§7-3 区间估计

S S X tα / 2 ( n 1) , X tα / 2 ( n 1) n n
二．正态总体均值与方差的置信区间
S S X tα / 2 ( n 1) , X tα / 2 ( n 1) n n
例题 1
有一大批糖果。现从中随机地取16袋，称得重量 （以克计）如下：
称随机区间 X 1.96 15 , X 1.96 15

为未知参数 的置信度为0.95的置信区间.
置信区间的意义
反复抽取容量为5的样本,都可得一个
区间,此区间不一定包含未知参数 的真
值, 而包含真值的区间占95%. 若测得 一组样本值, 算得 x 1.86 则得一区间 (1.86 – 0.877, 1.86 + 0.877) 它可能包含也可能不包含 的真值, 反复 抽样得到的区间中有95%包含 的真值.
注 记
（2）概率等式
确定方法： ◆ 当 W 的分布为对称时，可取 a = - b ，使得
Pa W b 1 中 a, b 的 α
P b W b 1 α
此时，b 为随机变量 W 的 上 /2 分位点。 ◆ 当 W 的分布为非对称时，可取a, b ，使得
P a α / 2 W
( n 1) S 2 , 2 χ ( n 1) α/2
( n 1) S
( n 1) S 2 χ1α / 2 (n 1)
2
χ
2 α/2
,
( n 1)
( n 1) S 2 χ1α / 2 (n 1)
P b α / 2 W
此时，b 为随机变量 W 的 上 /2 分位点，
a 为随机变量 W 的 上1 - /2 分位点。
二．正态总体均值与方差的置信区间
问题 2
设总体 X ～ N( ， ² )，其中 与 ² 0 >
均未知， ( X1, X2, …, Xn ) 是抽自总体 X 的样本，试 求参数 的置信水平为 1- 的置信区间。
. ( X1, X2, …, Xn )是抽自总体 X 的一个样本.
θ θ ( X 1 , X 2 , , X n )、θ θ ( X 1 , X 2 , , X n )
为两个统计量，满足 θ θ ，用 (θ , θ ) 去估 计参数 真值可能存在的范围，称为 的区间 估计。
-2 z1
-1
z 2 2
3
区间的长度达到最短
3
二．正态总体均值与方差的置信区间
问题 1
设总体 X ～ N( ， ² )，其中 ² >0已知， 未知，( X1, X2, …, Xn ) 是抽自总体 X 的样本，试 求参数的置信水平为 1- 的置信区间。
σ σ zα / 2 , X zα / 2 X n n
一．区间估计的概念
引例 已知 X ~ N ( ,1),
的无偏、有效点估计为
常数
X
随机变量
不同样本算得的 的估计值不同，因此
除了给出 的点估计外, 还希望根据所给的 样本确定一个随机区间, 使其包含参数真值 的概率达到指定的要求.
一．区间估计的概念
区间估 计
设总体X ~F ( x; ), ,其中参数 未知,
的长度
L
2σ n
zα / 2
反映了此区间估计的精度, 它与 ,n , 等有关.
二．正态总体均值与方差的置信区间
求置信区间的方法
（1）寻求一个样本( X1, X2, …, Xn )的函数： W=W( X1, X2, …, Xn ; ) ▲ W 只包含待估参数 ，而不含其它未知参数。 ▲ W 的分布已知且不依赖于任何未知参数。 （当然不依赖于待估参数 ） （2）对于给定的置信水平1- ，定出两个常数a,b，使
2 2 σ12 σ 2 σ12 σ 2 X Y zα / 2 ，X Y zα / 2 . n1 n2 n1 n2
二．正态总体均值与方差的置信区间
问题 5
设总体 X ～ N( 1，1² )，Y ～ N( 2，2² )，其中
1² 2² ² 0未知， 1 和 2 未知， ( X1, X2, …, Xn1 ) = = >
§7-3
区间估计
一．区间估计的概念
二．正态总体均值与方差的置信区间
三．（0-1）分布参数的置信区间 四．单侧置信区间
一． 区间估计的概念
有了点估计，为什么还要引入区间估计？ 什么是区间估计？
如何寻找一个“好”的区间估计？
一．区间估计的概念
估计未知参数θ 的另一种方法，是指出它 以很大的概率所处的范围，一般为数轴上的一 个区间。 例如，估计一批产品的不合格品率等于
差相等。求两总体均值差的一个置信水平为0.95的置信
区间。
P{θ θ θ} 1 α 则称随机区间 (θ , θ ) 是 的置信水平 为1- 的置信区间， θ 和 θ 分别称为置信水平为 1- 的双侧置信区间的置信下限
和置信上限，1- 称为置信水平。
一．区间估计的概念
注 记
（1） 置信水平 1- 表达了置信区间的可靠程度。 置信区间的长度的均值 E (θ θ ) 表达了置信区间 的精确程度。
取=0.50， 我们也可以 给出100个这 样的区间， 由图可以看 出，这100个 区间中有50 个包含参数 真值15，另 外50个不包 含参数真值。
如引例中，要找一个区间,使其包含 的真 值的概率为0.95. ( 设 n = 5 )
1 X ~ N 0 , 1 X ~ N , 1 5 5
和 ( Y1, Y2, …, Yn2 )是分布抽自总体 X 和 Y 的样本，并 且相互独立。试求参数 1 - 2 的置信水平为 1- 的
置信区间。
1 1 1 1 X Y tα / 2 ( n1 n2 2) S w ，X Y t α / 2 ( n1 n2 2) S w n1 n2 n1 n2
置 信 区 间 的 频 率 解 释
的置信水平为0.90的置信区间
由图可以 看出，这 100个区间 中有91个 包含参数 真值15， 另外9个不 包含参数 真值。
计算机模拟产生正态总体N(,2 )，未知参数(真实值为15) 的置信区间
置 信 区 间 的 频 率 解 释
的置信水平为0.50的置信区间
二．正态总体均值与方差的置信区间
例题 2
( n 1) S ( n 1) S 2 χ1α / 2 (n 1)
χ
2 α/2
,
( n 1)
有一大批糖果。现从中随机地取16袋，称得重量 （以克计）如下：
506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似服从正态分布，试求总体标准 差的置信水平为0.95的置信区间。
Pa W b 1 α
（3）利用不等式的同解变形，求得未知参数的置信水平
为 1- 的置信区间。
a W b
θ θ θ
二．正态总体均值与方差的置信区间
注 记
ˆ （1） 通常从 的一个点估计 θ 出发构造 W ：
ˆ W W (θ )
（枢轴变量法）
二．正态总体均值与方差的置信区间
506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似服从正态分布，试求总体均值 的置信水平为0.95的置信区间。
二．正态总体均值与方差的置信区间
问题 3
设总体 X ～ N( ， ² )，其中 与 ² 0均未知，( X1, X2, …, Xn)是抽自总体 X > 的样本，试分别求参数 ² 的置信水平 和 为 1- 的置信区间。
取
0.05 查表得
z / 2 1.96
这说明
X P 1.96 0.05 1 5
X P 1.96 0.05 1 5
X 1.96 1 X 1.96 1 0.95 P 5 5
一．区间估计的概念
置信区间
设总体X ~ F ( x; )， X2, …, Xn ) 是抽自总体 X 的一个样本。如
果对给定的 （0 < < 1），存在两个统计量
θ θ ( X 1 , X 2 , , X n )、 θ θ ( X 1 , X 2 , , X n ) 满足
二．正态总体均值与方差的置信区间
问题 4
设总体 X ～ N( 1，1² )，Y ～ N( 2，2² )，其 中 1² 0，2² 0 均已知， 1 和 2 未知， ( X1, > > X2, …, Xn1 ) 和 ( Y1, Y2, …, Yn2 )是分布抽自总体 X 和 Y 的样本，并且相互独立。试求参数 1 - 2 的置信水平 为 1- 的置信区间。
（2）满足关系式 P{θ θ θ} 1 α 的置信区间 不是唯一的。 （3）求置信区间的基本思想： 在保证区间估计的可靠程度达到一定要求 的前提下，尽量使区间估计的精确程度提高。
（4）概率等式的频率解释
P{θ θ θ} 1 α
计算机模拟产生正态总体N(,2 )，未知参数(真实值为15) 的置信区间
1.75%, 不如“不合格品率不超过2%”的估计更 有参考价值；估计到2050年底我国人口是n个 人，不如到2050年底我国人口“不超过n”或 “介于m和k之间”的估计更有参考价值。 估计未知参数的这种方法就是区间估计法