20-广义积分 (1)
无穷限广义积分的计算(1)
指导教师：陈一虎作者简介：陈雪静(1986-),女,陕西咸阳人，数学与应用数学专业2008级专升本1班．无穷限广义积分的计算陈雪静（宝鸡文理学院 数学系,陕西 宝鸡 721013）摘 要: 文章归纳总结了利用数学分析、复变函数、积分变换、概率论统计理论等知识计算无穷限广义积分的几种方法.在学习中运用这几种方法可开拓视野,激发学习数学的兴趣.关键词: 广义积分;收敛;计算方法广义积分是《高等数学》学习中的一个难点知识,广义积分的概念不仅抽象,而且计算方法灵活,不易掌握.广义积分包括两大类,一类是积分区间无穷型的广义积分,另一类是积分区间虽为有穷,但被积函数在该区间内含有有限个无穷型间断点（瑕点）的广义积分.一般的判别法是对积分区间无穷型的广义积分,先将积分限视为有限的积分区间按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,在用此极限去判定原积分是否收敛.对于第二类广义积分,我们可将积分区间改动,使被积函数在改动后的积分区间内成为有界函数再按常义积分处理,求出原函数之后考查它在原积分区间上的极限是否收敛.但是有些被积函数的原函数不易求出或无法用初等函数表示,使得广义积分无法用常规方法计算,因此需寻求其它的计算方法.本文主要研究无穷限广义积分的计算方法,主要方法包括利用广义积分定义、参量积分、变量代换、二重积分、留数定理、级数展开、概率论知识以及拉普拉斯变换等方法.1 无穷限广义积分的定义定义1 设函数()f x 在区间[,)a +∞上连续,取t a >.如果极限lim ()d tat f x x →+∞⎰存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分（也称作广义积分）,记作()d af x x +∞⎰,即()d af x x +∞⎰=lim ()d tat f x x →+∞⎰;这时也称反常积分()d a f x x +∞⎰收敛;如果上述极限不存在,函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分()d af x x +∞⎰就没有意义,习惯上称为反常积分()d af x x +∞⎰发散,这时记号()d af x x +∞⎰不再表示数值了.类似地,设函数()f x 在区间(,]b -∞上连续,取t b <. 如果极限lim ()d btt f x x →-∞⎰存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间(,]b -∞上的反常积分,记作()d b f x x -∞⎰,即()d bf x x -∞⎰=lim ()d btt f x x →-∞⎰;这时也称反常积分()d b f x x -∞⎰收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分()d bf x x-∞⎰发散.设函数()f x 在无穷区间(,)-∞+∞内连续,如果广义积分()d cf x x -∞⎰和()d cf x x +∞⎰（c 为常数）都收敛,则称上述两个反常积分之和为函数()f x 在无穷区间(,)-∞+∞内的广义积分,记作()f x dx +∞-∞⎰,即()d f x x +∞-∞⎰=()d cf x x -∞⎰+()d cf x x +∞⎰=lim ()d ctt f x x →-∞⎰+lim ()d tct f x x →+∞⎰这时也称广义积分()d f x x +∞-∞⎰收敛;否则就称反常积分()d f x x +∞-∞⎰发散.上述反常积分统称为积分区间为无穷区间的广义积分或无穷限广义积分.2 无穷限广义积分的计算方法2.1利用广义积分的定义求无穷限广义积分由定义计算可以分两步:1求定积分()d Aaf x x ⎰=()F A .需要说明的是原函数()F A 均指有限形式.2取极限lim ()d AaA f x x →+∞⎰=lim A →+∞()F A .例1［1］计算23121()d 1x x x+∞++⎰解 =23121lim()d 1bb x x x →+∞++⎰231121lim[d d ]1bb b x x x x →+∞=++⎰⎰2111l i m [2a r ct a n ]2bbb x x→+∞=-211lim[2arctan arctan1]22b b b →+∞=--+2π11lim 2arctan lim 222b b b b →+∞→+∞=--+ π122=+ 2.2利用含参量积分的理论求无穷限广义积分含参量积分:10()e d s x s x x +∞--Γ=⎰（0s >）1110(,)(1)d p q p q x x x --B =-⎰ （0,0p q >>）统称为欧拉积分.其中()s Γ称为格马函数.(,)p q B 称为贝塔函数.且有递推公式(1)()s s s Γ+=Γ 及 1(,)(,1)1q p q p q p q -B =B -+-.因此在计算广义积分时看所给广义积分当,,s p q 为何值时对应的欧拉积分,然后用欧拉积分公式直接算出广义积分的值.例2［5］ 求220e d n x x x +∞-⎰（n 为正整数）解 此广义积分与表达式相似,因此可用Γ函数法求解.220e d n x x x +∞-⎰=limA →+∞220ed An x x x -⎰2t x=21201lim e d 2A n t A t t --→+∞⎰=12112e d n t t t +∞+--⎰==121()2n Γ+=121[()1]2n Γ-+ =121()2n -1()2n Γ-=121()2n -3()2n -3()2n Γ-注:1()2Γ=2.3利用变量代换法求无穷限广义积分有些函数的原函数不易求出或直接积分不出来,但如果对被积函数施以变量代换,在辅以一定的技巧就可以求出这类积分.作变量带换时,首先要对被积函数的结构进行分析,然后再看积分限与被积函数的关系.变换的方向是求出原函数或求出一个含原积分的方程,从而求得所含广义积分的值.例3［2］ 求I=401d 1x x +∞+⎰解 令x=1t ,则I=204d d 11t t x t+∞-+⎰上式加上I=04d 11t t +∞+⎰ 得2I=2401d 1t t t +∞++⎰=202211d 1t t t t +∞++⎰=021d()1()2t t t t +∞--+⎰arctan故2.4利用二重积分理论计算无穷限广义积分.利用二重积分理论计算广义积分时,应分两步: 1把广义积分巧妙的化为一个二重积分.2计算二重积分,从而间接的计算出广义积分的值. 例4［5］计算广义积分2ed x x +∞-⎰解 由于20ed x x +∞-⎰=2e d y y +∞-⎰所以22[ed ]x x +∞-⎰=22ed ed x y x y +∞+∞--⋅⎰⎰而22e d e d x y x y +∞+∞--⋅⎰⎰=22()e d d xy Dx y -+⎰⎰ 其中D=[0,)[0,)∞⨯∞故()22ed x x +∞-⎰=22()e d d x y Dx y -+⎰⎰而22()e d d xy Dx y -+⎰⎰=π42ed x x +∞-⎰=2. 