函数的极限 (2)

x0−δ< <x0, 有|f(x)−A|<ε。. −δ<x< − ε
x→x0
： < − ε lim+ f (x) = A⇔∀ε >0,, ∃δ >0,, ∀x： x0<x<x0+δ , 有|f(x)−A|<ε .
x→x0
lim f (x) = A⇔ lim− f (x) = A 且 lim+ f ( x) = A
x →∞
y A+ε y=f (x)
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A
.
A−ε
.
−X
O
X
x
例6. 证明 .
1 lim = 0 x →∞ x
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1 1 分析: 分析: | f ( x) − A|=| − 0|= x | x|
∀ε >0, 要使 , 要使|f(x)−A|<ε , 只要 | x |> − <ε 证明: 因为∀ 证明: 因为∀ε >0, ∃ ,
6
有| f(x)−A| −
x 2 −1 =| − 2| x −1
=|x−1|<ε , − <
x 2 −1 所以 lim =2 x →1 x −1
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单侧极限： 若当x→x0− 时,f(x)无限接近于常数A，则常数A叫做函数 f(x)当 x→x0 时的左极限,记为：
x → x0
, , . .
1
ε
x →∞
形的水平渐近线 。
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二、函数极限的性质
定理1(函数极限的唯一性 定理 函数极限的唯一性) 函数极限的唯一性 如果极限 lim f (x) 存在, 那么这极限唯一. 存在, 那么这极限唯一.
x→ x0
13
定理2(函数极限的局部有界性 定理 函数极限的局部有界性) 函数极限的局部有界性 如果f(x)→A(x→x0), 那么存在常数 >0和δ, 使得 如果 → → , 那么存在常数M> 和 <δ时 当0<|x−x0|<δ时, 有|f(x)|≤M < − <δ ≤ 因为f(x)→ → , 证明 :因为 →A(x→x0), 因为 所以对于ε =1, ∃δ>0, 当0<|x−x0|<δ时, 有|f(x)−A|<ε , , < − < 于是 |f(x)|=|f(x)−A+A|≤|f(x)−A|+|A|<1+|A|. = − + ≤ − + < + . 这就证明了在x0的去心邻域 是有界的. 这就证明了在 的去心邻域{x| 0<|x−x0|<δ }内, f(x)是有界的. 的去心邻域 < − <δ 内 是有界的
类似地可定义： 类似地可定义：

x →−∞
lim f (x) = A 和 lim f (x) = A
x → +∞
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结论: 结论: lim
x →∞
f ( x) = A⇔ lim f (x) = A 且 lim f (x) = A
x → −∞
x → +∞
的定义的几何意义： 极限 lim f ( x) = A 的定义的几何意义：
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x→ x0
lim
1．自变量趋于有限值时函数的极限 ． 通俗定义: 通俗定义: 函数f(x)的值无限接近于常 如果当x无限接近于x0 , 函数 的值无限接近于常 为极限. 记作: 数A, 则称当x趋于x0 时, f(x)以A为极限. 记作: ,
x→x0
lim f (x) = A或f (x) → A(当x → x0)
3
x → x0
f(x)→A(当x→x lim f ( x) = A 或 f(x)→A( x→x0).
定义的简单表述: 定义的简单表述: lim
x → x0
f ( x) = A
⇔∀ε>0, ∃δ>0, 当0<|x−x0|<δ时, |f(x)−A|<ε . , , < − < − <
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x → x0
例2. 证明 .lim . 证明:
x = x0
lim x = x0
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例3. 证明 .
