高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2

2.4.2 抛物线的简单几何性质
课时目标 1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用．
1．抛物线的简单几何性质
设抛物线的标准方程为y 2＝2px(p>0)
(1)范围：抛物线上的点(x ，y)的横坐标x 的取值范围是________，抛物线在y 轴的______侧，当x 的值增大时，|y|也________，抛物线向右上方和右下方无限延伸．
(2)对称性：抛物线关于________对称，抛物线的对称轴叫做________________．
(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________．抛物线的顶点为____________． (4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的__________，用e 表示，其值为______．
(5)抛物线的焦点到其准线的距离为______，这就是p 的几何意义，顶点到准线的距离为p
2
，
焦点到顶点的距离为________． 2．直线与抛物线的位置关系
直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x 的方程________________________的解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有______个公共点． 3．抛物线的焦点弦
设抛物线y 2＝2px(p>0)，AB 为过焦点的一条弦，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点M(x 0，y 0)，则有以下结论．
(1)以AB 为直径的圆与准线________．
(2)|AB|＝________(焦点弦长与中点坐标的关系)． (3)|AB|＝x 1＋x 2＋______.
(4)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1x 2＝________，y 1y 2＝________.
一、选择题
1．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(－2,3)，它的方程是( )
A ．x 2＝－92y 或y 2＝4
3x
B ．y 2＝－92x 或x 2＝4
3y
C ．y 2＝－9
2x
D ．x 2＝4
3
y
2．若抛物线y 2＝2px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F 的距离的关系是( ) A ．成等差数列
B ．既成等差数列又成等比数列
C ．成等比数列
D ．既不成等比数列也不成等差数列 3．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A .
172 B ．3 C . 5 D .92
4．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2
＝ax(a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x
5．设直线l 1：y ＝2x ，直线l 2经过点P(2,1)，抛物线C ：y 2＝4x ，已知l 1、l 2与C 共有三个交点，则满足条件的直线l 2的条数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．过抛物线y 2＝ax (a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分
别为p 、q ，则1p ＋1
q 等于( )
A ．2a
B .12a
C ．4a
D .4
二、填空题
7．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P(2，2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．
8．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M(2,2)，则△ABF 的面积等于________．
9．过抛物线x 2＝2py (p>0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两
点(点A 在y 轴的左侧)，则|AF|
|FB|
＝________.
三、解答题
10．设抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．
11．过点Q(4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，恰被Q 所平分，求AB 所在的直线方程．
能力提升
12．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|等于()
A．4 3 B．8 C．8 3 D．16
13.
已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．
1．抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离．
2．直线与抛物线的位置关系，可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解来判定；“中点弦”问题也可使用“点差法”．
2.4.2抛物线的简单几何性质
知识梳理
1．(1)x≥0右增大(2)x轴抛物线的轴(3)顶点坐标原点(4)离心率1(5)p
p 2
2．k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0 两 一 没有 平行或重合 一
3．(1)相切 (2)2(x 0＋p 2) (3)p (4)p 2
4
－p 2
作业设计
1．B [由题意知所求抛物线开口向上或开口向左，利用待定系数法可求得方程．] 2．A [设三点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，
则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，y 2
3＝2px 3，
因为2y 22＝y 21＋y 23，所以x 1＋x 3＝2x 2
， 即|P 1F |－p 2＋|P 3F |－p
2＝2⎝
⎛⎭⎫|P 2F |－p 2， 所以|P 1F |＋|P 3F |＝2|P 2F |.] 3．A [
如图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－1
2
的距离d 等于点P 到焦点的距离|PF |.
因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P
到点F 的距离之和，其最小值为点M (0,2)到点F ⎝⎛⎭⎫
12，0的距离，则距离之和的最小值为
4＋14＝172
.] 4．B [y 2＝ax 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝
0得y ＝－a
2
.
∴12×|a |4×|a |
2
＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8.] 5．C [∵点P (2,1)在抛物线内部，且直线l 1与抛物线C 相交于A ，B 两点，∴过点P 的直线l 2在过点A 或点B 或与x 轴平行时符合题意．∴满足条件的直线l 2共有3条．]
6．D [可采用特殊值法，设PQ 过焦点F ⎝⎛⎭⎫a 4，0且垂直于x 轴，则|PF |＝p ＝x P ＋a 4＝a 4＋a 4
＝a 2
， |QF |＝q ＝a 2，∴1p ＋1q ＝2a ＋2a ＝4
a
.]
7．y 2＝4x
解析 设抛物线方程为y 2＝ax .将y ＝x 代入y 2＝ax ，
得x ＝0或x ＝a ，∴a
2
＝2.∴a ＝4.
∴抛物线方程为y 2＝4x . 8．2
解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 2
2＝4x 2. ∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．
∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4
y 1＋y 2
＝1.
∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 将其代入y 2＝4x ，得A (0,0)、B (4,4)．
∴|AB |＝4 2.又F (1,0)到y ＝x 的距离为2
2
，
∴S △ABF ＝12×2
2
×42＝2.
9.13
解析 抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，则直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2
， 由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
＝2py ，
y ＝33x ＋p 2，
消去x ，得12y 2－20py ＋3p 2＝0， 解得y 1＝p 6，y 2＝3p 2
.
由题意可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义，
可知|AF |
|FB |＝y 1＋p 2y 2＋p 2＝p 6＋
p 23p 2＋
p 2
＝13
.
10．解 由y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2＝1
m
y ，
其准线方程为y ＝－1
4m
.
由题意知－14m ＝－2或－1
4m ＝4，
解得m ＝18或m ＝－1
16
.
则所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y . 11．解 方法一 设以Q 为中点的弦AB 端点坐标为 A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则有y 21＝8x 1，① y 22＝8x 2，②
∵Q (4,1)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2.③
①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．④ 将③代入④得y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，
即4＝y 1－y 2
x 1－x 2
，∴k ＝4.
∴所求弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0. 方法二 设弦AB 所在直线方程为y ＝k (x －4)＋1.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝8x ，y ＝k (x －4)＋1，
消去x ， 得ky 2－8y －32k ＋8＝0，
此方程的两根就是线段端点A 、B 两点的纵坐标，由根与系数的关系和中点坐标公式，
得y 1＋y 2＝8
k
，又y 1＋y 2＝2，∴k ＝4.
∴所求弦AB 所在的直线方程为4x －y －15＝0. 12.
B [如图所示，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，与准线方程x ＝－2联立得A (－2,43)． 设P (x 0,43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6， ∴|PF |＝x 0＋2＝8，选B.]
13．解 由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
分别过A 、B 作准线的垂线，垂足为A ′、B ′.
(1)由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1＋p
2
，
从而x 1＝4－1＝3.
代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3. ∴点A 的坐标为
(3,23)或(3，－23)． (2)当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．
与抛物线方程联立⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －1)
y 2＝4x ，
消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 因为直线与抛物线相交于A 、B 两点，
则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2＋4
k
2.
由抛物线的定义可知，
|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4
k
2>4.
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A (1,2)，B (1，－2)，此时|AB |＝4，
所以，|AB |≥4，即线段AB 的长的最小值为4.
小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？
自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