例5［3］计算广义积分I=0sin sin e d pxbx axx x+∞--⎰ 解 因为sin sin bx ax x-=cos()d ba xy y ⎰ 所以I=0sin sin e d px bx ax x x+∞--⎰=0e (cos()d )d bpx axy y x +∞-⎰⎰=0d e cos()d b px ax xy y +∞-⎰⎰=0d e cos()d b px ay xy x +∞-⎰⎰=22d bap y p y +⎰=arctan b p -arctan ap. 2.5积分号下求导法计算无穷限广义积分.收敛因子法:此方法是对被积函数引入一个收敛因子,因子中有一个参数, 对参数（不一定是收敛因子中的参数）求导,有时可求得原积分的值.在此情况下引入的收敛因子加强了原积分的收敛性（如条件收敛的成为绝对收敛,或求导后发散的,变成一致收敛）.这样使积分号下求导条件得以满足.一般采用e kx -（k>0)作为收敛因子.例65］求积分0sin d axx x+∞⎰(0a ≥) 解 引入积分因子e px -（p >0)作积分()F p =0sin e d px axx x+∞-⎰ ()F p '=0e cos d px ax x +∞-⎰=22pp a+ 故 ()F p = arctana p +C =arctan ap(显然C =I(0)=0)由此有 0l i m a r c t a n p a p +→=π2所以 I=π2 故同样可得 0sin d ax x x +∞⎰=-π2(0)a < 2.6积分号下求积分法算无穷限广义积分这种方法是将被积函数中某一因子表为一个适当的积分.于是将原积分化成二次积分.交换这两个积分的顺序,就可求出所给的积分.例7［2］求积分I=2cos d 1xx x β+∞+⎰(0)β> 解 由201e sin d 1xy y y x+∞-=+⎰,于是 I=0cos d e sin d xy x x y y β+∞+∞-⋅⎰⎰=0sin d e cos d xy y y x x β+∞+∞-⋅⎰⎰=22sin d y yy yβ+∞+⎰y tβ==2sin d 1t tt t β+∞+⎰由20d sin d d 1I x x x x ββ+∞=-+⎰,有d d Iβ=I - 所以 I =C e β-为了确定C ,令0β=. 得 020d π12x I C x +∞===+⎰故πe 2I β-=.2.7利用复变函数理论中的留数定理计算无穷限广义积分.定理1［5］ 设函数()f z 在实轴上处处解析,在上半平面Im 0z >除有限个孤立奇点1,2z z ⋅⋅⋅n z 外处处解析,且存在常数00R >,0M >,0δ>,使得当0z R >,且Im 0z >时, 1()M f z zδ+≤,则1()d 2πi [(),]nk k f x x Res f z z +∞-∞==∑⎰推论 1［5］设()()()P z f z Q z =是有理函数,()P z 与()Q z 为z 的n ,m 次多项,多项式()Q z 的次数比()P z 至少高2次,()Q z 在实轴上没有零点,1,2z z ⋅⋅⋅n z 是()f z 在上半平面Im 0z >的孤立奇点,则1()d 2πi [(),]nk k f x x Res f z z +∞-∞==∑⎰例84］计算广义积分22222d ()()x x x a x b +∞-∞++⎰解 因为22222()()()z f z z a z b =++,显然()f z 满足推论的条件,且1z =i a ,2z =i b 是()f z 在上半平面的孤立奇点,这两个点都是()f z 的一级极点,因此有22222ai Re [(),i]lim[(i)]()()z z s f z a z a z a z b →=-++ 2222i()a ab a -=-222i()aa b =- 同理Re [(),i]s f z b =222i()bb a -故22222d ()()x x x a x b +∞-∞++⎰=2πi [222()a i a b -+222()bi b a -] =πa b+ 2.8级数展开法求广义积分例92］ 求积分I=20e cos 2d x bx x +∞-⎰解 利用余弦函数的幂级数展开以及指数函数的展开式0e !nxn x n ∞==∑ (2)!2!(21nn n n =⋅-我们有2ecos 2d x bx x +∞-⎰=22200(1)(2)ed (2)!n n x n n b x x n ∞+∞-=-∑⎰=22200(1)(2)e d (2)!n n x nn b x x n ∞+∞-=-∑⎰=0n ∞=20()2!nn b n ∞=-∑2b - 例10［5］ 计算广义积分1ln d (1)xx x x +∞-⎰. 解 由于1ln d (1)xx x x +∞-⎰=211n n∞=-∑ 而211n n∞=∑=2π6 故原式=-2π6. 利用无穷级数计算广义积分也是常用的一种技巧.常有两种方法. 其一是将被积函数展成级数以求积分;其二是将无穷区间上的广义积分表示成级数的形式以求积分.2.9利用概率统计知识求无穷限广义积分.例11［5］ 计算广义积分I=0sin sin e d pxbx axx x+∞--⎰. 解因为22()x f x -=为标准的正态分布密度函数所以()d f x x +∞-∞⎰= 1.即22d x x +∞--∞⎰=1.所以221d 2x x +∞-=⎰即22ed x x +∞--∞⎰令222x u -=⇒u =⇒2e d u u +∞-⎰22ed x x +∞-2.10用拉普拉斯变换求无穷限广义积分定义2［6］设()f t 在0t ≥上有定义,且积分0()()e d st F s f t t +∞-=⎰（s 是复变参量）关于某一范围内的s 收敛,则由这个积分确定的函数0()()e d st F s f t t +∞-=⎰称为函数()f t 的拉普拉斯变换.并记做[()]L f t ,即[()]L f t =0()()e d st F s f t t +∞-=⎰,其中的()F s 称为()f t 的像函数,()f t 称为()F s 的像原函数.定理 2［5］ (Laplace 变换存在定理) 设函数()f t 在0t ≥的任何有限区间内分段连续,并且当t →+∞时, ()f t 的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数0M >,和00s >,使得在[0,]+∞上,0()e s t f t M ≤,则在半平面0Re s s >上,[()]L f t 存在,且()F s =[()]L f t 是s 的解析函数.其中0s 称为()f t 的增长指数.性质1［1］（积分性质）若[()]()L f t F p =,则0()[()d ]tF p L f t t p=⎰（p 为复数） （1）性质2［1］(终值性质) 若[()]()L f t F p =,且()p F p 的所有奇点全在p 平面的部0lim ()lim ()t p f t p F p →+∞→=⋅ （2）性质3［1］若[()]()L f t F p =,()F p 在Re 0p >上解析,且()d n t f t t +∞⎰收敛,则0(1)lim ()n n p F p →-存在,且 0(1)l i m ()()d nnn p F p t f t t +∞→-=⎰（3） 证明 [()]()L f t F p = 由微分性知 ()n F p =[()()]n L t f t -[()]n L t f t =(1)()n n F p - 由性质1 0(1)()[()d ]n n t nF p L t f t t p-=⎰所以由性质2 00(1)()lim[()d ]lim n n t nt p F p t f t t p→+∞→-=⎰即 0()d n t f t t +∞⎰=0(1)lim ()n n p F p →-特别的,0n =时,有()d lim ()p f t t F p +∞→=⎰. （4）性质4［1］（象函数的积分性质）若[()]()L f t F p =,且积分()d F p p ∞⎰收敛()[]()d p f t L F p p t∞=⎰. （5）性质 5［1］ 设[()]()L f t F p =,且()d F p p ∞⎰与0()d f t t t∞⎰皆收敛,则 0()()d d f t F p p t t∞∞=⎰⎰（6） 证明 由（5）式,()[]()d p f t L F p p t∞=⎰ 由（4）式,()d f t t t∞⎰=0lim ()d p p F p p ∞→⎰()d F p p ∞=⎰例12［4］求sin ()tf t t =的拉普拉斯变换,并求积分0sin d t t t+∞⎰.解 由定理2,因为0()1e f t ≤⋅,故在s 的实部大于零上, 拉普拉斯变换存在,且esin d stt t ω+∞-⎰=22e [sin cos ]st s t t s ωωωω---+=22s ωω+ 于是 22[sin ]L t s ωωω=+ （在s 的实部大于零） 那么 2s i n 1[]1t L t s =+ 由命题4知 s i n []t L t =21d 1s s s +∞+⎰=πarctan 2s - 在利用命题5知 0s i n d t t t +∞⎰=201d 1s s +∞+⎰=π2. 例13［6］ 计算下列积分30e sin d t t t t +∞-⎰解 21[s i n ]1L t s =+,由微分性质知,22212[sin ]()1(1)s L t t s s '=-=++ 但是另一方面 0[s i n ]s i n e st L t t tt dt +∞-=⋅⎰ 当3s =时,即30e sin d t t t t +∞-⎰=2232(1)s s +=350 致谢：本文在写作过程中得到陈一虎老师的指导.在此表示感谢！参考文献: [1] 白水周.无穷限广义积分的几种有效解法[J].开封大学学报,2000,14(1):49-50.[2] 李绍成.论广义积分的计算[J].绵阳农专学报:自然科学版,1996,13(2):65-70.[3] 数学分析.华东师范大学数学系[M].高等教育出版社,2001．[4] 宋叔尼,孙涛.复变函数与积分变换[M].北京:科学出版社,2006.[5] 刘开生,杨钟玄.无穷限广义积分的几种计算方法[J].天水师范学院学报:自然科学版,2002,22(2):9-10.[6] 盖云英,包革军.复变函数与积分变换学习指导[M].科学出版社,2004.Ways of calculating limitless generalized integralCHEN Xue-Jing(Department of Mathematic,Baoji University of Arts and Science Baoji 721013,Shaanxi ,China) Abstract: ways of calculating generlazed integral are given by using maths analysis,complex variable and integral transform, complex function and proabability statistical theroy. In the study the use of these methods can broaden their horizons, stimulate interest in learning mathematics.Key words:generalized integration; convergence; calculation method.。
§1广义积分的概念与计算
§1广义积分的概念与计算广义积分是微积分中的一个重要概念，它是对一些函数在一个区间上的积分的推广。
在数学中，广义积分是利用极限的概念来计算一些函数在无界区间上的积分。
广义积分的计算方法有多种，下面将详细介绍广义积分的概念以及常用的计算方法。
1.广义积分的定义广义积分的定义是通过极限来定义的。
设函数f(x)在区间[a, +∞)上有界，则称函数f(x)在区间[a, +∞)上的广义积分为广义积分，记作∫(a, +∞) f(x)dx，定义如下：∫(a, +∞) f(x)dx = lim R->+∞ ∫(a, R) f(x)dx其中，R是一个无穷大的数。
广义积分存在的条件是收敛，即极限存在时，广义积分收敛，否则称为发散。
2.广义积分的计算方法计算广义积分的方法有多种，下面将介绍几种常用的方法。
2.1.利用分部积分法分部积分法是一种常用的求解广义积分的方法，它是通过对被积函数进行适当的分解和对积分符号的操作来求解广义积分。
基本的分部积分公式为：∫ u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫ v(x)u'(x)dx利用分部积分法，可以将复杂的广义积分转化为简单的广义积分，从而便于求解。
2.2.利用换元法换元法是另一种常用的求解广义积分的方法，它是通过引入一个新的变量并进行适当的代换，将原广义积分转化为一个简单的形式。
换元法的基本思想是利用变量代换来改变被积函数的形式，从而使得积分变得容易求解。
2.3.利用级数展开法级数展开法是一种将被积函数展开成无穷级数的方法，然后分别求解每一项级数的广义积分，最后将所有项的广义积分进行求和得到原广义积分的值。
级数展开法主要适用于一些特殊函数的广义积分求解。
2.4.利用对称性有些函数具有对称性，可以利用对称性来简化广义积分的计算。
例如，假设函数f(x)在区间[-∞, +∞]上是奇函数，则有∫(-∞, +∞) f(x)dx = 0。
利用对称性可以将广义积分化简为求解一个有界区间上的广义积分。
定积分及广义积分(一)
即
0
0
∫ ∫ α
f (x)dx ≥ α
1
f (x)dx
0
0
∫α
方法二: 由积分中值定理, 存在ξ∈[0, α], 使 f (x)dx = α f (ξ ) ; 0
∫ 由积分中值定理, 存在η∈[α, 1], 使 1 f (x)dx = f (η)(1 − α ) α
因为 η ≥ ξ , 所以f (η) ≤ f (ξ ) .