lim(2x −1) =1
x →1
分析: 分析: |f(x)−A|=|(2x−1)−1|=2|x−1|. − = − − = − . ∀ε >0, 要使 , 要使|f(x)−A|<ε , 只要 − < 证明: 证明: 因为∀ε >0, ∃δ=ε /2, ,
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1. 当x→x0时函数f(x)的左右极限与当 →x0时函数f(x)的极 . → 时函数 的左右极限与当x→ 时函数 的极 的左右极限与当 限之间的关系怎样? 限之间的关系怎样 提示: 定义： 提示: 左极限的ε --δ 定义：
x→x0
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, , ： lim− f (x) = A⇔∀ε >0, ∃δ >0, ∀x：
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x 2 −1 当x≠1时, |f(x)−A| =| ≠ 时 − − 2| x −1
=|x−1|. ∀ε >0, 要使 − . , 要使|f(x)−A|<ε , − < 只要|x− < 只要 −1|<ε . 证明: 证明: 因为∀ε >0, ∃δ=ε , 当0<|x−1|<δ 时, , < − <
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分析: 在x→x0的过程中, f(x)无限接近于 就是 无限接近于A就是 分析: → 的过程中, 无限接近于 就是|f(x)−A| − 能任意小, 或者说, 比如|x− <δ, 能任意小, 或者说, 在x与x0接近到一定程度 比如 −x0|<δ, 与 接近到一定程度(比如 可以小于任意给定的(小的 δ为某一正数)时, |f(x)−A|可以小于任意给定的 小的 正数 为某一正数 时 − 可以小于任意给定的 小的)正数 ε , 即|f(x)−A|<ε . 反之, 对于任意给定的正数ε , 如果 与x0 − <ε 反之, 对于任意给定的正数ε 如果x与 接近到一定程度(比如 − <δ, 为某一正数)就有 接近到一定程度 比如|x−x0|<δ, δ为某一正数 就有 比如 |f(x)−A|<ε , 则能保证当 →x0时, f(x)无限接近于 . − <ε 则能保证当x 无限接近于A. 无限接近于
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x →0+
lim f (x) = lim (x +1) =1
x →0+
x →0
lim− f (x) ≠ lim+ f (x)
x →0
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2．自变量趋于无穷大时函数的极限 ．
大于某一正数时有定义. 设f(x)当|x|大于某一正数时有定义. 如果存在常数 , 当 大于某一正数时有定义 如果存在常数A, 总存在着正数X, 使得当x满足 对于任意给定的正数ε , 总存在着正数 , 使得当 满足 不等式|x|>X时, 对应的函数数值 时 对应的函数数值f(x)都满足不等式 不等式 都满足不等式
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x → x0
lim c = c
x → x0
. 分析: 分析: |f(x)−A|=|x−x0|. 因此∀ε >0, 要使 − = − . 因此∀ε , 要使|f(x)−A|<ε , 只 要 − <ε |x−x0|<ε . − <ε 证明: 因为∀ε , 证明: 因为∀ε >0, ∃δ =ε , 当0<|x−x0|<δ 时, 有 < − <δ |f(x)−A|=|x−x0|<ε , 所以 − = − <ε
|f(x)−A|<ε, 则常数 叫做函数 当x→∞时的极限, 则常数A叫做函数 叫做函数f(x)当 →∞时的极限, →∞时的极限
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记为： 记为： lim
x →∞
x →∞
f (x) = A 或f(x)→A(x→∞).
, > , > 时 − < lim f (x) = A⇔∀ε >0, ∃X>0,当 |x|>X时, f(x)−A|<ε
x→x0
x → x0
.
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x −1 例5.函数 f ( x) = 0 函数 x +1
x<0 x =0 x >0
时的极限不存在. 当x→0时的极限不存在. → 时的极限不存在 这是因为, 这是因为, lim f ( x) = lim (x −1) = −1
x →0 − x →0 −
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lim − f ( x) = A 或 f ( x0 − ) = A
若当x→x0+ 时,f(x)无限接近于常数A，则常数A叫做函数 f(x)当 x→x0 时的左极限,记为：
x → x0
lim+ f ( x ) = A 或 f ( x ) = A
＋ 0
讨论: . 定义如何叙述? 讨论:1.左右极限的ε −−δ定义如何叙述
§1. 4 函数的极限 . 一、函数极限的定义
函数的自变量有几种不同的变化趋势: 函数的自变量有几种不同的变化趋势: x无限接近 0 : x→x0, 无限接近x 无限接近 →
1
x从x0左侧 即小于 0)无限接近 0 : x→x0从 左侧(即小于 无限接近 即小于x 无限接近x → x从x0右侧 即大于 0)无限接近 0 : x→x0+ 从 右侧(即大于 无限接近 即大于x 无限接近x → x的绝对值 无限增大: x→∞ 的绝对值|x|无限增大 →∞ 的绝对值 无限增大: x小于零且绝对值 无限增大: x→−∞ 小于零且绝对值|x|无限增大 →−∞ 小于零且绝对值 无限增大: x大于零且绝对值 无限增大: x→+∞. 大于零且绝对值|x|无限增大 →+∞. 大于零且绝对值 无限增大: