ≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因+1﹣1，﹣因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：(1)； (2)+；(3)的大小，并说明理由．【答案】（1（2）（3）＜ 【解析】分析：（1=1，确定互为有理化因式，由此计算即可；（2）确定分母的有理化因式为2与2+然后分母有理化后计算即可；（3与，，然后比较即可.详解：(1) 原式=9；（2）原式=2+=2+（3）根据题意，-==，><，>点睛：此题是一个阅读题，认证读题，了解互为有理化因式的实际意义，以及特点，然后根据特点变形解题是关键.23．【分析】先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【详解】．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，在进行此类运算时，先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．24．计算：【答案】【分析】先将括号内的二次根式进行化简并合并，再进行二次根式的乘法运算即可．【详解】解：===【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．25．观察下列一组等式，然后解答后面的问题1)1=，=，1=，1=⋯⋯1（1）观察以上规律，请写出第n个等式：(n为正整数）．（2（3【答案】（1）1=；（2）9；（3【分析】(1)根据规律直接写出,(2)先找出规律，分母有理化，再化简计算.(3)先对两个式子变形，分子有理化，变为分子为1，再比大小.【详解】解：（1）根据题意得：第n个等式为1=；故答案为1=；（2）原式111019==-=；（3-==，<∴>．【点睛】本题是一道利用规律进行求解的题目，解题的关键是掌握平方差公式.26．（1）计算)(2201113-⎛⎫--•- ⎪⎝⎭ （2）已知,,a b c为实数且2c =2c ab -的值 【答案】（1）13；（2）12-【分析】（1）利用完全平方公式、负整数指数幂、零指数幂分别计算再合并即可；（2）先依据二次根式有意义的条件，求得a 、b 、c 的值，然后再代入计算即可．【详解】（1）)(2201113-⎛⎫--•- ⎪⎝⎭31=+⨯=4+9=13；（2）根据二次根式有意义的条件可得：∵()2303010a a b ⎧-≥⎪⎪-≥⎨⎪-+≥⎪⎩，∴3a =，1b =-，∴2c =∴(()2223112c ab -=-⨯-=-【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式有意义的条件以及二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．27．已知长方形的长a =b =. (1)求长方形的周长；(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较其与长方形周长的大小关系．【答案】（1）2）长方形的周长大.【解析】试题分析：（1）代入周长计算公式解决问题；（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可． 试题解析：(1)()11222223a b ⎛+=⨯=⨯⨯⨯=⨯= ⎝∴长方形的周长为 .(2)11 4.23=⨯⨯=正方形的面积也为4. 2.=周长为：428.⨯=8.>∴长方形的周长大于正方形的周长．28．02020((1)π-．【答案】【分析】本题根据零次幂，最简二次根式，整数次幂的运算规则求解即可．【详解】原式11=-=【点睛】本题考查幂的运算与二次根式的综合，需牢记非零常数的零次幂为1，二次根式运算时需化为最简二次根式，其次注意计算仔细．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】直接利用二次根式的性质分别求解，即可得出答案．【详解】解：A，故A选项错误；B，故B选项错误；C选项：2=5，故C选项正确；D选项：2=3，故D选项错误，故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，正确求解二次根式是解题的关键．2．C解析：C【分析】根据二次根式的化简进行选择即可．【详解】AB、C，故本选项正确；D、=18，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键．3．B解析：B【分析】把x=0【详解】解：当x=0时，=2，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键．解析：B【分析】分别根据负整数指数幂的运算、立方根和算术平方根的定义及二次根式的乘法法则逐一计算可得．【详解】A 、3311228-==，此选项计算错误；B 12=-，此选项计算正确；C 2=，此选项计算错误；D 、，此选项计算错误；故选：B ．【点睛】本题考查了负整数指数幂、立方根和算术平方根及二次根式的乘法，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．5．D解析：D6=，故A 不正确；根据二次根式的除法，可直接得到2=，故B 不正确；根据同类二次根式的性质，可知C 不正确；=（a≥0，b≥0）可知D 正确.故选：D 6．D解析：D【分析】根据二次根式的运算法则一一判断即可．【详解】AB 、错误，212=（；C ==D ==故选：D ．【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则，属于中考常考题型． 7．B【分析】由已知可得：2,(11m n mn +==+-=-，【详解】由已知可得：2,(11m n mn +==+-=-，原式3===故选B【点睛】考核知识点：二次根式运算.配方是关键. 8．A解析：A【分析】A 进行化简为B 中，被开方数不同的两个二次根式之和不等于和的二次根式，据此可对B 进行判断；C 中，合并同类二次根式后即可作出判断；D 中，无法进行合并运算，据此可对D 进行判断．【详解】解：==A 符合题意；B 不符合题意；C.=C 不符合题意；D.3与不能合并，故选项D 不符合题意．故选：A ．【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，能够判断出二次根式是同类二次根式是解答此题的关键．