2!
3!
= F (t) + f (t)( x − t) + f ' (t) (x − t)2 + f ' ' (t) (x − t)3 (1)
2!
3!
(1)中令 x = a, t = b, 得到 0 = F (b) + f (b)(a − b) + f ' ' (ξ1) (a − b)3
(2)
6
(1)中令 x = b, t = a, 得到 F (b) = f (a)(b − a) + f ' ' (ξ2 ) (b − a)3
0
1 2(n + 1)
<
In
<
1 2(n − 1)
.
∫ ∫ 证明:
令 t = tan x ,
则 In =
π
4 tann xdx =
0
1 tn 0 1+ t2
dt
因为
1
t +
t
2
'
=
1− t2 (1 + t 2 )2
> 0, (0 < t < 1).
-1到1sinx分之一的广义积分
-1到1sinx分之一的广义积分要计算从-1到1的sin(x)的广义积分，我们可以使用积分的定义来求解。
首先，我们将函数sin(x)进行展开。
sin(x)可以展开为无限级数：sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...通过观察，我们可以发现，sin(x)是一个奇函数，即sin(-x) = -sin(x)。
因此，我们只需计算从0到1之间的积分，并将结果乘以2。
现在我们来计算sin(x)在0到1之间的广义积分。
根据积分的定义，我们可以将区间[0, 1]划分成无限小的小区间，并对每个小区间求积分，然后将这些积分结果相加。
令dx表示无限小的小区间的长度，x0表示小区间的起点。
对于每个小区间，我们可以用x0表示其起点，然后对sin(x0)进行积分。
由于x0是无限小的，我们可以用泰勒级数来近似sin(x0)：sin(x0) ≈ x0 - (x0^3)/3! + (x0^5)/5! - ...因此，对于每个小区间，我们可以将sin(x0)近似为x0，然后对x0进行积分。
积分的公式是：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C其中C是常数。
因此，对于每个小区间，我们将近似的sin(x0)代入积分公式，得到积分结果。
∫sin(x0) dx = ∫x0 dx = x0^2/2 + C现在，我们将每个小区间的积分结果相加，得到从0到1之间sin(x)的广义积分：∫sin(x) dx ≈ (x1^2)/2 + (x2^2)/2 + (x3^2)/2 + ...其中x1, x2, x3, ...是0到1之间的无限小的小区间的起点。
然后，我们可以将每个小区间的起点x0替换为小区间长度dx，得到：∫sin(x) dx ≈ (dx^2)/2 + (2dx^2)/2 + (3dx^2)/2 + ...现在，我们需要计算dx的值。
由于我们将区间[0, 1]划分成无限小的小区间，我们可以将该区间分成n个小区间，其中n是一个非常大的数。
§11 用Mathematica进行广义积分运算
§6 用Mathematica 进行广义积分运算用Mathematica 广义积分的命令和求定积分的命令相同，都是：(1) Integrate[f ，{x ，下限，上限}](2) ⎰dx x f b a )(6.1 无穷区间上广义积分的运算例6.1 讨论dx xx ln 12⎰∞+的敛散性。
解 }],2,{,ln 1[:]1[Infinity x x x Integrate In += Out[1]=∞+ 所以dx xx ln 12⎰∞+发散。
例6.2 计算广义积分dx e x -∞+⎰0解 In[2]:=Integrate[Exp[-x]，{x ，0，+Infinity}]Out[2]=1例6.3 计算广义积分dx x x 2212++⎰∞+∞-。
解 先判断广义积分⎰++∞-dx x x 22120和⎰++∞+22120x x 是否收敛。
In[3]:=Integrate[1/(x^2+2x+2)，{x ，-Infinity ，0}] Out[3]=21(π+i(Log[1-i]-Log[1+i])) In[4]:=Integrate[1/(x^2+2x+2)，{x ，0，+Infinity}] Out[4]=21(π-i(Log[1-i]-Log[1+i])) 即上面两个广义积分收敛，故原广义积分收敛。
下面计算其值：In[5]:=Integrate[1/(x^2+2x+2)，{x ，-Infinity ， +Infinity}]Out[5]=π6.2 瑕积分的运算例6.5 计算广义积分dx x 220)1(1-⎰。
解 In[1]:= dx x 220)1(1-⎰Out[1]= ∞即广义积分发散。
例6.6 计算广义积分dx x ⎰--3260)4(。
解 In[6]:= dx x ⎰--3260)4(Out[6]=3 21/3-3(-1)1/322/3定积分的收敛或发散有时依据被积分表达式中的某个参数而定。
7.5广义积分(1-41)
3
3
dx ( x - 1) 4 ( x - 1)2 - 1
2 3
( x - 1)4 x 2 - 2 x
2
x -1 sec t
2
4 sec t tan t 3 2
sect tan t
dt cos3 tdt
2 3
1 3 (1 - sin t )d (sin t ) sin t - sin t 3
; x0 t 0
常义积分
dx (1 x )
2 n 1 2
2
se c2 t
0
se c2 n1 t 0
dt cos2 n-1 tdt
0
2
( 2n - 2)(2n - 4) 2 1 ( 2n - 1)(2n - 3)3
例
解
求
3
dx ( x - 1) 4 x 2 - 2 x
arctan x -[ x
1 x ] ( )dx 1 - 2 2 4 1 x 1 x 1 x(1 x )
dx
1
x 1 2 [ln x - ln(1 x )] 1 ln 2 4 4 2 1 x
1 1 ln1 - ln ln 2 4 4 2 2
0
x2 ) d ( 1 2 x2 2 2 0 1 ( ) 2
1 ( - ) 2 2 4 8
例 求
1 2
dx x ( x 1)
解
1 1 1 ( - 2 )dx 2 x 1 x ( x 1) 1 x 1 x 1 [ ln( x 1) - ln x - ] 1 x 1 1 (ln(1 ) - ) 1 0 - (ln 2 - 1) x x 1 - ln 2
8-1-广义积分的概念与计算
b p
p
e
ap
p
,
,
p0 p0
即当 p 0时收敛，当p 0 时发散.
二、无界函数的广义积分
定义 2 设函数 f ( x) 在区间(a, b]上连续，而在
点a 的右邻域内无界．取 0 ，如果极限
b
lim
f ( x)dx 存在，则称此极限为函数 f ( x)
0 a
在区间(a, b]上的广义积分，记作ab f ( x)dx .
a2 x2
解
lim 1 , xa0 a2 x2
(a 0).
x a 为被积函数的无穷间断点.
a dx lim a dx
0 a 2 x 2 0 0
a2 x2
lim0arcsin
x a
a
0
lim
0
arcsin
a
a
0
. 2
例6
证明广义积分01
1 xq
dx
当q
1
时收敛，当
q 1时发散.
2 dx
1
x ln x
lim 0
1
x ln x
lim 0
2 1
d(ln x) ln x
lim ln(ln
0
x)
2 1
lim ln(ln 2) ln(ln(1 )) 0
.
故原广义积分发散.
3
例8 计算广义积分
dx 2.
0 ( x 1)3
x 1瑕点
解
3 dx
0
2
( x 1)3
1
3
( )
dx
2
0 1 ( x 1)3
1 dx
1 dx
0
20-第20讲不定积分及其计算(1)-PPT精选文档53页
( 6 ) cos x d x sin x C ,
( 7 ) sin x d x cos x C ( 8 ) sec 2 x d x tan x C ( 9 ) csc 2 x d x cot x C
(10 ) sec x tan x d x sec x C
8 x 6 d x 1 x 4 2 d x 6 x 2 d x d x
8x71x 2 52x3xC. 75
例2 解
求2x2x31x1dx.
2x23x12x56 (除)法
x1
x1
2 x2 x 3 1 x 1 dx (2 x 5 x6 1 )dx
ln2e()
(ax)axlna
2xex C. 1ln2
例9
求e|x| dx.
解
当x0时 ,
e |x | d x e x d x e x C 1 ,
当x0时 ,
e |x |d x e xd x e x C 2 ,
由于一个函数必 的是 原连 函续 数, 故 函数
例5
求 (xad)xx(b) (ab).
解
(x a d )x x ( b ) a1 b x 1a x 1b dx
部分分式法
a1 b x 1adxx 1bdx
1 lnxaC. ab xb
例6
求coc2xsos2xsi2nxdx.
cos 2xdx
解 dx 1d2x
c2os2xdx令 ucos22xx11 2d co(2 sxu)du
1 2
cos2xd(2x)
2
1 sin u C 2
1广义积分的概念与计算
2019/7/10
主讲人：陈志勇副教授
宁波大学教师教育学院
1
§1 广义积分的概念与计算
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
广义积分
一、无穷限的广义积分
二、无界函数的广义积分
2019/7/10
宁波大学教师教育学院
2
一、无穷限的广义积分
引例. 曲线
和直线 及 x 轴所围成的开口曲
当k为何值时，这广义积分发散？又当k为何值时， 这广义积分取得最小值？
提示：
d x
2 x (ln x)k
d(ln x) 2 (ln x)k
当k 1时,
I
(k)
2
x
dx (ln x)k
(k
1 1)(ln
2)k
1
令 f (k) (k 1)(ln 2)k1, 求其最大值 .
lim c1 f (x) dx lim b f (x) dx
10 a
2 0 c2
无界函数的积分又称作第二类广义积分, 无界点常称
为瑕点(奇点) .
说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类
间断点, 则本质上是常义积分, 而不是广义积分.
例如,
2019/7/10
2019/7/10
宁波大学教师教育学院
14
例6. 证明广义积分
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
时发散 .