在中学阶段，至关重要！！以学生作为学习的主体，学生自己做主，不受别人支配，不受外界干扰通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知识与技
能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式。

如何培养中学生的自主学习能力？
01学习内容的自主性
1、以一个成绩比自己好的同学作为目标，努力超过他。

2、有一个关于以后的人生设想。

3、每学期开学时，都根据自己的学习情况设立一个学期目标。

4、如果没有达到自己的目标，会分析原因，再加把劲。

5、学习目标设定之后，会自己思考或让别人帮助分析是否符合自己的情况。

6、会针对自己的弱项设定学习目标。

7、常常看一些有意义的课外书或自己找(课外题)习题做。

8、自习课上，不必老师要求，自己知道该学什么。

9、总是能很快选择好对自己有用的学习资料。

10、自己不感兴趣的学科也好好学。

11、课堂上很在意老师提出的重点、难点问题。

12、会花很多时间专攻自己的学习弱项。

02时间管理
13、常常为自己制定学习计划。

14、为准备考试，会制定一个详细的计划。

15、会给假期作业制定一个完成计划，而不会临近开学才做。

16、常自己寻找没有干扰的地方学习。

17、课堂上会把精力集中到老师讲的重点内容上面。

18、做作业时，先选重要的和难一点的来完成。

19、作业总是在自己规定的时间内完成。

20、作业少时，会多自学一些课本上的知识。

03 学习策略
21、预习时，先从头到尾大致浏览一遍抓住要点。

22、根据课后习题来预习，以求抓住重点。

23、预习时，发现前面知识没有掌握的，回过头去补上来。

24、常常归纳学习内容的要点并想办法记住。

25、阅读时，常做标注，并多问几个为什么。

26、读完一篇文章，会想一想它主要讲了哪几个问题。

27、常寻找同一道题的几种解法。

28、采用一些巧妙的记忆方法，帮助自己记住学习内容。

29、阅读时遇到不懂的问题，常常标记下来以便问老师。

30、常对学过的知识进行分类、比较。

31、常回忆当天学过的东西。

32、有时和同学一起“一问一答”式地复习。

33、原来的学习方法不管用时，马上改变方法。

34、注意学习别人的解题方法。

35、一门课的成绩下降了，考虑自己的学习方法是否合适。

36、留意别人好的学习方法，学来用用。

37、抓住一天学习的重点内容做题或思考。

38、不断试用学习方法，然后找出最适合自己的。

04学习过程的自主性
39、解题遇到困难时，仍能保持心平气和。

40、在学习时很少烦躁不安。

41、做作业时，恰好有自己喜欢的电视节目，仍会坚持做作业。

42、学习时有朋友约我外出，会想办法拒绝。

43、写作文或解题时，会时刻注意不跑题。

44、解决问题时，要检验每一步的合理性。

45、时时调整学习进度，以保证自己在既定时间内完成任务。

05学习结果的评价与强化
46、做完作业后，自己认真检查一遍。

47、常让同学提问自己学过的知识。

48、经常反省自己一段时间的学习进步与否。

49、常常对一天的学习内容进行回顾。

50、考试或作业出现错误时，仔细分析错误原因。

51、每当取得好成绩时，总要找一找进步的原因。

52、如果没有按时完成作业，心里就过意不去。

53、如果因贪玩而导致成绩下降，就心里责怪自己。

54、考试成绩不好的时候，鼓励自己加倍努力。

06学习环境的控制
55、总给自己树立一个学习的榜样。

56、常和别人一起讨论问题。

57、遇到问题自己先想一想，想不出来就问老师或同学。

58、自己到书店选择适合自己的参考书。

59、常到图书馆借阅与学习有关的书籍。

60、经常查阅书籍或上网查找有关课外学习的资料。