9．B解析：B【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．【详解】解：A ，不符合题意；BC=2，不符合题意；，不符合题意；D3故选B．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．10．D解析：D【分析】根据二次根式的乘法法则对A进行判断；根据分母有理化对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．【详解】AB计算正确，不符合题意；C、计算正确，不符合题意；D11=≠符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．二、填空题11．【分析】利用完全平方公式化简，得到；化简分式，最后将代入化简后的分式，计算即可.【详解】将代入得：故答案为：【点睛】本题考查二次根式的化简以及分式的化简求值，难度较大，难点在解析：1-【分析】利用完全平方公式化简x =1x =；化简分式，最后将1x =代入化简后的分式，计算即可.【详解】1x =====()211422(2)(2)2221(2)(2)2(1)x x x x x x x x x x x -++-+-⎛⎫+⋅= ⎪-+--+-⎝⎭ 1x x =-将1x =1=-故答案为：1-【点睛】本题考查二次根式的化简以及分式的化简求值，难度较大，难点在于化简x =熟练掌握相关知识点是解题关键. 12．．【分析】利用题目给的求出，再把它们相乘得到，再对原式进行变形凑出的形式进行计算．【详解】∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴原式．故答案是：．【点睛】本题考查二次根式的运．【分析】，再把它们相乘得到1xx-，再对原式进行变形凑出1xx-的形式进行计算．【详解】3=，∴221239xx=++==，∴17xx+=，∴212725xx=-+=-=，∵01x<<，=，∴1xx=-=-∴原式====．．【点睛】本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式对式子进行巧妙运算．13．【分析】先根据确定m的取值范围，再根据，推出，最后利用来确定a的取值范围．【详解】解：为整数为故答案为：5．【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用解析：5【分析】)30m -≤确定m 的取值范围，再根据m a +=32a ≤≤，最后利用78<<来确定a 的取值范围．【详解】 解：()230m m --≤23m ∴≤≤m a +=a m ∴=32a ∴≤≤7528<<46a ∴<<a 为整数a ∴为5故答案为：5．【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用“逼近法”得出围是解此题的关键．14．【分析】先把x 分母有理化求出x= ，求出a 、b 的值，再代入求出结果即可．【详解】∵∴∴∴【点睛】本题考查了分母有理化和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求a 、b 的值．解析：6【分析】先把x 分母有理化求出2 ，求出a 、b 的值，再代入求出结果即可．【详解】2x === ∵23<<∴425<< ∴4,242a b ==-=∴42)6a b -=-=【点睛】本题考查了分母有理化和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求a 、b 的值．15．【解析】∵=，∴=== -==﹣x3+x ，故答案为：﹣x3+x. 解析：211166x x -+ 【解析】∵x =-3==123=146+= -21116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=311166-+=﹣16x 3+116x ， 故答案为：﹣16x 3+116x. 16．-2∵x+=7，∴x-1+=6，∴（x-1）-2+=4，即 =4，又∵1＜x＜2,∴=-2，故答案为-2.【点睛】本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是解析：-2【详解】∵x+11x-=7，∴x-1+11x-=6，∴（x-1）-2+11x-=4，即2=4，又∵1＜x＜2,∴，故答案为-2.【点睛】本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是要根据所求的式子对已知的式子进行变形.17．【分析】根据二次根式的有意义的条件可求出x，进而可得y的值，然后把x、y的值代入所求式子计算即可．【详解】解：∵x－3≥0，3－x≥0，∴x=3，∴y=﹣2，∴．故答案为：．【点睛】解析：1 9【分析】根据二次根式的有意义的条件可求出x，进而可得y的值，然后把x、y的值代入所求式子计算即可．【详解】解：∵x－3≥0，3－x≥0，∴x=3，∴2139y x -==． 故答案为：19． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和负整数指数幂的运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．18．6【分析】利用二次根式乘除法法则进行计算即可．【详解】＝＝＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．解析：6【分析】==进行计算即可． 【详解】＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键． 19．21【分析】根据二次根式及同类二次根式的定义列出方程组即可求出答案.【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式，∴ ，解得，，∴故答案为21.解析：21【分析】根据二次根式及同类二次根式的定义列出方程组即可求出答案.【详解】∴1221343nm m-=⎧⎨-=-⎩，解得，73mn=⎧⎨=⎩，∴7321.mn=⨯=故答案为21.20．x≥4【解析】试题分析：根据算术平方根的意义，可知其被开方数为非负数，因此可得x-4≥0，解得x≥4.故答案为x≥4.点睛：此题主要考查了平方根的意义，解题时要注意被开方数为非负数的条件，然解析：x≥4【解析】试题分析：根据算术平方根的意义，可知其被开方数为非负数，因此可得x-4≥0，解得x≥4.故答案为x≥4.点睛：此题主要考查了平方根的意义，解题时要注意被开方数为非负数的条件，然后列不等式求解即可，是一个中考常考的简单题.三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
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一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A=B CD =2．下列计算正确的是（ ）A =B ．12=C 3=D ．14= 3．下列各式中，无意义的是（ ）A B C D ．310-4．下列运算正确的是（ ）A =B =C ．3=D 2= 5．下列各式是二次根式的是（ ）A B C D6．x 的取值范围是（ ）A ．13x ≥B ．13x >C ．13x ≤D ．13x < 7．下列各式计算正确的是（ ）A =B 6=C ．3+=D 2=-8．有意义，那么直角坐标系中点A(a,b)在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限9．是同类二次根式，那么a 的值是（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．1 D ．210．下列计算正确的是（ ）A =B ．2-=C ．22=D 3=二、填空题11．已知a ，b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有____对．12．化简并计算：...+=________．（结果中分母不含根式）13．已知2215x 19x 2+--=，则2219x 215x -++=________．14．已知()2117932x x x y ---+-=-，则2x ﹣18y 2＝_____．15．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72 [72]=8 [8]=2 2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．16．设12211112S =++，22211123S =++，32211134S =++，设12...n S S S S =S=________________ (用含有n 的代数式表示，其中n 为正整数)．17．若2x ﹣3x 2﹣x=_____．18．x y 53xy 153，则x+y=_______．19．如果332y x x --，那么y x =_______________________．20．12a 1-能合并成一项，则a =______． 三、解答题21．计算(1)2213113a a a a a a +--+-+-; (2)已知a 、b 26a ++2b ＝0.求a 、b 的值(3)已知abc ＝1，求111a b c ab a bc b ac c ++++++++的值 【答案】（1）22223a a a ----；（2）a =－3，b 2；（3）1. 【分析】（1）先将式子进行变形得到()()113113a a a a a a +--+-+-，此时可以将其化简为1113a a a a ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，然后根据异分母的加减法法则进行化简即可； （2）根据二次根式及绝对值的非负性得到2a +6=0，b 2=0，从而可求出a 、b ； （3）根据abc ＝1先将所求代数式转化：11b ab ab bc b abc ab a ab a ==++++++，2111c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++，然后再进行分式的加减计算即可. 【详解】解：（1）原式=()()113113a a a a a a +--+-+- =1113a a a a ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭ =1113a a --+- =()()()()3113a a a a -++-+- =22223a a a ----；（20b =，∴2a +6=0，b =0，∴a =－3，b ；（3）∵abc ＝1， ∴11b ab ab bc b abc ab a ab a ==++++++，2111c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++， ∴原式=1111a ab ab a ab a ab a ++++++++ =11a ab ab a ++++ =1.【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式、绝对值的非负性，分式中一些特殊求值题并非一味的化简，代入，求值，熟练掌握转化、整体思想等解题技巧是解答这类题目的关键.22．观察下列等式：1==；==== 回答下列问题：（1（2）计算：【答案】（1（2）9【分析】（1）根据已知的31=-n=22代入即可求解；（2）先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式，再计算即可．【详解】解：（1= （2+99+=1100++-=1=10-1=9.23．(1)已知a 2+b 2=6，ab =1，求a ﹣b 的值；(2)已知b =，求a 2+b 2的值． 【答案】（1）±2；（2）2． 【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；（2）先分母有理化，再根据完全平方公式和平方差公式即可求解．【详解】（1）由a 2+b 2=6，ab=1，得a 2+b 2-2ab=4，（a-b ）2=4，a-b=±2．（2）a ===b === 22221111()223122222a b a b ab ⎛⎫+=+-=+-⨯⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查了分母有理化、完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．24．计算：（1（2|a ﹣1|，其中1＜a【答案】（1）1；（2）1【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算；（2）由二次根式的非负性，a 的取值范围进行化简．【详解】解：（1－1＝2－1＝1（2）∵1＜a ，a ﹣1＝2﹣a ＋a ﹣1＝1．【点睛】本题考查二次根式的性质、二次根式的乘法法则，主要检验学生的计算能力．25．计算：（1；（2+2）2+2）．【答案】（1-2）【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案；（2）直接利用乘法公式计算得出答案．【详解】解：（1）原式＝-（2）原式＝3434++-＝6+．【点睛】本题考查了二次根式的运算，在进行二次根式运算时，可以运用乘法公式，运算率简化运算．26．2020(1)-【答案】1【分析】先计算乘方，再化简二次根式求解即可．【详解】2020(1)-=1=1．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，再合并即可．27．计算：（1）()202131)()2---+ （2【答案】（1）12；（2）【分析】（1）按照负整数指数幂、0指数幂、乘方的运算法则计算即可；（2）根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可．【详解】（1）解：原式＝ 9－1＋4＝12（2）【点睛】本题考查负整数指数幂、0指数幂、乘方以及二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的化简是关键．28．先阅读下面的解题过程，然后再解答.a ，b ，使a b m +=，ab n =，即22m +==0)a b ==±>.这里7m =，12n =，由于437+=，4312⨯=，所以22+==，2===..【答案】见解析【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法．【详解】根据题意，可知13m =，42n =，由于7613+=，7642⨯=，所以2213+=，====【点睛】 此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于求得13m =，42n =.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案．【详解】解：AB 2=，故此选项不合题意；C ，故此选项不合题意；D =故选：D ．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 2．B解析：B【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【详解】A 不符合题意；∵12=，故选项B 符合题意；C 不符合题意；∵=D 不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．3．A解析：A【分析】直接利用二次根式有意义的条件、负整数指数幂的性质分析得出答案．【详解】AB ，有意义，不合题意；C D 、33110=10-，有意义，不合题意； 故选A.【点睛】 此题主要考查了二次根式有意义的条件、负整数指数幂的性质，正确把握二次根式的定义是解题关键．4．D解析：D【分析】利用二次根式的加减法对A 、C 进行判断；利用二次根式的性质对B 进行判断；利用二次根式的除法法则对D 进行判断．【详解】解：A A 选项错误；B =B 选项错误；C 、=C 选项错误；D 2=，所以D 选项正确． 故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．5．A解析：A【分析】根据二次根式定义和有意义的条件：被开方数是非负数，即可判断．【详解】解：A 、符合二次根式有意义条件，符合题意；B 、-1＜0B 选项不符合题意；C 、是三次根式，所以C 选项不符合题意；D 、π-4＜0D 选项不符合题意．故选：A ．【点睛】a ≥0．6．C解析：C【分析】根据二次根式的性质：被开方数大于或等于0，列不等式求解．【详解】解：依题意有当130x -≥时，原二次根式有意义； 解得：13x ≤； 故选：C ．【点睛】 本题考查了二次根式的基本性质（被开方数大于或等于0）；解一元一次不等式，在解一元一次不等式的过程中要用到不等式的基本性质（1．不等式两边同时加上或同时减去一个数，不等号的方向不变；2．不等式两边同时乘以或同时除以一个正数，不等号的方向不变；3．不等式两边同时乘以或同时除以一个负数，不等号的方向改变．）熟记并灵活运用不等式的基本性质是解本题的关键．7．B解析：B【分析】根据二次根式的加减法对A 、C 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断；根据a =对D 进行判断 ．【详解】解：A 不能合并，所以A 选项错误；B 6=，正确，所以B 选项正确；C 、3不能合并，所以C 选项错误；D 22=--=()，所以D 选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的加减计算法则．8．A解析：A【解析】试题分析：根据二次根式的概念，可知a≥0，ab＞0，解得a＞0，b＞0，因此可知A（a，b）在第一象限.故选A9．D解析：D【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程组求解．【详解】由题意，得7-2a=3，解得a=2，故选D．【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．10．C解析：C【分析】根据立方根、二次根式的加减乘除运算法则计算．【详解】A、非同类二次根式，不能合并，故错误；B、=C、22=，正确；D故选C．【点睛】本题考查二次根式、立方根的运算法则，熟练掌握基本法则是关键．二、填空题11．7【解析】解：∵=+，∴a、b的值为15，60，135，240，540．①当a=15，b=15时，即=4；②当a=60，b=60时，即=2；③当a=15，b=60时，即=3；④当a=60解析：7【解析】解：∵2，∴a、b的值为15，60，135，240，540．①当a=15，b=15时，即2=4；②当a=60，b=60时，即2=2；③当a=15，b=60时，即2=3；④当a=60，b=15时，即2=3；⑤当a=240，b=240时，即2=1；⑥当a=135，b=540时，即2=1；⑦当a=540，b=135时，即2=1；故答案为：（15，15）、（60、60）、（15，60）、（60，15）、（240，240）、（135，540）、（540，135）．