证: 当 q = 1 时,
ln
x
a
b a
当 q≠1 时
(x a)1q 1 q
-1到1sinx分之一的广义积分
-1到1sinx分之一的广义积分要计算广义积分∫(−1到1) sin(x)/(x) dx，我们可以使用泰勒级数展开或特殊函数的性质来解决这个问题。
让我详细解释一下。
首先，我们看到被积函数中有一个分母(x)。
这意味着在x = 0处存在一个奇点，导致被积函数在该点不可导。
这也就是为什么我们需要使用广义积分来处理这个问题。
考虑到sin(x)的泰勒级数展开，我们有sin(x) = x - x^3/3! +x^5/5! - x^7/7! + ...。
将其代入我们的被积函数，得到∫(−1到1) (x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...)/(x) dx。
我们注意到在x = 0处，所有的x^n/n! (n为奇数)均为0，因此可以给出一个简化的表达式∫(−1到1) (1 - x^2/3! + x^4/5! -x^6/7! + ...)/dx。
我们现在可以对函数进行任意项的展开，因为无论展开到多少项，关于∫(−1到1) (1 - x^2/3! + x^4/5! - x^6/7! + ...)/dx的计算仍然是可能的。
然而，在我们展开到越多项时，我们的计算可能会变得更复杂。
一个解决办法是使用特殊函数或数值方法进行计算。
在这里，我们将介绍两种特殊函数方法：Fresnel积分和Si(x)函数。
首先，我们来介绍Fresnel积分。
根据定义，Fresnel S积分定义为∫(0到x) sin(t^2) dt，Fresnel C积分定义为∫(0到x) cos(t^2) dt。
当我们计算∫(−1到1) sin(x)/(x) dx时，我们可以使用Fresnel S积分来近似表示。
利用差分近似公式，我们可以得到∫(−1到1) sin(x)/(x) dx ≈ (1/2) (Fresnel S(1) - Fresnel S(−1))。
这个近似值在计算机科学和信号处理中经常被使用，并且可以在计算上更容易计算。
但请注意，这个近似可能会有一些误差，特别是当我们需要更高的精度时。
p-级数与几个广义积分
p-级数与几个广义积分
级数是一类重要的数学概念，用于对数字序列的性质进行分析。
一般来说，级
数就是由一组数值序列构成的数列，伴随着这些数字序列的按照一定次序排列而形成的。
广义积分是一种在数学、物理和工程等领域中应用的重要技术之一。
使用广义积分可以求解函数的积分，也可以在研究系统动力学时，给定各类不变量作为对系统特性的描述手段。
级数与广义积分之间存在千丝万缕的联系，其中一个重要的联系便是可以使用
广义积分来求解级数的一些性质。
比如当给定某一数列的每一项的表达式时，我们可以通过广义积分，从而求出该级数数列的属性，比如极限和收敛性等。
另外，利用广义积分也可以将无穷数列表示为有限数学表达式，从而解决级数求值和极限求解等问题。
例如，我们可以利用数学归纳法依次求得前n项级数的和，再利用广义积分来求出余项的极限，从而求出无穷数列的值。
总之，级数与广义积分之间具有密不可分的联系，前者可以用来建立数列的模型，而后者可以用来求解和分析级数所代表的系统中的各种重要性质和参数。
因此，在理解等级数的特性时，大家就不能忽略广义积分这种重要的数学技术的重要性。
29 分部积分法·广义积分(1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1 2x dx x3 3 ( B ) 收敛于 ． 2 5 (C ) 收敛于 ． 2
0
1 ( A) 收敛于 ． 2
1 0
( D) 发散．
二、用分部积分法计算下列定积分： 1．
xe 2 x dx ．
2．
x sin 2 xdx ．
3．
e 1
x ln x dx ．
4．
dx ． 0 (1 x ) 2
2
五、用分部积分法证明关于广义积分 I n
0
x ne x dx (n 0,1, 2,) 的递推关系式
I n nI n 1 (n 1, 2,) ，
并由此计算 I n ．
58
1
0
x arcsin x dx ．
57
高等数学习题·第五章 定积分及其应用 三、利用 Wallis 公式计算下列积分：
班级
姓名
作业序号
1．
4 0
cos 7 (2 x) dx ．
2．
sin 6 x dx ．
四、判别下列广义积分的收敛性，若收敛则计算其值： 1．
1
dx ． x4
2．
高等数学习题·第五章 定积分及其应用
班级
姓名
作业序号
[29] 定积分的分部积分法·广义积分
一、选择填空题（在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题前的方括号中） ： 【 】1．设 b 0 且
b
1
ln xdx 1 ，则 b
1两类广义积分的定义
广义积分的性质1.两类广义积分的定义定义11.1 设函数f定义在无穷区间上,且在任何有限区间[a,u]上可积.如果存在极限(1)则称此极限J为函数f在上的无穷限广义积分(简称无穷积分). 记作并称收敛.如果极限(1)不存在,为方便起见,亦称发散.类似地可定义f在上的无穷积分:(2)对于f在上的无穷积分,它用前面两种无穷积分来定义:(3)其中a为任一实数,当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的. 注意无穷积分(3)的收敛性与收敛时的值,都和实数a 的选取无关.例1. 无穷积分(a>0) 在时收敛,而在时发散.这是因为对于任何u>a当时当时显然,极限和都不存在.而在时例2 无穷积分在时收敛,而在时发散.这只须令 ,则设则当时, v也变成无穷大,故根据例1的结果,上式右边的极限在时存在,而在时不存在.定义11.2 设函数f定义在区间上,在点a的任一右邻域区内无界,但在任何内闭区间上有界且可积.如果存在极限(4) 则称此极限为无界函数f在上的广义积分. 记作并称广义积分收敛.如果极限(4)不存在,这时也说广义积分发散.在定义2中,被积函数f在点a近旁是无界的,这时点a 称为f 的瑕点,而无界函数广义积分又称为瑕积分.类似地,可定义瑕点为b的瑕积分:其中f在有定义,在点b 的任一左邻域内无界,但在任何上可积.若f的瑕点,则定义瑕积分(5)其中f 在上有定义,在点c的任一邻域内无界,但在任何和上都可积.当且仅当(5)式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.又若a,b 两点都是f的瑕点,而f在任何上可积,这时定义瑕积分(6)其中c为(a,b) 内任一实数,同样地,当且仅当(7)式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.例3. 瑕积分() 当时收敛,当时发散.2.无穷积分的性质（一）无穷积分的性质定理11.1 无穷积分收敛的充要条件是:,,只要,便有性质(1) 若与都收敛,为任意常数,则也收敛,且性质(2) 若f在任何有限区间[a,u]上可积,a<b,则与同敛态(即同时收敛或同时发散),且有其中右边第一项是定积分.性质(3)若f在任何有限区间[a,u]上可积,且有收敛,则亦必收敛,并有当收敛时,称为绝对收敛.性质(3)指出: 绝对收敛的无穷积分,它自身也一定收敛.但它的逆命题一般不成立,我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛.。
