20-广义积分 (1)

函数 f (x) 的一个瑕点.
例如：
x
a是
f
( x)
1 的一个瑕点； xa
x 1 是 g(x) ln(1 x2 ) 的瑕点.
x a 是 h(x)
1 的瑕点. x2 a2
(2) 瑕积分的概念
设 f (x) 在 (a, b] 上有定义 , x a 为其瑕点.
若 0 , f (x) R( [a , b] ) , 记
(2) f (x) d x c f (x) d x f (x) d x c R .
a
a
c
(3) [ f (x) g(x)]d x f (x) d x g(x) d x .
a
a
a
(4)
u(x)v(x) d x
a
u(x)v(x)
a
u(x)v(x) d x .
例1
计算 x ex2 d x . 0
解
x ex2 d x lim A x ex2 d x
0
A 0
令 u x2
lim
A
1 2
A2 eu d u
0
lim
A
1 2
(eu
)
A2 0
lim (
A
1 eA2 2
1 2
)
1 2
.
能否将这里的书 写方式简化？
为书写方便起见，若 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，则约定
1
x2 )
0
lim
x
1 2
ln( 1
x2
)
0
,
故积分
x 0 1 x2
d
x
发散 .
例5
计算 cos x d x . 0
解
cos x d x sin x 0
0
lim sin x sin 0 , x
由于 lim sin x 不存在，故原积分 cos x d x 发散 .
f (x)d x F(x) a
0
lim
x
F
(x)
F
(a)
.
b f (x)d x F(x)
b
F
(b)
lim
x
F
(x)
.
f (x)d x F(x)
lim
x
F
(x)
lim
x
F ( x)
.
这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了.
例2
计算
d 0 1
x x2
.
解
d 0 1
若式中的极限存在，则称此无穷积分收敛，极限值
即为无穷积分值；若式中的极限不存在，则称该无穷积
分发散 .
类似地可定义：
(1) b f (x) d x lim b f (x) d x (B b) .
B B
(2) f (x) d x c f (x) d x f (x) d x
c
lim c f (x) d x lim A f (x) d x .
a
0 a
(2) 当x c (a c b) 为瑕点时 ,
b f (x) d x c f (x) d x b f (x) d x
a
a
c
lim c f (x) d x lim b f (x)dx ,
0 a
0 c
仅当 c f (x) d x 与 b f (x) d x 同时收敛时, b f (x) d x 才收敛 .
x
0
例5
讨论 P－积分
d x a xp
(a 0) 的敛散性，
其中P 为任意常数 .
解 当 P 1 时:
a
dx x
ln
|
x
|
a
lim ln | x | ln a , x
故 p 1 时，P 积分发散 .
当 P 1 时:
a
dx x
x1 p 1 p
,
a
a 1 p , p 1
a
(5) 无穷积分也可按照定积分的换元法进行计算 .
(6) 若在[a, ) 上 f (x) g(x) , 则 f (x) d x g(x) d x .
a
a
二、瑕积分 ——无界函数的广义积分
1. 瑕积分的概念
(1) 瑕点的概念
0，若函数 f (x) 在 Uˆ (x0 , )内无界，则称点 x0 为
我们将运用极限的方法来完成这个工作.
一、无穷积分 —— 无穷区间上的广义积分
1. 无穷积分的概念
设函数 f (x) 在[a, ) 上有定义 .
A R , A a , 且 f (x) R( [a, A] ) . 记
f (x) d x lim A f (x) d x ,
a
A a
称之为 f (x) 在[a, ) 上的无穷积分 .
a
c
a
c f (x) d x 与 b f (x) d x 至少有一个发散时, b f (x) d x 发散 .
B B
A c
若 c f (x) d x 与 f (x) d x 同时收敛，则称 f (x) d x 收敛 .
c
若 c f (x) d x 与 f (x) d x 至少有一个发散, 则 f (x) d x 发散 .
c
百度文库
对 f (x) d x 而言，由定积分对区间的可加性，
显然其收敛性 与 c 值无关. 为方便起见，通常取 c 0 .
x x2
arctan
x
0
lim arctan x arctan 0 x
2
.
例3
计算
d 1
x x2
.
解
d x
1 x2
arctan
x
lim arctan x lim arctan x
x
x
2
(
2
)
y
1
.
O
x
例4
计算
x 0 1 x2
d
x
.
解
x
0 1 x2
dx
1 2
ln(
p 1, 发散 p 1. 收敛
综上所述，
P－积分
d x a xp
(a 0)
P 积分当 p 1 时收敛；当 p 1 时发散 .
2. 无穷积分的基本运算性质
设以下所有出现的积分均存在，则
(1) f (x) d x a f (x) d x .
a
其它类型的无穷 积分的情形类似 于此.
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
广义积分
主讲:邹为
第五节 广义积分 一、无穷区间上的积分 二、瑕积分
我们前面讨论的积分是在有限区间上的有界 函数的积分. 在科学技术和工程中，往往需要计 算无穷区间上的积分或者计算不满足有界条件的 函数的积分，有时还需计算不满足有界条件的函 数在无穷区间上的积分. 这就需要我们将定积分 的概念及其计算方法进行推广.
b f (x) d x lim b f (x) d x ,
a
0 a
称之为函数 f (x) 在[a, b] 上的瑕积分 .
若式中极限存在 , 则称该瑕积分收敛 , 极限值即 为瑕积分值 ; 若式中极限不存在 , 则称该瑕积分发散 .
类似地，可定义
(1) 当x b 为瑕点时 ,
b f (x) d x lim b f (x) d x .