所有满足条件的有序数对（a，b）共有7对．故答案为：7．点睛：本题考查了二次根式的性质和化简，解决此题的关键是分类讨论思想，得出a、b可能的取值．12．【分析】根据=，将原式进行拆分，然后合并可得出答案．【详解】解：原式==．故答案为．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观-，将原式进行拆分，然后合并可得出答案． 【详解】解：原式====220400x x x-．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观察．13．【解析】【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m 、n 的关系式，解方程组求m 、n 的值即可．【详解】设m ＝，n ＝，那么m −n ＝2①，m2＋n2＝()2＋()2＝34②．由①得，m ＝2解析：13【解析】【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m 、n 的关系式，解方程组求m 、n 的值即可．【详解】设m n那么m−n ＝2①，m 2＋n 2＝2＋2＝34②．由①得，m ＝2＋n ③，将③代入②得：n 2＋2n−15＝0，解得：n ＝−5（舍去）或n ＝3，因此可得出，m ＝5，n ＝3（m≥0，n≥0）．n ＋2m ＝13．此题考查二次根式的减法，本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解．14．【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．【详解】解：∵一定有意义，∴x≥11，∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，整理得：＝3y，∴x﹣解析：22【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．【详解】一定有意义，∴x≥11，|7﹣x＝3y﹣2，﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，＝3y，∴x﹣11＝9y2，则2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．故答案为：22．【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题．15．255【解析】解：∵[]=1，[]=3，[]=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和解析：255【解析】解：]=1，=3，=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．16．【分析】先根据题目中提供的三个式子，分别计算的值，用含n 的式子表示其规律，再计算S 的值即可．【详解】解：∵，∴；∵，∴；∵，∴；……∵，∴；∴．故答案为：【点睛】本题 解析：221n n n ++ 【分析】n 的式子表示其规律，再计算S 的值即可．【详解】 解：∵1221191=124S =++311122===+-； ∵222114912336S =++=7111116623===+=+-； ∵32211169134144S =++=1311111121234===+=+-； …… ∵()()()222222111111n n n S n n n n ++=++=++，()()2111111111n n n n n n n n ++===+=+-+++；∴...S =1111111112231n n =+-++-++-+…+ 111n n =+-+． 221n n n +=+ 故答案为：221n n n ++ 【点睛】本题为规律探究问题，难度较大，根据提供的式子发现规律，并表示规律是解题的关键，同时要注意对于式子()11111n n n n =-++的理解． 17．【解析】【分析】根据完全平方公式以及整体的思想即可求出答案．【详解】解：∵2x﹣1= ，∴（2x ﹣1）2=3∴4x2﹣4x+1=3∴4（x2﹣x ）=2∴x2﹣x=故答案为【点 解析：12【解析】【分析】 根据完全平方公式以及整体的思想即可求出答案．【详解】解：∵2x ﹣，∴（2x ﹣1）2=3∴4x 2﹣4x+1=3∴4（x 2﹣x ）=2∴x 2﹣x=12故答案为12【点睛】 本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型． 18．8+2【解析】根据配方法，由完全平方公式可知x+y==（）2-2，然后把+=+，=-整体代入可得原式=（+）2-2（-）=5+3+2-2+2=8+2.故答案为：8+2.解析：【解析】根据配方法，由完全平方公式可知x+y=2222+=+-）2整体代入可得原式=2-2）故答案为：19．【分析】根据二次根式的有意义的条件可求出x ，进而可得y 的值，然后把x 、y 的值代入所求式子计算即可．【详解】解：∵x －3≥0，3－x≥0，∴x=3，∴y=﹣2，∴．故答案为：．【点睛】 解析：19【分析】根据二次根式的有意义的条件可求出x ，进而可得y 的值，然后把x 、y 的值代入所求式子计算即可．【详解】解：∵x －3≥0，3－x ≥0，∴x =3，∴y =﹣2， ∴2139y x -==．故答案为：19．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和负整数指数幂的运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．20．4【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．【详解】解：=2，由最简二次根式与能合并成一项，得a-1=3．解解析：4【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．【详解】能合并成一项，得a-1=3．解得a=4．故答案为：4．【点睛】本题考查同类二次根式和最简二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。