-1到1sinx分之一的广义积分
-1到1sinx分之一的广义积分积分是微积分中的一个重要概念，它描述了函数曲线下面积的大小。
对于一个给定的函数，我们可以求出它在某个区间上的积分，从而得到函数在该区间上的面积。
而广义积分则是对于某些函数在无穷区间上的积分，即在无穷范围内的积分。
本文将探讨的是一个广义积分，即-1到1sinx分之一的广义积分。
我们首先来看一下sinx函数的图像。
sinx是一个周期函数，其图像在[-1,1]区间上呈现出周期性变化，具有一个正弦波的特征。
在这个区间上，sinx的值在-1到1之间变化。
我们要求的是sinx在该区间上的积分，并且要将其分之一，即求解的是sinx/2在该区间上的广义积分。
在求解这个广义积分之前，我们先来看一下普通积分的概念和求解方法。
对于一个给定的函数f(x)，在区间[a,b]上的积分可以表示为∫[a,b]f(x)dx，其中dx表示对x的积分。
这个积分可以通过不定积分的方法求解，即找到一个原函数F(x)，使得它的导数等于f(x)，然后将F(b)-F(a)即可得到区间上的积分值。
但是对于广义积分，情况就有所不同了。
对于广义积分，由于某些函数在无穷区间上可能不会收敛，因此我们需要采用一些特殊的方法来求解。
在本例中，我们要求的是-1到1sinx分之一的广义积分，即∫[-1,1]sin(x)/2dx。
首先我们来看一下sin(x)/2在[-1,1]上的图像。
sin(x)/2在该区间上的图像与sin(x)的图像类似，但波峰和波谷的高度变为原来的一半。
这样一来，sin(x)/2在该区间上的积分就是sin(x)在该区间上的积分再除以2。
因此我们可以将原始的广义积分化简为sin(x)在[-1,1]上的广义积分。
而sin(x)在该区间上的积分是一个常数，为0。
因此sin(x)/2在该区间上的广义积分也等于0。
在本例中，我们通过分析sin(x)/2在[-1,1]上的特性，化简了原始的广义积分，并最终得出了它的值为0。
广义积分计算中的一个问题
广义积分计算中的一个问题
杨弘;李春林
【期刊名称】《中国校外教育》
【年(卷),期】2010(0)S1
【摘要】本文针对学生在学习无穷区间上的广义积分时存在的问题,通过具体的实例说明学习和应用这部分知识时应注意的问题。
指出被积函数为奇函数时,利用其
奇偶性进行计算可能会导致错误的结果,强调了学习数学时准确理解概念的重要性。
【总页数】2页(P500-501)
【关键词】无穷区间;广义积分;收敛;发散;柯西主值
【作者】杨弘;李春林
【作者单位】佳木斯大学
【正文语种】中文
【中图分类】O172.2
【相关文献】
1.关于广义积分计算中一个问题的思考 [J], 林芙蓉
2.一个广义积分的计算及其应用 [J], 杨洪德;张长春
3.关于正值函数广义积分的哥西收敛判别法在应用中应注意的一个问题 [J], 李敏
霞
4.计算广义积分时易犯的一个错误 [J], 吴有炜
5.傅里叶变换中一个含参变量广义积分的计算 [J], 袁敏
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复旦大学《高等数学》2020-2021学年第一学期期末试卷
2020-2021学年第一学期高等数学期末考试复旦大学2020年第1学期高等数学期末考试试卷2020-2021学年第1学期考试科目：高等数学AⅠ考试类型：（闭卷）考试考试时间：120分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分得分评阅人一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.广义积分=⎰+∞dx x 131.212.x )x (f =的积分曲线中过)21,1(-的曲线的方程______.2x y=12-3.设S 为曲线x x y ln =与e x x ==,1及x 轴所围成的面积，则=s .)1(412+e 4..⎰='dx x f )2(.c x f +)2(215.曲线)1ln(x e y -=的渐近线为.ex x y 1,0,1===二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.设函数，则A.B.C.D.2.设曲线如图示，则函数在区间内()．A.有一个极大值点和一个极小值点B.没有极大值点，也没有极小值点C.有两个极小值点D.有两个极大值点3.极限（）．A.B.C.D.2020-2021学年第一学期高等数学期末考试 4.函数的图形如图示，则（）.A.是该函数的一个极小值点，且为最小值点B.是该函数的一个极小值点，但不是为最小值点C.是该函数的一个极大值点D.不是该函数的一个极值点5.若定积分（）. A. B. C. D.三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1.求函数212x xy +=的极值与拐点.解：函数的定义域（－∞，+∞）。
2.设抛物线24x y -=上有两点(1,3)A -，(3,5)B -，在弧A B 上，求一点(,)P x y 使ABP ∆的面积最大.3.已知()x f 的一个原函数为2ln x ，则试求：()⎰'xf x dx .确定2x y e =2(x -2)的单调区间..4．设方程2290y xy -+=确定隐函数()y y x =，求d d y x。
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例1
计算 x ex2 d x . 0
解
x ex2 d x lim A x ex2 d x
0
A 0
令 u x2
lim
A
1 2
A2 eu d u
0
lim
A
1 2
(eu
)
A2 0
lim (
A
1 eA2 2
1 2
)
1 2
.
能否将这里的书 写方式简化？
为书写方便起见，若 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，则约定
b f (x) d x lim b f (x) d x ,
a
0 a
称之为函数 f (x) 在[a, b] 上的瑕积分 .
若式中极限存在 , 则称该瑕积分收敛 , 极限值即 为瑕积分值 ; 若式中极限不存在 , 则称该瑕积分发散 .
类似地，可定义
(1) 当x b 为瑕点时 ,
b f (x) d x lim b f (x) d x .
a
(5) 无穷积分也可按照定积分的换元法进行计算 .
(6) 若在[a, ) 上 f (x) g(x) , 则 f (x) d x g(x) d x .
a
a
二、瑕积分 ——无界函数的广义积分
1. 瑕积分的概念
(1) 瑕点的概念
0，若函数 f (x) 在 Uˆ (x0 , )内无界，则称点 x0 为
若式中的极限存在，则称此无穷积分收敛，极限值
即为无穷积分值；若式中的极限不存在，则称该无穷积
分发散 .
类似地可定义：
(1) b f (x) d x lim b f (x) d x (B b) .
B B
(2) f (x) d x c f (x) d x f (x) d x
c
lim c f (x) d x lim A f (x) d x .
f (x)d x F(x) a
0
lim
x
F
(x)
F
(a)
.
b f (x)d x F(x)
b
F
(b)
lim
x
F
(x)
.
f (x)d x F(x)
lim
x
F
(x)
lim
x
F ( x)
.
这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了.
例2
计算
d 0 1
x2
.
解
d 0 1
B B
A c
若 c f (x) d x 与 f (x) d x 同时收敛，则称 f (x) d x 收敛 .
c
若 c f (x) d x 与 f (x) d x 至少有一个发散, 则 f (x) d x 发散 .
c
对 f (x) d x 而言，由定积分对区间的可加性，
显然其收敛性 与 c 值无关. 为方便起见，通常取 c 0 .
a
0 a
(2) 当x c (a c b) 为瑕点时 ,
b f (x) d x c f (x) d x b f (x) d x
a
a
c
lim c f (x) d x lim b f (x)dx ,
0 a
0 c
仅当 c f (x) d x 与 b f (x) d x 同时收敛时, b f (x) d x 才收敛 .
我们将运用极限的方法来完成这个工作.
一、无穷积分 —— 无穷区间上的广义积分
1. 无穷积分的概念
设函数 f (x) 在[a, ) 上有定义 .
A R , A a , 且 f (x) R( [a, A] ) . 记
f (x) d x lim A f (x) d x ,
a
A a
称之为 f (x) 在[a, ) 上的无穷积分 .
x x2
arctan
x
0
lim arctan x arctan 0 x
2
.
例3
计算
d 1
x x2
.
解
d x
1 x2
arctan
x
lim arctan x lim arctan x
x
x
2
(
2
)
y
1
.
O
x
例4
计算
x 0 1 x2
d
x
.
解
x
0 1 x2
dx
1 2
ln(
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
广义积分
主讲:邹为
第五节 广义积分 一、无穷区间上的积分 二、瑕积分
我们前面讨论的积分是在有限区间上的有界 函数的积分. 在科学技术和工程中，往往需要计 算无穷区间上的积分或者计算不满足有界条件的 函数的积分，有时还需计算不满足有界条件的函 数在无穷区间上的积分. 这就需要我们将定积分 的概念及其计算方法进行推广.
a
c
a
c f (x) d x 与 b f (x) d x 至少有一个发散时, b f (x) d x 发散 .
1
x2 )
0
lim
x
1 2
ln( 1
x2
)
0
,
故积分
x 0 1 x2
d
x
发散 .
例5
计算 cos x d x . 0
解
cos x d x sin x 0
0
lim sin x sin 0 , x
由于 lim sin x 不存在，故原积分 cos x d x 发散 .
函数 f (x) 的一个瑕点.
例如：
x
a是
f
( x)
1 的一个瑕点； xa
x 1 是 g(x) ln(1 x2 ) 的瑕点.
x a 是 h(x)
1 的瑕点. x2 a2
(2) 瑕积分的概念
设 f (x) 在 (a, b] 上有定义 , x a 为其瑕点.
若 0 , f (x) R( [a , b] ) , 记
p 1, 发散 p 1. 收敛
综上所述，
P－积分
d x a xp
(a 0)
P 积分当 p 1 时收敛；当 p 1 时发散 .
2. 无穷积分的基本运算性质
设以下所有出现的积分均存在，则
(1) f (x) d x a f (x) d x .
a
其它类型的无穷 积分的情形类似 于此.
(2) f (x) d x c f (x) d x f (x) d x c R .
a
a
c
(3) [ f (x) g(x)]d x f (x) d x g(x) d x .
a
a
a
(4)
u(x)v(x) d x
a
u(x)v(x)
a
u(x)v(x) d x .
x
0
例5
讨论 P－积分
d x a xp
(a 0) 的敛散性，
其中P 为任意常数 .
解 当 P 1 时:
a
dx x
ln
|
x
|
a
lim ln | x | ln a , x
故 p 1 时，P 积分发散 .
当 P 1 时:
a
dx x
x1 p 1 p
,
a
a 1 p , p 1